Ako nájsť oblasť geometrických tvarov. Vzorec: plocha miestnosti a jej rozmery

Ak plánujete vykonať opravy sami, budete musieť urobiť odhad pre stavebné a dokončovacie materiály. Ak to chcete urobiť, budete musieť vypočítať plochu miestnosti, v ktorej plánujete vykonať opravy. Hlavným asistentom je špeciálne navrhnutý vzorec. Plocha miestnosti, konkrétne jej výpočet, vám umožní ušetriť veľa peňazí stavebné materiály a nasmerovať uvoľnené finančné zdroje vhodnejším smerom.

Geometrický tvar miestnosti

Vzorec na výpočet plochy miestnosti priamo závisí od jej tvaru. Najtypickejšie pre domáce štruktúry sú obdĺžnikové a štvorcové miestnosti. Pri prestavbe však môže dôjsť k skresleniu štandardnej formy. Izby sú:

Obdĺžnikový.
Námestie.
Komplexná konfigurácia (napríklad okrúhla).
S výklenkami a rímsami.

Každý z nich má svoje vlastné výpočtové funkcie, ale spravidla sa používa rovnaký vzorec. Môže sa vypočítať plocha miestnosti akéhokoľvek tvaru a veľkosti, tak či onak.

Obdĺžniková alebo štvorcová izba

Ak chcete vypočítať plochu obdĺžnikovej alebo štvorcovej miestnosti, nezabudnite školské hodiny geometria. Preto by pre vás nemalo byť ťažké určiť oblasť miestnosti. Výpočtový vzorec vyzerá takto:

S izby=A*B, kde

A je dĺžka miestnosti.

B je šírka miestnosti.

Na meranie týchto hodnôt budete potrebovať bežný meter. Ak chcete získať čo najpresnejšie výpočty, stojí za to merať stenu na oboch stranách. Ak sa hodnoty nezhodujú, vezmite za základ priemer výsledných údajov. Pamätajte však, že akékoľvek výpočty majú svoje vlastné chyby, takže materiál by sa mal zakúpiť s maržou.

Izba so zložitou konfiguráciou

Ak vaša izba nespadá pod definíciu „typická“, t.j. má tvar kruhu, trojuholníka, mnohouholníka, potom možno budete na výpočty potrebovať iný vzorec. Môžete sa pokúsiť podmienečne rozdeliť plochu miestnosti s takouto charakteristikou na obdĺžnikové prvky a vykonať výpočty štandardným spôsobom. Ak to pre vás nie je možné, použite nasledujúce metódy:

Vzorec na nájdenie oblasti kruhu:

S miestnosť \u003d π * R 2, kde

R je polomer miestnosti.

Vzorec na nájdenie oblasti trojuholníka je:

S miestnosť = √ (P (P - A) x (P - B) x (P - C)), kde

P je polovica obvodu trojuholníka.

A, B, C sú dĺžky jeho strán.

Preto P \u003d A + B + C / 2

Ak máte v procese výpočtu nejaké ťažkosti, je lepšie sa mučiť a obrátiť sa na profesionálov.

Priestor miestnosti s rímsami a výklenkami

Steny sú často zdobené dekoratívnymi prvkami vo forme rôznych výklenkov alebo ríms. Tiež ich prítomnosť môže byť spôsobená potrebou skryť niektoré neestetické prvky vašej izby. Prítomnosť ríms alebo výklenkov na stene znamená, že výpočet by sa mal vykonávať postupne. Tie. najprv sa nájde plocha plochej časti steny a potom sa k nej pridá plocha výklenku alebo rímsy.

Plocha steny sa zistí podľa vzorca:

S steny \u003d P x C, kde

P - obvod

C - výška

Musíte tiež zvážiť prítomnosť okien a dverí. Ich plocha sa musí od výslednej hodnoty odpočítať.

Izba s viacúrovňovým stropom

Viacúrovňový strop nekomplikuje výpočty tak, ako sa zdá na prvý pohľad. Ak má jednoduchý dizajn, potom je možné vykonať výpočty na princípe hľadania plochy stien komplikovanej výklenkami a rímsami.

Ak má však dizajn vášho stropu oblúkové a zvlnené prvky, potom je vhodnejšie určiť jeho plochu pomocou podlahovej plochy. Na to potrebujete:

Nájdite rozmery všetkých rovných častí stien.
Nájdite podlahovú plochu.
Vynásobte dĺžku a výšku vertikálnych častí.
Výslednú hodnotu spočítajte s podlahovou plochou.

Pokyny krok za krokom na určenie súčtu

miesto na zemi

Oslobodte miestnosť od nepotrebných vecí. V procese merania budete potrebovať voľný prístup do všetkých oblastí vašej miestnosti, takže sa musíte zbaviť všetkého, čo vám môže narušiť.
Vizuálne rozdeľte miestnosť na časti pravidelných a nepravidelných tvarov. Ak má vaša izba striktne štvorcový alebo obdĺžnikový tvar, potom je možné tento krok preskočiť.
Vytvorte ľubovoľné usporiadanie miestnosti. Tento výkres je potrebný, aby boli všetky údaje vždy na dosah ruky. Tiež vám nedá príležitosť zmiasť sa pri mnohých meraniach.
Merania sa musia vykonať niekoľkokrát. to dôležité pravidlo aby sa predišlo chybám vo výpočtoch. Tiež, ak používate, uistite sa, že lúč leží rovno na povrchu steny.
Nájdite celkovú plochu miestnosti. Vzorec pre celkovú plochu miestnosti je nájsť súčet všetkých plôch jednotlivých častí miestnosti. Tie. S celkom = S steny + S podlahy + S stropy

Na internete možno nájsť viac ako 10 vzorcov na výpočet plochy trojuholníka. Mnohé z nich sa používajú pri problémoch so známymi stranami a uhlami trojuholníka. Existuje však množstvo ťažké príklady kde je podľa podmienky zadania známa len jedna strana a uhly trojuholníka, prípadne polomer kružnice opísanej alebo vpísanej a ešte jedna charakteristika. V takýchto prípadoch nie je možné použiť jednoduchý vzorec.

Nižšie uvedené vzorce vyriešia 95 percent problémov, v ktorých musíte nájsť oblasť trojuholníka.
Prejdime k úvahe o vzorcoch spoločnej oblasti.
Zvážte trojuholník zobrazený na obrázku nižšie

Na obrázku a ďalej vo vzorcoch sú zavedené klasické označenia všetkých jeho charakteristík
a,b,c sú strany trojuholníka,
R je polomer kružnice opísanej,
r je polomer vpísanej kružnice,
h[b],h[a],h[c] - výšky nakreslené v súlade so stranami a,b,c.
alfa, beta, hamma - rohy v blízkosti vrcholov.

Základné vzorce pre oblasť trojuholníka

1. Plocha sa rovná polovici súčinu strany trojuholníka a výšky zníženej na túto stranu. Vo vzorcovom jazyku môže byť táto definícia napísaná ako

Ak je teda známa strana a výška, každý študent nájde oblasť.
Mimochodom, z tohto vzorca možno odvodiť jeden užitočný vzťah medzi výškami

2. Ak vezmeme do úvahy, že výška trojuholníka cez susednú stranu je vyjadrená závislosťou

Potom z prvého vzorca oblasti nasleduje rovnaký typ druhého

Pozorne si prezrite vzorce - sú ľahko zapamätateľné, pretože práca má dve strany a uhol medzi nimi. Ak správne označíme strany a uhly trojuholníka (ako na obrázku vyššie), dostaneme dva strany a, b a uhol súvisí s tretím C (hamma).

3. Pre uhly trojuholníka vzťah

Závislosť vám umožňuje vo výpočtoch použiť nasledujúce vzorce pre oblasť trojuholníka

Príklady tejto závislosti sú extrémne zriedkavé, ale musíte si uvedomiť, že existuje taký vzorec.

4. Ak je známa strana a dva susedné uhly, potom sa plocha nájde podľa vzorca

5. Vzorec pre plochu z hľadiska strany a kotangens susedných uhlov je nasledujúci

Preskupením indexov môžete získať závislosti pre ostatné strany.

6. Nižšie uvedený plošný vzorec sa používa v úlohách, keď sú vrcholy trojuholníka uvedené v rovine so súradnicami. V tomto prípade sa plocha rovná polovici determinantu modulo.

7. Heronov vzorec použité v príkladoch so známymi stranami trojuholníka.
Najprv nájdite polobvod trojuholníka

A potom určte plochu podľa vzorca

alebo

Často sa používa v kóde programov kalkulačky.

8. Ak sú známe všetky výšky trojuholníka, potom je plocha určená vzorcom

Ťažko sa to počíta na kalkulačke, avšak v balíkoch MathCad, Mathematica, Maple je plocha „jedna dva“.

9. Nasledujúce vzorce používajú známe polomery vpísaných a opísaných kružníc.

Najmä, ak sú známe polomer a strany trojuholníka alebo jeho obvod, potom sa plocha vypočíta podľa vzorca

10. V príkladoch, kde sú uvedené strany a polomer alebo priemer opísanej kružnice, sa plocha zistí podľa vzorca

11. Nasledujúci vzorec určuje plochu trojuholníka z hľadiska strany a uhlov trojuholníka.

A nakoniec - špeciálne prípady:
Námestie správny trojuholník s nohami a a b sa rovná polovici ich súčinu

Vzorec pre oblasť rovnostranného (pravidelného) trojuholníka=

\u003d jedna štvrtina súčinu druhej mocniny strany a odmocniny z troch.

Poznatky o tom, ako merať Zem, sa objavili v staroveku a postupne sa formovali vo vede o geometrii. Z gréckeho jazyka sa toto slovo prekladá ako „meračstvo pôdy“.

Mierou dĺžky rovnej oblasti Zeme v dĺžke a šírke je plocha. V matematike sa zvyčajne označuje latinské písmeno S (z anglického "štvorec" - "plocha", "štvorec") alebo grécke písmeno σ (sigma). S označuje plochu obrazca na rovine alebo povrch tela a σ je plocha prierezu drôtu vo fyzike. Toto sú hlavné symboly, hoci môžu existovať aj iné, napríklad v oblasti pevnosti materiálov, A je plocha prierezu profilu.

Výpočtové vzorce

Keď poznáte oblasti jednoduchých postáv, môžete nájsť parametre zložitejších.. Starovekí matematici vyvinuli vzorce, podľa ktorých sa dajú ľahko vypočítať. Takéto postavy sú trojuholník, štvoruholník, mnohouholník, kruh.

Ak chcete nájsť oblasť komplexnej plochej postavy, je rozdelená do mnohých jednoduchých tvarov, ako sú trojuholníky, lichobežníky alebo obdĺžniky. Potom matematické metódy odvodia vzorec pre oblasť tohto obrázku. Podobná metóda používa sa nielen v geometrii, ale aj v matematickej analýze na výpočet plôch útvarov ohraničených krivkami.

Trojuholník

Začnime s najjednoduchším tvarom - trojuholníkom. Sú pravouhlé, rovnoramenné a rovnostranné. Vezmime si hocijakú trojuholník ABC so stranami AB=a, BC=b a AC=c (∆ ABC). Aby sme našli jeho oblasť, pripomeňme si vety o sínusoch a kosínusoch známe zo školského kurzu matematiky. Po opustení všetkých výpočtov sa dostaneme k nasledujúcim vzorcom:

S=√ - všetkým známy Heronov vzorec, kde p=(a+b+c)/2 - polovica obvodu trojuholníka;
S=a h/2, kde h je výška znížená na stranu a;
S=a b (sin γ)/2, kde γ je uhol medzi stranami a a b;
S=a b/2 ak ∆ ABC je pravouhlý (tu a a b sú nohy);
S=b² (sin (2 β))/2 ak ∆ ABC je rovnoramenné (tu b je jedna z „bokov“, β je uhol medzi „bokami“ trojuholníka);
S=a² √¾, ak ∆ ABC je rovnostranné (tu a je strana trojuholníka).

Štvoruholník

Nech existuje štvoruholník ABCD s AB=a, BC=b, CD=c, AD=d. Na nájdenie plochy S ľubovoľného 4-uholníka je potrebné rozdeliť ho uhlopriečkou na dva trojuholníky, ktorých obsahy S1 a S2 sa vo všeobecnosti nerovnajú.

Potom ich pomocou vzorcov vypočítajte a spočítajte, t. j. S=S1+S2. Ak však štvorkolka patrí do určitej triedy, jej oblasť možno nájsť pomocou predtým známych vzorcov:

S=(a+c) h/2=e h, ak je štvorica lichobežník (tu a a c sú základne, e je stredná čiara lichobežník, h - výška znížená na jednu zo základov lichobežníka;
S=a h=a b sin φ=d1 d2 (sin φ)/2, ak ABCD je rovnobežník (tu φ je uhol medzi stranami a a b, h je výška znížená na stranu a, d1 a d2 sú uhlopriečky);
S=a b=d²/2 ak ABCD je obdĺžnik (d je uhlopriečka);
S=a² sin φ=P² (sin φ)/16=d1 d2/2 ak ABCD je kosoštvorec (a je strana kosoštvorca, φ je jeden z jeho rohov, P je obvod);
S=a²=P²/16=d²/2, ak ABCD je štvorec.

Polygón

Na nájdenie oblasti n-uholníka ho matematici rozložia na najjednoduchšie rovnaké trojuholníky, nájdu obsah každého z nich a potom ich spočítajú. Ak však mnohouholník patrí do triedy bežných, použije sa vzorec:

S \u003d a n h / 2 \u003d a² n / \u003d P² /, kde n je počet vrcholov (alebo strán) mnohouholníka, a je strana n-uholníka, P je jeho obvod, h je apotéma t.j. segment nakreslený od stredu mnohouholníka k jednej z jeho strán pod uhlom 90°.

Kruh

Kruh je dokonalý mnohouholník s nekonečným počtom strán.. Potrebujeme vypočítať limitu výrazu napravo vo vzorci oblasti mnohouholníka s počtom strán n smerujúcim k nekonečnu. V tomto prípade sa obvod mnohouholníka zmení na dĺžku kruhu s polomerom R, ktorý bude hranicou nášho kruhu, a bude rovný P=2 π R. Dosaďte tento výraz do vyššie uvedeného vzorca. Dostaneme:

S = (π2 R2 cos (180°/n))/(n sin (180°/n)).

Nájdite limitu tohto výrazu ako n→∞. Aby sme to dosiahli, berieme do úvahy, že lim (cos (180°/n)) pre n→∞ sa rovná cos 0°=1 (lim je znamienko limity) a lim = lim pre n→∞ je rovná 1/π (mieru stupňa sme preložili na radián pomocou pomeru π rad \u003d 180 ° a použili sme prvý úžasná hranica lim (sin x)/x=1 ako x→∞). Nahradením získaných hodnôt do posledného výrazu pre S sa dostaneme k známemu vzorcu:

S=π2R21(1/π)=πR2.

Jednotky

Používajú sa systémové a nesystémové jednotky merania. Systémové jednotky sa označujú ako SI (System International). Toto je meter štvorcový (meter štvorcový, m²) a z neho odvodené jednotky: mm², cm², km².

V štvorcových milimetroch (mm²), napríklad, merajú prierez drôtov v elektrotechnike, v štvorcových centimetroch (cm²) - prierez lúča v stavebnej mechanike, v štvorcových metroch (m² ) - byt alebo dom v štvorcových kilometroch (km²) - územie v geografii.

Niekedy sa však používajú nesystémové merné jednotky, ako napríklad: tkanie, ar (a), hektár (ha) a aker (ac). Dávame nasledujúce pomery:

1 väzba \u003d 1 a \u003d 100 m² \u003d 0,01 ha;
1 ha = 100 a = 100 akrov = 10 000 m² = 0,01 km² = 2,471 as;
1 ac = 4046,856 m² = 40,47 a = 40,47 akrov = 0,405 ha.

Geometrická oblasť- číselná charakteristika geometrického útvaru znázorňujúca veľkosť tohto útvaru (časť plochy ohraničená uzavretým obrysom tohto útvaru). Veľkosť plochy je vyjadrená počtom v nej obsiahnutých štvorcových jednotiek.

Vzorce oblasti trojuholníka

Vzorec plochy trojuholníka pre stranu a výšku
Oblasť trojuholníka rovná polovici súčinu dĺžky strany trojuholníka a dĺžky nadmorskej výšky nakreslenej na túto stranu
Vzorec pre oblasť trojuholníka s tromi stranami a polomerom opísanej kružnice
Vzorec pre oblasť trojuholníka s tromi stranami a polomerom vpísanej kružnice
Oblasť trojuholníka sa rovná súčinu polovice obvodu trojuholníka a polomeru vpísanej kružnice.

Vzorce štvorcovej oblasti

Vzorec pre plochu štvorca daný dĺžkou strany
štvorcová plocha sa rovná štvorcu dĺžky jeho strany.
Vzorec pre plochu štvorca daný dĺžkou uhlopriečky
štvorcová plocha rovná polovici štvorca dĺžky jeho uhlopriečky.
S= 1 2
2

Vzorec oblasti obdĺžnika

Oblasť obdĺžnika

Vzorce pre oblasť rovnobežníka

Vzorec plochy rovnobežníka pre dĺžku a výšku strany
Plocha rovnobežníka
Vzorec pre oblasť rovnobežníka s dvoma stranami a uhlom medzi nimi
Plocha rovnobežníka sa rovná súčinu dĺžok jej strán vynásobených sínusom uhla medzi nimi.
a b sinα

Vzorce pre oblasť kosoštvorca

Vzorec plochy kosoštvorca daný dĺžkou a výškou strany
Oblasť kosoštvorca sa rovná súčinu dĺžky jeho strany a dĺžky výšky zníženej na túto stranu.
Vzorec pre oblasť kosoštvorca daný dĺžkou strany a uhlom
Oblasť kosoštvorca sa rovná súčinu druhej mocniny dĺžky jej strany a sínusu uhla medzi stranami kosoštvorca.
Vzorec pre oblasť kosoštvorca z dĺžok jeho uhlopriečok
Oblasť kosoštvorca sa rovná polovici súčinu dĺžok jej uhlopriečok.

Vzorce pre oblasť lichobežníka

Heronov vzorec pre lichobežník
Kde S je oblasť lichobežníka,
- dĺžka základov lichobežníka,
- dĺžka strán lichobežníka,

štvorcov geometrické tvary- číselné hodnoty charakterizujúce ich veľkosť v dvojrozmernom priestore. Túto hodnotu možno merať v systémových a nesystémových jednotkách. Takže napríklad mimosystémová jednotka plochy je sto, hektár. To je prípad, ak je meraným povrchom pozemok. Systémová jednotka plochy je štvorec dĺžky. V systéme SI je zvyčajné uvažovať, že jednotkou plochy rovného povrchu je meter štvorcový. V CGS je jednotka plochy vyjadrená v centimetroch štvorcových.

Geometrické a plošné vzorce sú neoddeliteľne spojené. Toto spojenie spočíva v tom, že výpočet plôch ploché postavy na základe ich aplikácie. Pre mnohé figúry je odvodených niekoľko možností, podľa ktorých sa počítajú ich štvorcové veľkosti. Na základe údajov z výpisu problému vieme určiť najjednoduchší spôsob jeho riešenia. To uľahčuje výpočet a znižuje pravdepodobnosť chýb vo výpočte na minimum. Ak to chcete urobiť, zvážte hlavnú oblasť figúr v geometrii.

Vzorce na nájdenie oblasti akéhokoľvek trojuholníka sú prezentované niekoľkými spôsobmi:

1) Plocha trojuholníka sa vypočíta zo základne a a výšky h. Základňa je strana postavy, na ktorej je výška znížená. Potom je plocha trojuholníka:

2) Plocha pravouhlého trojuholníka sa vypočíta presne rovnakým spôsobom, ak sa prepona považuje za základňu. Ak sa však noha berie ako základ, potom sa plocha pravouhlého trojuholníka bude rovnať súčinu polovičných nôh.

Vzorce na výpočet plochy akéhokoľvek trojuholníka tam nekončia. Iný výraz obsahuje strany a,b a sínusovú funkciu uhla γ medzi a a b. Hodnotu sínusu nájdete v tabuľkách. Dá sa to zistiť aj pomocou kalkulačky. Potom je plocha trojuholníka:

Podľa tejto rovnosti sa môžete tiež uistiť, že oblasť pravouhlého trojuholníka je určená dĺžkami nôh. Pretože uhol γ je pravý uhol, takže plocha pravouhlého trojuholníka sa vypočíta bez násobenia funkciou sínus.

3) Uvažujme špeciálny prípad - pravidelný trojuholník, v ktorom stranu a poznáme podľa podmienky alebo pri riešení nájdeme jeho dĺžku. O figúre v úlohe geometrie nie je známe nič viac. Ako potom nájsť oblasť v tomto stave? V tomto prípade sa použije vzorec pre oblasť pravidelného trojuholníka:

Obdĺžnik

Ako nájsť oblasť obdĺžnika a použiť rozmery strán, ktoré majú spoločný vrchol? Výraz pre výpočet je:

Ak chcete použiť dĺžky uhlopriečok na výpočet plochy obdĺžnika, potrebujete sínusovú funkciu uhla vytvoreného pri ich pretínaní. Vzorec pre oblasť obdĺžnika je:

Námestie

Plocha štvorca je definovaná ako druhá mocnina dĺžky strany:

Dôkaz vyplýva z definície, že obdĺžnik sa nazýva štvorec. Všetky strany tvoriace štvorec majú rovnaké rozmery. Výpočet plochy takého obdĺžnika sa preto redukuje na násobenie jeden po druhom, t.j. na druhú mocninu strany. A vzorec na výpočet plochy štvorca bude mať požadovanú formu.

Plochu štvorca možno nájsť iným spôsobom, napríklad ak použijete uhlopriečku:

Ako vypočítať plochu postavy, ktorá je tvorená časťou roviny ohraničenej kruhom? Na výpočet plochy platia tieto vzorce:

Paralelogram

Pre rovnobežník obsahuje vzorec lineárne rozmery strany, výšku a matematickú operáciu - násobenie. Ak je výška neznáma, ako nájsť oblasť rovnobežníka? Existuje aj iný spôsob výpočtu. Vyžaduje sa určitá hodnota, ktorú získa trigonometrická funkcia uhla, ktorý zvierajú susedné strany, ako aj ich dĺžka.

Vzorce pre oblasť rovnobežníka sú:

Rhombus

Ako nájsť oblasť štvoruholníka nazývaného kosoštvorec? Plocha kosoštvorca sa určuje pomocou jednoduchých matematických operácií s uhlopriečkami. Dôkaz sa opiera o skutočnosť, že diagonálne segmenty na d1 a d2 sa pretínajú v pravých uhloch. Tabuľka sínusov ukazuje, že pre pravý uhol táto funkcia sa rovná jednej. Preto sa plocha kosoštvorca vypočíta takto:

Oblasť kosoštvorca možno nájsť aj iným spôsobom. Tiež to nie je ťažké dokázať, keďže jeho strany sú rovnako dlhé. Potom ich súčin nahraďte podobným výrazom pre rovnobežník. Koniec koncov, špeciálnym prípadom tejto konkrétnej postavy je kosoštvorec. Tu γ - vnútorný kútik kosoštvorec. Plocha kosoštvorca sa určuje takto:

Hrazda

Ako nájsť oblasť lichobežníka cez základne (a a b), ak sú ich dĺžky uvedené v probléme? Tu, bez známej hodnoty výšky h, nebude možné vypočítať plochu takéhoto lichobežníka. Pretože táto hodnota obsahuje výraz pre výpočet:

Rovnakým spôsobom možno vypočítať aj štvorcový rozmer obdĺžnikového lichobežníka. Zároveň sa berie do úvahy, že v obdĺžnikovom lichobežníku sa kombinujú pojmy výška a strana. Preto pre obdĺžnikový lichobežník musíte namiesto výšky zadať dĺžku strany.

Valec a rovnobežnosten

Zvážte, čo je potrebné na výpočet povrchu celého valca. Oblasť tohto obrázku je dvojica kruhov nazývaných základne a bočný povrch. Kruhy tvoriace kružnice majú polomer dĺžky r. Pre plochu valca sa vykoná nasledujúci výpočet:

Ako nájsť oblasť rovnobežnostena, ktorý pozostáva z troch párov plôch? Jeho merania sú v súlade s konkrétnym párom. Tváre, ktoré sú oproti sebe, majú rovnaké parametre. Najprv nájdite S(1), S(2), S(3) - štvorcové rozmery nerovnakých plôch. Potom povrchová plocha rovnobežnostena:

Prsteň

Dva kruhy so spoločným stredom tvoria krúžok. Obmedzujú tiež oblasť prsteňa. V tomto prípade oba vzorce výpočtu zohľadňujú rozmery každého kruhu. Prvý, ktorý počíta plochu prstenca, obsahuje väčšie polomery R a menšie polomery r. Častejšie sa nazývajú vonkajšie a vnútorné. V druhom výraze sa plocha kruhu vypočíta pomocou väčšieho priemeru D a menšieho priemeru d. Plocha krúžku podľa známych polomerov sa teda vypočíta takto:

Plocha krúžku sa pomocou dĺžok priemerov určuje takto:

Polygón

Ako nájsť oblasť mnohouholníka, ktorého tvar nie je správny? Všeobecný vzorec neexistujú žiadne takéto údaje pre oblasť. Ale ak je to znázornené napríklad na súradnicovej rovine, môže to byť kockovaný papier, ako potom v tomto prípade nájsť plochu? Tu používajú metódu, ktorá nevyžaduje približne meranie postavy. Robia to takto: ak nájdu body, ktoré spadajú do rohu bunky alebo majú celočíselné súradnice, berú sa do úvahy iba tie. Ak chcete zistiť, o akú oblasť ide, použite vzorec, ktorý dokázal Pick. Je potrebné pripočítať počet bodov nachádzajúcich sa vo vnútri lomenej čiary s polovicou bodov, ktoré na nej ležia, a jeden odpočítať, t.j. vypočíta sa takto:

kde C, D - počet bodov umiestnených vo vnútri a na celej lomenej čiare.