Utasítás

Három pontot kapsz. Jelöljük őket így (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3). Feltételezzük, hogy ezek a pontok egyesek csúcsai háromszög. A feladat az oldalak egyenleteinek összeállítása - pontosabban azoknak az egyeneseknek az egyenletei, amelyeken ezek az oldalak fekszenek. Ezeknek az egyenleteknek így kell kinézniük:
y = k1*x + b1;
y = k2*x + b2;
y = k3*x + b3 Így meg kell találni a k1, k2, k3 szöget és a b1, b2, b3 eltolásokat.

Keress egy egyenest, amely átmegy az (x1, y1), (x2, y2) pontokon! Ha x1 = x2, akkor a kívánt egyenes függőleges és egyenlete x = x1. Ha y1 = y2, akkor az egyenes vízszintes és egyenlete y = y1. Általában ezek a koordináták nem vonatkoznak egymásra.

Az (x1, y1), (x2, y2) koordinátákat behelyettesítve egy egyenes általános egyenletébe, két lineáris egyenletrendszert kapunk: k1*x1 + b1 = y1;
k1*x2 + b1 = y2. Vonjuk ki az egyik egyenletet a másikból, és oldjuk meg a kapott egyenletet k1-re: k1*(x2 - x1) = y2 - y1, tehát k1 = (y2 - y1)/(x2 - x1).

Az eredeti egyenletek bármelyikében található helyettesítéssel keresse meg b1 kifejezését: ((y2 - y1)/(x2 - x1))*x1 + b1 = y1;
b1 = y1 - ((y2 - y1)/(x2 - x1))*x1. Mivel már tudjuk, hogy x2 ≠ x1, a kifejezést leegyszerűsíthetjük, ha y1-et megszorozzuk az (x2 - x1)/(x2 - x1) értékkel. Ekkor b1-re a következő kifejezést kapjuk: b1 = (x1*y2 - x2*y1)/(x2 - x1).

Ellenőrizze, hogy a megadott pontok harmada a talált egyenesen van-e. Ehhez helyettesítse be (x3, y3) a származtatott egyenletbe, és nézze meg, hogy fennáll-e az egyenlőség. Ha tehát megfigyeljük, akkor mindhárom pont egy egyenesen fekszik, és a háromszög szegmenssé degenerálódik.

A fent leírtak szerint állítson le egyenleteket az (x2, y2), (x3, y3) és (x1, y1), (x3, y3) pontokon átmenő egyenesekre.

A háromszög oldalaira a csúcsok koordinátái által adott egyenletek végső formája: (1) y = ((y2 - y1)*x + (x1*y2 - x2*y1))/(x2 - x1 );
(2) y = ((y3 - y2)*x + (x2*y3 - x3*y2))/(x3 - x2);
(3) y = ((y3 - y1)*x + (x1*y3 - x3*y1))/(x3 - x1).

Megtalálni egyenletek a felek háromszög, mindenekelőtt meg kell próbálnunk megoldani azt a kérdést, hogyan találjuk meg az egyenes egyenletét egy síkon, ha s(m, n) irányítóvektora és az egyeneshez tartozó М0(x0, y0) pont ismert.

Utasítás

Vegyünk egy tetszőleges (változó, lebegő) M(x, y) pontot, és készítsünk egy M0M =(x-x0, y-y0) vektort (írjuk fel és M0M(x-x0, y-y0)), ami nyilvánvalóan kollineáris (párhuzamos ) s-hez. Ekkor megállapíthatjuk, hogy ezeknek a vektoroknak a koordinátái arányosak, így összeállíthatjuk a kanonikus egyenest: (x-x0)/m = (y-y0)/n. Ezt az arányt fogják használni a probléma megoldásához.

Minden további műveletet a módszer alapján határoznak meg .1. mód. A háromszöget a három csúcsának koordinátái adják meg, ami az iskolai geometriában meghatározza három csúcsának hosszát. a felek(lásd 1. ábra). Azaz az M1(x1, y1), M2(x2, y2), M3(x3, y3) pontok adottak a feltételben. Megfelelnek a sugárvektoruknak) OM1, 0M2 és OM3 a pontokkal megegyező koordinátákkal. Megszerzéséért egyenletek a felek s M1M2 megköveteli az M1M2=OM2 - OM1=M1M2(x2-x1, y2-y1) irányvektorát és bármelyik M1 vagy M2 pontot (itt egy alacsonyabb indexű pontot veszünk).

Így a felek s M1M2 az (x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1) egyenes kanonikus egyenlete. Pusztán induktív módon eljárva írhatunk egyenletek a maradék a felek.Azért a felek s М2М3: (x-x2)/(x3-x2)=(y-y2)/(y3-y2). Mert a felek s М1М3: (x-x1)/(x3-x1)=(y-y1)/(y3-y1).

2. út. A háromszöget két pont adja (ugyanaz, mint M1(x1, y1) és M2(x2, y2) előtt), valamint a másik kettő irányának vektorai a felek. Mert a felek s М2М3: p^0(m1, n1). M1M3 esetén: q^0(m2, n2). Ezért a a felek s М1М2 ugyanaz, mint az első módszerben: (x-x1) / (x2-x1) \u003d (y-y1) / (y2-y1).

Mert a felek s М2М3 a kanonikus pontjaként (x0, y0). egyenletek(x1, y1) és az irányvektor p^0(m1, n1). Mert a felek s M1M3 pontként (x0, y0) felvesszük (x2, y2), az irányvektor q^0(m2, n2). Így M2M3 esetén: (x-x1)/m1=(y-y1)/n1 egyenlet M1M3 esetén: (x-x2)/m2=(y-y2)/n2.

Kapcsolódó videók

3. tipp: Hogyan találjuk meg a háromszög magasságát a pontok koordinátái alapján

A magasságot egyenes szakasznak nevezzük, amely összeköti az ábra tetejét az ellenkező oldallal. Ennek a szakasznak feltétlenül merőlegesnek kell lennie az oldalra, így minden csúcsból csak egy húzható magasság. Mivel ennek az ábrának három csúcsa van, a magassága ugyanannyi. Ha a háromszöget a csúcsok koordinátái adják meg, akkor az egyes magasságok hosszát ki lehet számítani, például a területmeghatározó képlet és az oldalak hosszának kiszámítása segítségével.

Utasítás

Kezdje az oldalak hosszának kiszámításával háromszög. Kijelöl koordináták a következő ábrák: A(X1,Y1,Z1), B(X2,Y2,Z2) és C(X3,Y3,Z3). Ezután kiszámíthatja az AB oldal hosszát az AB = √((X1-X2)² + (Y1-Y2)² + (Z1-Z2)²) képlettel. A másik két oldal esetében ezek így fognak kinézni: BC = √((X2-X3)² + (Y2-Y3)² + (Z2-Z3)²) és AC = √((X1-X3)² + ( Y1-Y3)2 + (Z1-Z3)2). Például azért háromszög A(3,5,7), B(16,14,19) és C(1,2,13) ​​koordinátákkal az AB oldal hossza √((3-16)² + (5-14) ² + (7 -19)²) = √(-13² + (-9²) + (-12²)) = √(169 + 81 + 144) = √394 ≈ 19,85. A BC és AC azonos módon számított oldalhossza √(15² + 12² + 6²) = √405 ≈ 20,12 és √(2² + 3² + (-6²)) = √49 = 7.

A terület kiszámításához elegendő az előző lépésben kapott három oldal hosszának ismerete háromszög(S) Heron képletével: S = ¼ * √((AB+BC+CA) * (BC+CA-AB) * (AB+CA-BC) * (AB+BC-CA)). Például a koordinátákból kapott értékek helyettesítése ebben a képletben háromszög-minta az előző lépésből, ez a következő értéket adja: S = ¼*√((19.85+20.12+7) * (20.12+7-19.85) * (19.85+7-20.12 ) * (19.85+20.12-7) ) = ¼*√(46,97 * 7,27 * 6,73 * 32,97) ≈ ¼*√75768,55 ≈ ¼*275,26 = 68,815 .

Terület alapján háromszög Az előző lépésben kiszámított és a második lépésben kapott oldalhosszak alapján számítsa ki az egyes oldalak magasságait. Mivel a terület egyenlő a magasság és az oldal hosszúságának szorzatának felével, a magasság meghatározásához osszuk el a terület kétszeresét a kívánt oldal hosszával: H \u003d 2 * S / a. A fent használt példában az AB oldalra süllyesztett magasság 2 * 68,815 / 16,09 ≈ 8,55, a BC oldal magassága 2 * 68,815 / 20,12 ≈ 6,84 lesz, és az AC oldalra ez az érték egyenlő lesz 2 *68,815/7 ≈ 19,66.

Források:

• adott pontok megtalálják a háromszög területét

4. tanács: Hogyan találjuk meg az oldalak egyenleteit a háromszög csúcsainak koordinátái alapján

Az analitikus geometriában egy síkon lévő háromszög adható meg derékszögű koordinátarendszerben. A csúcsok koordinátáinak ismeretében felírhatja a háromszög oldalainak egyenleteit. Ezek három egyenes egyenletei lesznek, amelyek metszve egy ábrát alkotnak.

1. Az AB és BC oldalak és meredekségeik egyenlete.
A feladat megadja azoknak a pontoknak a koordinátáit, amelyeken ezek az egyenesek áthaladnak, ezért a két megadott ponton átmenő egyenes egyenletét fogjuk használni $$\frac(x-x_1)(x_2-x_1)=\frac(y-y_1 )(y_2-y_1)$ $ behelyettesít, és kapja meg az egyenleteket
az AB egyenes egyenlete $$\frac(x+6)(6+6)=\frac(y-8)(-1-8) => y = -\frac(3)(4)x + \frac( 7 )(2)$$ az AB egyenes meredeksége \(k_(AB) = -\frac(3)(4)\)
a BC egyenes egyenlete $$\frac(x-4)(6-4)=\frac(y-13)(-1-13) => y = -7x + 41$$ a BC egyenes meredeksége \(k_ (Kr.e.) = -7\)

2. B szög radiánban két tizedesjegyig
B szög - az AB és BC egyenesek közötti szög, amelyet a következő képlettel számítunk ki: $$tg\phi=|\frac(k_2-k_1)(1+k_2*k_1)|$$helyettesítsük ezeknek az egyeneseknek a meredekségi együtthatóit, és kapjuk $$tg\ phi=|\frac(-7+\frac(3)(4))(1+7*\frac(3)(4))| = 1 => \phi = \frac(\pi)(4) \körülbelül 0,79 $$
3. AB oldal hossza
Az AB oldal hosszát a pontok közötti távolságként számítjuk ki, és egyenlő: \(d = \sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)\) => $$d_(AB ) = \sqrt((6+ 6)^2+(-1-8)^2) = 15$$
4. A CD magasságának és hosszának egyenlete.
A magasságegyenletet egy adott С(4;13) ponton adott irányban átmenő egyenes képletével fogjuk megtalálni - az AB egyenesre merőlegesen a \(y-y_0=k(x-x_0) képlet szerint )\). Határozzuk meg a \(k_(CD)\) magasság meredekségét a merőleges egyenesek \(k_1=-\frac(1)(k_2)\) tulajdonságával, kapjuk $$k_(CD)= -\frac(1) (k_(AB) ) = -\frac(1)(-\frac(3)(4)) = \frac(4)(3)$$ (x-4) => y = \frac(4)( 3)x+\frac(23)(3)$$ = \frac(Ax_0+By_0+C)(\sqrt(A^2+B^2))$$ a számlálóban az AB egyenes egyenlete, mi hozza ezt a formába \(y = -\frac(3)(4)x + \frac(7)(2) => 4y+3x-14 = 0\) , a kapott egyenletet és a pontkoordinátákat helyettesítse be a képletbe $$d = \frac(4*13+3*4-14)(\sqrt(4^2+3^2)) = \frac(50)(5) =10$$

5. Az AE medián és a K pont koordinátáinak egyenlete, ennek a mediánnak a metszéspontja a CD magassággal.
A medián egyenletet egy adott A(-6;8) és E ponton átmenő egyenes egyenleteként fogjuk keresni, ahol az E pont a B és C pontok felezőpontja, koordinátáit pedig a következő képlettel találjuk meg: \( E(\frac(x_2+x_1) (2);\frac(y_2+y_1)(2))\) helyettesíti a pontok koordinátáit \(E(\frac(6+4)(2);\frac( -1+13)(2))\) = > \(E(5; 6)\), akkor a medián AE egyenlete $$\frac(x+6)(5+6)=\frac(y -8)(6-8) => y = - \frac(2)(11)x + \frac(76)(11)$$Keresse meg a magasságok és a medián metszéspontjának koordinátáit, pl. keresse meg a közös pontjukat. Ehhez állítsa össze a $$\begin(cases)y = -\frac(2)(11)x + \frac(76)(11)\\y = \frac(4)( 3)x+ \frac(23)(3)\end(esetek)=>\begin(cases)11y = -2x +76\\3y = 4x+23\end(esetek)=>$$$$\begin( esetek)22y = -4x +152\\3y = 4x+23\end(esetek)=> \begin(esetek)25y =175\\3y = 4x+23\end(esetek)=> $$$$\begin (esetek) y =7\\ x=-\frac(1)(2)\end(esetek)$$ Metszéspont koordináták \(K(-\frac(1)(2);7)\)

6. Az AB oldallal párhuzamosan a K ponton átmenő egyenes egyenlete.
Ha az egyenesek párhuzamosak, akkor meredekségeik egyenlőek, azaz. \(k_(AB)=k_(K) = -\frac(3)(4)\) , a \(K(-\frac(1)(2);7)\) pont koordinátái is ismertek , azaz . egy egyenes egyenletének megtalálásához alkalmazzuk az adott ponton adott irányban átmenő egyenes egyenletének képletét \(y - y_0=k(x-x_0)\), behelyettesítjük az adatokat és megkapjuk $$y - 7= -\frac(3)(4) (x-\frac(1)(2)) => y = -\frac(3)(4)x + \frac(53)(8) $$

8. Az A pontra szimmetrikus M pont koordinátái a CD egyenesre nézve.
Az M pont az AB egyenesen fekszik, mert CD - magasság erre az oldalra. Keresse meg CD és AB metszéspontját, ehhez oldja meg a $$\begin(cases)y = \frac(4)(3)x+\frac(23)(3)\\y = -\ egyenletrendszert frac(3)(4) x + \frac(7)(2)\end(esetek) =>\begin(esetek)3y = 4x+23\\4y =-3x + 14\end(esetek) => $ $$$\begin(esetek )12y = 16x+92\\12y =-9x + 42\end(esetek) =>
\begin(esetek)0= 25x+50\\12y =-9x + 42\end(esetek) => $$$$\begin(cases)x=-2\\y=5 \end(esetek)$$ Pontkoordináták D(-2;5). Az AD=DK feltétellel ezt a pontok közötti távolságot a \(d = \sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)\ Pitagorasz-képlet határozza meg, ahol AD ​​és DK a hipotenuszok egyenlő derékszögű háromszögekből, és \(Δx =x_2-x_1\) és \(Δy=y_2-y_1\) ezeknek a háromszögeknek a lábai, azaz. keresse meg a lábakat és keresse meg az M pont koordinátáit. \(Δx=x_D-x_A = -2+6=4\), és \(Δy=y_D-y_A = 5-8=-3\), majd a koordinátákat az M pont egyenlő \ (x_M-x_D = Δx => x_D +Δx =-2+4=2 \), és \(y_M-y_D = Δy => y_D +Δy =5-3=2 \ ), megkapta, hogy a \( M(2;2)\) pont koordinátái

Az 1-20. feladatokban az ABC háromszög csúcsai adottak.
Keresse meg: 1) az AB oldal hosszát; 2) az AB és AC oldalak egyenletei és meredekségei; 3) A belső szög radiánban, 0,01 pontossággal; 4) CD magassági egyenlet és hossza; 5) a kör egyenlete, amelynek CD magassága az átmérő; 6) lineáris egyenlőtlenségek rendszere, amely meghatározza az ABC háromszöget.

A háromszög oldalainak hossza:
|AB| = 15
|AC| = 11,18
|BC| = 14,14
d távolság az M ponttól: d = 10
Adott a háromszög csúcsainak koordinátái: A(-5,2), B(7,-7), C(5,7).
2) A háromszög oldalainak hossza
Az M 1 (x 1; y 1) és M 2 (x 2; y 2) pontok közötti d távolságot a következő képlet határozza meg:

8) Egyenes egyenlet
Az A 1 (x 1; y 1) és A 2 (x 2; y 2) pontokon átmenő egyenest a következő egyenletek ábrázolják:

Az AB egyenes egyenlete


vagy

vagy
y = -3/4 x -7/4 vagy 4y + 3x +7 = 0
Vonal AC egyenlet
Egy egyenes kanonikus egyenlete:

vagy

vagy
y = 1/2 x + 9/2 vagy 2y -x - 9 = 0
BC egyenlet
Egy egyenes kanonikus egyenlete:

vagy

vagy
y = -7x + 42 vagy y + 7x - 42 = 0
3) Az egyenesek közötti szög
AB:y = -3 / 4 x -7 / 4 egyenes egyenlet
Egyenes egyenlet AC:y = 1/2 x + 9/2
Az y \u003d k 1 x + b 1 és y 2 \u003d k 2 x + b 2 meredekségi együtthatójú egyenletek által megadott két egyenes közötti φ szög a következő képlettel számítható ki:

Ezen egyenesek lejtése -3/4 és 1/2. A képletet használjuk, és annak jobb oldali modulját vesszük:

tan φ = 2
φ = arctan(2) = 63,44 0 vagy 1,107 rad.
9) Magasságegyenlet a C csúcson keresztül
Az N 0 (x 0; y 0) ponton átmenő és az Ax + By + C = 0 egyenesre merőleges egyenesnek van egy irányvektora (A; B), és ezért az egyenletek ábrázolják:



Ez az egyenlet más módon is megtalálható. Ehhez keressük meg az AB egyenes k 1 meredekségét.
AB egyenlet: y = -3 / 4 x -7 / 4, azaz. k 1 \u003d -3/4
Határozzuk meg a merőleges k meredekségét két egyenes merőlegességi feltételéből: k 1 *k = -1.
Ha k 1 helyett ennek az egyenesnek a meredekségét helyettesítjük, a következőt kapjuk:
-3/4 k = -1, innen k = 4/3
Mivel a merőleges átmegy a C(5,7) ponton, és k = 4 / 3, az egyenletét a következő formában fogjuk keresni: y-y 0 = k(x-x 0).
Az x 0 \u003d 5, k \u003d 4/3, y 0 \u003d 7 behelyettesítésével a következőt kapjuk:
y-7 = 4/3 (x-5)
vagy
y = 4/3 x + 1/3 vagy 3y -4x - 1 = 0
Keressük meg az AB egyenes metszéspontját:
Van egy két egyenletrendszerünk:
4 év + 3x +7 = 0
3 év -4x - 1 = 0
Fejezzük ki y-t az első egyenletből, és cseréljük be a második egyenletbe.
Kapunk:
x=-1
y=-1
D(-1;-1)
9) A C csúcsból húzott háromszög magasságának hossza
A d távolság az M 1 (x 1; y 1) ponttól az Ax + By + C \u003d 0 egyenesig egyenlő a mennyiség abszolút értékével:

Határozza meg a C(5;7) pont és az AB egyenes közötti távolságot (4y + 3x +7 = 0)


A magasság hosszát egy másik képlettel is kiszámíthatjuk, mint a C(5;7) pont és a D(-1;-1) pont távolságát.
A két pont távolságát a következő képlet fejezi ki koordinátákkal:

5) a kör egyenlete, amelynek CD magassága az átmérő;
Az E(a;b) pont középpontjában álló R sugarú kör egyenlete a következő:
(x-a) 2 + (y-b) 2 = R 2
Mivel a CD a kívánt kör átmérője, ennek E középpontja a CD szakasz felezőpontja. A szegmens felezésére szolgáló képleteket használva a következőket kapjuk:


Ezért E (2; 3) és R = CD / 2 \u003d 5. A képlet segítségével megkapjuk a kívánt kör egyenletét: (x-2) 2 + (y-3) 2 \u003d 25

6) lineáris egyenlőtlenségek rendszere, amely meghatározza az ABC háromszöget.
AB egyenes egyenlet: y = -3 / 4 x -7 / 4
AC egyenlet: y = 1/2 x + 9/2
Egyenes BC egyenlet: y = -7x + 42

Hogyan lehet megtanulni megoldani az analitikus geometriai feladatokat?
Tipikus probléma egy síkon lévő háromszöggel

Ez a lecke az Egyenlítő megközelítéséről készült, a sík geometriája és a tér geometriája között. Jelenleg szükség van a felhalmozott információk rendszerezésére és egy nagyon fontos kérdés megválaszolására: hogyan lehet megtanulni megoldani az analitikus geometriai feladatokat? A nehézség abban rejlik, hogy a geometriában végtelenül sok probléma van, és egyetlen tankönyv sem tartalmazhatja a sok és sokféle példát. Nem függvény deriváltja öt megkülönböztetési szabállyal, egy táblázattal és néhány technikával…

Van megoldás! Nem mondom ki hangosan, hogy valamiféle grandiózus technikát fejlesztettem ki, azonban véleményem szerint létezik egy olyan hatékony megközelítés a vizsgált problémára, amely lehetővé teszi, hogy akár egy teljes vízforralóval is jó és kiváló eredményeket érjünk el. Legalábbis a geometriai feladatok megoldásának általános algoritmusa nagyon világosan formálódott a fejemben.

AMIT TUDNI KELL ÉS KÉPESEN KELL
geometriai problémák sikeres megoldásához?

Ezt nem lehet megúszni – ahhoz, hogy ne piszkálja véletlenszerűen a gombokat az orrával, el kell sajátítania az analitikus geometria alapjait. Ezért, ha most kezdte el tanulni a geometriát, vagy teljesen elfelejtette, kezdje a leckével Vektorok bábokhoz . A vektorokon és a velük végzett műveleteken kívül ismernie kell a síkgeometria alapfogalmait, különösen, egyenlet egy síkban és . A tér geometriáját cikkek ábrázolják Sík egyenlet , Egyenes egyenletei a térben , Alapfeladatok egyenesen és síkonés néhány más leckét. Az íves vonalak és a másodrendű térfelületek kissé eltávolodnak egymástól, és nincs is velük olyan sok konkrét probléma.

Tegyük fel, hogy egy diák már rendelkezik elemi ismeretekkel és készségekkel az analitikus geometria legegyszerűbb problémáinak megoldásában. De ez így történik: elolvasod a probléma feltételét, és... le akarod zárni az egészet, a távolabbi sarokba dobod és elfelejted, mint egy rémálom. Ráadásul ez alapvetően nem a képzettséged szintjén múlik, időnként magam is találkozom olyan feladatokkal, amelyekre nem kézenfekvő a megoldás. Hogyan kell eljárni ilyen esetekben? Nem kell félned olyan feladattól, amit nem értesz!

Először, értékre kell állítani "síkbeli" vagy térbeli probléma? Például, ha a feltételben két koordinátájú vektorok jelennek meg, akkor természetesen ez a sík geometriája. És ha a tanár megrakta a hálás hallgatót egy piramissal, akkor egyértelműen ott van a tér geometriája. Már az első lépés eredménye is egész jó, mert hatalmas mennyiségű, ehhez a feladathoz felesleges információt sikerült levágnunk!

Második. A feltétel általában valamilyen geometriai alakzatra vonatkozik. Valóban, sétáljon végig szülőföldje egyetemének folyosóin, és sok aggódó arcot fog látni.

A "lapos" feladatoknál, nem beszélve a nyilvánvaló pontokról és vonalakról, a legnépszerűbb figura a háromszög. Nagyon részletesen elemezzük. Ezután következik a paralelogramma, a téglalap, négyzet, rombusz, kör és egyéb alakzatok pedig sokkal ritkábban fordulnak elő.

A térbeli feladatokban ugyanazok a lapos figurák + maguk a síkok és a közös háromszög alakú, paralelepipedonos piramisok repülhetnek.

Második kérdés - Mindent tudsz erről a figuráról? Tegyük fel, hogy a feltétel egy egyenlő szárú háromszögről szól, és nagyon homályosan emlékszel, hogy milyen háromszögről van szó. Kinyitunk egy iskolai tankönyvet, és egy egyenlő szárú háromszögről olvasunk. Mit tegyek... az orvos azt mondta, hogy rombusz, tehát rombusz. Az analitikus geometria analitikus geometria, de a feladat segít megoldani maguknak az ábráknak a geometriai tulajdonságait az iskolai tananyagból ismertek számunkra. Ha nem tudja, mennyi egy háromszög szögeinek összege, akkor sokáig szenvedhet.

Harmadik. MINDIG próbáld követni a tervet(huzaton / tiszta / mentálisan), még akkor is, ha ezt a feltétel nem kívánja meg. A "lapos" feladatoknál maga Eukleidész parancsolta meg, hogy egy vonalzót vegyen ceruzával a kezébe - és nemcsak azért, hogy megértse az állapotot, hanem az önellenőrzés céljából is. Ebben az esetben a legkényelmesebb skála az 1 egység = 1 cm (2 tetrad cella). A hanyag diákokról és a sírjukban forgó matematikusokról ne is beszéljünk – ilyen feladatokban szinte lehetetlen hibázni. A térbeli feladatokhoz vázlatos rajzot készítünk, amely az állapot elemzését is segíti.

Egy rajz vagy sematikus rajz gyakran azonnal lehetővé teszi a probléma megoldásának útját. Természetesen ehhez ismerni kell a geometria alapjait és be kell vágni a geometriai formák tulajdonságait (lásd az előző bekezdést).

negyedik. Megoldási algoritmus kidolgozása. Sok geometriai feladat többlépéses, ezért nagyon kényelmes a megoldást és annak kialakítását pontokra bontani. Gyakran az algoritmus azonnal eszébe jut, miután elolvasta a feltételt vagy befejezte a rajzot. Nehézségek esetén a probléma KÉRDÉSÉVEL kezdjük. Például az "egyenes építése szükséges ..." feltétel szerint. Itt a leglogikusabb kérdés: „Mit elég tudni ennek a vonalnak a felépítéséhez?”. Tegyük fel, hogy "tudjuk a pontot, ismernünk kell az irányvektort." Feltesszük a következő kérdést: „Hogyan találjuk meg ezt az irányvektort? Ahol?" stb.

Néha van egy "dugó" - a feladat nincs megoldva, és ennyi. A dugó okai a következők lehetnek:

- Komoly hiányosság az elemi tudásban. Más szóval, nem tud vagy (és) nem lát valami nagyon egyszerű dolgot.

- A geometriai formák tulajdonságainak nem ismerete.

- Nehéz volt a feladat. Igen, előfordul. Nincs értelme órákig gőzölni és zsebkendőbe gyűjteni a könnyeket. Kérjen tanácsot tanárától, diáktársaitól, vagy tegyen fel kérdést a fórumon. Sőt, jobb, ha konkretizálja a kijelentését - a megoldás azon részével kapcsolatban, amelyet nem ért. Kiáltás "Hogyan oldjuk meg a problémát?" nem néz ki jól... és mindenekelőtt a saját hírneved miatt.

Ötödik szakasz. Megoldunk-ellenőrizzük, megoldjuk-ellenőrizzük, megoldjuk-ellenőrizzük-válaszolunk. Célszerű a feladat minden elemét ellenőrizni közvetlenül miután elkészült. Ez segít azonnal megtalálni a hibát. Természetesen senki sem tiltja a teljes probléma gyors megoldását, de fennáll annak a veszélye, hogy mindent újra átírnak (gyakran több oldalt).

Íme, talán az összes fő szempont, amelyekhez tanácsos a problémák megoldása során támaszkodni.

Az óra gyakorlati részét a geometria ábrázolja egy síkon. Csak két példa lesz, de nem tűnik elégnek =)

Menjünk végig annak az algoritmusnak a szálán, amelyet az imént áttekintettem kis tudományos munkámban:

1. példa

Adott egy paralelogramma három csúcsa. Keresse meg a tetejét.

Kezdjük kitalálni:

Első lépés: nyilvánvaló, hogy „lapos” problémáról beszélünk.

második lépés: A feladat egy paralelogrammával kapcsolatos. Mindenki emlékszik egy ilyen paralelogramma alakra? Nem kell mosolyogni, nagyon sokan 30-40-50 évesen vagy annál idősebben tanulnak, így az egyszerű tények is kitörölhetők a memóriából. A paralelogramma definíciója a lecke 3. példájában található A vektorok lineáris (nem) függése. Vektoros alapon .

Harmadik lépés: Készítsünk egy rajzot, amelyen három ismert csúcsot jelölünk. Vicces, hogy könnyű azonnal felépíteni a kívánt pontot:

Konstruálni persze jó, de a megoldást analitikusan kell formalizálni.

Negyedik lépés: Megoldási algoritmus kidolgozása. Az első dolog, ami eszünkbe jut, az az, hogy egy pont megtalálható egyenesek metszéspontjaként. Egyenleteik számunkra ismeretlenek, ezért ezzel a kérdéssel kell foglalkoznunk:

1) A szemközti oldalak párhuzamosak. Pontok szerint keresse meg ezen oldalak irányvektorát. Ez a legegyszerűbb feladat, amelyről a leckében szó volt. Vektorok bábokhoz .

Jegyzet: helyesebb az „oldalt tartalmazó egyenes egyenlete”, de a továbbiakban a rövidség kedvéért az „oldal egyenlete”, „az oldal irányítóvektora” stb. kifejezéseket használom.

3) A szemközti oldalak párhuzamosak. A pontokból megtaláljuk ezen oldalak irányvektorát.

4) Állítsa össze az egyenes egyenletét egy pontból és egy irányvektorból!

Az 1-2. és 3-4. bekezdésben tulajdonképpen kétszer oldottuk meg ugyanazt a problémát, egyébként a lecke 3. példája elemzi. A legegyszerűbb feladatok egy síkban lévő egyenessel . Lehetett hosszabb utat is megtenni - először keresse meg a vonalak egyenleteit, és csak ezután „húzza ki” belőlük az irányvektorokat.

5) Most már ismertek az egyenesek egyenletei. Marad a megfelelő lineáris egyenletrendszer összeállítása és megoldása (lásd ugyanezen lecke 4. és 5. példáját). A legegyszerűbb feladatok egy síkban lévő egyenessel ).

Pont találva.

A feladat meglehetősen egyszerű és a megoldása kézenfekvő, de van rövidebb út is!

A megoldás második módja:

A paralelogramma átlóit metszéspontjuk felezi. Megjelöltem a pontot, de hogy ne legyen összevissza a rajz, nem magam rajzoltam az átlókat.

Állítsa össze az oldal egyenletét pontok szerint! :

A gondolati vagy vázlatos ellenőrzéshez helyettesítse be az eredményül kapott egyenlet minden pontjának koordinátáit. Most keressük meg a lejtőt. Ehhez átírjuk az általános egyenletet meredekségű egyenlet formájában:

Tehát a meredekség tényezője:

Hasonlóképpen megtaláljuk az oldalak egyenleteit. Nem látom sok értelmét ugyanazt a festést, ezért azonnal közlöm a kész eredményt:

2) Határozza meg az oldal hosszát! Ez a leckében tárgyalt legegyszerűbb feladat. Vektorok bábokhoz . Pontokért képletet használjuk:

Ugyanezt a képletet használva könnyű megtalálni a többi oldal hosszát. Az ellenőrzés nagyon gyorsan elvégezhető egy normál vonalzóval.

A képletet használjuk .

Keressük a vektorokat:

Ilyen módon:

Egyébként útközben megtaláltuk az oldalak hosszát.

Ennek eredményeként:

Nos, úgy tűnik, igaz, a meggyőzés kedvéért szögmérőt rögzíthetsz a sarokba.

Figyelem! Ne keverje össze a háromszög szögét az egyenesek közötti szöggel. A háromszög szöge lehet tompa, de az egyenesek közötti szög nem (lásd a cikk utolsó bekezdését A legegyszerűbb feladatok egy síkban lévő egyenessel ). A fenti lecke képletei azonban felhasználhatók egy háromszög szögének meghatározására is, de a durvaság az, hogy ezek a képletek mindig hegyesszöget adnak meg. Segítségükkel vázlaton megoldottam ezt a problémát, és meg is lett az eredmény. A tiszta példányra pedig további kifogásokat kellene felírnod.

4) Írja fel az egyenessel párhuzamos ponton átmenő egyenes egyenletét!

A lecke 2. számú példájában részletesen tárgyalt standard feladat A legegyszerűbb feladatok egy síkban lévő egyenessel . Az egyenes általános egyenletéből húzza ki az irányvektort. Állítsuk össze az egyenes egyenletét egy pontból és egy irányítóvektorból:

Hogyan lehet megtalálni a háromszög magasságát?

5) Készítsük el a magassági egyenletet, és megtudjuk a hosszát.

A szigorú definíciók elől nincs menekvés, így egy iskolai tankönyvből kell lopni:

háromszög magassága a háromszög csúcsából a szemközti oldalt tartalmazó egyenesre húzott merőlegesnek nevezzük.

Azaz meg kell alkotni a csúcsból oldalra húzott merőleges egyenletét. Ezt a feladatot a lecke 6., 7. példája tárgyalja A legegyszerűbb feladatok egy síkban lévő egyenessel . Az egyenletből távolítsa el a normál vektort. Összeállítjuk a pont magassági egyenletét és az irányvektort:

Felhívjuk figyelmét, hogy nem ismerjük a pont koordinátáit.

Néha a magassági egyenletet a merőleges egyenesek lejtésének arányából találjuk meg: . Ebben az esetben akkor: . Összeállítjuk a magassági egyenletet egy ponthoz és egy lejtőhöz (lásd a lecke elejét Egyenlet egy síkon ):

A magasság hosszát kétféleképpen lehet megállapítani.

Van egy körforgalom:

a) megtalálni - a magasság és az oldal metszéspontja;
b) keresse meg a szakasz hosszát két ismert ponttal.

De az osztályban A legegyszerűbb feladatok egy síkban lévő egyenessel egy kényelmes képletet vettek figyelembe a pont és az egyenes távolságára. A lényeg ismert: , az egyenes egyenlete is ismert: , Ilyen módon:

6) Számítsa ki a háromszög területét! A térben a háromszög területét hagyományosan a segítségével számítják ki vektorok keresztszorzata , de itt egy háromszög adott a síkban. Az iskolai képletet használjuk:
Egy háromszög területe az alapja szorzata a magassága fele.

Ebben az esetben:

Hogyan találjuk meg a háromszög mediánját?

7) Állítsa össze a medián egyenletet!

Háromszög medián A háromszög csúcsát a szemközti oldal felezőpontjával összekötő szakaszt nevezzük.

a) Keressen egy pontot - az oldal felezőpontját. Mi használjuk felezőpont koordináta képletek . A szakasz végeinek koordinátái ismertek: , akkor a középpont koordinátái:

Ilyen módon:

A medián egyenletet pontok alapján állítjuk össze :

Az egyenlet ellenőrzéséhez be kell cserélni a pontok koordinátáit.

8) Keresse meg a magasság és a medián metszéspontját! Azt hiszem, már mindenki megtanulta, hogyan kell a műkorcsolya ezen elemét elesés nélkül végrehajtani: