Priesečník dvoch čiar. Súradnice priesečníka dvoch priamok - príklady nájdenia

Lekcia zo série "Geometrické algoritmy"

Dobrý deň, milý čitateľ!

Pokračujme v spoznávaní geometrické algoritmy. V minulej lekcii sme našli rovnicu priamky v súradniciach dvoch bodov. Máme rovnicu v tvare:

Dnes si napíšeme funkciu, ktorá pomocou rovníc dvoch priamok zistí súradnice ich priesečníka (ak existuje). Na kontrolu rovnosti reálnych čísel použijeme špeciálnu funkciu RealEq().

Body na rovine sú opísané dvojicou reálnych čísel. Pri použití skutočného typu je lepšie usporiadať porovnávacie operácie pomocou špeciálnych funkcií.

Dôvod je známy: v programovacom systéme Pascal neexistuje vzťah poradia na type Real, preto je lepšie nepoužívať záznamy v tvare a = b, kde a a b sú reálne čísla.
Dnes predstavíme funkciu RealEq() na implementáciu operácie „=“ (úplne rovnaká):

Funkcia RealEq(Const a, b:Real):Boolean; (prísne rovnaké) begin RealEq:=Abs(a-b)<=_Eps End; {RealEq}

Úloha. Sú dané rovnice dvoch priamok: a . Nájdite ich priesečník.

Riešenie. Samozrejmým riešením je vyriešiť sústavu rovníc priamok: Prepíšme tento systém trochu inak:
(1)

Zavádzame označenie: , , . Tu je D determinant systému a sú to determinanty získané nahradením stĺpca koeficientov pre zodpovedajúcu neznámu stĺpcom voľných členov. Ak , potom je systém (1) určitý, to znamená, že má jedinečné riešenie. Toto riešenie možno nájsť pomocou nasledujúcich vzorcov: , , ktoré sú tzv Cramerove vzorce. Dovoľte mi pripomenúť, ako sa vypočítava determinant druhého rádu. Determinant rozlišuje dve uhlopriečky: hlavnú a vedľajšiu. Hlavná diagonála pozostáva z prvkov v smere od ľavého horného rohu determinantu k pravému dolnému rohu. Bočná uhlopriečka - z pravého horného rohu do ľavého dolného rohu. Determinant druhého rádu sa rovná súčinu prvkov hlavnej uhlopriečky mínus súčin prvkov vedľajšej uhlopriečky.

Kód používa funkciu RealEq() na kontrolu rovnosti. Výpočty s reálnymi číslami sa robia s presnosťou až _Eps=1e-7.

Program geom2; Const _Eps: Real=1e-7;(presnosť výpočtu) var a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y,d,dx,dy:Real; Funkcia RealEq(Const a, b:Real):Boolean; (prísne rovnaké) begin RealEq:=Abs(a-b)<=_Eps End; {RealEq} Function LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2: real; var x,y:real):Boolean; {Определение координат точки пересечения двух линий. Значение функции равно true, если точка пересечения есть, и false, если прямые параллельны. } var d:real; begin d:=a1*b2-b1*a2; if Not(RealEq(d,0)) then begin LineToPoint:=True; dx:=-c1*b2+b1*c2; dy:=-a1*c2+c1*a2; x:=dx/d; y:=dy/d; end else LineToPoint:=False End;{LineToPoint} begin {main} writeln("Введите коэффициенты уравнений: a1,b1,c1,a2,b2,c2 "); readln(a1,b1,c1,a2,b2,c2); if LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y) then writeln(x:5:1,y:5:1) else writeln("Прямые параллельны."); end.

Zostavili sme program, pomocou ktorého môžete pri znalosti rovníc priamok nájsť súradnice ich priesečníka.

Za menej ako minútu som vytvoril nový súbor Verdov a pokračoval som v takejto vzrušujúcej téme. Treba vystihnúť momenty pracovnej nálady, takže lyrický úvod nebude. Bude prozaický výprask =)

Dva rovné priestory môžu:

1) krížiť sa;

2) pretínajú sa v bode ;

3) byť paralelné;

4) zápas.

Prípad č. 1 sa zásadne líši od ostatných prípadov. Dve priamky sa pretínajú, ak neležia v rovnakej rovine.. Zdvihnite jednu ruku a natiahnite druhú ruku dopredu - tu je príklad pretínajúcich sa čiar. V bodoch 2-4 čiary nevyhnutne ležia v jednej rovine.

Ako zistiť vzájomnú polohu čiar v priestore?

Zvážte dva priame priestory:

je priamka daná bodom a smerovacím vektorom ;
je priamka definovaná bodom a smerovým vektorom .

Pre lepšie pochopenie si urobme schematický nákres:

Na výkrese sú ako príklad znázornené šikmé čiary.

Ako sa vysporiadať s týmito riadkami?

Keďže body sú známe, je ľahké nájsť vektor.

Ak rovno krížiť sa, potom vektory nie koplanárne(pozri lekciu Lineárna (ne)závislosť vektorov. Vektorový základ), čo znamená, že determinant zložený z ich súradníc je nenulový. Alebo, čo je vlastne to isté, sa bude líšiť od nuly: .

V prípadoch č. 2-4 naša konštrukcia „padá“ do jednej roviny, pričom vektory koplanárny a zmiešaný súčin lineárne závislých vektorov sa rovná nule: .

Algoritmus ďalej rozširujeme. Predstierajme to , preto sa čiary buď pretínajú, alebo sú rovnobežné, alebo sa zhodujú.

Ak smerové vektory kolineárne, potom sú čiary buď rovnobežné, alebo sa zhodujú. Ako posledný klinec navrhujem nasledujúcu techniku: vezmeme ľubovoľný bod jednej priamky a dosadíme jeho súradnice do rovnice druhej priamky; ak sa súradnice „priblížili“, potom sa čiary zhodujú, ak sa „nepriblížili“, potom sú čiary rovnobežné.

Priebeh algoritmu je nenáročný, ale praktické príklady stále nezasahujú:

Príklad 11

Zistite vzájomnú polohu dvoch čiar

Riešenie: ako pri mnohých geometrických problémoch je vhodné usporiadať riešenie bod po bode:

1) Z rovníc extrahujeme body a smerové vektory:

2) Nájdite vektor:

Vektory sú teda koplanárne, čo znamená, že čiary ležia v rovnakej rovine a môžu sa pretínať, byť rovnobežné alebo sa zhodovať.

4) Skontrolujte kolinearitu smerových vektorov.

Zostavme systém zo zodpovedajúcich súradníc týchto vektorov:

Od všetci Z rovnice vyplýva, že systém je teda konzistentný, zodpovedajúce súradnice vektorov sú proporcionálne a vektory sú kolineárne.

Záver: čiary sú rovnobežné alebo sa zhodujú.

5) Zistite, či majú čiary spoločné body. Vezmime si bod patriaci do prvej priamky a dosadíme jeho súradnice do rovníc priamky:

Čiary teda nemajú spoločné body a nezostáva im nič iné, len byť rovnobežné.

Odpoveď:

Zaujímavý príklad, ktorý môžete vyriešiť sami:

Príklad 12

Zistite relatívnu polohu čiar

Toto je príklad „urob si sám“. Všimnite si, že druhý riadok obsahuje písmeno ako parameter. Logicky. Vo všeobecnosti ide o dva rôzne riadky, takže každý riadok má svoj vlastný parameter.

A ešte raz vás žiadam, aby ste nepreskakovali príklady, budem plácať za úlohy, ktoré navrhujem, nie sú ani zďaleka náhodné ;-)

Problémy s priamkou v priestore

V záverečnej časti lekcie sa pokúsim zvážiť maximálny počet rôznych problémov s priestorovými čiarami. V tomto prípade bude dodržané začaté poradie príbehu: najprv zvážime problémy s pretínajúcimi sa čiarami, potom s pretínajúcimi sa čiarami a na konci budeme hovoriť o paralelných čiarach v priestore. Musím však povedať, že niektoré úlohy tejto lekcie možno formulovať pre niekoľko prípadov rovných čiar naraz a v tomto smere je rozdelenie sekcie na odseky do istej miery ľubovoľné. Sú jednoduchšie príklady, sú zložitejšie príklady a snáď si každý nájde to, čo potrebuje.

Prekrížené čiary

Pripomínam, že priamky sa pretínajú, ak neexistuje rovina, v ktorej by obe ležali. Keď som premýšľal o cvičení, napadla ma úloha monštra a teraz vám s radosťou predstavujem draka so štyrmi hlavami:

Príklad 13

Dané sú rovné čiary. Požadovaný:

a) dokázať, že sa čiary pretínajú;

b) nájdite rovnice priamky prechádzajúcej bodom kolmým na dané priamky;

c) zostavte rovnice priamky, ktorá obsahuje spoločná kolmica pretínajúce sa čiary;

d) nájdite vzdialenosť medzi čiarami.

Riešenie: Cestu zvládne kráčajúci:

a) Dokážme, že sa priamky pretínajú. Nájdite body a smerové vektory týchto priamych čiar:

Poďme nájsť vektor:

Vypočítať zmiešaný súčin vektorov:

Takže vektory nie koplanárne, čo znamená, že sa čiary pretínajú, čo sa malo dokázať.

Pravdepodobne si každý už dlho všimol, že pre šikmé čiary je overovací algoritmus najkratší.

b) Nájdime rovnice priamky, ktorá prechádza bodom a je kolmá na priamky. Urobme si schematický nákres:

Pre spestrenie som zverejnil direct ZA rovné čiary, pozrite sa, ako je mierne vymazaný v miestach kríženia. Krížence? Áno, vo všeobecnom prípade sa čiara "de" pretína s pôvodnými čiarami. Hoci nás tento moment nezaujíma, stačí postaviť kolmú čiaru a je to.

Čo je známe o priamom „de“? Bod k tomu patriaci je známy. Chýba smerový vektor.

Podľa podmienky musí byť čiara kolmá na čiary, čo znamená, že jej smerový vektor bude ortogonálny k smerovým vektorom. Motív už známy z príkladu č. 9, nájdime vektorový súčin:

Zostavme rovnice priamky „de“ podľa bodu a smerového vektora:

Pripravený. V zásade je možné zmeniť znamienka v menovateloch a napísať odpoveď do formulára , ale nie je to potrebné.

Na kontrolu je potrebné dosadiť súradnice bodu do získaných rovníc priamky a následne použiť bodový súčin vektorov uistite sa, že vektor je skutočne ortogonálny k smerovým vektorom "pe jeden" a "pe dva".

Ako nájsť rovnice priamky obsahujúcej spoločnú kolmicu?

c) Tento problém je zložitejší. Dummy odporúčam tento odsek preskočiť, nechcem schladiť vaše úprimné sympatie k analytickej geometrii =) Mimochodom, pre pripravenejších čitateľov by bolo možno lepšie počkať, faktom je, že z hľadiska zložitosti by mal príklad byť v článku na poslednom mieste, ale podľa logiky prezentácie by sa mal nachádzať tu.

Je teda potrebné nájsť rovnice priamky, ktorá obsahuje spoločnú kolmicu šikmých čiar.

je úsečka, ktorá spája dané čiary a je kolmá na dané čiary:

Tu je náš fešák: - spoločná kolmica pretínajúcich sa čiar. On je jediný. Žiadna iná taká neexistuje. Musíme tiež zostaviť rovnice priamky, ktorá obsahuje daný segment.

Čo je známe o priamom „uh“? Jeho smerový vektor je známy, nájdete ho v predchádzajúcom odseku. Ale, žiaľ, nepoznáme ani jeden bod patriaci priamke „em“, nepoznáme konce kolmice – body. Kde táto kolmá čiara pretína dve pôvodné čiary? Afrika, Antarktída? Z prvotnej kontroly a rozboru stavu nie je vôbec jasné, ako problém vyriešiť .... S použitím parametrických rovníc priamky je však spojený zložitý pohyb.

Rozhodnime sa bod po bode:

1) Prepíšme rovnice prvej priamky v parametrickom tvare:

Zamyslime sa nad bodom. Súradnice nepoznáme. ALE. Ak bod patrí k danej čiare, potom jeho súradnice zodpovedajú , označte ho . Potom sa súradnice bodu zapíšu takto:

Život sa zlepšuje, jedna neznáma – napokon, nie tri neznáme.

2) Rovnaké rozhorčenie sa musí vykonať v druhom bode. Prepíšme rovnice druhej priamky do parametrického tvaru:

Ak bod patrí k danej priamke, potom s veľmi konkrétnym významom jeho súradnice musia spĺňať parametrické rovnice:

alebo:

3) Vektor , rovnako ako predtým nájdený vektor , bude smerovým vektorom čiary . O tom, ako zostaviť vektor z dvoch bodov, sa v lekcii uvažovalo už od nepamäti Vektory pre figuríny. Teraz je rozdiel v tom, že súradnice vektorov sú zapísané s neznámymi hodnotami parametrov. No a čo? Nikto nezakazuje odpočítať zodpovedajúce súradnice začiatku vektora od súradníc konca vektora.

Existujú dva body: .

Nájdenie vektora:

4) Keďže smerové vektory sú kolineárne, potom je jeden vektor lineárne vyjadrený cez druhý s určitým koeficientom proporcionality "lambda":

Alebo súradnicovo:

Ukázalo sa, že je to najobyčajnejšie sústava lineárnych rovníc s tromi neznámymi , čo je štandardne riešiteľné, napr. Cramerova metóda. Ale tu je možnosť vyjsť s trochou krvi, z tretej rovnice vyjadríme „lambda“ a dosadíme ju do prvej a druhej rovnice:

Touto cestou: , a "lambda" nepotrebujeme. Skutočnosť, že hodnoty parametrov sa ukázali byť rovnaké, je čistá náhoda.

5) Obloha sa úplne vyjasní, dosaďte zistené hodnoty na naše miesta:

Smerový vektor nie je zvlášť potrebný, pretože jeho náprotivok už bol nájdený.

Po dlhej ceste je vždy zaujímavé vykonať kontrolu.

:

Získajú sa správne rovnosti.

Dosaďte súradnice bodu do rovníc :

Získajú sa správne rovnosti.

6) Posledný akord: zostavíme rovnice priamky pre bod (môžete vziať) a smerovací vektor:

V zásade môžete vyzdvihnúť „dobrý“ bod s celočíselnými súradnicami, ale je to kozmetické.

Ako zistiť vzdialenosť medzi pretínajúcimi sa čiarami?

d) Odrežeme štvrtú hlavu draka.

Metóda jedna. Ani nie spôsob, ale malý špeciálny prípad. Vzdialenosť medzi pretínajúcimi sa čiarami sa rovná dĺžke ich spoločnej kolmice: .

Krajné body spoločnej kolmice nájdete v predchádzajúcom odseku a úloha je elementárna:

Metóda dva. V praxi sú najčastejšie konce spoločnej kolmice neznáme, preto sa používa iný prístup. Cez dve pretínajúce sa čiary možno nakresliť rovnobežné roviny a vzdialenosť medzi danými rovinami sa rovná vzdialenosti medzi danými čiarami. Medzi týmito rovinami trčí najmä spoločná kolmica.

V priebehu analytickej geometrie sa z vyššie uvedených úvah odvodil vzorec na nájdenie vzdialenosti medzi šikmými čiarami:
(namiesto našich bodov "em jeden, dva" môžeme vziať ľubovoľné body čiar).

Zmiešaný súčin vektorov už sa nachádza v odseku "a": .

Krížový súčin vektorov nájdete v odseku "byť": , vypočítajte jeho dĺžku:

Touto cestou:

Hrdo rozložte trofeje do jedného radu:

Odpoveď:
a) , teda čiary sa pretínajú, čo bolo potrebné dokázať;
b) ;
v) ;
G)

Čo ešte možno povedať o pretínajúcich sa čiarach? Medzi nimi je definovaný uhol. Zvážte však vzorec univerzálneho uhla v nasledujúcom odseku:

Pretínajúce sa priamky nevyhnutne ležia v rovnakej rovine:

Prvou myšlienkou je oprieť sa o priesečník celou silou. A hneď som si pomyslel, prečo si odopierať tie správne túžby?! Poďme na to hneď teraz!

Ako nájsť priesečník priestorových čiar?

Príklad 14

Nájdite priesečník čiar

Riešenie: Prepíšme rovnice čiar v parametrickom tvare:

Táto úloha bola podrobne zvážená v príklade č. 7 tejto lekcie (pozri. Rovnice priamky v priestore). A samotné rovné čiary, mimochodom, som prevzal z príkladu č.12. Nebudem klamať, som lenivý vymýšľať nové.

Riešenie je štandardné a už sme sa s ním stretli, keď sme vypracovávali rovnice spoločnej kolmice šikmých priamok.

Priesečník priamok patrí k priamke, preto jej súradnice spĺňajú parametrické rovnice tejto priamky a zodpovedajú veľmi špecifickú hodnotu parametra:

Ale ten istý bod patrí do druhého riadku, teda:

Prirovnávame zodpovedajúce rovnice a robíme zjednodušenia:

Získa sa systém troch lineárnych rovníc s dvoma neznámymi. Ak sa čiary pretínajú (ako je dokázané v príklade 12), potom je systém nevyhnutne konzistentný a má jedinečné riešenie. Dá sa to vyriešiť Gaussova metóda, ale nebudeme hrešiť takýmto materským fetovaním, poďme na to jednoduchšie: z prvej rovnice vyjadríme „te nula“ a dosadíme do druhej a tretej rovnice:

Posledné dve rovnice sa ukázali byť v podstate rovnaké a vyplýva z nich, že . potom:

Nájdenú hodnotu parametra dosadíme do rovníc:

Odpoveď:

Pre kontrolu dosadíme nájdenú hodnotu parametra do rovníc:
Boli získané rovnaké súradnice, aké bolo potrebné skontrolovať. Starostliví čitatelia môžu nahradiť súradnice bodu v pôvodných kanonických rovniciach priamok.

Mimochodom, bolo možné urobiť opak: nájsť bod cez „es zero“ a skontrolovať ho cez „te zero“.

Známy matematický znak hovorí: tam, kde sa hovorí o priesečníku rovných čiar, je vždy cítiť kolmice.

Ako zostrojiť priamku priestoru kolmú na danú?

(čiary sa pretínajú)

Príklad 15

a) Zostavte rovnice priamky prechádzajúcej bodom kolmým na priamku (čiary sa pretínajú).

b) Nájdite vzdialenosť od bodu k priamke.

Poznámka : klauzula "priamky sa pretínajú" - významný. Cez bodku
je možné nakresliť nekonečné množstvo kolmých čiar, ktoré sa budú pretínať s čiarou "el". Jediné riešenie nastáva, keď je čiara vedená cez daný bod kolmo na dva dané rovné čiary (pozri príklad č. 13, odsek „b“).

a) Riešenie: Neznámy riadok označte . Urobme si schematický nákres:

Čo je známe o linke? Podľa podmienky je daný bod. Na zostavenie rovníc priamky je potrebné nájsť smerový vektor. Ako taký vektor je vektor celkom vhodný a budeme sa ním zaoberať. Presnejšie, zoberme neznámy koniec vektora za pačesy.

1) Z rovníc priamky „el“ vytiahneme jej smerový vektor a samotné rovnice prepíšeme do parametrického tvaru:

Mnohí tušili, že kúzelník už tretíkrát na lekcii dostane bielu labuť z klobúka. Zvážte bod s neznámymi súradnicami. Od bodu potom jeho súradnice spĺňajú parametrické rovnice priamky "el" a zodpovedajú konkrétnej hodnote parametra:

Alebo v jednom riadku:

2) Podľa podmienky musia byť čiary kolmé, preto ich smerové vektory sú ortogonálne. A ak sú vektory ortogonálne, potom ich skalárny produkt rovná sa nule:

Čo sa stalo? Najjednoduchšia lineárna rovnica s jednou neznámou:

3) Hodnota parametra je známa, nájdime bod:

A smerový vektor:
.

4) Rovnice priamky poskladáme bodovým a smerovým vektorom :

Menovatelia podielu sa ukázali ako zlomkové a to je presne ten prípad, keď je vhodné sa zlomkov zbaviť. Len ich vynásobím -2:

Odpoveď:

Poznámka : rigoróznejšie zakončenie riešenia sa nakreslí takto: rovnice priamky skladáme bodovým a smerovým vektorom. . V skutočnosti, ak je vektor smerovým vektorom priamky, potom vektor kolineárny k nemu bude prirodzene tiež smerovacím vektorom tejto priamky.

Overenie pozostáva z dvoch fáz:

1) skontrolujte ortogonalitu smerových vektorov čiar;

2) do rovníc každej priamky dosadíme súradnice bodu, mali by „sadnúť“ sem aj tam.

Veľa sa hovorilo o typických akciách, tak som skontroloval draft.

Mimochodom, zabudol som na ďalší módny výstrelok - postaviť bod "sue" symetrický k bodu "en" vzhľadom na priamku "el". Existuje však dobrý „plochý analóg“, ktorý nájdete v článku Najjednoduchšie problémy s priamkou v rovine. Tu bude celý rozdiel v dodatočnej súradnici "Z".

Ako zistiť vzdialenosť od bodu k priamke v priestore?

b) Riešenie: Nájdite vzdialenosť od bodu k priamke.

Metóda jedna. Táto vzdialenosť sa presne rovná dĺžke kolmice: . Riešenie je zrejmé: ak sú body známe , potom:

Metóda dva. V praktických problémoch je základňa kolmice často záhadou, preto je racionálnejšie použiť hotový vzorec.

Vzdialenosť od bodu k čiare je vyjadrená vzorcom:
, kde je smerový vektor priamky "el" a - svojvoľný bod na danej priamke.

1) Z rovníc priamky dostaneme smerový vektor a najdostupnejší bod .

2) Bod je známy z podmienky, zaostrite vektor:

3) Poďme nájsť vektorový produkt a vypočítajte jeho dĺžku:

4) Vypočítajte dĺžku smerového vektora:

5) Vzdialenosť od bodu k priamke:

Na vyriešenie geometrickej úlohy súradnicovou metódou je potrebný priesečník, ktorého súradnice sú použité pri riešení. Nastáva situácia, keď je potrebné hľadať súradnice priesečníka dvoch priamok v rovine alebo určiť súradnice tých istých priamok v priestore. Tento článok sa zaoberá prípadmi hľadania súradníc bodov, kde sa dané čiary pretínajú.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Je potrebné definovať priesečníky dvoch priamok.

Časť o vzájomnej polohe čiar v rovine ukazuje, že sa môžu zhodovať, byť rovnobežné, pretínať sa v jednom spoločnom bode alebo sa môžu pretínať. Dve čiary v priestore sa nazývajú pretínajúce sa, ak majú jeden spoločný bod.

Definícia priesečníka čiar znie takto:

Definícia 1

Bod, kde sa pretínajú dve priamky, sa nazýva ich priesečník. Inými slovami, bod pretínajúcich sa čiar je priesečník.

Zvážte obrázok nižšie.

Pred nájdením súradníc priesečníka dvoch čiar je potrebné zvážiť nižšie uvedený príklad.

Ak je v rovine súradnicový systém O x y, potom sú dané dve priamky a a b. Priamka a zodpovedá všeobecnej rovnici tvaru A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, pre priamku b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Potom M 0 (x 0 , y 0) je nejaký bod roviny, je potrebné určiť, či bod M 0 bude priesečníkom týchto priamok.

Na vyriešenie problému je potrebné dodržať definíciu. Potom sa priamky musia pretínať v bode, ktorého súradnice sú riešením daných rovníc A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 a A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . To znamená, že súradnice priesečníka sú dosadené do všetkých daných rovníc. Ak pri dosadzovaní dávajú správnu identitu, potom sa za ich priesečník považuje M 0 (x 0 , y 0).

Príklad 1

Dané dve pretínajúce sa čiary 5 x - 2 y - 16 = 0 a 2 x - 5 y - 19 = 0 . Bude bod M 0 so súradnicami (2, - 3) priesečníkom?

Riešenie

Aby bol priesečník priamok skutočný, je potrebné, aby súradnice bodu M 0 spĺňali rovnice priamok. Overuje sa to ich nahradením. Chápeme to

5 2 - 2 (- 3) - 16 = 0 ⇔ 0 = 0 2 2 - 5 (- 3) - 19 = 0 ⇔ 0 = 0

Obe rovnosti sú pravdivé, čo znamená, že M 0 (2, - 3) je priesečníkom daných čiar.

Toto riešenie znázorňujeme na súradnicovej čiare na obrázku nižšie.

odpoveď: daný bod so súradnicami (2, - 3) bude priesečníkom daných čiar.

Príklad 2

Budú sa priamky 5 x + 3 y - 1 = 0 a 7 x - 2 y + 11 = 0 pretínať v bode M 0 (2 , - 3) ?

Riešenie

Na vyriešenie úlohy je potrebné dosadiť súradnice bodu vo všetkých rovniciach. Chápeme to

5 2 + 3 (- 3) - 1 = 0 ⇔ 0 = 0 7 2 - 2 (- 3) + 11 = 0 ⇔ 31 = 0

Druhá rovnosť nie je pravdivá, čo znamená, že daný bod nepatrí do priamky 7 x - 2 y + 11 = 0 . Z toho vyplýva, že bod M 0 nie je priesečníkom priamok.

Nákres jasne ukazuje, že M 0 nie je priesečníkom čiar. Majú spoločný bod so súradnicami (- 1 , 2) .

odpoveď: bod so súradnicami (2, - 3) nie je priesečníkom daných čiar.

Obrátime sa na hľadanie súradníc priesečníkov dvoch priamok pomocou daných rovníc v rovine.

Dve pretínajúce sa čiary a a b sú dané rovnicami tvaru A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 a A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0 umiestnenými v O x y. Pri označení priesečníka M 0 dostaneme, že máme pokračovať v hľadaní súradníc podľa rovníc A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 a A 2 x + B 2 y + C 2 = 0.

Z definície je zrejmé, že M 0 je spoločný priesečník čiar. V tomto prípade musia jeho súradnice spĺňať rovnice A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 a A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . Inými slovami, toto je riešenie výslednej sústavy A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 .

To znamená, že na nájdenie súradníc priesečníka je potrebné pridať všetky rovnice do systému a vyriešiť ho.

Príklad 3

Dané dve priamky x - 9 y + 14 = 0 a 5 x - 2 y - 16 = 0 v rovine. musíte nájsť ich križovatku.

Riešenie

Údaje o stave rovnice sa musia zhromaždiť do systému, po ktorom dostaneme x - 9 y + 14 \u003d 0 5 x - 2 y - 16 \u003d 0. Aby sme to vyriešili, prvá rovnica sa vyrieši pre x, výraz sa nahradí do druhého:

x - 9 r + 14 = 0 5 x - 2 r - 16 = 0 ⇔ x = 9 r - 14 5 x - 2 r. - 16 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 r. - 14 5 9 r. - 14 - 2 r. 16 = 0 ⇔ x = 9 r - 14 43 r - 86 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 r - 14 r = 2 ⇔ x = 9 2 - 14 r = 2 ⇔ x = 4 r = 2

Výsledné čísla sú súradnice, ktoré bolo potrebné nájsť.

odpoveď: M 0 (4 , 2) je priesečník priamok x - 9 y + 14 = 0 a 5 x - 2 y - 16 = 0 .

Hľadanie súradníc sa redukuje na riešenie sústavy lineárnych rovníc. Ak je podľa podmienky daný iný tvar rovnice, potom by sa mala zredukovať na normálnu formu.

Príklad 4

Určte súradnice priesečníkov priamok x - 5 = y - 4 - 3 a x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ , λ ∈ R .

Riešenie

Na začiatok je potrebné uviesť rovnice do všeobecnej podoby. Potom dostaneme, že x = 4 + 9 λ y = 2 + λ , λ ∈ R sa transformuje takto:

x = 4 + 9 λ y = 2 + λ ⇔ λ = x - 4 9 λ = y - 2 1 ⇔ x - 4 9 = y - 2 1 ⇔ ⇔ 1 (x - 4) = 9 (y - 2) ⇔ x - 9 y + 14 = 0

Potom vezmeme rovnicu kanonického tvaru x - 5 = y - 4 - 3 a transformujeme. Chápeme to

x - 5 = y - 4 - 3 ⇔ - 3 x = - 5 r - 4 ⇔ 3 x - 5 r + 20 = 0

Z toho vyplýva, že súradnice sú priesečníkom

x - 9 r + 14 = 0 3 x - 5 r + 20 = 0 ⇔ x - 9 r = - 14 3 x - 5 r = - 20

Použime Cramerovu metódu na nájdenie súradníc:

∆ = 1 - 9 3 - 5 = 1 (- 5) - (- 9) 3 = 22 ∆ x = - 14 - 9 - 20 - 5 = - 14 (- 5) - (- 9) ( - 20) = - 110 ⇒ x = ∆ x ∆ = - 110 22 = - 5 ∆ y = 1 - 14 3 - 20 = 1 (- 20) - (- 14) 3 = 22 ⇒ y = ∆ y ∆ = 22

odpoveď: M° (- 5, 1).

Existuje ďalší spôsob, ako nájsť súradnice priesečníka čiar umiestnených v rovine. Je použiteľné, keď je jedna z priamok daná parametrickými rovnicami v tvare x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ , λ ∈ R . Potom x = x 1 + a x λ a y = y 1 + a y λ dosadíme za x, kde dostaneme λ = λ 0 zodpovedajúce priesečníku so súradnicami x 1 + a x λ 0, y 1 + a y λ 0 .

Príklad 5

Určte súradnice priesečníka priamky x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ , λ ∈ R a x - 5 = y - 4 - 3 .

Riešenie

Je potrebné vykonať substitúciu v x - 5 \u003d y - 4 - 3 výrazom x \u003d 4 + 9 λ, y \u003d 2 + λ, potom dostaneme:

4 + 9 λ - 5 = 2 + λ - 4 - 3

Pri riešení dostaneme, že λ = - 1 . To znamená, že medzi priamkami x = 4 + 9 λ y = 2 + λ, λ ∈ R a x - 5 = y - 4 - 3 existuje priesečník. Pre výpočet súradníc je potrebné do parametrickej rovnice dosadiť výraz λ = - 1. Potom dostaneme, že x = 4 + 9 (- 1) y = 2 + (- 1) ⇔ x = - 5 y = 1 .

odpoveď: M° (- 5, 1).

Ak chcete plne pochopiť tému, musíte poznať niektoré nuansy.

Najprv musíte pochopiť umiestnenie čiar. Keď sa pretnú, súradnice zistíme, v ostatných prípadoch nebude riešenie. Aby sme sa vyhli tejto kontrole, môžeme zostaviť sústavu v tvare A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 + C 2 = 0 Ak existuje riešenie, dôjdeme k záveru, že priamky sa pretínajú. Ak neexistuje riešenie, potom sú paralelné. Keď má systém nekonečný počet riešení, potom sa hovorí, že sú rovnaké.

Príklad 6

Dané čiary x 3 + y - 4 = 1 a y = 4 3 x - 4 . Zistite, či majú spoločný bod.

Riešenie

Zjednodušením daných rovníc dostaneme 1 3 x - 1 4 y - 1 = 0 a 4 3 x - y - 4 = 0 .

Pre následné riešenie je potrebné zhromaždiť rovnice v systéme:

1 3 x - 1 4 r - 1 = 0 1 3 x - y - 4 = 0 ⇔ 1 3 x - 1 4 r = 1 4 3 x - y = 4

To ukazuje, že rovnice sú vyjadrené cez seba, potom dostaneme nekonečný počet riešení. Potom rovnice x 3 + y - 4 = 1 a y = 4 3 x - 4 definujú rovnakú priamku. Preto neexistujú žiadne priesečníky.

odpoveď: dané rovnice definujú rovnakú priamku.

Príklad 7

Nájdite súradnice bodu pretínajúcich sa čiar 2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 a 2 3 + 2 x - 7 y - 1 = 0 .

Riešenie

Podľa podmienky je možné, že sa čiary nebudú pretínať. Napíšte sústavu rovníc a riešte. Na riešenie je potrebné použiť Gaussovu metódu, pretože pomocou nej je možné skontrolovať kompatibilitu rovnice. Dostaneme systém formulára:

2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 2 (3 + 2) x - 7 r - 1 = 0 ⇔ 2 x + (2 - 3) y = - 7 2 (3 + 2) x - 7 r. = 1 ⇔ ⇔ 2 x + 2 - 3 y = - 7 2 (3 + 2) x - 7 y + (2 x + (2 - 3) y) (- (3 + 2)) = 1 + - 7 ( - (3 + 2)) ⇔ ⇔ 2 x + (2 - 3) y = - 7 0 = 22 - 7 2

Dostali sme nesprávnu rovnosť, takže systém nemá žiadne riešenia. Dospeli sme k záveru, že čiary sú rovnobežné. Neexistujú žiadne priesečníky.

Druhé riešenie.

Najprv musíte určiť prítomnosť priesečníka čiar.

n 1 → = (2 , 2 - 3) je normálový vektor priamky 2 x + (2 - 3) y + 7 = 0, potom vektor n 2 → = (2 (3 + 2) , - 7 je normálový vektor pre priamku 2 3 + 2 x - 7 y - 1 = 0 .

Je potrebné skontrolovať kolinearitu vektorov n 1 → = (2, 2 - 3) a n 2 → = (2 (3 + 2) , - 7) . Dostaneme rovnosť tvaru 2 2 (3 + 2) = 2 - 3 - 7 . Je to správne, pretože 2 2 3 + 2 - 2 - 3 - 7 = 7 + 2 - 3 (3 + 2) 7 (3 + 2) = 7 - 7 7 (3 + 2) = 0 . Z toho vyplýva, že vektory sú kolineárne. To znamená, že čiary sú rovnobežné a nemajú priesečníky.

odpoveď: neexistujú žiadne priesečníky, čiary sú rovnobežné.

Príklad 8

Nájdite súradnice priesečníkov daných čiar 2 x - 1 = 0 a y = 5 4 x - 2 .

Riešenie

Na vyriešenie zostavíme sústavu rovníc. Dostaneme

2 x - 1 = 0 5 4 x - y - 2 = 0 ⇔ 2 x = 1 5 4 x - y = 2

Nájdite determinant hlavnej matice. Na to platí 2 0 5 4 - 1 = 2 · (- 1) - 0 · 5 4 = - 2 . Keďže je nenulový, systém má 1 riešenie. Z toho vyplýva, že čiary sa pretínajú. Poďme vyriešiť systém hľadania súradníc priesečníkov:

2 x = 1 5 4 x - y = 2 ⇔ x = 1 2 4 5 x - y = 2 ⇔ x = 1 2 5 4 1 2 - y = 2 ⇔ x = 1 2 y = - 11 8

Dostali sme, že priesečník daných čiar má súradnice M 0 (1 2 , - 11 8) .

odpoveď: M 0 (1 2 , - 11 8) .

Nájdenie súradníc priesečníka dvoch priamok v priestore

Rovnakým spôsobom sa nájdu priesečníky čiar priestoru.

Keď sú priamky a a b v súradnicovej rovine O x y z dané rovnicami pretínajúcich sa rovín, potom existuje priamka a, ktorú môžeme určiť pomocou danej sústavy A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 1 \u003d 0 a priamka b - A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 \u003d 0 A 4 x + B 4 y + C4z + D4 \u003d 0.

Keď je bod M 0 priesečníkom priamok, potom jeho súradnice musia byť riešeniami oboch rovníc. Získame lineárne rovnice v systéme:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B4y + C4z + D4 = 0

Uvažujme o takýchto úlohách s príkladmi.

Príklad 9

Nájdite súradnice priesečníka daných priamok x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 a 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0

Riešenie

Poskladáme sústavu x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 a vyriešime. Na nájdenie súradníc je potrebné riešiť cez maticu. Potom dostaneme hlavnú maticu tvaru   A = 1 0 0 0 1 2 3 2 0 4 0 - 2 a rozšírenú maticu T = 1 0 0 1 0 1 2 - 3 4 0 - 2 4 . Hodnosť matice určíme podľa Gaussa.

Chápeme to

1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = - 4 ≠ 0 , 1 0 0 1 0 1 2 - 3 3 2 0 - 3 4 0 - 2 4 = 0

Z toho vyplýva, že poradie rozšírenej matice je 3. Potom zo sústavy rovníc x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 27 - 4 = 0 vyplýva len jedno riešenie.

Základ minor má determinant 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = - 4 ≠ 0, potom posledná rovnica nesedí. Dostaneme, že x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 3 x + 2 y - 3. Systémové riešenie x = 1 y + 2 z = - 3 3 x + 2 y = - 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 3 1 + 2 y = - 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 y = - 3 ⇔ ⇔ x = 1 - 3 + 2 z = - 3 y = - 3 ⇔ x = 1 z = 0 y = - 3 .

Takže máme, že priesečník x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 a 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 má súradnice (1 , - 3 , 0) .

odpoveď: (1 , - 3 , 0) .

Sústava tvaru A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 má len jedno riešenie. Čiary a a b sa teda pretínajú.

V iných prípadoch rovnica nemá riešenie, to znamená, že neexistujú ani spoločné body. To znamená, že nie je možné nájsť bod so súradnicami, pretože neexistuje.

Preto sústava tvaru A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 sa rieši Gaussovou metódou. Pri svojej nekompatibilite sa čiary nepretínajú. Ak existuje nekonečný počet riešení, potom sa zhodujú.

Môžete sa rozhodnúť tak, že vypočítate hlavnú a rozšírenú hodnosť matice a potom použijete Kroneckerovu-Capelliho vetu. Dostávame jedno, veľa alebo úplnú absenciu riešení.

Príklad 10

Sú uvedené rovnice priamok x + 2 y - 3 z - 4 = 0 2 x - y + 5 = 0 a x - 3 z = 0 3 x - 2 y + 2 z - 1 = 0. Nájdite priesečník.

Riešenie

Najprv si zostavme sústavu rovníc. Dostaneme, že x + 2 y - 3 z - 4 = 0 2 x - y + 5 = 0 x - 3 z = 0 3 x - 2 y + 2 z - 1 = 0 . Riešime to Gaussovou metódou:

1 2 - 3 4 2 - 1 0 - 5 1 0 - 3 0 3 - 2 2 1 ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 - 2 0 - 4 0 - 8 11 - 11 ~ ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 0 - 12 5 6 5 0 0 7 5 - 159 5 ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 0 - 12 5 6 5 0 0 0 311 10

Je zrejmé, že systém nemá žiadne riešenia, čo znamená, že čiary sa nepretínajú. Neexistuje žiadny priesečník.

odpoveď:žiadny priesečník.

Ak sú čiary zadané pomocou kónických alebo parametrických rovníc, je potrebné ich uviesť do tvaru rovníc pretínajúcich sa rovín a potom nájsť súradnice.

Príklad 11

Dané dve priamky x = - 3 - λ y = - 3 · λ z = - 2 + 3 · λ, λ ∈ R a x 2 = y - 3 0 = z 5 v O x y z. Nájdite priesečník.

Riešenie

Rovnice nastavíme rovnicami dvoch pretínajúcich sa rovín. Chápeme to

x = - 3 - λ y = - 3 λ z = - 2 + 3 λ ⇔ λ = x + 3 - 1 λ = y - 3 λ = z + 2 3 ⇔ x + 3 - 1 = y - 3 = z + 2 3 ⇔ ⇔ x + 3 - 1 = y - 3 x + 3 - 1 = z + 2 3 ⇔ 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 x 2 = y - 3 0 = z 5 ⇔ y - 3 = 0 x 2 = z 5 ⇔ y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0

Nájdeme súradnice 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0 , na to vypočítame poradie matice. Hodnosť matice je ​​​3 a základná vedľajšia je 3 - 1 0 3 0 1 0 1 0 = - 3 ≠ 0, čo znamená, že posledná rovnica musí byť zo systému vylúčená. Chápeme to

3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0 ⇔ 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0

Riešime sústavu Cramerovou metódou. Dostaneme, že x = - 2 y = 3 z = - 5 . Odtiaľto dostaneme, že priesečník daných čiar dáva bod so súradnicami (- 2 , 3 , - 5) .

odpoveď: (- 2 , 3 , - 5) .

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Ach-och-och-och-och ... no je to plechové, ako keby ste si tú vetu prečítali sami =) Vtedy však pomôže relax, hlavne, že som si dnes kúpila vhodné doplnky. Preto prejdime k prvej časti, dúfam, že do konca článku si zachovám veselú náladu.

Vzájomné usporiadanie dvoch priamych línií

Prípad, keď sála spieva v zbore. Môžu byť dva riadky:

1) zápas;

2) byť paralelné: ;

3) alebo sa pretínajú v jednom bode: .

Pomoc pre figuríny : zapamätajte si prosím matematické znamienko križovatky , vyskytuje sa veľmi často. Zadanie znamená, že čiara sa pretína s čiarou v bode.

Ako určiť vzájomnú polohu dvoch čiar?

Začnime prvým prípadom:

Dve čiary sa zhodujú vtedy a len vtedy, ak sú ich príslušné koeficienty proporcionálne, teda je tam také číslo "lambda", že tie rovnosti

Uvažujme rovné čiary a zo zodpovedajúcich koeficientov zostavme tri rovnice: . Z každej rovnice vyplýva, že tieto čiary sa teda zhodujú.

Vskutku, ak sú všetky koeficienty rovnice vynásobiť -1 (zmeniť znamienka) a všetky koeficienty rovnice znížiť o 2, dostanete rovnakú rovnicu: .

Druhý prípad, keď sú čiary rovnobežné:

Dve čiary sú rovnobežné vtedy a len vtedy, ak sú ich koeficienty v premenných proporcionálne: , ale.

Ako príklad zvážte dve priame čiary. Skontrolujeme proporcionalitu zodpovedajúcich koeficientov pre premenné:

Je však jasné, že .

A tretí prípad, keď sa čiary pretínajú:

Dve čiary sa pretínajú vtedy a len vtedy, ak ich koeficienty premenných NIE sú proporcionálne, to znamená, že NIE JE taká hodnota "lambda", aby boli splnené rovnosti

Takže pre priame čiary zostavíme systém:

Z prvej rovnice vyplýva, že a z druhej rovnice: , teda, systém je nekonzistentný(žiadne riešenia). Koeficienty premenných teda nie sú proporcionálne.

Záver: čiary sa pretínajú

V praktických problémoch možno použiť práve uvažovanú schému riešenia. Mimochodom, je to veľmi podobné algoritmu na kontrolu kolinearity vektorov, o ktorom sme uvažovali v lekcii. Pojem lineárnej (ne)závislosti vektorov. Vektorový základ. Existuje však civilizovanejší balík:

Príklad 1

Zistite relatívnu polohu čiar:

Riešenie založené na štúdiu smerových vektorov priamych čiar:

a) Z rovníc nájdeme smerové vektory priamok: .

, takže vektory nie sú kolineárne a čiary sa pretínajú.

Pre každý prípad dám na križovatku kameň s ukazovateľmi:

Zvyšok preskočí kameň a pokračuje priamo ku Kašcheiovi Smrťujúcemu =)

b) Nájdite smerové vektory čiar:

Čiary majú rovnaký smerový vektor, čo znamená, že sú buď rovnobežné, alebo rovnaké. Tu determinant nie je potrebný.

Je zrejmé, že koeficienty neznámych sú úmerné, zatiaľ čo .

Poďme zistiť, či je rovnosť pravdivá:

Touto cestou,

c) Nájdite smerové vektory čiar:

Vypočítajme determinant zložený zo súradníc týchto vektorov:
, preto sú smerové vektory kolineárne. Čiary sú buď rovnobežné, alebo sa zhodujú.

Faktor proporcionality "lambda" je ľahko viditeľný priamo z pomeru vektorov kolineárneho smeru. Dá sa to však zistiť aj prostredníctvom koeficientov samotných rovníc: .

Teraz poďme zistiť, či je rovnosť pravdivá. Oba voľné termíny sú nulové, takže:

Výsledná hodnota spĺňa túto rovnicu (vo všeobecnosti ju spĺňa akékoľvek číslo).

Čiary sa teda zhodujú.

Odpoveď:

Veľmi skoro sa naučíte (alebo dokonca ste sa už naučili) riešiť uvažovaný problém slovne doslova v priebehu niekoľkých sekúnd. V tomto ohľade nevidím dôvod ponúkať niečo pre nezávislé riešenie, je lepšie položiť do geometrického základu ešte jednu dôležitú tehlu:

Ako nakresliť čiaru rovnobežnú s danou?

Za neznalosť tejto najjednoduchšej úlohy slávik zbojník tvrdo trestá.

Príklad 2

Priamka je daná rovnicou . Napíšte rovnicu pre rovnobežku, ktorá prechádza bodom.

Riešenie: Neznámy riadok označte písmenom . Čo o tom hovorí podmienka? Čiara prechádza bodom. A ak sú priamky rovnobežné, potom je zrejmé, že smerový vektor priamky „ce“ je vhodný aj na zostrojenie priamky „te“.

Z rovnice vyberieme smerový vektor:

Odpoveď:

Geometria príkladu vyzerá jednoducho:

Analytické overenie pozostáva z nasledujúcich krokov:

1) Skontrolujeme, či priamky majú rovnaký smerový vektor (ak rovnica priamky nie je správne zjednodušená, vektory budú kolineárne).

2) Skontrolujte, či bod vyhovuje výslednej rovnici.

Analytické overenie je vo väčšine prípadov jednoduché vykonať ústne. Pozrite sa na dve rovnice a mnohí z vás rýchlo prídu na to, ako sú čiary rovnobežné bez akéhokoľvek kreslenia.

Príklady na samoriešenie dnes budú kreatívne. Pretože stále musíte súťažiť s Babou Yagou a ona, viete, je milovníčkou všetkých druhov hádaniek.

Príklad 3

Napíšte rovnicu pre priamku prechádzajúcu bodom rovnobežným s priamkou ak

Existuje racionálny a nie veľmi racionálny spôsob riešenia. Najkratšia cesta je na konci hodiny.

Trochu sme pracovali s paralelnými čiarami a vrátime sa k nim neskôr. Prípad zhodujúcich sa línií je málo zaujímavý, preto sa zamyslime nad problémom, ktorý je vám dobre známy zo školských osnov:

Ako nájsť priesečník dvoch čiar?

Ak rovno pretínajú v bode , potom sú riešením jeho súradnice sústavy lineárnych rovníc

Ako nájsť priesečník čiar? Vyriešte systém.

Tu je pre vás geometrický význam sústavy dvoch lineárnych rovníc s dvoma neznámymi sú dve pretínajúce sa (najčastejšie) priamky v rovine.

Príklad 4

Nájdite priesečník čiar

Riešenie: Existujú dva spôsoby riešenia - grafický a analytický.

Grafický spôsob je jednoducho nakresliť dané čiary a zistiť priesečník priamo z výkresu:

Tu je naša pointa: . Pre kontrolu by ste mali nahradiť jej súradnice do každej rovnice priamky, mali by sa zmestiť tam aj tam. Inými slovami, súradnice bodu sú riešením systému . V skutočnosti sme zvažovali grafický spôsob riešenia sústavy lineárnych rovníc s dvoma rovnicami, dvoma neznámymi.

Grafická metóda, samozrejme, nie je zlá, ale existujú značné nevýhody. Nie, nejde o to, že siedmaci sa takto rozhodujú, ide o to, že správny a PRESNÝ nákres potrvá. Niektoré čiary sa navyše nedajú tak ľahko zostrojiť a samotný priesečník môže byť niekde v tridsiatom kráľovstve mimo hárku zošita.

Preto je vhodnejšie hľadať priesečník analytickou metódou. Poďme vyriešiť systém:

Na riešenie systému bola použitá metóda termického sčítania rovníc. Ak chcete rozvíjať príslušné zručnosti, navštívte lekciu Ako vyriešiť sústavu rovníc?

Odpoveď:

Overenie je triviálne - súradnice priesečníka musia spĺňať každú rovnicu systému.

Príklad 5

Nájdite priesečník čiar, ak sa pretínajú.

Toto je príklad „urob si sám“. Úlohu možno pohodlne rozdeliť do niekoľkých etáp. Analýza stavu naznačuje, že je potrebné:
1) Napíšte rovnicu priamky.
2) Napíšte rovnicu priamky.
3) Zistite vzájomnú polohu čiar.
4) Ak sa čiary pretínajú, nájdite priesečník.

Vývoj akčného algoritmu je typický pre mnohé geometrické problémy a budem sa na to opakovane zameriavať.

Úplné riešenie a odpoveď na konci tutoriálu:

Pár topánok ešte nebol opotrebovaný, pretože sme sa dostali k druhej časti lekcie:

Kolmé čiary. Vzdialenosť od bodu k čiare.
Uhol medzi čiarami

Začnime typickou a veľmi dôležitou úlohou. V prvej časti sme sa naučili postaviť priamku rovnobežnú s danou a teraz sa chatrč na kuracích stehnách otočí o 90 stupňov:

Ako nakresliť čiaru kolmú na danú?

Príklad 6

Priamka je daná rovnicou . Napíšte rovnicu pre kolmicu prechádzajúcu bodom.

Riešenie: Je známe, že . Bolo by pekné nájsť smerový vektor priamky. Keďže čiary sú kolmé, trik je jednoduchý:

Z rovnice „odstránime“ normálový vektor: , ktorý bude smerovacím vektorom priamky.

Zostavíme rovnicu priamky bodom a smerovacím vektorom:

Odpoveď:

Rozvinieme geometrický náčrt:

Hmmm... Oranžová obloha, oranžové more, oranžová ťava.

Analytické overenie riešenia:

1) Vytiahnite smerové vektory z rovníc a s pomocou bodový súčin vektorov dospejeme k záveru, že priamky sú skutočne kolmé: .

Mimochodom, môžete použiť normálne vektory, je to ešte jednoduchšie.

2) Skontrolujte, či bod vyhovuje výslednej rovnici .

Overenie je opäť jednoduché vykonať verbálne.

Príklad 7

Nájdite priesečník kolmých čiar, ak je rovnica známa a bodka.

Toto je príklad „urob si sám“. V úlohe je viacero akcií, preto je vhodné usporiadať riešenie bod po bode.

Naša vzrušujúca cesta pokračuje:

Vzdialenosť od bodu k čiare

Pred nami je rovný pás rieky a našou úlohou je dostať sa k nemu čo najkratšou cestou. Neexistujú žiadne prekážky a najoptimálnejšou trasou bude pohyb po kolmici. To znamená, že vzdialenosť od bodu k priamke je dĺžka kolmého segmentu.

Vzdialenosť v geometrii sa tradične označuje gréckym písmenom "ro", napríklad: - vzdialenosť od bodu "em" k priamke "de".

Vzdialenosť od bodu k čiare sa vyjadruje vzorcom

Príklad 8

Nájdite vzdialenosť od bodu k čiare

Riešenie: všetko, čo potrebujete, je starostlivo nahradiť čísla do vzorca a vykonať výpočty:

Odpoveď:

Vykonajte kreslenie:

Zistená vzdialenosť od bodu k čiare je presne dĺžka červeného segmentu. Ak kreslíte na kockovaný papier v mierke 1 jednotky. \u003d 1 cm (2 bunky), potom je možné vzdialenosť zmerať bežným pravítkom.

Zvážte ďalšiu úlohu podľa toho istého výkresu:

Úlohou je nájsť súradnice bodu, ktorý je symetrický k bodu vzhľadom na priamku . Navrhujem vykonať akcie sami, načrtnem však algoritmus riešenia s priebežnými výsledkami:

1) Nájdite priamku, ktorá je kolmá na priamku.

2) Nájdite priesečník čiar: .

Obe akcie sú podrobne diskutované v tejto lekcii.

3) Bod je stredom segmentu. Poznáme súradnice stredu a jedného z koncov. Autor: vzorce pre súradnice stredu segmentu Nájsť .

Nebude zbytočné kontrolovať, či sa vzdialenosť rovná aj 2,2 jednotkám.

Ťažkosti tu môžu nastať pri výpočtoch, ale vo veži veľmi pomáha mikrokalkulačka, ktorá vám umožní počítať bežné zlomky. Radil som mnohokrát a budem odporúčať znova.

Ako nájsť vzdialenosť medzi dvoma rovnobežnými čiarami?

Príklad 9

Nájdite vzdialenosť medzi dvoma rovnobežnými čiarami

Toto je ďalší príklad nezávislého riešenia. Malá nápoveda: spôsobov riešenia je nekonečne veľa. Zhrnutie na konci hodiny, ale radšej si to skúste uhádnuť sami, myslím, že sa vám podarilo dobre rozptýliť svoju vynaliezavosť.

Uhol medzi dvoma čiarami

Akýkoľvek roh, potom zárubňa:


V geometrii sa uhol medzi dvoma priamkami berie ako MENŠÍ uhol, z čoho automaticky vyplýva, že nemôže byť tupý. Na obrázku sa uhol označený červeným oblúkom nepovažuje za uhol medzi pretínajúcimi sa čiarami. A jeho “zelený” sused resp opačne orientované karmínový roh.

Ak sú čiary kolmé, potom ktorýkoľvek zo 4 uhlov možno považovať za uhol medzi nimi.

Ako sa líšia uhly? Orientácia. Po prvé, smer „rolovania“ rohu je zásadne dôležitý. Po druhé, negatívne orientovaný uhol sa zapíše so znamienkom mínus, napríklad ak .

Prečo som to povedal? Zdá sa, že si vystačíte s obvyklou koncepciou uhla. Faktom je, že vo vzorcoch, podľa ktorých nájdeme uhly, možno ľahko získať negatívny výsledok, čo by vás nemalo prekvapiť. Uhol so znamienkom mínus nie je o nič horší a má veľmi špecifický geometrický význam. Na výkrese pre záporný uhol je nevyhnutné označiť jeho orientáciu (v smere hodinových ručičiek) šípkou.

Ako nájsť uhol medzi dvoma čiarami? Existujú dva pracovné vzorce:

Príklad 10

Nájdite uhol medzi čiarami

Riešenie a Metóda jedna

Zvážte dve priame čiary dané rovnicami vo všeobecnom tvare:

Ak rovno nie kolmá, potom orientovaný uhol medzi nimi možno vypočítať pomocou vzorca:

Pozorne si všímajme menovateľa – presne taký je skalárny produkt smerové vektory priamych čiar:

Ak , potom menovateľ vzorca zmizne a vektory budú ortogonálne a čiary budú kolmé. Preto bola vznesená výhrada k nekolmosti čiar vo formulácii.

Na základe vyššie uvedeného je riešenie pohodlne formalizované v dvoch krokoch:

1) Vypočítajte skalárny súčin smerových vektorov priamych čiar:
takže čiary nie sú kolmé.

2) Uhol medzi čiarami nájdeme podľa vzorca:

Pomocou inverznej funkcie je ľahké nájsť samotný uhol. V tomto prípade použijeme nepárnosť arkus tangenty (pozri obr. Grafy a vlastnosti elementárnych funkcií):

Odpoveď:

V odpovedi uvádzame presnú hodnotu, ako aj približnú hodnotu (najlepšie v stupňoch aj v radiánoch), vypočítanú pomocou kalkulačky.

No mínus, tak mínus, je to v poriadku. Tu je geometrická ilustrácia:

Nie je prekvapujúce, že sa ukázalo, že uhol má negatívnu orientáciu, pretože v stave problému je prvé číslo priamka a „krútenie“ uhla začalo presne od nej.

Ak naozaj chcete získať kladný uhol, musíte zameniť priame čiary, to znamená vziať koeficienty z druhej rovnice a zoberte koeficienty z prvej rovnice. Stručne povedané, musíte začať s priamym .