Абсолютная погрешность. Абсолютная погрешность измерений

Тема “ ” изучается в 9 классе бегло. И у учащихся, как правило, не до конца формируются навыки ее вычисления.

А ведь с практическим применением относительной погрешности числа , в равно степени как и с абсолютной погрешностью, мы сталкиваемся на каждом шагу.

Во время ремонтных работ измерили (в сантиметрах) толщину m коврового покрытия и ширину n порожка. Получили следующие результаты:

m≈0,8 (с точностью до 0,1);

n≈100,0 (с точностью до 0,1).

Заметим, что абсолютная погрешность каждого из данных измерений не больше 0,1.

Однако 0,1 – это солидная часть числа 0,8 . Как для числа 100 она представляет незначительную ч асть. Это показывает, что качество второго измерения намного выше, чем первого.

Для оценки качества измерения используется относительная погрешность приближенного числа.

Определение.

Относительной погрешностью приближенного числа (значения) называется отношение абсолютной погрешности к модулю приближенного значения.

Относительную погрешность договорились выражать в процентах.

Пример 1.

Рассмотрим дробь 14,7 и округлим ее до целых. Также найдем относительную погрешность приближенного числа:

14,7≈15.

Для вычисления относительной погрешности, кроме приближенного значения, как правило, нужно еще знать и абсолютную погрешность. Абсолютная погрешность не всегда бывает известна. Поэтому вычислить невозможно. И в таком случае достаточно бывает указать оценку относительной погрешности.

Вспомним пример, который был приведен в начале статьи. Там были указаны измерение толщины m ковролина и ширина n порожка.

По итогам измерений m ≈0,8 с точностью до 0,1. Можно сказать, что абсолютная погрешность измерения не больше 0,1. Значит, результат деления абсолютной погрешности на приближенное значение (а это и есть относительная погрешность) меньше или равно 0,1/0,8 = 0,125 = 12,5%.

Т. о., относительная погрешность приближения ≤ 12,5%.

Аналогичным образом вычислим относительную погрешность приближения ширины порожка; она не более 0,1/100 = 0,001 = 0,1%.

Говорят, что в первом случае измерение выполнено с относительной точность до 12,5%, а во втором – с относительной точностью до 0,1%.

Подведем итог.

Абсолютная погрешность приближенного числа - это разность между точным числом x и его приближенным значением a.

Если модуль разности | x – a | меньше некоторого D a , то величину D a называют абсолютной погрешностью приближенного числа a .

Относительная погрешность приближенного числа - это отношение абсолютной погрешности D a к модулю числа a , то есть D a / |a | = d a .

Пример 2.

Рассмотрим известное приближенное значение числа π≈3,14.

Учитывая его значение с точностью до стотысячных долей, можно указать его погрешность 0,00159… (запомнить цифры числа π поможет )

Абсолютная погрешность числа π равна: | 3,14 – 3,14159 | = 0,00159 ≈0,0016.

Относительная погрешность числа π равна: 0.0016/3.14 = 0,00051 = 0,051%.

Пример 3.

Попробуйте самостоятельно вычислить относительную погрешность приближенного числа √2. есть несколько способов, чтобы запомнить цифры числа “квадратный корень из 2″.

Как уже говорилось ранее, когда мы сравниваем точность измерения некоторой приближенной величины, мы используем абсолютную погрешность.

Понятие абсолютной погрешности

Абсолютная погрешность приближенного значения - это модуль разности точного значения и приближенного значения.
Абсолютную погрешность можно применять для сравнения точности приближений одинаковых величин, а если мы собираемся сравнивать точности приближения различных величин, тогда одной абсолютной погрешности недостаточно.

Например: Длина листа бумаги формата А4 равна (29.7 ± 0.1) см. А расстояние от Санкт-Петербурга до Москвы равно (650± 1) км. Абсолютная погрешность в первом случае не превосходит одного миллиметра, а во втором - одного километра. Вопрос, сравнить точность этих измерений.

Если вы думаете, что длина листа измерена точнее потому, что величина абсолютной погрешности не превышает 1 мм. То вы ошибаетесь. Напрямую сравнить эти величины нельзя. Проведем некоторые рассуждения.

При измерении длины листа абсолютная погрешность не превышает 0.1 см на 29.7 см, то есть в процентном соотношении это составляет 0.1/29.7 *100% = 0.33% измеряемой величины.

Когда мы измеряем расстояние от Санкт-Петербурга до Москвы абсолютная погрешность не превышает 1 км на 650 км, что в процентном соотношении составляет 1/650 *100% = 0.15% измеряемой величины. Видим, что расстояние между городами измерено точнее, чем длинна листа формата А4.

Понятие относительной погрешности

Здесь для оценки качества приближения вводится новое понятие относительная погрешность. Относительная погрешность - это частное от деления абсолютной погрешности на модуль приближенного значений измеряемой величины. Обычно, относительную погрешность выражают в процентах. В нашем примере мы получили две относительных погрешности равные 0.33% и 0.15%.

Как вы уже догадались, относительная погрешность величина всегда положительная. Это следует из того, что абсолютная погрешность всегда положительная величина, и мы делим её на модуль, а модуль тоже всегда положителен.

В процессе измерения чего-либо нужно учитывать, что полученный результат еще неконечный. Чтобы более точно высчитать искомую величину, необходимо учитывать погрешность. Высчитать ее достаточно просто.

Как найти погрешность – вычисление

Разновидности погрешностей:

• относительная;
• абсолютная.

Что нужно для вычисления:

• калькулятор;
• результаты нескольких измерений одной величины.

Как найти погрешность – последовательность действий

• Измерьте величину 3 – 5 раз.
• Сложите все результаты и разделите полученное число на их количество. Данное число является действительным значением.
• Вычислите абсолютную погрешность путем вычитания полученного в предыдущем действии значения из результатов измерений. Формула: ∆Х = Хисл – Хист. В ходе вычислений можно получить как положительные, так и отрицательные значения. В любом случае берется модуль результата. Если необходимо узнать абсолютную погрешность суммы двух величин, то вычисления проводятся согласно такой формуле: ∆(Х+Y) = ∆Х+∆Y. Она также работает при необходимости расчета погрешности разности двух величин: ∆(Х-Y) = ∆Х+∆Y.
• Узнайте относительную погрешность для каждого из измерений. В таком случае нужно разделить полученную абсолютную погрешность на действительное значение. Затем умножьте частное на 100%. ε(x)=Δx/x0*100%. Значение можно и не переводить в проценты.
• Чтобы получить более точное значение погрешности, необходимо найти среднее квадратическое отклонение. Ищется оно достаточно просто: вычислите квадраты всех значений абсолютной погрешности, а затем найдите их сумму. Полученный результат необходимо разделить на число (N-1), в котором N – это число всех измерений. Последним действием станет извлечение корня из полученного результата. После таких вычислений будет получено среднее квадратическое отклонение, которое обычно характеризует погрешность измерений.
• Для нахождения предельной абсолютной погрешности необходимо найти самое маленькое число, которое по своему значению равно или превышает значение абсолютной погрешности.
• Предельная относительная погрешность ищется таким же методом, только нужно находить число, которое больше или равно значения относительной погрешности.

Погрешности измерений возникают по различным причинам и влияют на точность полученного значения. Зная, чему равна погрешность, можно узнать более точное значение проведенного измерения.

Измерения называются прямыми, если значения величин определяются приборами непосредственно (например, измерение длины линейкой, определение времени секундомером и т. д.). Измерения называютсякосвенными , если значение измеряемой величины определяется посредством прямых измерений других величин, которые связаны с измеряемой определенной зависимостью.

Случайные погрешности при прямых измерениях

Абсолютная и относительная погрешность. Пусть проведеноN измерений одной и той же величиныx в отсутствии систематической погрешности. Отдельные результаты измерений имеют вид:x 1 ,x 2 , …,x N . В качестве наилучшего выбирается среднее значение измеренной величины:

Абсолютной погрешностью единичного измерения называется разность вида:

.

Среднее значение абсолютной погрешности N единичных измерений:

(2)

называется средней абсолютной погрешностью .

Относительной погрешностью называется отношение средней абсолютной погрешности к среднему значению измеряемой величины:

. (3)

Приборные погрешности при прямых измерениях

Если нет особых указаний, погрешность прибора равна половине его цены деления (линейка, мензурка).

Погрешность приборов, снабженных нониусом, равна цене деления нониуса (микрометр – 0,01 мм, штангенциркуль – 0,1 мм).

Погрешность табличных величин равна половине единицы последнего разряда (пять единиц следующего порядка за последней значащей цифрой).

Погрешность электроизмерительных приборов вычисляется согласно классу точности С , указанному на шкале прибора:

Например:
и
,

где U max и I max – предел измерения прибора.

Погрешность приборов с цифровой индикацией равна единице последнего разряда индикации.

После оценки случайной и приборной погрешностей в расчет принимается та, значение которой больше.

Вычисление погрешностей при косвенных измерениях

Большинство измерений являются косвенными. В этом случае искомая величина Х является функцией нескольких переменных а, b , c … , значения которых можно найти прямыми измерениями: Х = f(a , b , c …).

Среднее арифметическое результата косвенных измерений будет равно:

X = f(a ,b ,c …).

Одним из способов вычисления погрешности является способ дифференцирования натурального логарифма функции Х = f(a , b , c …). Если, например, искомая величина Х определяется соотношением Х = , то после логарифмирования получаем:lnX = lna + lnb + ln(c + d ).

Дифференциал этого выражения имеет вид:

.

Применительно к вычислению приближенных значений его можно записать для относительной погрешности в виде:

 =
. (4)

Абсолютная погрешность при этом рассчитывается по формуле:

Х = Х(5)

Таким образом, расчет погрешностей и вычисление результата при косвенных измерениях производят в следующем порядке:

1) Проводят измерения всех величин, входящих в исходную формулу для вычисления конечного результата.

2) Вычисляют средние арифметические значения каждой измеряемой величины и их абсолютные погрешности.

3) Подставляют в исходную формулу средние значения всех измеренных величин и вычисляют среднее значение искомой величины:

X = f(a ,b ,c …).

4) Логарифмируют исходную формулу Х = f(a , b , c …) и записывают выражение для относительной погрешности в виде формулы (4).

5) Рассчитывают относительную погрешность  = .

6) Рассчитывают абсолютную погрешность результата по формуле (5).

7) Окончательный результат записывают в виде:

Абсолютные и относительные погрешности простейших функций приведены в таблице:

	Абсолютная погрешность	Относительная погрешность
	a+  b
	a+  b
Измерения многих величин, встречающихся в природе, не может быть точным. Измерение дает число, выражающее величину с той или иной степенью точности (измерение длины с точностью до 0,01 см, вычисление значения функции в точке с точностью до и т.д.), то есть приближенно, с некоторой погрешностью. Погрешность может быть задана наперед, или, наоборот, ее требуется найти. Теория погрешностей имеет объектом своего изучения в основном приближенные числа. При вычислениях вместо обычно используют приближенные числа: (если точность не особо важна), (если точность важна). Как проводить вычисления с приближенными числами, определять их погрешности – этим занимается теория приближенных вычислений (теория погрешностей). В дальнейшем точные числа будем обозначать заглавными буквами , а соответствующие им приближенные – строчными Погрешности, возникающие на том или ином этапе решения задачи можно условно разделить на три типа: 1) Погрешность задачи. Этот тип погрешности возникает при построении математической модели явления. Далеко не всегда оказывается возможным учесть все факторы и степень их влияния на окончательный результат. То есть, математическая модель объекта не является его точным образом, не является точным его описание. Такая погрешность является неустранимой. 2) Погрешность метода. Эта погрешность возникает в результате подмены исходной математической модели более упрощенной, например, в некоторых задачах корреляционного анализа приемлемой является линейная модель. Такая погрешность является устранимой, так как на этапах вычисления она может свестись к сколь угодно малой величине. 3) Вычислительная («машинная») погрешность. Возникает при выполнении арифметических операций компьютером. Определение 1.1. Пусть – точное значение величины (числа), – приближенное значение той же величины (). Истинной абсолютной погрешностью приближенного числа называется модуль разности точного и приближенного значений: . (1.1) Пусть, например, =1/3. При вычислении на МК дали результат деления 1 на 3 как приближенное число =0,33. Тогда . Однако в действительности в большинстве случаев точное значение величины не известно, а значит, нельзя применять (1.1), то есть нельзя найти истинную абсолютную погрешностью. Поэтому вводят другую величину, служащей некоторой оценкой (верхней границей для ). Определение 1.2. Предельной абсолютной погрешностью приближенного числа , представляющее неизвестное точное число , называется такое возможно меньшее число, которого не превосходит истинная абсолютная погрешность , то есть . (1.2) Для приближенного числа величин , удовлетворяющих неравенству (1.2), существует бесконечно много, но самым ценным из них будет наименьшее из всех найденных. Из (1.2) на основании определения модуля имеем , или сокращенно в виде равенства . (1.3) Равенство (1.3) определяет границы, в которых находится неизвестное точное число (говорят, что приближенное число выражает точное с предельной абсолютной погрешностью). Нетрудно видеть, что чем меньше , тем точнее определяются эти границы. Например, если измерения некоторой величины дали результат см, при этом точность этих измерений не превосходила 1 см, то истинная (точная) длина см. Пример 1.1. Дано число . Найти предельную абсолютную погрешность числа числом . Решение: Из равенства (1.3) для числа ( =1,243; =0,0005) имеем двойное неравенство , то есть Тогда задача ставится так: найти для числа предельную абсолютную погрешность , удовлетворяющую неравенству . Учитывая условие (*), получим (в (*) вычитаем из каждой части неравенства) Так как в нашем случае , то , откуда =0,0035. Ответ: =0,0035. Предельная абсолютная погрешность часто плохо дает представление о точности измерений или вычислений. Например, =1 м при измерениях длины здания укажет, что они проводились не точно, а та же погрешность =1 м при измерениях расстояния между городами дает очень качественную оценку. Поэтому вводят другую величину. Определение 1.3. Истинной относительной погрешностью числа , являющегося приближенным значением точного числа , называется отношение истинной абсолютной погрешности числа к модулю самого числа : . (1.4) Например, если соответственно точное и приближенное значения, то Однако формула (1.4) неприменима, если не известно точное значение числа. Поэтому по аналогии с предельной абсолютной погрешностью вводят предельную относительную погрешность. Определение 1.4. Предельной относительной погрешностью числа , являющегося приближенным значением неизвестного точного числа , называется возможно меньшее число , которого не превосходит истинная относительная погрешность , то есть . (1.5) Из неравенства (1.2) имеем ; откуда, учитывая (1.5) Формула (1.6) имеет большую практическую применимость по сравнению с (1.5), так как в ней не участвует точное значение. Учитывая (1.6), (1.3), можно найти границы, в которых заключается точное значение неизвестной величины. Понравилась статья? Поделитесь ей Рекомендуем статьи по теме «Бог Кузя» превратил в притон квартиру и издевался над последователями Видеорепортаж о секте бога Кузи на канале НТВ Чудотворения по молитвам преподобного игумена мефодия пешношского чудотворца Как приготовить салат из свежих кабачков: рецепты с фото Салат из кабачков овощечисткой Посетители сейчас обсуждают Здание известие. Известия Холестерин Космическая Лайка: собака, растрогавшая весь мир Число рождения для мужчины Тромбоз Рецепт: Кекс на сливках - с белковой глазурью Простой рецепт кекса с обилием сухофруктов Другие заболевания Мужские имена и их значение Заболевания сердца