4 замечательные точки. Ученический проект "Замечательные точки треугольника"
В треугольнике есть так называемые четыре замечательные точки: точка пересечения медиан. Точка пересечения биссектрис, точка пересечения высот и точка пересечения серединных перпендикуляров. Рассмотрим каждую из них.
Точка пересечения медиан треугольника
Теорема 1
О пересечении медиан треуголника : Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся точкой пересечения в отношении $2:1$ начиная с вершины.
Доказательство.
Рассмотрим треугольник $ABC$, где ${AA}_1,\ {BB}_1,\ {CC}_1$ его медианы. Так как медианы делят стороны пополам. Рассмотрим среднюю линию $A_1B_1$ (Рис. 1).
Рисунок 1. Медианы треугольника
По теореме 1, $AB||A_1B_1$ и $AB=2A_1B_1$, следовательно, $\angle ABB_1=\angle BB_1A_1,\ \angle BAA_1=\angle AA_1B_1$. Значит треугольники $ABM$ и $A_1B_1M$ подобны по первому признаку подобия треугольников. Тогда
Аналогично доказывается, что
Теорема доказана.
Точка пересечения биссектрис треугольника
Теорема 2
О пересечении биссектрис треугольника : Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
Доказательство.
Рассмотрим треугольник $ABC$, где $AM,\ BP,\ CK$ его биссектрисы. Пусть точка $O$ - точка пересечения биссектрис $AM\ и\ BP$. Проведем из этой точки перпендикуляры к сторонам треугольника (рис. 2).
Рисунок 2. Биссектрисы треугольника
Теорема 3
Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон.
По теореме 3, имеем: $OX=OZ,\ OX=OY$. Следовательно, $OY=OZ$. Значит точка $O$ равноудалена от сторон угла $ACB$ и, значит, лежит на его биссектрисе $CK$.
Теорема доказана.
Точка пересечения серединных перпендикуляров треугольника
Теорема 4
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.
Доказательство.
Пусть дан треугольник $ABC$, $n,\ m,\ p$ его серединные перпендикуляры. Пусть точка $O$ - точка пересечения серединных перпендикуляров $n\ и\ m$ (рис. 3).
Рисунок 3. Серединные перпендикуляры треугольника
Для доказательства нам потребуется следующая теорема.
Теорема 5
Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов данного отрезка.
По теореме 3, имеем: $OB=OC,\ OB=OA$. Следовательно, $OA=OC$. Значит точка $O$ равноудалена от концов отрезка $AC$ и, значит, лежит на его серединном перпендикуляре $p$.
Теорема доказана.
Точка пересечения высот треугольника
Теорема 6
Высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке.
Доказательство.
Рассмотрим треугольник $ABC$, где ${AA}_1,\ {BB}_1,\ {CC}_1$ его высоты. Проведем через каждую вершину треугольника прямую, параллельную противоположной вершине стороне. Получаем новый треугольник $A_2B_2C_2$ (рис. 4).
Рисунок 4. Высоты треугольника
Так как $AC_2BC$ и $B_2ABC$ параллелограммы с общей стороной, то $AC_2=AB_2$, то есть точка $A$ -- середина стороны $C_2B_2$. Аналогично, получаем, что точка $B$ -- середина стороны $C_2A_2$, а точка $C$ -- середина стороны $A_2B_2$. Из построения мы имеем, что ${CC}_1\bot A_2B_2,\ {BB}_1\bot A_2C_2,\ {AA}_1\bot C_2B_2$. Следовательно, ${AA}_1,\ {BB}_1,\ {CC}_1$ -- серединные перпендикуляры треугольника $A_2B_2C_2$. Тогда, по теореме 4, имеем, что высоты ${AA}_1,\ {BB}_1,\ {CC}_1$ пересекаются в одной точке.
© Кугушева Наталья Львовна, 2009 Геометрия, 8 класс ТРЕУГОЛЬНИКА ЧЕТЫРЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ
Точка пересечения медиан треугольника Точка пересечения биссектрис треугольника Точка пересечения высот треугольника Точка пересечения серединных перпендикуляров треугольника
Медианой (BD) треугольника называется отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. А В С D Медиана
Медианы треугольника пересекаются в одной точке (центре тяжести треугольника) и делятся этой точкой в отношении 2: 1, считая от вершины. АМ: МА 1 = ВМ: МВ 1 = СМ:МС 1 = 2:1. А А 1 В В 1 М С С 1
Биссектрисой (А D) треугольника называется отрезок биссектрисы внутреннего угла треугольника.
Каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от его сторон. Обратно: каждая точка, лежащая внутри угла и равноудалённая от сторон угла, лежит на его биссектрисе. А М В С
Все биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке– центре вписанной в треугольник окружности. С В 1 М А В А 1 С 1 О Радиус окружности (ОМ) – перпендикуляр, опущенный из центра (т.О) на сторону треугольника
ВЫСОТА Высотой (С D) треугольника называется отрезок перпендикуляра, опущенного из вершины треугольника на прямую, содержащую противолежащую сторону. A B C D
Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке. А А 1 В В 1 С С 1
СЕРЕДИННЫЙ ПЕРПЕНДИКУЛЯР Серединным перпендикуляром (DF) называется прямая, перпендикулярная стороне треугольника и делящая её пополам. А D F B C
А М В m O Каждая точка серединного перпендикуляра (m) к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Обратно: каждая точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.
Все серединные перпендикуляры сторон треугольника пересекаются в одной точке– центре описанной около треугольника окружности. А В С О Радиусом описанной окружности является расстояние от центра окружности до любой вершины треугольника (ОА). m n p
Задания для учащихся Постройте с помощью циркуля и линейки окружность, вписанную в тупоугольный треугольник. Для этого: Постройте биссектрисы в тупоугольном треугольнике с помощью циркуля и линейки. Точка пересечения биссектрис– центр окружности. Постройте радиус окружности: перпендикуляр из центра окружности на сторону треугольника. Постройте окружность, вписанную в треугольник.
2. Постройте с помощью циркуля и линейки окружность, описанную около тупоугольного треугольника. Для этого: Постройте серединные перпендикуляры к сторонам тупоугольного треугольника. Точка пересечения этих перпендикуляров– центр описанной окружности. Радиус окружности– расстояние от центра до любой вершины треугольника. Постройте окружность, описанную около треугольника.
Лискинский район, МОУ Аношкинская СОШ.
Учитель математики Сморчкова Е.Б.
Цель проекта : научиться пользоваться различной литературой по геометрии, справочными материалами для более подробного изучения темы «Замечательные точки треугольника», дать более полное представление о теме, подготовить презентацию по данной теме для демонстрации при выступлениях и на уроках.
Геометрия начинается с треугольника. Вот уже два с полови ной тысячелетия треугольник является как бы символом геометрии ; но он не только символ, треугольник - атом геометрии. Да и сегодня школьная геометрия становится интересной и содержательной, становится собственно геометрией только с поя влением треугольника. Предшествующие понятия - точка, прям ая, угол - представляются расплывчатыми абстракциями, а на бор теорем и задач, с ними связанный, просто скучным.
Уже с первых шагов своего развития человек, а особенно современный человек, сталкивается со всевозможными геометрическими объектами - фигурами и телами. Известны случаи, когда человек в юном, если не сказать в младенческом, возрасте увлекается геометрией и даже делает самостоятельные геометрические открытия. Так, маленький Блез Паскаль придумал «игру в геометрию», в которой участвовали «монетки» - круги, «треуголки» - треугольники, «столы» - прямоугольники, «палочки» - отрезки. Его отец, основательно знавший математику, на первое время решительно исключил математику из числа предметов, которым он обучал своего сына, поскольку маленький Блез не отличался хорошим здоровьем. Однако, обнаружив увлеченность сына, он кое-что рассказал ему о таинственной геометрии, а застав Блеза в момент, когда тот обнаружил, что углы треугольника составляют в сумме два прямых, растроганный отец открыл своему 12-летнему сыну доступ к математическим книгам, хранившимся в домашней библиотеке.
Треугольник неисчерпаем - постоянно открываются его новые свойства. Чтобы рассказать о всех известных его свойствах, необходим том, сравнимый по объему с томом Большой энциклопедии. О некоторых из них, а точнее говоря, о некоторых замечательных точках, связанных с треугольником, мы и хотим рассказать.
Поясним сначала смысл выражения «замечательные точки треугольника». Все мы знаем, что биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке - центре вписанной в этот треугольник окружности. Точно так же в одной точке пересекаются медианы, высоты треугольника, серединные перпендикуляры к его сторонам.
Получающиеся при пересечении перечисленных троек прямых точки, конечно же, замечательны (ведь три прямые, как правило, пересекаются в трех различных точках). Возможны и замечательные точки других типов, например точки, в которых достигает экстремума какая-либо функция, определенная для всех точек треугольника. С другой стороны, понятие «замечательные точки треугольника» следует толковать скорее на литературно-эмоциональном уровне, чем на формально-математическом. Известен софизм, «доказывающий», что все натуральные числа «интересные». (Допустив, что есть «неинтересные» числа, возьмем среди них наименьшее. Бесспорно, это число «интересное»: оно интересно уже тем, что оно наименьшее среди «неинтересных».) Подобное рассуждение, «доказывающее», что все точки треугольника «замечательны», можно сконструировать и в нашем случае. Перейдем к рассмотрению некоторых примеров.
ЦЕНТР ОПИСАННОЙ ОКРУЖНОСТИ
Докажем, что существует точка, равноудаленная от вершин треугольника, или, иначе, что существует окружность, проходя щая через три вершины треугольника. Геометрическим местом точек, равноудаленных от точек А и В, является перпендикуляр к отрезку АВ, проходящий через его середину (серединный перпендикуляр к отрезку АВ). Рассмотрим точку О, в которой пересекаются серединные перпендикуляры к отрезкам АВ и ВС. Точка О равноудалена от точек А и В, а также от точек В и С. Поэтому она равноудалена от точек А и С, т. е. она лежит и на серединном перпендикуляре к отрезку АС (рис. 50).
Центр О описанной окружности лежит внутри треугольника, только если этот треугольник остроугольный. Если же треугольник прямоугольный, то точка О совпадает с серединой гипотенузы,
а если угол при вершине С тупой, то прямая АВ разделяет точки О и С.
Если в Δ АВС
угол при вершине С
острый, то сторона АВ
видна из точки О под углом, равным 2
В математике часто бывает так, что объекты, определенные совсем по-разному, оказываются совпадающими. Покажем это на примере.
Пусть А 1 , В 1 и C 1 - середины сторон ВС, С А и АВ. Можно доказать, что окружности, описанные около Δ АВ 1 С 1 , Δ A 1 BC 1 и Δ A 1 B 1 C , пересекаются в одной точке, причем эта точка - центр описанной окружности Δ АВС (рис. 51). Итак, у нас есть две, казалось бы, совсем разные точки: точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам Δ АВС и точка пересечения описанных окружностей Δ АВ 1 С 1 , Δ AiBCi и Δ AiBiC . А оказывается, что эти две точки почему-то совпадают!
Проведем, однако, обещанное доказательство. Достаточно доказать, что центр О описанной окружности Δ АВС лежит на окружностях, описанных около ΔАВ 1 С 1 , Δ А iBCi и Δ A 1 B 1 C . Углы ОВ 1 А и ОС 1 А прямые, поэтому точки В 1 и С 1 лежат на окружности диаметром ОА, а значит, точка О лежит на окружности, описанной около Δ AB 1 C 1 . Для Δ AiBCi и Δ А 1 В 1 С доказательство аналогично.
Доказанное утверждение является частным случаем весьма интересной теоремы: если на сторонах АВ, ВС и СА треугольника АВС взяты произвольные точки С 1 , А 1 и В 1 , то описанные окружности Δ АВ 1 С 1 , Δ А 1 ВС 1 и Δ А 1 В 1 С пересекаются в одной точке.
Сделаем последнее замечание по поводу центра описанной окружности. Прямые А 1 В 1 и АВ параллельны, поэтому ОС 1 перпендикулярна А 1 В 1 Аналогично ОВ 1 перпендикулярна A 1 C 1 и ОА 1 перпендикулярна В 1 С 1 , т. е. О - точка пересечения высот треугольника A 1 B 1 С 1 ... Постойте, постойте! Мы пока еще не доказывали, что высоты треугольника пересекаются в одной точке. Нет ли здесь пути к доказательству? К этому разговору мы еще вернемся.
ЦЕНТР ВПИСАННОЙ ОКРУЖНОСТИ
Докажем, что биссектрисы углов Δ АВС пересекаются в одной точке. Рассмотрим точку О пересечения биссектрис углов А и В. Любые точки биссектрисы угла A равноудалены от прямых АВ и АС, а любая точка биссектрисы угла B равноудалена от прямых АВ и ВС, поэтому точка О равноудалена от прямых АС и ВС, т. е. она лежит на биссектрисе угла C . Точка О равноудалена от прямых АВ, ВС и СА, значит, существует окружность с центром О, касающаяся этих прямых, причем точки касания лежат на самих сторонах, а не на их продолжениях. В самом деле, углы при вершинах А и В Δ АОВ острые, поэтому проекция точки О на прямую АВ лежит внутри отрезка АВ. Для сторон ВС и СА доказательство аналогично.
Пусть А 1 , В 1 и С 1 - точки касания вписанной окружности треугольника со сторонами ВС, СА и АВ (рис. 52). Тогда АВ 1 =АС 1 , BC 1 = BA 1 и СА 1 = СВ 1 . Кроме того, угол B 1 A 1 C 1 равен углам при основании равнобедренного ΔАВ 1 С 1 (по теореме об угле между касательной и хордой) и т. д. Для угла B 1 C 1 A 1 и угла A 1 B 1 C 1 доказательство аналогично.
Углы при основании любого равнобедренного треугольника острые, поэтому Δ А 1 В 1 С 1 остроугольный для любого Δ АВС.
Если x = AB 1 , y = BC 1 и z = CA 1 , то х+у = с, y + z = a и z + x = b , где а, b и с - длины сторон Δ АВС. Складывая первые два равенства и вычитая из них третье, получаем у= (а+с-в)/2 . Аналогично х=(в+с-а)/2 и z =(а+в-с)/2. Следует отметить, что для четырехугольника подобные рассуждения не привели бы к желаемому результату, потому что соответствующая система уравнений
либо вообще не имеет решений, либо имеет их бесконечно много. В самом деле, если х+у=а, y + z = b , z + t = c и t + x = d , то у=а -х, z = b -y = b - а+х и t = c - b + a -х, а из равенства t + x = d следует, что a + c = b + d . Поэтому если а+с не равно в+ d , то система решений не имеет, а если a + c = b + d , то х можно выбирать произвольно, а у, z , t выражаются через х.
Вернемся снова к единственности решения системы уравнений для треугольника. Используя ее, можно доказать следующее утверждение: пусть окружности с центрами А, В и С касаются внешним образом в точках А 1 , В 1 и С 1 (рис. 53). Тогда описанная окружность Δ A 1 B 1 C 1 вписана в Δ АВС. В самом деле, если х, у и z - радиусы окружностей; a , b и с - длины сторон ΔАВС, то х+у = с, y + z = a , y + x = b .
Докажем три свойства центра О вписанной окружности Δ ABC .
1. Если продолжение биссектрисы угла С пересекает описанную окружность Δ АВС в точке М, то МА=МВ=МО (рис. 54).
Докажем, например, что в Δ АМО равны углы при вершинах А и О. В самом деле, <OAM = < OAB + < BAM и < AOM =< OAC +<А CO , < ОАВ=<ОАС и < ВАМ=<ВСМ = < ACO . Следовательно, АМ=МО. Аналогично ВМ=МО.
2. Если АВ - основание равнобедренного Δ АВС, то окружность, касающаяся сторон <ACB в точках А и В, проходит через точку О (рис. 55).
Пусть О" - середина (меньшей) дуги АВ рассматриваемой окружности. По свойству угла между касательной и хордой <CAO "= <О"ВА= <О"АВ, т. е. точка О" лежит на биссектрисе < A . Аналогично можно показать, что она лежит и на биссектрисе < B , т. е. О" = О.
3. Если прямая, проходящая через точку О параллельно стороне АВ, пересекает стороны ВС и СА в точках А 1 и В 1 , то A 1 B 1 = A 1 B + AB 1 .
Докажем, что Δ AB 1 O равнобедренный. В самом деле, < B 1 OA = < OAB = < B 1 AO (рис. 56). Поэтому AB 1 = B 1 0. Аналогично A 1 B = A 1 O , а значит, A 1 B 1 = A 1 О+ OB 1 = A 1 B + AB 1 .
Пусть в Δ АВС углы при вершинах А, В и С равны α, β, γ. Вычислим величину угла, под которым сторона АВ видна из точки О. Так как углы Δ АО В при вершинах А и В равны α/2 и β/2, то
< AOB = 180°- (α+β)/2=180°- (180°- γ)/2=90° +γ/2. Эта
формула бывает полезна при решении многих задач.