Inštrukcia

Dostali ste tri body. Označme ich ako (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3). Predpokladá sa, že tieto body sú vrcholmi niektorých trojuholník. Úlohou je poskladať rovnice jej strán – presnejšie rovnice tých priamok, na ktorých tieto strany ležia. Tieto rovnice by mali vyzerať takto:
y = k1*x + bl;
y = k2*x + b2;
y = k3*x + b3. Musíte teda nájsť uhol k1, k2, k3 a ofsety b1, b2, b3.

Nájdite priamku prechádzajúcu bodmi (x1, y1), (x2, y2). Ak x1 = x2, potom je požadovaná čiara vertikálna a jej rovnica je x = x1. Ak y1 = y2, potom je priamka vodorovná a jej rovnica je y = y1. Vo všeobecnosti tieto súradnice nebudú navzájom.

Dosadením súradníc (x1, y1), (x2, y2) do všeobecnej rovnice priamky dostaneme sústavu dvoch lineárnych rovníc: k1*x1 + b1 = y1;
k1*x2 + b1 = y2 Odčítajte jednu rovnicu od druhej a vyriešte výslednú rovnicu pre k1: k1*(x2 - x1) = y2 - y1, teda k1 = (y2 - y1)/(x2 - x1).

Nahradením nájdeným v ktorejkoľvek z pôvodných rovníc nájdite výraz pre b1: ((y2 - y1)/(x2 - x1))*x1 + b1 = y1;
b1 = y1 - ((y2 - y1)/(x2 - x1))*x1. Keďže už vieme, že x2 ≠ x1, výraz môžeme zjednodušiť tak, že y1 vynásobíme (x2 - x1)/(x2 - x1). Potom pre b1 dostanete nasledujúci výraz: b1 = (x1*y2 - x2*y1)/(x2 - x1).

Skontrolujte, či je tretí z daných bodov na nájdenej čiare. Ak to chcete urobiť, dosaďte (x3, y3) do odvodenej rovnice a zistite, či platí rovnosť. Ak je teda pozorovaný, všetky tri body ležia na jednej priamke a trojuholník sa zvrhne na úsečku.

Rovnakým spôsobom, ako je popísané vyššie, odvodzujte rovnice pre priamky prechádzajúce bodmi (x2, y2), (x3, y3) a (x1, y1), (x3, y3).

Konečný tvar rovníc pre strany trojuholníka daný súradnicami vrcholov je: (1) y = ((y2 - y1)*x + (x1*y2 - x2*y1))/(x2 - x1 );
(2) y = ((y3 - y2)*x + (x2*y3 - x3*y2))/(x3 - x2);
(3) y = ((y3 - y1)*x + (x1*y3 - x3*y1))/(x3 - x1).

Nájsť rovnice strany trojuholník v prvom rade sa musíme pokúsiť vyriešiť otázku, ako nájsť rovnicu priamky na rovine, ak jej smerový vektor s(m, n) a nejaký bod М0(x0, y0) patriaci priamke sú známy.

Inštrukcia

Vezmite ľubovoľnú (premennú, plávajúcu) bodku M(x, y) a zostrojte vektor M0M =(x-x0, y-y0) (zapíšte si a M0M(x-x0, y-y0)), ktorý bude zrejme kolineárny (paralelný ) k s. Potom môžeme konštatovať, že súradnice týchto vektorov sú proporcionálne, takže môžeme zostaviť kanonickú čiaru: (x-x0)/m = (y-y0)/n. Práve tento pomer sa použije pri riešení problému.

Všetky ďalšie akcie sa určujú na základe metódy .1. spôsob. Trojuholník je daný súradnicami jeho troch vrcholov, čo v školskej geometrii určuje dĺžky jeho troch strany(pozri obr. 1). To znamená, že v podmienke sú uvedené body M1(x1, y1), M2(x2, y2), M3(x3, y3). Zodpovedajú svojim polomerovým vektorom) OM1, 0M2 a OM3 s rovnakými súradnicami ako body. Na získanie rovnice strany s M1M2 vyžaduje svoj smerový vektor M1M2=OM2 - OM1=M1M2(x2-x1, y2-y1) a ktorýkoľvek z bodov M1 alebo M2 (tu sa berie bod s nižším indexom).

Tak pre strany s M1M2 je kanonická rovnica priamky (x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1). Pôsobením čisto induktívne môžeme písať rovnice zvyšok strany.Pre strany s M2M3: (x-x2)/(x3-x2)=(y-y2)/(y3-y2). Pre strany s M1M3: (x-x1)/(x3-x1)=(y-y1)/(y3-y1).

2. spôsob. Trojuholník je daný dvoma bodmi (rovnako ako predtým M1(x1, y1) a M2(x2, y2)), ako aj vektormi smerov ďalších dvoch strany. Pre strany s М2М3: p^0(m1, n1). Pre M1M3: q^0(m2, n2). Preto pre strany s М1М2 bude rovnaký ako v prvej metóde: (x-x1) / (x2-x1) \u003d (y-y1) / (y2-y1).

Pre strany s М2М3 ako bod (x0, y0) kanonického rovnice(x1, y1) a smerový vektor je p^0(m1, n1). Pre strany s M1M3 ako bod (x0, y0) sa vezme (x2, y2), smerový vektor je q^0(m2, n2). Teda pre M2M3: rovnica (x-x1)/m1=(y-y1)/n1.Pre M1M3: (x-x2)/m2=(y-y2)/n2.

Podobné videá

Tip 3: Ako zistiť výšku trojuholníka podľa súradníc bodov

Výška sa nazýva priamka spájajúca hornú časť postavy s opačnou stranou. Tento segment musí byť nevyhnutne kolmý na stranu, takže z každého vrcholu môže byť nakreslený iba jeden výška. Keďže na tomto obrázku sú tri vrcholy, má rovnaký počet výšok. Ak je trojuholník daný súradnicami jeho vrcholov, dĺžku každej z výšok možno vypočítať napríklad pomocou vzorca na zistenie plochy a výpočet dĺžok strán.

Inštrukcia

Začnite výpočtom dĺžok strán trojuholník. Vymenovať súradnicečíslice ako toto: A(X1,Y1,Z1), B(X2,Y2,Z2) a C(X3,Y3,Z3). Potom môžete vypočítať dĺžku strany AB pomocou vzorca AB = √((X₁-X₂)² + (Y1-Y₂)² + (Z₁-Z₂)²). Pre ostatné dve strany budú tieto vyzerať takto: BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) a AC = √((X₁-X₃)² + ( Y1-Y3)2 + (Z1-Z3)2). Napríklad pre trojuholník so súradnicami A(3,5,7), B(16,14,19) a C(1,2,13) ​​je dĺžka strany AB √((3-16)² + (5-14) ² + (7 -19)²) = √(-13² + (-9²) + (-12²)) = √(169 + 81 + 144) = √394 ≈ 19,85. Dĺžky strán BC a AC vypočítané rovnakým spôsobom budú √(15² + 12² + 6²) = √405 ≈ 20,12 a √(2² + 3² + (-6²)) = √49 = 7.

Na výpočet plochy stačí poznať dĺžky troch strán získaných v predchádzajúcom kroku trojuholník(S) podľa Heronovho vzorca: S = ¼ * √((AB+BC+CA) * (BC+CA-AB) * (AB+CA-BC) * (AB+BC-CA)). Napríklad náhrady v tomto vzorci za hodnoty získané zo súradníc trojuholník-vzorka z predchádzajúceho kroku, dostane hodnotu: S = ¼*√((19,85+20,12+7) * (20,12+7-19,85) * (19,85+7-20,12 ) * (19,85+20,12-7) ) = ¼*√(46,97 * 7,27 * 6,73 * 32,97) ≈ ¼*√75768,55 ≈ ¼*275,26 = 68,815 .

Na základe oblasti trojuholník, vypočítané v predchádzajúcom kroku a dĺžky strán získané v druhom kroku, vypočítajte výšky pre každú zo strán. Pretože plocha sa rovná polovici súčinu výšky a dĺžky strany, na ktorú je nakreslená, na zistenie výšky vydeľte dvojnásobok plochy dĺžkou požadovanej strany: H \u003d 2 * S / a. Vo vyššie uvedenom príklade bude výška znížená na stranu AB 2 * 68,815 / 16,09 ≈ 8,55, výška na stranu BC bude mať dĺžku 2 * 68,815 / 20,12 ≈ 6,84 a pre stranu AC bude táto hodnota rovná 2 *68,815/7 ≈ 19,66.

Zdroje:

• dané body nájdite obsah trojuholníka

Rada 4: Ako nájsť rovnice jeho strán podľa súradníc vrcholov trojuholníka

V analytickej geometrii môže byť trojuholník na rovine špecifikovaný v karteziánskom súradnicovom systéme. Keď poznáte súradnice vrcholov, môžete napísať rovnice pre strany trojuholníka. Budú to rovnice troch priamych čiar, ktoré sa pretínajú a vytvárajú obrazec.

1. Rovnica strán AB a BC a ich sklony.
Úloha udáva súradnice bodov, ktorými tieto priamky prechádzajú, preto použijeme rovnicu priamky prechádzajúcej cez dva dané body $$\frac(x-x_1)(x_2-x_1)=\frac(y-y_1) (y_2-y_1)$ $ nahraďte a získajte rovnice
rovnica priamky AB $$\frac(x+6)(6+6)=\frac(y-8)(-1-8) => y = -\frac(3)(4)x + \frac( 7 )(2)$$ sklon priamky AB je \(k_(AB) = -\frac(3)(4)\)
rovnica priamky BC $$\frac(x-4)(6-4)=\frac(y-13)(-1-13) => y = -7x + 41$$ sklon priamky BC je \(k_ (BC) = -7\)

2. Uhol B v radiánoch na dve desatinné miesta
Uhol B - uhol medzi čiarami AB a BC, ktorý sa vypočíta podľa vzorca $$tg\phi=|\frac(k_2-k_1)(1+k_2*k_1)|$$ dosaďte koeficienty sklonu týchto čiar a získajte $$tg\ phi=|\frac(-7+\frac(3)(4))(1+7*\frac(3)(4))| = 1 => \phi = \frac(\pi)(4) \približne 0,79 $$
3.Dĺžka strany AB
Dĺžka strany AB sa vypočíta ako vzdialenosť medzi bodmi a rovná sa \(d = \sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)\) => $$d_(AB ) = \sqrt((6+ 6)^2+(-1-8)^2) = 15 $$
4. Rovnica výšky CD a jeho dĺžky.
Výškovú rovnicu nájdeme vzorcom priamky prechádzajúcej daným bodom С(4;13) v danom smere - kolmej na priamku AB podľa vzorca \(y-y_0=k(x-x_0) )\). Nájdite sklon výšky \(k_(CD)\) pomocou vlastnosti kolmých čiar \(k_1=-\frac(1)(k_2)\) dostaneme $$k_(CD)= -\frac(1) (k_(AB) ) = -\frac(1)(-\frac(3)(4)) = \frac(4)(3)$$ (x-4) => y = \frac(4)( 3)x+\frac(23)(3)$$ = \frac(Ax_0+By_0+C)(\sqrt(A^2+B^2))$$ v čitateli je rovnica riadku AB, prinášame do tohto tvaru \(y = -\frac(3)(4)x + \frac(7)(2) => 4y+3x-14 = 0\) , dosaďte výslednú rovnicu a súradnice bodu do vzorca $ $d = \frac(4*13+3*4-14)(\sqrt( 4^2+3^2)) = \frac(50)(5) =10$$

5. Rovnica mediánu AE a súradníc bodu K, priesečníka tohto mediánu s výškou CD.
Mediánovú rovnicu budeme hľadať ako rovnicu priamky prechádzajúcej cez dva dané body A(-6;8) a E , kde bod E je stredom medzi bodmi B a C a jeho súradnice nájdeme podľa vzorca \( E(\frac(x_2+x_1) (2);\frac(y_2+y_1)(2))\) nahraďte súradnice bodov \(E(\frac(6+4)(2);\frac( -1+13)(2))\) = > \(E(5; 6)\), potom rovnica pre medián AE je $$\frac(x+6)(5+6)=\frac(y -8)(6-8) => y = - \frac(2)(11)x + \frac(76)(11)$$Nájdite súradnice priesečníka výšok a mediánu, t.j. nájsť ich spoločný bod Na tento účel zostavte rovnicu systému $$\begin(cases)y = -\frac(2)(11)x + \frac(76)(11)\\y = \frac(4)( 3)x+ \frac(23)(3)\koniec(prípady)=>\začiatok(prípady)11r = -2x +76\\3y = 4x+23\koniec(prípady)=>$$$$\začiatok( prípady)22r = -4x +152\\3y = 4x+23\koniec(prípady)=> \začiatok(prípady)25r =175\\3y = 4x+23\koniec(prípady)=> $$$$\začiatok (cases) y =7\\ x=-\frac(1)(2)\end(cases)$$ Súradnice križovatky \(K(-\frac(1)(2);7)\)

6. Rovnica priamky, ktorá prechádza bodom K rovnobežne so stranou AB.
Ak sú čiary rovnobežné, potom sú ich sklony rovnaké, t.j. \(k_(AB)=k_(K) = -\frac(3)(4)\) , známe sú aj súradnice bodu \(K(-\frac(1)(2);7)\) , t.j. na nájdenie rovnice priamky použijeme vzorec pre rovnicu priamky prechádzajúcej daným bodom v danom smere \(y - y_0=k(x-x_0)\), dosadíme údaj a dostaneme $$y - 7= -\frac(3)(4) (x-\frac(1)(2)) => y = -\frac(3)(4)x + \frac(53)(8) $$

8. Súradnice bodu M, ktorý je symetrický k bodu A vzhľadom na priamku CD.
Bod M leží na priamke AB, pretože CD - výška na túto stranu. Nájdite priesečník CD a AB. Na tento účel vyriešte sústavu rovníc $$\begin(cases)y = \frac(4)(3)x+\frac(23)(3)\\y = -\ frac(3)(4) x + \frac(7)(2)\koniec(prípady) =>\začiatok(prípady)3y = 4x+23\\4y =-3x + 14\koniec (prípady) => $ $$$\začiatok(prípady)12r = 16x+92\\12r =-9x + 42\koniec (prípady) =>
\začiatok(prípady)0= 25x+50\\12y =-9x + 42\koniec(prípady) => $$$$\začiatok(prípady)x=-2\\y=5 \koniec (prípady)$$ Súradnice bodu D(-2;5). Podmienkou AD=DK sa táto vzdialenosť medzi bodmi zistí podľa Pytagorovho vzorca \(d = \sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)\), kde AD a DK sú prepony rovnakých pravouhlých trojuholníkov a \(Δx =x_2-x_1\) a \(Δy=y_2-y_1\) sú nohy týchto trojuholníkov, t.j. nájdite nohy a nájdite súradnice bodu M. \(Δx=x_D-x_A = -2+6=4\), a \(Δy=y_D-y_A = 5-8=-3\), potom súradnice bodu M sa bude rovnať \ (x_M-x_D = Δx => x_D +Δx =-2+4=2 \), a \(y_M-y_D = Δy => y_D +Δy =5-3=2 \ ), dostal som, že súradnice bodu \( M(2;2)\)

V úlohách 1 - 20 sú uvedené vrcholy trojuholníka ABC.
Nájdite: 1) dĺžku strany AB; 2) rovnice strán AB a AC a ich sklony; 3) Vnútorný uhol A v radiánoch s presnosťou 0,01; 4) rovnica výšky CD a jeho dĺžka; 5) rovnica kruhu, pre ktorú je výška CD priemerom; 6) sústava lineárnych nerovností, ktoré definujú trojuholník ABC.

Dĺžka strán trojuholníka:
|AB| = 15
|AC| = 11,18
|BC| = 14,14
Vzdialenosť d od bodu M: d = 10
Dané súradnice vrcholov trojuholníka: A(-5,2), B(7,-7), C(5,7).
2) Dĺžka strán trojuholníka
Vzdialenosť d medzi bodmi M 1 (x 1; y 1) a M 2 (x 2; y 2) je určená vzorcom:

8) Rovnica s priamkou
Priamku prechádzajúcu bodmi A 1 (x 1; y 1) a A 2 (x 2; y 2) znázorňujú rovnice:

Rovnica priamky AB


alebo

alebo
y = -3/4 x -7/4 alebo 4y + 3x +7 = 0
Line AC rovnica
Kanonická rovnica priamky:

alebo

alebo
y = 1/2 x + 9/2 alebo 2y-x-9 = 0
Rovnica priamky BC
Kanonická rovnica priamky:

alebo

alebo
y = -7x + 42 alebo y + 7x - 42 = 0
3) Uhol medzi rovnými čiarami
Rovnica s priamkou AB:y = -3 / 4 x -7 / 4
Rovnica s priamkou AC:y = 1 / 2 x + 9 / 2
Uhol φ medzi dvoma priamkami danými rovnicami s koeficientmi sklonu y \u003d k 1 x + b 1 a y 2 \u003d k 2 x + b 2 sa vypočíta podľa vzorca:

Sklony týchto priamych línií sú -3/4 a 1/2. Použijeme vzorec a vezmeme jeho modul na pravej strane:

tan φ = 2
φ = arctan(2) = 63,44 0 alebo 1,107 rad.
9) Výšková rovnica cez vrchol C
Priamka prechádzajúca bodom N 0 (x 0; y 0) a kolmá na priamku Ax + By + C = 0 má smerový vektor (A; B), a preto je reprezentovaná rovnicami:



Túto rovnicu možno nájsť aj iným spôsobom. Na tento účel nájdeme sklon k 1 priamky AB.
Rovnica AB: y = -3 / 4 x -7 / 4, t.j. k 1 \u003d -3/4
Nájdite sklon k kolmici z podmienky kolmosti dvoch priamok: k 1 *k = -1.
Ak namiesto k 1 nahradíme sklon tejto priamky, dostaneme:
-3/4 k = -1, odkiaľ k = 4/3
Keďže kolmica prechádza bodom C(5,7) a má k = 4 / 3, budeme hľadať jej rovnicu v tvare: y-y 0 = k(x-x 0).
Nahradením x 0 \u003d 5, k \u003d 4/3, y 0 \u003d 7 dostaneme:
y-7 = 4/3 (x-5)
alebo
y = 4 / 3 x + 1 / 3 alebo 3 roky -4x - 1 = 0
Nájdite priesečník s priamkou AB:
Máme systém dvoch rovníc:
4r + 3x +7 = 0
3r -4x -1 = 0
Vyjadrite y z prvej rovnice a dosaďte ho do druhej rovnice.
Dostaneme:
x = -1
y = -1
D(-1;-1)
9) Dĺžka výšky trojuholníka nakresleného z vrcholu C
Vzdialenosť d od bodu M 1 (x 1; y 1) k priamke Ax + By + C \u003d 0 sa rovná absolútnej hodnote množstva:

Nájdite vzdialenosť medzi bodom C(5;7) a priamkou AB (4y + 3x +7 = 0)


Dĺžku výšky možno vypočítať aj pomocou iného vzorca, ako vzdialenosť medzi bodom C(5;7) a bodom D(-1;-1).
Vzdialenosť medzi dvoma bodmi je vyjadrená súradnicami podľa vzorca:

5) rovnica kruhu, pre ktorú je výška CD priemerom;
Rovnica kružnice s polomerom R so stredom v bode E(a;b) má tvar:
(x-a)2+ (y-b)2 = R2
Pretože CD je priemer požadovaného kruhu, jeho stred E je stredom segmentu CD. Pomocou vzorcov na rozdelenie segmentu na polovicu dostaneme:


Preto E (2; 3) a R \u003d CD / 2 \u003d 5. Pomocou vzorca dostaneme rovnicu požadovaného kruhu: (x-2) 2 + (y-3) 2 \u003d 25

6) sústava lineárnych nerovností, ktoré definujú trojuholník ABC.
Rovnica priamky AB: y = -3 / 4 x -7 / 4
Rovnica čiary AC: y = 1 / 2 x + 9 / 2
Rovnica priamky BC: y = -7x + 42

Ako sa naučiť riešiť problémy v analytickej geometrii?
Typický problém s trojuholníkom v rovine

Táto lekcia bola vytvorená o priblížení sa k rovníku medzi geometriou roviny a geometriou priestoru. V súčasnosti je potrebné systematizovať nahromadené informácie a odpovedať na veľmi dôležitú otázku: ako sa naučiť riešiť problémy v analytickej geometrii?Ťažkosť spočíva v tom, že v geometrii existuje nekonečné množstvo problémov a žiadna učebnica nemôže obsahovať všetky príklady. Nie je derivácia funkcie s piatimi pravidlami diferenciácie, tabuľkou a niekoľkými technikami...

Existuje riešenie! Nebudem hovoriť nahlas, že som vyvinul nejakú grandióznu techniku, ale podľa môjho názoru existuje efektívny prístup k uvažovanému problému, ktorý umožňuje aj s plnou kanvicou dosiahnuť dobré a vynikajúce výsledky. Prinajmenšom sa v mojej hlave veľmi jasne formoval všeobecný algoritmus na riešenie geometrických problémov.

ČO POTREBUJETE VEDIEŤ A SCHOPNIŤ
úspešne riešiť problémy v geometrii?

Z toho sa nedá ujsť - aby ste si náhodne nestrkali gombíky nosom, musíte ovládať základy analytickej geometrie. Preto, ak ste práve začali študovať geometriu alebo ste ju úplne zabudli, začnite s lekciou Vektory pre figuríny . Okrem vektorov a akcií s nimi musíte poznať základné pojmy rovinnej geometrie, najmä rovnica priamky v rovine A . Geometria priestoru je reprezentovaná článkami Rovinná rovnica , Rovnice priamky v priestore , Základné úlohy na priamke a rovine a niektoré ďalšie lekcie. Zakrivené línie a priestorové plochy druhého rádu stoja trochu od seba a nie je s nimi toľko špecifických problémov.

Predpokladajme, že študent už má základné vedomosti a zručnosti pri riešení najjednoduchších problémov analytickej geometrie. Ale stane sa to takto: prečítate si stav problému a ... chcete celú vec úplne uzavrieť, hodiť ju do vzdialeného kúta a zabudnúť na ňu ako na nočnú moru. Navyše to zásadne nezávisí od úrovne vašej kvalifikácie, sám sa z času na čas stretávam s úlohami, pri ktorých riešenie nie je zrejmé. Ako postupovať v takýchto prípadoch? Netreba sa báť úlohy, ktorej nerozumiete!

Po prvé, by mala byť nastavená na je to "rovinný" alebo priestorový problém? Napríklad, ak sa v podmienke objavia vektory s dvoma súradnicami, potom je to, samozrejme, geometria roviny. A ak učiteľ naložil vďačnému poslucháčovi pyramídu, tak je tu jednoznačne geometria priestoru. Výsledky prvého kroku sú už celkom dobré, pretože sa nám podarilo odrezať obrovské množstvo informácií nepotrebných pre túto úlohu!

Po druhé. Podmienka sa vás spravidla týka nejakého geometrického útvaru. Naozaj, prejdite sa po chodbách svojej rodnej univerzity a uvidíte veľa úzkostných tvárí.

V „plochých“ problémoch, nehovoriac o zjavných bodoch a líniách, je najobľúbenejšou postavou trojuholník. Budeme to analyzovať veľmi podrobne. Nasleduje rovnobežník a obdĺžnik, štvorec, kosoštvorec, kruh a iné postavy sú oveľa menej bežné.

V priestorových úlohách môžu lietať rovnaké ploché postavy + samotné lietadlá a bežné trojuholníkové pyramídy s rovnobežnostenami.

Otázka druhá - Viete všetko o tejto postave? Predpokladajme, že podmienka je o rovnoramennom trojuholníku a veľmi matne si pamätáte, o aký trojuholník ide. Otvárame školskú učebnicu a čítame o rovnoramennom trojuholníku. Čo robiť ... doktor povedal kosoštvorec, takže kosoštvorec. Analytická geometria je analytická geometria, ale problém pomôže vyriešiť geometrické vlastnosti samotných postáv nám známe zo školských osnov. Ak neviete, aký je súčet uhlov trojuholníka, môžete dlho trpieť.

Po tretie. VŽDY sa snažte postupovať podľa plánu(na prievan / čistý / duševne), aj keď to podmienka nevyžaduje. Sám Euklides pri „plochých“ úlohách nariadil vziať si pravítko s ceruzkou do ruky – a to nielen kvôli pochopeniu stavu, ale aj kvôli samotestovaniu. V tomto prípade je najvhodnejšia mierka 1 jednotka = 1 cm (2 bunky tetrády). Nehovorme o nedbalých študentoch a matematikoch, ktorí sa točia v hroboch – v takýchto problémoch je takmer nemožné urobiť chybu. Pre priestorové úlohy vykonávame schematický výkres, ktorý tiež pomôže analyzovať stav.

Výkres alebo schematický výkres často okamžite umožňuje vidieť spôsob riešenia problému. Samozrejme, na to potrebujete poznať základy geometrie a rezať vlastnosti geometrických tvarov (pozri predchádzajúci odsek).

štvrtý. Vývoj algoritmu riešenia. Mnohé geometrické úlohy sú viacpriechodové, preto je veľmi vhodné rozdeliť riešenie a jeho návrh na body. Algoritmus vám často príde na myseľ po prečítaní podmienky alebo dokončení výkresu. V prípade ťažkostí začíname OTÁZKOU problému. Napríklad podľa podmienky „je potrebné postaviť priamku ...“. Tu je najlogickejšia otázka: „Čo stačí vedieť na vybudovanie tejto linky?“. Predpokladajme, že "poznáme bod, potrebujeme poznať smerový vektor." Kladieme si nasledujúcu otázku: „Ako nájsť tento smerový vektor? Kde?" atď.

Niekedy je tam "zástrčka" - úloha nie je vyriešená a to je všetko. Dôvody pre zátku môžu byť nasledovné:

- Vážna medzera v základných vedomostiach. Inými slovami, neviete alebo (a) nevidíte veľmi jednoduchú vec.

- Neznalosť vlastností geometrických útvarov.

- Úloha bola náročná. Áno, stáva sa. Nemá zmysel celé hodiny naparovať a zbierať slzy do vreckovky. Opýtajte sa svojho učiteľa, spolužiakov alebo položte otázku na fóre o radu. Okrem toho je lepšie uviesť svoje vyhlásenie konkrétne - o tej časti riešenia, ktorej nerozumiete. Výkrik v podobe "Ako vyriešiť problém?" nevyzerá dobre... a predovšetkým pre svoju vlastnú povesť.

Piata etapa. Riešime-kontrolujeme, riešime-kontrolujeme, riešime-kontrolujeme-dajme odpoveď. Je užitočné skontrolovať každú položku úlohy ihneď po jeho vykonaní. To vám pomôže okamžite nájsť chybu. Prirodzene, nikto nezakazuje rýchlo vyriešiť celý problém, ale existuje riziko prepisovania všetkého znova (často aj niekoľkých strán).

Tu sú snáď všetky hlavné úvahy, ktorými je vhodné sa riadiť pri riešení problémov.

Praktickú časť hodiny predstavuje geometria v rovine. Budú len dva príklady, ale nebude to stačiť =)

Poďme si prejsť vláknom algoritmu, ktorý som práve preskúmal vo svojej malej vedeckej práci:

Príklad 1

Sú uvedené tri vrcholy rovnobežníka. Nájsť top.

Začnime to zisťovať:

Krok jedna: je zrejmé, že hovoríme o „plochom“ probléme.

krok dva: Problém sa týka rovnobežníka. Každý si pamätá taký rovnobežník? Netreba sa usmievať, veľa ľudí sa vzdeláva vo veku 30-40-50 a viac rokov, takže aj jednoduché fakty sa dajú vymazať z pamäte. Definícia rovnobežníka sa nachádza v príklade č. 3 lekcie Lineárna (ne)závislosť vektorov. Vektorový základ .

Krok tri: Urobme si kresbu, na ktorej si označíme tri známe vrcholy. Je zábavné, že je ľahké okamžite vytvoriť požadovaný bod:

Konštrukcia je, samozrejme, dobrá, ale riešenie musí byť formalizované analyticky.

Krok štyri: Vývoj algoritmu riešenia. Prvá vec, ktorá príde na myseľ, je, že bod možno nájsť ako priesečník čiar. Ich rovnice sú nám neznáme, takže sa musíme zaoberať týmto problémom:

1) Protiľahlé strany sú rovnobežné. Podľa bodov nájdite smerový vektor týchto strán. Toto je najjednoduchšia úloha, ktorá sa v lekcii zvažovala. Vektory pre figuríny .

Poznámka: správnejšie je povedať „rovnica priamky obsahujúcej stranu“, ale ďalej budem pre stručnosť používať výrazy „rovnica strany“, „riadiaci vektor strany“ atď.

3) Protiľahlé strany sú rovnobežné. Z bodov nájdeme smerový vektor týchto strán.

4) Zostavte rovnicu priamky bodovým a smerovým vektorom

V odsekoch 1-2 a 3-4 sme vlastne ten istý problém riešili dvakrát, mimochodom, rozoberáme ho v príklade č.3 lekcie Najjednoduchšie problémy s priamkou v rovine . Dalo sa ísť aj dlhšie - najprv nájsť rovnice priamok a až potom z nich „vytiahnuť“ smerové vektory.

5) Teraz sú známe rovnice priamok. Zostáva poskladať a vyriešiť príslušnú sústavu lineárnych rovníc (pozri príklady č. 4, 5 tej istej lekcie Najjednoduchšie problémy s priamkou v rovine ).

Bod nájdený.

Úloha je celkom jednoduchá a jej riešenie je zrejmé, existuje však aj kratšia cesta!

Druhý spôsob riešenia:

Uhlopriečky rovnobežníka sú rozdelené na polovicu ich priesečníka. Bod som označil, ale aby som kresbu nezapratal, uhlopriečky som nekreslil sám.

Zostavte rovnicu strany po bodoch :

Ak chcete skontrolovať, mentálne alebo na návrhu, nahraďte súradnice každého bodu vo výslednej rovnici. Teraz nájdime svah. Aby sme to dosiahli, prepíšeme všeobecnú rovnicu vo forme rovnice so sklonom:

Takže faktor sklonu je:

Podobne nájdeme rovnice strán. Nevidím veľký zmysel maľovať to isté, takže okamžite dám hotový výsledok:

2) Nájdite dĺžku strany. Toto je najjednoduchšia úloha diskutovaná v lekcii. Vektory pre figuríny . Na body použijeme vzorec:

Pomocou rovnakého vzorca je ľahké nájsť dĺžky ostatných strán. Kontrola sa vykonáva veľmi rýchlo pomocou bežného pravítka.

Používame vzorec .

Poďme nájsť vektory:

Takto:

Mimochodom, po ceste sme našli dĺžky strán.

Ako výsledok:

No zdá sa, že je to pravda, pre presvedčivosť si môžete do rohu pripevniť uhlomer.

Pozor! Nezamieňajte si uhol trojuholníka s uhlom medzi rovnými čiarami. Uhol trojuholníka môže byť tupý, ale uhol medzi priamkami nie (pozri posledný odsek článku Najjednoduchšie problémy s priamkou v rovine ). Vzorce z predchádzajúcej lekcie sa však dajú použiť aj na nájdenie uhla trojuholníka, ale drsné je, že tieto vzorce vždy dávajú ostrý uhol. S ich pomocou som tento problém vyriešil na návrhu a dostal som výsledok. A na čistopis by ste si museli zapísať ďalšie výhovorky, že.

4) Napíšte rovnicu priamky prechádzajúcej bodom rovnobežným s priamkou.

Štandardná úloha, podrobne rozobratá v príklade č. 2 lekcie Najjednoduchšie problémy s priamkou v rovine . Zo všeobecnej rovnice priamky vytiahnite smerový vektor. Zostavme rovnicu priamky bodom a smerovacím vektorom:

Ako zistiť výšku trojuholníka?

5) Urobme rovnicu výšky a nájdeme jej dĺžku.

Pred prísnymi definíciami niet úniku, takže musíte kradnúť zo školskej učebnice:

výška trojuholníka nazývaná kolmica vedená z vrcholu trojuholníka k čiare obsahujúcej opačnú stranu.

To znamená, že je potrebné zostaviť rovnicu kolmice vedenej z vrcholu na stranu. Táto úloha je uvažovaná v príkladoch č. 6, 7 lekcie Najjednoduchšie problémy s priamkou v rovine . Z rovnice odstráňte normálny vektor. Zostavíme výškovú rovnicu pre bod a smerový vektor:

Upozorňujeme, že nepoznáme súradnice bodu.

Niekedy sa výšková rovnica zistí z pomeru sklonov kolmých čiar: . V tomto prípade potom: . Zostavíme výškovú rovnicu pre bod a sklon (pozri začiatok lekcie Rovnica priamky na rovine ):

Dĺžku výšky možno zistiť dvoma spôsobmi.

Existuje kruhový objazd:

a) nájsť - priesečník výšky a strany;
b) nájdite dĺžku úsečky o dva známe body.

Ale v triede Najjednoduchšie problémy s priamkou v rovine zvažoval sa vhodný vzorec pre vzdialenosť od bodu k priamke. Bod je známy: , rovnica priamky je tiež známa: , teda:

6) Vypočítajte obsah trojuholníka. Vo vesmíre sa plocha trojuholníka tradične počíta pomocou krížový súčin vektorov , ale tu je v rovine daný trojuholník. Používame školský vzorec:
Plocha trojuholníka je polovica súčinu jeho základne krát jeho výška.

V tomto prípade:

Ako nájsť stred trojuholníka?

7) Zostavte rovnicu mediánu.

Stredný trojuholník Nazýva sa úsečka spájajúca vrchol trojuholníka so stredom protiľahlej strany.

a) Nájdite bod - stred strany. Používame stredové súradnicové vzorce . Súradnice koncov segmentu sú známe: , potom súradnice stredu:

Takto:

Mediánovú rovnicu skladáme po bodoch :

Ak chcete skontrolovať rovnicu, musíte do nej nahradiť súradnice bodov.

8) Nájdite priesečník výšky a mediánu. Myslím, že každý sa už naučil, ako vykonávať tento prvok krasokorčuľovania bez pádu: