Akcia na sčítanie vektorov. Vektorové pridanie

ov, najprv musíte pochopiť taký koncept, ako je odloženie vektora z daného bodu.

Definícia 1

Ak je bod $A$ začiatkom nejakého vektora $\overrightarrow(a)$, potom sa hovorí, že vektor $\overrightarrow(a)$ je oddelený od bodu $A$ (obr. 1).

Obrázok 1. $\overrightarrow(a)$ vynesený z bodu $A$

Zavedieme nasledujúcu vetu:

Veta 1

Z akéhokoľvek bodu $K$ je možné nakresliť vektor $\overrightarrow(a)$ a iba jeden.

Dôkaz.

Existencia: Tu treba zvážiť dva prípady:

Vektor $\overrightarrow(a)$ je nula.

V tomto prípade je zrejmé, že požadovaným vektorom je vektor $\overrightarrow(KK)$.

Vektor $\overrightarrow(a)$ je nenulový.

Nech bod $A$ označuje začiatok vektora $\overrightarrow(a)$ a bod $B$ označuje koniec vektora $\overrightarrow(a)$. Nakreslíme priamku $b$ rovnobežnú s vektorom $\overrightarrow(a)$ cez bod $K$. Nakreslite segmenty $\left|KL\right|=|AB|$ a $\left|KM\right|=|AB|$ na túto priamku. Uvažujme vektory $\overrightarrow(KL)$ a $\overrightarrow(KM)$. Z týchto dvoch vektorov bude požadovaný ten, ktorý bude smerovaný spolu s vektorom $\overrightarrow(a)$ (obr. 2)

Obrázok 2. Ilustrácia 1. vety

Jedinečnosť: jedinečnosť bezprostredne vyplýva zo stavby realizovanej v podsekcii „existencia“.

Veta bola dokázaná.

Odčítanie vektorov. Pravidlo jedna

Dajme nám vektory $\overrightarrow(a)$ a $\overrightarrow(b)$.

Definícia 2

Rozdiel dvoch vektorov $\overrightarrow(a)$ a $\overrightarrow(b)$ je vektor $\overrightarrow(c)$, ktorý po pridaní k vektoru $\overrightarrow(b)$ dostane vektor $\ overrightarrow(a)$ , tj

\[\overrightarrow(b)+\overrightarrow(c)=\overrightarrow(a)\]

Označenie:$\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)=\overrightarrow(c)$.

Budeme uvažovať o konštrukcii rozdielu dvoch vektorov pomocou úlohy.

Príklad 1

Nech sú dané vektory $\overrightarrow(a)$ a $\overrightarrow(b)$. Zostrojte vektor $\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)$.

Riešenie.

Zostrojme ľubovoľný bod $O$ a vynesme z neho vektory $\overrightarrow(OA)=\overrightarrow(a)$ a $\overrightarrow(OB)=\overrightarrow(b)$. Spojením bodu $B$ s bodom $A$ dostaneme vektor $\overrightarrow(BA)$ (obr. 3).

Obrázok 3. Rozdiel dvoch vektorov

Podľa trojuholníkového pravidla na zostrojenie súčtu dvoch vektorov to vidíme

\[\overrightarrow(OB)+\overrightarrow(BA)=\overrightarrow(OA)\]

\[\overrightarrow(b)+\overrightarrow(BA)=\overrightarrow(a)\]

Z definície 2 to dostávame

\[\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)=\overrightarrow(BA)\]

odpoveď:$\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)=\overrightarrow(BA)$.

Z tejto úlohy získame nasledujúce pravidlo na nájdenie rozdielu dvoch vektorov. Aby sme našli rozdiel $\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)$, z ľubovoľného bodu $O$ musíme odložiť vektory $\overrightarrow(OA)=\overrightarrow(a)$ a $\overrightarrow( OB)=\overrightarrow(b )$ a spojte koniec druhého vektora s koncom prvého vektora.

Odčítanie vektorov. Pravidlo dva

Pripomeňme si nasledujúci pojem, ktorý potrebujeme.

Definícia 3

Vektor $\overrightarrow(a_1)$ sa nazýva ľubovoľný pre vektor $\overrightarrow(a)$, ak tieto vektory smerujú opačne a majú rovnakú dĺžku.

Označenie: Vektor $(-\overrightarrow(a))$ je opakom vektora $\overrightarrow(a)$.

Aby sme mohli zaviesť druhé pravidlo pre rozdiel dvoch vektorov, musíme najprv zaviesť a dokázať nasledujúcu vetu.

Veta 2

Pre ľubovoľné dva vektory $\overrightarrow(a)$ a $\overrightarrow(b)$ platí nasledujúca rovnosť:

\[\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)=\overrightarrow(a)+(-\overrightarrow(b))\]

Dôkaz.

Podľa definície 2 máme

Pridajte do oboch častí vektor $\left(-\overrightarrow(b)\right)$, dostaneme

Keďže vektory $\overrightarrow(b)$ a $\left(-\overrightarrow(b)\right)$ sú opačné, potom $\overrightarrow(b)+\left(-\overrightarrow(b)\right)=\ šípka vpravo (0)$. Máme

Veta bola dokázaná.

Z tejto vety získame nasledujúce pravidlo pre rozdiel dvoch vektorov: Aby sme našli rozdiel $\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)$, musíme odložiť vektor $\overrightarrow(OA)=\overrightarrow( a)$ z ľubovoľného bodu $O$, potom zo získaného bodu $A$ odložte vektor $\overrightarrow(AB)=-\overrightarrow(b)$ a spojte začiatok prvého vektora s koncom druhý vektor.

Príklad úlohy na koncepte rozdielu vektorov

Príklad 2

Nech $ADCD$ je rovnobežník, ktorého uhlopriečky sa pretínajú v $O$. $\overrightarrow(AB)=\overrightarrow(a)$, $\overrightarrow(AD)=\overrightarrow(b)$ (obr. 4). Vyjadrite nasledujúce vektory pomocou $\overrightarrow(a)$ a $\overrightarrow(b)$:

a) $\overrightarrow(DC)+\overrightarrow(CB)$

b) $\overrightarrow(BO)-\overrightarrow(OC)$

Obrázok 4. Rovnobežník

Riešenie.

a) Pridáme podľa trojuholníkového pravidla, dostaneme

\[\overrightarrow(DC)+\overrightarrow(CB)=\overrightarrow(DB)\]

Z prvého pravidla pre rozdiel dvoch vektorov získame

\[\overrightarrow(DB)=\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)\]

b) Keďže $\overrightarrow(OC)=\overrightarrow(AO)$, dostaneme

\[\overrightarrow(BO)-\overrightarrow(OC)=\overrightarrow(BO)-\overrightarrow(AO)\]

Podľa vety 2 máme

\[\overrightarrow(BO)-\overrightarrow(AO)=\overrightarrow(BO)+\left(-\overrightarrow(AO)\right)=\overrightarrow(BO)+\overrightarrow(OA)\]

Pomocou trojuholníkového pravidla to konečne máme

\[\overrightarrow(BO)+\overrightarrow(OA)=\overrightarrow(BA)=-\overrightarrow(AB)=-\overrightarrow(a)\]

Definícia

Pridávanie vektorov a sa uskutočňuje podľa trojuholníkové pravidlo.

súčet dva vektory a volá sa taký tretí vektor, ktorého začiatok sa zhoduje so začiatkom a koniec s koncom za predpokladu, že koniec vektora a začiatok vektora sa zhodujú (obr. 1).

Na doplnenie vektory Platí aj pravidlo rovnobežníka.

Definícia

paralelogramové pravidlo- ak dva nekolineárne vektory u vedú k spoločnému začiatku, potom sa vektor zhoduje s uhlopriečkou rovnobežníka postaveného na vektoroch u (obr. 2). Navyše, začiatok vektora sa zhoduje so začiatkom daných vektorov.

Definícia

Vektor sa nazýva opačný vektor do vektora, ak to kolineárne vektor , ktorý sa mu rovná na dĺžku, ale smeruje opačným smerom ako vektor.

Operácia sčítania vektorov má nasledujúce vlastnosti:

Definícia

rozdiel vektory a vektor sa nazýva taký, že podmienka je splnená: (obr. 3).

Vynásobte vektor číslom

Definícia

práca vektor za číslo sa nazýva vektor, ktorý spĺňa podmienky:

Vlastnosti násobenia vektora číslom:

Tu sú u ľubovoľné vektory a ľubovoľné čísla.

Euklidovský priestor(tiež Euklidovský priestor) - v pôvodný zmysel, priestor, ktorého vlastnosti sú opísané axiómy euklidovská geometria. V tomto prípade sa predpokladá, že priestor má rozmer rovný 3.

V modernom zmysle, vo všeobecnejšom zmysle, môže označovať jeden z podobných a úzko súvisiacich objektov: konečnorozmerný reálny vektorový priestor s pozitívnym definitívom skalárny produkt, alebo metrický priestor zodpovedajúce takémuto vektorovému priestoru. V tomto článku bude prvá definícia považovaná za počiatočnú.

Často sa používa aj dimenzionálny euklidovský priestor (ak je z kontextu zrejmé, že priestor má euklidovskú štruktúru).

Na definovanie euklidovského priestoru je najjednoduchšie brať ako hlavný koncept skalárny súčin. Euklidovský vektorový priestor je definovaný ako konečnorozmerný vektorový priestor vyššie lúka reálne čísla, na ktorých vektoroch skutočne hodnotná funkcia s týmito tromi vlastnosťami:

afinný priestor, zodpovedajúci takémuto vektorovému priestoru, sa nazýva euklidovský afinný priestor alebo jednoducho euklidovský priestor .

Príkladom euklidovského priestoru je súradnicový priestor pozostávajúci zo všetkých možných n-ok reálne čísla skalárny súčin, v ktorom je určený vzorcom

Bázové a vektorové súradnice

Základ (iná gréčtinaβασις, základ) - súbor takýchto vektory v vektorový priestorže každý vektor tohto priestoru môže byť jednoznačne reprezentovaný ako lineárna kombinácia vektory z tejto množiny - bázové vektory.

V prípade, že základ je nekonečný, je potrebné objasniť pojem „lineárna kombinácia“. To vedie k dvom hlavným typom definície:

Hamel základ, ktorého definícia uvažuje len o konečných lineárnych kombináciách. Hamelov základ sa používa hlavne v abstraktnej algebre (najmä v lineárnej algebre).

Schauderov základ, ktorého definícia zvažuje aj nekonečné lineárne kombinácie, a to expanziu v hodnosti. Táto definícia sa používa hlavne vo funkčnej analýze, najmä pre Hilbertov priestor,

V konečne-dimenzionálnych priestoroch sa oba typy báz zhodujú.

Vektorové súradnice sú koeficienty jediné možné lineárna kombinácia základné vektory vo vybranom súradnicový systém rovná danému vektoru.

kde sú súradnice vektora.

Skalárny súčin.

operácia na dvoch vektory, ktorej výsledkom je číslo[pri zohľadnení vektorov sa často volajú čísla skaláry], ktorý nezávisí od súradnicového systému a charakterizuje dĺžky faktorových vektorov a rohu medzi nimi. Táto operácia zodpovedá násobeniu dĺžka vektor X na projekcia vektor r na vektor X. Táto operácia sa zvyčajne považuje za komutatívny a lineárne pre každý faktor.

Skalárny súčin dva vektory sa rovná súčtu súčinov ich príslušných súradníc:

vektorový produkt

toto je pseudovektor, kolmý rovina postavená dvoma faktormi, ktorá je výsledkom binárna operácia"vektorové násobenie" prebehlo vektory v 3D euklidovský priestor. Vektorový produkt nemá vlastnosti komutatívnosť a asociatívnosť(je antikomutatívny) a na rozdiel od bodový súčin vektorov, je vektor. Široko používaný v mnohých technických a fyzikálnych aplikáciách. Napríklad, moment hybnosti a Lorentzova sila matematicky napísaný ako vektorový súčin. Krížový súčin je užitočný na „meranie“ kolmosti vektorov – modul krížového súčinu dvoch vektorov sa rovná súčinu ich modulov, ak sú kolmé, a klesá na nulu, ak sú vektory rovnobežné alebo antiparalelné.

vektorový produkt dva vektory možno vypočítať pomocou determinant matice

zmiešaný produkt

Zmiešaný produkt vektory -skalárny produkt vektor na vektorový produkt vektory a:

Niekedy je tzv trojitý skalárny súčin vektorov, zrejme kvôli tomu, že výsledkom je skalárne(presnejšie - pseudoskalárne).

Geometrický zmysel: Modul zmiešaného produktu sa číselne rovná objemu rovnobežnosten vzdelaný vektory .zmiešaný produkt prostredníctvom determinantu možno nájsť tri vektory

Lietadlo vo vesmíre

Lietadlo - algebraická plocha prvá objednávka: v Kartézsky súradnicový systém rovina sa dá nastaviť rovnica prvý stupeň.

Niektoré charakteristické vlastnosti lietadla

Lietadlo - povrch, obsahujúci úplne každý priamy, pripojenie ľubovoľného bodov;

Dve roviny sú buď rovnobežné, alebo sa pretínajú v priamke.

Čiara je buď rovnobežná s rovinou, alebo ju pretína v jednom bode, alebo je v rovine.

Dve čiary kolmé na rovnakú rovinu sú navzájom rovnobežné.

Dve roviny kolmé na tú istú priamku sú navzájom rovnobežné.

Podobne segment a interval rovinu, ktorá neobsahuje extrémne body, môžeme nazvať intervalovou rovinou alebo otvorenou rovinou.

Všeobecná rovnica (úplná) roviny

kde a sú konštanty a zároveň sa nerovnajú nule; v vektor forma:

kde je polomerový vektor bodu, vektor kolmá na rovinu (normálny vektor). Sprievodcoviakosínusy vektor:

V tomto článku sa budeme zaoberať operáciami, ktoré možno vykonať s vektormi v rovine a v priestore. Ďalej uvádzame vlastnosti operácií s vektormi a zdôvodňujeme ich pomocou geometrických konštrukcií. Ukážeme si aj uplatnenie vlastností operácií na vektoroch pri zjednodušovaní výrazov obsahujúcich vektory.

Pre lepšiu asimiláciu materiálu odporúčame osviežiť si pamäť pojmov uvedených v článku vektory - základné definície.

Navigácia na stránke.

Operácia sčítania dvoch vektorov je pravidlo trojuholníka.

Poďme si ukázať, ako to ide pridanie dvoch vektorov.

Sčítanie vektorov prebieha nasledovne: z ľubovoľného bodu A sa vynesie vektor rovný, potom z bodu B sa vynesie vektor rovný a vektor je súčet vektorov a. Tento spôsob sčítania dvoch vektorov sa nazýva trojuholníkové pravidlo.

Znázornime sčítanie nekolineárnych vektorov v rovine podľa trojuholníkového pravidla.

A nákres nižšie ukazuje pridanie ko-smerných a opačne smerovaných vektorov.

Pridanie niekoľkých vektorov je pravidlo mnohouholníka.

Na základe uvažovanej operácie sčítania dvoch vektorov môžeme pridať tri alebo viac vektorov. V tomto prípade sa prvé dva vektory pridajú, tretí vektor sa pridá k výsledku, štvrtý sa pridá k výsledku atď.

Pridanie niekoľkých vektorov sa vykonáva podľa nasledujúcej konštrukcie. Z ľubovoľného bodu A roviny alebo priestoru sa posunie vektor rovný prvému členu, vektor rovný druhému členu sa odloží od jeho konca, tretí člen sa odloží od jeho konca atď. Nech bod B je koniec posledného odloženého vektora. Súčet všetkých týchto vektorov bude vektor .

Pridanie niekoľkých vektorov do roviny týmto spôsobom sa nazýva polygónové pravidlo. Tu je ilustrácia pravidla mnohouholníka.

Absolútne podobné je sčítanie niekoľkých vektorov v priestore.

Operácia násobenia vektora číslom.

Teraz sa pozrime, ako sa to stane násobenie vektora číslom.

Násobenie vektora číslom k zodpovedá natiahnutiu vektora faktorom k pre k > 1 alebo zmenšeniu faktorom 0 pre 0< k < 1 , при k = 1 вектор остается прежним (для отрицательных k еще изменяется направление на противоположное). Если произвольный вектор умножить на ноль, то получим нулевой вектор. Произведение нулевого вектора и произвольного числа есть нулевой вектор.

Napríklad pri násobení vektora číslom 2 by sme mali zdvojnásobiť jeho dĺžku a zachovať smer a pri násobení vektora mínus jednou tretinou ztrojnásobiť jeho dĺžku a obrátiť smer. Pre prehľadnosť uvádzame ilustráciu tohto prípadu.

Vlastnosti operácií s vektormi.

Takže sme definovali operáciu sčítania vektorov a operáciu násobenia vektora číslom. Navyše pre akékoľvek vektory a ľubovoľné reálne čísla pomocou geometrických konštrukcií možno zdôvodniť nasledujúce vlastnosti operácií s vektormi. Niektoré z nich sú zrejmé.

Uvažované vlastnosti nám dávajú možnosť transformovať vektorové výrazy.

Vlastnosti komutativity a asociatívnosti operácie sčítania vektorov umožňujú sčítať vektory v ľubovoľnom poradí.

Neexistuje žiadna operácia odčítania vektorov ako taká, pretože rozdiel vektorov je súčtom vektorov a .

S prihliadnutím na uvažované vlastnosti operácií s vektormi môžeme vo výrazoch obsahujúcich súčty, rozdiely vektorov a súčin vektorov číslami vykonávať transformácie rovnako ako v číselných výrazoch.

Vezmime si príklad.

Vektor je matematický objekt, ktorý je charakterizovaný veľkosťou a smerom (napr. zrýchlenie, posunutie), ktorý je odlišný od skalárov, ktoré nemajú smer (napr. vzdialenosť, energia). Skaláre možno sčítať sčítaním ich hodnôt (napríklad 5 kJ práce plus 6 kJ práce sa rovná 11 kJ práce), ale sčítanie a odčítanie vektorov nie je také jednoduché.

Kroky

Sčítanie a odčítanie vektorov so známymi zložkami

Pretože vektory majú veľkosť a smer, možno ich rozložiť na zložky na základe rozmerov x, y a/alebo z. Zvyčajne sa označujú rovnakým spôsobom ako body v súradnicovom systéme (napr.<х,у,z>). Ak sú komponenty známe, potom je sčítanie/odčítanie vektorov také jednoduché ako pridanie/odčítanie súradníc x, y, z.

• Všimnite si, že vektory môžu byť jednorozmerné, dvojrozmerné alebo trojrozmerné. Vektory teda môžu mať zložku "x", zložky "x" a "y" alebo zložky "x", "y", "z". 3D vektory sú diskutované nižšie, ale proces je podobný pre 1D a 2D vektory.
• Predpokladajme, že máte dva trojrozmerné vektory - vektor A a vektor B. Napíšte tieto vektory vo vektorovom tvare: A = a B= , kde a1 a a2 sú zložky „x“, b1 a b2 sú zložky „y“, c1 a c2 sú zložky „z“.

1. Ak chcete pridať dva vektory, pridajte ich príslušné komponenty. Inými slovami, pridajte zložku "x" prvého vektora ku komponentu "x" druhého vektora (a tak ďalej). V dôsledku toho získate zložky x, y, z výsledného vektora.

   • A+B = .
   • Pridajte vektory A a B. A =<5, 9, -10>a B=<17, -3, -2>. A+B=<5+17, 9+-3, -10+-2>, alebo <22, 6, -12> .

2. Ak chcete odpočítať jeden vektor od druhého, musíte odpočítať zodpovedajúce komponenty. Ako bude ukázané nižšie, odčítanie môže byť nahradené pridaním jedného vektora a recipročného iného vektora. Ak sú známe zložky dvoch vektorov, odčítajte zodpovedajúce zložky jedného vektora od zložiek druhého.

   • A-B =
   • Odčítajte vektory A a B. A =<18, 5, 3>a B=<-10, 9, -10>. A-B=<18--10, 5-9, 3--10>, alebo <28, -4, 13> .

   Grafické sčítanie a odčítanie

   1. Keďže vektory majú veľkosť a smer, majú začiatok a koniec (začiatočný bod a koncový bod, pričom vzdialenosť medzi nimi je rovná hodnote vektora). Keď je vektor zobrazený graficky, je nakreslený ako šípka, v ktorej hrot je koniec vektora a opačný bod je začiatok vektora.

      • Pri vykresľovaní vektorov zostavte všetky uhly veľmi presne; inak dostanete nesprávnu odpoveď.

   2. Ak chcete pridať vektory, nakreslite ich tak, aby sa koniec každého predchádzajúceho vektora pripojil k začiatku nasledujúceho vektora. Ak pridávate iba dva vektory, potom je to všetko, čo musíte urobiť, kým nájdete výsledný vektor.

      • Všimnite si, že poradie, v ktorom sú vektory spojené, nie je dôležité, t.j. vektor A + vektor B = vektor B + vektor A.

   3. Ak chcete vektor odčítať, jednoducho pridajte inverzný vektor, to znamená zmeňte smer odčítaného vektora a potom pripojte jeho začiatok ku koncu iného vektora. Inými slovami, ak chcete odčítať vektor, otočte ho o 180o (okolo počiatku) a pridajte ho k inému vektoru.

      Ak pridávate alebo uberáte koľko (viac ako dva) vektorov, potom postupne spojte ich konce a začiatky. Na poradí, v ktorom spojíte vektory, nezáleží. Táto metóda môže byť použitá pre ľubovoľný počet vektorov.

   4. Nakreslite nový vektor začínajúci od začiatku prvého vektora a končiaci na konci posledného vektora (bez ohľadu na to, koľko vektorov pridáte). Získate výsledný vektor rovný súčtu všetkých pridaných vektorov. Všimnite si, že tento vektor je rovnaký ako vektor získaný pridaním x, y, z komponentov všetkých vektorov.

      • Ak ste veľmi presne nakreslili dĺžky vektorov a uhly medzi nimi, hodnotu výsledného vektora zistíte jednoduchým meraním jeho dĺžky. Okrem toho môžete zmerať uhol (medzi vektorom výsledku a iným určeným vektorom alebo horizontálnymi/vertikálnymi čiarami), aby ste našli smer výsledného vektora.
      • Ak ste veľmi presne nakreslili dĺžky vektorov a uhly medzi nimi, potom môžete pomocou trigonometrie zistiť hodnotu výsledného vektora, konkrétne sínusovej vety alebo kosínusovej vety. Ak pridávate viacero vektorov (viac ako dva), pridajte najskôr dva vektory, potom pridajte výsledný vektor a tretí vektor atď. Viac informácií nájdete v ďalšej časti.

   5. Predstavte výsledný vektor, označujúci jeho hodnotu a smer. Ako je uvedené vyššie, ak veľmi presne nakreslíte dĺžky vektorov, ktoré sa majú pridať, a uhly medzi nimi, potom sa hodnota výsledného vektora rovná jeho dĺžke a smer je uhol medzi ním a vertikálnou alebo horizontálnou čiarou. . Nezabudnite k hodnote vektora priradiť merné jednotky, v ktorých sú uvedené sčítané/odčítané vektory.

      • Napríklad, ak pridáte vektory rýchlosti merané v m/s, potom k hodnote výsledného vektora pridajte „m/s“ a tiež uveďte uhol výsledného vektora vo formáte „o k vodorovnej čiare“.

   Sčítanie a odčítanie vektorov nájdením hodnôt ich komponentov

   1. Ak chcete nájsť hodnoty komponentov vektora, musíte poznať hodnoty samotných vektorov a ich smer (uhol vzhľadom k horizontálnej alebo vertikálnej čiare). Zvážte dvojrozmerný vektor. Urobte z toho preponu správny trojuholník, potom nohy (rovnobežné s osami X a Y) tohto trojuholníka budú zložkami vektora. Tieto komponenty si možno predstaviť ako dva spojené vektory, ktoré po sčítaní dávajú pôvodný vektor.

      • Dĺžky (hodnoty) dvoch zložiek (komponenty "x" a "y") pôvodného vektora možno vypočítať pomocou trigonometrie. Ak "x" je hodnota (modul) pôvodného vektora, potom vektorová zložka susediaca s rohom pôvodného vektora je xcosθ a vektorová zložka oproti rohu pôvodného vektora je xsinθ.
      • Je dôležité si všimnúť smer komponentov. Ak je komponent nasmerovaný proti smeru jednej z osí, jeho hodnota bude záporná, napr. dvojrozmerná rovina súradnicový komponent smeruje doľava alebo dole.
      • Napríklad daný vektor s modulom (hodnotou) 3 a smerom 135 o (vzhľadom na horizontálu). Potom zložka x je 3cos 135 = -2,12 a zložka y je 3sin135 = 2,12.

   2. Keď nájdete komponenty všetkých vektorov, ktoré pridávate, jednoducho pridajte ich hodnoty a nájdete hodnoty komponentov výsledného vektora. Najprv spočítajte hodnoty všetkých horizontálnych komponentov (t. j. komponentov rovnobežných s osou x). Potom spočítajte hodnoty všetkých vertikálnych komponentov (t.j. komponentov rovnobežných s osou y). Ak je hodnota komponentu záporná, potom sa odpočíta, nie pripočíta.

      • Pridajme napríklad vektor<-2,12, 2,12>a vektor<5,78, -9>. Výsledný vektor bude vyzerať takto<-2,12 + 5,78, 2,12-9>alebo<3,66, -6,88>.

   3. Vypočítajte dĺžku (hodnotu) výsledného vektora pomocou Pytagorovej vety: c 2 \u003d a 2 + b 2 (pretože trojuholník tvorený pôvodným vektorom a jeho zložkami je pravouhlý). V tomto prípade sú nohy zložkami "x" a "y" výsledného vektora a prepona je samotný výsledný vektor.

      • Napríklad, ak ste v našom príklade pridali silu meranú v Newtonoch, zapíšte odpoveď takto: 7,79 N pod uhlom -61,99 o (k horizontálnej osi).
   • Nezamieňajte vektory s ich modulmi (hodnotami).
   • Vektory, ktoré majú rovnaký smer, je možné pridávať alebo uberať jednoduchým sčítaním alebo odčítaním ich hodnôt. Ak sa pridajú dva opačne smerované vektory, ich hodnoty sa odčítajú, nie sčítajú.
   • Vektory, ktoré sú reprezentované ako x i+y j+z k možno pripočítať alebo odčítať jednoduchým pripočítaním alebo odčítaním príslušných koeficientov. Svoju odpoveď napíšte aj ako i,j,k.
   • Hodnotu vektora v trojrozmernom priestore možno nájsť pomocou vzorca a 2 \u003d b 2 + c 2 + d 2, kde a- vektorová hodnota, b, c, a d sú zložky vektora.
   • Stĺpcové vektory je možné pridať/odčítať pridaním/odčítaním zodpovedajúcich hodnôt v každom riadku.