Арифметическим корнем n-ой степени из неотрицательного числа называется неотрицательное число, n-я степень которого равна :

Степень корня – это натуральное число, большее 1 .

3.

4.

Частные случаи:

1. Если показатель корня целое нечетное число (), то подкоренное выражение может быть отрицательным.

В случае нечетного показателя уравнение при любом действительном значении и целом ВСЕГДА имеет единственный корень:

Для корня нечетной степени справедливо тождество:

,

2. Если показатель корня целое четное число (), то подкоренное выражение не может быть отрицательным.

В случае четного показателя уравнение имеет

при единственный корнь

и, если и

Для корня четной степени справедливо тождество:

Для корня четной степени справедливы равенства :

Степенная функция, ее свойства и график.

Степенная функция и ее свойства.

Степенная функция с натуральным показателем. Функ­ция у = х n , где n - натуральное число, называется степен­ной функцией с натуральным показателем. При n = 1 получаем функцию у = х, ее свойства:

Прямая пропорциональность. Прямой пропорциональ­ностью называется функция, заданная формулой у = kx n , где число k называется коэффициентом пропорциональ­ности.

Перечислим свойства функции у = kx.

Область определения функции - множество всех действительных чисел.

y = kx - нечетная функция (f(- х) = k (- х)= - kx = -k(х)).

3) При k > 0 функция возрастает, а при k < 0 убывает на всей числовой прямой.

Гра­фик (прямая) изображен на рисунке II.1.

Рис. II.1.

При n=2 получаем функцию y = х 2 , ее свойства:

Функция у -х 2 . Перечислим свойства функции у = х 2 .

у = х 2 - четная функция (f(- х) = (- x) 2 = x 2 = f (х)).

На промежутке функция убывает.

В самом доле, если ,то - х 1 > - х 2 > 0, а потому

(-х 1) 2 > (- х 2) 2 , т. е. , а это и означает убывание функции.

Графиком функции y=х 2 является парабола. Этот график изображен на рисунке II.2.

Рис. II.2.

При n = 3 полу­чаем функцию у = х 3 , ее свойства:

Область определения функции - вся числовая прямая.

y = х 3 - нечетная функция (f (- х) = (- x) 2 = - х 3 = - f (x)).

3) Функция y = x 3 возрастает на всей числовой прямой. График функции y = x 3 изображен на рисунке. Он на­зывается кубической параболой.

График (кубическая парабола) изображен на рисунке II.3.

Рис. II.3.

Пусть n- произвольное четное натуральное число, большее двух:

n = 4, 6, 8,... . В этом случае функция у = х n обладает теми же свойствами, что и функция у = х 2 . График такой функ­ции напоминает параболу у = х 2 , только ветви графика при |n| >1 тем круче идут вверх, чем больше n, а при тем «теснее прижимаются» к оси х, чем больше n.

Пусть n - произвольное нечетное число, большее трех: n = = 5, 7, 9, ... . В этом случае функция у = х n обладает теми же свойствами, что и функция у = х 3 . График такой функции на­поминает кубическую параболу (только ветви графика тем круче идут вверх, вниз, чем больше n. Отметим также, что на промежутке (0; 1) график степенной функции у = х n тем медленнее отдаляется от оси х с ростом х, чем больше n.

Степенная функция с целым отрицательным показа­телем. Рассмотрим функцию у = х - n , где n - натуральное чис­ло. При n = 1 получаем у = х - n или у = Свойства этой функции:

График (гипербола) изоб­ражен на рисунке II.4.

Начальный уровень

Корень и его свойства. Подробная теория с примерами (2019)

Давай попробуем разобраться, что это за понятие такое «корень» и «с чем его едят». Для этого рассмотрим примеры, с которыми ты уже сталкивался на уроках (ну, или тебе с этим только предстоит столкнуться).

К примеру, перед нами уравнение. Какое решение у данного уравнения? Какие числа можно возвести в квадрат и получить при этом? Вспомнив таблицу умножения, ты легко дашь ответ: и (ведь при перемножении двух отрицательных чисел получается число положительное)! Для упрощения, математики ввели специальное понятие квадратного корня и присвоили ему специальный символ.

Дадим определение арифметическому квадратному корню.

А почему же число должно быть обязательно неотрицательным? Например, чему равен. Так-так, попробуем подобрать. Может, три? Проверим: , а не. Может, ? Опять же, проверяем: . Ну что же, не подбирается? Это и следовало ожидать - потому что нет таких чисел, которые при возведении в квадрат дают отрицательное число!
Это надо запомнить: число или выражение под знаком корня должно быть неотрицательным!

Однако самые внимательные уже наверняка заметили, что в определении сказано, что решение квадратного корня из «числа называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен ». Кто-то из вас скажет, что в самом начале мы разбирали пример, подбирали числа, которые можно возвести в квадрат и получить при этом, ответ было и, а тут говорится про какое-то «неотрицательное число»! Такое замечание вполне уместно. Здесь необходимо просто разграничить понятия квадратных уравнений и арифметического квадратного корня из числа. К примеру, не равносильно выражению.

Из следует, что, то есть или. (Читай тему « »)

А из следует, что.

Конечно, это очень путает, но это необходимо запомнить, что знаки являются результатом решения уравнения, так как при решении уравнения мы должны записать все иксы, которые при подстановке в исходное уравнение дадут верный результат. В наше квадратное уравнение подходит как, так и.

Однако, если просто извлекать квадратный корень из чего-либо, то всегда получаем один неотрицательный результат .

А теперь попробуй решить такое уравнение. Уже все не так просто и гладко, правда? Попробуй перебрать числа, может, что-то и выгорит? Начнем с самого начала - с нуля: - не подходит, двигаемся дальше - меньше трех, тоже отметаем, а что если. Проверим: - тоже не подходит, т.к. это больше трех. С отрицательными числами получится такая же история. И что же теперь делать? Неужели перебор нам ничего не дал? Совсем нет, теперь мы точно знаем, что ответом будет некоторое число между и, а также между и. Кроме того, очевидно, что решения не будут целыми числами. Более того, они не являются рациональными. И что дальше? Давай построим график функции и отметим на нем решения.

Давай попробуем обмануть систему и получить ответ с помощью калькулятора! Извлечем корень из, делов-то! Ой-ой-ой, выходит, что. Такое число никогда не кончается. Как же такое запомнить, ведь на экзамене калькулятора не будет!? Все очень просто, это и не надо запоминать, необходимо помнить (или уметь быстро прикинуть) приблизительное значение. и уже сами по себе ответы. Такие числа называются иррациональными, именно для упрощения записи таких чисел и было введено понятие квадратного корня.

Рассмотрим еще один пример для закрепления. Разберем такую задачку: тебе необходимо пересечь по диагонали квадратное поле со стороной км, сколько км тебе предстоит пройти?

Самое очевидное здесь рассмотреть отдельно треугольник и воспользоваться теоремой Пифагора: . Таким образом, . Так чему же здесь равно искомое расстояние? Очевидно, что расстояние не может быть отрицательным, получаем, что. Корень из двух приблизительно равен, но, как мы заметили раньше, -уже является полноценным ответом.

Чтобы решение примеров с корнями не вызывало проблем, необходимо их видеть и узнавать. Для этого необходимо знать, по меньшей мере, квадраты чисел от до, а также уметь их распознать. К примеру, необходимо знать, что в квадрате равно, а также, наоборот, что - это в квадрате.

Уловил, что такое квадратный корень? Тогда порешай несколько примеров.

Примеры.

Ну как, получилось? Теперь давай посмотрим такие примеры:

Ответы:

Кубический корень

Ну что же, с понятием квадратного корня вроде разобрались, теперь постараемся разобраться, что такое кубический корень и в чем их отличие.

Кубический корень из некоторого числа - это число, куб которого равен. Заметили, тут все гораздо проще? Здесь нет никаких ограничений на возможные значения как значения под знаком кубического корня, так и извлекаемого числа. То есть кубический корень можно извлечь из любого числа: .

Уловили, что такое кубический корень и как его извлекать? Тогда вперед решать примеры.

Примеры.

Ответы:

Корень - ой степени

Ну что ж, мы разобрались с понятиями квадратного и кубического корня. Теперь обобщим полученные знания понятием корень -ой степени .

Корень -ой степени из числа — это число, -ая степень которого равна, т.е.

равносильно.

Если - чётно , то:

• при отрицательном , выражение не имеет смысла (корни четной -ой степени из отрицательных чисел извлечь нельзя !);
• при неотрицательном () выражение имеет один неотрицательный корень.

Если - нечётно, то выражение имеет единственный корень при любом.

Не пугайтесь, тут действуют такие же принципы, что и с квадратными и кубическими корнями. То есть принципы, которые мы применяли при рассмотрении квадратных корней, распространяем на все корни четной -ой степени.

А те свойства, которые применяли для кубического корня, распространяются на корни нечетной -ой степени.

Ну что, стало понятней? Давайте разбираться на примерах:

Тут все более ли менее понятно: сначала смотрим - ага, степень - четная, под корнем число положительное, значит наша задача - найти такое число, четвертая степень которого даст нам. Ну, есть предположения? Может, ? Точно, !

Так, степень равна - нечетная, под корнем число отрицательное. Наша задача - найти такое число, при возведении которого в степень получается. Сразу заметить корень довольно затруднительно. Однако можно сразу сузить область поиска, правда? Во-первых, определенно искомое число отрицательно, а во-вторых, можно заметить, что - нечетное, а значит и искомое число - нечетное. Попробуй подобрать корень. Конечно же, и можно смело отметать. Может, ?

Да, это то, что мы искали! Заметь, что для упрощения расчета мы воспользовались свойствами степеней: .

Основные свойства корней

Понятно? Если нет, то рассмотрев примеры, все должно встать на свои места.

Умножение корней

Как умножать корни? На этот вопрос помогает ответить самое простое и базовое свойство:

Начнем с простенького:

Корни из получившихся чисел ровно не извлекаются? Не беда - вот вам такие примеры:

А что, если множителей не два, а больше? То же самое! Формула умножения корней работает с любым количеством множителей:

Что мы можем с ним сделать? Ну конечно, спрятать тройку под корнем, помня при этом, что тройка - корень квадратный из!

Зачем нам это нужно? Да просто, чтобы расширить наши возможности при решении примеров:

Как тебе такое свойство корней? Существенно упрощает жизнь? По мне, так точно! Только надо помнить, что вносить под знак корня четной степени мы можем только положительные числа .

Посмотрим, где это еще может пригодиться. Например, в задаче требуют сравнить два числа:

Что больше:

Сходу и не скажешь. Ну что, воспользуемся разобранным свойством внесения числа под знак корня? Тогда вперед:

Ну и, зная, что чем больше число под знаком корня, тем больше сам корень! Т.е. если, значит, . Отсюда твердо делаем вывод, что. И никто не убедит нас в обратном!

До этого мы вносили множитель под знак корня, а как его вынести? Надо просто разложить его на множители и извлечь то, что извлекается!

Можно было пойти по иному пути и разложить на другие множители:

Неплохо, да? Любой из этих подходов верен, решай как тебе удобно.

Вот, к примеру, такое выражение:

В этом примере степень четная, а если она будет нечетная? Опять же, примени свойства степени и разложи все на множители:

С этим вроде все ясно, а вот как извлечь корень из числа в степени? Вот, к примеру, такое:

Довольно просто, правда? А если степень больше двух? Следуем той же логики, используя свойства степеней:

Ну как, все понятно? Тогда вот такой пример:

Это подводные камни, о них всегда стоит помнить . Это фактически и есть отражение на примерах свойства:

при нечетных: при четных и:

Понятно? Закрепляй на примерах:

Ага, видим, корень в четной степени, отрицательное число под корнем тоже в четной степени. Ну и то же получается? А вот что:

Вот и все! Теперь вот такие примеры:

Уловил? Тогда вперед решать примеры.

Примеры.

Ответы.

Если получил ответы, то можно со спокойной душой двигаться дальше. Если нет, то давай разберемся в этих примерах:

Посмотрим на два других свойства корней:

Эти свойства обязательно надо разбирать в примерах. Ну что, займемся этим?

Разобрался? Давай закрепим.

Примеры.

Ответы.

КОРНИ И ИХ СВОЙСТВА. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

Арифметический квадратный корень

Уравнение имеет два решения: и. Это числа, квадрат которых равен.

Рассмотрим уравнение. Решим его графически. Нарисуем график функции и линию на уровне. Точки пересечения этих линий и будут решениями. Видим, что и у этого уравнения два решения - одно положительное, другое отрицательное:

Но в данном случае решения не являются целыми числами. Более того, они не являются рациональными. Для того, чтобы записать эти иррациональные решения, мы вводим специальный символ квадратного корня.

Арифметический квадратный корень — это неотрицательное число, квадрат которого равен. При выражение не определено, т.к. нет такого числа, квадрат которого равен отрицательному числу.

Корень из квадрата: .

Например, . А из следует, что или.

Еще раз обращаю внимание, это очень важно: Квадратный корень - это всегда неотрицательное число: !

Кубический корень из числа — это число, куб которого равен. Кубический корень определен для всех. Его можно извлечь из любого числа: . Как видим, он может принимать и отрицательные значения.

Корень -ой степени из числа — это число, -я степень которого равна, т.е.

Если — чётно, тогда:

• если, то корень -ой степени из a не определен.
• если, то неотрицательный корень уравнения называется арифметическим корнем -ой степени из и обозначается.

Если - нечётно, тогда уравнение имеет единственный корень при любом.

Ты заметил, что слева сверху от знака корня мы пишем его степень? Но только не для квадратного корня! Если видишь корень без степени, значит он квадратный (степени).

Примеры.

Основные свойства корней

КОРНИ И ИХ СВОЙСТВА. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Квадратным корнем (арифметическим квадратным корнем) из неотрицательного числа называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен

Свойства корней:

Арифметический корень второй степени

Определение 1

Корнем второй степени (или квадратным корнем) из числа $a$ называют такое число, которое при возведении в квадрат станет равным $a$.

Пример 1

$7^2=7 \cdot 7=49$, значит число $7$ является корнем 2-й степени из числа $49$;

$0,9^2=0,9 \cdot 0,9=0,81$, значит число $0,9$ является корнем 2-й степени из числа $0,81$;

$1^2=1 \cdot 1=1$, значит число $1$ является корнем 2-й степени из числа $1$.

Замечание 2

Проще говоря, для любого числа $a

$a=b^2$ при отрицательном $a$ неверно, т.к. $a=b^2$ не может быть отрицательным при любом значении $b$.

Можно сделать вывод, что для действительных чисел не может существовать корень 2-й степени из отрицательного числа .

Замечание 3

Т.к. $0^2=0 \cdot 0=0$, то из определения следует, что нуль – корень 2-й степени из нуля.

Определение 2

Арифметическим корнем 2-й степени из числа $a$ ($a \ge 0$) является неотрицательное число, которое при возведении в квадрат будет равно $a$.

Корни 2-й степени еще называются квадратными корнями .

Обозначают арифметический корень 2-й степени из числа $a$ как $\sqrt{a}$ или можно встретить обозначение $\sqrt{a}$. Но чаще всего для квадратного корня число $2$ – показатель корня – не указывается. Знак «$\sqrt{ }$» – знак арифметического корня 2-й степени, который еще называют «знак радикала ». Понятия «корень» и «радикал» – это названия одного и того же объекта.

Если под знаком арифметического корня стоит число, то его называют подкоренным числом , а если выражение, то – подкоренным выражением .

Читается запись $\sqrt{8}$ как «арифметический корень 2-й степени из восьми», причем слово «арифметический» зачастую не называют.

Определение 3

Согласно определению арифметического корня 2-й степени можно записать:

Для любого $a \ge 0$:

$(\sqrt{a})^2=a$,

$\sqrt{a} \ge 0$.

Мы показали разницу между корнем второй степени и арифметическим корнем второй степени. Далее будем рассматривать только корни из неотрицательных чисел и выражений, т.е. только арифметические.

Арифметический корень третьей степени

Определение 4

Арифметическим корнем 3-й степени (или кубическим корнем) из числа $a$ ($a \ge 0$) называют неотрицательное число, которое при возведении в куб станет равным $a$.

Часто слово арифметический опускают и говорят «корень 3-й степени из числа $а$».

Обозначают арифметический корень 3-й степени из $а$ как $\sqrt{a}$, знак «$\sqrt{ }$» – знак арифметического корня 3-й степени, а число $3$ в этой записи называется показателем корня . Число или выражение, которое стоит под знаком корня, называют подкоренным .

Пример 2

$\sqrt{3,5}$ – арифметический корень 3-й степени из $3,5$ или кубический корень из $3,5$;

$\sqrt{x+5}$ – арифметический корень 3-й степени из $x+5$ или кубический корень из $x+5$.

Арифметический корень n-ной степени

Определение 5

Арифметическим корнем n-й степени из числа $a \ge 0$ называют неотрицательное число, которое при возведении в $n$-ную степень станет равным $a$.

Обозначение арифметического корня степени $n$ из $a \ge 0$:

где $a$ – подкоренное число или выражение,

решим простую задачу по нахождению стороны квадрата площадь которого равна 9 см 2 . Если принимаем, что сторона квадрата А см, то составляем согласно условиям задачи уравнение:

А х А =9

А 2 =9

А 2 -9 =0

(А-3)(А+3)=0

А=3 или А=-3

Длина стороны квадрата не может быть отрицательным числом, поэтому искомая стороны квадрата 3 см.

При решении уравнения мы нашли числа 3 и -3, квадраты которых равны 9. Каждое из этих чисел называют квадратным корнем из числа 9. Неотрицательный из этих корней, то есть число 3, называют арифметическим корнем числа.

Вполне логично принять тот факт, что корень можно находит из чисел в третьей степени (кубический корень), четвертой степени и так далее. И в принципе корень - это обратная операция к возведению в степень .

Корнем n -й степени из числа α является такое число b , где b n = α .

Здесь n —натуральное число принято называть показателем корня (или степенью корня); как правило, оно больше или равно 2, потому что случай n = 1 банально.

Обозначают на письме так символ (знак корня) в правой части называется радикалом . Число α - подкоренное выражение . Для нашего примера со стороной решение могло иметь такой вид: потому что (± 3) 2 = 9 .

Мы получили положительное и отрицательное значение корня. Эта особенность усложняет расчеты. Чтобы добиться однозначность, было введено понятие арифметического корня , значение которого всегда со знаком плюс, то есть только положительное.

Корень называется арифметическим , если он извлекается из положительного числа и сам является положительным числом.

Например,

Арифметический корень заданной степени из заданного числа существуеттолько один.

Операцию расчетов принято называть «извлечением корня n -й степени» из числа α . По сути мы выполняем операцию обратную к возведению в степень , а именно — нахождение основания степени b по известному показателю n и результату возведения в степень

α = b n .

Корни второй и третьей степени используются на практике чаще остальных и поэтому им были даны специальные названия.

Квадратный корень: В этом случае показатель степени 2 принято не писать, а термин «корень» без указания степени чаще всего означает квадратный корень. Геометрически толкование, является длина стороны квадрата, площадь которого равна α .

Кубический корень: Геометрически толкованием, выступает длина ребра куба, объём которого равен α .

Свойства арифметических корней.

1) При вычислении арифметического корня из произведения , необходимо извлечь его из каждого сомножителя отдельно

Например,

2) Для расчета корня из дроби , необходимо извлечь его из числителя и знаменателя данной дроби

Например,

3) При расчете корня из степени , необходимо разделить показатель степени на показатель корня

Например,

Первые расчеты, связанные с извлечением квадратного корня, обнаружены в работах математиков древнего Вавилона и Китая, Индии, Греции (о достижениях древнего Египта в этом отношении в источниках информация отсутствует).

Математики древнего Вавилона (II тысячелетие до н. э.) применяли для извлечения квадратного корня особый численный метод. Начальное приближение для квадратного корня находили исходя из ближайшего к корню (в меньшую сторону) натурального числа n . Представив подкоренное выражение в виде: α=n 2 +r , получаем: x 0 =n+r/2n , затем применялся итеративный процесс уточнения:

Итерации в этом методе очень быстро сходятся. Для ,

Например, α=5; n=2; r=1; x 0 =9/4=2,25 и мы получаем последовательность приближений:

В заключительном значении верны все цифры, кроме последней.

Греки сформулировали проблему удвоения куба, которая сводилась к построению кубического корня с помощью циркуля и линейки. Правила вычисления любой степени из целого числа , изучены математиками Индии и арабских государств. Далее они получили широкое развитие в средневековой Европе.

Сегодня для удобства расчетов квадратных и кубических корней широко используются калькуляторы.

Корнем степени n из действительного числа a , где n - натуральное число, называется такое действительное число x , n -ая степень которого равна a .

Корень степени n из числа a обозначается символом . Согласно этому определению .

Нахождение корня n -ой степени из числа a называется извлечением корня. Число а называется подкоренным числом (выражением), n - показателем корня. При нечетном n существует корень n -ой степени для любого действительного числа a . При четном n существует корень n -ой степени только для неотрицательного числаa . Чтобы устранить двузначность корня n -ой степени из числа a , вводится понятие арифметического корня n -ой степени из числа a .

Понятие арифметического корня степени N

Если и n - натуральное число, большее 1 , то существует, и только одно, неотрицательное число х , такое, что выполняется равенство . Это число х называется арифметическим корнем n -й степени из неотрицательного числа а и обозначается . Число а называется подкоренным числом, n - показателем корня.

Итак, согласно определению запись , где , означает, во-первых, что и, во-вторых, что , т.е. .

Понятие степени с рациональным показателем

Степень с натуральным показателем: пусть а - действительное число, а n - натуральное число, большее единицы, n -й степенью числа а называют произведение n множителей, каждый из которых равен а , т.е. . Число а - основание степени, n - показатель степени. Степень с нулевым показателем: полагают по определению, если , то . Нулевая степень числа 0 не имеет смысла. Степень с отрицательным целым показателем: полагают по определению, если и n - натуральное число, то . Степень с дробным показателем: полагают по определению, если и n - натуральное число, m - целое число, то .

Операции с корнями.

Во всех нижеприведенных формулах символ означает арифметический корень (подкоренное выражение положительно).

1. Корень из произведения нескольких сомножителей равен произведению корней из этих сомножителей:

2. Корень из отношения равен отношению корней делимого и делителя:

3. При возведении корня в степень достаточно возвести в эту степень подкоренное число:

4. Если увеличить степень корня в n раз и одновременно возвести в n-ую степень подкоренное число, то значение корня не изменится:

5. Если уменьшить степень корня в n раз и одновременно извлечь корень n-ой степени из подкоренного числа, то значение корня не изменится:

Расширение понятия степени. До сих пор мы рассматривали степени только с натуральным показателем; но действия со степенями и корнями могут приводить также к отрицательным, нулевым и дробным показателям. Все эти показатели степеней требуют дополнительного определения.

Степень с отрицательным показателем. Степень некоторого числа с отрицательным (целым) показателем определяется как единица, делённая на степень того же числа с показателем, равным абсолютной величине отрицательного показателя:

Теперь формула a m: a n = a m - n может быть использована не только при m , большем, чем n , но и при m , меньшем, чем n .

П р и м е р. a 4: a 7 = a 4 - 7 = a -3 .

Если мы хотим, чтобы формула a m: a n = a m - n была справедлива при m = n , нам необходимо определение нулевой степени.

Степень с нулевым показателем. Степень любого ненулевого числа с нулевым показателем равна 1.

П р и м е р ы. 2 0 = 1, (– 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Степень с дробным показателем. Для того, чтобы возвести действительное число а в степень m / n , нужно извлечь корень n–ой степени из m-ой степени этого числа а:

О выражениях, не имеющих смысла. Есть несколько таких выражений.

Случай 1.

Где a ≠ 0 , не существует.

В самом деле, если предположить, что x – некоторое число, то в соответствии с определением операции деления имеем: a = 0· x, т.e. a = 0, что противоречит условию: a ≠ 0

Случай 2.

Любое число.

В самом деле, если предположить, что это выражение равно некоторому числу x, то согласно определению операции деления имеем: 0 = 0 · x . Но это равенство имеет место при любом числе x, что и требовалось доказать.

Действительно,

Р е ш е н и е. Рассмотрим три основных случая:

1) x = 0 – это значение не удовлетворяет данному уравнению

2) при x > 0 получаем: x / x = 1, т.e. 1 = 1, откуда следует, что x – любое число; но принимая во внимание, что внашем случае x > 0 , ответом является x > 0 ;

3) при x < 0 получаем: – x / x = 1, т.e. –1 = 1, следовательно,

в этом случае нет решения. Таким образом, x > 0.