Алгоритм гаусса решения систем линейных уравнений. Обратный ход метода гаусса

Метод Гаусса, называемый также методом последовательного исключения неизвестных, состоит в следующем. При помощи элементарных преобразований систему линейных уравнений приводят к такому виду, чтобы её матрица из коэффициентов оказалась трапециевидной (то же самое, что треугольной или ступенчатой) или близкой к трапециевидной (прямой ход метода Гаусса, далее - просто прямой ход). Пример такой системы и её решения - на рисунке сверху.

В такой системе последнее уравнение содержит только одну переменную и её значение можно однозначно найти. Затем значение этой переменной подставляют в предыдущее уравнение (обратный ход метода Гаусса , далее - просто обратный ход), из которого находят предыдущую переменную, и так далее.

В трапециевидной (треугольной) системе, как видим, третье уравнение уже не содержит переменных y и x , а второе уравнение - переменной x .

После того, как матрица системы приняла трапециевидную форму, уже не представляет труда разобраться в вопросе о совместности системы, определить число решений и найти сами решения.

Преимущества метода:

1. при решении систем линейных уравнений с числом уравнений и неизвестных более трёх метод Гаусса не такой громоздкий, как метод Крамера , поскольку при решении методом Гаусса необходимо меньше вычислений;
2. методом Гаусса можно решать неопределённые системы линейных уравнений, то есть, имеющие общее решение (и мы разберём их на этом уроке), а, используя метод Крамера, можно лишь констатировать, что система неопределённа;
3. можно решать системы линейных уравнений, в которых число неизвестных не равно числу уравнений (также разберём их на этом уроке);
4. метод основан на элементарных (школьных) методах - методе подстановки неизвестных и методе сложения уравнений, которых мы коснулись в соответствующей статье.

Чтобы все прониклись простотой, с которой решаются трапециевидные (треугольные, ступенчатые) системы линейных уравнений, приведём решение такой системы с применением обратного хода. Быстрое решение этой системы было показано на картинке в начале урока.

Пример 1. Решить систему линейных уравнений, применяя обратный ход:

Решение. В данной трапециевидной системе переменная z однозначно находится из третьего уравнения. Подставляем её значение во второе уравнение и получаем значение переменой y :

Теперь нам известны значения уже двух переменных - z и y . Подставляем их в первое уравнение и получаем значение переменной x :

Из предыдущих шагов выписываем решение системы уравнений:

Чтобы получить такую трапециевидную систему линейных уравнений, которую мы решили очень просто, требуется применять прямой ход, связанный с элементарными преобразованиями системы линейных уравнений. Это также не очень сложно.

Элементарные преобразования системы линейных уравнений

Повторяя школьный метод алгебраического сложения уравнений системы, мы выяснили, что к одному из уравнений системы можно прибавлять другое уравнение системы, причём каждое из уравнений может быть умножено на некоторые числа. В результате получаем систему линейных уравнений, эквивалентную данной. В ней уже одно уравнение содержало только одну переменную, подставляя значение которой в другие уравнений, мы приходим к решению. Такое сложение - один из видов элементарного преобразования системы. При использовании метода Гаусса можем пользоваться несколькими видами преобразований.

На анимации выше показано, как система уравнений постепенно превращается в трапециевидную. То есть такую, которую вы видели на самой первой анимации и сами убедились в том, что из неё просто найти значения всех неизвестных. О том, как выполнить такое превращение и, конечно, примеры, пойдёт речь далее.

При решении систем линейных уравнений с любым числом уравнений и неизвестных в системе уравнений и в расширенной матрице системы можно :

1. переставлять местами строки (это и было упомянуто в самом начале этой статьи);
2. если в результате других преобразований появились равные или пропорциональные строки, их можно удалить, кроме одной;
3. удалять "нулевые" строки, где все коэффициенты равны нулю;
4. любую строку умножать или делить на некоторое число;
5. к любой строке прибавлять другую строку, умноженное на некоторое число.

В результате преобразований получаем систему линейных уравнений, эквивалентную данной.

Алгоритм и примеры решения методом Гаусса системы линейных уравнений с квадратной матрицей системы

Рассмотрим сначала решение систем линейных уравений, в которых число неизвестных равно числу уравнений. Матрица такой системы - квадратная, то есть в ней число строк равно числу столбцов.

Пример 2. Решить методом Гаусса систему линейных уравнений

Решая системы линейных уравнений школьными способами, мы почленно умножали одно из уравнений на некоторое число, так, чтобы коэффициенты при первой переменной в двух уравнениях были противоположными числами. При сложении уравнений происходит исключение этой переменной. Аналогично действует и метод Гаусса.

Для упрощения внешнего вида решения составим расширенную матрицу системы :

В этой матрице слева до вертикальной черты расположены коэффициенты при неизвестных, а справа после вертикальной черты - свободные члены.

Для удобства деления коэффициентов при переменных (чтобы получить деление на единицу) переставим местами первую и вторую строки матрицы системы . Получим систему, эквивалентную данной, так как в системе линейных уравнений можно переставлять местами уравнения:

С помощью нового первого уравнения исключим переменную x из второго и всех последующих уравнений . Для этого ко второй строке матрицы прибавим первую строку, умноженную на (в нашем случае на ), к третьей строке – первую строку, умноженную на (в нашем случае на ).

Это возможно, так как

Если бы в нашей системе уравнений было больше трёх, то следовало бы прибавлять и ко всем последующим уравнениям первую строку, умноженную на отношение соответствующих коэффициентов, взятых со знаком минус.

В результате получим матрицу эквивалентную данной системе новой системы уравнений, в которой все уравнения, начиная со второго не содержат переменнную x :

Для упрощения второй строки полученной системы умножим её на и получим вновь матрицу системы уравнений, эквивалентной данной системе:

Теперь, сохраняя первое уравнение полученной системы без изменений, с помощью второго уравнения исключаем переменную y из всех последующих уравнений. Для этого к третьей строке матрицы системы прибавим вторую строку, умноженную на (в нашем случае на ).

Если бы в нашей системе уравнений было больше трёх, то следовало бы прибавлять и ко всем последующим уравнениям вторую строку, умноженную на отношение соответствующих коэффициентов, взятых со знаком минус.

В результате вновь получим матрицу системы, эквивалентной данной системе линейных уравнений:

Мы получили эквивалентную данной трапециевидную систему линейных уравнений:

Если число уравнений и переменных больше, чем в нашем примере, то процесс последовательного исключения переменных продолжается до тех пор, пока матрица системы не станет трапециевидной, как в нашем демо-примере.

Решение найдём "с конца" - обратный ход . Для этого из последнего уравнения определим z :
.
Подставив это значение в предшествующее уравнение, найдём y :

Из первого уравнения найдём x :

Ответ: решение данной системы уравнений - .

: в этом случае будет выдан тот же ответ, если система имеет однозначное решение. Если же система имеет бесконечное множество решений, то таков будет и ответ, и это уже предмет пятой части этого урока.

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса самостоятельно, а затем посмотреть решение

Перед нами вновь пример совместной и определённой системы линейных уравнений, в которой число уравнений равно числу неизвестных. Отличие от нашего демо-примера из алгоритма - здесь уже четыре уравнения и четыре неизвестных.

Пример 4. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:

Теперь нужно с помощью второго уравнения исключить переменную из последующих уравнений. Проведём подготовительные работы. Чтобы было удобнее с отношением коэффициентов, нужно получить единицу в во втором столбце второй строки. Для этого из второй строки вычтем третью, а полученную в результате вторую строку умножим на -1.

Проведём теперь собственно исключение переменной из третьего и четвёртого уравнений. Для этого к третьей строке прибавим вторую, умноженную на , а к четвёртой - вторую, умноженную на .

Теперь с помощью третьего уравнения исключим переменную из четвёртого уравнения. Для этого к четвёртой строке прибавим третью, умноженную на . Получаем расширенную матрицу трапециевидной формы.

Получили систему уравнений, которой эквивалентна заданная система:

Следовательно, полученная и данная системы являются совместными и определёнными. Окончательное решение находим «с конца». Из четвёртого уравнения непосредственно можем выразить значение переменной "икс четвёртое":

Это значение подставляем в третье уравнение системы и получаем

,

,

Наконец, подстановка значений

В первое уравнение даёт

,

откуда находим "икс первое":

Ответ: данная система уравнений имеет единственное решение .

Проверить решение системы можно и на калькуляторе, решающем методом Крамера : в этом случае будет выдан тот же ответ, если система имеет однозначное решение.

Решение методом Гаусса прикладных задач на примере задачи на сплавы

Системы линейных уравнений применяются для моделирования реальных объектов физического мира. Решим одну из таких задач - на сплавы. Аналогичные задачи - задачи на смеси, стоимость или удельный вес отдельных товаров в группе товаров и тому подобные.

Пример 5. Три куска сплава имеют общую массу 150 кг. Первый сплав содержит 60% меди, второй - 30%, третий - 10%. При этом во втором и третьем сплавах вместе взятых меди на 28,4 кг меньше, чем в первом сплаве, а в третьем сплаве меди на 6,2 кг меньше, чем во втором. Найти массу каждого куска сплава.

Решение. Составляем систему линейных уравнений:

Умножаем второе и третье уравнения на 10, получаем эквивалентную систему линейных уравнений:

Составляем расширенную матрицу системы:

Внимание, прямой ход. Путём сложения (в нашем случае - вычитания) одной строки, умноженной на число (применяем два раза) с расширенной матрицей системы происходят следующие преобразования:

Прямой ход завершился. Получили расширенную матрицу трапециевидной формы.

Применяем обратный ход. Находим решение с конца. Видим, что .

Из второго уравнения находим

Из третьего уравнения -

Проверить решение системы можно и на калькуляторе, решающем методом Крамера : в этом случае будет выдан то же ответ, если система имеет однозначное решение.

О простоте метода Гаусса говорит хотя бы тот факт, что немецкому математику Карлу Фридриху Гауссу на его изобретение потребовалось лишь 15 минут. Кроме метода его имени из творчества Гаусса известно изречение "Не следует смешивать то, что нам кажется невероятным и неестественным, с абсолютно невозможным" - своего рода краткая инструкция по совершению открытий.

Во многих прикладных задачах может и не быть третьего ограничения, то есть, третьего уравнения, тогда приходится решать методом Гаусса систему двух уравнений с тремя неизвестными, или же, наоборот - неизвестных меньше, чем уравнений. К решению таких систем уравнений мы сейчас и приступим.

С помощью метода Гаусса можно установить, совместна или несовместна любая система n линейных уравнений с n переменными.

Метод Гаусса и системы линейных уравнений, имеющие бесконечное множество решений

Следующий пример - совместная, но неопределённая система линейных уравнений, то есть имеющая бесконечное множество решений.

После выполнения преобразований в расширенной матрице системы (перестановки строк, умножения и деления строк на некоторое число, прибавлению к одной строке другой) могли появиться строки вида

Если во всех уравнениях имеющих вид

Свободные члены равны нулю, то это означает, что система неопределённа, то есть имеет бесконечное множество решений, а уравнения этого вида – «лишние» и их исключаем из системы.

Пример 6.

Решение. Составим расширенную матрицу системы. Затем с помощью первого уравнения исключим переменную из последующих уравнений. Для этого ко второй, третьей и четвёртой строкам прибавим первую, умноженную соответственно на :

Теперь вторую строку прибавим к третьей и четвёртой.

В результате приходим к системе

Последние два уравнения превратились в уравнения вида . Эти уравнения удовлетворяются при любых значениях неизвестных и их можно отбросить.

Чтобы удовлетворить второму уравнению, мы можем для и выбрать произвольные значения , тогда значение для определится уже однозначно: . Из первого уравнения значение для также находится однозначно: .

Как заданная, так и последняя системы совместны, но неопределённы, и формулы

при произвольных и дают нам все решения заданной системы.

Метод Гаусса и системы линейных уравнений, не имеющие решений

Следующий пример - несовместная система линейных уравнений, то есть не имеющая решений. Ответ на такие задачи так и формулируется: система не имеет решений.

Как уже говорилось в связи с первым примером, после выполнения преобразований в расширенной матрице системы могли появиться строки вида

соответствующие уравнению вида

Если среди них есть хотя бы одно уравнение с отличным от нуля свободным членом (т.е. ), то данная система уравнений является несовместной, то есть не имеет решений и на этом её решение закончено.

Пример 7. Решить методом Гаусса систему линейных уравнений:

Решение. Составляем расширенную матрицу системы. С помощью первого уравнения исключаем из последующих уравнений переменную . Для этого ко второй строке прибавляем первую, умноженную на , к третьей строке - первую, умноженную на , к четвёртой - первую, умноженную на .

Теперь нужно с помощью второго уравнения исключить переменную из последующих уравнений. Чтобы получить целые отношения коэффициентов, поменяем местами вторую и третью строки расширенной матрицы системы.

Для исключения из третьего и четвёртого уравнения к третьей строке прибавим вторую, умноженную на , а к четвёртой - вторую, умноженную на .

Теперь с помощью третьего уравнения исключим переменную из четвёртого уравнения. Для этого к четвёртой строке прибавим третью, умноженную на .

Заданная система эквивалентна, таким образом, следующей:

Полученная система несовместна, так как её последнее уравнение не может быть удовлетворено никакими значениями неизвестных. Следовательно, данная система не имеет решений.

Одним из простейших способов решения системы линейных уравнений является прием, основанный на вычислении определителей (правило Крамера ). Его преимущество состоит в том, что он позволяет сразу провести запись решения, особенно он удобен в тех случаях, когда коэффициенты системы являются не числами, а какими-то параметрами. Его недостаток – громоздкость вычислений в случае большого числа уравнений, к тому же правило Крамера непосредственно не применимо к системам, у которых число уравнений не совпадает с числом неизвестных. В таких случаях обычно применяют метод Гаусса .

Системы линейных уравнений, имеющие одно и то же множество решений, называются эквивалентными . Очевидно, что множество решений линейной системы не изменится, если какие-либо уравнения поменять местами, или умножить одно из уравнений на какое-либо ненулевое число, или если одно уравнение прибавить к другому.

Метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных ) заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система приводится к эквивалентной системе ступенчатого вида. Сначала с помощью 1-го уравнения исключается x 1 из всех последующих уравнений системы. Затем с помощью2-го уравнения исключается x 2 из 3-го и всех последующих уравнений. Этот процесс, называемый прямым ходом метода Гаусса , продолжается до тех пор, пока в левой части последнего уравнения останется только одно неизвестное x n . После этого производится обратный ход метода Гаусса – решая последнее уравнение, находим x n ; после этого, используя это значение, из предпоследнего уравнения вычисляем x n –1 и т.д. Последним находим x 1 из первого уравнения.

Преобразования Гаусса удобно проводить, осуществляя преобразования не с самими уравнениями, а с матрицами их коэффициентов. Рассмотрим матрицу:

называемую расширенной матрицей системы, ибо в нее, кроме основной матрицы системы, включен столбец свободных членов. Метод Гаусса основан на приведении основной матрицы системы к треугольному виду (или трапециевидному виду в случае неквадратных систем) при помощи элементарных преобразованиях строк (!) расширенной матрицы системы.

Пример 5.1. Решить систему методом Гаусса:

Решение . Выпишем расширенную матрицу системы и, используя первую строку, после этого будем обнулять остальные элементы:

получим нули во 2-й, 3-й и 4-й строках первого столбца:

Теперь нужно чтобы все элементы во втором столбце ниже 2-й строки были равны нулю. Для этого можно умножить вторую строку на –4/7 и прибавить к 3-й строке. Однако чтобы не иметь дело с дробями, создадим единицу во 2-й строке второго столбца и только

Теперь, чтобы получить треугольную матрицу, нужно обнулить элемент четвертой строки 3-го столбца, для этого можно умножить третью строку на 8/54 и прибавить ее к четвертой. Однако чтобы не иметь дело с дробями поменяем местами 3-ю и 4-ю строки и 3-й и 4-й столбец и только после этого произведем обнуление указанного элемента. Заметим, что при перестановке столбцов меняются местами, соответствующие переменные и об этом нужно помнить; другие элементарные преобразования со столбцами (сложение и умножение на число) производить нельзя!

Последняя упрощенная матрица соответствует системе уравнений, эквивалентной исходной:

Отсюда, используя обратный ход метода Гаусса, найдем из четвертого уравнения x 3 = –1; из третьего x 4 = –2, из второго x 2 = 2 и из первого уравнения x 1 = 1. В матричном виде ответ записывается в виде

Мы рассмотрели случай, когда система является определенной, т.е. когда имеется только одно решение. Посмотрим, что получится, если система несовместна или неопределенна.

Пример 5.2. Исследовать систему методом Гаусса:

Решение . Выписываем и преобразуем расширенную матрицу системы

Записываем упрощенную систему уравнений:

Здесь, в последнем уравнении получилось, что 0=4, т.е. противоречие. Следовательно, система не имеет решения, т.е. она несовместна . à

Пример 5.3. Исследовать и решить систему методом Гаусса:

Решение . Выписываем и преобразуем расширенную матрицу системы:

В результате преобразований, в последней строке получились одни нули. Это означает, что число уравнений уменьшилось на единицу:

Таким образом, после упрощений осталось два уравнения, а неизвестных четыре, т.е. два неизвестных "лишних". Пусть "лишними", или, как говорят, свободными переменными , будут x 3 и x 4 . Тогда

Полагая x 3 = 2a и x 4 = b , получим x 2 = 1–a и x 1 = 2b –a ; или в матричном виде

Записанное подобным образом решение называется общим , поскольку, придавая параметрам a и b различные значения, можно описать все возможные решения системы. à

Сегодня разбираемся с методом Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений. О том, что это за системы, можно почитать в предыдущей статье, посвященной решению тех же СЛАУ методом Крамера. Метод Гаусса не требует каких-то специфических знаний, нужна лишь внимательность и последовательность. Несмотря на то что с точки зрения математики для его применения хватит и школьной подготовки, у студентов освоение этого метода часто вызывает сложности. В этой статье попробуем свести их на нет!

Метод Гаусса

Метод Гаусса – наиболее универсальный метод решения СЛАУ (за исключением ну уж очень больших систем). В отличие от рассмотренного ранее , он подходит не только для систем, имеющих единственное решение, но и для систем, у которых решений бесконечное множество. Здесь возможны три варианта.

1. Система имеет единственное решение (определитель главной матрицы системы не равен нулю);
2. Система имеет бесконечное множество решений;
3. Решений нет, система несовместна.

Итак, у нас есть система (пусть у нее будет одно решение), и мы собираемся решать ее методом Гаусса. Как это работает?

Метод Гаусса состоит из двух этапов – прямого и обратного.

Прямой ход метода Гаусса

Сначала запишем расширенную матрицу системы. Для этого в главную матрицу добавляем столбец свободных членов.

Вся суть метода Гаусса заключается в том, чтобы путем элементарных преобразований привести данную матрицу к ступенчатому (или как еще говорят треугольному) виду. В таком виде под (или над) главной диагональю матрицы должны быть одни нули.

Что можно делать:

1. Можно переставлять строки матрицы местами;
2. Если в матрице есть одинаковые (или пропорциональные) строки, можно удалить их все, кроме одной;
3. Можно умножать или делить строку на любое число (кроме нуля);
4. Нулевые строки удаляются;
5. Можно прибавлять к строке строку, умноженную на число, отличное от нуля.

Обратный ход метода Гаусса

После того как мы преобразуем систему таким образом, одна неизвестная Xn становится известна, и можно в обратном порядке найти все оставшиеся неизвестные, подставляя уже известные иксы в уравнения системы, вплоть до первого.

Когда интернет всегда под рукой, можно решить систему уравнений методом Гаусса онлайн . Достаточно лишь вбить в онлайн-калькулятор коэффициенты. Но согласитесь, гораздо приятнее осознавать, что пример решен не компьютерной программой, а Вашим собственным мозгом.

Пример решения системы уравнений методом Гаусс

А теперь - пример, чтобы все стало наглядно и понятно. Пусть дана система линейных уравнений, и нужно решить ее методом Гаусса:

Сначала запишем расширенную матрицу:

Теперь займемся преобразованиями. Помним, что нам нужно добиться треугольного вида матрицы. Умножим 1-ую строку на (3). Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой и получим:

Затем умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

Умножим 1-ую строку на (6). Умножим 2-ую строку на (13). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Вуаля - система приведена к соответствующему виду. Осталось найти неизвестные:

Система в данном примере имеет единственное решение. Решение систем с бесконечным множеством решений мы рассмотрим в отдельной статье. Возможно, сначала Вы не будете знать, с чего начать преобразования матрицы, но после соответствующей практики набъете руку и будете щелкать СЛАУ методом Гаусса как орешки. А если Вы вдруг столкнетесь со СЛАУ, которая окажется слишком крепким орешком, обращайтесь к нашим авторам! вы можете, оставив заявку в Заочнике. Вместе мы решим любую задачу!

Данный онлайн калькулятор находит решение системы линейных уравнений (СЛУ) методом Гаусса. Дается подробное решение. Для вычисления выбирайте количество переменных и количество уравнений. Затем введите данные в ячейки и нажимайте на кнопку "Вычислить."

x 1 +x 2 +x 3 x 1 +x 2 +x 3 x 1 +x 2 +x 3 = = =

Представление чисел:

Целые числа и (или) Обыкновенные дроби
Целые числа и (или) Десятичные дроби

Число знаков после десятичного разделителя

×

Предупреждение

Очистить все ячейки?

Закрыть Очистить

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Метод Гаусса

Метод Гаусса − это метод перехода от исходной системы линейных уравнений (при помощи эквивалентных преобразований) к системе, которая решается проще, чем исходная система.

Эквивалентными преобразованиями системы линейных уравнений являются:

• перемена местами двух уравнений в системе,
• умножение какого-либо уравнения в системе на ненулевое действительное число,
• прибавление к одному уравнению другого уравнения, умноженного на произвольное число.

Рассмотрим систему линейных уравнений:

(1)

Запишем систему (1) в матричном виде:

Ax=b

(2)

(3)

A -называется матрица коэффициентов системы, b − правая часть ограничений, x − вектор переменных, которую нужно найти. Пусть rang(A )=p .

Эквивалентные преобразования не меняют ранг матрицы коэффициентов и ранг расширеннной матрицы системы. Не меняется также множество решений системы при эквивалентных преобразованиях. Суть метода Гаусса заключается в приведении матрцы коэффициентов A к диагональному или ступенчатому.

Построим расшренную матрицу системы:

На следующем этапе обнуляем все элементы столбца 2, ниже элемента . Если данный элемент нулевой, то эту строку меняем местами со строкой, лежащий ниже данной строки и имеющий ненулевой элемент во втором столбце. Далее обнуляем все элементы столбца 2 ниже ведущего элемента a 22 . Для этого сложим строки 3, ... m со строкой 2, умноженной на −a 32 /a 22 , ..., −a m2 /a 22 , соответственно. Продолжая процедуру, получим матрицу диагонального или ступенчатого вида. Пусть полученная расширенная матрица имеет вид:

(7)

Так как rangA=rang (A|b ), то множество решений (7) есть (n−p )− многообразие. Следовательно n−p неизвестных можно выбрать произвольно. Остальные неизвестные из системы (7) вычисляются так. Из последнего уравнения выражаем x p через остальные переменные и вставляем в предыдущие выражения. Далее из предпоследнего уравнения выражаем x p−1 через остальные переменные и вставляем в предыдущие выражения и т.д. Рассмотрим метод Гаусса на конкретных примерах.

Примеры решения системы линейных уравнений методом Гаусса

Пример 1. Найти общее решение системы линейных уравнений методом Гаусса:

Обозначим через a ij элементы i -ой строки и j -ого столбца.

a 1 1 . Для этого сложим строки 2,3 со строкой 1, умноженной на -2/3,-1/2 соответственно:

Матричный вид записи: Ax=b , где

Обозначим через a ij элементы i -ой строки и j -ого столбца.

Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a 11 . Для этого сложим строки 2,3 со строкой 1, умноженной на -1/5,-6/5 соответственно:

Делим каждую строку матрицы на соответствующий ведущий элемент (если ведущий элемент существует):

где x 3 , x

Подставив верхние выражения в нижние, получим решение.

Тогда векторное решение можно представить так:

где x 3 , x 4 − произвольные действительные числа.

Определение и описание метода Гаусса

Метод преобразований Гаусса (также известный как преобразование методом последовательного исключения неизвестных переменных из уравнения или матрицы) для решения систем линейных уравнений представляет собой классический методом решения системы алгебраических уравнений (СЛАУ). Также этот классический метод используют для решения таких задач как получение обратных матриц и определения ранговости матрицы.

Преобразование с помощью метода Гаусса заключается в совершении небольших (элементарных) последовательных изменениях системы линейных алгебраических уравнений, приводящих к исключению переменных из неё сверху вниз с образованием новой треугольной системы уравнений, являющейся равносильной исходной.

Определение 1

Эта часть решения носит название прямого хода решения Гаусса, так как весь процесс осуществляется сверху вниз.

После приведения исходной системы уравнений к треугольной осуществляется нахождение всех переменных системы снизу вверх (то есть первые найденные переменные занимают находятся именно на последних строчках системы или матрицы). Эта часть решения известна также как обратный ход решения методом Гаусса. Заключается его алгоритм в следующем: сначала вычисляется переменные, находящиеся ближе всего к низу системы уравнений или матрицы, затем полученные значения подставляются выше и таким образом находится ещё одна переменная и так далее.

Описание алгоритма метода Гаусса

Последовательность действий для общего решения системы уравнения методом Гаусса заключается в поочередном применении прямого и обратного хода к матрице на основе СЛАУ. Пусть исходная система уравнений имеет следующий вид:

$\begin{cases} a_{11} \cdot x_1 +...+ a_{1n} \cdot x_n = b_1 \\ ... \\ a_{m1} \cdot x_1 + a_{mn} \cdot x_n = b_m \end{cases}$

Чтобы решить СЛАУ методом Гаусса, необходимо записать исходную систему уравнений в виде матрицы:

$A = \begin{pmatrix} a_{11} & … & a_{1n} \\ \vdots & … & \vdots \\ a_{m1} & … & a_{mn} \end{pmatrix}$, $b=\begin{pmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix}$

Матрица $A$ называется основной матрицей и представляет собой записанные по порядку коэффициенты при переменных, а $b$ называется столбцом её свободных членов. Матрица $A$, записанная через черту со столбцом свободных членов называется расширенной матрицей:

$A = \begin{array}{ccc|c} a_{11} & … & a_{1n} & b_1 \\ \vdots & … & \vdots & ...\\ a_{m1} & … & a_{mn} & b_m \end{array}$

Теперь необходимо с помощью элементарных преобразований над системой уравнений (или над матрицей, так как это удобнее) привести её к следующему виду:

$\begin{cases} α_{1j_{1}} \cdot x_{j_{1}} + α_{1j_{2}} \cdot x_{j_{2}}...+ α_{1j_{r}} \cdot x_{j_{r}} +... α_{1j_{n}} \cdot x_{j_{n}} = β_1 \\ α_{2j_{2}} \cdot x_{j_{2}}...+ α_{2j_{r}} \cdot x_{j_{r}} +... α_{2j_{n}} \cdot x_{j_{n}} = β_2 \\ ...\\ α_{rj_{r}} \cdot x_{j_{r}} +... α_{rj_{n}} \cdot x_{j_{n}} = β_r \\ 0 = β_(r+1) \\ … \\ 0 = β_m \end{cases}$ (1)

Матрица, полученная из коэффициентов преобразованной системы уравнения (1) называется ступенчатой, вот так обычно выглядят ступенчатые матрицы:

$A = \begin{array}{ccc|c} a_{11} & a_{12} & a_{13} & b_1 \\ 0 & a_{22} & a_{23} & b_2\\ 0 & 0 & a_{33} & b_3 \end{array}$

Для этих матриц характерен следующий набор свойств:

1. Все её нулевые строки стоят после ненулевых
2. Если некоторая строка матрицы с номером $k$ ненулевая, то в предыдущей строчке этой же матрицы нулей меньше, чем в этой, обладающей номером $k$.

После получения ступенчатой матрицы необходимо подставить полученные переменные в оставшиеся уравнения (начиная с конца) и получить оставшиеся значения переменных.

Основные правила и разрешаемые преобразования при использовании метода Гаусса

При упрощении матрицы или системы уравнений этим методом нужно использовать только элементарные преобразования.

Таким преобразованиями считаются операции, которые возможно применять к матрице или системе уравнений без изменения её смысла:

• перестановка нескольких строк местами,
• прибавление или вычитание из одной строчки матрицы другой строчки из неё же,
• умножение или деление строчки на константу, не равную нулю,
• строчку, состоящую из одних нулей, полученную в процессе вычисления и упрощения системы, нужно удалить,
• Также нужно удалить лишние пропорциональные строчки, выбрав для системы единственную из них с более подходящими и удобными для дальнейших вычислений коэффициентами.

Все элементарные преобразования являются обратимыми.

Разбор трёх основных случаев, возникающих при решении линейных уравнений используя метод простых преобразований Гаусса

Различают три возникающих случая при использовании метода Гаусса для решения систем:

1. Когда система несовместная, то есть у неё нет каких-либо решений
2. У системы уравнений есть решение, причём единственное, а количество ненулевых строк и столбцов в матрице равно между собой.
3. Система имеет некое количество или множество возможных решений, а количество строк в ней меньше чем количество столбцов.

Исход решения с несовместной системой

Для этого варианта при решении матричного уравнения методом Гаусса характерно получение какой-то строчки с невозможностью выполнения равенства. Поэтому при возникновении хотя бы одного неправильного равенства полученная и исходная системы не имеют решений вне зависимости от остальных уравнений, которые они содержат. Пример несовместной матрицы:

$\begin{array}{ccc|c} 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}$

В последней строчке возникло невыполняемое равенство: $0 \cdot x_{31} + 0 \cdot x_{32} + 0 \cdot x_{33} = 1$.

Система уравнений, у которой есть только одно решение

Данные системы после приведения к ступенчатой матрице и удаления строчек с нулями имеют одинаковое количество строк и столбцов в основной матрице. Вот простейший пример такой системы:

$\begin{cases} x_1 - x_2 = -5 \\ 2 \cdot x_1 + x_2 = -7 \end{cases}$

Запишем её в виде матрицы:

$\begin{array}{cc|c} 1 & -1 & -5 \\ 2 & 1 & -7 \end{array}$

Чтобы привести первую ячейку второй строчки к нулю, домножим верхнюю строку на $-2$ и вычтем её из нижней строчки матрицы, а верхнюю строчку оставим в исходном виде, в итоге имеем следующее:

$\begin{array}{cc|c} 1 & -1 & -5 \\ 0 & 3 & 10 \end{array}$

Этот пример можно записать в виде системы:

$\begin{cases} x_1 - x_2 = -5 \\ 3 \cdot x_2 = 10 \end{cases}$

Из нижнего уравнения выходит следующее значение $x$: $x_2 = 3 \frac{1}{3}$. Подставим это значение в верхнее уравнение: $x_1 – 3 \frac{1}{3}$, получаем $x_1 = 1 \frac{2}{3}$.

Система, обладающая множеством возможных вариантов решений

Для этой системы характерно меньшее количество значащих строк, чем количество столбцов в ней (учитываются строки основной матрицы).

Переменные в такой системе делятся на два вида: базисные и свободные. При преобразовании такой системы содержащиеся в ней основные переменные необходимо оставить в левой области до знака “=”, а остальные переменные перенести в правую часть равенства.

У такой системы есть только некое общее решение.

Разберём следующую систему уравнений:

$\begin{cases} 2y_1 + 3y_2 + x_4 = 1 \\ 5y_3 - 4y_4 = 1 \end{cases}$

Запишем её в виде матрицы:

$\begin{array}{cccc|c} 2 & 3 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 4 & 1 \\ \end{array}$

Наша задача найти общее решение системы. Для этой матрицы базисными переменными будут $y_1$ и $y_3$ (для $y_1$ - так как он стоит на первом месте, а в случае $y_3$ - располагается после нулей).

В качестве базисных переменных выбираем именно те, которые первые в строке не равны нулю.

Оставшиеся переменные называются свободными, через них нам необходимо выразить базисные.

Используя так называемый обратный ход, разбираем систему снизу вверх, для этого сначала выражаем $y_3$ из нижней строчки системы:

$5y_3 – 4y_4 = 1$

$5y_3 = 4y_4 + 1$

$y_3 = \frac{4/5}y_4 + \frac{1}{5}$.

Теперь в верхнее уравнение системы $2y_1 + 3y_2 + y_4 = 1$ подставляем выраженное $y_3$: $2y_1 + 3y_2 - (\frac{4}{5}y_4 + \frac{1}{5}) + y_4 = 1$

Выражаем $y_1$ через свободные переменные $y_2$ и $y_4$:

$2y_1 + 3y_2 - \frac{4}{5}y_4 - \frac{1}{5} + y_4 = 1$

$2y_1 = 1 – 3y_2 + \frac{4}{5}y_4 + \frac{1}{5} – y_4$

$2y_1 = -3y_2 - \frac{1}{5}y_4 + \frac{6}{5}$

$y_1 = -1.5x_2 – 0.1y_4 + 0.6$

Решение готово.

Пример 1

Решить слау методом Гаусса. Примеры. Пример решения системы линейных уравнений заданных матрицей 3 на 3 используя метод Гаусса

$\begin{cases} 4x_1 + 2x_2 – x_3 = 1 \\ 5x_1 + 3x_2 - 2x^3 = 2\\ 3x_1 + 2x_2 – 3x_3 = 0 \end{cases}$

Запишем нашу систему в виде расширенной матрицы:

$\begin{array}{ccc|c} 4 & 2 & -1 & 1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end{array}$

Теперь для удобства и практичности нужно преобразовать матрицу так, чтобы в верхнем углу крайнего столбца была $1$.

Для этого к 1-ой строчке нужно прибавляем строчку из середины, умноженную на $-1$, а саму среднюю строчку записываем как есть, выходит:

$\begin{array}{ccc|c} -1 & -1 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end{array}$

$\begin{array}{ccc|c} -1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 0 & -3\\ \end{array}$

Домножим верхнюю и последнюю строчки на $-1$, а также поменяем местами последнюю и среднюю строки:

$\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 3 & -3\\ \end{array}$

$\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3\\ \end{array}$

И разделим последнюю строчку на $3$:

$\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1\\ \end{array}$

Получаем следующую систему уравнений, равносильную исходной:

$\begin{cases} x_1 + x_2 – x_3 = 1\\ x_2 = 3 \\ x_3 = 1 \end{cases}$

Из верхнего уравнения выражаем $x_1$:

$x1 = 1 + x_3 – x_2 = 1 + 1 – 3 = -1$.

Пример 2

Пример решения системы, заданной с помощью матрицы 4 на 4 методом Гаусса

$\begin{array}{cccc|c} 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \end{array}$.

В начале меняем местами верхнюю исследующую за ней строчки, чтобы получить в левом верхнем углу $1$:

$\begin{array}{cccc|c} 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \end{array}$.

Теперь умножим верхнюю строчку на $-2$ и прибавим ко 2-ой и к 3-ьей. К 4-ой прибавляем 1-ую строку, домноженную на $-3$:

$\begin{array}{cccc|c} 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 4 & 5 & 5 & 18\\ 0 & -1 & 3 & -1 & 4 \\ \end{array}$

Теперь к строке с номером 3 прибавляем строку 2, умноженную на $4$, а к строке 4 прибавляем строку 2, умноженную на $-1$.

$\begin{array}{cccc|c} 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10\\ 0 & 0 & 3 & 0 & 6 \\ \end{array}$

Домножаем строку 2 на $-1$, а строку 4 делим на $3$ и ставим на место строки 3.

$\begin{array}{cccc|c} 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10 \\ \end{array}$

Теперь прибавляем к последней строке предпоследнюю, домноженную на $-5$.

$\begin{array}{cccc|c} 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{array}$

Решаем полученную систему уравнений:

$\begin{cases} m = 0 \\ g = 2\\ y + m = 2\ \ x + 3y + 2g + m = 11\end{cases}$