Konvexné polygóny. Definícia konvexného mnohouholníka

Tieto geometrické tvary nás obklopujú všade. Konvexné polygóny sú prirodzené, ako sú plásty, alebo umelé (vyrobené človekom). Tieto figúrky sa používajú pri výrobe rôzne druhy nátery, v maliarstve, architektúre, dekorácii atď. Konvexné mnohouholníky majú tú vlastnosť, že všetky ich body sú na tej istej strane priamky, ktorá prechádza dvojicou susedných vrcholov tejto priamky. geometrický obrazec. Existujú aj iné definície. Mnohouholník sa nazýva konvexný, ak je umiestnený v jednej polrovine vzhľadom na akúkoľvek priamku obsahujúcu jednu z jeho strán.

Pri elementárnej geometrii sa vždy berú do úvahy iba jednoduché polygóny. Aby sme pochopili všetky vlastnosti takýchto, je potrebné pochopiť ich povahu. Na začiatok by sa malo chápať, že každá čiara sa nazýva uzavretá, ktorej konce sa zhodujú. Okrem toho môže mať postava, ktorú tvorí, rôzne konfigurácie. Mnohouholník je jednoduchá uzavretá prerušovaná čiara, v ktorej susedné prepojenia nie sú umiestnené na rovnakej priamke. Jeho spojnice a vrcholy sú strany a vrcholy tohto geometrického útvaru. Jednoduchá lomená čiara nesmie mať vlastné priesečníky.

Vrcholy mnohouholníka sa nazývajú susedné, ak predstavujú konce jednej z jeho strán. Geometrický obrazec, ktorý má n-té číslo vrcholy, a teda n-té množstvo strany sa nazývajú n-uholník. Samotná prerušovaná čiara sa nazýva hranica alebo obrys tohto geometrického útvaru. Polygonálna rovina alebo plochý mnohouholník sa nazýva koncová časť akejkoľvek roviny, ktorá je ňou ohraničená. Priľahlé strany tohto geometrického útvaru sa nazývajú segmenty prerušovanej čiary vychádzajúcej z jedného vrcholu. Nebudú susediť, ak pochádzajú z rôznych vrcholov mnohouholníka.

Iné definície konvexných polygónov

V elementárnej geometrii existuje niekoľko ekvivalentných definícií, ktoré označujú, ktorý polygón sa nazýva konvexný. Všetky tieto tvrdenia sú rovnako pravdivé. Konvexný mnohouholník je taký, ktorý má:

Každá úsečka, ktorá spája akékoľvek dva body v nej leží úplne v nej;

Všetky jeho uhlopriečky ležia v ňom;

Žiadny vnútorný uhol nepresahuje 180°.

Mnohouholník vždy rozdeľuje rovinu na 2 časti. Jeden z nich je obmedzený (môže byť uzavretý v kruhu) a druhý je neobmedzený. Prvá sa nazýva vnútorná oblasť a druhá je vonkajšia oblasť tohto geometrického útvaru. Tento mnohouholník je priesečníkom (inými slovami, spoločným komponentom) niekoľkých polrovín. Navyše každý segment, ktorý končí v bodoch, ktoré patria do polygónu, k nemu úplne patrí.

Odrody konvexných polygónov

Definícia konvexného mnohouholníka nenaznačuje, že existuje veľa druhov. A každý z nich má určité kritériá. Takže konvexné polygóny, ktoré majú vnútorný uhol 180°, sa nazývajú slabo konvexné. Konvexný geometrický útvar, ktorý má tri vrcholy, sa nazýva trojuholník, štyri - štvoruholník, päť - päťuholník atď. Každý z konvexných n-uholníkov spĺňa nasledujúcu základnú požiadavku: n musí byť rovné alebo väčšie ako 3. trojuholníky sú konvexné. Geometrický obrazec tohto typu, v ktorej sú všetky vrcholy umiestnené na tej istej kružnici, sa nazýva vpísaná do kruhu. Konvexný mnohouholník sa nazýva opísaný, ak sa ho dotýkajú všetky jeho strany v blízkosti kruhu. O dvoch polygónoch sa hovorí, že sú rovnaké iba vtedy, ak sa dajú superponovať superpozíciou. Plochý mnohouholník je mnohouholníková rovina (časť roviny), ktorá je ohraničená týmto geometrickým obrazcom.

Pravidelné konvexné mnohouholníky

Pravidelné mnohouholníky sú geometrické tvary s rovnakými uhlami a stranami. V ich vnútri sa nachádza bod 0, ktorý je v rovnakej vzdialenosti od každého z jeho vrcholov. Nazýva sa stredom tohto geometrického útvaru. Segmenty spájajúce stred s vrcholmi tohto geometrického útvaru sa nazývajú apotémy a tie, ktoré spájajú bod 0 so stranami, sa nazývajú polomery.

Pravidelný štvoruholník je štvorec. Rovnostranný trojuholník sa nazýva rovnostranný trojuholník. Pre takéto obrázky platí nasledujúce pravidlo: každý uhol konvexného mnohouholníka je 180° * (n-2)/n,

kde n je počet vrcholov tohto konvexného geometrického útvaru.

Oblasť akéhokoľvek pravidelný mnohouholník určený podľa vzorca:

kde p sa rovná polovici súčtu všetkých strán daného mnohouholníka a h sa rovná dĺžke apotému.

Vlastnosti konvexných polygónov

Konvexné polygóny majú určité vlastnosti. Segment, ktorý spája akékoľvek 2 body takéhoto geometrického útvaru, sa teda nevyhnutne nachádza v ňom. dôkaz:

Predpokladajme, že P je daný konvexný mnohouholník. Vezmeme 2 ľubovoľné body, napríklad A, B, ktoré patria do P. Podľa existujúcej definície konvexného mnohouholníka sa tieto body nachádzajú na tej istej strane priamky, ktorá obsahuje ľubovoľnú stranu P. Preto AB má tiež túto vlastnosť a je obsiahnutá v P. Konvexný mnohouholník je vždy možné rozdeliť na niekoľko trojuholníkov úplne všetkými uhlopriečkami, ktoré sú nakreslené z jedného z jeho vrcholov.

Uhly konvexných geometrických tvarov

Rohy konvexného mnohouholníka sú rohy, ktoré tvoria jeho strany. Vnútorné rohy sa nachádzajú vo vnútornej oblasti daného geometrického útvaru. Uhol, ktorý tvoria jeho strany, ktoré sa zbiehajú v jednom vrchole, sa nazýva uhol konvexného mnohouholníka. s vnútornými uhlami daného geometrického útvaru sa nazývajú vonkajšie. Každý roh konvexného mnohouholníka, ktorý sa v ňom nachádza, sa rovná:

kde x je hodnota vonkajšieho uhla. Tento jednoduchý vzorec platí pre akékoľvek geometrické tvary tohto typu.

Vo všeobecnosti pre vonkajšie uhly platí nasledovné pravidlo: každý uhol konvexného mnohouholníka sa rovná rozdielu medzi 180° a hodnotou vnútorného uhla. Môže mať hodnoty od -180° do 180°. Preto, keď je vnútorný uhol 120°, vonkajší uhol bude 60°.

Súčet uhlov konvexných mnohouholníkov

Sum vnútorné rohy konvexný mnohouholník je nastavený podľa vzorca:

kde n je počet vrcholov n-uholníka.

Súčet uhlov konvexného mnohouholníka sa dá pomerne ľahko vypočítať. Zvážte akýkoľvek takýto geometrický útvar. Na určenie súčtu uhlov vo vnútri konvexného mnohouholníka musí byť jeden z jeho vrcholov spojený s ostatnými vrcholmi. V dôsledku tejto akcie sa získajú (n-2) trojuholníky. Vieme, že súčet uhlov akéhokoľvek trojuholníka je vždy 180°. Keďže ich počet v ľubovoľnom mnohouholníku je (n-2), súčet vnútorných uhlov takéhoto obrazca je 180° x (n-2).

Súčet uhlov konvexného mnohouholníka, menovite akýchkoľvek dvoch vnútorných a susedných vonkajších uhlov, pre daný konvexný geometrický útvar bude vždy 180°. Na základe toho môžete určiť súčet všetkých jeho uhlov:

Súčet vnútorných uhlov je 180° * (n-2). Na základe toho je súčet všetkých vonkajších uhlov daného útvaru určený vzorcom:

180°* n-180°-(n-2)= 360°.

Súčet vonkajších uhlov akéhokoľvek konvexného mnohouholníka bude vždy 360° (bez ohľadu na počet strán).

Vonkajší uhol konvexného mnohouholníka je vo všeobecnosti reprezentovaný rozdielom medzi 180° a vnútorným uhlom.

Ďalšie vlastnosti konvexného mnohouholníka

Okrem základných vlastností týchto geometrických útvarov majú aj ďalšie, ktoré vznikajú pri manipulácii s nimi. Takže ktorýkoľvek z polygónov môže byť rozdelený na niekoľko konvexných n-uholníkov. Aby ste to dosiahli, je potrebné pokračovať v každej z jej strán a vyrezať túto geometrickú postavu pozdĺž týchto priamych línií. Je tiež možné rozdeliť ľubovoľný mnohouholník na niekoľko konvexných častí tak, aby sa vrcholy každého z dielov zhodovali so všetkými jeho vrcholmi. Z takéhoto geometrického útvaru sa dajú veľmi jednoducho vyrobiť trojuholníky nakreslením všetkých uhlopriečok z jedného vrcholu. Akýkoľvek mnohouholník teda môže byť v konečnom dôsledku rozdelený na určitý počet trojuholníkov, čo sa ukazuje ako veľmi užitočné pri riešení rôznych problémov spojených s takýmito geometrickými tvarmi.

Obvod konvexného mnohouholníka

Segmenty prerušovanej čiary, nazývané strany mnohouholníka, sú najčastejšie označené týmito písmenami: ab, bc, cd, de, ea. Sú to strany geometrického útvaru s vrcholmi a, b, c, d, e. Súčet dĺžok všetkých strán tohto konvexného mnohouholníka sa nazýva jeho obvod.

Mnohouholníkový kruh

Konvexné mnohouholníky možno vpísať a opísať. Kruh, ktorý sa dotýka všetkých strán tohto geometrického útvaru, sa nazýva vpísaný do neho. Takýto mnohouholník sa nazýva opísaný. Stred kruhu, ktorý je vpísaný do mnohouholníka, je priesečníkom priesečníkov všetkých uhlov v rámci daného geometrického útvaru. Plocha takéhoto mnohouholníka je:

kde r je polomer vpísanej kružnice a p je polobvod daného mnohouholníka.

Kruh obsahujúci vrcholy mnohouholníka sa nazýva opísaný okolo neho. Okrem toho sa tento konvexný geometrický útvar nazýva vpísaný. Stred kružnice, ktorý je opísaný okolo takého mnohouholníka, je priesečníkom takzvaných odvesníc všetkých strán.

Uhlopriečky konvexných geometrických tvarov

Diagonály konvexného mnohouholníka sú úsečky, ktoré spájajú nesusediace vrcholy. Každý z nich leží vo vnútri tohto geometrického útvaru. Počet uhlopriečok takéhoto n-uholníka je určený vzorcom:

N = n (n - 3)/2.

Počet uhlopriečok konvexného mnohouholníka hrá dôležitú úlohu v elementárnej geometrii. Počet trojuholníkov (K), na ktoré možno rozdeliť každý konvexný mnohouholník, sa vypočíta podľa nasledujúceho vzorca:

Počet uhlopriečok konvexného mnohouholníka vždy závisí od počtu jeho vrcholov.

Rozdelenie konvexného mnohouholníka

V niektorých prípadoch je na vyriešenie geometrických problémov potrebné rozdeliť konvexný mnohouholník na niekoľko trojuholníkov s nepretínajúcimi sa uhlopriečkami. Tento problém možno vyriešiť odvodením určitého vzorca.

Definícia úlohy: nazvime správne rozdelenie konvexného n-uholníka na niekoľko trojuholníkov uhlopriečkami, ktoré sa pretínajú len vo vrcholoch tohto geometrického útvaru.

Riešenie: Predpokladajme, že Р1, Р2, Р3 …, Pn sú vrcholy tohto n-uholníka. Číslo Xn je počet jeho oddielov. Pozorne zvážme výslednú uhlopriečku geometrického útvaru Pi Pn. V ktoromkoľvek z pravidelných oddielov P1 Pn patrí do určitého trojuholníka P1 Pi Pn, ktorý má 1

Nech i = 2 je jedna skupina pravidelných priečok obsahujúcich vždy uhlopriečku Р2 Pn. Počet priečok v ňom zahrnutých sa zhoduje s počtom priečok (n-1)-uholníka Р2 Р3 Р4… Pn. Inými slovami, rovná sa Xn-1.

Ak i = 3, potom táto ďalšia skupina priečok bude vždy obsahovať uhlopriečky P3 P1 a P3 Pn. V tomto prípade sa počet bežných partícií obsiahnutých v tejto skupine bude zhodovať s počtom partícií (n-2)-uholníka Р3 Р4… Pn. Inými slovami, bude sa rovnať Xn-2.

Nech i = 4, potom bude medzi trojuholníkmi pravidelná priečka určite obsahovať trojuholník P1 P4 Pn, ku ktorému bude priliehať štvoruholník P1 P2 P3 P4, (n-3)-uholník P4 P5 ... Pn. Počet pravidelných delení takéhoto štvoruholníka je X4 a počet delení (n-3)-uholníka je Xn-3. Na základe vyššie uvedeného môžeme povedať, že celkový počet správnych partícií obsiahnutých v tejto skupine je Xn-3 X4. Ostatné skupiny, pre ktoré i = 4, 5, 6, 7… budú obsahovať Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7 … bežné oddiely.

Nech i = n-2, potom počet správnych partícií v tejto skupine bude rovnaký ako počet partícií v skupine, kde i=2 (inými slovami, rovná sa Xn-1).

Pretože X1 = X2 = 0, X3=1, X4=2…, potom sa počet všetkých častí konvexného mnohouholníka rovná:

Xn = Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + ... + X5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.

X5 = X4 + X3 + X4 = 5

X6 = X5 + X4 + X4 + X5 = 14

X7 = X6 + X5 + X4 * X4 + X5 + X6 = 42

X8 = X7 + X6 + X5 * X4 + X4 * X5 + X6 + X7 = 132

Počet pravidelných priečok pretínajúcich jednu uhlopriečku vo vnútri

Pri kontrole špeciálnych prípadov možno dospieť k predpokladu, že počet uhlopriečok konvexných n-uholníkov sa rovná súčinu všetkých delení tohto obrázku (n-3).

Dôkaz tohto predpokladu: predstavte si, že P1n = Xn * (n-3), potom ľubovoľný n-uholník možno rozdeliť na (n-2)-trojuholníky. Navyše z nich môže byť zložený (n-3)-štvoruholník. Spolu s tým bude mať každý štvoruholník uhlopriečku. Keďže v tomto konvexnom geometrickom obrazci možno nakresliť dve uhlopriečky, znamená to, že v ľubovoľných (n-3)-štvorhranoch je možné nakresliť ďalšie uhlopriečky (n-3). Na základe toho môžeme usúdiť, že v každom pravidelnom oddiele je možné nakresliť (n-3)-uhlopriečky, ktoré spĺňajú podmienky tejto úlohy.

Oblasť konvexných polygónov

Pri riešení rôznych problémov elementárnej geometrie je často potrebné určiť oblasť konvexného mnohouholníka. Predpokladajme, že (Xi. Yi), i = 1,2,3… n je postupnosť súradníc všetkých susedných vrcholov polygónu, ktorý nemá vlastné priesečníky. V tomto prípade sa jeho plocha vypočíta podľa nasledujúceho vzorca:

S = ½ (∑ (X i + X i + 1) (Y i + Y i + 1)),

kde (X1, Y1) = (Xn+1, Yn + 1).

V tejto lekcii začneme novú tému a predstavíme pre nás nový pojem – „polygón“. Pozrieme sa na základné pojmy spojené s polygónmi: strany, vrcholy, rohy, konvexnosť a nekonvexnosť. Potom dokážeme najdôležitejšie fakty, ako je veta o súčte vnútorných uhlov mnohouholníka, veta o súčte vonkajších uhlov mnohouholníka. Výsledkom je, že sa priblížime k štúdiu špeciálnych prípadov mnohouholníkov, o ktorých budeme uvažovať v budúcich lekciách.

Téma: Štvoruholníky

Lekcia: Mnohouholníky

V priebehu geometrie študujeme vlastnosti geometrických tvarov a už sme zvážili najjednoduchšie z nich: trojuholníky a kruhy. Zároveň sme diskutovali aj o konkrétnych špeciálnych prípadoch týchto obrazcov, ako sú pravouhlé, rovnoramenné a pravidelné trojuholníky. Teraz je čas hovoriť o všeobecnejších a zložitejších tvaroch - polygóny.

So špeciálnym prípadom polygóny už poznáme - ide o trojuholník (pozri obr. 1).

Ryža. 1. Trojuholník

Už samotný názov zdôrazňuje, že ide o figúrku, ktorá má tri rohy. Preto v mnohouholník môže ich byť veľa, t.j. viac ako tri. Nakreslíme napríklad päťuholník (pozri obr. 2), t.j. figúrka s piatimi rohmi.

Ryža. 2. Pentagon. Konvexný mnohouholník

Definícia.Polygón- obrazec pozostávajúci z niekoľkých bodov (viac ako dvoch) a zodpovedajúceho počtu segmentov, ktoré ich spájajú do série. Tieto body sa nazývajú vrcholov polygón a segmenty - strany. V tomto prípade žiadne dve susedné strany neležia na tej istej priamke a žiadne dve nesusediace strany sa nepretínajú.

Definícia.pravidelný mnohouholník je konvexný mnohouholník, v ktorom sú všetky strany a uhly rovnaké.

akýkoľvek mnohouholník rozdeľuje rovinu na dve oblasti: vnútornú a vonkajšiu. Interiér je označovaný aj ako mnohouholník.

Inými slovami, napríklad keď hovoria o päťuholníku, majú na mysli celú jeho vnútornú oblasť aj hranicu. A do vnútornej oblasti patria aj všetky body, ktoré ležia vo vnútri mnohouholníka, t.j. bod tiež patrí do päťuholníka (pozri obr. 2).

Polygóny sa niekedy nazývajú aj n-uholníky, aby sa zdôraznilo, že sa uvažuje o všeobecnom prípade s neznámym počtom rohov (n kusov).

Definícia. Polygónový obvod je súčet dĺžok strán mnohouholníka.

Teraz sa musíme zoznámiť s typmi polygónov. Delia sa na konvexné a nekonvexné. Napríklad polygón znázornený na obr. 2 je konvexný a na obr. 3 nekonvexné.

Ryža. 3. Nekonvexný mnohouholník

Definícia 1. Polygón volal konvexné, ak pri kreslení priamky cez ktorúkoľvek jej stranu, celú mnohouholník leží len na jednej strane tejto čiary. nekonvexné sú všetky ostatné polygóny.

Je ľahké si predstaviť, že pri predĺžení ktorejkoľvek strany päťuholníka na obr. 2 to všetko bude na jednej strane tejto priamky, t.j. je vypuklý. Ale pri kreslení priamky cez štvoruholník na obr. 3 už vidíme, že ho rozdeľuje na dve časti, t.j. je nekonvexný.

Existuje však aj iná definícia konvexnosti mnohouholníka.

Definícia 2. Polygón volal konvexné ak pri výbere ľubovoľných dvoch jeho vnútorných bodov a ich spojení s úsečkou sú všetky body úsečky zároveň vnútornými bodmi mnohouholníka.

Ukážku použitia tejto definície môžeme vidieť na príklade konštrukcie segmentov na obr. 2 a 3.

Definícia. Uhlopriečka Mnohouholník je akýkoľvek segment, ktorý spája dva nesusediace vrcholy.

Na opis vlastností mnohouholníkov existujú dve najdôležitejšie vety o ich uhloch: Veta o súčte vnútorného uhla konvexného mnohouholníka a Veta o súčte vonkajšieho uhla konvexného mnohouholníka. Zvážme ich.

Veta. Na súčte vnútorných uhlov konvexného mnohouholníka (n-gon).

Kde je počet jeho uhlov (stran).

Dôkaz 1. Znázornime na obr. 4 konvexný n-uholník.

Ryža. 4. Konvexný n-uholník

Nakreslite všetky možné uhlopriečky z vrcholu. Rozdeľujú n-uholník na trojuholníky, pretože každá zo strán mnohouholníka tvorí trojuholník, okrem strán susediacich s vrcholom. Z obrázku je ľahké vidieť, že súčet uhlov všetkých týchto trojuholníkov sa bude rovnať súčtu vnútorných uhlov n-uholníka. Keďže súčet uhlov ľubovoľného trojuholníka je , potom súčet vnútorných uhlov n-uholníka je:

Q.E.D.

Dôkaz 2. Ďalší dôkaz tejto vety je tiež možný. Nakreslíme podobný n-uholník na obr. 5 a spojte ktorýkoľvek z jeho vnútorných bodov so všetkými vrcholmi.

Ryža. 5.

Dostali sme rozdelenie n-uholníka na n trojuholníkov (koľko strán, toľko trojuholníkov). Súčet všetkých ich uhlov sa rovná súčtu vnútorných uhlov mnohouholníka a súčtu uhlov vo vnútornom bode a toto je uhol. Máme:

Q.E.D.

Osvedčené.

Podľa dokázanej vety je vidieť, že súčet uhlov n-uholníka závisí od počtu jeho strán (na n). Napríklad v trojuholníku a súčet uhlov je . V štvoruholníku a súčet uhlov - atď.

Veta. Na súčte vonkajších uhlov konvexného mnohouholníka (n-gon).

Kde je počet jeho rohov ( strán) a , ..., sú vonkajšie rohy.

Dôkaz. Nakreslíme konvexný n-uholník na obr. 6 a označujú jeho vnútorný a vonkajší uhol.

Ryža. 6. Konvexný n-uholník s vyznačenými vonkajšími rohmi

Pretože vonkajší roh je spojený s vnútorným ako susediaci a podobne aj pre ostatné vonkajšie rohy. potom:

Pri transformáciách sme použili už osvedčenú vetu o súčte vnútorných uhlov n-uholníka.

Osvedčené.

Z dokázanej vety vyplýva zaujímavý fakt, že súčet vonkajších uhlov konvexného n-uholníka sa rovná na počte jeho uhlov (stran). Mimochodom, na rozdiel od súčtu vnútorných uhlov.

Bibliografia

1. Aleksandrov A.D. atď. Geometria, 8. ročník. - M.: Vzdelávanie, 2006.
2. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Geometria, 8. ročník. - M.: Vzdelávanie, 2011.
3. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometria, 8. ročník. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.

1. Profmeter.com.ua ().
2. Narod.ru ().
3. Xvatit.com().

Domáca úloha

Konvexná množina bodov v rovine.

Množina bodov v rovine alebo v trojrozmernom priestore sa nazýva konvexné, ak ľubovoľné dva body tejto množiny môžu byť spojené úsečkou, ktorá leží úplne v tejto množine.

Veta 1. Priesečník konečného počtu konvexných množín je konvexná množina.

Dôsledok. Priesečník konečného počtu konvexných množín je konvexná množina.

rohové body.

Hraničný bod konvexnej množiny sa nazýva hranatý, ak je možné cez ňu nakresliť úsečku, ktorej všetky body nepatria do danej množiny.

Množiny rôznych tvarov môžu mať konečný alebo nekonečný počet rohových bodov.

Konvexný mnohouholník.

Polygón volal konvexné, ak leží na jednej strane každej priamky prechádzajúcej jej dvoma susednými vrcholmi.

Veta: Súčet uhlov konvexného n-uholníka je 180˚ *(n-2)

6) Riešenie sústav m lineárnych nerovníc s dvoma premennými

Daný je systém m lineárnych nerovností s dvoma premennými

Príznaky niektorých alebo všetkých nerovností môžu byť ≥.

Zvážte prvú nerovnosť v súradnicovom systéme X1OX2. Postavme rovnú čiaru

čo je hraničná čiara.

Táto priamka rozdeľuje rovinu na dve polroviny 1 a 2 (obr. 19.4).

Polovičná rovina 1 obsahuje počiatok, polovičná rovina 2 počiatok neobsahuje.

Na určenie, na ktorej strane hraničnej čiary sa daná polrovina nachádza, je potrebné vziať ľubovoľný bod na rovine (lepšie počiatok) a dosadiť súradnice tohto bodu do nerovnosti. Ak je nerovnosť pravdivá, potom je polrovina otočená smerom k tomuto bodu, ak nie je pravdivá, tak v opačnom smere od bodu.

Smer polroviny na obrázkoch je znázornený šípkou.

Definícia 15. Riešením každej nerovnosti systému je polrovina obsahujúca hraničnú čiaru a umiestnená na jej jednej strane.

Definícia 16. Priesečník polrovín, z ktorých každá je určená zodpovedajúcou nerovnosťou systému, sa nazýva oblasť riešenia systému (SR).

Definícia 17. Oblasť riešenia systému, ktorý spĺňa podmienky nezápornosti (xj ≥ 0, j =), sa nazýva oblasť nezáporných alebo prípustných riešení (ODS).

Ak je systém nerovností konzistentný, potom OP a ODE môže byť mnohosten, neohraničená mnohostenná oblasť alebo jeden bod.

Ak je systém nerovností nekonzistentný, potom OR a ODR sú prázdnou množinou.

Príklad 1

Riešenie. Nájdite ALEBO prvej nerovnosti: x1 + 3x2 ≥ 3. Zostrojme hraničnú čiaru x1 + 3x2 - 3 = 0 (obr. 19.5). Dosaďte súradnice bodu (0,0) do nerovnice: 1∙0 + 3∙0 > 3; keďže súradnice bodu (0,0) to nevyhovujú, tak riešením nerovnosti (19.1) je polrovina, ktorá neobsahuje bod (0,0).

Podobne nájdeme riešenia na zostávajúce nerovnosti systému. Získame, že OP a ODE sústavy nerovníc je konvexný mnohosten ABCD.

Nájdite rohové body mnohostenu. Bod A je definovaný ako priesečník čiar

Vyriešením systému dostaneme A(3/7, 6/7).

Bod B nájdeme ako priesečník čiar

Zo systému dostaneme B(5/3, 10/3). Podobne zistíme súradnice bodov C a D: C(11/4; 9/14), D(3/10; 21/10).

Príklad 2. Nájdite OR a ODR systému nerovností

Riešenie. Zostrojme priamky a určme riešenia nerovníc (19.5)-(19.7). OR a ODR sú neohraničené polyedrické oblasti ACFM a ABDEKM (obr. 19.6).

Príklad 3. Nájdite OR a ODR systému nerovností

Riešenie. Nájdeme riešenia nerovníc (19.8)-(19.10) (obr. 19.7). OP predstavuje neohraničenú polyedrickú oblasť ABC; RSO - bod B.

Príklad 4. Nájdite OP a ODS systému nerovností

Riešenie. Po zostrojení priamych čiar nájdeme riešenia nerovností systému. OR a ODR sú nekompatibilné (obr. 19.8).

CVIČENIA

Nájdite OR a ODR systémov nerovností

Veta. Ak xn ® a, potom .

Dôkaz. Z xn ® a vyplýva, že . V rovnakom čase:

, t.j. , t.j. . Veta bola dokázaná.

Veta. Ak xn ® a, tak postupnosť (xn) je ohraničená.

Treba si uvedomiť, že opačné tvrdenie nie je pravdivé, t.j. ohraničenosť postupnosti neznamená jej konvergenciu.

Napríklad postupnosť bez obmedzenia však

Rozšírenie funkcií do mocninových radov.

Rozšírenie funkcií v mocninnom rade má veľký význam pre riešenie rôznych problémov štúdia funkcií, diferenciácie, integrácie, riešenia diferenciálnych rovníc, výpočtu limitov, výpočtu približných hodnôt funkcie.

V tejto lekcii začneme novú tému a predstavíme pre nás nový pojem – „polygón“. Pozrieme sa na základné pojmy spojené s polygónmi: strany, vrcholy, rohy, konvexnosť a nekonvexnosť. Potom dokážeme najdôležitejšie fakty, ako je veta o súčte vnútorných uhlov mnohouholníka, veta o súčte vonkajších uhlov mnohouholníka. Výsledkom je, že sa priblížime k štúdiu špeciálnych prípadov mnohouholníkov, o ktorých budeme uvažovať v budúcich lekciách.

Téma: Štvoruholníky

Lekcia: Mnohouholníky

V priebehu geometrie študujeme vlastnosti geometrických tvarov a už sme zvážili najjednoduchšie z nich: trojuholníky a kruhy. Zároveň sme diskutovali aj o konkrétnych špeciálnych prípadoch týchto obrazcov, ako sú pravouhlé, rovnoramenné a pravidelné trojuholníky. Teraz je čas hovoriť o všeobecnejších a zložitejších tvaroch - polygóny.

So špeciálnym prípadom polygóny už poznáme - ide o trojuholník (pozri obr. 1).

Ryža. 1. Trojuholník

Už samotný názov zdôrazňuje, že ide o figúrku, ktorá má tri rohy. Preto v mnohouholník môže ich byť veľa, t.j. viac ako tri. Nakreslíme napríklad päťuholník (pozri obr. 2), t.j. figúrka s piatimi rohmi.

Ryža. 2. Pentagon. Konvexný mnohouholník

Definícia.Polygón- obrazec pozostávajúci z niekoľkých bodov (viac ako dvoch) a zodpovedajúceho počtu segmentov, ktoré ich spájajú do série. Tieto body sa nazývajú vrcholov polygón a segmenty - strany. V tomto prípade žiadne dve susedné strany neležia na tej istej priamke a žiadne dve nesusediace strany sa nepretínajú.

Definícia.pravidelný mnohouholník je konvexný mnohouholník, v ktorom sú všetky strany a uhly rovnaké.

akýkoľvek mnohouholník rozdeľuje rovinu na dve oblasti: vnútornú a vonkajšiu. Interiér je označovaný aj ako mnohouholník.

Inými slovami, napríklad keď hovoria o päťuholníku, majú na mysli celú jeho vnútornú oblasť aj hranicu. A do vnútornej oblasti patria aj všetky body, ktoré ležia vo vnútri mnohouholníka, t.j. bod tiež patrí do päťuholníka (pozri obr. 2).

Polygóny sa niekedy nazývajú aj n-uholníky, aby sa zdôraznilo, že sa uvažuje o všeobecnom prípade s neznámym počtom rohov (n kusov).

Definícia. Polygónový obvod je súčet dĺžok strán mnohouholníka.

Teraz sa musíme zoznámiť s typmi polygónov. Delia sa na konvexné a nekonvexné. Napríklad polygón znázornený na obr. 2 je konvexný a na obr. 3 nekonvexné.

Ryža. 3. Nekonvexný mnohouholník

Definícia 1. Polygón volal konvexné, ak pri kreslení priamky cez ktorúkoľvek jej stranu, celú mnohouholník leží len na jednej strane tejto čiary. nekonvexné sú všetky ostatné polygóny.

Je ľahké si predstaviť, že pri predĺžení ktorejkoľvek strany päťuholníka na obr. 2 to všetko bude na jednej strane tejto priamky, t.j. je vypuklý. Ale pri kreslení priamky cez štvoruholník na obr. 3 už vidíme, že ho rozdeľuje na dve časti, t.j. je nekonvexný.

Existuje však aj iná definícia konvexnosti mnohouholníka.

Definícia 2. Polygón volal konvexné ak pri výbere ľubovoľných dvoch jeho vnútorných bodov a ich spojení s úsečkou sú všetky body úsečky zároveň vnútornými bodmi mnohouholníka.

Ukážku použitia tejto definície môžeme vidieť na príklade konštrukcie segmentov na obr. 2 a 3.

Definícia. Uhlopriečka Mnohouholník je akýkoľvek segment, ktorý spája dva nesusediace vrcholy.

Na opis vlastností mnohouholníkov existujú dve najdôležitejšie vety o ich uhloch: Veta o súčte vnútorného uhla konvexného mnohouholníka a Veta o súčte vonkajšieho uhla konvexného mnohouholníka. Zvážme ich.

Veta. Na súčte vnútorných uhlov konvexného mnohouholníka (n-gon).

Kde je počet jeho uhlov (stran).

Dôkaz 1. Znázornime na obr. 4 konvexný n-uholník.

Ryža. 4. Konvexný n-uholník

Nakreslite všetky možné uhlopriečky z vrcholu. Rozdeľujú n-uholník na trojuholníky, pretože každá zo strán mnohouholníka tvorí trojuholník, okrem strán susediacich s vrcholom. Z obrázku je ľahké vidieť, že súčet uhlov všetkých týchto trojuholníkov sa bude rovnať súčtu vnútorných uhlov n-uholníka. Keďže súčet uhlov ľubovoľného trojuholníka je , potom súčet vnútorných uhlov n-uholníka je:

Q.E.D.

Dôkaz 2. Ďalší dôkaz tejto vety je tiež možný. Nakreslíme podobný n-uholník na obr. 5 a spojte ktorýkoľvek z jeho vnútorných bodov so všetkými vrcholmi.

Ryža. 5.

Dostali sme rozdelenie n-uholníka na n trojuholníkov (koľko strán, toľko trojuholníkov). Súčet všetkých ich uhlov sa rovná súčtu vnútorných uhlov mnohouholníka a súčtu uhlov vo vnútornom bode a toto je uhol. Máme:

Q.E.D.

Osvedčené.

Podľa dokázanej vety je vidieť, že súčet uhlov n-uholníka závisí od počtu jeho strán (na n). Napríklad v trojuholníku a súčet uhlov je . V štvoruholníku a súčet uhlov - atď.

Veta. Na súčte vonkajších uhlov konvexného mnohouholníka (n-gon).

Kde je počet jeho rohov ( strán) a , ..., sú vonkajšie rohy.

Dôkaz. Nakreslíme konvexný n-uholník na obr. 6 a označujú jeho vnútorný a vonkajší uhol.

Ryža. 6. Konvexný n-uholník s vyznačenými vonkajšími rohmi

Pretože vonkajší roh je spojený s vnútorným ako susediaci a podobne aj pre ostatné vonkajšie rohy. potom:

Pri transformáciách sme použili už osvedčenú vetu o súčte vnútorných uhlov n-uholníka.

Osvedčené.

Z dokázanej vety vyplýva zaujímavý fakt, že súčet vonkajších uhlov konvexného n-uholníka sa rovná na počte jeho uhlov (stran). Mimochodom, na rozdiel od súčtu vnútorných uhlov.

Bibliografia

1. Aleksandrov A.D. atď. Geometria, 8. ročník. - M.: Vzdelávanie, 2006.
2. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Geometria, 8. ročník. - M.: Vzdelávanie, 2011.
3. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometria, 8. ročník. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.

1. Profmeter.com.ua ().
2. Narod.ru ().
3. Xvatit.com().

Domáca úloha

Určenie konvexnosti mnohouholníka.

Algoritmus Kyrus-Back predpokladá konvexný polygón, ktorý sa má použiť ako okno.

V praxi však pomerne často vzniká problém odrezania polygónom a informácie o tom, či je konvexný alebo nie, nie sú na začiatku špecifikované. V tomto prípade je potrebné pred začatím procesu orezávania určiť, či je daný polygón konvexný alebo nie.

Uveďme niekoľko definícií konvexnosti mnohouholníka

Mnohouholník sa považuje za konvexný, ak je splnená jedna z nasledujúcich podmienok:

1) v konvexnom mnohouholníku sú všetky vrcholy umiestnené na jednej strane čiary nesúcej akúkoľvek hranu (na vnútornej strane danej hrany);

2) všetky vnútorné uhly mnohouholníka sú menšie ako 180°;

3) všetky diagonály spájajúce vrcholy mnohouholníka ležia vo vnútri tohto mnohouholníka;

4) všetky rohy polygónu sa obchádzajú v rovnakom smere (obr. 3.3‑1).

Na vytvorenie analytickej reprezentácie posledného kritéria konvexnosti používame vektorový súčin.

vektorový produkt W dva vektory a a b (Obr. 3.3-2 a) definovaný ako:

Ax,ay,az a bx,by,bz a a b,

- i, j, k– jednotkové vektory pozdĺž súradnicových osí X , Y , Z .

Ryža.3.3 ‑ 1

Ryža.3.3 ‑ 2

Ak uvažujeme dvojrozmerné zobrazenie mnohouholníka ako jeho zobrazenie v súradnicovej rovine XY trojrozmerného súradnicového systému X ,Y ,Z (obr. 3.3-2 b ), potom výraz pre vznik krížového súčinu vektorov U a V, kde sú vektory U a V sú susedné hrany, ktoré tvoria roh mnohouholníka, možno zapísať ako determinant:

Vektor krížového súčinu je kolmý na rovinu, v ktorej sa vektory faktorov nachádzajú. Smer vektora produktu je určený pravidlom gimlet alebo pravidlom pravotočivej skrutky.

Pre prípad znázornený na obr. 3.3‑2 b), vektor W, zodpovedajúce vektorovému súčinu vektorov V, U, bude mať rovnakú smerovosť ako smer súradnicovej osi Z.

Berúc do úvahy skutočnosť, že projekcie vektorov-faktorov na osi Z sú v tomto prípade rovné nule, vektorový súčin môže byť reprezentovaný ako:

(3.3-1)

Jednotkový vektor k vždy kladné, teda znamienko vektora w vektorový produkt bude určený iba znamienkom determinantu D vo vyššie uvedenom výraze. Všimnite si, že na základe vlastnosti vektorového súčinu pri preusporiadaní faktorových vektorov U a V vektorový znak w sa zmení na opak.

Z toho vyplýva, že ak ako vektory V a U zvážte dve susedné hrany mnohouholníka, potom poradie enumerácie vektorov vo vektorovom súčine môže byť v súlade s obtokom uvažovaného rohu mnohouholníka alebo hrán tvoriacich tento roh. To nám umožňuje použiť pravidlo ako kritérium na určenie konvexnosti mnohouholníka:

ak je pre všetky dvojice hrán mnohouholníka splnená nasledujúca podmienka:

Ak sa znamienka vektorových produktov pre jednotlivé uhly nezhodujú, potom polygón nie je konvexný.

Keďže hrany polygónu sú špecifikované ako súradnice ich koncových bodov, je vhodnejšie použiť determinant na určenie znamienka krížového súčinu.