Je daná diskrétna náhodná premenná x. Distribučné zákony pre diskrétne náhodné premenné

Náhodná premenná Premenná sa nazýva premenná, ktorá ako výsledok každého testu nadobúda jednu predtým neznámu hodnotu v závislosti od náhodných dôvodov. Náhodné premenné sa označujú veľkými latinskými písmenami: $X,\ Y,\ Z,\ \bodky $ Náhodné premenné môžu byť podľa typu diskrétne A nepretržitý.

Diskrétna náhodná premenná- ide o náhodnú premennú, ktorej hodnoty môžu byť maximálne spočítateľné, to znamená buď konečné alebo spočítateľné. Spočítateľnosťou rozumieme, že hodnoty náhodnej premennej je možné očíslovať.

Príklad 1 . Tu sú príklady diskrétnych náhodných premenných:

a) počet zásahov do terča $n$ výstrelmi, tu sú možné hodnoty $0,\ 1,\ \bodky,\ n$.

b) počet vypadnutých emblémov pri hode mincou, tu sú možné hodnoty $0,\1,\\bodky,\n$.

c) počet lodí prichádzajúcich na palubu (počítateľný súbor hodnôt).

d) počet hovorov prichádzajúcich do PBX (počítateľný súbor hodnôt).

1. Zákon rozdelenia pravdepodobnosti diskrétnej náhodnej premennej.

Diskrétna náhodná premenná $X$ môže nadobúdať hodnoty $x_1,\bodky ,\ x_n$ s pravdepodobnosťou $p\left(x_1\right),\\dots ,\p\left(x_n\right)$. Korešpondencia medzi týmito hodnotami a ich pravdepodobnosťami sa nazýva zákon rozdelenia diskrétnej náhodnej premennej. Táto korešpondencia je spravidla špecifikovaná pomocou tabuľky, ktorej prvý riadok označuje hodnoty $x_1,\bodky,\ x_n$ a druhý riadok obsahuje pravdepodobnosti $p_1,\bodky,\ p_n$ zodpovedajúce tieto hodnoty.

$\begin(pole)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end(pole)$

Príklad 2 . Nech náhodná premenná $X$ je počet bodov hodených pri hode kockou. Takáto náhodná premenná $X$ môže nadobúdať nasledujúce hodnoty: $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Pravdepodobnosti všetkých týchto hodnôt sa rovnajú $ 1/6 $. Potom zákon rozdelenia pravdepodobnosti náhodnej premennej $X$:

$\begin(pole)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end(pole)$

Komentujte. Keďže v distribučnom zákone diskrétnej náhodnej premennej $X$ tvoria udalosti $1,\ 2,\ \bodky ,\ 6$ kompletnú skupinu udalostí, potom sa súčet pravdepodobností musí rovnať jednej, teda $ \sum(p_i)=1$.

2. Matematické očakávanie diskrétnej náhodnej premennej.

Očakávanie náhodnej premennej určuje jeho „centrálny“ význam. Pre diskrétnu náhodnú premennú sa matematické očakávanie vypočíta ako súčet súčinov hodnôt $x_1,\bodky,\x_n$ a pravdepodobností $p_1,\bodky,\p_n$ zodpovedajúcich týmto hodnotám, tj. : $M\vľavo(X\vpravo)=\súčet ^n_(i=1)(p_ix_i)$. V anglickojazyčnej literatúre sa používa iný zápis $E\left(X\right)$.

Vlastnosti matematického očakávania$M\vľavo(X\vpravo)$:

$M\left(X\right)$ leží medzi najmenšou a najväčšou hodnotou náhodnej premennej $X$.
Matematické očakávanie konštanty sa rovná samotnej konštante, t.j. $M\vľavo(C\vpravo)=C$.
Konštantný faktor možno vyňať zo znamienka matematického očakávania: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
Matematické očakávanie súčtu náhodných premenných sa rovná súčtu ich matematických očakávaní: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
Matematické očakávanie súčinu nezávislých náhodných premenných sa rovná súčinu ich matematických očakávaní: $M\vľavo(XY\vpravo)=M\vľavo(X\vpravo)M\vľavo(Y\vpravo)$.

Príklad 3 . Nájdime matematické očakávanie náhodnej premennej $X$ z príkladu $2$.

$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\over (6))+2\cdot ((1)\over (6) )+3\cdot ((1)\nad (6))+4\cdot ((1)\nad (6))+5\cdot ((1)\nad (6))+6\cdot ((1) )\nad (6))=3,5.$$

Môžeme si všimnúť, že $M\left(X\right)$ leží medzi najmenšou ($1$) a najväčšou ($6$) hodnotou náhodnej premennej $X$.

Príklad 4 . Je známe, že matematické očakávanie náhodnej premennej $X$ sa rovná $M\left(X\right)=2$. Nájdite matematické očakávanie náhodnej premennej $3X+5$.

Použitím vyššie uvedených vlastností dostaneme $M\vľavo(3X+5\vpravo)=M\vľavo(3X\vpravo)+M\vľavo(5\vpravo)=3M\vľavo(X\vpravo)+5=3\ cdot 2 +5 = 11 $.

Príklad 5 . Je známe, že matematické očakávanie náhodnej premennej $X$ sa rovná $M\left(X\right)=4$. Nájdite matematické očakávanie náhodnej premennej $2X-9$.

Pomocou vyššie uvedených vlastností dostaneme $M\vľavo(2X-9\vpravo)=M\vľavo(2X\vpravo)-M\vľavo(9\vpravo)=2M\vľavo(X\vpravo)-9=2\ cdot 4 -9=-1$.

3. Disperzia diskrétnej náhodnej premennej.

Možné hodnoty náhodných premenných s rovnakými matematickými očakávaniami sa môžu okolo ich priemerných hodnôt rozptýliť rôzne. Napríklad v dvoch skupinách študentov bolo priemerné skóre na skúške z teórie pravdepodobnosti 4, ale v jednej skupine boli všetci dobrí študenti a v druhej skupine boli iba študenti C a vynikajúci študenti. Preto je potrebná numerická charakteristika náhodnej premennej, ktorá by ukazovala rozptyl hodnôt náhodnej premennej okolo jej matematického očakávania. Táto vlastnosť je disperzia.

Rozptyl diskrétnej náhodnej premennej$X$ sa rovná:

$$D\vľavo(X\vpravo)=\súčet^n_(i=1)(p_i(\vľavo(x_i-M\vľavo(X\vpravo)\vpravo))^2).\ $$

V anglickej literatúre sa používa označenie $V\left(X\right),\Var\left(X\right)$. Veľmi často sa rozptyl $D\left(X\right)$ počíta pomocou vzorca $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\ vľavo(X \vpravo)\vpravo))^2$.

Disperzné vlastnosti$D\vľavo(X\vpravo)$:

Rozptyl je vždy väčší alebo rovný nule, t.j. $D\vľavo(X\vpravo)\ge 0$.
Rozptyl konštanty je nulový, t.j. $D\vľavo(C\vpravo)=0$.
Konštantný faktor možno odobrať zo znamienka disperzie za predpokladu, že je na druhú, t.j. $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\right)$.
Rozptyl súčtu nezávislých náhodných veličín sa rovná súčtu ich rozptylov, t.j. $D\vľavo(X+Y\vpravo)=D\vľavo(X\vpravo)+D\vľavo(Y\vpravo)$.
Rozptyl rozdielu medzi nezávislými náhodnými premennými sa rovná súčtu ich rozptylov, t.j. $D\vľavo(X-Y\vpravo)=D\vľavo(X\vpravo)+D\vľavo(Y\vpravo)$.

Príklad 6 . Vypočítajme rozptyl náhodnej premennej $X$ z príkladu $2$.

$$D\vľavo(X\vpravo)=\súčet^n_(i=1)(p_i(\vľavo(x_i-M\vľavo(X\vpravo)\vpravo))^2)=((1)\nad (6))\cdot (\left(1-3.5\right))^2+((1)\over (6))\cdot (\left(2-3.5\right))^2+ \dots +( (1)\viac ako (6))\cdot (\left(6-3.5\right))^2=((35)\viac ako (12))\približne 2,92,$$

Príklad 7 . Je známe, že rozptyl náhodnej premennej $X$ sa rovná $D\left(X\right)=2$. Nájdite rozptyl náhodnej premennej $4X+1$.

Pomocou vyššie uvedených vlastností nájdeme $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ vľavo(X\vpravo)=16\cdot 2=32$.

Príklad 8 . Je známe, že rozptyl náhodnej premennej $X$ sa rovná $D\left(X\right)=3$. Nájdite rozptyl náhodnej premennej $3-2X$.

Pomocou vyššie uvedených vlastností nájdeme $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ vľavo(X\vpravo)=4\cdot 3=12$.

4. Distribučná funkcia diskrétnej náhodnej premennej.

Spôsob reprezentácie diskrétnej náhodnej premennej vo forme distribučného radu nie je jediný, a čo je najdôležitejšie, nie je univerzálny, pretože spojitú náhodnú premennú nie je možné špecifikovať pomocou distribučného radu. Existuje ďalší spôsob, ako reprezentovať náhodnú premennú - distribučnú funkciu.

Distribučná funkcia náhodná premenná $X$ sa nazýva funkcia $F\left(x\right)$, ktorá určuje pravdepodobnosť, že náhodná premenná $X$ bude mať hodnotu menšiu ako nejaká pevná hodnota $x$, teda $F\ vľavo(x\vpravo)=P\vľavo(X< x\right)$

Vlastnosti distribučnej funkcie:

$0\le F\left(x\right)\le 1$.
Pravdepodobnosť, že náhodná premenná $X$ bude nadobúdať hodnoty z intervalu $\left(\alpha ;\ \beta \right)$, sa rovná rozdielu medzi hodnotami distribučnej funkcie na koncoch tohto interval: $P\left(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
$F\left(x\right)$ - neklesá.
$(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \vpravo)=1\ )$.

Príklad 9 . Nájdite distribučnú funkciu $F\left(x\right)$ pre distribučný zákon diskrétnej náhodnej premennej $X$ z príkladu $2$.

$\begin(pole)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(pole)$

Ak $x\le 1$, potom, samozrejme, $F\left(x\right)=0$ (vrátane pre $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X< 1\right)=0$).

Ak 1 dolár< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Ak 2 doláre< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Ak 3 doláre< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Ak 4 doláre< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Ak 5 dolárov< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Ak $x > 6$, potom $F\vľavo(x\vpravo)=P\vľavo(X=1\vpravo)+P\vľavo(X=2\vpravo)+P\vľavo(X=3\vpravo) +P\vľavo(X=4\vpravo)+P\vľavo(X=5\vpravo)+P\vľavo(X=6\vpravo)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1/6 + 1/6 = 1 $.

Takže $F(x)=\vľavo\(\začiatok(matica)
0,\ na\ x\le 1,\\
1/6, o\ 1< x\le 2,\\
1/3,\ na\ 2< x\le 3,\\
1/2, o\ 3< x\le 4,\\
2/3,\ o\ 4< x\le 5,\\
6.5., o 4< x\le 5,\\
1,\ pre\ x > 6.
\end(matica)\right.$

Môžeme zdôrazniť najbežnejšie zákony distribúcie diskrétnych náhodných premenných:

Zákon binomického rozdelenia
Poissonov zákon o rozdelení
Zákon geometrického rozdelenia
Hypergeometrický distribučný zákon

Pre dané rozdelenia diskrétnych náhodných veličín sa výpočet pravdepodobnosti ich hodnôt, ako aj numerických charakteristík (matematické očakávanie, rozptyl a pod.) vykonáva pomocou určitých „vzorcov“. Preto je veľmi dôležité poznať tieto typy rozvodov a ich základné vlastnosti.

1. Zákon binomického rozdelenia.

Diskrétna náhodná premenná $X$ podlieha zákonu binomického rozdelenia pravdepodobnosti, ak nadobúda hodnoty $0,\ 1,\ 2,\ \bodky,\ n$ s pravdepodobnosťami $P\left(X=k\right)= C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k)$. V skutočnosti je náhodná premenná $X$ počet výskytov udalosti $A$ v $n$ nezávislých pokusoch. Zákon rozdelenia pravdepodobnosti náhodnej premennej $X$:

$\begin(pole)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & \dots & n \\
\hline
p_i & P_n\left(0\right) & P_n\left(1\right) & \dots & P_n\left(n\right) \\
\hline
\end(pole)$

Pre takúto náhodnú premennú je matematické očakávanie $M\left(X\right)=np$, rozptyl je $D\left(X\right)=np\left(1-p\right)$.

Príklad . Rodina má dve deti. Za predpokladu, že pravdepodobnosť narodenia chlapca a dievčaťa je 0,5 $, nájdite zákon rozdelenia náhodnej premennej $\xi$ - počet chlapcov v rodine.

Nech náhodná premenná $\xi $ je počet chlapcov v rodine. Hodnoty, ktoré $\xi môže nadobudnúť:\ 0,\ 1,\ 2 $. Pravdepodobnosť týchto hodnôt možno nájsť pomocou vzorca $P\left(\xi =k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k )$, kde $n =2$ je počet nezávislých pokusov, $p=0,5$ je pravdepodobnosť výskytu udalosti v sérii $n$ pokusov. Dostaneme:

$P\left(\xi =0\right)=C^0_2\cdot (0,5)^0\cdot (\left(1-0,5\right))^(2-0)=(0, 5)^2=0,25;$

$P\left(\xi =1\right)=C^1_2\cdot 0,5\cdot (\left(1-0,5\right))^(2-1)=2\cdot 0,5\ cdot 0,5=0,5;$

$P\left(\xi =2\right)=C^2_2\cdot (0,5)^2\cdot (\left(1-0,5\right))^(2-2)=(0, 5)^2 = 0,25 $

Potom distribučný zákon náhodnej premennej $\xi $ je korešpondencia medzi hodnotami $0,\ 1,\ 2$ a ich pravdepodobnosťami, to znamená:

$\begin(pole)(|c|c|)
\hline
\xi & 0 & 1 & 2 \\
\hline
P(\xi) & 0,25 & 0,5 & 0,25 \\
\hline
\end(pole)$

Súčet pravdepodobností v distribučnom zákone by sa mal rovnať $1$, to znamená $\sum _(i=1)^(n)P(\xi _((\rm i)))=0,25+0,5+ 0, 25 = 1 USD.

Očakávanie $M\left(\xi \right)=np=2\cdot 0,5=1$, rozptyl $D\left(\xi \right)=np\left(1-p\right)=2\ cdot 0,5\ cdot 0,5=0,5$, štandardná odchýlka $\sigma \left(\xi \right)=\sqrt(D\left(\xi \right))=\sqrt(0,5)\približne 0,707 $.

2. Poissonov zákon rozdelenia.

Ak diskrétna náhodná premenná $X$ môže nadobúdať iba nezáporné celočíselné hodnoty $0,\ 1,\ 2,\ \bodky,\ n$ s pravdepodobnosťou $P\left(X=k\right)=((( \lambda )^k )\over (k}\cdot e^{-\lambda }$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.!}

Komentujte. Zvláštnosťou tohto rozdelenia je, že na základe experimentálnych údajov nájdeme odhady $M\left(X\right),\D\left(X\right)$, ak sú získané odhady blízko seba, tak máme dôvod tvrdiť, že náhodná premenná podlieha Poissonovmu zákonu rozdelenia.

Príklad . Príklady náhodných premenných, ktoré podliehajú Poissonovmu zákonu o rozdelení, môžu byť: počet áut, ktoré zajtra obslúži čerpacia stanica; počet chybných položiek vo vyrobených produktoch.

Príklad . Továreň poslala do základne produkty za 500 $. Pravdepodobnosť poškodenia produktu pri preprave je 0,002 $. Nájdite zákon rozdelenia náhodnej premennej $X$ rovnajúcej sa počtu poškodených produktov; čo je $M\vľavo(X\vpravo),\D\vľavo(X\vpravo)$.

Nech je diskrétna náhodná premenná $X$ počet poškodených produktov. Takáto náhodná premenná podlieha Poissonovmu zákonu rozdelenia s parametrom $\lambda =np=500\cdot 0,002=1$. Pravdepodobnosti hodnôt sa rovnajú $P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k)}\cdot e^{-\lambda }$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.!}

$P\left(X=0\right)=((1^0)\over (0}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\left(X=1\right)=((1^1)\over (1}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\left(X=2\right)=((1^2)\over (2}\cdot e^{-1}=0,184;$!}

$P\left(X=3\right)=((1^3)\over (3}\cdot e^{-1}=0,061;$!}

$P\left(X=4\right)=((1^4)\over (4}\cdot e^{-1}=0,015;$!}

$P\left(X=5\right)=((1^5)\over (5}\cdot e^{-1}=0,003;$!}

$P\left(X=6\right)=((1^6)\over (6}\cdot e^{-1}=0,001;$!}

$P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$!}

Zákon distribúcie náhodnej premennej $X$:

$\begin(pole)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & ... & k \\
\hline
P_i & 0,368; & 0,368 & 0,184 & 0,061 & 0,015 & 0,003 & 0,001 & ... & (((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda } \\!}
\hline
\end(pole)$

Pre takúto náhodnú premennú sú matematické očakávania a rozptyl rovnaké a rovnajú sa parametru $\lambda $, to znamená $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\ lambda = 1 $.

3. Zákon geometrického rozdelenia.

Ak diskrétna náhodná premenná $X$ môže nadobúdať iba prirodzené hodnoty $1,\ 2,\ \bodky,\ n$ s pravdepodobnosťou $P\left(X=k\right)=p(\left(1-p\) vpravo)) ^(k-1),\ k=1,\ 2,\ 3,\ \bodky $, potom hovoria, že takáto náhodná premenná $X$ podlieha geometrickému zákonu rozdelenia pravdepodobnosti. V skutočnosti je geometrické rozdelenie až do prvého úspechu Bernoulliho testom.

Príklad . Príklady náhodných premenných, ktoré majú geometrické rozdelenie, môžu byť: počet výstrelov pred prvým zásahom do cieľa; počet testov zariadenia do prvého zlyhania; počet hodov mincou, kým nepríde prvá hlava atď.

Matematické očakávanie a rozptyl náhodnej premennej podliehajúcej geometrickej distribúcii sa rovnajú $M\left(X\right)=1/p$, $D\left(X\right)=\left(1-p\right) )/p^ $ 2.

Príklad . Na ceste pohybu rýb k miestu trenia je zámka 4 $. Pravdepodobnosť, že ryby prejdú cez každú plavebnú komoru, je $p=3/5$. Zostrojte sériu distribúcie náhodnej premennej $X$ - počet plavebných komôr, ktoré ryba prešla pred prvým zadržaním v plavebnej komore. Nájdite $M\left(X\right),\D\left(X\right),\\sigma \left(X\right)$.

Nech náhodná premenná $X$ je počet plavebných komôr, ktoré ryba prešla pred prvým zatknutím v plavebnej komore. Takáto náhodná veličina podlieha geometrickému zákonu rozdelenia pravdepodobnosti. Hodnoty, ktoré môže náhodná premenná $X nadobudnúť: $ 1, 2, 3, 4. Pravdepodobnosti týchto hodnôt sa vypočítajú pomocou vzorca: $P\left(X=k\right)=pq^(k -1)$, kde: $ p=2/5$ - pravdepodobnosť zadržania rýb cez plavebnú komoru, $q=1-p=3/5$ - pravdepodobnosť preletu rýb cez plavebnú komoru, $k=1,\ 2,\ 3,\ 4 $.

$P\left(X=1\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^0=((2)\ nad (5)) = 0,4; $

$P\left(X=2\right)=((2)\over (5))\cdot ((3)\over (5))=((6)\over (25))=0,24 $;

$P\left(X=3\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^2=((2)\ nad (5))\cdot ((9)\nad (25))=((18)\viac ako (125))=0,144;$

$P\left(X=4\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^3+(\left(( (3)\nad (5))\vpravo))^4=((27)\viac ako (125))=0,216,$

$\begin(pole)(|c|c|)
\hline
X_i & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
P\left(X_i\right) & 0,4 & 0,24 & 0,144 & 0,216 \\
\hline
\end(pole)$

Očakávaná hodnota:

$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(x_ip_i)=1\cdot 0,4+2\cdot 0,24+3\cdot 0,144+4\cdot 0,216=2,176,$

Rozptyl:

$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2=)0,4\cdot (\ left( 1-2 176\right))^2+0,24\cdot (\left(2-2,176\right))^2+0,144\cdot (\left(3-2,176\right))^2+$

$+\0,216\cdot (\left(4-2,176\right))^2\približne 1,377,$

Štandardná odchýlka:

$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(1 377)\približne 1 173,$

4. Zákon hypergeometrického rozdelenia.

Ak $N$ objektov, z ktorých $m$ objektov má danú vlastnosť. $n$ objektov sa náhodne získa bez vrátenia, medzi ktorými bolo $k$ objektov, ktoré majú danú vlastnosť. Hypergeometrické rozdelenie umožňuje odhadnúť pravdepodobnosť, že práve $k$ objektov vo vzorke má danú vlastnosť. Nech náhodná premenná $X$ je počet objektov vo vzorke, ktoré majú danú vlastnosť. Potom pravdepodobnosti hodnôt náhodnej premennej $ X $:

$P\left(X=k\right)=((C^k_mC^(n-k)_(N-m))\over (C^n_N))$

Komentujte. Štatistická funkcia HYPERGEOMET sprievodcu funkciou Excel $f_x$ umožňuje určiť pravdepodobnosť, že určitý počet testov bude úspešný.

$f_x\to$ štatistické$\to$ HYPERGEOMET$\to$ OK. Zobrazí sa dialógové okno, ktoré musíte vyplniť. V stĺpci Počet_úspechov_v_vzorke uveďte hodnotu $k$. veľkosť vzorky rovná sa $n$. V stĺpci Počet_úspechov_v_spolu uveďte hodnotu $m$. veľkosť_populácie rovná sa $N$.

Matematické očakávanie a rozptyl diskrétnej náhodnej premennej $X$, podliehajúce zákonu o geometrickom rozdelení, sa rovná $M\left(X\right)=nm/N$, $D\left(X\right)= ((nm\vľavo(1 -((m)\cez (N))\vpravo)\vľavo(1-((n)\cez (N))\vpravo))\cez (N-1)))$.

Príklad . Úverové oddelenie banky zamestnáva 5 špecialistov s vyšším finančným vzdelaním a 3 špecialistov s vyšším právnickým vzdelaním. Vedenie banky sa rozhodlo vyslať 3 špecialistov na zvýšenie ich kvalifikácie, pričom ich vybralo v náhodnom poradí.

a) Vytvoriť distribučný rad počtu špecialistov s vyšším finančným vzdelaním, ktorí môžu byť vyslaní na zvýšenie ich kvalifikácie;

b) Nájdite číselné charakteristiky tohto rozdelenia.

Nech je náhodná premenná $X$ počet špecialistov s vyšším finančným vzdelaním spomedzi troch vybraných. Hodnoty, ktoré môže mať $X: 0,\ 1,\ 2,\ 3 $. Táto náhodná premenná $X$ je rozdelená podľa hypergeometrického rozdelenia s nasledujúcimi parametrami: $N=8$ - veľkosť populácie, $m=5$ - počet úspechov v populácii, $n=3$ - veľkosť vzorky, $ k=0,\ 1, \2,\3$ - počet úspechov vo vzorke. Potom možno pravdepodobnosti $P\left(X=k\right)$ vypočítať pomocou vzorca: $P(X=k)=(C_(m)^(k) \cdot C_(N-m)^(n-k) \ nad C_( N)^(n) ) $. Máme:

$P\left(X=0\right)=((C^0_5\cdot C^3_3)\over (C^3_8))=((1)\over (56))\približne 0,018;$

$P\left(X=1\right)=((C^1_5\cdot C^2_3)\over (C^3_8))=((15)\over (56))\približne 0,268;$

$P\left(X=2\right)=((C^2_5\cdot C^1_3)\over (C^3_8))=((15)\over (28))\približne 0,536;$

$P\left(X=3\right)=((C^3_5\cdot C^0_3)\over (C^3_8))=((5)\over (28))\približne 0,179,$

Potom distribučný rad náhodnej premennej $X$:

$\begin(pole)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0,018 & 0,268 & 0,536 & 0,179 \\
\hline
\end(pole)$

Vypočítajme číselné charakteristiky náhodnej premennej $X$ pomocou všeobecných vzorcov hypergeometrického rozdelenia.

$M\vľavo(X\vpravo)=((nm)\nad (N))=((3\cdot 5)\nad (8))=((15)\nad (8))=1 875,$

$D\vľavo(X\vpravo)=((nm\vľavo(1-((m)\nad (N))\vpravo)\vľavo(1-((n)\nad (N))\vpravo)) \over (N-1))=((3\cdot 5\cdot \left(1-((5)\over (8))\right)\cdot \left(1-((3)\over (8) ))\vpravo))\nad (8-1))=((225)\nad (448))\približne 0,502,$

$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(0,502)\približne 0,7085,$

Príklady riešenia úloh na tému „Náhodné premenné“.

Úloha 1 . Do lotérie je vydaných 100 tiketov. Žrebovala sa jedna výhra v hodnote 50 USD. a desať výhier po 10 USD. Nájdite zákon rozdelenia hodnoty X - náklady na možné výhry.

Riešenie. Možné hodnoty pre X: x 1 = 0; X 2 = 10 a x 3 = 50. Keďže je 89 „prázdnych“ lístkov, potom p 1 = 0,89, pravdepodobnosť výhry 10 USD. (10 lístkov) – str 2 = 0,10 a vyhrať 50 USD -p 3 = 0,01. Takto:


	0,89	0,10	0,01

Jednoduché ovládanie:.

Úloha 2. Pravdepodobnosť, že si kupujúci vopred prečítal reklamu na produkt, je 0,6 (p = 0,6). Selektívna kontrola kvality reklamy sa vykonáva prieskumom kupujúcich pred prvým, ktorý si reklamu vopred preštudoval. Zostavte distribučnú sériu pre počet skúmaných kupujúcich.

Riešenie. Podľa podmienok úlohy p = 0,6. Od: q=1 -p = 0,4. Nahradením týchto hodnôt dostaneme: a zostavte distribučnú sériu:


p i		0,24

Úloha 3. Počítač pozostáva z troch samostatne fungujúcich prvkov: systémovej jednotky, monitora a klávesnice. Pri jedinom prudkom zvýšení napätia je pravdepodobnosť zlyhania každého prvku 0,1. Na základe Bernoulliho distribúcie zostavte distribučný zákon pre počet zlyhaných prvkov počas prepätia v sieti.

Riešenie. Uvažujme Bernoulliho distribúcia(alebo binomický): pravdepodobnosť, že n testy, udalosť A sa objaví presne k raz: alebo:


	q n					p n

IN Vráťme sa k úlohe.

Možné hodnoty pre X (počet zlyhaní):

x 0 = 0 – žiadny z prvkov zlyhal;

x 1 =1 – porucha jedného prvku;

x 2 =2 – porucha dvoch prvkov;

x 3 =3 – porucha všetkých prvkov.

Keďže podľa podmienky p = 0,1, potom q = 1 – p = 0,9. Pomocou Bernoulliho vzorca dostaneme

, ,

, .

Ovládanie: .

Preto požadovaný distribučný zákon:


	0,729	0,243	0,027	0,001

Problém 4. Vyrobených 5000 nábojov. Pravdepodobnosť, že jedna kazeta je chybná . Aká je pravdepodobnosť, že v celej dávke budú práve 3 chybné kazety?

Riešenie. Použiteľné Poissonovo rozdelenie: Toto rozdelenie sa používa na určenie pravdepodobnosti, že pre veľmi veľké

počet testov (hromadné testy), v každom z nich je pravdepodobnosť udalosti A veľmi malá, udalosť A nastane k-krát: , Kde .

Tu n = 5000, p = 0,0002, k = 3. Nájdeme potom požadovanú pravdepodobnosť: .

Problém 5. Pri streľbe do prvého zásahu s pravdepodobnosťou zásahu p = 0,6 pri streľbe musíte nájsť pravdepodobnosť, že k zásahu dôjde pri treťom výstrele.

Riešenie. Aplikujme geometrickú distribúciu: nech sa vykonajú nezávislé pokusy, v ktorých každý jav A má pravdepodobnosť výskytu p (a nevyskytnutie q = 1 – p). Test sa skončí hneď, ako nastane udalosť A.

Za takýchto podmienok je pravdepodobnosť, že udalosť A nastane na k-tom pokuse, určená vzorcom: . Tu p = 0,6; q = 1 – 0,6 = 0,4;k = 3. Preto .

Problém 6. Nech je daný distribučný zákon náhodnej premennej X:

Nájdite matematické očakávania.

Riešenie. .

Všimnite si, že pravdepodobnostným významom matematického očakávania je priemerná hodnota náhodnej premennej.

Problém 7. Nájdite rozptyl náhodnej premennej X s nasledujúcim distribučným zákonom:

Riešenie. Tu .

Distribučný zákon pre druhú mocninu X 2 :

X 2

Požadovaná odchýlka: .

Disperzia charakterizuje mieru odchýlky (disperzie) náhodnej premennej od jej matematického očakávania.

Problém 8. Nech je náhodná premenná daná rozdelením:

			10 m

Nájdite jeho číselné charakteristiky.

Riešenie: m, m 2 ,

M 2 , m.

O náhodnej premennej X môžeme povedať buď: jej matematické očakávanie je 6,4 m s rozptylom 13,04 m 2 , alebo – jeho matematické očakávanie je 6,4 m s odchýlkou m. Druhá formulácia je zjavne jasnejšia.

Úloha 9. Náhodná hodnota X dané distribučnou funkciou:
.

Nájdite pravdepodobnosť, že v dôsledku testu hodnota X nadobudne hodnotu obsiahnutú v intervale .

Riešenie. Pravdepodobnosť, že X nadobudne hodnotu z daného intervalu, sa rovná prírastku integrálnej funkcie v tomto intervale, t.j. . V našom prípade a teda

Úloha 10. Diskrétna náhodná premenná X je dané distribučným zákonom:

Nájdite distribučnú funkciu F(x ) a nakreslite to.

Riešenie. Od distribučnej funkcie,

Pre , To

v ;

Príslušný graf:

Problém 11. Spojitá náhodná premenná X dané diferenciálnou distribučnou funkciou: .

Nájdite pravdepodobnosť zásahu X na interval

Riešenie. Všimnite si, že toto je špeciálny prípad zákona o exponenciálnom rozdelení.

Použime vzorec: .

Úloha 12. Nájdite číselné charakteristiky diskrétnej náhodnej premennej X špecifikovanej distribučným zákonom:

–5

X2:

X 2

. , Kde – Laplaceova funkcia.

Hodnoty tejto funkcie sa nachádzajú pomocou tabuľky.

V našom prípade: .

Z tabuľky nájdeme: , teda:

Ako je známe, náhodná premenná sa nazýva premenlivé množstvo, ktoré môže nadobudnúť určité hodnoty v závislosti od prípadu. Náhodné premenné sú označené veľkými písmenami latinskej abecedy (X, Y, Z) a ich hodnoty sú označené zodpovedajúcimi malými písmenami (x, y, z). Náhodné veličiny sa delia na nespojité (diskrétne) a spojité.

Diskrétna náhodná premenná je náhodná premenná, ktorá má iba konečnú alebo nekonečnú (spočítateľnú) množinu hodnôt s určitými nenulovými pravdepodobnosťami.

Distribučný zákon diskrétnej náhodnej premennej je funkcia, ktorá spája hodnoty náhodnej premennej s ich zodpovedajúcimi pravdepodobnosťami. Distribučný zákon možno špecifikovať jedným z nasledujúcich spôsobov.

1 . Distribučný zákon môže byť daný tabuľkou:

kde λ>0, k = 0, 1, 2, ….

V) používaním distribučná funkcia F(x) , ktorý určuje pre každú hodnotu x pravdepodobnosť, že náhodná premenná X nadobudne hodnotu menšiu ako x, t.j. F(x) = P(X< x).

Vlastnosti funkcie F(x)

3 . Zákon o rozdeľovaní je možné špecifikovať graficky – distribučný polygón (polygón) (pozri úlohu 3).

Upozorňujeme, že na vyriešenie niektorých problémov nie je potrebné poznať distribučný zákon. V niektorých prípadoch stačí poznať jedno alebo niekoľko čísel, ktoré odrážajú najdôležitejšie znaky distribučného zákona. Môže to byť číslo, ktoré má význam „priemernej hodnoty“ náhodnej premennej, alebo číslo ukazujúce priemernú veľkosť odchýlky náhodnej premennej od jej strednej hodnoty. Čísla tohto druhu sa nazývajú číselné charakteristiky náhodnej premennej.

Základné číselné charakteristiky diskrétnej náhodnej premennej :

Matematické očakávanie (priemerná hodnota) diskrétnej náhodnej premennej M(X) = Σ x i p i.
Pre binomické rozdelenie M(X)=np, pre Poissonovo rozdelenie M(X)=λ
Disperzia diskrétna náhodná premenná D(X)=M2 alebo D(X) = M(X2)-2. Rozdiel X–M(X) sa nazýva odchýlka náhodnej premennej od jej matematického očakávania.
Pre binomické rozdelenie D(X)=npq, pre Poissonovo rozdelenie D(X)=λ
Smerodajná odchýlka (štandardná odchýlka) σ(X)=√D(X).

Príklady riešenia problémov na tému „Zákon rozdelenia diskrétnej náhodnej premennej“

Úloha 1.

Bolo vydaných 1 000 lotériových lístkov: 5 z nich vyhrá 500 rubľov, 10 vyhrá 100 rubľov, 20 vyhrá 50 rubľov, 50 vyhrá 10 rubľov. Určte zákon rozdelenia pravdepodobnosti náhodnej premennej X - výhry na tikete.

Riešenie. Podľa podmienok problému sú možné nasledujúce hodnoty náhodnej premennej X: 0, 10, 50, 100 a 500.

Počet tiketov bez výhry je 1000 – (5+10+20+50) = 915, potom P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

Podobne nájdeme všetky ostatné pravdepodobnosti: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01, P(X = 500) = 5/1000 = 0,005. Uveďme výsledný zákon vo forme tabuľky:

Nájdite matematické očakávanie hodnoty X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+ 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

Úloha 3.

Zariadenie sa skladá z troch samostatne fungujúcich prvkov. Pravdepodobnosť zlyhania každého prvku v jednom experimente je 0,1. Zostavte distribučný zákon pre počet neúspešných prvkov v jednom experimente, zostrojte distribučný polygón. Nájdite distribučnú funkciu F(x) a nakreslite ju. Nájdite matematické očakávanie, rozptyl a smerodajnú odchýlku diskrétnej náhodnej premennej.

Riešenie. 1. Diskrétna náhodná premenná X = (počet neúspešných prvkov v jednom experimente) má tieto možné hodnoty: x 1 = 0 (žiadny z prvkov zariadenia zlyhal), x 2 = 1 (zlyhal jeden prvok), x 3 = 2 ( dva prvky zlyhali) a x 4 =3 (tri prvky zlyhali).

Poruchy prvkov sú na sebe nezávislé, pravdepodobnosti zlyhania každého prvku sú rovnaké, preto platí Bernoulliho vzorec . Vzhľadom na to, že podľa podmienky n=3, p=0,1, q=1-p=0,9 určíme pravdepodobnosti hodnôt:
P3(0) = C30p0q3-0 = q3 = 0,93 = 0,729;
P3(1) = C3ip1q3-1 = 3*0,1*0,92 = 0,243;
P3(2) = C32p2q3-2 = 3*0,12*0,9 = 0,027;
P3(3) = C33p3q3-3 = p3 = 0,13 = 0,001;
Kontrola: ∑p i = 0,729 + 0,243 + 0,027 + 0,001 = 1.

Požadovaný zákon binomického rozdelenia X má teda tvar:

Vykreslíme možné hodnoty x i pozdĺž osi x a zodpovedajúce pravdepodobnosti p i pozdĺž osi y. Zostrojme body M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001). Spojením týchto bodov s priamymi úsečkami získame požadovaný distribučný polygón.

3. Nájdite distribučnú funkciu F(x) = Р(Х

Pre x ≤ 0 máme F(x) = Р(Х<0) = 0;
za 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
za 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
za 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
pre x > 3 bude F(x) = 1, pretože udalosť je spoľahlivá.

Graf funkcie F(x)

4. Pre binomické rozdelenie X:
- matematické očakávanie M(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- rozptyl D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- smerodajná odchýlka σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.

X; význam F(5); pravdepodobnosť, že náhodná premenná X bude preberať hodnoty zo segmentu . Zostrojte distribučný polygón.

Distribučná funkcia F(x) diskrétnej náhodnej premennej je známa X:

Nastavte zákon rozdelenia náhodnej premennej X vo forme tabuľky.

Je daný zákon rozdelenia náhodnej veličiny X:

X	–28	–20	–12	–4
p	0,22	0,44	0,17	0,1	0,07

Pravdepodobnosť, že obchod má certifikáty kvality pre celý sortiment produktov, je 0,7. Komisia preverila dostupnosť certifikátov v štyroch predajniach v okolí. Vypracujte distribučný zákon, vypočítajte matematické očakávanie a rozptyl počtu predajní, v ktorých sa pri kontrole nenašli certifikáty kvality.

Na stanovenie priemerného času horenia elektrických lámp v skupine 350 rovnakých škatúľ sa na testovanie odobrala jedna elektrická lampa z každej škatule. Odhadnite zdola pravdepodobnosť, že priemerná doba horenia vybraných elektrických lámp sa líši od priemernej doby horenia celej série v absolútnej hodnote o menej ako 7 hodín, ak je známe, že smerodajná odchýlka doby horenia elektrických lámp v každá krabica má menej ako 9 hodín.

Na telefónnej ústredni dôjde k nesprávnemu spojeniu s pravdepodobnosťou 0,002. Nájdite pravdepodobnosť, že medzi 500 pripojeniami sa vyskytne toto:

Nájdite distribučnú funkciu náhodnej premennej X. Zostrojte grafy funkcií a . Vypočítajte matematické očakávanie, rozptyl, modus a medián náhodnej premennej X.

Automatický stroj vyrába valčeky. Predpokladá sa, že ich priemer je normálne rozložená náhodná premenná so strednou hodnotou 10 mm. Aká je štandardná odchýlka, ak s pravdepodobnosťou 0,99 je priemer v rozsahu od 9,7 mm do 10,3 mm.

Ukážka A: 6 9 7 6 4 4

Ukážka B: 55 72 54 53 64 53 59 48

42 46 50 63 71 56 54 59

54 44 50 43 51 52 60 43

50 70 68 59 53 58 62 49

59 51 52 47 57 71 60 46

55 58 72 47 60 65 63 63

58 56 55 51 64 54 54 63

56 44 73 41 68 54 48 52

52 50 55 49 71 67 58 46

50 51 72 63 64 48 47 55

Možnosť 17.

Spomedzi 35 dielov je 7 neštandardných. Nájdite pravdepodobnosť, že dve náhodne vybraté časti sa ukážu ako štandardné.

Hodia sa tri kocky. Nájdite pravdepodobnosť, že súčet bodov na padnutých stranách je násobkom 9.

Slovo „ADVENTURE“ sa skladá z kariet, na každej je napísané jedno písmeno. Karty sa zamiešajú a vyberú jedna po druhej bez toho, aby sa vrátili. Nájdite pravdepodobnosť, že písmená vyňaté v poradí vzhľadu tvoria slovo: a) DOBRODRUŽSTVO; b) VÄZŇA.

Urna obsahuje 6 čiernych a 5 bielych loptičiek. Náhodne sa vyžrebuje 5 loptičiek. Nájdite pravdepodobnosť, že medzi nimi sú:

2 biele gule;
menej ako 2 biele gule;
aspoň jedna čierna guľa.

A v jednom teste sa rovná 0,4. Nájdite pravdepodobnosti nasledujúcich udalostí:

udalosť A objaví sa 3-krát v sérii 7 nezávislých pokusov;
udalosť A sa objaví nie menej ako 220 a nie viac ako 235-krát v sérii 400 pokusov.

Závod poslal do základne 5000 kvalitných výrobkov. Pravdepodobnosť poškodenia každého produktu pri preprave je 0,002. Nájdite pravdepodobnosť, že sa počas cesty nepoškodia viac ako 3 produkty.

Prvá urna obsahuje 4 biele a 9 čiernych loptičiek a druhá urna obsahuje 7 bielych a 3 čierne loptičky. 3 loptičky sú náhodne vyžrebované z prvej urny a 4 z druhej urny Nájdite pravdepodobnosť, že všetky vyžrebované loptičky majú rovnakú farbu.

Je daný zákon rozdelenia náhodnej veličiny X:

Vypočítajte jeho matematické očakávanie a rozptyl.

V krabičke je 10 ceruziek. Náhodne sú nakreslené 4 ceruzky. Náhodná hodnota X– počet modrých ceruziek spomedzi vybraných. Nájdite zákon jeho rozloženia, počiatočné a centrálne momenty 2. a 3. rádu.

Oddelenie technickej kontroly skontroluje 475 výrobkov na závady. Pravdepodobnosť, že výrobok je chybný, je 0,05. Nájdite s pravdepodobnosťou 0,95 hranice, v rámci ktorých sa bude nachádzať počet chybných produktov medzi testovanými.

Na telefónnej ústredni dôjde k nesprávnemu spojeniu s pravdepodobnosťou 0,003. Nájdite pravdepodobnosť, že medzi 1 000 pripojeniami sa vyskytne toto:

najmenej 4 nesprávne pripojenia;
viac ako dve nesprávne pripojenia.

Náhodnú premennú určuje funkcia hustoty rozdelenia:

Nájdite distribučnú funkciu náhodnej premennej X. Zostrojte grafy funkcií a . Vypočítajte matematické očakávanie, rozptyl, modus a medián náhodnej premennej X.

Náhodná premenná je určená distribučnou funkciou:

Podľa vzorky A vyriešiť nasledujúce problémy:

vytvoriť sériu variácií;

· priemer vzorky;

· rozptyl vzorky;

Režim a medián;

Vzorka A: 0 0 2 2 1 4

vypočítajte číselné charakteristiky radu variácií:

· priemer vzorky;

· rozptyl vzorky;

štandardná odchýlka vzorky;

· režim a medián;

Ukážka B: 166 154 168 169 178 182 169 159

161 150 149 173 173 156 164 169

157 148 169 149 157 171 154 152

164 157 177 155 167 169 175 166

167 150 156 162 170 167 161 158

168 164 170 172 173 157 157 162

156 150 154 163 143 170 170 168

151 174 155 163 166 173 162 182

166 163 170 173 159 149 172 176

Možnosť 18.

Spomedzi 10 žrebov sú 2 výherné. Zistite pravdepodobnosť, že z piatich náhodne vybraných tiketov bude jeden víťazný.

Hodia sa tri kocky. Nájdite pravdepodobnosť, že súčet hodených bodov je väčší ako 15.

Slovo „OBVOD“ sa skladá z kariet, z ktorých každá má napísané jedno písmeno. Karty sa zamiešajú a vyberú jedna po druhej bez toho, aby sa vrátili. Nájdite pravdepodobnosť, že vyňaté písmená tvoria slovo: a) OBVOD; b) METER.

Urna obsahuje 5 čiernych a 7 bielych loptičiek. Náhodne sa vyžrebuje 5 loptičiek. Nájdite pravdepodobnosť, že medzi nimi sú:

4 biele gule;
menej ako 2 biele gule;
aspoň jedna čierna guľa.

Pravdepodobnosť výskytu udalosti A v jednom pokuse sa rovná 0,55. Nájdite pravdepodobnosti nasledujúcich udalostí:

udalosť A objaví sa 3-krát v sérii 5 výziev;
udalosť A sa objaví nie menej ako 130 a nie viac ako 200-krát v sérii 300 pokusov.

Pravdepodobnosť rozbitia plechovky s konzervami je 0,0005. Nájdite pravdepodobnosť, že z 2 000 plechoviek uniknú dve.

Prvá urna obsahuje 4 biele a 8 čiernych loptičiek a druhá urna obsahuje 7 bielych a 4 čierne gule. Z prvej urny sa náhodne vyžrebujú dve loptičky a z druhej urny sa náhodne vyžrebujú tri loptičky. Nájdite pravdepodobnosť, že všetky vytiahnuté guľôčky majú rovnakú farbu.

Spomedzi dielov, ktoré prichádzajú na montáž, je 0,1 % chybných z prvého stroja, 0,2 % z druhého, 0,25 % z tretieho a 0,5 % zo štvrtého. Pomery produktivity stroja sú 4:3:2:1. Náhodne odobratá časť sa ukázala ako štandardná. Nájdite pravdepodobnosť, že súčiastka bola vyrobená na prvom stroji.

Je daný zákon rozdelenia náhodnej veličiny X:

Vypočítajte jeho matematické očakávanie a rozptyl.

Elektrikár má tri žiarovky, z ktorých každá má poruchu s pravdepodobnosťou 0,1 Žiarovky sú zaskrutkované do objímky a je zapnutý prúd. Po zapnutí prúdu chybná žiarovka okamžite vyhorí a nahradí sa inou. Nájdite distribučný zákon, matematické očakávanie a rozptyl počtu testovaných žiaroviek.

Pravdepodobnosť zasiahnutia cieľa je 0,3 pre každý z 900 nezávislých výstrelov. Pomocou Čebyševovej nerovnosti odhadnite pravdepodobnosť, že cieľ bude zasiahnutý minimálne 240-krát a maximálne 300-krát.

Na telefónnej ústredni dôjde k nesprávnemu spojeniu s pravdepodobnosťou 0,002. Nájdite pravdepodobnosť, že medzi 800 pripojeniami sa vyskytne toto:

najmenej tri nesprávne pripojenia;
viac ako štyri nesprávne pripojenia.

Náhodnú premennú určuje funkcia hustoty rozdelenia:

Nájdite distribučnú funkciu náhodnej premennej X. Nakreslite grafy funkcií a . Vypočítajte matematické očakávanie, rozptyl, modus a medián náhodnej premennej X.

Náhodná premenná je určená distribučnou funkciou:

Podľa vzorky A vyriešiť nasledujúce problémy:

vytvoriť sériu variácií;
vypočítať relatívne a akumulované frekvencie;
zostaviť empirickú distribučnú funkciu a vykresliť ju;
vypočítajte číselné charakteristiky radu variácií:

· priemer vzorky;

· rozptyl vzorky;

štandardná odchýlka vzorky;

· režim a medián;

Ukážka A: 4 7 6 3 3 4

Pomocou vzorky B vyriešte nasledujúce problémy:

vytvoriť zoskupený rad variácií;
zostavte histogram a frekvenčný polygón;
vypočítajte číselné charakteristiky radu variácií:

· priemer vzorky;

· rozptyl vzorky;

štandardná odchýlka vzorky;

· režim a medián;

Ukážka B: 152 161 141 155 171 160 150 157

154 164 138 172 155 152 177 160

168 157 115 128 154 149 150 141

172 154 144 177 151 128 150 147

143 164 156 145 156 170 171 142

148 153 152 170 142 153 162 128

150 146 155 154 163 142 171 138

128 158 140 160 144 150 162 151

163 157 177 127 141 160 160 142

159 147 142 122 155 144 170 177

Možnosť 19.

1. Na stavbe pracuje 16 žien a 5 mužov. Náhodne boli vybraní 3 ľudia podľa ich personálnych čísel. Nájdite pravdepodobnosť, že všetci vybraní ľudia budú muži.

2. Hodia sa štyri mince. Nájdite pravdepodobnosť, že iba dve mince budú mať „erb“.

3. Slovo „PSYCHOLÓGIA“ sa skladá z kariet, z ktorých každá má napísané jedno písmeno. Karty sa zamiešajú a vyberú jedna po druhej bez toho, aby sa vrátili. Nájdite pravdepodobnosť, že vyňaté písmená tvoria slovo: a) PSYCHOLÓGIA; b) ZAMESTNANCI.

4. Urna obsahuje 6 čiernych a 7 bielych loptičiek. Náhodne sa vyžrebuje 5 loptičiek. Nájdite pravdepodobnosť, že medzi nimi sú:

a. 3 biele gule;

b. menej ako 3 biele gule;

c. aspoň jednu bielu guľu.

5. Pravdepodobnosť výskytu udalosti A v jednom teste sa rovná 0,5. Nájdite pravdepodobnosti nasledujúcich udalostí:

a. udalosť A objaví sa 3-krát v sérii 5 nezávislých pokusov;

b. udalosť A sa objaví najmenej 30 a nie viac ako 40 krát v sérii 50 pokusov.

6. Existuje 100 strojov rovnakého výkonu, pracujúcich nezávisle na sebe v rovnakom režime, v ktorom je ich pohon zapnutý na 0,8 pracovnej hodiny. Aká je pravdepodobnosť, že v danom okamihu bude zapnutých 70 až 86 strojov?

7. Prvá urna obsahuje 4 biele a 7 čiernych loptičiek a druhá urna obsahuje 8 bielych a 3 čierne gule. Z prvej urny sa náhodne vyžrebujú 4 loptičky a z druhej 1 loptička. Nájdite pravdepodobnosť, že medzi vytiahnutými loptičkami sú iba 4 čierne gule.

8. Autosalón dostáva denne autá troch značiek v objemoch: „Moskvič“ – 40 %; "Dobre" - 20%; "Volga" - 40% všetkých dovážaných automobilov. Medzi automobilmi Moskvič má 0,5% zariadenie proti krádeži, Oka - 0,01%, Volga - 0,1%. Nájdite pravdepodobnosť, že auto odvezené na kontrolu má zariadenie proti krádeži.

9. Čísla a sú vybrané náhodne na segmente. Nájdite pravdepodobnosť, že tieto čísla vyhovujú nerovnostiam.

10. Je daný zákon rozdelenia náhodnej veličiny X:

X
p	0,1	0,2	0,3	0,4

Nájdite distribučnú funkciu náhodnej premennej X; význam F(2); pravdepodobnosť, že náhodná premenná X naberie hodnoty z intervalu . Zostrojte distribučný polygón.