Определить среднюю арифметическую. Средняя арифметическая

Начиная рассуждать о средних величинах, чаще всего вспоминают, как заканчивали школу и поступали в учебное заведение. Тогда по аттестату рассчитывался средний балл: все оценки (и хорошие, и не очень) складывали, полученную сумму делили на их количество. Так вычисляется самый простой вид средней, которая называется средняя арифметическая простая. На практике в статистике применяются различные виды средних величин: арифметическая, гармоническая, геометрическая, квадратическая, структурные средние. Тот или иной их вид используется в зависимости от характера данных и целей исследования.

Средняя величина является наиболее распространенным статистическим показателем, с помощью которого дается обобщающая характеристика совокупности однотипных явлений по одному из варьирующих признаков. Она показывает уровень признака в расчете на единицу совокупности. С помощью средних величин проводится сравнение различных совокупностей по варьирующим признакам, изучаются закономерности развития явлений и процессов общественной жизни.

В статистике применяются два класса средних: степенные (аналитические) и структурные. Последние используются для характеристики структуры вариационного ряда и будут рассмотрены далее в гл. 8.

К группе степенных средних относят среднюю арифметическую, гармоническую, геометрическую, квадратическую. Индивидуальные формулы для их вычисления можно привести к виду, общему для всех степенных средних, а именно

где m - показатель степенной средней: при m = 1 получаем формулу для вычисления средней арифметической, при m = 0 - средней геометрической, m = -1 - средней гармонической, при m = 2 - средней квадратической;

x i - варианты (значения, которые принимает признак);

f i - частоты.

Главным условием, при котором можно использовать степенные средние в статистическом анализе, является однородность совокупности, которая не должна содержать исходных данных, резко различающихся по своему количественному значению (в литературе они носят название аномальных наблюдений).

Продемонстрируем важность этого условия на следующем примере.

Пример 6.1. Вычислим среднюю заработную плату сотрудников малого предприятия.

Таблица 6.1. Заработная плата работников

№ п/п	Заработная плата, руб.	№ п/п	Заработная плата, руб.
1	5 950	11	7 000
2	6 790	12	5 950
3	6 790	13	6 790
4	5 950	14	5 950
5	7 000	5	6 790
6	6 790	16	7 000
7	5 950	17	6 790
8	7 000	18	7 000
9	6 790	19	7 000
10	6 790	20	5 950

Для расчета среднего размера заработной платы необходимо просуммировать заработную плату, начисленную всем работникам предприятия (т.е. найти фонд заработной платы), и разделить на число работающих:

А теперь добавим в нашу совокупность всего лишь одного человека (директора этого предприятия), но с окладом в 50 000 руб. В таком случае вычисляемая средняя будет совсем другая:

Как видим, она превышает 7000 руб., т.д. она больше всех значений признака за исключением одного-единственного наблюдения.

Для того чтобы таких случаев не происходило на практике, и средняя не теряла бы своего смысла (в примере 6.1 она уже не выполняет роль обобщающей характеристики совокупности, которой должна быть), при расчете средней следует аномальные, резко выделяющиеся наблюдения либо исключить из анализа и тем самым сделать совокупность однородной, либо разбить совокупность на однородные группы и вычислить средние значения по каждой группе и анализировать не общую среднюю, а групповые средние значения.

6.1. Средняя арифметическая и ее свойства

Средняя арифметическая вычисляется либо как простая, либо как взвешенная величина.

При расчете средней заработной платы по данным таблицы примера 6.1 мы сложили все значения признака и поделили на их количество. Ход наших вычислений запишем в виде формулы средней арифметической простой

где х i - варианты (отдельные значения признака);

п - число единиц в совокупности.

Пример 6.2. Теперь сгруппируем наши данные из таблицы примера 6.1, т.д. построим дискретный вариационный ряд распределения работающих по уровню заработной платы. Результаты группировки представлены в таблице.

Запишем выражение для вычисления среднего уровня заработной платы в более компактной форме:

В примере 6.2 была применена формула средней арифметической взвешенной

где f i - частоты, показывающие, сколько раз встречается значение признака х i y единиц совокупности.

Расчет средней арифметической взвешенной удобно проводить в таблице, как это показано ниже (табл. 6.3):

Таблица 6.3. Расчет средней арифметической в дискретном ряду

Исходные данные	Расчетный показатель
заработная плата, руб.	численность работающих, чел.	фонд заработной платы, руб.
x i	f i	x i f i
5 950	6	35 760
6 790	8	54 320
7 000	6	42 000
Итого	20	132 080

Следует отметить, что средняя арифметическая простая используется в тех случаях, когда данные не сгруппированы или сгруппированы, но все частоты равны между собой.

Часто результаты наблюдения представляют в виде интервального ряда распределения (см. таблицу в примере 6.4). Тогда при расчете средней в качестве x i берут середины интервалов. Если первый и последний интервалы открыты (не имеют одной из границ), то их условно "закрывают", принимая за величины данного интервала величину примыкающего интервала, т.д. первый закрывают исходя из величины второго, а последний - по величине предпоследнего.

Пример 6.3. По результатам выборочного обследования одной из групп населения рассчитаем размер среднедушевого денежного дохода.

В приведенной таблице середина первого интервала равна 500. Действительно, величина второго интервала - 1000 (2000-1000); тогда нижняя граница первого равна 0 (1000-1000), а его середина - 500. Аналогично поступаем с последним интервалом. За его середину принимаем 25 000: величина предпоследнего интервала 10 000 (20 000-10 000), тогда его верхняя граница - 30 000 (20 000 + 10 000), а середина, соответственно, - 25 000.

Таблица 6.4. Расчет средней арифметической в интервальном ряду

Среднедушевой денежный доход, руб. в месяц	Численность населения к итогу, % f i	Середины интервалов x i	x i f i
До 1 000	4,1	500	2 050
1 000-2 000	8,6	1 500	12 900
2 000-4 000	12,9	3 000	38 700
4 000-6 000	13,0	5 000	65 000
6 000-8 000	10,5	7 000	73 500
8 000-10 000	27,8	9 000	250 200
10 000-20 000	12,7	15 000	190 500
20 000 и выше	10,4	25 000	260 000
Итого	100,0	-	892 850

Тогда среднедушевой размер месячного дохода составит

Предположим, что нужно найти среднее число дней для выполнения задач, различными сотрудниками. Или вы хотите вычисление интервала времени 10 лет Средняя температура в определенный день. Вычисление среднего значения ряда чисел несколькими способами.

Среднее функция меры центральной тенденции, в которой находится центр ряда чисел в статистическое распределение. Три большинство общих критериями центральной тенденции выступают.

Среднее Среднее арифметическое и вычисляется путем добавления ряда чисел и затем деления количества этих чисел. Например среднее значение 2, 3, 3, 5, 7 и 10 имеет 30, разделенных на 6, 5;

Медиана Средний номер ряда чисел. Половина чисел имеют значения, которые больше, чем Медиана, а половина чисел имеют значения, которые меньше, чем Медиана. Например медиана 2, 3, 3, 5, 7 и 10 - 4.

Режим Наиболее часто встречающееся число в группе чисел. Например режим 2, 3, 3, 5, 7 и 10 - 3.

Эти три меры центральной тенденции симметричную распределение ряда чисел, являются одни и те же. В асимметричное распределение ряда чисел они могут быть разными.

Вычисление среднего значения ячеек, расположенных непрерывно в одной строке или одном столбце

Выполните следующие действия.

Вычисление среднего значения ячеек, расположенных вразброс

Для выполнения этой задачи используется функция СРЗНАЧ . Скопируйте в приведенной ниже таблице на пустой лист.

Вычисление среднего взвешенного значения

СУММПРОИЗВ и сумм . Пример vThis вычисляет среднюю цену единицы измерения, оплаченная через три покупки, где находится каждый покупки для различное количество единиц измерения по различным ценам за единицу.

Скопируйте в приведенной ниже таблице на пустой лист.

Вычисление среднего значения чисел, без учета нулевых значений

Для выполнения этой задачи используются функции СРЗНАЧ и если . Скопируйте приведенную ниже таблицу и имейте в виду, что в этом примере чтобы проще было понять, скопируйте его на пустой лист.

Средняя величина - это обобщающий показатель, который характеризует качественно однородную совокупность по определенному количественному признаку. Например, средний возраст лиц, осужденных за кражу.

В судебной статистике средние величины используют для характеристики:

Средних сроков рассмотрения дел данной категории;

Среднего размера иска;

Среднего числа ответчиков, приходящихся на одно дело;

Среднего размера ущерба;

Средней нагрузки судей, и др.

Средняя всегда величина именованная и имеет ту же размерность, что и признак у отдельной единицы совокупности. Каждая средняя величина характеризует изучаемую совокупность по какому-либо одному варьирующему признаку, поэтому за всякой средней скрывается ряд распределения единиц этой совокупности по изучаемому признаку. Выбор вида средней определяется содержанием показателя и исходных данных для расчета средней величины.

Все виды средних величин, используемые в статистических исследованиях, подразделяются на две категории:

1) степенные средние;

2) структурные средние.

Первая категория средних величин включает: среднюю арифметическую, среднюю гармоническую, среднюю геометрическую и среднюю квадратическую . Вторая категория - это мода и медиана . При этом каждый из перечисленных видов степенных средних величин может иметь две формы: простую и взвешенную . Простая форма средней величины используется для получения среднего значения изучаемого признака, когда расчет осуществляется по несгруппированным статистическим данным, либо когда каждая варианта в совокупности встречается только один раз. Взвешенными средними называют величины, которые учитывают, что варианты значений признака могут иметь различную численность, в связи, с чем каждый вариант приходится умножать на соответствующую частоту. Иными словами, каждый вариант «взвешивают» по своей частоте. Частоту называют статистическим весом.

Средняя арифметическая простая - самый распространенный вид средней. Она равна сумме отдельных значений признака, деленной на общее число этих значений:

где x 1 ,x 2 , … ,x N - индивидуальные значения варьирующего признака (варианты), а N - число единиц совокупности.

Средняя арифметическая взвешенная применяется в тех случаях, когда данные представлены в виде рядов распределения или группировок. Она вычисляется как сумма произведений вариантов на соответствующие им частоты, деленная на сумму частот всех вариантов:

где x i - значение i -й варианты признака; f i - частота i -й варианты.

Таким образом, каждое значение варианты взвешивается по своей частоте, поэтому частоты иногда называют статистическими весами.

Замечание. Когда речь идет о средней арифметической величине без указания ее вида, подразумевается средняя арифметическая простая.

Таблица 12.

Решение. Для расчета используем формулу средней арифметической взвешенной:

Таким образом, в среднем на одно уголовное дело приходится два обвиняемых.

Если вычисление средней величины производят по данным, сгруппированным в виде интервальных рядов распределения, то сначала надо определить серединные значения каждого интервала х" i , после чего рассчитать среднюю величину по формуле средней арифметической взвешенной, в которую вместо x i подставляют х" i .

Пример. Данные о возрасте преступников, осужденных за совершение кражи, представлены в таблице:

Таблица 13.

Определить средний возраст преступников, осужденных за совершение кражи.

Решение. Для того, чтобы определить средний возраст преступников на основе интервального вариационного ряда необходимо сначала найти серединные значения интервалов. Так как дан интервальный ряд с открытыми первым и последним интервалами, то величины этих интервалов принимаются равными величинам смежных закрытых интервалов. В нашем случае величина первого и последнего интервалов равны 10.

Теперь находим средний возраст преступников по формуле средней арифметической взвешенной:

Таким образом, средний возраст преступников, осужденных за совершение кражи, приближенно равен 27 лет.

Средняя гармоническая простая представляет собой величину, обратную средней арифметической из обратных значений признака:

где 1/x i - обратные значения вариантов, а N - число единиц совокупности.

Пример. Для определения средней годовой нагрузки на судей районного суда при рассмотрении уголовных дел провели обследование нагрузки 5 судей этого суда. Средние затраты времени на одно уголовное дело для каждого из обследованных судей оказались равными (в днях): 6, 0, 5, 6, 6, 3, 4, 9, 5, 4. Найти средние затраты на одно уголовное дело и среднюю годовую нагрузку на судей данного районного суда при рассмотрении уголовных дел.

Решение. Для определения средних затрат времени на одно уголовное дело, воспользуемся формулой средней гармонической простой:

Для упрощения расчетов в примере возьмем число дней в году равным 365, включая выходные (это не влияет на методику расчета, а при вычислении аналогичного показателя на практике необходимо вместо 365 дней подставить количество рабочих дней в конкретном году). Тогда средняя годовая нагрузка на судей данного районного суда при рассмотрении уголовных дел составит: 365(дней) : 5,56 ≈ 65,6 (дел).

Если бы мы для определения средних затрат времени на одно уголовное дело, воспользовались формулой средней арифметической простой, то получили бы:

365 (дней) : 5,64 ≈ 64,7 (дела), т.е. средняя нагрузка на судей оказалась меньше.

Проверим обоснованность такого подхода. Для этого воспользуемся данными о затратах времени на одно уголовное дело для каждого судьи и рассчитаем число уголовных, рассмотренных каждым из них за год.

Получим соответственно :

365(дней) : 6 ≈ 61 (дело), 365(дней) : 5,6 ≈ 65,2 (дел), 365(дней) : 6,3 ≈ 58 (дел),

365(дней) : 4,9 ≈ 74,5 (дела), 365(дней) : 5,4 ≈ 68 (дел).

Теперь вычислим среднюю годовую нагрузку на судей данного районного суда при рассмотрении уголовных дел:

Т.е. средняя годовая нагрузка такая же, как и при использовании средней гармонической.

Таким образом, использование средней арифметической в данном случае неправомерно.

В тех случаях, когда известны варианты признака, их объемные значения (произведение варианты на частоту), но неизвестны сами частоты, применяется формула средней гармонической взвешенной:

,

где x i - значения вариантов признака, а w i - объемные значения вариантов (w i = x i · f i ).

Пример. Данные о цене единицы однотипного товара, произведенного различными учреждениями уголовно-исполнительной системы, и об объемах его реализации приведены в таблице 14.

Таблица 14

Найти среднюю цену реализации товара.

Решение. При расчете средней цены мы должны пользоваться отношением суммы реализации к количеству реализованных единиц. Нам неизвестно количество реализованных единиц, но известны суммы реализаций товаров. Поэтому для нахождения средней цены реализованных товаров воспользуемся формулой средней гармонической взвешенной. Получаем

Если здесь использовать формулу средней арифметической, то можно получить среднюю цену, которая будет нереальна:

Средняя геометрическая вычисляется извлечением корня степени N из произведения всех значений вариантов признака:

,

где x 1 ,x 2 , … ,x N - индивидуальные значения варьирующего признака (варианты), а

N - число единиц совокупности.

Этот вид средней используется для вычисления средних показателей роста рядов динамики.

Средняя квадратическая применяется для расчета среднеквадратического отклонения, являющегося показателем вариации, и будет рассмотрена ниже.

Для определения структуры совокупности используют особые средние показатели, к которым относятся медиана и мода , или так называемые структурные средние. Если средняя арифметическая рассчитывается на основе использования всех вариантов значений признака, то медиана и мода характеризуют величину того варианта, который занимает определенное среднее положение в ранжированном (упорядоченном) ряду. Упорядочение единиц статистической совокупности может быть проведено по возрастанию или убыванию вариантов изучаемого признака.

Медиана (Ме) - это величина, которая соответствует варианту, находящемуся в середине ранжированного ряда. Таким образом, медиана - это тот вариант ранжированного ряда, по обе стороны от которого в данном ряду должно находиться равное число единиц совокупности.

Для нахождения медианы сначала необходимо определить ее порядковый номер в ранжированном ряду по формуле:

где N - объем ряда (число единиц совокупности).

Если ряд состоит из нечетного числа членов, то медиана равна варианте с номером N Me . Если же ряд состоит из четного числа членов, то медиана определяется как среднее арифметическое двух смежных вариант, расположенных в середине.

Пример. Дан ранжированный ряд 1, 2, 3, 3, 6, 7, 9, 9, 10. Объем ряда N = 9, значит N Me = (9 + 1) / 2 = 5. Следовательно, Ме = 6, т.е. пятой варианте. Если дан ряд 1, 5, 7, 9, 11, 14, 15, 16, т.е. ряд с четным числом членов (N = 8), то N Me = (8 + 1) / 2 = 4,5. Значит медиана равна полусумме четвертой и пятой вариант, т.е. Ме = (9 + 11) / 2 = 10.

В дискретном вариационном ряду медиану определяют по накопленным частотам. Частоты вариант, начиная с первой, суммируются до тех пор, пока не будет превзойден номер медианы. Значение последней просуммированной варианты и будет медианой.

Пример. Найти медиану числа обвиняемых, приходящихся на одно уголовное дело, используя данные таблицы 12.

Решение. В данном случае объем вариационного ряда N = 154, следовательно, N Me = (154 + 1) / 2 = 77,5. Просуммировав частоты первой и второй варианты, получим: 75 + 43 = 118, т.е. мы превзошли номер медианы. Значит Ме = 2.

В интервальном вариационном ряду распределения сначала указывают интервал, в котором будет находиться медиана. Его называют медианным . Это первый интервал, накопленная частота которого превышает половину объема интервального вариационного ряда. Затем численное значение медианы определяется по формуле:

где x Ме - нижняя граница медианного интервала; i - величина медианного интервала; S Ме-1 - накопленная частота интервала, который предшествует медианному; f Ме - частота медианного интервала.

Пример. Найти медиану возраста преступников, осужденных за совершение кражи, на основе статистических данных, представленных в таблице 13.

Решение. Статистические данные представлены интервальным вариационным рядом, значит сначала определим медианный интервал. Объем совокупности N = 162, следовательно, медианным интервалом является интервал 18-28, т.к. это первый интервал, накопленная частота которого (15 + 90 = 105) превышает половину объема (162: 2 = 81) интервального вариационного ряда. Теперь численное значение медианы определяем по приведенной выше формуле:

Таким образом, половина осужденных за совершение кражи младше 25 лет.

Модой (Мо) называют значение признака, которое наиболее часто встречается у единиц совокупности. К моде прибегают для выявления величины признака, имеющей наибольшее распространение. Для дискретного ряда модой будет являться вариант с наибольшей частотой. Например, для дискретного ряда, представленного в таблице 3 Мо = 1, так как этому значению варианты соответствует наибольшая частота - 75. Для определения моды интервального ряда сначала определяют модальный интервал (интервал, имеющий наибольшую частоту). Затем в пределах этого интервала находят то значение признака, которое может являться модой.

Его значение находят по формуле:

где x Mo - нижняя граница модального интервала; i - величина модального интервала; f Мо - частота модального интервала; f Мо-1 - частота интервала, предшествующего модальному; f Мо+1 - частота интервала, следующего за модальным.

Пример. Найтимодувозраста преступников, осужденных за совершение кражи, данные о которых представлены в таблице 13.

Решение. Наибольшая частота соответствует интервалу 18-28, следовательно, мода должна находиться в этом иртервале. Ее величину определяем по приведенной выше формуле:

Таким образом, наибольшее число преступников, осужденных за совершение кражи, имеет возраст 24 года.

Средняя величина дает обобщающую характеристику всей совокупности изучаемого явления. Однако две совокупности, имеющие одинаковые средние значения, могут значительно отличаться друг от друга по степени колеблемости (вариации) величины изучаемого признака. Например, в одном суде были назначены следующие сроки лишения свободы: 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 12, 12, 15 лет, а в другом - 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 8 лет. В обоих случаях средняя арифметическая равна 6,7 лет. Однако эти совокупности существенно различаются между собой разбросом индивидуальных значений назначенного срока лишения свободы относительно среднего значения.

И для первого суда, где этот разброс достаточно большой, средняя величина срока лишения свободы плохо отражает всю совокупность. Таким образом, если индивидуальные значения признака мало отличаются друг от друга, то средняя арифметическая будет достаточно показательной характеристикой свойств данной совокупности. В противном случае средняя арифметическая будет ненадежной характеристикой этой совокупности и применение ее на практике малоэффективно. Поэтому необходимо учитывать вариацию значений изучаемого признака.

Вариация - это различия в значениях какого-либо признака у разных единиц данной совокупности в один и тот же период или момент времени. Термин «вариация» имеет латинское происхождение - variatio, что означает различие, изменение, колеблемость. Она возникает в результате того, что индивидуальные значения признака складываются под совокупным влиянием разнообразных факторов (условий), которые по-разному сочетаются в каждом отдельном случае. Для измерения вариации признака применяются различные абсолютные и относительные показатели.

К основным показателям вариации относятся следующие:

1) размах вариации;

2) среднее линейное отклонение;

3) дисперсия;

4) среднее квадратическое отклонение;

5) коэффициент вариации.

Кратко остановимся на каждом из них.

Размах вариации R самый доступный по простоте расчета абсолютный показатель, который определяется как разность между самым большим и самым малым значениями признака у единиц данной совокупности:

Размах вариации (размах колебаний) - важный показатель колеблемости признака, но он дает возможность увидеть только крайние отклонения, что ограничивает область его применения. Для более точной характеристики вариации признака на основе учета его колеблемости используются другие показатели.

Среднее линейное отклонение представляет собой среднее арифметическое из абсолютных значений отклонений индивидуальных значений признака от средней и определяется по формулам:

1) для несгруппированных данных

2) для вариационного ряда

Однако наиболее широко применяемым показателем вариации является дисперсия . Она характеризует меру разброса значений изучаемого признака относительно его среднего значения. Дисперсия определяется как средняя из отклонений, возведенных в квадрат.

Простая дисперсия для не сгруппированных данных:

.

Взвешенная дисперсия для вариационного ряда:

Замечание. На практике для вычисления дисперсии лучше использовать следующие формулы:

Для простой дисперсии

.

Для взвешенной дисперсии

Среднее квадратическое отклонение - это корень квадратный из дисперсии:

Среднее квадратическое отклонение является мерилом надежности средней. Чем меньше среднее квадратическое отклонение, тем, однороднее совокупность и тем лучше средняя арифметическая отражает собой всю совокупность.

Рассмотренные выше меры рессеяния (размах вариации, дисперсия, среднее квадратическое отклонение) являются абсолютными показателями, судить по которым о степени колеблемости признака не всегда возможно. В некоторых задачах необходимо использовать относительные показатели рассеяния, одним из которых является коэффициент вариации.

Коэффициент вариации - выраженное в процентах отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической:

Коэффициент вариации используют не только для сравнительной оценки вариации разных признаков или одного и того же признака в различных совокупностях, но и для характеристики однородности совокупности. Статистическая совокупность считается количественно однородной, если коэффициент вариации не превышает 33 % (для распределений, близких к нормальному распределению).

Пример. Имеются следующие данныео сроках лишения свободы 50 осужденных, доставленных для отбывания назначенного судом наказания в исправительное учреждение уголовно-исполнительной системы: 5, 4, 2, 1, 6, 3, 4, 3, 2, 2, 5, 6, 4, 3, 10, 5, 4, 1, 2, 3, 3, 4, 1, 6, 5, 3, 4, 3, 5, 12, 4, 3, 2, 4, 6, 4, 4, 3, 1, 5, 4, 3, 12, 6, 7, 3, 4, 5, 5, 3.

1. Построить ряд распределения по срокам лишения свободы.

2. Найти среднее значение, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

3. Вычислить коэффициент вариации и сделать заключение об однородности или неоднородности изучаемой совокупности.

Решение. Для построения дискретного ряда распределения необходимо определить варианты и частоты. Варианта в данной задаче - это срок лишения свободы, а частоты - численность отдельных вариант. Рассчитав частоты, получим следующий дискретный ряд распределения:

Найдем среднее значение и дисперсию. Поскольку статистические данные представлены дискретным вариационным рядом, то для их вычисления будем использовать формулы среднего арифметического взвешенного и дисперсии. Получим:

= = 4,1;

= 5,21.

Теперь вычисляем среднее квадратическое отклонение:

Находим коэффициент вариации:

Следовательно, статистическая совокупность количественно неоднородна.

Большое распространение в статистике имеют средние величины. Средние величины характеризуют качественные показатели коммерческой деятельности: издержки обращения, прибыль, рентабельность и др.

Средняя - это один из распространенных приемов обобщений. Правильное понимание сущности средней определяет ее особую значимость в условиях рыночной экономики, когда средняя через единичное и случайное позволяет выявить общее и необходимое, выявить тенденцию закономерностей экономического развития.

Средняя величина - это обобщающие показатели, в которых находят выражение действия общих условий, закономерностей изучаемого явления.

Статистические средние рассчитываются на основе массовых данных правильно статистически организованного массового наблюдения (сплошного и выборочного). Однако статистическая средняя будет объективна и типична, если она рассчитывается по массовым данным для качественно однородной совокупности (массовых явлений). Например, если рассчитывать среднюю заработную плату в кооперативах и на госпредприятиях, а результат распространить на всю совокупность, то средняя фиктивна, так как рассчитана по неоднородной совокупности, и такая средняя теряет всякий смысл.

При помощи средней происходит как бы сглаживание различий в величине признака, которые возникают по тем или иным причинам у отдельных единиц наблюдения.

Например, средняя выработка продавца зависит от многих причин: квалификации, стажа, возраста, формы обслуживания, здоровья и т.д.

Средняя выработка отражает общее свойство всей совокупности.

Средняя величина является отражением значений изучаемого признака, следовательно, измеряется в той же размерности, что и этот признак.

Каждая средняя величина характеризует изучаемую совокупность по какому-либо одному признаку. Чтобы получить полное и всестороннее представление об изучаемой совокупности по ряду существенных признаков, в целом необходимо располагать системой средних величин, которые могут описать явление с разных сторон.

Существуют различные средние:

средняя арифметическая;

средняя геометрическая;

средняя гармоническая;

средняя квадратическая;

средняя хронологическая.

Рассмотрим некоторые виды средних, которые наиболее часто используются в статистике.

Средняя арифметическая

Средняя арифметическая простая (невзвешенная) равна сумме отдельных значений признака, деленной на число этих значений.

Отдельные значения признака называют вариантами и обозначают через х (); число единиц совокупности обозначают через n, среднее значение признака - через. Следовательно, средняя арифметическая простая равна:

По данным дискретного ряда распределения видно, что одни и те же значения признака (варианты) повторяются несколько раз. Так, варианта х встречается в совокупности 2 раза, а варианта х-16 раз и т.д.

Число одинаковых значений признака в рядах распределения называется частотой или весом и обозначается символом n.

Вычислим среднюю заработную плату одного рабочего в руб.:

Фонд заработной платы по каждой группе рабочих равен произведению варианты на частоту, а сумма этих произведений дает общий фонд заработной платы всех рабочих.

В соответствии с этим, расчеты можно представить в общем виде:

Полученная формула называется средней арифметической взвешенной.

Статистический материал в результате обработки может быть представлен не только в виде дискретных рядов распределения, но и в виде интервальных вариационных рядов с закрытыми или открытыми интервалами.

Исчисление средней по сгруппированным данным производится по формуле средней арифметической взвешенной:

В практике экономической статистики иногда приходится исчислять среднюю по групповым средним или по средним отдельных частей совокупности (частным средним). В таких случаях за варианты (х) принимаются групповые или частные средние, на основании которых исчисляется общая средняя как обычная средняя арифметическая взвешенная.

Основные свойства средней арифметической .

Средняя арифметическая обладает рядом свойств:

1. От уменьшения или увеличения частот каждого значения признака х в п раз величина средней арифметической не изменится.

Если все частоты разделить или умножить на какое-либо число, то величина средней не изменится.

2. Общий множитель индивидуальных значений признака может быть вынесен за знак средней:

3. Средняя суммы (разности) двух или нескольких величин равна сумме (разности) их средних:

4. Если х = с, где с - постоянная величина, то
.

5. Сумма отклонений значений признака Х от средней арифметической х равна нулю:

Средняя гармоническая.

Наряду со средней арифметической, в статистике применяется средняя гармоническая величина, обратная средней арифметической из обратных значений признака. Как и средняя арифметическая, она может быть простой и взвешенной.

Характеристиками вариационных рядов, наряду со средними, являются мода и медиана.

Мода - это величина признака (варианта), наиболее часто повторяющаяся в изучаемой совокупности. Для дискретных рядов распределения модой будет значение варианта с наибольшей частотой.

Для интервальных рядов распределения с равными интервалами мода определяется по формуле:

где
- начальное значение интервала, содержащего моду;

- величина модального интервала;

- частота модального интервала;

- частота интервала, предшествующего модальному;

- частота интервала, следующего за модальным.

Медиана - это варианта, расположенная в середине вариационного ряда. Если ряд распределения дискретный и имеет нечетное число членов, то медианой будет варианта, находящаяся в середине упорядоченного ряда (упорядоченный ряд - это расположение единиц совокупности в возрастающем или убывающем порядке).

В процессе различных расчетов и работы с данными довольно часто требуется подсчитать их среднее значение. Оно рассчитывается путем сложения чисел и деления общей суммы на их количество. Давайте выясним, как вычислить среднее значение набора чисел при помощи программы Microsoft Excel различными способами.

Самый простой и известный способ найти среднее арифметическое набора чисел — это воспользоваться специальной кнопкой на ленте Microsoft Excel. Выделяем диапазон чисел, расположенных в столбце или в строке документа. Находясь во вкладке «Главная», жмем на кнопку «Автосумма», которая расположена на ленте в блоке инструментов «Редактирование». Из выпадающее списка выбираем пункт «Среднее».

После этого, с помощью функции «СРЗНАЧ», производится расчет. В ячейку под выделенным столбцом, или справа от выделенной строки, выводится средняя арифметическая данного набора чисел.

Этот способ хорош простотой и удобством. Но, у него имеются и существенные недостатки. С помощью этого способа можно произвести подсчет среднего значения только тех чисел, которые располагаются в ряд в одном столбце, или в одной строке. А вот, с массивом ячеек, или с разрозненными ячейками на листе, с помощью этого способа работать нельзя.

Например, если выделить два столбца, и вышеописанным способом вычислить среднее арифметическое, то ответ будет дан для каждого столбца в отдельности, а не для всего массива ячеек.

Вычисление с помощью Мастера функций

Для случаев, когда нужно подсчитать среднюю арифметическую массива ячеек, или разрозненных ячеек, можно использовать Мастер функций. Он применяет все ту же функцию «СРЗНАЧ», известную нам по первому методу вычисления, но делает это несколько другим способом.

Кликаем по ячейке, где хотим, чтобы выводился результат подсчета среднего значения. Жмем на кнопку «Вставить функцию», которая размещена слева от строки формул. Либо же, набираем на клавиатуре комбинацию Shift+F3.

Запускается Мастер функций. В списке представленных функций ищем «СРЗНАЧ». Выделяем его, и жмем на кнопку «OK».

Открывается окно аргументов данной функции. В поля «Число» вводятся аргументы функции. Это могут быть как обычные числа, так и адреса ячеек, где эти числа расположены. Если вам неудобно вводить адреса ячеек вручную, то следует нажать на кнопку расположенную справа от поля ввода данных.

После этого, окно аргументов функции свернется, а вы сможете выделить ту группу ячеек на листе, которую берете для расчета. Затем, опять нажимаете на кнопку слева от поля ввода данных, чтобы вернуться в окно аргументов функции.

Если вы хотите подсчитать среднее арифметическое между числами, находящимися в разрозненных группах ячеек, то те же самые действия, о которых говорилось выше, проделывайте в поле «Число 2». И так до тех пор, пока все нужные группы ячеек не будут выделены.

После этого, жмите на кнопку «OK».

Результат расчета среднего арифметического будет выделен в ту ячейку, которую вы выделили перед запуском Мастера функций.

Панель формул

Существует ещё третий способ запустить функцию «СРЗНАЧ». Для этого, переходим во вкладку «Формулы». Выделяем ячейку, в которой будет выводиться результат. После этого, в группе инструментов «Библиотека функций» на ленте жмем на кнопку «Другие функции». Появляется список, в котором нужно последовательно перейти по пунктам «Статистические» и «СРЗНАЧ».

Затем, запускается точно такое же окно аргументов функции, как и при использовании Мастера функций, работу в котором мы подробно описали выше.

Дальнейшие действия точно такие же.

Ручной ввод функции

Но, не забывайте, что всегда при желании можно ввести функцию «СРЗНАЧ» вручную. Она будет иметь следующий шаблон: «=СРЗНАЧ(адрес_диапазона_ячеек(число); адрес_диапазона_ячеек(число)).

Конечно, этот способ не такой удобный, как предыдущие, и требует держать в голове пользователя определенные формулы, но он более гибкий.

Расчет среднего значения по условию

Кроме обычного расчета среднего значения, имеется возможность подсчета среднего значения по условию. В этом случае, в расчет будут браться только те числа из выбранного диапазона, которые соответствуют определенному условию. Например, если эти числа больше или меньше конкретно установленного значения.

Для этих целей, используется функция «СРЗНАЧЕСЛИ». Как и функцию «СРЗНАЧ», запустить её можно через Мастер функций, из панели формул, или при помощи ручного ввода в ячейку. После того, как открылось окно аргументов функции, нужно ввести её параметры. В поле «Диапазон» вводим диапазон ячеек, значения которых будут участвовать в определении среднего арифметического числа. Делаем это тем же способом, как и с функцией «СРЗНАЧ».

А вот, в поле «Условие» мы должны указать конкретное значение, числа больше или меньше которого будут участвовать в расчете. Это можно сделать при помощи знаков сравнения. Например, мы взяли выражение «>=15000». То есть, для расчета будут браться только ячейки диапазона, в которых находятся числа большие или равные 15000. При необходимости, вместо конкретного числа, тут можно указать адрес ячейки, в которой расположено соответствующее число.

Поле «Диапазон усреднения» не обязательно для заполнения. Ввод в него данных является обязательным только при использовании ячеек с текстовым содержимым.

Когда все данные введены, жмем на кнопку «OK».

После этого, в предварительно выбранную ячейку выводится результат расчета среднего арифметического числа для выбранного диапазона, за исключением ячеек, данные которых не отвечают условиям.

Как видим, в программе Microsoft Excel существует целый ряд инструментов, с помощью которых можно рассчитать среднее значение выбранного ряда чисел. Более того, существует функция, которая автоматически отбирает числа из диапазона, не соответствующие заранее установленному пользователем критерию. Это делает вычисления в приложении Microsoft Excel ещё более удобными для пользователей.