Se da una variable aleatoria discreta x. Leyes de distribución para variables aleatorias discretas

Variable aleatoria se denomina variable a la que, como resultado de cada prueba, toma un valor previamente desconocido, dependiendo de causas aleatorias. Las variables aleatorias se denotan con letras latinas mayúsculas: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Por su tipo, las variables aleatorias pueden ser discreto y continuo.

Variable aleatoria discreta- esta es una variable aleatoria, cuyos valores no pueden ser más que contables, es decir, finitos o contables. Contabilidad significa que los valores de una variable aleatoria se pueden enumerar.

Ejemplo 1 . Pongamos ejemplos de variables aleatorias discretas:

a) el número de aciertos en el blanco con $n$ tiros, aquí los posibles valores son $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

b) la cantidad de escudos que cayeron al lanzar una moneda, aquí los posibles valores son $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

c) el número de barcos que llegaron a bordo (un conjunto contable de valores).

d) el número de llamadas que llegan a la central (un conjunto contable de valores).

1. Ley de distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta.

Una variable aleatoria discreta $X$ puede tomar los valores $x_1,\dots ,\ x_n$ con probabilidades $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$. La correspondencia entre estos valores y sus probabilidades se llama ley de distribución de una variable aleatoria discreta. Por regla general, esta correspondencia se especifica mediante una tabla, en la primera línea de la cual se indican los valores de $x_1,\dots,\x_n$, y en la segunda línea, las probabilidades correspondientes a estos valores son $ p_1,\puntos,\p_n$.

$\begin(matriz)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \puntos & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \puntos & p_n \\
\hline
\end(matriz)$

Ejemplo 2 . Sea la variable aleatoria $X$ el número de puntos obtenidos cuando se lanza un dado. Tal variable aleatoria $X$ puede tomar los siguientes valores $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Las probabilidades de todos estos valores son iguales a $1/6$. Entonces la ley de distribución de probabilidad para la variable aleatoria $X$:

$\begin(matriz)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end(matriz)$

Comentario. Dado que los eventos $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ forman un grupo completo de eventos en la ley de distribución de la variable aleatoria discreta $X$, la suma de las probabilidades debe ser igual a uno, es decir, $\sum( p_i)=1$.

2. Esperanza matemática de una variable aleatoria discreta.

Esperanza matemática de una variable aleatoria especifica su valor "central". Para una variable aleatoria discreta, la esperanza matemática se calcula como la suma de los productos de los valores $x_1,\dots,\x_n$ y las probabilidades $p_1,\dots,\p_n$ correspondientes a estos valores, es decir: $M\left(X\right)=\sum ^n_(i=1)(p_ix_i)$. En la literatura inglesa, se usa otra notación $E\left(X\right)$.

Propiedades de expectativa$M\izquierda(X\derecha)$:

$M\left(X\right)$ está entre los valores más pequeño y más grande de la variable aleatoria $X$.
La expectativa matemática de una constante es igual a la constante misma, es decir $M\izquierda(C\derecha)=C$.
El factor constante se puede sacar del signo de expectativa: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
La expectativa matemática de la suma de las variables aleatorias es igual a la suma de sus expectativas matemáticas: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
La expectativa matemática del producto de variables aleatorias independientes es igual al producto de sus expectativas matemáticas: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

Ejemplo 3 . Encontremos la expectativa matemática de la variable aleatoria $X$ del ejemplo $2$.

$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\over (6))+2\cdot ((1)\over (6) )+3\cdot ((1)\over (6))+4\cdot ((1)\over (6))+5\cdot ((1)\over (6))+6\cdot ((1 )\sobre (6))=3.5.$$

Podemos notar que $M\left(X\right)$ está entre los valores más pequeños ($1$) y más grandes ($6$) de la variable aleatoria $X$.

Ejemplo 4 . Se sabe que la expectativa matemática de la variable aleatoria $X$ es igual a $M\left(X\right)=2$. Encuentre la expectativa matemática de la variable aleatoria $3X+5$.

Usando las propiedades anteriores, obtenemos $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ cpunto 2 +5=11$.

Ejemplo 5 . Se sabe que la expectativa matemática de la variable aleatoria $X$ es igual a $M\left(X\right)=4$. Encuentre la esperanza matemática de la variable aleatoria $2X-9$.

Usando las propiedades anteriores, obtenemos $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ cpunto 4 -9=-1$.

3. Dispersión de una variable aleatoria discreta.

Los valores posibles de variables aleatorias con expectativas matemáticas iguales pueden dispersarse de manera diferente alrededor de sus valores promedio. Por ejemplo, en dos grupos de estudiantes, el puntaje promedio para el examen de teoría de la probabilidad resultó ser 4, pero en un grupo todos resultaron ser buenos estudiantes, y en el otro grupo, solo estudiantes C y excelentes estudiantes. Por lo tanto, existe la necesidad de tal característica numérica de una variable aleatoria, que mostraría la dispersión de los valores de una variable aleatoria en torno a su expectativa matemática. Esta característica es la dispersión.

Dispersión de una variable aleatoria discreta$X$ es:

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2).\ $$

En la literatura inglesa, se usa la notación $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$. Muy a menudo, la varianza $D\left(X\right)$ se calcula mediante la fórmula $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\ izquierda(X \derecha)\derecha))^2$.

Propiedades de dispersión$D\izquierda(X\derecha)$:

La dispersión siempre es mayor o igual a cero, es decir $D\izquierda(X\derecha)\ge 0$.
La dispersión de una constante es igual a cero, es decir $D\izquierda(C\derecha)=0$.
El factor constante se puede sacar del signo de dispersión, siempre que esté elevado al cuadrado, es decir $D\izquierda(CX\derecha)=C^2D\izquierda(X\derecha)$.
La varianza de la suma de las variables aleatorias independientes es igual a la suma de sus varianzas, es decir $D\izquierda(X+Y\derecha)=D\izquierda(X\derecha)+D\izquierda(Y\derecha)$.
La varianza de la diferencia de variables aleatorias independientes es igual a la suma de sus varianzas, es decir $D\izquierda(X-Y\derecha)=D\izquierda(X\derecha)+D\izquierda(Y\derecha)$.

Ejemplo 6 . Calculemos la varianza de la variable aleatoria $X$ del ejemplo $2$.

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2)=((1)\over (6))\cdot (\left(1-3,5\right))^2+((1)\over (6))\cdot (\left(2-3,5\right))^2+ \dots +((1)\over (6))\cdot (\left(6-3,5\right))^2=((35)\over (12))\approx 2.92.$$

Ejemplo 7 . Se sabe que la varianza de la variable aleatoria $X$ es igual a $D\left(X\right)=2$. Encuentra la varianza de la variable aleatoria $4X+1$.

Usando las propiedades anteriores, encontramos $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ izquierda(X\derecha)=16\cdot 2=32$.

Ejemplo 8 . Se sabe que la varianza de $X$ es igual a $D\left(X\right)=3$. Encuentre la varianza de la variable aleatoria $3-2X$.

Usando las propiedades anteriores, encontramos $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ izquierda(X\derecha)=4\cdot 3=12$.

4. Función de distribución de una variable aleatoria discreta.

El método de representación de una variable aleatoria discreta en forma de serie de distribución no es el único y, lo que es más importante, no es universal, ya que una variable aleatoria continua no se puede especificar mediante una serie de distribución. Hay otra forma de representar una variable aleatoria: la función de distribución.

función de distribución variable aleatoria $X$ es una función $F\left(x\right)$, que determina la probabilidad de que la variable aleatoria $X$ tome un valor menor que algún valor fijo $x$, es decir, $F\left(x\ derecha)$ )=P\izquierda(X< x\right)$

Propiedades de la función de distribución:

$0\le F\left(x\right)\le 1$.
La probabilidad de que la variable aleatoria $X$ tome valores del intervalo $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ es igual a la diferencia entre los valores de la función de distribución en los extremos de este intervalo : $P\izquierda(\alfa< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
$F\left(x\right)$ - no decreciente.
$(\mahop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mahop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \derecho)=1\ )$.

Ejemplo 9 . Busquemos la función de distribución $F\left(x\right)$ para la ley de distribución de la variable aleatoria discreta $X$ del ejemplo $2$.

$\begin(matriz)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(matriz)$

Si $x\le 1$, entonces obviamente $F\left(x\right)=0$ (incluyendo $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X< 1\right)=0$).

si $1< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

si $2< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

si $3< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

si $4< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

si $5< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Si $x > 6$ entonces $F\izquierda(x\derecha)=P\izquierda(X=1\derecha)+P\izquierda(X=2\derecha)+P\izquierda(X=3\derecha) + P\izquierda(X=4\derecha)+P\izquierda(X=5\derecha)+P\izquierda(X=6\derecha)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1 /6+1/6=1$.

Entonces $F(x)=\left\(\begin(matriz)
0,\ en\ x\le 1,\\
1/6, en \ 1< x\le 2,\\
1/3,\ en\ 2< x\le 3,\\
1/2, en \ 3< x\le 4,\\
2/3,\ en\ 4< x\le 5,\\
5/6, \ en \ 4< x\le 5,\\
1,\ para \x > 6.
\end(matriz)\right.$

Podemos destacar las leyes más comunes de distribución de variables aleatorias discretas:

Ley de distribución binomial
Ley de distribución de veneno
Ley de distribución geométrica
Ley de distribución hipergeométrica

Para distribuciones dadas de variables aleatorias discretas, el cálculo de las probabilidades de sus valores, así como de las características numéricas (esperanza matemática, varianza, etc.) se realiza de acuerdo con ciertas "fórmulas". Por ello, es muy importante conocer este tipo de distribuciones y sus propiedades básicas.

1. Ley de distribución binomial.

Una variable aleatoria discreta $X$ está sujeta a la distribución de probabilidad binomial si toma los valores $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ con probabilidades $P\left(X=k\right)= C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k)$. De hecho, la variable aleatoria $X$ es el número de ocurrencias del evento $A$ en $n$ ensayos independientes. Ley de distribución de probabilidad para la variable aleatoria $X$:

$\begin(matriz)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & \puntos & n \\
\hline
p_i & P_n\left(0\right) & P_n\left(1\right) & \dots & P_n\left(n\right) \\
\hline
\end(matriz)$

Para tal variable aleatoria, la expectativa es $M\left(X\right)=np$, la varianza es $D\left(X\right)=np\left(1-p\right)$.

Ejemplo . Hay dos niños en la familia. Asumiendo que las probabilidades de nacimiento de un niño y una niña son iguales a $0.5$, encuentre la ley de distribución de la variable aleatoria $\xi $ - el número de niños en la familia.

Sea la variable aleatoria $\xi $ el número de niños en la familia. Los valores que puede tomar $\xi:\ 0,\ 1,\2$. Las probabilidades de estos valores se pueden encontrar mediante la fórmula $P\left(\xi =k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k )$, donde $n =2$ - número de ensayos independientes, $p=0.5$ - probabilidad de ocurrencia de un evento en una serie de $n$ ensayos. Obtenemos:

$P\izquierda(\xi =0\derecha)=C^0_2\cdot (0.5)^0\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-0)=(0, 5)^2 =0.25;$

$P\left(\xi =1\right)=C^1_2\cdot 0.5\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-1)=2\cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5;$

$P\left(\xi =2\right)=C^2_2\cdot (0,5)^2\cdot (\left(1-0,5\right))^(2-2)=(0, 5)^2=0.25.$

Entonces la ley de distribución de la variable aleatoria $\xi $ es la correspondencia entre los valores $0,\ 1,\ 2$ y sus probabilidades, es decir:

$\begin(matriz)(|c|c|)
\hline
\xi & 0 & 1 & 2 \\
\hline
P(\xi) & 0.25 & 0.5 & 0.25 \\
\hline
\end(matriz)$

La suma de probabilidades en la ley de distribución debe ser igual a $1$, es decir, $\sum _(i=1)^(n)P(\xi _((\rm i)))=0.25+0.5+0, 25 =$1.

Expectativa $M\left(\xi \right)=np=2\cdot 0.5=1$, varianza $D\left(\xi \right)=np\left(1-p\right)=2\ cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5$, desviación estándar $\sigma \left(\xi \right)=\sqrt(D\left(\xi \right))=\sqrt(0.5 )\approx $0.707.

2. Ley de distribución de veneno.

Si una variable aleatoria discreta $X$ puede tomar solo valores enteros no negativos $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ con probabilidades $P\left(X=k\right)=((( \lambda )^k )\over (k}\cdot e^{-\lambda }$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.!}

Comentario. La peculiaridad de esta distribución es que, con base en datos experimentales, encontramos las estimaciones $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$, si las estimaciones obtenidas son cercanas entre sí, entonces tener razón para afirmar que la variable aleatoria está sujeta a la ley de distribución de Poisson.

Ejemplo . Ejemplos de variables aleatorias sujetas a la ley de distribución de Poisson pueden ser: el número de autos que serán atendidos mañana por una gasolinera; el número de elementos defectuosos en el producto fabricado.

Ejemplo . La planta envió $500$ de productos a la base. La probabilidad de daño del producto en tránsito es de $0.002$. Encuentre la ley de distribución de la variable aleatoria $X$ igual al número de productos dañados; que es igual a $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$.

Sea una variable aleatoria discreta $X$ el número de productos dañados. Tal variable aleatoria está sujeta a la ley de distribución de Poisson con el parámetro $\lambda =np=500\cdot 0.002=1$. Las probabilidades de los valores son $P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.!}

$P\izquierda(X=0\derecha)=((1^0)\sobre (0}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\izquierda(X=1\derecha)=((1^1)\sobre (1}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\izquierda(X=2\derecha)=((1^2)\sobre (2}\cdot e^{-1}=0,184;$!}

$P\izquierda(X=3\derecha)=((1^3)\sobre (3}\cdot e^{-1}=0,061;$!}

$P\izquierda(X=4\derecha)=((1^4)\sobre (4}\cdot e^{-1}=0,015;$!}

$P\izquierda(X=5\derecha)=((1^5)\sobre (5}\cdot e^{-1}=0,003;$!}

$P\izquierda(X=6\derecha)=((1^6)\sobre (6}\cdot e^{-1}=0,001;$!}

$P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$!}

La ley de distribución de la variable aleatoria $X$:

$\begin(matriz)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & ... & k \\
\hline
P_i & 0.368; & 0.368 & 0.184 & 0.061 & 0.015 & 0.003 & 0.001 & ... & (((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda } \\!}
\hline
\end(matriz)$

Para tal variable aleatoria, la expectativa matemática y la varianza son iguales entre sí e iguales al parámetro $\lambda $, es decir, $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda =1 ps

3. Ley geométrica de la distribución.

Si una variable aleatoria discreta $X$ puede tomar solo valores naturales $1,\ 2,\ \dots ,\ n$ con probabilidades $P\left(X=k\right)=p(\left(1-p\ right)) ^(k-1),\ k=1,\ 2,\ 3,\ \dots $, entonces decimos que tal variable aleatoria $X$ está sujeta a la ley geométrica de distribución de probabilidad. De hecho, la distribución geométrica parece ser las pruebas de Bernoulli al primer éxito.

Ejemplo . Ejemplos de variables aleatorias que tienen una distribución geométrica pueden ser: el número de disparos antes del primer impacto en el blanco; número de pruebas del dispositivo antes de la primera falla; el número de lanzamientos de moneda antes de que salga cara, y así sucesivamente.

La expectativa matemática y la varianza de una variable aleatoria sujeta a una distribución geométrica son respectivamente $M\left(X\right)=1/p$, $D\left(X\right)=\left(1-p\right) /p^ 2$.

Ejemplo . En el camino del movimiento de los peces al lugar de desove hay un candado de $4$. La probabilidad de que un pez pase por cada esclusa es $p=3/5$. Construya una serie de distribución de la variable aleatoria $X$: el número de candados que pasó el pez antes de detenerse por primera vez en el candado. Encuentra $M\left(X\right),\ D\left(X\right),\ \sigma \left(X\right)$.

Sea la variable aleatoria $X$ el número de esclusas por las que pasa el pez antes de detenerse por primera vez en la esclusa. Tal variable aleatoria está sujeta a la ley geométrica de distribución de probabilidad. Los valores que puede tomar la variable aleatoria $X son: 1, 2, 3, 4. Las probabilidades de estos valores se calculan mediante la fórmula: $P\left(X=k\right)=pq^( k-1)$, donde: $ p=2/5$ - probabilidad de que los peces pasen por la esclusa, $q=1-p=3/5$ - probabilidad de que los peces pasen por la esclusa, $k=1, \ 2, \ 3, \ 4$.

$P\left(X=1\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^0=((2)\ sobre(5))=0.4;$

$P\left(X=2\right)=((2)\over (5))\cdot ((3)\over (5))=((6)\over (25))=0.24; $

$P\left(X=3\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^2=((2)\ sobre (5))\cdot ((9)\sobre (25))=((18)\sobre (125))=0.144;$

$P\left(X=4\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^3+(\left(( (3)\sobre (5))\derecha))^4=((27)\sobre (125))=0.216.$

$\begin(matriz)(|c|c|)
\hline
X_i & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
P\izquierda(X_i\derecha) & 0.4 & 0.24 & 0.144 & 0.216 \\
\hline
\end(matriz)$

Valor esperado:

$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(x_ip_i)=1\cdot 0.4+2\cdot 0.24+3\cdot 0.144+4\cdot 0.216=2.176.$

Dispersión:

$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2=)0,4\cdot (\ izquierda(1-2,176\right))^2+0,24\cdot (\left(2-2,176\right))^2+0,144\cdot (\left(3-2,176\right))^2+$

$+\ 0.216\cdot (\left(4-2.176\right))^2\approx 1.377.$

Desviación Estándar:

$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(1,377)\approx 1,173.$

4. Ley de distribución hipergeométrica.

Si hay $N$ objetos, entre los cuales $m$ objetos tienen la propiedad dada. Aleatoriamente, sin reemplazo, se extraen $n$ objetos, entre los cuales hay $k$ objetos que tienen una determinada propiedad. La distribución hipergeométrica permite estimar la probabilidad de que exactamente $k$ objetos en una muestra tengan una propiedad dada. Sea la variable aleatoria $X$ el número de objetos en la muestra que tienen una propiedad dada. Entonces las probabilidades de los valores de la variable aleatoria $X$:

$P\izquierda(X=k\derecha)=((C^k_mC^(n-k)_(N-m))\sobre (C^n_N))$

Comentario. La función estadística HYPERGEOMET del asistente de funciones $f_x$ de Excel le permite determinar la probabilidad de que un determinado número de intentos tenga éxito.

$f_x\a $ estadístico$\a $ HIPERGEOMÉTRICO$\a $ OK. Aparecerá un cuadro de diálogo que debe completar. en el gráfico Número_de_éxitos_en_muestra especifique el valor de $k$. tamaño de la muestra es igual a $n$. en el gráfico Número_de_éxitos_en_la_población especifique el valor de $m$. Tamaño de la poblacion es igual a $N$.

La expectativa matemática y la varianza de una variable aleatoria discreta $X$ sujeta a una ley de distribución geométrica son $M\left(X\right)=nm/N$, $D\left(X\right)=((nm\left (1 -((m)\sobre (N))\derecha)\izquierda(1-((n)\sobre (N))\derecha))\sobre (N-1))$.

Ejemplo . El departamento de crédito del banco emplea a 5 especialistas con educación financiera superior y 3 especialistas con educación legal superior. La gerencia del banco decidió enviar 3 especialistas para capacitación avanzada, seleccionándolos al azar.

a) Hacer una distribución en serie del número de especialistas con educación financiera superior que pueden ser encaminados a una formación avanzada;

b) Encuentre las características numéricas de esta distribución.

Sea la variable aleatoria $X$ el número de especialistas con mayor educación financiera entre los tres seleccionados. Valores que puede tomar $X:0,\ 1,\ 2,\ 3$. Esta variable aleatoria $X$ se distribuye según la distribución hipergeométrica con los siguientes parámetros: $N=8$ - tamaño de la población, $m=5$ - número de éxitos en la población, $n=3$ - tamaño de la muestra, $ k=0,\ 1, \ 2,\ 3$ - número de éxitos en la muestra. Entonces las probabilidades $P\left(X=k\right)$ se pueden calcular usando la fórmula: $P(X=k)=(C_(m)^(k) \cdot C_(N-m)^(n-k) \ sobre C_( N)^(n) ) $. Tenemos:

$P\left(X=0\right)=((C^0_5\cdot C^3_3)\over (C^3_8))=((1)\over (56))\approx 0.018;$

$P\left(X=1\right)=((C^1_5\cdot C^2_3)\over (C^3_8))=((15)\over (56))\approx 0.268;$

$P\left(X=2\right)=((C^2_5\cdot C^1_3)\over (C^3_8))=((15)\over (28))\approx 0.536;$

$P\left(X=3\right)=((C^3_5\cdot C^0_3)\over (C^3_8))=((5)\over (28))\approx 0.179.$

Entonces la serie de distribución de la variable aleatoria $X$:

$\begin(matriz)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0.018 & 0.268 & 0.536 & 0.179 \\
\hline
\end(matriz)$

Calculemos las características numéricas de la variable aleatoria $X$ utilizando las fórmulas generales de la distribución hipergeométrica.

$M\left(X\right)=((nm)\over (N))=((3\cdot 5)\over (8))=((15)\over (8))=1,875.$

$D\left(X\right)=((nm\left(1-((m)\over (N))\right)\left(1-((n)\over (N))\right)) \over (N-1))=((3\cdot 5\cdot \left(1-((5)\over (8))\right)\cdot \left(1-((3)\over (8) ))\right))\over (8-1))=((225)\over (448))\approx 0.502.$

$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(0.502)\approx 0.7085.$

Ejemplos de resolución de problemas sobre el tema "Variables aleatorias".

Una tarea 1 . Hay 100 billetes emitidos en la lotería. Se jugó una victoria de 50 USD. y diez premios de $10 cada uno. Encuentre la ley de distribución del valor X: el costo de una posible ganancia.

Solución. Posibles valores de X: x 1 = 0; X 2 = 10 y x 3 = 50. Como hay 89 boletos “vacíos”, entonces p 1 = 0,89, la probabilidad de ganar es de 10 u.m. (10 boletos) – p 2 = 0,10 y por una ganancia de 50 u.m. -pags 3 = 0,01. De este modo:


	0,89	0,10	0,01

Fácil de controlar: .

Una tarea 2. La probabilidad de que el comprador se haya familiarizado con la publicidad del producto de antemano es de 0,6 (p = 0,6). El control de calidad selectivo de la publicidad se realiza encuestando a los compradores antes que al primero que haya estudiado el anuncio con anterioridad. Hacer una serie de distribución del número de compradores entrevistados.

Solución. Según la condición del problema p = 0,6. De: q=1 -p = 0,4. Sustituyendo estos valores, obtenemos: y construya una serie de distribución:


Pi		0,24

Una tarea 3. Una computadora consta de tres elementos operativos independientes: una unidad de sistema, un monitor y un teclado. Con un solo aumento brusco de voltaje, la probabilidad de falla de cada elemento es 0.1. Con base en la distribución de Bernoulli, elabore la ley de distribución para el número de elementos que fallan durante un pico de tensión en la red.

Solución. Considerar Distribución de Bernoulli(o binomial): la probabilidad de que en norte pruebas, el evento A aparecerá exactamente k una vez: , o:


	q norte					pags norte

A volvamos a la tarea.

Posibles valores de X (número de fallas):

x 0 =0 - ninguno de los elementos falló;

x 1 = 1 - falla de un elemento;

x 2 =2 - falla de dos elementos;

x 3 =3 - falla de todos los elementos.

Dado que, por condición, p = 0,1, entonces q = 1 – p = 0,9. Usando la fórmula de Bernoulli, obtenemos

, ,

, .

Control: .

Por lo tanto, la ley de distribución deseada:


	0,729	0,243	0,027	0,001

Tarea 4. Produjo 5000 rondas. La probabilidad de que un cartucho esté defectuoso . ¿Cuál es la probabilidad de que haya exactamente 3 cartuchos defectuosos en todo el lote?

Solución. Aplicable distribución de veneno: esta distribución se utiliza para determinar la probabilidad de que, dado un valor muy grande

número de ensayos (ensayos masivos), en cada uno de los cuales la probabilidad del evento A es muy pequeña, el evento A ocurrirá k veces: , dónde .

Aquí n \u003d 5000, p \u003d 0.0002, k \u003d 3. Encontramos, luego la probabilidad deseada: .

Tarea 5. Al disparar antes del primer golpe con la probabilidad de golpear p = 0.6 para un tiro, necesitas encontrar la probabilidad de que el golpe ocurra en el tercer tiro.

Solución. Apliquemos la distribución geométrica: realicemos ensayos independientes, en cada uno de los cuales el evento A tiene una probabilidad de ocurrencia p (y no ocurrencia q = 1 - p). Las pruebas terminan tan pronto como ocurre el evento A.

Bajo tales condiciones, la probabilidad de que ocurra el evento A en la prueba k-ésima está determinada por la fórmula: . Aquí p = 0,6; q \u003d 1 - 0.6 \u003d 0.4;k \u003d 3. Por lo tanto, .

Tarea 6. Sea dada la ley de distribución de una variable aleatoria X:

Encuentra la expectativa matemática.

Solución. .

Tenga en cuenta que el significado probabilístico de la expectativa matemática es el valor promedio de una variable aleatoria.

Tarea 7. Encuentre la varianza de una variable aleatoria X con la siguiente ley de distribución:

Solución. Aquí .

La ley de distribución del cuadrado de X 2 :

X 2

Variación requerida: .

La dispersión caracteriza el grado de desviación (dispersión) de una variable aleatoria de su expectativa matemática.

Tarea 8. Sea la variable aleatoria dada por la distribución:

			10m

Encuentre sus características numéricas.

Solución: m, m 2 ,

METRO 2 , m.

Acerca de una variable aleatoria X, se puede decir: su esperanza matemática es de 6,4 m con una varianza de 13,04 m 2 , o - su expectativa matemática es de 6,4 m con una desviación de m La segunda formulación es obviamente más clara.

Una tarea 9. Valor aleatorio X dada por la función de distribución:
.

Encuentre la probabilidad de que, como resultado de la prueba, el valor X tome un valor contenido en el intervalo .

Solución. La probabilidad de que X tome un valor de un intervalo dado es igual al incremento de la función integral en este intervalo, es decir . En nuestro caso y por tanto

Una tarea 10. Variable aleatoria discreta X dada por la ley de distribución:

Encuentra la función de distribución F(x ) y construye su gráfica.

Solución. Dado que la función de distribución

por , después

a ;

Gráfico relevante:

Tarea 11. Variable aleatoria continua X dada por la función de distribución diferencial: .

Encuentre la probabilidad de acertar X a intervalo

Solución. Tenga en cuenta que este es un caso especial de la ley de distribución exponencial.

Usemos la fórmula: .

Una tarea 12. Encuentre las características numéricas de una variable aleatoria discreta X dada por la ley de distribución:

–5

X2:

. , dónde es la función de Laplace.

Los valores de esta función se encuentran usando una tabla.

En nuestro caso: .

Según la tabla encontramos:, por lo tanto:

Como es sabido, variable aleatoria Se denomina variable a la que puede tomar determinados valores según el caso. Las variables aleatorias se indican con letras mayúsculas del alfabeto latino (X, Y, Z) y sus valores, con las letras minúsculas correspondientes (x, y, z). Las variables aleatorias se dividen en discontinuas (discretas) y continuas.

Variable aleatoria discreta Se denomina variable aleatoria a la que toma solo un conjunto finito o infinito (contable) de valores con ciertas probabilidades distintas de cero.

La ley de distribución de una variable aleatoria discreta es una función que conecta los valores de una variable aleatoria con sus correspondientes probabilidades. La ley de distribución se puede especificar de una de las siguientes maneras.

1 . La ley de distribución puede ser dada por la tabla:

donde λ>0, k = 0, 1, 2, … .

en) mediante el uso función de distribución F(x) , que determina para cada valor x la probabilidad de que la variable aleatoria X tome un valor menor que x, es decir F(x) = P(X< x).

Propiedades de la función F(x)

3 . La ley de distribución se puede establecer gráficamente – polígono de distribución (polígono) (ver problema 3).

Tenga en cuenta que para resolver algunos problemas, no es necesario conocer la ley de distribución. En algunos casos, es suficiente conocer uno o más números que reflejen las características más importantes de la ley de distribución. Puede ser un número que tenga el significado de "valor promedio" de una variable aleatoria, o un número que muestre el tamaño promedio de la desviación de una variable aleatoria de su valor promedio. Los números de este tipo se denominan características numéricas de una variable aleatoria.

Características numéricas básicas de una variable aleatoria discreta :

Esperanza matemática (valor medio) de una variable aleatoria discreta M(X)=Σ x yo pag yo.
Para distribución binomial M(X)=np, para distribución de Poisson M(X)=λ
Dispersión variable aleatoria discreta D(X)=M2 o D(X) = M(X2) − 2. La diferencia X–M(X) se denomina desviación de una variable aleatoria de su expectativa matemática.
Para distribución binomial D(X)=npq, para distribución de Poisson D(X)=λ
Desviación Estándar (Desviación Estándar) σ(X)=√D(X).

Ejemplos de resolución de problemas sobre el tema "La ley de distribución de una variable aleatoria discreta"

Tarea 1.

Se han emitido 1000 billetes de lotería: 5 de ellos ganarán 500 rublos, 10 ganarán 100 rublos, 20 ganarán 50 rublos y 50 ganarán 10 rublos. Determine la ley de distribución de probabilidad de la variable aleatoria X - ganancias por boleto.

Solución. Según la condición del problema, son posibles los siguientes valores de la variable aleatoria X: 0, 10, 50, 100 y 500.

El número de boletos sin ganar es 1000 - (5+10+20+50) = 915, luego P(X=0) = 915/1000 = 0.915.

De manera similar, encontramos todas las demás probabilidades: P(X=0) = 50/1000=0.05, P(X=50) = 20/1000=0.02, P(X=100) = 10/1000=0.01 , P(X =500) = 5/1000=0,005. Presentamos la ley resultante en forma de tabla:

Encuentre la expectativa matemática de X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1 + 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

Tarea 3.

El dispositivo consta de tres elementos que funcionan independientemente. La probabilidad de falla de cada elemento en un experimento es 0.1. Elabore una ley de distribución para el número de elementos fallidos en un experimento, construya un polígono de distribución. Encuentre la función de distribución F(x) y grafítela. Encuentre la expectativa matemática, la varianza y la desviación estándar de una variable aleatoria discreta.

Solución. 1. La variable aleatoria discreta X=(número de elementos fallidos en un experimento) tiene los siguientes valores posibles: x 1 =0 (ninguno de los elementos del dispositivo falló), x 2 =1 (un elemento falló), x 3 =2 ( fallaron dos elementos) y x 4 \u003d 3 (fallaron tres elementos).

Las fallas de los elementos son independientes entre sí, las probabilidades de falla de cada elemento son iguales entre sí, por lo tanto, es aplicable fórmula de Bernoulli . Dado que, por condición, n=3, p=0.1, q=1-p=0.9, determinamos las probabilidades de los valores:
P 3 (0) \u003d C 3 0 p 0 q 3-0 \u003d q 3 \u003d 0.9 3 \u003d 0.729;
P 3 (1) \u003d C 3 1 p 1 q 3-1 \u003d 3 * 0.1 * 0.9 2 \u003d 0.243;
P 3 (2) \u003d C 3 2 p 2 q 3-2 \u003d 3 * 0.1 2 * 0.9 \u003d 0.027;
P 3 (3) \u003d C 3 3 p 3 q 3-3 \u003d p 3 \u003d 0.1 3 \u003d 0.001;
Comprueba: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

Así, la ley de distribución binomial deseada X tiene la forma:

En el eje de abscisas, graficamos los posibles valores x i, y en el eje de ordenadas, las probabilidades correspondientes р i . Construyamos los puntos M 1 (0; 0.729), M 2 (1; 0.243), M 3 (2; 0.027), M 4 (3; 0.001). Conectando estos puntos con segmentos de línea, obtenemos el polígono de distribución deseado.

3. Encuentre la función de distribución F(x) = P(X

Para x ≤ 0 tenemos F(x) = P(X<0) = 0;
por 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
para 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
para 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
para x > 3 será F(x) = 1, porque el evento es seguro.

Gráfica de la función F(x)

4. Para la distribución binomial X:
- expectativa matemática М(X) = np = 3*0.1 = 0.3;
- dispersión D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- desviación estándar σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.

X; sentido F(5); la probabilidad de que la variable aleatoria X tomará valores del intervalo . Construya un polígono de distribución.

Se conoce la función de distribución F(x) de una variable aleatoria discreta X:

Especificar la ley de distribución de una variable aleatoria X en forma de mesa.

Dada la ley de distribución de una variable aleatoria X:

X	–28	–20	–12	–4
pags	0,22	0,44	0,17	0,1	0,07

La probabilidad de que la tienda tenga certificados de calidad para toda la gama de productos es de 0,7. La comisión verificó la disponibilidad de certificados en cuatro tiendas del distrito. Haga una ley de distribución, calcule la expectativa matemática y la varianza del número de tiendas en las que no se encontraron certificados de calidad durante el control.

Para determinar el tiempo promedio de combustión de las lámparas eléctricas en un lote de 350 cajas idénticas, se tomó para prueba una lámpara eléctrica de cada caja. Estime desde abajo la probabilidad de que el tiempo promedio de encendido de las lámparas eléctricas seleccionadas difiera del tiempo promedio de encendido de todo el lote en un valor absoluto de menos de 7 horas, si se sabe que la desviación estándar del tiempo de encendido de las lámparas eléctricas en cada caja es menos de 9 horas.

En la central telefónica, se produce una conexión incorrecta con una probabilidad de 0,002. Encuentre la probabilidad de que entre 500 conexiones haya:

Encuentra la función de distribución de una variable aleatoria X. Grafique las funciones y . Calcular la media, la varianza, la moda y la mediana de una variable aleatoria X.

La máquina automática hace rodillos. Se cree que su diámetro es una variable aleatoria distribuida normalmente con un valor promedio de 10 mm. ¿Cuál es la desviación estándar si, con una probabilidad de 0,99, el diámetro se encuentra en el rango de 9,7 mm a 10,3 mm?

Muestra A: 6 9 7 6 4 4

Muestra B: 55 72 54 53 64 53 59 48

42 46 50 63 71 56 54 59

54 44 50 43 51 52 60 43

50 70 68 59 53 58 62 49

59 51 52 47 57 71 60 46

55 58 72 47 60 65 63 63

58 56 55 51 64 54 54 63

56 44 73 41 68 54 48 52

52 50 55 49 71 67 58 46

50 51 72 63 64 48 47 55

Opción 17.

Entre las 35 partes, 7 no son estándar. Encuentre la probabilidad de que dos partes elegidas al azar sean estándar.

Lanza tres dados. Halla la probabilidad de que la suma de los puntos de las caras caídas sea múltiplo de 9.

La palabra "AVENTURA" se compone de cartas, cada una con una letra escrita en ellas. Las cartas se barajan y se sacan de una en una sin retorno. Halla la probabilidad de que las letras sacadas en orden de aparición formen una palabra: a) AVENTURA; b) CAPTURA.

Una urna contiene 6 bolas negras y 5 blancas. Se extraen 5 bolas al azar. Encuentre la probabilidad de que entre ellos haya:

2 bolas blancas;
menos de 2 bolas blancas;
al menos una bola negra.

PERO en una prueba es 0.4. Encuentre las probabilidades de los siguientes eventos:

evento PERO aparecerá 3 veces en una serie de 7 juicios independientes;
evento PERO aparecerá al menos 220 y no más de 235 veces en una serie de 400 desafíos.

La planta envió 5.000 productos de alta calidad a la base. La probabilidad de daño de cada producto en tránsito es 0.002. Encuentre la probabilidad de que no más de 3 productos se dañen en el camino.

La primera urna contiene 4 bolas blancas y 9 negras, y la segunda urna contiene 7 bolas blancas y 3 negras. De la primera urna se extraen al azar 3 bolas y de la segunda 4. Halla la probabilidad de que todas las bolas extraídas sean del mismo color.

Dada la ley de distribución de una variable aleatoria X:

Calcule su esperanza matemática y su varianza.

Hay 10 lápices en la caja. Se extraen 4 lápices al azar. Valor aleatorio X es el número de lápices azules entre los seleccionados. Encuentre la ley de su distribución, los momentos inicial y central de 2° y 3° orden.

El departamento de control técnico revisa 475 productos en busca de defectos. La probabilidad de que un producto sea defectuoso es 0.05. Encuentre con una probabilidad de 0.95 los límites que contendrán el número de productos defectuosos entre los probados.

En la central telefónica, se produce una conexión incorrecta con una probabilidad de 0,003. Encuentre la probabilidad de que entre 1000 conexiones haya:

al menos 4 conexiones incorrectas;
más de dos conexiones incorrectas.

La variable aleatoria viene dada por la función de densidad de distribución:

Encuentra la función de distribución de una variable aleatoria X. Grafique las funciones y . Calcule la expectativa matemática, la varianza, la moda y la mediana de una variable aleatoria X.

La variable aleatoria viene dada por la función de distribución:

por muestra PERO resolver las siguientes tareas:

hacer una serie de variaciones;

la media muestral;

La varianza de la muestra

Moda y mediana;

Muestra A: 0 0 2 2 1 4

calcular las características numéricas de la serie variacional:

la media muestral;

La varianza de la muestra

· Desviación Estándar;

moda y mediana;

Muestra B: 166 154 168 169 178 182 169 159

161 150 149 173 173 156 164 169

157 148 169 149 157 171 154 152

164 157 177 155 167 169 175 166

167 150 156 162 170 167 161 158

168 164 170 172 173 157 157 162

156 150 154 163 143 170 170 168

151 174 155 163 166 173 162 182

166 163 170 173 159 149 172 176

Opción 18.

Entre 10 billetes de lotería, 2 son ganadores. Encuentre la probabilidad de que uno de los cinco boletos extraídos al azar sea el ganador.

Lanza tres dados. Calcula la probabilidad de que la suma de los puntos obtenidos sea mayor que 15.

La palabra "PERÍMETRO" se compone de tarjetas, cada una de las cuales tiene una letra escrita. Las cartas se barajan y se sacan de una en una sin retorno. Calcular la probabilidad de que las letras extraídas formen una palabra: a) PERÍMETRO; b) MEDIDOR.

Una urna contiene 5 bolas negras y 7 blancas. Se extraen 5 bolas al azar. Encuentre la probabilidad de que entre ellos haya:

4 bolas blancas;
menos de 2 bolas blancas;
al menos una bola negra.

Probabilidad de un evento PERO en una prueba es 0.55. Encuentre las probabilidades de los siguientes eventos:

evento PERO aparecerá 3 veces en una serie de 5 desafíos;
evento PERO aparecerá al menos 130 y no más de 200 veces en una serie de 300 desafíos.

La probabilidad de una fuga en una lata de comida enlatada es 0.0005. Encuentre la probabilidad de que dos de 2000 frascos tengan fugas.

La primera urna contiene 4 bolas blancas y 8 negras, y la segunda urna contiene 7 bolas blancas y 4 negras. Se extraen al azar 2 bolas de la primera urna y 3 bolas al azar de la segunda urna. Calcula la probabilidad de que todas las bolas extraídas sean del mismo color.

Entre las piezas que llegan para el montaje, de la primera máquina el 0,1% están defectuosas, de la segunda - 0,2%, de la tercera - 0,25%, de la cuarta - 0,5%. La productividad de las máquinas se relaciona en consecuencia como 4:3:2:1. Una parte tomada al azar resultó ser estándar. Encuentre la probabilidad de que el artículo se haya hecho en la primera máquina.

Dada la ley de distribución de una variable aleatoria X:

Calcule su esperanza matemática y su varianza.

Un electricista tiene tres bombillas, cada una de las cuales tiene un defecto con una probabilidad de 0,1.. Las bombillas se enroscan en el portalámparas y se enciende la corriente. Cuando se enciende la corriente, la bombilla defectuosa se quema inmediatamente y se reemplaza por otra. Encuentre la ley de distribución, la expectativa matemática y la varianza del número de bombillas probadas.

La probabilidad de dar en el blanco es de 0,3 para cada uno de los 900 disparos independientes. Usando la desigualdad de Chebyshev, estime la probabilidad de que el objetivo sea alcanzado al menos 240 veces y como máximo 300 veces.

En la central telefónica, se produce una conexión incorrecta con una probabilidad de 0,002. Encuentre la probabilidad de que entre 800 conexiones haya:

al menos tres conexiones incorrectas;
más de cuatro conexiones incorrectas.

La variable aleatoria viene dada por la función de densidad de distribución:

Encuentra la función de distribución de la variable aleatoria X. Construye gráficas de las funciones y . Calcular la media, la varianza, la moda y la mediana de una variable aleatoria X.

La variable aleatoria viene dada por la función de distribución:

por muestra PERO resolver las siguientes tareas:

hacer una serie de variaciones;
calcular frecuencias relativas y acumuladas;
componer una función de distribución empírica y construir su gráfico;
calcular las características numéricas de la serie variacional:

la media muestral;

La varianza de la muestra

· Desviación Estándar;

moda y mediana;

Muestra A: 4 7 6 3 3 4

Para la muestra B, resuelve los siguientes problemas:

hacer una serie de variaciones agrupadas;
construir un histograma y un polígono de frecuencias;
calcular las características numéricas de la serie variacional:

la media muestral;

La varianza de la muestra

· Desviación Estándar;

moda y mediana;

Muestra B: 152 161 141 155 171 160 150 157

154 164 138 172 155 152 177 160

168 157 115 128 154 149 150 141

172 154 144 177 151 128 150 147

143 164 156 145 156 170 171 142

148 153 152 170 142 153 162 128

150 146 155 154 163 142 171 138

128 158 140 160 144 150 162 151

163 157 177 127 141 160 160 142

159 147 142 122 155 144 170 177

Opción 19.

1. 16 mujeres y 5 hombres trabajan en el sitio. Se seleccionaron al azar 3 personas según el número de personal. Encuentre la probabilidad de que todas las personas seleccionadas sean hombres.

2. Se lanzan cuatro monedas. Halla la probabilidad de que solo dos monedas tengan un escudo de armas.

3. La palabra "PSICOLOGÍA" se compone de tarjetas, cada una de las cuales tiene escrita una letra. Las cartas se barajan y se sacan de una en una sin retorno. Calcular la probabilidad de que las letras extraídas formen una palabra: a) PSICOLOGÍA; b) PERSONAL.

4. Una urna contiene 6 bolas negras y 7 blancas. Se extraen 5 bolas al azar. Encuentre la probabilidad de que entre ellos haya:

una. 3 bolas blancas;

b. menos de 3 bolas blancas;

C. al menos una bola blanca.

5. Probabilidad del evento PERO en una prueba es 0.5. Encuentre las probabilidades de los siguientes eventos:

una. evento PERO aparecerá 3 veces en una serie de 5 juicios independientes;

b. evento PERO aparecerá al menos 30 y no más de 40 veces en una serie de 50 desafíos.

6. Hay 100 máquinas de la misma potencia, que funcionan independientemente entre sí en el mismo modo, en las que su accionamiento se enciende durante 0,8 horas de trabajo. ¿Cuál es la probabilidad de que, en un momento dado, entre 70 y 86 máquinas estén encendidas?

7. La primera urna contiene 4 bolas blancas y 7 negras, y la segunda urna contiene 8 bolas blancas y 3 negras. Se extraen al azar 4 bolas de la primera urna y 1 bola de la segunda urna. Encuentre la probabilidad de que solo haya 4 bolas negras entre las bolas extraídas.

8. Todos los días, tres marcas de automóviles se entregan al concesionario de automóviles en volúmenes: Moskvich: 40%; "Está bien" - 20%; "Volga" - 40% de todos los automóviles importados. Entre los automóviles de la marca Moskvich, el 0,5% tiene un dispositivo antirrobo, Oka - 0,01%, Volga - 0,1%. Encuentre la probabilidad de que el automóvil tomado para la prueba tenga un dispositivo antirrobo.

9. Los números y se eligen al azar en el segmento. Encuentra la probabilidad de que estos números satisfagan las desigualdades.

10. La ley de distribución de una variable aleatoria está dada X:

X
pags	0,1	0,2	0,3	0,4

Encuentra la función de distribución de una variable aleatoria X; sentido F(2); la probabilidad de que la variable aleatoria X tomará valores del intervalo . Construya un polígono de distribución.