Умножение одночленов, возведение в натуральную степень. Видеоурок «Умножение одночленов

>>Математика: Умножение одночленов, Возведение одночлена в натуральную степень

Умножение одночленов. Возведение одночлена в натуральную степень

Найти произведение трех одночленов: 2a 2 bc 5 ,
Решение. Имеем:

Упростить выражение (- 2a 2 bc 3) 5 (т. е. представить его в виде одночлена).

Р е ш е н и е. (- 2a 2 bc 3) 5 = - 2 5 (a 2) 5 b 5 (c 3) 5 =-32a 10 b 5 c15.

Мы использовали, во-первых, то, что при возведении произведения в степень надо возвести в эту степень каждый множитель. Поэтому у нас появилась запись 2 5 (a 2) 5 b5(c 3) 5 .

Во-вторых, мы воспользовались тем, что (- 2) 5 = - 2 5 .

В-третьих, мы использовали то, что при возведении степени в степень показатели перемножаются. Поэтому вместо (а 2) 5 мы написали а 10 , а вместо (с 3) 5 мы написали с 15 .

Представить одночлен 36a 2 b 4 c 5 в виде произведения одночленов.

Решение. Здесь, как и в примере 2 из § 10, решение не единственно. Вот несколько вариантов решения:

36a 2 b 4 c 5 =(18a 2) (2b 4 c 5);
36a 2 b 4 c 5 =(36abc) (аb 3 с 4),
36а 2 b 4 c 5 = (- Зb 4) (- 12а 2 с 5);
36а 2 b 4 c 5 =(2a 3) (3bc) (6b 3 c 4)

Попробуйте сами придумать еще несколько решений примера 3.

А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений

Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки

Определение умножения одночлена на одночлен полагает возведение одночлена в степень. В данной статье рассмотрим решение примеров с натуральным показателем со всеми нюансами.

Правило произведения одночлена в степень

Для возведения одночлена в степень необходимо разделить все действие на несколько этапов.

Рассмотрим на решении многочлена стандартного вида 2 · x · y 5 . При возведении в 3 степень получим, что (2 · x · y 5) 3 . При подробном рассмотрении видно, что он состоит из множителей вида 2 , x и y 5 . Тогда можно проводить тождественное преобразование с применением свойств степени.

На начальном этапе получаем, что (2 · x · y 5) 3 = 2 3 · x 3 · (y 5) 3 , после чего производим замену (y 5) 3 на y 15 , тогда получим выражение вида 2 3 · x 3 · (y 5) 3 = 2 3 · x 3 · y 15 . Можно поработать с возведением в степень числа 2. Получаем, что 2 3 = 8 можно заменить на 8 · x 3 · y 15 . Это и есть многочлен стандартного вида.

Определение 1

Существуют правила возведения одночлена в степень :

• произвести запись выражения;
• применение свойства возведения произведения в степень;
• применение свойства возведения степени в степень и вычислить степень чисел.

Определение 2

Результат возведения одночлена в степень является новым одночленом. При стандартном его виде при возведении также получим многочлен стандартного вида.

Примеры

Рассмотрим примеры решения на возведение многочленов в степень.

Пример 1

Возвести в степень многочлены (x · y) 10 , - 1 4 · x , (− 0 , 3 · a 2 · b 3 · c 4) 3 .

Решение

Чтобы возвести в степень необходимо задействовать правило возведения в степень вида (x · y) 10 = x 10 · y 10 , тогда видим, что полученное выражение не имеет степеней в степени. Тогда нужно переходить к следующему шагу. Получим, что

1 1 4 · x 2 = - 1 1 4 2 · x 2

Последнее выражение имеет дробь вида - 1 1 4 2 , которую необходимо заменить. Тогда - 1 1 4 2 = - 1 1 4 2 · x 2 = 1 9 16 · x 2 , то - 1 1 4 2 · x 2 = 1 9 16 · x 2

Краткая запись выглядит таким образом:

1 1 4 · x 2 = - 1 1 4 2 · x 2 = 1 9 16 · x 2

Теперь необходимо выполнить возведение произведения в степень:

(− 0 , 3 · a 2 · b 3 · c 4) 3 = (− 0 , 3) 3 · (a 2) 3 · (b 3) 3 · (c 4) 3 .

После использования свойства степени получаем, что нужно произвести вычисление (− 0 , 3) 3 . Видно, что

(a 2) 3 = a 2 · 3 = a 6 , (b 3) 3 = b 3 · 3 = b 9 , (c 4) 3 = c 4 · 3 = c 12

(− 0 , 3) 3 = (− 0 , 3) · (− 0 , 3) · (− 0 , 3) = − 0 , 027 , тогда получим, что − 0 , 027 · a 6 · b 9 · c 12 .

Краткое решение изображается таким образом: (− 0 , 3 · a 2 · b 3 · c 4) 3 = (− 0 , 3) 3 · (a 2) 3 · (b 3) 3 · (c 4) 3 = − 0 , 027 · a 6 · b 9 · c 12 .

Ответ : (x · y) 10 = x 10 · y 10 , - 1 1 4 · x = 1 9 16 · x 2 и (− 0 , 3 · a 2 · b 3 · c 4) 3 = − 0 , 027 · a 6 · b 9 · c 12

Следующий пример покажет возведение в степень одночлена нестандартного вида.

Пример 2

Возвести в квадрат многочлен вида 2 · x 3 · 5 · x .

Решение

По условию имеем, что многочлен записан не в стандартном виде. Значит, необходимо произвести возведение в квадрат. Тогда получим выражение вида (2 · x 3 · 5 · x) 2 = 2 2 · (x 3) 2 · 5 2 · x 2 = 4 · x 6 · 25 · x 2 . При полученном одночлене следует перейти к стандартному виду 100 · x 8 .

Исходное выражение запишем как 2 · x 3 · 5 · x = 10 · x 4 , после чего выполним возведение во 2 степень. Получим: (10 · x 4) 2 = 10 2 · (x 4) 2 = 100 · x 8 .

Понятно, что результат эквивалентен. То есть для решения можно приводить выражение к стандартному виду либо решать как дано по условию, результат будет один.

Ответ: (2 · x 3 · 5 · x) 2 = 100 · x 8 .

При возведении в степень имеется нюанс при наличии минуса перед многочленом. Если имеем выражение типа − a 4 · b 7 · c 2 , тогда получаем, что - 1 является коэффициентом многочлена. Допускается его запись в явном виде.

Пример 3

Возвести в степень (− x 2 · y 4) 3 .

Решение

По условию имеем, что - 1 является коэффициентом выражения, тогда необходимо сделать запись в явном виде: (− x 2 · y 4) 3 = (− 1 · x 2 · y 4) 3 . Действуя по правилам возведения в степень, получаем, что выражение принимает вид (− 1 · x 2 · y 4) 3 = (− 1) 3 · (x 2) 3 · (y 4) 3 = − 1 · x 6 · y 12 . Наличие коэффициента - 1 записывается просто как − x 6 · y 12

Искомое выражение имеет вид (− x 2 · y 4) 3 = (− 1 · x 2 · y 4) 3 = (− 1) 3 · (x 2) 3 · (y 4) 3 = − 1 · x 6 · y 12 = − x 6 · y 12 .

Ответ: (− x 2 · y 4) 3 = − x 6 · y 12 .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Цели урока

Обучающие: организовать деятельность учащихся на: восприятие, осмысление и первичное закрепление знаний, умений, а так же опыта самостоятельной деятельности по теме “Умножение одночленов. Возведение одночлена в степень”

Воспитательная: воспитывать умение преодолевать трудности, воспитывать сознательную дисциплину.

Развивающая: развивать умение выделять главное, формировать овладение навыками самооценки, формировать познавательный интерес к математике.

Ход урока

1. Организационный момент (Задача этапа: подготовка учащихся к работе на занятии. Полная готовность класса и оборудования, быстрое включение учащихся в деловой ритм.)

2. Актуализация знаний учащихся

Учитель: Ребята, вы знаете кто такие следопыты? А вы бы хотели быть следопытами? Так сегодня у будет возможность доказать всем, что вы самый лучший следопыт. Что на вас можно смело положиться, что вы умеете преодолевать все трудности, возникшие у вас на пути. Хотите это сделать? Тогда вперёд к новым знаниям!!!

Итак, вперед зарабатывать звёздочки.

Проверим домашнее задание.

Для домашнего решения ученики получили три номера по два примера в каждом.

(на доске записаны ответы отдельно к каждому номеру, ученики работая в парах, сверяются, если пример решен верно, то 1 бонус заносят себе в карту достижений, если ошибка, то о бонусов, итак за каждый пример.)

Учитель: переходим ко второму уровню

Учитель предлагает ученикам перечислить правила, которые они применяли при выполнении домашнего задания. (за каждое правило дополнительный бонус)

Разгадайте кроссворд

Вопросы к кроссворду:

По вертикали:

2. Числовой множитель в одночлене стандартного вида.

3. Чему равен коэффициент одночлена а 5 вс 5 .

4. Чему равна степень одночлена 85?

5. Чему равна степень одночлена 10 2 ху 5 z 2 ?

6. Чему равно (-2) 2 ?

7. Какое число получается при возведении отрицательного числа в нечётную степень?

8. Сумма показателей всех переменных одночлена.

9. Вид одночлена, в котором на первом месте числовой множитель, а за ним степени различных переменных.

Одночлен - произведение, состоящее из числового множителя (коэффициента) и одной или нескольких букв, взятых каждая с тем или иным показателем степени.

3. Изучение нового материала

Учитель: Еще древние мудрецы считали, что “Величие человека в его способности мыслить”. Нам сегодня предстоит на основании имеющихся у нас знаний получить новое знание.

Приведите пример одночлена, у которого 2 буквенных множителя

Приводят пример, например (1 бонус) я записываю свой

(-5х 25 у 4 ) запишем их следующим образом

(-5х 25 у 4 )

(произведение одночленов)

Учитель: Давайте попробуем вывести правило умножения одночленов?

(ученики на основе имеющихся знаний формулируют правило умножения одночленов) 3 звёздочки

Учитель: Какой закон умножения применяется при умножении одночленов? (переместительный закон умножения) 2 звёздочки

Учитель: Какие правила еще можно выделить в правиле умножения многочленов?

Возможные ответы учащихся:

Правило умножения степеней с одинаковыми основаниями 2 звёздочки

Учитель: В этом примере мы выполнили …(умножение одночленов)

Таким образом, мы сделали первое открытие … (как умножаются одночлены)

Выводится слайд с правилом умножения одночленов. Ученикам предлагается еще два примера на применение правила умножения одночленов к доске для решения вызываются ученики, работающие на воспроизводящем уровне.

Учитель: Составим новый пример

Приведите пример одночлена, у которого 3 буквенных множителя

Например

Записываю

Учитель: Что я хочу сделать с многочленом?

Ответ учащихся (Возвести во вторую степень)

Учитель: Как это можно сделать?

Ответ учащихся (записать как произведение одночленов и выполнить умножение)

Ответ учащихся (выполнить возведение в степень, пользуясь правилом возведения в степень произведения)

Учитель: Как удобнее возводить одночлен в степень?

Ответ учащихся 2 способом.

Учитель: Почему? Обоснуйте.

(ответ учащихся)

Учитель: Значит, мы сделали второе открытие …(вывели правило возведения одночлена в степень) 2 звёздочки

Учитель: Запишем тему урока “Возведение одночлена в степень”

Учитель: На уроке мы сегодня будем работать с выражениями, которые называются (одночлены)

Учитель: Сегодня мы будем возводить одночлены в степень

Правила этих действий мы открыли, теперь будем учиться применять их при решении примеров.

Итак, уровень, 5

Впрочем, сделаем небольшую остановку, дадим себе немного отдохнуть, сейчас я буду читать вам задания, а вы будите в воздухе чертить ответ, взяв в руки ручки и внимательно следя за ее кончиком

Если вдруг поставить в ряд букву с 7 раз подряд, и чтоб долго не писать можно вот как записать (дети чертят в воздухе ручкой с 7)

а в квадрате в в седьмой в третью степень возводили и конечно получили а в шестой в 21 (дети чертят в воздухе ответ)

после физкультминутки

5. Закрепление знаний

Решим №477 (а,б,г), 483(а,б,в)

Молодцы мы справились, но усложним задачу

6. Самостоятельная работа

1 вариант	2вариант	3 вариант
(1 уровень)	(2 уровень)	(3 уровень)
1. 2,5ху * 4ху	1. –ав * (-6а 2 в 5 с 2)	1. -100х 3 * 0,1х
2. (3а 2) 4	2. -10а * 0,1а 3	2. (-2 2 ху) 2
3. 4х * 7у	3. 10 2 а 1 * а 4	3. –а 0 (-а 2) 2
4. 2а 2 вс * 0,5ав 2 с 3	4. (2 2 ху) 2	4. (-10а) 2 * а 3
5. (4ху) 2	5. 3а 2 * 3а 2	5. -1,4х * (-20у)
6. -а 2 * а 2	6. 0,5а 2 в * 2в 2 с* ас 3	6. -0,5а 2 в * 2в 2 с *(- ас 3)

Проверка самостоятельной работы

7. Подведение итогов занятий. (Задача этапа: дать анализ и оценку успешности достижения цели и наметить перспективу последующей работы. Адекватность самооценки учащегося оценке учителя. Получение учащимися информации о реальных результатах учения.)

• Какая была сегодня тема урока?
• Какие открытия мы сделали?
• Сформулируем открытые правила? Ученики дают ответы. Каждый верный ответ – 1 звёздочка
• Посчитайте звёздочки

8. Домашнее задание

Обязательное №488(а-в), №484(а-в), 480(а,г)

Дополнительное 1) №493(з)

2) придумай сказку или стих “жил, да был одночлен”.

§ 1 Умножение одночленов. Возведение в степень

В этом уроке мы научимся умножать одночлены, а также познакомимся с правилами возведения одночленов в натуральную степень.

Начнём с примера. Выполнить умножение одночлена 2аb4 на одночлен -3а2b. Посмотрите, как выглядит это задание, записанное на математическом языке:

2аb4 ∙ (-3а2b)

На самом деле перед нами записан новый одночлен - одночлен нестандартного вида. И нам остается только привести его к стандартному виду. Вспомним:

Одночлен стандартного вида - это одночлен, состоящий из произведения только одного числового множителя, стоящего на первом месте, и буквенных множителей, каждый из которых встречается только один раз.

В нашем примере нам надо будет перемножить числовые множители 2 и -3, затем выполнить умножение степеней с одинаковыми основаниями а и b. Получим:

2аb4∙ (-3а2b) = 2 ∙ (-3) ∙ а ∙ а2 ∙ b4 ∙ b = -6а3b5

Как видите, выполнение умножения одночленов не требует каких-либо дополнительных правил. Можно выполнять и обратную операцию, т.е. представлять одночлен в виде произведения двух или нескольких одночленов. Например, представить одночлен 12а3b6 в виде произведения двух одночленов. Данная задача может иметь несколько вариантов решения:

12а3b6 = (2аb) ∙ (6а2b5) или 12а3b6 = (4а2b3) ∙ (3аb3) или 12а3b6 = (-а3вb4) ∙ (-12b2) и т.д.

Теперь перейдём к возведению одночлена в натуральную степень. И опять начнём с примера. Возвести в квадрат одночлен 4х3у5. Запишем эту ситуацию на математическом языке, получим запись:

Видим возведение в степень произведения, а такое правило нам уже знакомо.

Чтобы возвести в степень произведение, надо возвести в эту степень каждый множитель. Кроме того, чтобы возвести степень в степень, надо основание оставить прежним, а показатели перемножить.

(4х3у5)2 = 42 ∙ (х3)2 ∙ (у5)2 = 16 х6у10

Здесь также можно выполнять обратные действия, т.е. представлять одночлен в виде степени какого-либо другого одночлена.

§ 2 Примеры по теме урока

Пример 1. Представить одночлен 27а3b6 в виде куба другого одночлена.

Заметим, что 27 = 33; а3 есть куб числа а; b6 можно представить как (b2)3.

27а3b6 = (3аb2)3

Пример 2. Представить одночлен 27а3b6 в виде квадрата какого-либо одночлена.ъ

Заметим, что множитель b6 можно представить в виде (b3)2. А вот число 27 не является квадратом какого-либо числа, да и множитель а3 нельзя представить в виде квадрата какой-либо натуральной степени. Всё это говорит о том, что перед нами задача, не имеющая решений. В таких случаях математики употребляют термин некорректная задача. К некорректным относятся различные виды заведомо невыполнимых задач. Например, некорректным является задание сложить одночлены 2а и 3b, т.к. это неподобные одночлены, их складывать нельзя. Или такое задание:

На 0 делить нельзя, поэтому данное задание некорректно.

Список использованной литературы:

1. Мордкович А.Г, Алгебра 7 класс в 2 частях, Часть 1, Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович. – 10 – е изд., переработанное – Москва, «Мнемозина», 2007
2. Мордкович А.Г., Алгебра 7 класс в 2 частях, Часть 2, Задачник для общеобразовательных учреждений/ [А.Г. Мордкович и др.]; под редакцией А.Г. Мордковича – 10-е издание, переработанное – Москва, «Мнемозина», 2007
3. Е.Е. Тульчинская, Алгебра 7 класс. Блиц опрос: пособие для учащихся общеобразовательных учреждений, 4-е издание, исправленное и дополненное, Москва, «Мнемозина», 2008
4. Александрова Л.А., Алгебра 7 класс. Тематические проверочные работы в новой форме для учащихся общеобразовательных учреждений, под редакцией А.Г. Мордковича, Москва, «Мнемозина», 2011
5. Александрова Л.А. Алгебра 7 класс. Самостоятельные работы для учащихся общеобразовательных учреждений, под редакцией А.Г. Мордковича – 6-е издание, стереотипное, Москва, «Мнемозина», 2010

Это позволяет ввести еще одно действие – возведение одночлена в степень . Ниже мы получим правило возведения одночлена в степень с натуральным показателем, и рассмотрим решения примеров, чтобы разобрать все нюансы.

Навигация по странице.

Правило возведения одночлена в степень

Проследим все шаги, которые необходимо предпринять, чтобы возвести одночлен в степень. Это проще всего сделать, рассмотрев конкретный пример.

Возьмем одночлен стандартного вида , например, 2·x·y 5 , и возведем его, к примеру, в третью степень. Поставленной задаче отвечает выражение (2·x·y 5) 3 , представляющее собой произведение трех множителей 2 , x и y 5 в третьей степени. Можно провести тождественное преобразование записанного выражения, причем сразу напрашивается применение . Сначала используем свойство степени произведения: (2·x·y 5) 3 =2 3 ·x 3 ·(y 5) 3 . Теперь, обратившись к свойству степени в степени, (y 5) 3 заменяем на y 15 , и получаем 2 3 ·x 3 ·(y 5) 3 =2 3 ·x 3 ·y 15 . Еще можно выполнить числа 2 . Так как 2 3 =8 , то в итоге приходим к выражению 8·x 3 ·y 15 . Очевидно, оно представляет собой одночлен стандартного вида.

Из приведенных рассуждений, во-первых, отчетливо видны все действия, из которых состоит процесс возведения одночлена в степень. Соберем их вместе в виде правила возведения одночлена в степень .

Чтобы возвести одночлен в степень, нужно

• записать соответствующее выражение;
• применить свойство возведения произведения в степень;
• применить свойство возведения степени в степень и вычислить степени чисел.

Во-вторых, из разобранного выше примера видно, что результатом возведения одночлена в степень является новый одночлен . Здесь отметим, что если исходный одночлен записан в стандартном виде, то после его возведения в степень получится одночлен стандартного вида. Если же исходный одночлен дан в виде, отличном от стандартного, то целесообразно этот одночлен привести к стандартному виду перед возведением в степень. Если этого не сделать, то к стандартному виду придется приводить одночлен, полученный после применения записанного выше правила. Мы еще вернемся к этому моменту в следующем пункте.

Примеры

Пришло время решить несколько примеров возведения одночленов в степень. Это поможет отработать применение правила из предыдущего пункта. Начнем с простеньких примеров.

Пример.

Возведите одночлены в указанные степени: (x·y) 10 , и (−0,3·a 2 ·b 3 ·c 4) 3 .

Решение.

Для возведения в степень первого одночлена применяем правило возведения произведения в степень: (x·y) 10 =x 10 ·y 10 . Больше делать ничего не нужно, так как в полученном выражении нет ни степеней в степени, ни степеней чисел.

Переходим дальше. Сначала выполняем такой переход: . В последнем выражении осталось степень заменить ее значением. Так как , то .

Кратко возведение одночлена в степень для этого случая выглядит так: .

Переходим к последнему заданию. Сначала выполняем возведение произведения в степень: (−0,3·a 2 ·b 3 ·c 4) 3 =(−0,3) 3 ·(a 2) 3 ·(b 3) 3 ·(c 4) 3 . Осталось воспользоваться свойством степени в степени, а также вычислить (−0,3) 3 . Так как (a 2) 3 =a 2·3 =a 6 , (b 3) 3 =b 3·3 =b 9 , (c 4) 3 =c 4·3 =c 12 и (−0,3) 3 =(−0,3)·(−0,3)·(−0,3)=−0,027 , то в итоге имеем −0,027·a 6 ·b 9 ·c 12 .

Вот краткое решение: (−0,3·a 2 ·b 3 ·c 4) 3 = (−0,3) 3 ·(a 2) 3 ·(b 3) 3 ·(c 4) 3 = −0,027·a 6 ·b 9 ·c 12 .

Ответ:

(x·y) 10 =x 10 ·y 10 , и (−0,3·a 2 ·b 3 ·c 4) 3 =−0,027·a 6 ·b 9 ·c 12 .

В следующем примере убедимся, что в результате возведения в степень одночлена в виде, отличном от стандартного, и соответствующего ему одночлена в стандартном виде, получаются тождественно равные одночлены.

Пример.

Выполните возведение одночлена 2·x 3 ·5·x в квадрат.

Решение.

Исходный одночлен записан не в стандартном виде. Возведем его в квадрат: (2·x 3 ·5·x) 2 =2 2 ·(x 3) 2 ·5 2 ·x 2 =4·x 6 ·25·x 2 . Если полученный одночлен представить в стандартном виде, то он примет вид 100·x 8 .

А теперь сначала исходный многочлен запишем в стандартном виде 2·x 3 ·5·x=10·x 4 , а теперь выполним возведение полученного одночлена во вторую степень: (10·x 4) 2 =10 2 ·(x 4) 2 =100·x 8 .

Очевидно, мы получили один и тот же результат. Таким образом, можно возводить в степень одночлены в виде, отличном от стандартного, либо сначала приводить их к стандартному виду, после чего возводить в степень, - результат будет один.

Ответ:

(2·x 3 ·5·x) 2 =100·x 8 .

Наконец, стоит обратить внимание на возведение в степень одночленов, которые не содержат числовых множителей, но перед ними стоит знак минус, например, −x , −a 4 ·b 7 ·c 2 и т.п. В этих случаях коэффициент одночлена равен −1 , и его не помешает записать в явном виде перед выполнением возведения в степень. Это поможет избежать ошибок.