Решение уравнений с неизвестным слагаемым. Общие сведения об уравнениях

Долгий путь наработки навыков решения уравнений начинается с решения самых первых и относительно простых уравнений. Под такими уравнениями мы подразумеваем уравнения, в левой части которых находится сумма, разность, произведение или частное двух чисел, одно из которых неизвестно, а в правой части стоит число. То есть, эти уравнения содержат неизвестное слагаемое, уменьшаемое, вычитаемое, множитель, делимое или делитель. О решении таких уравнений и пойдет речь в этой статье.

Здесь мы приведем правила, позволяющие находить неизвестное слагаемое, множитель и т.п. Причем будем сразу рассматривать применение этих правил на практике, решая характерные уравнения.

Навигация по странице.

Итак, подставляем в исходное уравнение 3+x=8 вместо x число 5 , получаем 3+5=8 – это равенство верное, следовательно, мы правильно нашли неизвестное слагаемое. Если бы при проверке мы получили неверное числовое равенство, то это указало бы нам на то, что мы неверно решили уравнение. Основными причинами этого могут быть либо применение не того правила, которое нужно, либо вычислительные ошибки.

Как найти неизвестное уменьшаемое, вычитаемое?

Связь между сложением и вычитанием чисел, про которую мы уже упоминали в предыдущем пункте, позволяет получить правило нахождения неизвестного уменьшаемого через известное вычитаемое и разность, а также правило нахождения неизвестного вычитаемого через известное уменьшаемое и разность. Будем формулировать их по очереди, и сразу приводить решение соответствующих уравнений.

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое.

Для примера рассмотрим уравнение x−2=5 . Оно содержит неизвестное уменьшаемое. Приведенное правило нам указывает, что для его отыскания мы должны к известной разности 5 прибавить известное вычитаемое 2 , имеем 5+2=7 . Таким образом, искомое уменьшаемое равно семи.

Если опустить пояснения, то решение записывается так:
x−2=5 ,
x=5+2 ,
x=7 .

Для самоконтроля выполним проверку. Подставляем в исходное уравнение найденное уменьшаемое, при этом получаем числовое равенство 7−2=5 . Оно верное, поэтому, можно быть уверенным, что мы верно определили значение неизвестного уменьшаемого.

Можно переходить к нахождению неизвестного вычитаемого. Оно находится с помощью сложения по следующему правилу: чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность .

Решим уравнение вида 9−x=4 с помощью записанного правила. В этом уравнении неизвестным является вычитаемое. Чтобы его найти, нам надо от известного уменьшаемого 9 отнять известную разность 4 , имеем 9−4=5 . Таким образом, искомое вычитаемое равно пяти.

Приведем краткий вариант решения этого уравнения:
9−x=4 ,
x=9−4 ,
x=5 .

Остается лишь проверить правильность найденного вычитаемого. Сделаем проверку, для чего подставим в исходное уравнение вместо x найденное значение 5 , при этом получаем числовое равенство 9−5=4 . Оно верное, поэтому найденное нами значение вычитаемого правильное.

И прежде чем переходить к следующему правилу заметим, что в 6 классе рассматривается правило решения уравнений, которое позволяет выполнять перенос любого слагаемого из одной части уравнения в другую с противоположным знаком. Так вот все рассмотренные выше правила нахождения неизвестного слагаемого, уменьшаемого и вычитаемого с ним полностью согласованы.

Чтобы найти неизвестный множитель, надо…

Давайте взглянем на уравнения x·3=12 и 2·y=6 . В них неизвестное число является множителем в левой части, а произведение и второй множитель известны. Для нахождения неизвестного множителя можно использовать такое правило: чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель .

В основе этого правила лежит то, что делению чисел мы придали смысл, обратный смыслу умножения. То есть, между умножением и делением существует связь: из равенства a·b=c , в котором a≠0 и b≠0 следует, что c:a=b и c:b=c , и обратно.

Для примера найдем неизвестный множитель уравнения x·3=12 . Согласно правилу нам надо разделить известное произведение 12 на известный множитель 3 . Проведем : 12:3=4 . Таким образом, неизвестный множитель равен 4 .

Кратко решение уравнения записывается в виде последовательности равенств:
x·3=12 ,
x=12:3 ,
x=4 .

Желательно еще сделать проверку результата: подставляем в исходное уравнение вместо буквы найденное значение, получаем 4·3=12 – верное числовое равенство, поэтому мы верно нашли значение неизвестного множителя.

И еще один момент: действуя по изученному правилу, мы фактически выполняем деление обеих частей уравнения на отличный от нуля известный множитель. В 6 классе будет сказано, что обе части уравнения можно умножать и делить на одно и то же отличное от нуля число, это не влияет на корни уравнения.

Как найти неизвестное делимое, делитель?

В рамках нашей темы осталось разобраться, как найти неизвестное делимое при известном делителе и частном, а также как найти неизвестный делитель при известном делимом и частном. Ответить на эти вопросы позволяет уже упомянутая в предыдущем пункте связь между умножением и делением.

Чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель.

Рассмотрим его применение на примере. Решим уравнение x:5=9 . Чтобы найти неизвестное делимое этого уравнения надо согласно правилу умножить известное частное 9 на известный делитель 5 , то есть, выполняем умножение натуральных чисел: 9·5=45 . Таким образом, искомое делимое равно 45 .

Покажем краткую запись решения:
x:5=9 ,
x=9·5 ,
x=45 .

Проверка подтверждает, что значение неизвестного делимого найдено верно. Действительно, при подстановке в исходное уравнение вместо переменной x числа 45 оно обращается в верное числовое равенство 45:5=9 .

Заметим, что разобранное правило можно трактовать как умножение обеих частей уравнения на известный делитель. Такое преобразование не влияет на корни уравнения.

Переходим к правилу нахождения неизвестного делителя: чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное .

Рассмотрим пример. Найдем неизвестный делитель из уравнения 18:x=3 . Для этого нам нужно известное делимое 18 разделить на известное частное 3 , имеем 18:3=6 . Таким образом, искомый делитель равен шести.

Решение можно оформить и так:
18:x=3 ,
x=18:3 ,
x=6 .

Проверим этот результат для надежности: 18:6=3 – верное числовое равенство, следовательно, корень уравнения найден верно.

Понятно, что данное правило можно применять только тогда, когда частное отлично от нуля, чтобы не столкнуться с делением на нуль. Когда частное равно нулю, то возможны два случая. Если при этом делимое равно нулю, то есть, уравнение имеет вид 0:x=0 , то этому уравнению удовлетворяет любое отличное от нуля значение делителя. Иными словами, корнями такого уравнения являются любые числа, не равные нулю. Если же при равном нулю частном делимое отлично от нуля, то ни при каких значениях делителя исходное уравнение не обращается в верное числовое равенство, то есть, уравнение не имеет корней. Для иллюстрации приведем уравнение 5:x=0 , оно не имеет решений.

Совместное использование правил

Последовательное применение правил нахождения неизвестного слагаемого, уменьшаемого, вычитаемого, множителя, делимого и делителя позволяет решать и уравнения с единственной переменной более сложного вида. Разберемся с этим на примере.

Рассмотрим уравнение 3·x+1=7 . Сначала мы можем найти неизвестное слагаемое 3·x , для этого надо от суммы 7 отнять известное слагаемое 1 , получаем 3·x=7−1 и дальше 3·x=6 . Теперь осталось найти неизвестный множитель, разделив произведение 6 на известный множитель 3 , имеем x=6:3 , откуда x=2 . Так найден корень исходного уравнения.

Для закрепления материала приведем краткое решение еще одного уравнения (2·x−7):3−5=2 .
(2·x−7):3−5=2 ,
(2·x−7):3=2+5 ,
(2·x−7):3=7 ,
2·x−7=7·3 ,
2·x−7=21 ,
2·x=21+7 ,
2·x=28 ,
x=28:2 ,
x=14 .

Список литературы.

• Математика. . 4 класс. Учеб. для общеобразоват. учреждений. В 2 ч. Ч. 1 / [М. И. Моро, М. А. Бантова, Г. В. Бельтюкова и др.].- 8-е изд. - М.: Просвещение, 2011. - 112 с.: ил. - (Школа России). - ISBN 978-5-09-023769-7.
• Математика : учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. - 21-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2007. - 280 с.: ил. ISBN 5-346-00699-0.

Тема: Уравнение. Решение уравнений на основе взаимосвязи действий сложения и вычитания. Неизвестное слагаемое.

Цель урока: формировать умение решать уравнения с неизвестным слагаемым на основе взаимосвязи действий сложения и вычитания; развитие умений складывать и вычитать десятки; повторение знаний о геометрических фигурах; воспитание интереса к математике.

Ход урока

1. Организационный момент

2.Актуализация опорных знаний, умений и навыков.

1.Игра «Покажи знак». Учитель читает задачи:

Я купил 10 конвертов без марок. На 4 конверта я наклеил марки. Сколь­ко конвертов осталось без марок?

В альбоме 8 цветных фотографий, а черно-белых - на 3 меньше. Сколь­ко черно-белых фотографий в альбоме?

Набрали 7 банок малины и 3 банки смородины. Сколько всего банок с ягодами набрали?

В букете 5 желтых и 8 белых гвоздик. На сколько меньше желтых гвоздик?

В коробке 8 пирожных. Сколько пирожных надо взять из коробки, что­бы в ней осталось 5 пирожных?

С катка ушли 4 мальчика, остальные 6 продолжали кататься. Сколько мальчиков было на катке сначала?

2.На карточках найти среди записей уравнения и подчеркнуть их одной чертой (по линейке). На карточках за­пись.

4 + 5 = 9 7 – а = 3 6 + b х 4 4 + у = 6

3.Найди решение каждого уравнения. Запиши.

7 + х = 9 8 – y = 2 3 + a = 9

3.Изучение нового материала.

П одготовки к восприятию нового материала учитель

Составьте четверки примеров.

50 + 40 = 90 90 - 40 = 50

40 + 50 = 90 90 - 50 = 40

Затем решить уравнения.

50 + х = 90 х + 40 = 90

Х=90 – 50 х= 90 - 40

Х=40 х=50_____

50+40=90 50+40=90

Корень уравнения можно подобрать, а можно использовать знания о взаимосвязи сложения и вычитания. Решение уравнения обязательно нужно проверять. Если из суммы вычесть одно слагаемое, то получится другое слагаемое.

4. Закрепление

З адание 2 в тетрадях. Решете уравнения и сделайте проверку.

Задание 4 с 187. какие фигуры вы видите на рисунке? Какие пересекаются?

5.Работа в тетради. С 23

Задание 3. решение задачи с комментированием с места

6. Работа по методической теме. направлено на развитие логического мышления. Научить строить логические высказывания.

Задание 4 с 24

Задание5 . с 187. Какой подарок тяжелее? Какой легче?

7. Домашнее задание с 23 з 1 8. Итог урока

Цели обучения - решать уравнения способом подбора и на основе связи сложения и вычитания.

Цели урока

Все учащиеся смогут:
находить корень уравнения методом подбора

Большинство учащихся смогут:
уметь записывать и решать простые уравнения на нахождение неизвестного слагаемого

Некоторые учащиеся смогут:
с опорой на рисунок составлять и решать самостоятельно уравнения.

Предыдущие знания: понимание системы чисел в пределах 100; умение проводить сравнения и использовать язык сравнения.

Ход урока

Создание коллаборативной среды
(психологические минутки)

Прозвенел звонок веселый.
Вы начать урок готовы?
Будем слушать, рассуждать,
И друг другу помогать!

Объединение в группы

Цель: объединение учащихся на группы повышает познавательный интерес к уроку, сплоченность к работе в группе.
Повторение правила работы в группах

Актуализация жизненного опыта

Стратегия "Мозговой штурм" Использование толстых и тонких вопрос.
- Что такое уравнение? (Равенство с неизвестным называют уравнением)
- Как в уравнении обозначается неизвестное?
- Что значит решить уравнение? (Значит найти неизвестное)
- Назовите компоненты сложения?

Оценивание: Три хлопка
Стартер "Просмотр видеоролика" (развивающий мультик)
Метод "Стоп-кадр!"

Целеполагания на урок
- Вы догадались, чем мы будем сегодня на уроке заниматься?
- Что нам поможет достигнуть целей урока (узнать новое, научиться решать такие математические записи) (свой опыт, учитель, учебник)
Дети формулируют цель урока, я обобщаю.
- Сегодня на уроке вы узнаете как решать уравнения с неизвестными слагаемым

Исследование. Работа по учебнику.
Цель: Исследовать материал учебника с. 46

Задание 1. Игра по учебнику "Вагончики в туннеле"
Работа в группе. Стратегия "Подумай, обсуди, поделись". Межпредметная связь обучение грамоте (слушание и говорение)

Игра "Вагончики в туннеле"

Сколько вагонов в туннеле?
6 + х = 18 и 2 + х = 14.
Ответ: 12 вагонов.

Дескриптор:
- составляет по рисунку уравнение
- находит значение буквы методом подбора.
- делает вывод(формулируют правило)

Обратная связь "Светофор"
Здесь я использую моделирования уравнения с целью
формирования умение решать уравнения с неизвестным слагаемым.

Задание 2. Работа в паре. "Помоги герою"

Игра "Помоги герою"

Для работы в паре я использую совместное обучение, которое передает знания и навыки между учащимися.
Самооценивание по дескриптору: "Большой палец"

Динамическая пауза. Музыкальная физминутка.

Задание 3. Работа в группе. "Подумай-найди пару, поделись!"

Дескрипторы:
- работает вся группа;
- составляет и решает самостоятельно уравнения с опорой на рисунок;
- делает вывод (формулируют правило).

Обратная связь "Колесо"
Применение (учитель - наблюдает, помогает, проверяет, ученик - решает вопросы, демонстрирует знания)

Взаимопроверка по слайдам
Здесь я использую работу в группе для улучшения процесса усвоения информации.

Задание 4. Игра в паре "Кубик" (попробуй)

Работа в группе: "Подумай-найди пару, поделись!"

Дескриптор:
- подставляет выпавшее число
- решает самостоятельно уравнение.

Здесь я использую активный метод в игровой форме который приводит к более глубокому пониманию решения уравнения с неизвестным слагаемым.
Оценивание по дескрипторам "Светофор"

Задание 5. Индивидуальное задание
Дифференцированные задания.
Задания выбраны для учеников с разными уровнями знаний.

Дескриптор:

1. находит корень уравнения по числовому лучу;
2. находит с помощью математических цифр и знаков корень уравнения;
3. составляет по картинке составляет уравнение.

Самооценивание "Светофор" (проверка по эталону).
- Молодцы вы справились с этим заданием!
Здесь я использую дифференцированный подход для индивидуальных потребностей в обучении для каждого учащегося.

Итог урока. Рефлексия "Метод "Интервью"
- Над чем сегодня на уроке мы работали?
- Как найти неизвестное слагаемое?
- Чем является неизвестное слагаемое? (Частью)
- Достигли ли поставленной цели?
- Что будут делать те ребята, которые испытывали трудности при работе с уравнениями? (Высказывания учащихся)

Цель: учитель узнает поняли ли ученики тему урока и свои просчеты, чтобы устранить на следующем уроке. (высказывание учащихся) (здесь я использую удовлетворительнее потребности учеников)
Взаимооценивание "2 звезды, 1 пожелание"

Рефлексия "Лесенка успеха" (дети размещают смайлики)
- Я могу решить уравнение с неизвестным слагаемым.
- Я могу научить другого …
- Я затрудняюсь в …
- Я ничего не понял …

Цель: самооценивания своих достижений за урок.

Чтобы скачать материал или !