Решим методом интервалов найдем. Решение рациональных неравенств методом интервалов

Метод интервалов – простой способ решения дробно-рациональных неравенств. Так называются неравенства, содержащие рациональные (или дробно-рациональные) выражения, зависящие от переменной.

1. Рассмотрим, например, такое неравенство

Метод интервалов позволяет решить его за пару минут.

В левой части этого неравенства – дробно-рациональная функция. Рациональная, потому что не содержит ни корней, ни синусов, ни логарифмов – только рациональные выражения. В правой – нуль.

Метод интервалов основан на следующем свойстве дробно-рациональной функции.

Дробно-рациональная функция может менять знак только в тех точках, в которых она равна нулю или не существует.

Напомним, как раскладывается на множители квадратный трехчлен, то есть выражение вида .

Где и - корни квадратного уравнения .

Рисуем ось и расставляем точки, в которых числитель и знаменатель обращаются в нуль.

Нули знаменателя и - выколотые точки, так как в этих точках функция в левой части неравенства не определена (на нуль делить нельзя). Нули числителя и - закрашены, так как неравенство нестрогое. При и наше неравенство выполняется, так как обе его части равны нулю.

Эти точки разбивают ось на промежутков.

Определим знак дробно-рациональной функции в левой части нашего неравенства на каждом из этих промежутков. Мы помним, что дробно-рациональная функция может менять знак только в тех точках, в которых она равна нулю или не существует. Это значит, что на каждом из промежутков между точками, где числитель или знаменатель обращаются в нуль, знак выражения в левой части неравенства будет постоянным - либо "плюс", либо "минус".

И поэтому для определения знака функции на каждом таком промежутке мы берем любую точку, принадлежащую этому промежутку. Ту, которая нам удобна.
. Возьмем, например, и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая из "скобок" отрицательная. Левая часть имеет знак .

Следующий промежуток: . Проверим знак при . Получаем, что левая часть поменяла знак на .

Возьмем . При выражение положительно - следовательно, оно положительно на всем промежутке от до .

При левая часть неравенства отрицательна.

И, наконец, class="tex" alt="x>7"> . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая "скобочка" положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .

Мы нашли, на каких промежутках выражение положительно. Осталось записать ответ:

Ответ: .

Обратите внимание: знаки на промежутках чередуются. Это произошло потому, что при переходе через каждую точку ровно один из линейных множителей поменял знак, а остальные сохранили его неизменным .

Мы видим, что метод интервалов очень прост. Чтобы решить дробно-рациональное неравенство методом интервалов, приводим его к виду:

Или class="tex" alt="\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle P\left(x \right)}{\displaystyle Q\left(x \right)} > 0"> , или , или .

(в левой части - дробно-рациональная функция, в правой - нуль).

Затем - отмечаем на числовой прямой точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в нуль.
Эти точки разбивают всю числовую прямую на промежутки, на каждом из которых дробно-рациональная функция сохраняет свой знак.
Остается только выяснить ее знак на каждом промежутке.
Мы делаем это, проверяя знак выражения в любой точке, принадлежащей данному промежутку. После этого - записываем ответ. Вот и всё.

Но возникает вопрос: всегда ли знаки чередуются? Нет, не всегда! Надо быть внимательным и не расставлять знаки механически и бездумно.

2. Рассмотрим еще одно неравенство.

Class="tex" alt="\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \left(x-2 \right)^2}{\displaystyle \left(x-1 \right)\left(x-3 \right)}>0">

Снова расставляем точки на оси . Точки и - выколотые, поскольку это нули знаменателя. Точка - тоже выколота, поскольку неравенство строгое.

При числитель положителен, оба множителя в знаменателе отрицательны. Это легко проверить, взяв любое число с данного промежутка, например, . Левая часть имеет знак :

При числитель положителен; первый множитель в знаменателе положителен, второй множитель отрицателен. Левая часть имеет знак :

При ситуация та же! Числитель положителен, первый множитель в знаменателе положителен, второй отрицателен. Левая часть имеет знак :

Наконец, при class="tex" alt="x>3"> все множители положительны, и левая часть имеет знак :

Ответ: .

Почему нарушилось чередование знаков? Потому что при переходе через точку "ответственный" за неё множитель не изменил знак . Следовательно, не изменила знак и вся левая часть нашего неравенства.

Вывод: если линейный множитель стоит в чётной степени (например, в квадрате), то при переходе через точку знак выражения в левой части не меняется . В случае нечётной степени знак, разумеется, меняется.

3. Рассмотрим более сложный случай. От предыдущего отличается тем, что неравенство нестрогое:

Левая часть та же, что и в предыдущей задаче. Та же будет и картина знаков:

Может, и ответ будет тем же? Нет! Добавляется решение Это происходит потому, что при и левая, и правая части неравенства равны нулю - следовательно, эта точка является решением.

Ответ: .

В задаче на ЕГЭ по математике такая ситуация встречается часто. Здесь абитуриенты попадают в ловушку и теряют баллы. Будьте внимательны!

4. Что делать, если числитель или знаменатель не удается разложить на линейные множители? Рассмотрим такое неравенство:

Квадратный трехчлен на множители разложить нельзя: дискриминант отрицателен, корней нет. Но ведь это и хорошо! Это значит, что знак выражения при всех одинаков, а конкретно - положителен. Подробнее об этом можно прочитать в статье о свойствах квадратичной функции .

И теперь мы можем поделить обе части нашего неравенства на величину , положительную при всех . Придём к равносильному неравенству:

Которое легко решается методом интервалов.

Обратите внимание - мы поделили обе части неравенства на величину, о которой точно знали, что она положительна. Конечно, в общем случае не стоит умножать или делить неравенство на переменную величину, знак которой неизвестен.

5 . Рассмотрим еще одно неравенство, на вид совсем простое:

Так и хочется умножить его на . Но мы уже умные, и не будем этого делать. Ведь может быть как положительным, так и отрицательным. А мы знаем, что если обе части неравенства умножить на отрицательную величину - знак неравенства меняется.

Мы поступим по другому - соберём всё в одной части и приведём к общему знаменателю. В правой части останется нуль:

Class="tex" alt="\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle x-2}{\displaystyle x}>0">

И после этого - применим метод интервалов .

Для начала — немного лирики, чтобы почувствовать проблему, которую решает метод интервалов. Допустим, нам надо решить вот такое неравенство:

(x − 5)(x + 3) > 0

Какие есть варианты? Первое, что приходит в голову большинству учеников — это правила «плюс на плюс дает плюс» и «минус на минус дает плюс». Поэтому достаточно рассмотреть случай, когда обе скобки положительны: x − 5 > 0 и x + 3 > 0. Затем также рассмотрим случай, когда обе скобки отрицательны: x − 5 < 0 и x + 3 < 0. Таким образом, наше неравенство свелось к совокупности двух систем, которая, впрочем, легко решается:

Более продвинутые ученики вспомнят (может быть), что слева стоит квадратичная функция, график которой — парабола. Причем эта парабола пересекает ось OX в точках x = 5 и x = −3. Для дальнейшей работы надо раскрыть скобки. Имеем:

x 2 − 2x − 15 > 0

Теперь понятно, что ветви параболы направлены вверх, т.к. коэффициент a = 1 > 0. Попробуем нарисовать схему этой параболы:

Функция больше нуля там, где она проходит выше оси OX . В нашем случае это интервалы (−∞ −3) и (5; +∞) — это и есть ответ.

Обратите внимание: на рисунке изображена именно схема функции , а не ее график. Потому что для настоящего графика надо считать координаты, рассчитывать смещения и прочую хрень, которая нам сейчас совершенно ни к чему.

Почему эти методы неэффективны?

Итак, мы рассмотрели два решения одного и того же неравенства. Оба они оказались весьма громоздкими. В первом решении возникает — вы только вдумайтесь! — совокупность систем неравенств. Второе решение тоже не особо легкое: нужно помнить график параболы и еще кучу мелких фактов.

Это было очень простое неравенство. В нем всего 2 множителя. А теперь представьте, что множителей будет не 2, а хотя бы 4. Например:

(x − 7)(x − 1)(x + 4)(x + 9) < 0

Как решать такое неравенство? Перебирать все возможные комбинации плюсов и минусов? Да мы уснем быстрее, чем найдем решение. Рисовать график — тоже не вариант, поскольку непонятно, как ведет себя такая функция на координатной плоскости.

Для таких неравенств нужен специальный алгоритм решения, который мы сегодня и рассмотрим.

Что такое метод интервалов

Метод интервалов — это специальный алгоритм, предназначенный для решения сложных неравенств вида f (x ) > 0 и f (x ) < 0. Алгоритм состоит из 4 шагов:

Решить уравнение f (x ) = 0. Таким образом, вместо неравенства получаем уравнение, которое решается намного проще;
Отметить все полученные корни на координатной прямой. Таким образом, прямая разделится на несколько интервалов;
Выяснить знак (плюс или минус) функции f (x ) на самом правом интервале. Для этого достаточно подставить в f (x ) любое число, которое будет правее всех отмеченных корней;
Отметить знаки на остальных интервалах. Для этого достаточно запомнить, что при переходе через каждый корень знак меняется.

Вот и все! После этого останется лишь выписать интервалы, которые нас интересуют. Они отмечены знаком «+», если неравенство имело вид f (x ) > 0, или знаком «−», если неравенство имеет вид f (x ) < 0.

На первый взгляд может показаться, что метод интервалов — это какая-то жесть. Но на практике все будет очень просто. Стоит чуть-чуть потренироваться — и все станет понятно. Взгляните на примеры — и убедитесь в этом сами:

Задача. Решите неравенство:

(x − 2)(x + 7) < 0

Работаем по методу интервалов. Шаг 1: заменяем неравенство уравнением и решаем его:

(x − 2)(x + 7) = 0

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

x − 2 = 0 ⇒ x = 2;
x + 7 = 0 ⇒ x = −7.

Получили два корня. Переходим к шагу 2: отмечаем эти корни на координатной прямой. Имеем:

Теперь шаг 3: находим знак функции на самом правом интервале (правее отмеченной точки x = 2). Для этого надо взять любое число, которое больше числа x = 2. Например, возьмем x = 3 (но никто не запрещает взять x = 4, x = 10 и даже x = 10 000). Получим:

f (x ) = (x − 2)(x + 7);
x = 3;
f (3) = (3 − 2)(3 + 7) = 1 · 10 = 10;

Получаем, что f (3) = 10 > 0, поэтому в самом правом интервале ставим знак плюс.

Переходим к последнему пункту — надо отметить знаки на остальных интервалах. Помним, что при переходе через каждый корень знак должен меняться. Например, справа от корня x = 2 стоит плюс (мы убедились в этом на предыдущем шаге), поэтому слева обязан стоять минус.

Этот минус распространяется на весь интервал (−7; 2), поэтому справа от корня x = −7 стоит минус. Следовательно, слева от корня x = −7 стоит плюс. Осталось отметить эти знаки на координатной оси. Имеем:

Вернемся к исходному неравенству, которое имело вид:

(x − 2)(x + 7) < 0

Итак, функция должна быть меньше нуля. Значит, нас интересует знак минус, который возникает лишь на одном интервале: (−7; 2). Это и будет ответ.

Задача. Решите неравенство:

(x + 9)(x − 3)(1 − x ) < 0

Шаг 1: приравниваем левую часть к нулю:

(x + 9)(x − 3)(1 − x ) = 0;
x + 9 = 0 ⇒ x = −9;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3;
1 − x = 0 ⇒ x = 1.

Помните: произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Именно поэтому мы вправе приравнять к нулю каждую отдельную скобку.

Шаг 2: отмечаем все корни на координатной прямой:

Шаг 3: выясняем знак самого правого промежутка. Берем любое число, которое больше, чем x = 1. Например, можно взять x = 10. Имеем:

f (x ) = (x + 9)(x − 3)(1 − x );
x = 10;
f (10) = (10 + 9)(10 − 3)(1 − 10) = 19 · 7 · (−9) = − 1197;
f (10) = −1197 < 0.

Шаг 4: расставляем остальные знаки. Помним, что при переходе через каждый корень знак меняется. В итоге наша картинка будет выглядеть следующим образом:

Вот и все. Осталось лишь выписать ответ. Взгляните еще раз на исходное неравенство:

(x + 9)(x − 3)(1 − x ) < 0

Это неравенство вида f (x ) < 0, т.е. нас интересуют интервалы, отмеченные знаком минус. А именно:

x ∈ (−9; 1) ∪ (3; +∞)

Это и есть ответ.

Замечание по поводу знаков функции

Практика показывает, что наибольшие трудности в методе интервалов возникают на последних двух шагах, т.е. при расстановке знаков. Многие ученики начинают путаться: какие надо брать числа и где ставить знаки.

Чтобы окончательно разобраться в методе интервалов, рассмотрим два замечания, на которых он построен:

Непрерывная функция меняет знак только в тех точках, где она равна нулю . Такие точки разбивают координатную ось на куски, внутри которых знак функции никогда не меняется. Вот зачем мы решаем уравнение f (x ) = 0 и отмечаем найденные корни на прямой. Найденные числа — это «пограничные» точки, отделяющие плюсы от минусов.
Чтобы выяснить знак функции на каком-либо интервале, достаточно подставить в функцию любое число из этого интервала. Например, для интервала (−5; 6) мы вправе брать x = −4, x = 0, x = 4 и даже x = 1,29374, если нам захочется. Почему это важно? Да потому что многих учеников начинают грызть сомнения. Мол, что если для x = −4 мы получим плюс, а для x = 0 — минус? А ничего — такого никогда не будет. Все точки на одном интервале дают один и тот же знак. Помните об этом.

Вот и все, что нужно знать про метод интервалов. Конечно, мы разобрали его в самом простом варианте. Существуют более сложные неравенства — нестрогие, дробные и с повторяющимися корнями. Для них тоже можно применять метод интервалов, но это тема для отдельного большого урока.

Теперь хотел бы разобрать продвинутый прием, который резко упрощает метод интервалов. Точнее, упрощение затрагивает только третий шаг — вычисление знака на самом правом куске прямой. По каким-то причинам этот прием не проходят в школах (по крайней мере, мне никто такого не объяснял). А зря — ведь на самом деле этот алгоритм очень прост.

Итак, знак функции на правом куске числовой оси. Этот кусок имеет вид (a ; +∞), где a — самый большой корень уравнения f (x ) = 0. Чтобы не взрывать мозг, рассмотрим конкретный пример:

(x − 1)(2 + x )(7 − x ) < 0;
f (x ) = (x − 1)(2 + x )(7 − x );
(x − 1)(2 + x )(7 − x ) = 0;
x − 1 = 0 ⇒ x = 1;
2 + x = 0 ⇒ x = −2;
7 − x = 0 ⇒ x = 7;

Мы получили 3 корня. Перечислим их в порядке возрастания: x = −2, x = 1 и x = 7. Очевидно, что наибольший корень — это x = 7.

Для тех, кому легче рассуждать графически, я отмечу эти корни на координатной прямой. Посмотрим, что получится:

Требуется найти знак функции f (x ) на самом правом интервале, т.е. на (7; +∞). Но как мы уже отмечали, для определения знака можно взять любое число из этого интервала. Например, можно взять x = 8, x = 150 и т.д. А теперь — тот самый прием, который не проходят в школах: давайте в качестве числа возьмем бесконечность. Точнее, плюс бесконечность , т.е. +∞.

«Ты че, обкурился? Как можно подставить в функцию бесконечность?» — возможно, спросите вы. Но задумайтесь: нам ведь не нужно само значение функции, нам нужен только знак. Поэтому, например, значения f (x ) = −1 и f (x ) = −938 740 576 215 значат одно и то же: функция на данном интервале отрицательна. Поэтому все, что от вас требуется — найти знак, который возникает на бесконечности, а не значение функции.

На самом деле, подставлять бесконечность очень просто. Вернемся к нашей функции:

f (x ) = (x − 1)(2 + x )(7 − x )

Представьте, что x — это очень большое число. Миллиард или даже триллион. Теперь посмотрим, что будет происходить в каждой скобке.

Первая скобка: (x − 1). Что будет, если из миллиарда вычесть единицу? Получится число, не особо отличающееся от миллиарда, и это число будет положительным. Аналогично со второй скобкой: (2 + x ). Если к двойке прибавить миллиард, по получим миллиард с копейками — это положительное число. Наконец, третья скобка: (7 − x ). Здесь будет минус миллиард, от которого «отгрызли» жалкий кусочек в виде семерки. Т.е. полученное число мало чем будет отличаться от минус миллиарда — оно будет отрицательным.

Осталось найти знак всего произведения. Поскольку в первых скобках у нас был плюс, а в последней — минус, получаем следующую конструкцию:

(+) · (+) · (−) = (−)

Итоговый знак — минус! И неважно, чему равно значение самой функции. Главное, что это значение — отрицательное, т.е. на самом правом интервале стоит знак минус. Осталось выполнить четвертый шаг метода интервалов: расставить все знаки. Имеем:

Исходное неравенство имело вид:

(x − 1)(2 + x )(7 − x ) < 0

Следовательно, нас интересуют интервалы, отмеченные знаком минус. Выписываем ответ:

x ∈ (−2; 1) ∪ (7; +∞)

Вот и весь прием, который я хотел рассказать. В заключение — еще одно неравенство, которое решается методом интервалов с привлечением бесконечности. Чтобы визуально сократить решение, я не буду писать номера шагов и развернутые комментарии. Напишу только то, что действительно надо писать при решении реальных задач:

Задача. Решите неравенство:

x (2x + 8)(x − 3) > 0

Заменяем неравенство уравнением и решаем его:

x (2x + 8)(x − 3) = 0;
x = 0;
2x + 8 = 0 ⇒ x = −4;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3.

Отмечаем все три корня на координатной прямой (сразу со знаками):

Справа на координатной оси стоит плюс, т.к. функция имеет вид:

f (x ) = x (2x + 8)(x − 3)

А если подставить бесконечность (например, миллиард), получим три положительных скобки. Поскольку исходное выражение должно быть больше нуля, нас интересуют только плюсы. Осталось выписать ответ:

x ∈ (−4; 0) ∪ (3; +∞)

А сегодня рациональные неравенства не все могут решать. Точнее, решать могут не только лишь все. Мало кто может это делать.
Кличко

Этот урок будет жёстким. Настолько жёстким, что до конца его дойдут лишь Избранные. Поэтому перед началом чтения рекомендую убрать от экранов женщин, кошек, беременных детей и...

Да ладно, на самом деле всё просто. Допустим, вы освоили метод интервалов (если не освоили — рекомендую вернуться и прочитать) и научились решать неравенства вида $P\left(x \right) \gt 0$, где $P\left(x \right)$ — какой-нибудь многочлен или произведение многочленов.

Полагаю, что для вас не составит труда решить, например, вот такую дичь (кстати, попробуйте для разминки):

\[\begin{align} & \left(2{{x}^{2}}+3x+4 \right)\left(4x+25 \right) \gt 0; \\ & x\left(2{{x}^{2}}-3x-20 \right)\left(x-1 \right)\ge 0; \\ & \left(8x-{{x}^{4}} \right){{\left(x-5 \right)}^{6}}\le 0. \\ \end{align}\]

Теперь немного усложним задачу и рассмотрим не просто многочлены, а так называемые рациональные дроби вида:

где $P\left(x \right)$ и $Q\left(x \right)$ — всё те же многочлены вида ${{a}_{n}}{{x}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+...+{{a}_{0}}$, либо произведение таких многочленов.

Это и будет рациональное неравенство. Принципиальным моментом является наличие переменной $x$ в знаменателе. Например, вот это — рациональные неравенства:

\[\begin{align} & \frac{x-3}{x+7} \lt 0; \\ & \frac{\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right)}{13x-4}\ge 0; \\ & \frac{3{{x}^{2}}+10x+3}{{{\left(3-x \right)}^{2}}\left(4-{{x}^{2}} \right)}\ge 0. \\ \end{align}\]

А это — не рациональное, а самое обычное неравенство, которое решается методом интервалов:

\[\frac{{{x}^{2}}+6x+9}{5}\ge 0\]

Забегая вперёд, сразу скажу: существует как минимум два способа решения рациональных неравенств, но все они так или иначе сводятся к уже известному нам методу интервалов. Поэтому прежде чем разбирать эти способы, давайте вспомним старые факты, иначе толку от нового материла не будет никакого.

Что уже нужно знать

Важных фактов не бывает много. Действительно потребуются нам всего четыре.

Формулы сокращённого умножения

Да, да: они будут преследовать нас на протяжении всей школьной программы математики. И в университете тоже. Этих формул довольно много, но нам потребуются лишь следующие:

\[\begin{align} & {{a}^{2}}\pm 2ab+{{b}^{2}}={{\left(a\pm b \right)}^{2}}; \\ & {{a}^{2}}-{{b}^{2}}=\left(a-b \right)\left(a+b \right); \\ & {{a}^{3}}+{{b}^{3}}=\left(a+b \right)\left({{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}} \right); \\ & {{a}^{3}}-{{b}^{3}}=\left(a-b \right)\left({{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}} \right). \\ \end{align}\]

Обратите внимание на последние две формулы — это сумма и разность кубов (а не куб суммы или разности!). Их легко запомнить, если заметить, что знак в первой скобке совпадает со знаком в исходном выражении, а во второй — противоположен знаку исходного выражения.

Линейные уравнения

Это самые простые уравнения вида $ax+b=0$, где $a$ и $b$ — это обычные числа, причём $a\ne 0$. Такое уравнение решается просто:

\[\begin{align} & ax+b=0; \\ & ax=-b; \\ & x=-\frac{b}{a}. \\ \end{align}\]

Отмечу, что мы имеем право делить на коэффициент $a$, ведь $a\ne 0$. Это требование вполне логично, поскольку при $a=0$ мы получим вот что:

Во-первых, в этом уравнении нет переменной $x$. Это, вообще говоря, не должно нас смущать (такое случается, скажем, в геометрии, причём довольно часто), но всё же перед нами уже не линейное уравнение.

Во-вторых, решение этого уравнения зависит исключительно от коэффициента $b$. Если $b$ — тоже ноль, то наше уравнение имеет вид $0=0$. Данное равенство верно всегда; значит, $x$ — любое число (обычно это записывается так: $x\in \mathbb{R}$). Если же коэффициент $b$ не равен нулю, то равенство $b=0$ никогда не выполняется, т.е. ответов нет (записывается $x\in \varnothing $ и читается «множество решений пусто»).

Чтобы избежать всех этих сложностей, просто полагают $a\ne 0$, что нисколько не ограничивает нас в дальнейших размышлениях.

Квадратные уравнения

Напомню, что квадратным уравнением называется вот это:

Здесь слева многочлен второй степени, причём снова $a\ne 0$ (в противном случае вместо квадратного уравнения мы получим линейное). Решаются такие уравнения через дискриминант:

Если $D \gt 0$, мы получим два различных корня;
Если $D=0$, то корень будет один, но второй кратности (что это за кратность и как её учитывать — об этом чуть позже). Либо можно сказать, что уравнение имеет два одинаковых корня;
При $D \lt 0$ корней вообще нет, а знак многочлена $a{{x}^{2}}+bx+c$ при любом $x$ совпадает со знаком коэффициента $a$. Это, кстати, очень полезный факт, о котором почему-то забывают рассказать на уроках алгебры.

Сами корни считаются по всем известной формуле:

\[{{x}_{1,2}}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}\]

Отсюда, кстати, и ограничения на дискриминант. Ведь квадратный корень из отрицательного числа не существует. По поводу корней у многих учеников жуткая каша в голове, поэтому я специально записал целый урок: что такое корень в алгебре и как его считать — очень рекомендую почитать .:)

Действия с рациональными дробями

Всё, что было написано выше, вы и так знаете, если изучали метод интервалов. А вот то, что мы разберём сейчас, не имеет аналогов в прошлом — это совершенно новый факт.

Определение. Рациональная дробь — это выражение вида

\[\frac{P\left(x \right)}{Q\left(x \right)}\]

где $P\left(x \right)$ и $Q\left(x \right)$ — многочлены.

Очевидно, что из такой дроби легко получить неравенство — достаточно лишь приписать знак «больше» или «меньше» справа. И чуть дальше мы обнаружим, что решать такие задачи — одно удовольствие, там всё очень просто.

Проблемы начинаются тогда, когда в одном выражении находятся несколько таких дробей. Их приходится приводить к общему знаменателю — и именно в этот момент допускается большое количество обидных ошибок.

Поэтому для успешного решения рациональных уравнений необходимо твёрдо усвоить два навыка:

Разложение многочлена $P\left(x \right)$ на множители;
Собственно, приведение дробей к общему знаменателю.

Как разложить многочлен на множители? Очень просто. Пусть у нас есть многочлена вида

Приравниваем его к нулю. Получим уравнение $n$-й степени:

\[{{a}_{n}}{{x}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+...+{{a}_{1}}x+{{a}_{0}}=0\]

Допустим, мы решили это уравнение и получили корни ${{x}_{1}},\ ...,\ {{x}_{n}}$ (не пугайтесь: в большинстве случаев этих корней будет не более двух). В таком случае наш исходный многочлен можно переписать так:

\[\begin{align} & P\left(x \right)={{a}_{n}}{{x}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+...+{{a}_{1}}x+{{a}_{0}}= \\ & ={{a}_{n}}\left(x-{{x}_{1}} \right)\cdot \left(x-{{x}_{2}} \right)\cdot ...\cdot \left(x-{{x}_{n}} \right) \end{align}\]

Вот и всё! Обратите внимание: старший коэффициент ${{a}_{n}}$ никуда не исчез — он будет отдельным множителем перед скобками, и при необходимости его можно внести в любую из этих скобок (практика показывает, что при ${{a}_{n}}\ne \pm 1$ среди корней почти всегда есть дроби).

Задача. Упростите выражение:

\[\frac{{{x}^{2}}+x-20}{x-4}-\frac{2{{x}^{2}}-5x+3}{2x-3}-\frac{4-8x-5{{x}^{2}}}{x+2}\]

Решение. Для начала посмотрим на знаменатели: все они — линейные двучлены, и раскладывать на множители тут нечего. Поэтому давайте разложим на множители числители:

\[\begin{align} & {{x}^{2}}+x-20=\left(x+5 \right)\left(x-4 \right); \\ & 2{{x}^{2}}-5x+3=2\left(x-\frac{3}{2} \right)\left(x-1 \right)=\left(2x-3 \right)\left(x-1 \right); \\ & 4-8x-5{{x}^{2}}=-5\left(x+2 \right)\left(x-\frac{2}{5} \right)=\left(x+2 \right)\left(2-5x \right). \\\end{align}\]

Обратите внимание: во втором многочлене старший коэффициент «2» в полном соответствии с нашей схемой сначала оказался перед скобкой, а затем был внесён в первую скобку, поскольку там вылезла дробь.

То же самое произошло и в третьем многочлене, только там ещё и порядок слагаемых перепутан. Однако коэффициент «−5» в итоге оказался внесён во вторую скобку (помните: вносить множитель можно в одну и только в одну скобку!), что избавило нас от неудобств, связанных с дробными корнями.

Что касается первого многочлена, там всё просто: его корни ищутся либо стандартно через дискриминант, либо по теореме Виета.

Вернёмся к исходному выражению и перепишем его с разложенными на множители числителями:

\[\begin{matrix} \frac{\left(x+5 \right)\left(x-4 \right)}{x-4}-\frac{\left(2x-3 \right)\left(x-1 \right)}{2x-3}-\frac{\left(x+2 \right)\left(2-5x \right)}{x+2}= \\ =\left(x+5 \right)-\left(x-1 \right)-\left(2-5x \right)= \\ =x+5-x+1-2+5x= \\ =5x+4. \\ \end{matrix}\]

Ответ: $5x+4$.

Как видите, ничего сложного. Немного математики 7—8 класса — и всё. Смысл всех преобразований в том и состоит, чтобы получить из сложного и страшного выражения что-нибудь простое, с чем легко работать.

Однако так будет не всегда. Поэтому сейчас мы рассмотрим более серьёзную задачу.

Но сначала разберёмся с тем, как привести две дроби к общему знаменателю. Алгоритм предельно прост:

Разложить на множители оба знаменателя;
Рассмотреть первый знаменатель и добавить к нему множители, имеющиеся во втором знаменателе, однако отсутствующие в первом. Полученное произведение и будет общим знаменателем;
Выяснить, каких множителей не хватает каждой из исходных дробей, чтобы знаменатели стали равны общему.

Возможно, этот алгоритм вам покажется просто текстом, в котором «много букв». Поэтому разберём всё на конкретном примере.

Задача. Упростите выражение:

\[\left(\frac{x}{{{x}^{2}}+2x+4}+\frac{{{x}^{2}}+8}{{{x}^{3}}-8}-\frac{1}{x-2} \right)\cdot \left(\frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}-4}-\frac{2}{2-x} \right)\]

Решение. Такие объёмные задачи лучше решать по частям. Выпишем то, что стоит в первой скобке:

\[\frac{x}{{{x}^{2}}+2x+4}+\frac{{{x}^{2}}+8}{{{x}^{3}}-8}-\frac{1}{x-2}\]

В отличие от предыдущей задачи, тут со знаменателями всё не так просто. Разложим на множители каждый из них.

Квадратный трёхчлен ${{x}^{2}}+2x+4$ на множители не раскладывается, поскольку уравнение ${{x}^{2}}+2x+4=0$ не имеет корней (дискриминант отрицательный). Оставляем его без изменений.

Второй знаменатель — кубический многочлен ${{x}^{3}}-8$ — при внимательном рассмотрении является разностью кубов и легко раскладывается по формулам сокращённого умножения:

\[{{x}^{3}}-8={{x}^{3}}-{{2}^{3}}=\left(x-2 \right)\left({{x}^{2}}+2x+4 \right)\]

Больше ничего разложить на множители нельзя, поскольку в первой скобке стоит линейный двучлен, а во второй — уже знакомая нам конструкция, которая не имеет действительных корней.

Наконец, третий знаменатель представляет собой линейный двучлен, который нельзя разложить. Таким образом, наше уравнение примет вид:

\[\frac{x}{{{x}^{2}}+2x+4}+\frac{{{x}^{2}}+8}{\left(x-2 \right)\left({{x}^{2}}+2x+4 \right)}-\frac{1}{x-2}\]

Совершенно очевидно, что общим знаменателем будет именно $\left(x-2 \right)\left({{x}^{2}}+2x+4 \right)$, и для приведения к нему всех дробей необходимо первую дробь домножить на $\left(x-2 \right)$, а последнюю — на $\left({{x}^{2}}+2x+4 \right)$. Затем останется лишь привести подобные:

\[\begin{matrix} \frac{x\cdot \left(x-2 \right)}{\left(x-2 \right)\left({{x}^{2}}+2x+4 \right)}+\frac{{{x}^{2}}+8}{\left(x-2 \right)\left({{x}^{2}}+2x+4 \right)}-\frac{1\cdot \left({{x}^{2}}+2x+4 \right)}{\left(x-2 \right)\left({{x}^{2}}+2x+4 \right)}= \\ =\frac{x\cdot \left(x-2 \right)+\left({{x}^{2}}+8 \right)-\left({{x}^{2}}+2x+4 \right)}{\left(x-2 \right)\left({{x}^{2}}+2x+4 \right)}= \\ =\frac{{{x}^{2}}-2x+{{x}^{2}}+8-{{x}^{2}}-2x-4}{\left(x-2 \right)\left({{x}^{2}}+2x+4 \right)}= \\ =\frac{{{x}^{2}}-4x+4}{\left(x-2 \right)\left({{x}^{2}}+2x+4 \right)}. \\ \end{matrix}\]

Обратите внимание на вторую строчку: когда знаменатель уже общий, т.е. вместо трёх отдельных дробей мы написали одну большую, не стоит сразу избавляться от скобок. Лучше напишите лишнюю строчку и отметьте, что, скажем, перед третьей дробью стоял минус — и он никуда не денется, а будет «висеть» в числителе перед скобкой. Это избавит вас от множества ошибок.

Ну и в последней строчке полезно разложить на множители числитель. Тем более что это точный квадрат, и нам на помощь вновь приходят формулы сокращённого умножения. Имеем:

\[\frac{{{x}^{2}}-4x+4}{\left(x-2 \right)\left({{x}^{2}}+2x+4 \right)}=\frac{{{\left(x-2 \right)}^{2}}}{\left(x-2 \right)\left({{x}^{2}}+2x+4 \right)}=\frac{x-2}{{{x}^{2}}+2x+4}\]

Теперь точно так же разберёмся со второй скобкой. Тут я просто напишу цепочку равенств:

\[\begin{matrix} \frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}-4}-\frac{2}{2-x}=\frac{{{x}^{2}}}{\left(x-2 \right)\left(x+2 \right)}-\frac{2}{2-x}= \\ =\frac{{{x}^{2}}}{\left(x-2 \right)\left(x+2 \right)}+\frac{2}{x-2}= \\ =\frac{{{x}^{2}}}{\left(x-2 \right)\left(x+2 \right)}+\frac{2\cdot \left(x+2 \right)}{\left(x-2 \right)\cdot \left(x+2 \right)}= \\ =\frac{{{x}^{2}}+2\cdot \left(x+2 \right)}{\left(x-2 \right)\left(x+2 \right)}=\frac{{{x}^{2}}+2x+4}{\left(x-2 \right)\left(x+2 \right)}. \\ \end{matrix}\]

Возвращаемся к исходной задачи и смотрим на произведение:

\[\frac{x-2}{{{x}^{2}}+2x+4}\cdot \frac{{{x}^{2}}+2x+4}{\left(x-2 \right)\left(x+2 \right)}=\frac{1}{x+2}\]

Ответ: \[\frac{1}{x+2}\].

Смысл этой задачи такой же, как и у предыдущей: показать, насколько могут упрощаться рациональные выражения, если подойти к их преобразованию с умом.

И вот теперь, когда вы всё это знаете, давайте перейдём к основной теме сегодняшнего урока — решению дробно-рациональных неравенств. Тем более что после такой подготовки сами неравенства вы будете щёлкать как орешки.:)

Основной способ решения рациональных неравенств

Существует как минимум два подхода к решению рациональных неравенств. Сейчас мы рассмотрим один из них — тот, который является общепринятым в школьном курсе математики.

Но для начала отметим важную деталь. Все неравенства делятся на два типа:

Строгие: $f\left(x \right) \gt 0$ или $f\left(x \right) \lt 0$;
Нестрогие: $f\left(x \right)\ge 0$ или $f\left(x \right)\le 0$.

Неравенства второго типа легко сводятся к первому, а также уравнению:

Это небольшое «дополнение» $f\left(x \right)=0$ приводит к такой неприятной штуке как закрашенные точки — мы познакомились с ними ещё в методе интервалов. В остальном никаких отличий между строгими и нестрогими неравенствами нет, поэтому давайте разберём универсальный алгоритм:

Собрать все ненулевые элементы с одной стороны от знака неравенства. Например, слева;

Привести все дроби к общему знаменателю (если таких дробей окажется несколько), привести подобные. Затем по возможности разложить на числитель и знаменатель на множители. Так или иначе мы получим неравенство вида $\frac{P\left(x \right)}{Q\left(x \right)}\vee 0$, где «галочка» — знак неравенства.

Приравниваем числитель к нулю: $P\left(x \right)=0$. Решаем это уравнение и получаем корни ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$, ${{x}_{3}}$, ... Затем требуем, чтобы знаменатель был не равен нулю: $Q\left(x \right)\ne 0$. Разумеется, по сути приходится решить уравнение $Q\left(x \right)=0$, и мы получим корни $x_{1}^{*}$, $x_{2}^{*}$, $x_{3}^{*}$, ... (в настоящих задачах таких корней вряд ли будет больше трёх).

Отмечаем все эти корни (и со звёздочками, и без) на единой числовой прямой, причём корни без звёзд закрашены, а со звёздами — выколоты.

Расставляем знаки «плюс» и «минус», выбираем те интервалы, которые нам нужны. Если неравенство имеет вид $f\left(x \right) \gt 0$, то в ответ пойдут интервалы, отмеченные «плюсом». Если $f\left(x \right) \lt 0$, то смотрим на интервалы с «минусами».

Практика показывает, что наибольшие трудности вызывают пункты 2 и 4 — грамотные преобразования и правильная расстановка чисел в порядке возрастания. Ну, и на последнем шаге будьте предельно внимательны: мы всегда расставляем знаки, опираясь на самое последнее неравенство, записанное перед переходом к уравнениям . Это универсальное правило, унаследованное ещё от метода интервалов.

Итак, схема есть. Давайте потренируемся.

Задача. Решите неравенство:

\[\frac{x-3}{x+7} \lt 0\]

Решение. Перед нами строгое неравенство вида $f\left(x \right) \lt 0$. Очевидно, пункты 1 и 2 из нашей схемы уже выполнены: все элементы неравенства собраны слева, к общему знаменателю ничего приводить не надо. Поэтому переходим сразу к третьему пункту.

Приравниваем к нулю числитель:

\[\begin{align} & x-3=0; \\ & x=3. \end{align}\]

И знаменатель:

\[\begin{align} & x+7=0; \\ & {{x}^{*}}=-7. \\ \end{align}\]

В этом месте многие залипают, ведь по идее нужно записать $x+7\ne 0$, как того требует ОДЗ (на ноль делить нельзя, вот это вот всё). Но ведь в дальнейшем мы будем выкалывать точки, пришедшие из знаменателя, поэтому лишний раз усложнять свои выкладки не стоит — пишите везде знак равенства и не парьтесь. Никто за это баллы не снизит.:)

Четвёртый пункт. Отмечаем полученные корни на числовой прямой:
Все точки выколоты, поскольку неравенство — строгое
Обратите внимание: все точки выколоты, поскольку исходное неравенство строгое . И тут уже неважно: из числителя эти точки пришли или из знаменателя.

Ну и смотрим знаки. Возьмём любое число ${{x}_{0}} \gt 3$. Например, ${{x}_{0}}=100$ (но с тем же успехом можно было взять ${{x}_{0}}=3,1$ или ${{x}_{0}}=1\ 000\ 000$). Получим:

Итак, справа от всех корней у нас положительная область. А при переходе через каждый корень знак меняется (так будет не всегда, но об это позже). Поэтому переходим к пятому пункту: расставляем знаки и выбираем нужное:

Возвращаемся к последнему неравенству, которое было перед решением уравнений. Собственно, оно совпадает с исходным, ведь никаких преобразований в этой задаче мы не выполняли.

Поскольку требуется решить неравенство вида $f\left(x \right) \lt 0$, я заштриховал интервал $x\in \left(-7;3 \right)$ — он единственный отмечен знаком «минус». Это и есть ответ.

Ответ: $x\in \left(-7;3 \right)$

Вот и всё! Разве сложно? Нет, не сложно. Правда, и задачка была лёгкая. Сейчас чуть усложним миссию и рассмотрим более «навороченное» неравенство. При его решении я уже не буду давать столь подробных выкладок — просто обозначу ключевые моменты. В общим, оформим его так, как оформляли бы на самостоятельной работе или экзамене.:)

Задача. Решите неравенство:

\[\frac{\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right)}{13x-4}\ge 0\]

Решение. Это нестрогое неравенство вида $f\left(x \right)\ge 0$. Все ненулевые элементы собраны слева, разных знаменателей нет. Переходим к уравнениям.

Числитель:

\[\begin{align} & \left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right)=0 \\ & 7x+1=0\Rightarrow {{x}_{1}}=-\frac{1}{7}; \\ & 11x+2=0\Rightarrow {{x}_{2}}=-\frac{2}{11}. \\ \end{align}\]

Знаменатель:

\[\begin{align} & 13x-4=0; \\ & 13x=4; \\ & {{x}^{*}}=\frac{4}{13}. \\ \end{align}\]

Не знаю, что за извращенец составлял эту задачу, но корни получились не очень: их будет трудно расставить на числовой прямой. И если с корнем ${{x}^{*}}={4}/{13}\;$ всё более-менее ясно (это единственное положительное число — оно будет справа), то ${{x}_{1}}=-{1}/{7}\;$ и ${{x}_{2}}=-{2}/{11}\;$ требуют дополнительного исследования: какое из них больше?

Выяснить это можно, например, так:

\[{{x}_{1}}=-\frac{1}{7}=-\frac{2}{14} \gt -\frac{2}{11}={{x}_{2}}\]

Надеюсь, не нужно объяснять, почему числовая дробь $-{2}/{14}\; \gt -{2}/{11}\;$? Если нужно, рекомендую вспомнить, как выполнять действия с дробями .

А мы отмечаем все три корня на числовой прямой:
Точки из числителя закрашены, из знаменателя — выколоты
Расставляем знаки. Например, можно взять ${{x}_{0}}=1$ и выяснить знак в этой точке:

\[\begin{align} & f\left(x \right)=\frac{\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right)}{13x-4}; \\ & f\left(1 \right)=\frac{\left(7\cdot 1+1 \right)\left(11\cdot 1+2 \right)}{13\cdot 1-4}=\frac{8\cdot 13}{9} \gt 0. \\\end{align}\]

Последним неравенством перед уравнениями было $f\left(x \right)\ge 0$, поэтому нас интересует знак «плюс».

Получили два множества: один — обычный отрезок, а другой — открытый луч на числовой прямой.

Ответ: $x\in \left[ -\frac{2}{11};-\frac{1}{7} \right]\bigcup \left(\frac{4}{13};+\infty \right)$

Важное замечание по поводу чисел, которые мы подставляем для выяснения знака на самом правом интервале. Совершенно необязательно подставлять число, близкое к самому правому корню. Можно брать миллиарды или даже «плюс-бесконечность» — в этом случае знак многочлена стоящего в скобке, числителе или знаменателе, определяется исключительно знаком старшего коэффициента.

Давайте ещё раз посмотрим на функцию $f\left(x \right)$ из последнего неравенства:

В её записи присутствуют три многочлена:

\[\begin{align} & {{P}_{1}}\left(x \right)=7x+1; \\ & {{P}_{2}}\left(x \right)=11x+2; \\ & Q\left(x \right)=13x-4. \end{align}\]

Все они являются линейными двучленами, и у всех старшие коэффициенты (числа 7, 11 и 13) положительны. Следовательно, при подстановке очень больших чисел сами многочлены тоже будут положительны.:)

Это правило может показаться чрезмерно сложным, но только поначалу, когда мы разбираем совсем лёгкие задачи. В серьёзных неравенствах подстановка «плюс-бесконечности» позволит нам выяснить знаки намного быстрее, нежели стандартное ${{x}_{0}}=100$.

Мы очень скоро столкнёмся с такими задачами. Но сначала разберём альтернативный способ решения дробно-рациональных неравенств.

Альтернативный способ

Этот приём мне подсказала одна из моих учениц. Сам я никогда им не пользовался, однако практика показала, что многим ученикам действительно удобнее решать неравенства именно таким способом.

Итак, исходные данные те же. Нужно решить дробно-рациональное неравенство:

\[\frac{P\left(x \right)}{Q\left(x \right)} \gt 0\]

Давайте подумаем: чем многочлен $Q\left(x \right)$ «хуже» многочлена $P\left(x \right)$? Из-за чего нам приходится рассматривать отдельные группы корней (со звёздочкой и без), думать о выколотых точках и т.д.? Всё просто: у дроби есть область определения, согласной которой дробь имеет смысл только тогда, когда её знаменатель отличен от нуля.

В остальном никаких отличий между числителем и знаменателем не прослеживается: мы так же приравниваем его к нулю, ищем корни, затем отмечаем их на числовой прямой. Так почему бы не заменить дробную черту (фактически — знак деления) обычным умножением, а все требования ОДЗ прописать в виде отдельного неравенства? Например, так:

\[\frac{P\left(x \right)}{Q\left(x \right)} \gt 0\Rightarrow \left\{ \begin{align} & P\left(x \right)\cdot Q\left(x \right) \gt 0, \\ & Q\left(x \right)\ne 0. \\ \end{align} \right.\]

Обратите внимание: такой подход позволит свести задачу к методу интервалов, но при этом нисколько не усложнит решение. Ведь всё равно мы будем приравнивать многочлен $Q\left(x \right)$ к нулю.

Давайте посмотрим, как это работает на реальных задачах.

Задача. Решите неравенство:

\[\frac{x+8}{x-11} \gt 0\]

Решение. Итак, переходим к методу интервалов:

\[\frac{x+8}{x-11} \gt 0\Rightarrow \left\{ \begin{align} & \left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0, \\ & x-11\ne 0. \\ \end{align} \right.\]

Первое неравенство решается элементарно. Просто приравниваем каждую скобку к нулю:

\[\begin{align} & x+8=0\Rightarrow {{x}_{1}}=-8; \\ & x-11=0\Rightarrow {{x}_{2}}=11. \\ \end{align}\]

Со вторым неравенством тоже всё просто:

Отмечаем точки ${{x}_{1}}$ и ${{x}_{2}}$ на числовой прямой. Все они выколоты, поскольку неравенство строгое:
Правая точка оказалась выколотой дважды. Это нормально.
Обратите внимание на точку $x=11$. Получается, что она «дважды выколота»: с одной стороны, мы выкалываем её из-за строгости неравенства, с другой — из-за дополнительного требования ОДЗ.

В любом случае, это будет просто выколотая точка. Поэтому расставляем знаки для неравенства $\left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0$ — последнего, которое мы видели перед тем, как начали решать уравнения:

Нас интересуют положительные области, поскольку мы решаем неравенство вида $f\left(x \right) \gt 0$ — их и закрасим. Осталось лишь записать ответ.

Ответ. $x\in \left(-\infty ;-8 \right)\bigcup \left(11;+\infty \right)$

На примере этого решения хотел бы предостеречь вас от распространённой ошибки среди начинающих учеников. А именно: никогда не раскрывайте скобки в неравенствах! Наоборот, старайтесь всё разложить на множители — это упростит решение и избавит вас от множества проблем.

Теперь попробуем кое-что посложнее.

Задача. Решите неравенство:

\[\frac{\left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)}{15x+33}\le 0\]

Решение. Это нестрогое неравенство вида $f\left(x \right)\le 0$, поэтому здесь нужно внимательно следить за закрашенными точками.

Переходим к методу интервалов:

\[\left\{ \begin{align} & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)\le 0, \\ & 15x+33\ne 0. \\ \end{align} \right.\]

Переходим к уравнению:

\[\begin{align} & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)=0 \\ & 2x-13=0\Rightarrow {{x}_{1}}=6,5; \\ & 12x-9=0\Rightarrow {{x}_{2}}=0,75; \\ & 15x+33=0\Rightarrow {{x}_{3}}=-2,2. \\ \end{align}\]

Учитываем дополнительное требование:

Отмечаем все полученные корни на числовой прямой:
Если точка одновременно и выколота, и закрашена, она считается выколотой
Опять две точки «накладываются» друг на друга — это нормально, так будет всегда. Важно лишь понимать, что точка, отмеченная одновременно выколотой и закрашенной, на самом деле является выколотой. Т.е. «выкалывание» — более сильное действие, чем «закрашивание».

Это абсолютно логично, ведь выкалыванием мы отмечаем точки, которые влияют на знак функции, но сами не участвуют в ответе. И если в какой-то момент число перестаёт нас устраивать (например, не попадает в ОДЗ), мы вычёркиваем его из рассмотрения до самого конца задачи.

В общем, хватит философствовать. Расставляем знаки и закрашиваем те интервалы, которые отмечены знаком «минус»:

Ответ. $x\in \left(-\infty ;-2,2 \right)\bigcup \left[ 0,75;6,5 \right]$.

И снова хотел обратить ваше внимание вот на это уравнение:

\[\left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)=0\]

Ещё раз: никогда не раскрывайте скобки в таких уравнениях! Вы только усложните себе задачу. Помните: произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, данное уравнение просто «разваливается» на несколько более мелких, которые мы и решали в предыдущей задаче.

Учёт кратности корней

Из предыдущих задач легко заметить, что наибольшую сложность представляют именно нестрогие неравенства, потому как в них приходится следить за закрашенными точками.

Но в мире есть ещё большее зло — это кратные корни в неравенствах. Тут уже приходится следить не за какими-то там закрашенными точками — тут знак неравенства может внезапно не поменяться при переходе через эти самые точки.

Ничего подобного мы в этом уроке ещё не рассматривали (хотя аналогичная проблема часто встречалась в методе интервалов). Поэтому введём новое определение:

Определение. Корень уравнения ${{\left(x-a \right)}^{n}}=0$ равен $x=a$ и называется корнем $n$-й кратности.

Собственно, нас не особо интересует точное значение кратности. Важно лишь то, чётным или нечётным является это самое число $n$. Потому что:

Если $x=a$ — корень чётной кратности, то знак функции при переходе через него не меняется;
И наоборот, если $x=a$ — корень нечётной кратности, то знак функции поменяется.

Частным случаем корня нечётной кратности являются все предыдущие задачи, рассмотренные в этом уроке: там везде кратность равна единице.

И ещё. Перед тем, как мы начнём решать задачи, хотел бы обратить ваше внимание на одну тонкость, которая покажется очевидной для опытного ученика, но вгоняет в ступор многих начинающих. А именно:

Корень кратности $n$ возникает только в том случае, когда в эту степень возводится всё выражение: ${{\left(x-a \right)}^{n}}$, а никак не $\left({{x}^{n}}-a \right)$.

Ещё раз: скобка ${{\left(x-a \right)}^{n}}$ даёт нам корень $x=a$ кратности $n$, а вот скобка $\left({{x}^{n}}-a \right)$ или, как часто бывает, $(a-{{x}^{n}})$ даёт нам корень (или два корня, если $n$ — чётное) первой кратности вне зависимости от того, чему равно $n$.

Сравните:

\[{{\left(x-3 \right)}^{5}}=0\Rightarrow x=3\left(5k \right)\]

Здесь всё чётко: вся скобка возводилась в пятую степень, поэтому на выходе мы получили корень пятой степени. А теперь:

\[\left({{x}^{2}}-4 \right)=0\Rightarrow {{x}^{2}}=4\Rightarrow x=\pm 2\]

Мы получили два корня, но оба они имеют первую кратность. Или вот ещё:

\[\left({{x}^{10}}-1024 \right)=0\Rightarrow {{x}^{10}}=1024\Rightarrow x=\pm 2\]

И пусть вас не смущает десятая степень. Главное, что 10 — это чётное число, поэтому на выходе имеем два корня, и оба они вновь имеют первую кратность.

В общем будьте внимательны: кратность возникает только тогда, когда степень относится ко всей скобке, а не только к переменной .

Задача. Решите неравенство:

\[\frac{{{x}^{2}}{{\left(6-x \right)}^{3}}\left(x+4 \right)}{{{\left(x+7 \right)}^{5}}}\ge 0\]

Решение. Попробуем решить её альтернативным способом — через переход от частного к произведению:

\[\left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}{{\left(6-x \right)}^{3}}\left(x+4 \right)\cdot {{\left(x+7 \right)}^{5}}\ge 0, \\ & {{\left(x+7 \right)}^{5}}\ne 0. \\ \end{align} \right.\]

Разбираемся с первым неравенством методом интервалов:

\[\begin{align} & {{x}^{2}}{{\left(6-x \right)}^{3}}\left(x+4 \right)\cdot {{\left(x+7 \right)}^{5}}=0; \\ & {{x}^{2}}=0\Rightarrow x=0\left(2k \right); \\ & {{\left(6-x \right)}^{3}}=0\Rightarrow x=6\left(3k \right); \\ & x+4=0\Rightarrow x=-4; \\ & {{\left(x+7 \right)}^{5}}=0\Rightarrow x=-7\left(5k \right). \\ \end{align}\]

Дополнительно решаем второе неравенство. На самом деле мы уже решали его, но чтобы проверяющие не придрались к решению, лучше решить его ещё раз:

\[{{\left(x+7 \right)}^{5}}\ne 0\Rightarrow x\ne -7\]

Обратите внимание: никаких кратностей в последнем неравенстве нет. В самом деле: какая разница, сколько раз вычёркивать точку $x=-7$ на числовой прямой? Хоть один раз, хоть пять — результат будет один и тот же: выколотая точка.

Отметим всё, что мы получили, на числовой прямой:

Как я и говорил, точка $x=-7$ в итоге будет выколота. Кратности расставлены исходя из решения неравенства методом интервалов.

Осталось расставить знаки:

Поскольку точка $x=0$ является корнем чётной кратности, знак при переходе через неё не меняется. Остальные точки имеют нечётную кратность, и с ними всё просто.

Ответ. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left[ -4;6 \right]$

Ещё раз обратите внимание на $x=0$. Из-за чётной кратности возникает интересный эффект: слева от неё всё закрашено, справа — тоже, да и сама точка вполне себе закрашена.

Как следствие, её не нужно обособлять при записи ответа. Т.е. не надо писать что-нибудь в духе $x\in \left[ -4;0 \right]\bigcup \left[ 0;6 \right]$ (хотя формально такой ответ тоже будет правильным). Вместо этого сразу пишем $x\in \left[ -4;6 \right]$.

Такие эффекты возможны только при корнях чётной кратности. И в следующей задаче мы столкнёмся с обратным «проявлением» этого эффекта. Готовы?

Задача. Решите неравенство:

\[\frac{{{\left(x-3 \right)}^{4}}\left(x-4 \right)}{{{\left(x-1 \right)}^{2}}\left(7x-10-{{x}^{2}} \right)}\ge 0\]

Решение. В этот раз пойдём по стандартной схеме. Приравниваем к нулю числитель:

\[\begin{align} & {{\left(x-3 \right)}^{4}}\left(x-4 \right)=0; \\ & {{\left(x-3 \right)}^{4}}=0\Rightarrow {{x}_{1}}=3\left(4k \right); \\ & x-4=0\Rightarrow {{x}_{2}}=4. \\ \end{align}\]

И знаменатель:

\[\begin{align} & {{\left(x-1 \right)}^{2}}\left(7x-10-{{x}^{2}} \right)=0; \\ & {{\left(x-1 \right)}^{2}}=0\Rightarrow x_{1}^{*}=1\left(2k \right); \\ & 7x-10-{{x}^{2}}=0\Rightarrow x_{2}^{*}=5;\ x_{3}^{*}=2. \\ \end{align}\]

Поскольку мы решаем нестрогое неравенство вида $f\left(x \right)\ge 0$, корни из знаменателя (которые со звёздочками) будут выколоты, а из числителя — закрашены.

Расставляем знаки и штрихуем области, отмеченные «плюсом»:
Точка $x=3$ — изолированная. Это часть ответа
Перед тем, как записать окончательный ответ, внимательно посмотрим на картинку:

Точка $x=1$ имеет чётную кратность, но сама выколота. Следовательно, её придётся обособить в ответе: нужно записать $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, а никак не $x\in \left(-\infty ;2 \right)$.

Точка $x=3$ тоже имеет чётную кратность и при этом закрашена. Расстановка знаков свидетельствует, что сама точка нас устраивает, но шаг влево-вправо — и мы попадаем в область, которая нас точно не устраивает. Такие точки называются изолированными и записываются в виде $x\in \left\{ 3 \right\}$.

Объединяем все полученные кусочки в общее множество и записываем ответ.

Ответ: $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\{ 3 \right\}\bigcup \left[ 4;5 \right)$

Определение. Решить неравенство — значит найти множество всех его решений , либо доказать, что это множество пусто.

Казалось бы: что тут может быть непонятны? Да в том-то и дело, что множества можно задавать по-разному. Давайте ещё раз выпишем ответ к последней задаче:

Читаем буквально, что написано. Переменная «икс» принадлежит некому множеству, которое получается объединением (значок «U») четырёх отдельных множеств:

Интервал $\left(-\infty ;1 \right)$, который буквально означает «все числа, меньшие единицы, но не сама единица»;
Интервал $\left(1;2 \right)$, т.е. «все числа в пределах от 1 до 2, но не сами числа 1 и 2»;
Множество $\left\{ 3 \right\}$, состоящее из одного-единственного числа — тройки;
Интервал $\left[ 4;5 \right)$, содержащий все числа в пределах от 4 до 5, а также саму четвёрку, но не пятёрку.

Интерес здесь представляет третий пункт. В отличие от интервалов, которые задают бесконечные наборы чисел и лишь обозначают лишь границы этих наборов, множество $\left\{ 3 \right\}$ задаёт строго одно число путём перечисления.

Чтобы понять, что мы именно перечисляем конкретные числа, входящие в множество (а не задаём границы или что-либо ещё), используются фигурные скобки. Например, запись $\left\{ 1;2 \right\}$ означает именно «множество, состоящее из двух чисел: 1 и 2», но никак не отрезок от 1 до 2. Ни в коем случае не путайте эти понятия.

Правило сложения кратностей

Ну и в заключение сегодняшнего урока немного жести от Павла Бердова.:)

Внимательные ученики уже наверняка задались вопросом: а что будет, если в числителе и знаменателе обнаружатся одинаковые корни? Так вот, работает следующее правило:

Кратности одинаковых корней складываются. Всегда. Даже если этот корень встречается и в числителе, и в знаменателе.

Иногда лучше решать, чем говорить. Поэтому решаем следующую задачу:

Задача. Решите неравенство:

\[\frac{{{x}^{2}}+6x+8}{\left({{x}^{2}}-16 \right)\left({{x}^{2}}+9x+14 \right)}\ge 0\]

\[\begin{align} & {{x}^{2}}+6x+8=0 \\ & {{x}_{1}}=-2;\ {{x}_{2}}=-4. \\ \end{align}\]

Пока ничего особенного. Приравниваем к нулю знаменатель:

\[\begin{align} & \left({{x}^{2}}-16 \right)\left({{x}^{2}}+9x+14 \right)=0 \\ & {{x}^{2}}-16=0\Rightarrow x_{1}^{*}=4;\ x_{2}^{*}=-4; \\ & {{x}^{2}}+9x+14=0\Rightarrow x_{3}^{*}=-7;\ x_{4}^{*}=-2. \\ \end{align}\]

Обнаружены два одинаковых корня: ${{x}_{1}}=-2$ и $x_{4}^{*}=-2$. Оба имеют первую кратность. Следовательно заменяем их одним корнем $x_{4}^{*}=-2$, но уже с кратностью 1+1=2.

Кроме того, есть ещё одинаковые корни: ${{x}_{2}}=-4$ и $x_{2}^{*}=-4$. Они тоже первой кратности, поэтому останется лишь $x_{2}^{*}=-4$ кратности 1+1=2.

Обратите внимание: в обоих случаях мы оставили именно «выколотый» корень, а «закрашенный» выкинули из рассмотрения. Потому что ещё в начале урока договорились: если точка одновременно и выколотая, и закрашенная, то мы всё равно считаем её выколотой.

В итоге у нас есть четыре корня, причём все оказались выколоты:

\[\begin{align} & x_{1}^{*}=4; \\ & x_{2}^{*}=-4\left(2k \right); \\ & x_{3}^{*}=-7; \\ & x_{4}^{*}=-2\left(2k \right). \\ \end{align}\]

Отмечаем их на числовой прямой с учётом кратности:

Расставляем знаки и закрашиваем интересующие нас области:

Всё. Никаких изолированных точек и прочих извращений. Можно записывать ответ.

Ответ. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left(4;+\infty \right)$.

Правило умножения кратностей

Иногда встречается ещё более неприятная ситуация: уравнение, имеющее кратные корни, само возводится в некоторую степень. При этом меняются кратности всех исходных корней.

Такое встречается редко, поэтому большинство учеников не имеют опыта решения подобных задач. А правило здесь следующее:

При возведении уравнения в степень $n$ кратности всех его корней тоже увеличиваются в $n$ раз.

Другими словами, возведение в степень приводит к умножению кратностей на эту же степень. Рассмотрим это правило на примере:

Задача. Решите неравенство:

\[\frac{x{{\left({{x}^{2}}-6x+9 \right)}^{2}}{{\left(x-4 \right)}^{5}}}{{{\left(2-x \right)}^{3}}{{\left(x-1 \right)}^{2}}}\le 0\]

Решение. Приравниваем к нулю числитель:

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. С первым множителем всё понятно: $x=0$. А вот дальше начинаются проблемы:

\[\begin{align} & {{\left({{x}^{2}}-6x+9 \right)}^{2}}=0; \\ & {{x}^{2}}-6x+9=0\left(2k \right); \\ & D={{6}^{3}}-4\cdot 9=0 \\ & {{x}_{2}}=3\left(2k \right)\left(2k \right) \\ & {{x}_{2}}=3\left(4k \right) \\ \end{align}\]

Как видим, уравнение ${{x}^{2}}-6x+9=0$ имеет единственный корень второй кратности: $x=3$. Затем всё это уравнение возводится в квадрат. Следовательно, кратность корня составит $2\cdot 2=4$, что мы в итоге и записали.

\[{{\left(x-4 \right)}^{5}}=0\Rightarrow x=4\left(5k \right)\]

Со знаменателем тоже никаких проблем:

\[\begin{align} & {{\left(2-x \right)}^{3}}{{\left(x-1 \right)}^{2}}=0; \\ & {{\left(2-x \right)}^{3}}=0\Rightarrow x_{1}^{*}=2\left(3k \right); \\ & {{\left(x-1 \right)}^{2}}=0\Rightarrow x_{2}^{*}=1\left(2k \right). \\ \end{align}\]

В сумме у нас получилось пять точек: две выколотых и три закрашенных. Совпадающих корней в числителе и знаменателе не наблюдается, поэтому просто отмечаем их на числовой прямой:

Расставляем знаки с учётом кратностей и закрашиваем интересующие нас интервалы:
Снова одна изолированная точка и одна выколотая
Из-за корней чётной кратности вновь получили парочку «нестандартных» элементов. Это $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, а никак не $x\in \left[ 0;2 \right)$, а также изолированная точка $x\in \left\{ 3 \right\}$.

Ответ. $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\{ 3 \right\}\bigcup \left[ 4;+\infty \right)$

Как видите, всё не так сложно. Главное — внимательность. Последний раздел этого урока посвящён преобразованиям — тем самым, которые мы обсуждали в самом начале.

Предварительные преобразования

Неравенства, которые мы разберём в этом разделе, нельзя назвать сложными. Однако в отличие от предыдущих задач здесь придётся применить навыки из теории рациональных дробей — разложение на множители и приведение к общему знаменателю.

Мы детально обсуждали этот вопрос в самом начале сегодняшнего урока. Если вы не уверены, что понимаете, о чём речь — настоятельно рекомендую вернуться и повторить. Потому что нет никакого смысла зубрить методы решения неравенств, если вы «плаваете» в преобразовании дробей.

В домашней работе, кстати, тоже будет много подобных задач. Они вынесены в отдельный подраздел. И там вас ждут весьма нетривиальные примеры. Но это будет в домашке, а сейчас давайте разберём парочку таких неравенств.

Задача. Решите неравенство:

\[\frac{x}{x-1}\le \frac{x-2}{x}\]

Решение. Переносим всё влево:

\[\frac{x}{x-1}-\frac{x-2}{x}\le 0\]

Приводим к общему знаменателю, раскрываем скобки, приводим подобные слагаемые в числителе:

\[\begin{align} & \frac{x\cdot x}{\left(x-1 \right)\cdot x}-\frac{\left(x-2 \right)\left(x-1 \right)}{x\cdot \left(x-1 \right)}\le 0; \\ & \frac{{{x}^{2}}-\left({{x}^{2}}-2x-x+2 \right)}{x\left(x-1 \right)}\le 0; \\ & \frac{{{x}^{2}}-{{x}^{2}}+3x-2}{x\left(x-1 \right)}\le 0; \\ & \frac{3x-2}{x\left(x-1 \right)}\le 0. \\\end{align}\]

Теперь перед нами классическое дробно-рациональное неравенство, решение которого уже не представляет трудности. Предлагаю решить его альтернативным методом — через метод интервалов:

\[\begin{align} & \left(3x-2 \right)\cdot x\cdot \left(x-1 \right)=0; \\ & {{x}_{1}}=\frac{2}{3};\ {{x}_{2}}=0;\ {{x}_{3}}=1. \\ \end{align}\]

Не забываем ограничение, пришедшее из знаменателя:

Отмечаем все числа и ограничения на числовой прямой:

Все корни имеют первую кратность. Никаких проблем. Просто расставляем знаки и закрашиваем нужные нам области:

Это всё. Можно записывать ответ.

Ответ. $x\in \left(-\infty ;0 \right)\bigcup \left[ {2}/{3}\;;1 \right)$.

Разумеется, это был совсем уж просто пример. Поэтому сейчас рассмотрим задачу посерьёзнее. И кстати, уровень этой задачи вполне соответствует самостоятельным и контрольным работам по этой теме в 8 классе.

Задача. Решите неравенство:

\[\frac{1}{{{x}^{2}}+8x-9}\ge \frac{1}{3{{x}^{2}}-5x+2}\]

Решение. Переносим всё влево:

\[\frac{1}{{{x}^{2}}+8x-9}-\frac{1}{3{{x}^{2}}-5x+2}\ge 0\]

Перед тем как приводить обе дроби к общему знаменателю, разложим эти знаменатели на множители. Вдруг вылезут одинаковы скобки? С первым знаменателем легко:

\[{{x}^{2}}+8x-9=\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\]

Со вторым чуть сложнее. Не стесняйтесь вносить множитель-константу в ту скобку, где обнаружилась дробь. Помните: исходный многочлен имел целые коэффициенты, поэтому велика вероятность, что и разложение на множители будет иметь целые коэффициенты (на самом деле так будет всегда, за исключением случаев, когда дискриминант иррационален).

\[\begin{align} & 3{{x}^{2}}-5x+2=3\left(x-1 \right)\left(x-\frac{2}{3} \right)= \\ & =\left(x-1 \right)\left(3x-2 \right) \end{align}\]

Как видим, есть общая скобка: $\left(x-1 \right)$. Возвращаемся к неравенству и приводим обе дроби к общему знаменателю:

\[\begin{align} & \frac{1}{\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)}-\frac{1}{\left(x-1 \right)\left(3x-2 \right)}\ge 0; \\ & \frac{1\cdot \left(3x-2 \right)-1\cdot \left(x+9 \right)}{\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right)}\ge 0; \\ & \frac{3x-2-x-9}{\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right)}\ge 0; \\ & \frac{2x-11}{\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right)}\ge 0; \\ \end{align}\]

Приравниваем к нулю знаменатель:

\[\begin{align} & \left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right)=0; \\ & x_{1}^{*}=1;\ x_{2}^{*}=-9;\ x_{3}^{*}=\frac{2}{3} \\ \end{align}\]

Никаких кратностей и совпадающих корней. Отмечаем четыре числа на прямой:

Расставляем знаки:

Записываем ответ.

Ответ: $x\in \left(-\infty ;-9 \right)\bigcup \left({2}/{3}\;;1 \right)\bigcup \left[ 5,5;+\infty \right)$.

На этом уроке мы продолжим решение рациональных неравенств методом интервалов для более сложных неравенств. Рассмотрим решение дробно-линейных и дробно-квадратичных неравенств и сопутствующие задачи.

Теперь возвращаемся к неравенству

Рассмотрим некоторые сопутствующие задачи.

Найти наименьшее решение неравенства.

Найти число натуральных решений неравенства

Найти длину интервалов, составляющих множество решений неравенства.

2. Портал Естественных Наук ().

3. Электронный учебно-методический комплекс для подготовки 10-11 классов к вступительным экзаменам по информатике, математике, русскому языку ().

5. Центр образования «Технология обучения» ().

6. Раздел College.ru по математике ().

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил. №№ 28(б,в); 29(б,в); 35(а,б); 37(б,в); 38(а).

Метод интервалов — это специальный алгоритм, предназначенный для решения сложных неравенств вида f(x) > 0. Алгоритм состоит из 5 шагов:

Решить уравнение f(x) = 0. Таким образом, вместо неравенства получаем уравнение, которое решается намного проще;
Отметить все полученные корни на координатной прямой. Таким образом, прямая разделится на несколько интервалов;
Найти кратность корней. Если корни четной кратности, то над корнем рисуем петлю. (Корень считается кратным, если существует четное количество одинаковых решений)
Выяснить знак (плюс или минус) функции f(x) на самом правом интервале. Для этого достаточно подставить в f(x) любое число, которое будет правее всех отмеченных корней;
Отметить знаки на остальных интервалах, чередуя их.

После этого останется лишь выписать интервалы, которые нас интересуют. Они отмечены знаком «+», если неравенство имело вид f(x) > 0, или знаком «−», если неравенство имеет вид f(x) < 0.

В случае с нестрогими неравенствами(≤ , ≥) необходимо включить в интервалы точки, которые являются решением уравнения f(x) = 0;

Пример 1:

Решить неравенство:

(x - 2)(x + 7) < 0

Работаем по методу интервалов.

Шаг 1: заменяем неравенство уравнением и решаем его:

(x - 2)(x + 7) = 0

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

x - 2 = 0 => x = 2

x + 7 = 0 => x = -7

Получили два корня.

Шаг 2: отмечаем эти корни на координатной прямой. Имеем:

Шаг 3: находим знак функции на самом правом интервале (правее отмеченной точки x = 2). Для этого надо взять любое число, которое больше числа x = 2. Например, возьмем x = 3 (но никто не запрещает взять x = 4, x = 10 и даже x = 10 000).

f(x) = (x - 2)(x + 7)

f(3)=(3 - 2)(3 + 7) = 1*10 = 10

Получаем, что f(3) = 10 > 0 (10 - это положительное число), поэтому в самом правом интервале ставим знак плюс.

Шаг 4: нужно отметить знаки на остальных интервалах. Помним, что при переходе через каждый корень знак должен меняться. Например, справа от корня x = 2 стоит плюс (мы убедились в этом на предыдущем шаге), поэтому слева обязан стоять минус. Этот минус распространяется на весь интервал (−7; 2), поэтому справа от корня x = −7 стоит минус. Следовательно, слева от корня x = −7 стоит плюс. Осталось отметить эти знаки на координатной оси.

Вернемся к исходному неравенству, которое имело вид:

(x - 2)(x + 7) < 0