Adott az x diszkrét valószínűségi változó. Eloszlási törvények diszkrét valószínűségi változókra

Véletlen változó Változónak nevezzük azt a változót, amely minden teszt eredményeként véletlenszerű okokból egy korábban ismeretlen értéket vesz fel. A véletlenszerű változókat nagy latin betűkkel jelöljük: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Típusuk szerint a valószínűségi változók diszkrétÉs folyamatos.

Diszkrét valószínűségi változó- ez egy valószínűségi változó, amelynek értéke nem lehet több, mint megszámlálható, azaz véges vagy megszámlálható. A megszámlálhatóság alatt azt értjük, hogy egy valószínűségi változó értékei számozhatók.

1. példa . Íme néhány példa a diszkrét valószínűségi változókra:

a) a célponton elért találatok száma $n$ lövéssel, itt a lehetséges értékek: $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

b) az érme feldobásakor elejtett emblémák száma, itt a lehetséges értékek: $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

c) a fedélzetre érkező hajók száma (megszámlálható értékkészlet).

d) az alközpontba érkező hívások száma (megszámlálható értékkészlet).

1. Egy diszkrét valószínűségi változó valószínűségi eloszlásának törvénye.

Egy diszkrét $X$ valószínűségi változó $x_1,\dots ,\ x_n$ értékeket vehet fel $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$ valószínűségekkel. Ezen értékek és valószínűségeik közötti megfelelést nevezzük diszkrét valószínűségi változó eloszlásának törvénye. Ezt a megfeleltetést általában egy táblázat segítségével adjuk meg, amelynek első sora a $x_1,\dots ,\ x_n$ értékeket jelöli, a második sor pedig a $p_1,\dots ,\ p_n$ valószínűségeket tartalmazza. ezeket az értékeket.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end(tömb)$

2. példa . Legyen a $X$ valószínűségi változó a kockafeldobáskor dobott pontok száma. Egy ilyen $X$ valószínűségi változó a következő értékeket veheti fel: $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Mindezen értékek valószínűsége 1/6 $. Ekkor a $X$ valószínűségi változó valószínűségi eloszlásának törvénye:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end(tömb)$

Megjegyzés. Mivel egy diszkrét $X$ valószínűségi változó eloszlási törvényében a $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ események egy teljes eseménycsoportot alkotnak, ezért a valószínűségek összegének egyenlőnek kell lennie eggyel, azaz $ \sum(p_i)=1$.

2. Diszkrét valószínűségi változó matematikai elvárása.

Valószínűségi változó elvárása„központi” jelentését határozza meg. Egy diszkrét valószínűségi változó esetén a matematikai elvárást a $x_1,\dots ,\ x_n$ értékek és az ezeknek az értékeknek megfelelő $p_1,\pontok ,\ p_n$ valószínűségek szorzataként számítjuk ki, azaz : $M\left(X\right)=\sum ^n_(i=1)(p_ix_i)$. Az angol nyelvű irodalomban egy másik $E\left(X\right)$ jelölést használnak.

A matematikai várakozás tulajdonságai$M\bal(X\jobb)$:

$M\left(X\right)$ a $X$ valószínűségi változó legkisebb és legnagyobb értéke között van.
Egy konstans matematikai elvárása megegyezik magával az állandóval, azaz. $M\left(C\right)=C$.
A konstans tényező kivehető a matematikai elvárás előjeléből: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
A valószínűségi változók összegének matematikai elvárása megegyezik a matematikai elvárásaik összegével: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
A független valószínűségi változók szorzatának matematikai elvárása megegyezik a matematikai elvárásaik szorzatával: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

3. példa . Keressük meg a $2$ példából a $X$ valószínűségi változó matematikai elvárását.

$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\over (6))+2\cdot ((1)\over (6) )+3\cdot ((1)\(6) felett)+4\cdot ((1)\(6) felett)+5\cdot ((1)\(6) felett)+6\cdot ((1) )\over(6))=3,5.$$

Megfigyelhetjük, hogy $M\left(X\right)$ a $X$ valószínűségi változó legkisebb ($1$) és legnagyobb ($6$) értéke között van.

4. példa . Ismeretes, hogy az $X$ valószínűségi változó matematikai elvárása: $M\left(X\right)=2$. Határozzuk meg a $3X+5$ valószínűségi változó matematikai elvárását.

A fenti tulajdonságok felhasználásával $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ cdot 2 +5=11$.

5. példa . Ismeretes, hogy az $X$ valószínűségi változó matematikai elvárása: $M\left(X\right)=4$. Határozzuk meg a $2X-9$ valószínűségi változó matematikai elvárását.

A fenti tulajdonságok felhasználásával megkapjuk: $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ cdot 4 -9=-1$.

3. Egy diszkrét valószínűségi változó diszperziója.

Az azonos matematikai elvárásokkal rendelkező valószínűségi változók lehetséges értékei eltérően szóródhatnak az átlagos értékeik körül. Például két diákcsoportban a valószínűségszámítás vizsga átlagpontszáma 4 lett, de az egyik csoportban mindenki jó tanulónak bizonyult, a másik csoportban pedig csak C tanuló és kitűnő tanuló volt. Ezért szükség van egy valószínűségi változó numerikus karakterisztikájára, amely megmutatja a valószínűségi változó értékeinek terjedését a matematikai elvárása körül. Ez a jellemző a diszperzió.

Egy diszkrét valószínűségi változó varianciája$X$ egyenlő:

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2).\ $$

Az angol szakirodalomban a $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$ jelölést használják. Nagyon gyakran a $D\left(X\right)$ szórást a $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\) képlettel számítják ki balra(X \jobbra)\jobbra))^2$.

Diszperziós tulajdonságok$D\bal(X\jobb)$:

A szórás mindig nagyobb vagy egyenlő nullával, azaz. $D\left(X\right)\ge 0$.
Az állandó szórása nulla, azaz. $D\left(C\right)=0$.
Az állandó tényezőt ki lehet venni a diszperziós előjelből, feltéve, hogy négyzetes, azaz. $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\right)$.
A független valószínűségi változók összegének szórása egyenlő szórásaik összegével, azaz. $D\left(X+Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.
A független valószínűségi változók különbségének szórása egyenlő szórásaik összegével, azaz. $D\left(X-Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.

6. példa . Számítsuk ki a $X$ valószínűségi változó varianciáját a $2$ példából.

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2)=((1)\over (6))\cdot (\bal(1-3.5\jobb))^2+((1)\over(6))\cdot (\bal(2-3.5\jobb))^2+ \pontok +( (1)\(6) felett)\cdot (\bal(6-3.5\jobb))^2=((35)\(12) felett)\körülbelül 2.92.$$

7. példa . Ismeretes, hogy a $X$ valószínűségi változó varianciája egyenlő: $D\left(X\right)=2$. Határozzuk meg a $4X+1$ valószínűségi változó varianciáját.

A fenti tulajdonságokat használva a következőt kapjuk: $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\bal(X\jobb)=16\cdot 2=32$.

8. példa . Ismeretes, hogy a $X$ valószínűségi változó varianciája egyenlő: $D\left(X\right)=3$. Határozzuk meg a $3-2X$ valószínűségi változó varianciáját.

A fenti tulajdonságokat használva a következőt kapjuk: $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\bal(X\jobb)=4\cdot 3=12$.

4. Egy diszkrét valószínűségi változó eloszlásfüggvénye.

A diszkrét valószínűségi változó eloszlási sorozat formájában történő ábrázolásának módja nem az egyetlen, és ami a legfontosabb, nem univerzális, mivel folytonos valószínűségi változót nem lehet eloszlássorozattal megadni. Van egy másik módja a valószínűségi változó ábrázolásának - az eloszlási függvény.

Elosztási funkció a $X$ valószínűségi változót $F\left(x\right)$ függvénynek nevezzük, amely meghatározza annak valószínűségét, hogy a $X$ valószínűségi változó kisebb értéket vesz fel valamely $x$ rögzített értéknél, azaz $F\ left(x\right )=P\left(X< x\right)$

Az eloszlási függvény tulajdonságai:

$0\le F\left(x\right)\le 1$.
Annak a valószínűsége, hogy a $X$ valószínűségi változó értéket vesz fel a $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ intervallumból, egyenlő az eloszlásfüggvény végein lévő értékei közötti különbséggel. intervallum: $P\left(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
$F\left(x\right)$ - nem csökkenő.
$(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \right)=1\ )$.

9. példa . Keressük meg a $2$ példából a $F\left(x\right)$ eloszlási függvényt a $X$ diszkrét valószínűségi változó eloszlási törvényéhez.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(tömb)$

Ha $x\le 1$, akkor nyilvánvalóan $F\left(x\right)=0$ (beleértve a $x=1$-t is $F\left(1\right)=P\left(X)< 1\right)=0$).

Ha 1 dollár< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Ha 2 dollár< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Ha 3 dollár< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Ha 4 dollár< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Ha 5 dollár< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Ha $x > 6 $, akkor $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right) +P\bal(X=4\jobb)+P\bal(X=5\jobb)+P\bal(X=6\jobb)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1/6+1/6=1$.

Tehát $F(x)=\left\(\begin(mátrix)
0,\ at\ x\le 1,\\
1/6,at\1< x\le 2,\\
1/3,\ at\ 2< x\le 3,\\
1/2, at\ 3< x\le 4,\\
2/3,\ at\ 4< x\le 5,\\
5/6,\ at\ 4< x\le 5,\\
1,\ for\ x > 6.
\end(mátrix)\jobbra.$

Kiemelhetjük a diszkrét valószínűségi változók eloszlásának leggyakoribb törvényeit:

Binomiális eloszlás törvénye
Poisson-eloszlási törvény
Geometriai eloszlási törvény
Hipergeometriai eloszlási törvény

A diszkrét valószínűségi változók adott eloszlásainál az értékük valószínűségének kiszámítása, valamint a numerikus jellemzők (matematikai elvárás, szórás stb.) kiszámítása bizonyos „képletek” segítségével történik. Ezért nagyon fontos ismerni az ilyen típusú eloszlásokat és alapvető tulajdonságaikat.

1. Binomiális eloszlás törvénye.

A $X$ diszkrét valószínűségi változóra vonatkozik a binomiális valószínűség-eloszlás törvénye, ha $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ értékeket vesz fel $P\left(X=k\right)= valószínűséggel C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k)$. Valójában a $X$ valószínűségi változó a $A$ esemény előfordulásának száma $n$ független kísérletekben. A $X$ valószínűségi változó valószínűségi eloszlásának törvénye:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & \dots & n \\
\hline
p_i & P_n\left(0\right) & P_n\left(1\right) & \dots & P_n\left(n\right) \\
\hline
\end(tömb)$

Egy ilyen valószínűségi változónál a matematikai elvárás $M\left(X\right)=np$, a variancia $D\left(X\right)=np\left(1-p\right)$.

Példa . A családnak két gyermeke van. Feltételezve, hogy egy fiú és egy lány születésének valószínűsége 0,5 $ $, keresse meg a $\xi$ valószínűségi változó eloszlási törvényét - a fiúk száma a családban.

Legyen a $\xi $ valószínűségi változó a fiúk száma a családban. A $\xi által felvehető értékek:\ 0,\ 1,\ 2$. Ezeknek az értékeknek a valószínűségét a $P\left(\xi =k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k) képlet segítségével találhatja meg )$, ahol $n =2$ a független kísérletek száma, $p=0.5$ pedig egy esemény bekövetkezésének valószínűsége $n$ próbasorozatban. Kapunk:

$P\left(\xi =0\right)=C^0_2\cdot (0,5)^0\cdot (\left(1-0,5\right))^(2-0)=(0, 5)^2=0,25;$

$P\left(\xi =1\right)=C^1_2\cdot 0.5\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-1)=2\cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5;$

$P\left(\xi =2\right)=C^2_2\cdot (0.5)^2\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-2)=(0, 5)^2 =0.25.$

Ekkor a $\xi $ valószínűségi változó eloszlási törvénye a $0,\ 1,\ 2$ értékek és azok valószínűségei közötti megfelelés, azaz:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
\xi & 0 & 1 & 2 \\
\hline
P(\xi) & 0,25 & 0,5 & 0,25 \\
\hline
\end(tömb)$

Az eloszlási törvényben szereplő valószínűségek összegének egyenlőnek kell lennie: $1$, azaz $\sum _(i=1)^(n)P(\xi _((\rm i)))=0,25+0,5+ 0, 25 = 1 USD.

Várakozás $M\left(\xi \right)=np=2\cdot 0.5=1$, variancia $D\left(\xi \right)=np\left(1-p\right)=2\ cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5$, szórás $\sigma \left(\xi \right)=\sqrt(D\left(\xi \right))=\sqrt(0.5 )\kb. 0.707 $.

2. Poisson-eloszlási törvény.

Ha egy diszkrét $X$ valószínűségi változó csak nem negatív egész értékeket vehet fel $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ valószínűséggel $P\left(X=k\right)=((( \lambda )^k )\over (k}\cdot e^{-\lambda }$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.!}

Megjegyzés. Ennek az eloszlásnak az a sajátossága, hogy a kísérleti adatok alapján $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$ becsléseket találunk, ha a kapott becslések közel vannak egymáshoz, akkor okunk azt állítani, hogy a valószínűségi változó a Poisson-eloszlási törvény hatálya alá tartozik.

Példa . Példák a Poisson-eloszlási törvény hatálya alá tartozó valószínűségi változókra: a holnapi benzinkút által kiszolgált autók száma; a gyártott termékek hibás tételeinek száma.

Példa . A gyár 500 dollárnyi terméket küldött a bázisra. A termék szállítás közbeni sérülésének valószínűsége 0,002 USD. Határozzuk meg a sérült termékek számával egyenlő $X$ valószínűségi változó eloszlási törvényét! mi a $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$.

Legyen a diszkrét $X$ valószínűségi változó a sérült termékek száma. Egy ilyen valószínűségi változóra a Poisson-eloszlási törvény vonatkozik a $\lambda =np=500\cdot 0.002=1$ paraméterrel. Az értékek valószínűsége egyenlő: $P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.!}

$P\left(X=0\right)=((1^0)\over (0}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\left(X=1\right)=((1^1)\over (1}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\left(X=2\right)=((1^2)\over (2}\cdot e^{-1}=0,184;$!}

$P\left(X=3\right)=((1^3)\over (3}\cdot e^{-1}=0,061;$!}

$P\left(X=4\right)=((1^4)\over (4}\cdot e^{-1}=0,015;$!}

$P\left(X=5\right)=((1^5)\over (5}\cdot e^{-1}=0,003;$!}

$P\left(X=6\right)=((1^6)\over (6}\cdot e^{-1}=0,001;$!}

$P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$!}

A $X$ valószínűségi változó eloszlási törvénye:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & ... & k \\
\hline
P_i & 0,368; & 0,368 & 0,184 & 0,061 & 0,015 & 0,003 & 0,001 & ... & (((\lambda )^k)\over (k)}\cdot e^{-\lambda } \\!}
\hline
\end(tömb)$

Egy ilyen valószínűségi változónál a matematikai elvárás és szórás egyenlő egymással és egyenlő a $\lambda $ paraméterrel, azaz $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda =1$.

3. Geometriai eloszlási törvény.

Ha egy diszkrét $X$ valószínűségi változó csak $1,\ 2,\ \dots ,\ n$ természetes értékeket vehet fel $P\left(X=k\right)=p(\left(1-p\) jobbra)) ^(k-1),\ k=1,\ 2,\ 3,\ \dots $, akkor azt mondják, hogy egy ilyen $X$ valószínűségi változóra vonatkozik a valószínűség-eloszlás geometriai törvénye. Valójában a geometriai eloszlás Bernoulli-teszt az első sikerig.

Példa . Példák a geometriai eloszlású valószínűségi változókra: a lövések száma a cél első találata előtt; eszköztesztek száma az első meghibásodásig; az érmefeldobások száma az első fej felbukkanásáig stb.

A geometriai eloszlás alá tartozó valószínűségi változó matematikai elvárása és szórása rendre egyenlő: $M\left(X\right)=1/p$, $D\left(X\right)=\left(1-p\right) )/p^ 2 dollár.

Példa . Az ívóhely felé vezető halmozgás során 4 dolláros zár található. Annak a valószínűsége, hogy a halak áthaladnak az egyes zsilipeken $p=3/5$. Szerkessze meg a $X$ valószínűségi változó eloszlási sorozatát - a hal által áthaladt zsilipek számát a zsilipnél történt első visszatartás előtt. Keresse meg a következőt: $M\left(X\right),\ D\left(X\right),\ \sigma \left(X\right)$.

Legyen a $X$ valószínűségi változó azoknak a zsilipeknek a száma, amelyeket a hal áthaladt a zsilipnél történt első elfogás előtt. Egy ilyen valószínűségi változóra a valószínűségi eloszlás geometriai törvénye vonatkozik. Azok az értékek, amelyeket a $X valószínűségi változó felvehet: $ 1, 2, 3, 4. Ezen értékek valószínűségét a következő képlet segítségével számítjuk ki: $P\left(X=k\right)=pq^(k -1)$, ahol: $ p=2/5$ - a halak visszatartásának valószínűsége a zsilipen, $q=1-p=3/5$ - a halak átjutásának valószínűsége a zsilipen, $k=1,\ 2,\3,\4$.

$P\left(X=1\right)=((2)\over (5))\cdot (\left((3)\over (5))\right))^0=((2)\ (5) felett)=0,4;$

$P\left(X=2\right)=((2)\over (5))\cdot ((3)\over (5))=((6)\over (25))=0,24 $;

$P\left(X=3\right)=((2)\over (5))\cdot (\left((3)\over (5))\right))^2=((2)\ over (5))\cdot ((9)\over (25))=((18)\over (125))=0,144;$

$P\left(X=4\right)=((2)\over(5))\cdot (\left((3)\over (5))\right))^3+(\left(( (3)\(5) felett)\jobbra))^4=((27)\(125))=0,216.$

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i és 1 és 2 és 3 és 4 \\
\hline
P\left(X_i\right) & 0,4 & 0,24 & 0,144 & 0,216 \\
\hline
\end(tömb)$

Várható érték:

$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(x_ip_i)=1\cdot 0.4+2\cdot 0.24+3\cdot 0.144+4\cdot 0.216=2.176.$

Diszperzió:

$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2=)0.4\cdot (\ left( 1-2,176\jobbra))^2+0,24\cdot (\left(2-2176\right))^2+0,144\cdot (\left(3-2,176\right))^2+$

$+\0.216\cdot (\left(4-2176\right))^2\kb. 1.377.$

Szórás:

$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(1,377)\körülbelül 1173.$

4. Hipergeometriai eloszlási törvény.

Ha $N$ objektumok, amelyek között $m$ objektumok adott tulajdonsággal rendelkeznek. A $n$ objektumok véletlenszerűen, visszaadás nélkül kerülnek lehívásra, ezek között volt $k$ objektum, amelyek adott tulajdonsággal rendelkeznek. A hipergeometrikus eloszlás lehetővé teszi annak a valószínűségét, hogy a mintában pontosan $k$ objektumok rendelkeznek egy adott tulajdonsággal. Legyen a $X$ valószínűségi változó azon objektumok száma a mintában, amelyek adott tulajdonsággal rendelkeznek. Ezután a $X$ valószínűségi változó értékeinek valószínűsége:

$P\left(X=k\right)=((C^k_mC^(n-k)_(N-m))\over (C^n_N))$

Megjegyzés. Az Excel $f_x$ függvényvarázsló HYPERGEOMET statisztikai függvénye lehetővé teszi annak meghatározását, hogy bizonyos számú teszt sikeres lesz.

$f_x\to$ statisztikai$\to$ HIPERGEOMET$\to$ rendben. Megjelenik egy párbeszédpanel, amelyet ki kell töltenie. Az oszlopban Sikerek_száma_mintában adja meg a $k$ értéket. minta nagysága egyenlő: $n$. Az oszlopban Együttes_sikerek_száma adja meg a $m$ értéket. népesség egyenlő $N$.

Egy $X$ diszkrét valószínűségi változó matematikai elvárása és varianciája, a geometriai eloszlási törvény hatálya alá, rendre egyenlő: $M\left(X\right)=nm/N$, $D\left(X\right)= ((nm\left(1 -((m)\over (N))\right)\left(1-((n)\over (N))\right))\over (N-1))$.

Példa . A bank hitelosztályán 5 fő pénzügyi felsőfokú és 3 fő jogi felsőfokú végzettségű szakember dolgozik. A bank vezetése úgy döntött, hogy 3 szakembert küld ki képzettségük javítására, véletlenszerű sorrendben.

a) Készítsen elosztási sorozatot azon felsőfokú pénzügyi végzettségű szakemberek számáról, akik készségeik fejlesztésére küldhetők;

b) Határozza meg ennek az eloszlásnak a numerikus jellemzőit!

Legyen a $X$ valószínűségi változó a kiválasztott három közül a felsőfokú pénzügyi végzettséggel rendelkező szakemberek száma. Azok az értékek, amelyeket $X vehet fel: 0,\ 1,\ 2,\ 3$. Ez az $X$ valószínűségi változó hipergeometrikus eloszlás szerint oszlik el a következő paraméterekkel: $N=8$ - populáció mérete, $m=5$ - sikerek száma a sokaságban, $n=3$ - mintanagyság, $ k=0,\ 1, \2,\3$ - a mintában szereplő sikerek száma. Ekkor a $P\left(X=k\right)$ valószínűségek kiszámíthatók a következő képlettel: $P(X=k)=(C_(m)^(k) \cdot C_(N-m)^(n-k) \ C_( N)^(n) ) $ felett. Nekünk van:

$P\left(X=0\right)=((C^0_5\cdot C^3_3)\over (C^3_8))=((1)\over (56))\körülbelül 0,018;$

$P\left(X=1\right)=((C^1_5\cdot C^2_3)\over (C^3_8))=((15)\over (56))\körülbelül 0,268;$

$P\left(X=2\right)=((C^2_5\cdot C^1_3)\over (C^3_8))=((15)\over (28))\körülbelül 0,536;$

$P\left(X=3\right)=((C^3_5\cdot C^0_3)\over (C^3_8))=((5)\over (28))\körülbelül 0,179.$

Ekkor a $X$ valószínűségi változó eloszlási sorozata:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i és 0 és 1 és 2 és 3 \\
\hline
p_i és 0,018 és 0,268 és 0,536 és 0,179 \\
\hline
\end(tömb)$

Számítsuk ki a $X$ valószínűségi változó numerikus jellemzőit a hipergeometriai eloszlás általános képleteivel!

$M\left(X\right)=((nm)\over (N))=((3\cdot 5)\over (8))=((15)\over (8))=1875.$

$D\left(X\right)=((nm\bal(1-((m)\over (N))\right)\bal(1-((n)\over (N))\right)) \over (N-1))=((3\cdot 5\cdot \left(1-((5)\over (8))\right)\cdot \left(1-((3)\over (8 ))\jobbra))\over (8-1))=((225)\over (448))\körülbelül 0.502.$

$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(0,502)\körülbelül 0,7085.$

Példák a „Véletlen változók” témakörben a problémák megoldására.

Feladat 1 . A sorsolásra 100 db jegyet bocsátanak ki. Egy 50 USD nyereményt sorsoltak ki. és tíz nyeremény, egyenként 10 USD. Keresse meg az X érték eloszlásának törvényét - a lehetséges nyeremények költségét.

Megoldás. X lehetséges értékei: x 1 = 0; x 2 = 10 és x 3 = 50. Mivel 89 „üres” jegy van, akkor p 1 = 0,89, 10 dollár nyerési valószínűséggel. (10 jegy) – p 2 = 0,10 és nyerni 50 USD -o 3 = 0,01. És így:


	0,89	0,10	0,01

Könnyen irányítható: .

Feladat 2. Annak a valószínűsége, hogy a vásárló előre elolvasta a termékhirdetést, 0,6 (p = 0,6). A reklám minőségének szelektív ellenőrzése a vásárlók felmérésével történik, mielőtt az elsőként tanulmányozta a reklámot. Készítsen eloszlási sorozatot a megkérdezett vásárlók számáról!

Megoldás. A problémafeltételek szerint p = 0,6. Kezdő: q=1 -p = 0,4. Ezeket az értékeket behelyettesítve a következőket kapjuk:és készítsünk eloszlási sorozatot:


p i		0,24

Feladat 3. A számítógép három egymástól függetlenül működő elemből áll: a rendszeregységből, a monitorból és a billentyűzetből. A feszültség egyszeri éles növekedésével az egyes elemek meghibásodásának valószínűsége 0,1. A Bernoulli-eloszlás alapján készítsen elosztási törvényt a hálózat túlfeszültség-emelkedése során meghibásodott elemek számáról.

Megoldás. Mérlegeljük Bernoulli eloszlás(vagy binomiális): annak a valószínűsége n tesztek esetén az A esemény pontosan megjelenik k egyszer: , vagy:


	q n					p n

BAN BEN Térjünk vissza a feladathoz.

Az X lehetséges értékei (a hibák száma):

x 0 =0 – egyik elem sem hibásodott meg;

x 1 =1 – egy elem meghibásodása;

x 2 =2 – két elem meghibásodása;

x 3 =3 – minden elem meghibásodása.

Mivel feltétel szerint p = 0,1, akkor q = 1 – p = 0,9. Bernoulli képletével azt kapjuk

, ,

, .

Vezérlés: .

Ezért a szükséges elosztási törvény:


	0,729	0,243	0,027	0,001

4. probléma. 5000 lőszer készült. Annak valószínűsége, hogy az egyik patron hibás . Mennyi annak a valószínűsége, hogy pontosan 3 hibás patron lesz a teljes tételben?

Megoldás. Alkalmazható Poisson-eloszlás: Ez az eloszlás annak a valószínűségének meghatározására szolgál, hogy nagyon nagy

számú teszt (tömegteszt), amelyek mindegyikében az A esemény valószínűsége nagyon kicsi, az A esemény k-szer fog bekövetkezni: , Ahol .

Itt n = 5000, p = 0,0002, k = 3. Megtaláljuk, akkor a kívánt valószínűséget: .

5. probléma. Lövéskor az első találatig p találati valószínűséggel = 0,6 lövéskor, meg kell találni annak valószínűségét, hogy a harmadik lövésnél találat következik be.

Megoldás. Alkalmazzuk geometriai eloszlást: végezzünk független kísérleteket, amelyek mindegyikében A esemény bekövetkezésének valószínűsége p (és a be nem következés q = 1 – p). A teszt azonnal véget ér, amint az A esemény bekövetkezik.

Ilyen feltételek mellett annak valószínűségét, hogy az A esemény bekövetkezik a k. próbában, a következő képlet határozza meg: . Itt p = 0,6; q = 1 – 0,6 = 0,4;k = 3. Ezért .

6. probléma. Legyen adott egy X valószínűségi változó eloszlásának törvénye:

Keresse meg a matematikai elvárást.

Megoldás. .

Vegyük észre, hogy a matematikai elvárás valószínűségi jelentése egy valószínűségi változó átlagos értéke.

7. probléma. Keresse meg az X valószínűségi változó varianciáját a következő eloszlási törvény szerint:

Megoldás. Itt .

Az X négyzetére vonatkozó eloszlási törvény 2 :

x 2

Kötelező szórás: .

A diszperzió egy valószínűségi változó matematikai elvárásától való eltérésének (szórásának) mértékét jellemzi.

8. probléma. Adjon meg egy valószínűségi változót az eloszlás:

			10 m

Keresse meg a numerikus jellemzőit!

Megoldás: m, m 2 ,

M 2 , m.

Az X valószínűségi változóról azt is elmondhatjuk: matematikai elvárása 6,4 m, szórása 13,04 m 2 , vagy – annak matematikai elvárása 6,4 m eltéréssel A második megfogalmazás nyilvánvalóan egyértelműbb.

Feladat 9. Véletlenszerű érték x az eloszlási függvény adja meg:
.

Határozzuk meg annak valószínűségét, hogy a teszt eredményeként az X érték az intervallumban foglalt értéket veszi fel .

Megoldás. Annak a valószínűsége, hogy X értéket vesz fel egy adott intervallumból, egyenlő az integrálfüggvény növekményével ebben az intervallumban, azaz. . A mi esetünkben és ezért

Feladat 10. Diszkrét valószínűségi változó x az elosztási törvény szerint:

Keresse meg az eloszlási függvényt F(x ) és ábrázolja.

Megoldás. Mivel az elosztási függvény,

Mert , Azt

nál nél ;

Vonatkozó diagram:

11. probléma. Folyamatos valószínűségi változó x a differenciáleloszlási függvény adja meg: .

Keresse meg a találati valószínűséget X intervallumonként

Megoldás. Vegye figyelembe, hogy ez az exponenciális eloszlás törvényének egy speciális esete.

Használjuk a képletet: .

Feladat 12. Határozzuk meg az eloszlási törvény által meghatározott diszkrét X valószínűségi változó numerikus jellemzőit:

–5

X2:

X 2

. , Ahol – Laplace funkció.

Ennek a függvénynek az értékeit táblázat segítségével találja meg.

A mi esetünkben: .

A táblázatból azt találjuk: , tehát:

Mint ismeretes, valószínűségi változó változó mennyiségnek nevezzük, amely az esettől függően bizonyos értékeket vehet fel. A véletlenszerű változókat a latin ábécé nagybetűivel (X, Y, Z), értékeiket pedig a megfelelő kisbetűkkel (x, y, z) jelöljük. A véletlenszerű változókat nem folytonosra (diszkrétre) és folytonosra osztják.

Diszkrét valószínűségi változó egy valószínűségi változó, amely csak egy véges vagy végtelen (megszámlálható) értékhalmazt vesz fel bizonyos nem nulla valószínűséggel.

Egy diszkrét valószínűségi változó eloszlási törvénye egy olyan függvény, amely összekapcsolja egy valószínűségi változó értékeit a megfelelő valószínűségekkel. Az elosztási törvényt az alábbi módok egyikén lehet megadni.

1 . Az elosztási törvényt a táblázat segítségével adhatjuk meg:

ahol λ>0, k = 0, 1, 2, … .

V) használva F(x) eloszlásfüggvény , amely minden x értékre meghatározza annak valószínűségét, hogy az X valószínűségi változó x-nél kisebb értéket vesz fel, azaz. F(x) = P(X< x).

Az F(x) függvény tulajdonságai

3 . Az elosztási törvény grafikusan megadható – eloszlási sokszög (poligon) (lásd 3. feladat).

Vegye figyelembe, hogy bizonyos problémák megoldásához nem szükséges ismerni az elosztási törvényt. Bizonyos esetekben elegendő egy vagy több olyan szám ismerete, amely az elosztási törvény legfontosabb jellemzőit tükrözi. Ez lehet egy szám, amely egy valószínűségi változó „átlagértékét” jelenti, vagy egy olyan szám, amely a valószínűségi változó átlagos értékétől való eltérésének átlagos nagyságát mutatja. Az ilyen számokat egy valószínűségi változó numerikus jellemzőinek nevezzük.

Egy diszkrét valószínűségi változó alapvető numerikus jellemzői :

Matematikai elvárás diszkrét valószínűségi változó (átlagértéke). M(X)=Σ x i p i.
Binomiális eloszlás esetén M(X)=np, Poisson eloszlásnál M(X)=λ
Diszperzió diszkrét valószínűségi változó D(X)=M2 vagy D(X) = M(X 2)− 2. Az X–M(X) különbséget egy valószínűségi változó matematikai elvárásától való eltérésének nevezzük.
Binomiális eloszlás esetén D(X)=npq, Poisson eloszlás esetén D(X)=λ
Szórás (szórás) σ(X)=√D(X).

Példák problémák megoldására a „Diszkrét valószínűségi változó eloszlásának törvénye” témakörben

1. feladat.

1000 sorsjegyet bocsátottak ki: közülük 5 500 rubelt, 10 100 rubelt, 20 50 rubelt, 50 10 rubelt nyer. Határozza meg az X valószínűségi változó valószínűségi eloszlásának törvényét - nyeremény egy jegyre!

Megoldás. A probléma körülményei szerint az X valószínűségi változó következő értékei lehetségesek: 0, 10, 50, 100 és 500.

A nyeremény nélküli jegyek száma 1000 – (5+10+20+50) = 915, majd P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

Hasonlóképpen megtaláljuk az összes többi valószínűséget is: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01, P(X) =500) = 5/1000=0,005. Mutassuk be a kapott törvényt táblázat formájában:

Határozzuk meg az X érték matematikai elvárását: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

3. feladat.

A készülék három egymástól függetlenül működő elemből áll. Az egyes elemek meghibásodásának valószínűsége egy kísérletben 0,1. Készítsen eloszlási törvényt egy kísérlet sikertelen elemeinek számára, alkosson eloszlási sokszöget. Keresse meg az F(x) eloszlásfüggvényt és ábrázolja. Határozza meg egy diszkrét valószínűségi változó matematikai elvárását, szórását és szórását.

Megoldás. 1. Az X = diszkrét valószínűségi változó (a sikertelen elemek száma egy kísérletben) a következő lehetséges értékeket tartalmazza: x 1 = 0 (egyik eszközelem sem hibásodott meg), x 2 = 1 (egy elem meghibásodott), x 3 = 2 ( két elem nem sikerült ) és x 4 =3 (három elem nem sikerült).

Az elemek meghibásodása független egymástól, az egyes elemek meghibásodásának valószínűsége egyenlő, ezért alkalmazható Bernoulli képlet . Figyelembe véve, hogy a feltétel szerint n=3, p=0,1, q=1-p=0,9, meghatározzuk az értékek valószínűségét:
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0,9 3 = 0,729;
P 3 (1) = C 3 1 p 1 q 3-1 = 3 * 0,1 * 0,9 2 = 0,243;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 = 3 * 0,1 2 * 0,9 = 0,027;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 = p 3 = 0,1 3 = 0,001;
Ellenőrzés: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

Így az X kívánt binomiális eloszlási törvénye a következőképpen alakul:

Az abszcissza tengely mentén ábrázoljuk x i lehetséges értékeit, az ordináta tengely mentén pedig a megfelelő p i valószínűségeket. Szerkesszük meg az M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001) pontokat. Ezeket a pontokat egyenes szakaszokkal összekötve megkapjuk a kívánt eloszlási sokszöget.

3. Keressük az F(x) = Р(Х) eloszlásfüggvényt

Ha x ≤ 0, akkor F(x) = Р(Х<0) = 0;
0-ért< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
1-ért< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
2-ért< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
x > 3 esetén F(x) = 1 lesz, mert az esemény megbízható.

F(x) függvény grafikonja

4. X binomiális eloszlás esetén:
- matematikai elvárás M(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- szórás D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- szórás σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.

x; jelentése F(5); annak a valószínűsége, hogy a valószínűségi változó x a szegmens értékeit veszi át. Készítsen eloszlási sokszöget.

Egy diszkrét valószínűségi változó F(x) eloszlásfüggvénye ismert x:

Állítsa be egy valószínűségi változó eloszlásának törvényét x táblázat formájában.

Adott egy valószínűségi változó eloszlásának törvénye x:

x	–28	–20	–12	–4
p	0,22	0,44	0,17	0,1	0,07

0,7 annak a valószínűsége, hogy az üzlet rendelkezik minőségi tanúsítvánnyal a teljes termékskála tekintetében. A bizottság négy környékbeli üzletben ellenőrizte a tanúsítványok elérhetőségét. Készítsen elosztási törvényt, számítsa ki azon üzletek számának matematikai elvárását és szórását, amelyekben az ellenőrzés során nem találtak minőségi tanúsítványt.

Az elektromos lámpák átlagos égési idejének meghatározásához egy 350 egyforma dobozból álló tételben minden dobozból egy-egy villanylámpát vettünk vizsgálatra. Alulról becsülje meg annak valószínűségét, hogy a kiválasztott villanylámpák átlagos égési időtartama abszolút értékben kevesebb mint 7 órával tér el a teljes tétel átlagos égési időtartamától, ha ismert, hogy az elektromos lámpák égési időtartamának szórása minden doboz kevesebb, mint 9 óra.

Egy telefonközpontban 0,002 valószínűséggel hibás kapcsolat jön létre. Határozza meg annak valószínűségét, hogy 500 kapcsolat között a következők fordulnak elő:

Keresse meg egy valószínűségi változó eloszlásfüggvényét! x. Szerkesszünk függvénygráfokat és . Számítsa ki egy valószínűségi változó matematikai elvárását, varianciáját, módusát és mediánját! x.

Egy automata gép hengereket gyárt. Úgy gondolják, hogy átmérőjük egy normális eloszlású valószínűségi változó, amelynek átlagos értéke 10 mm. Mekkora a szórás, ha 0,99 valószínűséggel az átmérő 9,7 mm és 10,3 mm közötti tartományba esik.

A minta: 6 9 7 6 4 4

B minta: 55 72 54 53 64 53 59 48

42 46 50 63 71 56 54 59

54 44 50 43 51 52 60 43

50 70 68 59 53 58 62 49

59 51 52 47 57 71 60 46

55 58 72 47 60 65 63 63

58 56 55 51 64 54 54 63

56 44 73 41 68 54 48 52

52 50 55 49 71 67 58 46

50 51 72 63 64 48 47 55

17. lehetőség.

A 35 részből 7 nem szabványos. Határozza meg annak valószínűségét, hogy két véletlenszerűen vett rész szabványos lesz.

Három kockát dobnak. Határozzuk meg annak valószínűségét, hogy az elejtett oldalakon lévő pontok összege 9 többszöröse.

A „KALAND” szó kártyákból áll, amelyek mindegyikére egy betű van írva. A kártyákat megkeverik és egyenként veszik ki, anélkül, hogy visszaküldenék. Mekkora a valószínűsége annak, hogy a megjelenési sorrendben kivett betűk alkotják a következő szót: a) KALAND; b) FOGoly.

Egy urnában 6 fekete és 5 fehér golyó található. 5 golyó véletlenszerűen kerül kihúzásra. Határozza meg annak valószínűségét, hogy ezek között vannak:

2 fehér golyó;
kevesebb, mint 2 fehér golyó;
legalább egy fekete golyót.

A egy tesztben 0,4. Keresse meg a következő események valószínűségét:

esemény A 7 független vizsgálatból álló sorozatban háromszor jelenik meg;
esemény A nem kevesebb, mint 220 és legfeljebb 235 alkalommal jelenik meg egy 400 próbasorozatban.

Az üzem 5000 jó minőségű terméket küldött a bázisra. A szállítás során minden egyes termék sérülésének valószínűsége 0,002. Határozza meg annak valószínűségét, hogy legfeljebb 3 termék sérül meg az utazás során.

Az első urnában 4 fehér és 9 fekete, a másodikban 7 fehér és 3 fekete golyó található. Az első urnából véletlenszerűen 3, a második urnából 4 golyó kerül kihúzásra. Határozza meg annak valószínűségét, hogy az összes kihúzott golyó azonos színű.

Adott egy valószínűségi változó eloszlásának törvénye x:

Számítsa ki annak matematikai elvárását és szórását!

A dobozban 10 db ceruza található. Véletlenszerűen 4 ceruzát húzunk. Véletlenszerű érték x– a kiválasztottak közül a kék ceruzák száma. Keresse meg eloszlásának törvényét, a 2. és 3. rend kezdeti és központi momentumait!

A műszaki ellenőrzési osztály 475 terméket vizsgál meg hibásodás szempontjából. Annak a valószínűsége, hogy a termék hibás, 0,05. Keresse meg 0,95 valószínűséggel azokat a határokat, amelyeken belül a hibás termékek száma a tesztelt termékek között marad.

Telefonközpontban 0,003 valószínűséggel hibás kapcsolat jön létre. Határozza meg annak valószínűségét, hogy 1000 kapcsolat között a következők fordulnak elő:

legalább 4 hibás csatlakozás;
kettőnél több hibás csatlakozás.

A valószínűségi változót az eloszlássűrűség függvény határozza meg:

Keresse meg egy valószínűségi változó eloszlásfüggvényét! x. Szerkesszünk függvénygráfokat és . Számítsa ki az X valószínűségi változó matematikai elvárását, szórását, módusát és mediánját!

A valószínűségi változót az eloszlásfüggvény határozza meg:

Minta alapján A oldja meg a következő problémákat:

variációs sorozat létrehozása;

· minta átlaga;

· minta szórása;

Módus és medián;

A minta: 0 0 2 2 1 4

számítsa ki a variációs sorozat numerikus jellemzőit:

· minta átlaga;

· minta szórása;

standard minta eltérés;

· mód és medián;

B minta: 166 154 168 169 178 182 169 159

161 150 149 173 173 156 164 169

157 148 169 149 157 171 154 152

164 157 177 155 167 169 175 166

167 150 156 162 170 167 161 158

168 164 170 172 173 157 157 162

156 150 154 163 143 170 170 168

151 174 155 163 166 173 162 182

166 163 170 173 159 149 172 176

18. lehetőség.

10 sorsjegy közül 2 nyerő. Határozza meg annak valószínűségét, hogy öt véletlenszerűen vett jegyből egy lesz a nyerő.

Három kockát dobnak. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a hengerelt pontok összege nagyobb, mint 15.

A „KÖRÜLET” szó kártyákból áll, amelyek mindegyikére egy betű van írva. A kártyákat megkeverik és egyenként veszik ki, anélkül, hogy visszaküldenék. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a kivett betűk a következő szót alkotják: a) KERÜLET; b) MÉRŐ.

Egy urnában 5 fekete és 7 fehér golyó található. Véletlenszerűen 5 golyó kerül kihúzásra. Határozza meg annak valószínűségét, hogy ezek között vannak:

4 fehér golyó;
kevesebb, mint 2 fehér golyó;
legalább egy fekete golyót.

Egy esemény bekövetkezésének valószínűsége A egy kísérletben egyenlő 0,55-tel. Keresse meg a következő események valószínűségét:

esemény A 3 alkalommal jelenik meg egy 5 kihívásból álló sorozatban;
esemény A nem kevesebb, mint 130 és legfeljebb 200 alkalommal jelenik meg egy 300 próbasorozatban.

Egy konzervdoboz eltörésének valószínűsége 0,0005. Határozza meg annak valószínűségét, hogy 2000 doboz közül kettő szivárog.

Az első urnában 4 fehér és 8 fekete, a másodikban 7 fehér és 4 fekete golyó található. Az első urnából véletlenszerűen két, a második urnából három golyót húznak ki véletlenszerűen. Határozza meg annak valószínűségét, hogy az összes kihúzott golyó azonos színű.

Az összeszerelésre érkező alkatrészek közül az első géptől 0,1%, a másodiktól 0,2%, a harmadiktól 0,25%, a negyediktől 0,5% hibás. A gép termelékenységi aránya 4:3:2:1. A véletlenszerűen vett rész szabványosnak bizonyult. Határozza meg annak valószínűségét, hogy az alkatrész az első gépen készült.

Adott egy valószínűségi változó eloszlásának törvénye x:

Számítsa ki annak matematikai elvárását és szórását!

Egy villanyszerelőnek három izzója van, mindegyiknek 0,1 valószínűséggel van hibája. Az izzókat becsavarják a foglalatba, és bekapcsolják az áramot. Az áram bekapcsolásakor a hibás izzó azonnal kiég, és egy másikra cserélik. Keresse meg a vizsgált izzók számának eloszlási törvényét, matematikai elvárását és szórását!

A cél eltalálásának valószínűsége 900 független lövés mindegyikére 0,3. Csebisev-egyenlőtlenség segítségével becsülje meg annak valószínűségét, hogy a célpontot legalább 240-szer és legfeljebb 300-szor találják el.

Egy telefonközpontban 0,002 valószínűséggel hibás kapcsolat jön létre. Határozza meg annak valószínűségét, hogy 800 kapcsolat között a következők fordulnak elő:

legalább három hibás csatlakozás;
több mint négy hibás csatlakozás.

A valószínűségi változót az eloszlássűrűség függvény határozza meg:

Határozza meg az X valószínűségi változó eloszlásfüggvényét. Rajzolja meg az és függvények grafikonjait. Számítsa ki egy valószínűségi változó matematikai elvárását, varianciáját, módusát és mediánját! X.

A valószínűségi változót az eloszlásfüggvény határozza meg:

Minta alapján A oldja meg a következő problémákat:

variációs sorozat létrehozása;
relatív és halmozott frekvenciák kiszámítása;
komponálja meg az empirikus eloszlásfüggvényt és ábrázolja azt;
számítsa ki a variációs sorozat numerikus jellemzőit:

· minta átlaga;

· minta szórása;

standard minta eltérés;

· mód és medián;

A minta: 4 7 6 3 3 4

A B minta használatával oldja meg a következő problémákat:

csoportosított variációs sorozat létrehozása;
hisztogramot és frekvenciapoligont készíteni;
számítsa ki a variációs sorozat numerikus jellemzőit:

· minta átlaga;

· minta szórása;

standard minta eltérés;

· mód és medián;

B minta: 152 161 141 155 171 160 150 157

154 164 138 172 155 152 177 160

168 157 115 128 154 149 150 141

172 154 144 177 151 128 150 147

143 164 156 145 156 170 171 142

148 153 152 170 142 153 162 128

150 146 155 154 163 142 171 138

128 158 140 160 144 150 162 151

163 157 177 127 141 160 160 142

159 147 142 122 155 144 170 177

19. lehetőség.

1. A telephelyen 16 nő és 5 férfi dolgozik. Véletlenszerűen választottak ki 3 főt a létszámuk alapján. Határozza meg annak valószínűségét, hogy az összes kiválasztott ember férfi lesz.

2. Négy érmét dobunk fel. Határozza meg annak valószínűségét, hogy csak két érmén lesz „címer”.

3. A „PSZICHOLÓGIA” szó kártyákból áll, amelyek mindegyikére egy betű van írva. A kártyákat megkeverik és egyenként veszik ki, anélkül, hogy visszaküldenék. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a kivett betűk egy szót alkotnak: a) PSZICHOLÓGIA; b) SZEMÉLYZET.

4. Az urnában 6 fekete és 7 fehér golyó található. 5 golyó véletlenszerűen kerül kihúzásra. Határozza meg annak valószínűségét, hogy ezek között vannak:

a. 3 fehér golyó;

b. kevesebb, mint 3 fehér golyó;

c. legalább egy fehér golyót.

5. Egy esemény bekövetkezésének valószínűsége A egy kísérletben egyenlő 0,5-tel. Keresse meg a következő események valószínűségét:

a. esemény A 5 független vizsgálatból álló sorozatban háromszor jelenik meg;

b. esemény A legalább 30 és legfeljebb 40 alkalommal jelenik meg egy 50 próbasorozatban.

6. 100 db azonos teljesítményű, egymástól függetlenül, azonos üzemmódban működő gép van, amelyekben 0,8 munkaórára bekapcsolják a hajtásukat. Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy adott pillanatban 70-86 gép fog bekapcsolni?

7. Az első urnában 4 fehér és 7 fekete, a másodikban 8 fehér és 3 fekete golyó található. Az első urnából véletlenszerűen 4, a másodikból 1 golyó kerül kihúzásra. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a kihúzott golyók között csak 4 fekete golyó van.

8. Az autóértékesítési szalonba naponta három márkájú autó érkezik mennyiségben: „Moskvich” – 40%; "Oké" - 20%; "Volga" - az összes importált autó 40% -a. A Moskvich autók közül 0,5%-ban van lopásgátló, Oka - 0,01%, Volga - 0,1%. Határozza meg annak valószínűségét, hogy az átvizsgálásra vitt autó lopásgátló berendezéssel rendelkezik.

9. A és a számok véletlenszerűen kerülnek kiválasztásra a szakaszon. Határozza meg annak valószínűségét, hogy ezek a számok kielégítik az egyenlőtlenségeket!

10. Adott egy valószínűségi változó eloszlásának törvénye x:

x
p	0,1	0,2	0,3	0,4

Keresse meg egy valószínűségi változó eloszlásfüggvényét! x; jelentése F(2); annak a valószínűsége, hogy a valószínűségi változó x intervallumból veszi az értékeket. Készítsen eloszlási sokszöget.