Rovnica dotyčnice ku grafu funkcie idz. Tangenta ku grafu funkcie v bode

Typ práce: 7

Podmienka

Priamka y=3x+2 je dotyčnicou ku grafu funkcie y=-12x^2+bx-10. Nájdite b za predpokladu, že úsečka bodu dotyku menej ako nula.

Zobraziť riešenie

Riešenie

Nech x_0 je úsečka bodu na grafe funkcie y=-12x^2+bx-10, ktorým prechádza dotyčnica k tomuto grafu.

Hodnota derivácie v bode x_0 sa rovná sklonu dotyčnice, t.j. y"(x_0)=-24x_0+b=3. Na druhej strane dotykový bod patrí do grafu funkcie aj do dotyčnica, t.j. -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. Dostaneme sústavu rovníc \begin(prípady) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(cases)

Vyriešením tohto systému dostaneme x_0^2=1, čo znamená buď x_0=-1 alebo x_0=1. Podľa podmienky úsečky sú dotykové body menšie ako nula, preto x_0=-1, potom b=3+24x_0=-21.

Odpoveď

Typ práce: 7
téma: geometrický zmysel derivát. Graf dotyčnice k funkcii

Podmienka

Priamka y=-3x+4 je rovnobežná s dotyčnicou ku grafu funkcie y=-x^2+5x-7. Nájdite úsečku bodu kontaktu.

Zobraziť riešenie

Riešenie

Sklon priamky ku grafu funkcie y=-x^2+5x-7 v ľubovoľnom bode x_0 je y"(x_0). Ale y"=-2x+5, takže y"(x_0)=- 2x_0+5.Uhlový koeficient úsečky y=-3x+4 zadaný v podmienke je -3. Rovnobežné čiary majú rovnaké sklony.Preto nájdeme takú hodnotu x_0, že =-2x_0 +5=-3.

Dostaneme: x_0 = 4.

Odpoveď

Zdroj: „Matematika. Príprava na skúšku-2017. Úroveň profilu". Ed. F. F. Lysenko, S. Yu Kulabukhova.

Typ práce: 7
Téma: Geometrický význam derivácie. Graf dotyčnice k funkcii

Podmienka

Zobraziť riešenie

Riešenie

Z obrázku určíme, že dotyčnica prechádza bodmi A(-6; 2) a B(-1; 1). Označme C(-6; 1) priesečník priamok x=-6 a y=1 a \alpha uhol ABC (na obrázku je vidieť, že je ostrý). Potom priamka AB zviera tupý uhol \pi -\alpha s kladným smerom osi Ox.

Ako viete, tg(\pi -\alpha) bude hodnota derivácie funkcie f(x) v bode x_0. Všimni si tg \alpha =\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15. Odtiaľ pomocou redukčných vzorcov získame: tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0,2.

Odpoveď

Zdroj: „Matematika. Príprava na skúšku-2017. úroveň profilu. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu Kulabukhova.

Typ práce: 7
Téma: Geometrický význam derivácie. Graf dotyčnice k funkcii

Podmienka

Priamka y=-2x-4 je dotyčnicou grafu funkcie y=16x^2+bx+12. Nájdite b za predpokladu, že úsečka bodu dotyku je väčšia ako nula.

Zobraziť riešenie

Riešenie

Nech x_0 je úsečka bodu na grafe funkcie y=16x^2+bx+12, cez ktorý

je dotyčnicou tohto grafu.

Hodnota derivácie v bode x_0 sa rovná sklonu dotyčnice, teda y "(x_0)=32x_0+b=-2. Na druhej strane dotykový bod patrí do grafu funkcie. a dotyčnica, teda 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4 Dostaneme sústavu rovníc \begin(cases) 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \end(cases)

Vyriešením systému dostaneme x_0^2=1, čo znamená buď x_0=-1 alebo x_0=1. Podľa podmienky úsečky sú dotykové body väčšie ako nula, preto x_0=1, potom b=-2-32x_0=-34.

Odpoveď

Zdroj: „Matematika. Príprava na skúšku-2017. úroveň profilu. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu Kulabukhova.

Typ práce: 7
Téma: Geometrický význam derivácie. Graf dotyčnice k funkcii

Podmienka

Na obrázku je znázornený graf funkcie y=f(x) definovanej na intervale (-2; 8). Určte počet bodov, kde dotyčnica ku grafu funkcie je rovnobežná s priamkou y=6.

Zobraziť riešenie

Riešenie

Čiara y=6 je rovnobežná s osou Ox. Preto nájdeme také body, v ktorých je dotyčnica ku grafu funkcie rovnobežná s osou Ox. Na tomto grafe sú takéto body extrémnymi bodmi (maximálne alebo minimálne body). Ako vidíte, existujú 4 extrémne body.

Odpoveď

Zdroj: „Matematika. Príprava na skúšku-2017. úroveň profilu. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu Kulabukhova.

Typ práce: 7
Téma: Geometrický význam derivácie. Graf dotyčnice k funkcii

Podmienka

Priamka y=4x-6 je rovnobežná s dotyčnicou ku grafu funkcie y=x^2-4x+9. Nájdite úsečku bodu kontaktu.

Zobraziť riešenie

Riešenie

Sklon dotyčnice ku grafu funkcie y \u003d x ^ 2-4x + 9 v ľubovoľnom bode x_0 je y "(x_0). Ale y" \u003d 2x-4, čo znamená y "(x_0) \ u003d 2x_0-4. Sklon dotyčnice y \u003d 4x-7 zadaný v podmienke sa rovná 4. Rovnobežné čiary majú rovnaké sklony. Preto nájdeme takú hodnotu x_0, že 2x_0-4 \u003d 4. Získame : x_0 \u003d 4.

Odpoveď

Zdroj: „Matematika. Príprava na skúšku-2017. úroveň profilu. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu Kulabukhova.

Typ práce: 7
Téma: Geometrický význam derivácie. Graf dotyčnice k funkcii

Podmienka

Na obrázku je znázornený graf funkcie y=f(x) a dotyčnica k nej v bode s osou x_0. Nájdite hodnotu derivácie funkcie f(x) v bode x_0.

Zobraziť riešenie

Riešenie

Z obrázku určíme, že dotyčnica prechádza bodmi A(1; 1) a B(5; 4). Označme C(5; 1) priesečník priamok x=5 a y=1 a \alpha uhol BAC (na obrázku je vidieť, že je ostrý). Potom priamka AB zviera uhol \alpha s kladným smerom osi Ox.

Tangenta je priamka , ktorý sa v jednom bode dotýka grafu funkcie a ktorého všetky body sú v najmenšej vzdialenosti od grafu funkcie. Preto dotyčnica prechádza dotyčnicou ku grafu funkcie pod určitým uhlom a niekoľko dotyčníc nemôže prechádzať bodom dotyčnice pod rôznymi uhlami. Dotyčnicové rovnice a rovnice normály ku grafu funkcie sú zostavené pomocou derivácie.

Rovnica dotyčnice je odvodená z rovnice priamky .

Odvodíme rovnicu dotyčnice a potom rovnicu normály ku grafu funkcie.

r = kx + b .

V ňom k- uhlový koeficient.

Odtiaľ dostaneme nasledujúci záznam:

r - r 0 = k(X - X 0 ) .

Hodnota derivátu f "(X 0 ) funkcie r = f(X) v bode X0 rovná sklonu k=tg φ dotyčnica ku grafu funkcie nakreslenej cez bod M0 (X 0 , r 0 ) , kde r0 = f(X 0 ) . To je čo geometrický význam derivátu .

Môžeme teda nahradiť k na f "(X 0 ) a získajte nasledujúce rovnica dotyčnice ku grafu funkcie :

r - r 0 = f "(X 0 )(X - X 0 ) .

V úlohách na zostavenie rovnice dotyčnice ku grafu funkcie (a čoskoro k nim prejdeme) je potrebné uviesť rovnicu získanú z vyššie uvedeného vzorca do všeobecná rovnica priamky. Ak to chcete urobiť, musíte preniesť všetky písmená a čísla do ľavá strana rovnicu a na pravej strane ponechajte nulu.

Teraz o normálnej rovnici. Normálne je priamka prechádzajúca bodom dotyčnice ku grafu funkcie kolmá na dotyčnicu. Normálna rovnica :

(X - X 0 ) + f "(X 0 )(r - r 0 ) = 0

Ak chcete zahriať prvý príklad, musíte ho vyriešiť sami a potom sa pozrieť na riešenie. Je dôvod dúfať, že táto úloha nebude pre našich čitateľov „studenou sprchou“.

Príklad 0. Zostavte rovnicu dotyčnice a rovnicu normály ku grafu funkcie v bode M (1, 1) .

Príklad 1 Zostavte rovnicu dotyčnice a rovnicu normály ku grafu funkcie ak úsečka bodu dotyku je .

Poďme nájsť deriváciu funkcie:

Teraz máme všetko, čo je potrebné dosadiť do položky uvedenej v teoretickej referencii, aby sme získali tangentovú rovnicu. Dostaneme

V tomto príklade sme mali šťastie: sklon sa ukázal byť rovný nule, takže rovnicu uveďte samostatne všeobecný pohľad nebolo treba. Teraz môžeme napísať normálnu rovnicu:

Na obrázku nižšie: graf funkcie bordovej farby, dotyčnica Zelená farba, normálna je oranžová.

Nasledujúci príklad tiež nie je zložitý: funkcia, ako v predchádzajúcom, je tiež polynóm, ale sklon nebude nula, takže pribudne ešte jeden krok – uvedenie rovnice do všeobecného tvaru.

Príklad 2

Riešenie. Poďme nájsť ordinátu bodu dotyku:

Poďme nájsť deriváciu funkcie:

.

Nájdite hodnotu derivácie v bode dotyku, teda sklon dotyčnice:

Všetky získané údaje dosadíme do „prázdneho vzorca“ a dostaneme tangentovú rovnicu:

Privedieme rovnicu do všeobecného tvaru (zhromažďujeme všetky písmená a čísla iné ako nula na ľavej strane a nulu necháme na pravej strane):

Zostavíme rovnicu normály:

Príklad 3 Zostavte rovnicu dotyčnice a rovnicu normály ku grafu funkcie, ak úsečka bodu dotyku je .

Riešenie. Poďme nájsť ordinátu bodu dotyku:

Poďme nájsť deriváciu funkcie:

.

Nájdite hodnotu derivácie v bode dotyku, teda sklon dotyčnice:

.

Nájdeme rovnicu dotyčnice:

Pred uvedením rovnice do všeobecného tvaru ju musíte trochu „skombinovať“: vynásobte člen po člene 4. Urobíme to a rovnicu uvedieme do všeobecného tvaru:

Zostavíme rovnicu normály:

Príklad 4 Zostavte rovnicu dotyčnice a rovnicu normály ku grafu funkcie, ak úsečka bodu dotyku je .

Riešenie. Poďme nájsť ordinátu bodu dotyku:

.

Poďme nájsť deriváciu funkcie:

Nájdite hodnotu derivácie v bode dotyku, teda sklon dotyčnice:

.

Dostaneme tangentovú rovnicu:

Prinášame rovnicu do všeobecného tvaru:

Zostavíme rovnicu normály:

Častou chybou pri písaní tangensových a normálnych rovníc je nevšimnúť si, že funkcia uvedená v príklade je zložitá a vypočítať jej deriváciu ako deriváciu jednoduchej funkcie. Nasledujúce príklady už sú komplexné funkcie(príslušná lekcia sa otvorí v novom okne).

Príklad 5 Zostavte rovnicu dotyčnice a rovnicu normály ku grafu funkcie, ak úsečka bodu dotyku je .

Riešenie. Poďme nájsť ordinátu bodu dotyku:

Pozor! Táto funkcia je zložitá, pretože argument dotyčnice (2 X) je sama o sebe funkciou. Preto deriváciu funkcie nájdeme ako deriváciu komplexnej funkcie.

Dôležité poznámky!
1. Ak namiesto vzorcov vidíte abrakadabra, vymažte vyrovnávaciu pamäť. Ako to urobiť vo vašom prehliadači je napísané tu:
2. Skôr ako začnete čítať článok, venujte pozornosť nášmu navigátorovi, ktorý vám poskytne najužitočnejší zdroj

Už viete, čo je derivát? Ak nie, najprv si prečítajte vlákno. Takže hovoríte, že poznáte derivát. Teraz to skontrolujeme. Nájdite prírastok funkcie, keď je prírastok argumentu rovný. Zvládli ste to? Malo by to fungovať. Teraz nájdite deriváciu funkcie v bode. Odpoveď: . Stalo? Ak je niektorý z týchto príkladov ťažký, dôrazne vám odporúčam vrátiť sa k téme a znova si ju preštudovať. Viem, že téma je veľmi rozsiahla, ale inak nemá zmysel ísť ďalej. Zvážte graf nejakej funkcie:

Vyberme si určitý bod na čiare grafu. Nech je jeho úsečka, potom sa ordináta rovná. Potom vyberieme bod blízko bodu s úsečkou; jeho súradnica je:

Nakreslime čiaru cez tieto body. Nazýva sa to sekans (rovnako ako v geometrii). Označme uhol sklonu priamky k osi ako. Rovnako ako v trigonometrii sa tento uhol meria od kladného smeru osi x proti smeru hodinových ručičiek. Aké hodnoty môže mať uhol? Bez ohľadu na to, ako nakloníte túto priamku, jedna polovica bude stále trčať. Preto maximálny možný uhol je , a minimálny možný je . Znamená, . Uhol nie je zahrnutý, pretože poloha čiary sa v tomto prípade presne zhoduje a je logickejšie zvoliť menší uhol. Vezmite bod na obrázku tak, aby priamka bola rovnobežná s osou x a - ordinácia:

Z obrázku je vidieť, že a. Potom pomer prírastkov:

(pretože je obdĺžnikový).

Poďme teraz znížiť. Potom sa bod priblíži k bodu. Keď sa stane infinitezimálnym, pomer sa rovná derivácii funkcie v bode. Čo sa stane v tomto prípade so sektom? Bod bude nekonečne blízko bodu, takže ich možno považovať za rovnaký bod. Ale priamka, ktorá má len jeden spoločný bod s krivkou, nie je nič iné ako dotyčnica(v tomto prípade je táto podmienka splnená len na malej ploche - blízko bodu, ale to stačí). Hovorí sa, že v tomto prípade zaberá sekanta limitná poloha.

Nazvime uhol sklonu sečnice k osi. Potom sa ukáže, že derivát

to jest derivácia sa rovná dotyčnici sklonu dotyčnice ku grafu funkcie v danom bode.

Keďže dotyčnica je priamka, pripomeňme si teraz rovnicu priamky:

Na čo je pomer? Pre sklon priamky. Volá sa to takto: sklon. Čo to znamená? A skutočnosť, že sa rovná dotyčnici uhla medzi priamkou a osou! To znamená, že sa stane toto:

Ale toto pravidlo sme získali zvážením zvyšujúcej sa funkcie. Čo sa stane, ak sa funkcia zníži? Pozrime sa:
Teraz sú rohy tupé. A prírastok funkcie je záporný. Zvážte znova: . Na druhej strane, . Dostávame:, teda všetko, ako minule. Opäť nasmerujeme bod do bodu a sečna zaujme hraničnú polohu, to znamená, že sa zmení na dotyčnicu ku grafu funkcie v bode. Takže sformulujme posledné pravidlo:
Derivácia funkcie v danom bode sa rovná dotyčnici sklonu dotyčnice ku grafu funkcie v tomto bode alebo (ktorá je rovnaká) sklonu tejto dotyčnice:

Tak to je geometrický význam derivátu. Dobre, toto všetko je zaujímavé, ale prečo to potrebujeme? Tu príklad:
Na obrázku je znázornený graf funkcie a jej dotyčnica v bode s osou x. Nájdite hodnotu derivácie funkcie v bode.
Riešenie.
Ako sme nedávno zistili, hodnota derivácie v bode dotyku sa rovná sklonu dotyčnice, ktorá sa zase rovná dotyčnici uhla sklonu tejto dotyčnice k osi x: . Aby sme teda našli hodnotu derivácie, musíme nájsť tangens sklonu dotyčnice. Na obrázku sme označili dva body ležiace na dotyčnici, ktorých súradnice sú nám známe. Poďme teda pekne po poriadku správny trojuholník prechádzajúc týmito bodmi a nájdite dotyčnicu sklonu dotyčnice!

Uhol sklonu dotyčnice k osi je. Nájdite tangens tohto uhla: . Derivácia funkcie v bode sa teda rovná.
odpoveď:. Teraz to skúste sami:

Odpovede:

Vedieť geometrický význam derivátu, možno veľmi jednoducho vysvetliť pravidlo, že derivácia v bode lokálneho maxima alebo minima sa rovná nule. V skutočnosti je dotyčnica ku grafu v týchto bodoch „horizontálna“, teda rovnobežná s osou x:

Aký je uhol medzi rovnobežnými čiarami? Samozrejme, nula! A tangens nuly je tiež nula. Takže derivácia je nula:

Prečítajte si o tom viac v téme „Monotónnosť funkcií. extrémne body.

Teraz sa zamerajme na ľubovoľné tangenty. Predpokladajme, že máme nejakú funkciu, napríklad . Nakreslili sme jeho graf a chceme k nemu v určitom bode nakresliť dotyčnicu. Napríklad v bode. Vezmeme pravítko, priložíme ho ku grafu a nakreslíme:

Čo vieme o tejto linke? Čo je najdôležitejšie vedieť o priamke v súradnicovej rovine? Keďže priamka je obrazom lineárnej funkcie, bolo by veľmi vhodné poznať jej rovnicu. Teda koeficienty v rovnici

Ale my už vieme! Toto je sklon dotyčnice, ktorý sa rovná derivácii funkcie v tomto bode:

V našom príklade to bude takto:

Teraz zostáva nájsť. To je jednoduchšie ako jednoduché: koniec koncov - hodnota pri. Graficky je to súradnica priesečníka priamky s osou y (napokon vo všetkých bodoch osi):

Nakreslíme (takže - obdĺžnikové). Potom (do rovnakého uhla medzi dotyčnicou a osou x). Čo sú a čomu sa rovnajú? Obrázok jasne ukazuje, že a. Potom dostaneme:

Všetky získané vzorce spojíme do rovnice priamky:

Teraz sa rozhodnite sami:

1. Nájsť dotyčnicová rovnica k funkcii v bode.
2. Dotyčnica k parabole pretína os pod uhlom. Nájdite rovnicu pre túto dotyčnicu.
3. Čiara je rovnobežná s dotyčnicou ku grafu funkcie. Nájdite úsečku bodu kontaktu.
4. Čiara je rovnobežná s dotyčnicou ku grafu funkcie. Nájdite úsečku bodu kontaktu.

Riešenia a odpovede:

ROVNICE FUNKCIE TANGENTY KU GRAFU. STRUČNÝ POPIS A ZÁKLADNÝ VZOREC

Derivácia funkcie v určitom bode sa rovná dotyčnici sklonu dotyčnice ku grafu funkcie v tomto bode alebo sklonu tejto dotyčnice:

Rovnica dotyčnice ku grafu funkcie v bode:

Algoritmus akcií na nájdenie tangentovej rovnice:

No, téma je ukončená. Ak čítate tieto riadky, potom ste veľmi cool.

Pretože len 5% ľudí je schopných niečo zvládnuť sami. A ak ste dočítali až do konca, tak ste v tých 5%!

Teraz to najdôležitejšie.

Prišli ste na teóriu na túto tému. A opakujem, je to ... je to jednoducho super! Už teraz ste lepší ako drvivá väčšina vašich rovesníkov.

Problém je, že to nemusí stačiť...

Prečo?

Pre úspešné doručenie Jednotná štátna skúška na prijatie do ústavu s rozpočtom a HLAVNE na celý život.

Nebudem ťa o ničom presviedčať, poviem len jedno...

Ľudia, ktorí dostali dobré vzdelanie, zarábajú oveľa viac ako tí, ktorí ho nedostali. Toto je štatistika.

Ale to nie je to hlavné.

Hlavne, že sú ŠŤASTNEJŠÍ (existujú také štúdie). Možno preto, že sa pred nimi otvára oveľa viac príležitostí a život sa stáva jasnejším? neviem...

Ale zamysli sa nad sebou...

Čo je potrebné na to, aby ste boli na skúške lepší ako ostatní a v konečnom dôsledku ... šťastnejší?

VYPLŇTE SI RUKU, RIEŠTE PROBLÉMY V TEJTO TÉME.

Na skúške sa vás nebudú pýtať na teóriu.

Budete potrebovať riešiť problémy včas.

A ak ste ich nevyriešili (VEĽA!), určite niekde urobíte hlúpu chybu alebo ju jednoducho neurobíte včas.

Je to ako v športe – treba opakovať veľakrát, aby ste vyhrali.

Nájdite zbierku kdekoľvek chcete nutne s riešeniami, podrobnou analýzou a rozhodni sa, rozhodni sa, rozhodni sa!

Môžete využiť naše úlohy (nie je potrebné) a určite ich odporúčame.

Ak chcete získať pomoc s našimi úlohami, musíte pomôcť predĺžiť životnosť učebnice YouClever, ktorú práve čítate.

Ako? Sú dve možnosti:

1. Odomknite prístup ku všetkým skrytým úlohám v tomto článku -
2. Odomknite prístup ku všetkým skrytým úlohám vo všetkých 99 článkoch tutoriálu - Kúpte si učebnicu - 499 rubľov

Áno, takýchto článkov máme v učebnici 99 a prístup ku všetkým úlohám a všetkým skrytým textom v nich je možné okamžite otvoriť.

Prístup ku všetkým skrytým úlohám je poskytovaný počas celej životnosti stránky.

Na záver...

Ak sa vám nepáčia naše úlohy, nájdite si iné. Len neprestávajte s teóriou.

„Rozumiem“ a „Viem, ako to vyriešiť“ sú úplne odlišné zručnosti. Potrebujete oboje.

Nájdite problémy a riešte ich!

Príklad 1 Daná funkcia f(X) = 3X 2 + 4X– 5. Napíšme rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie f(X) v bode grafu s úsečkou X 0 = 1.

Riešenie. Derivácia funkcie f(X) existuje pre ľubovoľné x R . Poďme to nájsť:

= (3X 2 + 4X– 5)′ = 6 X + 4.

Potom f(X 0) = f(1) = 2; (X 0) = = 10. Rovnica dotyčnice má tvar:

r = (X 0) (X – X 0) + f(X 0),

r = 10(X – 1) + 2,

r = 10X – 8.

Odpoveď. r = 10X – 8.

Príklad 2 Daná funkcia f(X) = X 3 – 3X 2 + 2X+ 5. Napíšeme rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie f(X), rovnobežne s čiarou r = 2X – 11.

Riešenie. Derivácia funkcie f(X) existuje pre ľubovoľné x R . Poďme to nájsť:

= (X 3 – 3X 2 + 2X+ 5)′ = 3 X 2 – 6X + 2.

Od dotyčnice ku grafu funkcie f(X) v bode s osou x X 0 je rovnobežná s čiarou r = 2X– 11, potom je jeho sklon 2, t.j. ( X 0) = 2. Nájdite túto úsečku od podmienky, že 3 X– 6X 0 + 2 = 2. Táto rovnosť platí len pre X 0 = 0 a X 0 = 2. Keďže v oboch prípadoch f(X 0) = 5, potom priamka r = 2X + b sa dotkne grafu funkcie buď v bode (0; 5) alebo v bode (2; 5).

V prvom prípade platí číselná rovnosť 5 = 2×0 + b, kde b= 5 a v druhom prípade platí číselná rovnosť 5 = 2 × 2 + b, kde b = 1.

Existujú teda dve dotyčnice r = 2X+ 5 a r = 2X+ 1 ku grafu funkcie f(X) rovnobežne s čiarou r = 2X – 11.

Odpoveď. r = 2X + 5, r = 2X + 1.

Príklad 3 Daná funkcia f(X) = X 2 – 6X+ 7. Napíšeme rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie f(X) prechádzajúci bodom A (2; –5).

Riešenie. Pretože f(2) –5, potom bod A nepatrí do grafu funkcie f(X). Nechaj X 0 - súradnica bodu dotyku.

Derivácia funkcie f(X) existuje pre ľubovoľné x R . Poďme to nájsť:

= (X 2 – 6X+ 1)′ = 2 X – 6.

Potom f(X 0) = X– 6X 0 + 7; (X 0) = 2X 0 - 6. Rovnica dotyčnice má tvar:

r = (2X 0 – 6)(X – X 0) + X– 6X+ 7,

r = (2X 0 – 6)X– X+ 7.

Od veci A patrí dotyčnici, potom platí číselná rovnosť

–5 = (2X 0 – 6) × 2– X+ 7,

kde X 0 = 0 alebo X 0 = 4. To znamená, že cez bod A je možné nakresliť dve dotyčnice ku grafu funkcie f(X).

Ak X 0 = 0, potom rovnica dotyčnice má tvar r = –6X+ 7. Ak X 0 = 4, potom rovnica dotyčnice má tvar r = 2X – 9.

Odpoveď. r = –6X + 7, r = 2X – 9.

Príklad 4 Dané funkcie f(X) = X 2 – 2X+ 2 a g(X) = –X 2 - 3. Napíšme rovnicu spoločnej dotyčnice ku grafom týchto funkcií.

Riešenie. Nechaj X 1 - úsečka bodu dotyku požadovanej priamky s grafom funkcie f(X), a X 2 - úsečka bodu dotyku tej istej priamky s grafom funkcie g(X).

Derivácia funkcie f(X) existuje pre ľubovoľné x R . Poďme to nájsť:

= (X 2 – 2X+ 2)′ = 2 X – 2.

Potom f(X 1) = X– 2X 1 + 2; (X 1) = 2X 1 - 2. Rovnica dotyčnice má tvar:

r = (2X 1 – 2)(X – X 1) + X– 2X 1 + 2,

r = (2X 1 – 2)X – X+ 2. (1)

Poďme nájsť deriváciu funkcie g(X):

= (–X 2 – 3)′ = –2 X.

Zvážte nasledujúci obrázok:

Ukazuje nejakú funkciu y = f(x), ktorá je diferencovateľná v bode a. Označený bod M so súradnicami (a; f(a)). Cez ľubovoľný bod P(a + ∆x; f(a + ∆x)) grafu je nakreslená sečna MP.

Ak sa teraz bod P posunie pozdĺž grafu do bodu M, potom sa priamka MP bude otáčať okolo bodu M. V tomto prípade bude ∆x inklinovať k nule. Odtiaľ môžeme formulovať definíciu dotyčnice ku grafu funkcie.

Graf dotyčnice k funkcii

Dotyčnica ku grafu funkcie je limitnou pozíciou sečny, keď prírastok argumentu smeruje k nule. Treba si uvedomiť, že existencia derivácie funkcie f v bode x0 znamená, že v tomto bode grafu je dotyčnica jemu.

V tomto prípade sa sklon dotyčnice bude rovnať derivácii tejto funkcie v tomto bode f’(x0). Toto je geometrický význam derivácie. Dotyčnica ku grafu funkcie f diferencovateľnej v bode x0 je nejaká priamka prechádzajúca bodom (x0;f(x0)) a so sklonom f'(x0).

Tangentová rovnica

Skúsme dostať rovnicu dotyčnice ku grafu nejakej funkcie f v bode A(x0; f(x0)). Rovnica priamky so sklonom k ​​má nasledujúci tvar:

Keďže náš sklon sa rovná derivácii f'(x0), potom bude mať rovnica nasledujúci tvar: y = f'(x0)*x + b.

Teraz vypočítajme hodnotu b. Využívame na to fakt, že funkcia prechádza bodom A.

f(x0) = f’(x0)*x0 + b, odtiaľto vyjadríme b a dostaneme b = f(x0) - f’(x0)*x0.

Výslednú hodnotu dosadíme do rovnice dotyčnice:

y = f'(x0)*x + b = f'(x0)*x + f(x0) - f'(x0)*x0 = f(x0) + f'(x0)*(x - x0).

y = f(x0) + f'(x0)*(x - x0).

Zvážte nasledujúci príklad: nájdite rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie f (x) \u003d x 3 - 2 * x 2 + 1 v bode x \u003d 2.

2. f(x0) = f(2) = 2 2 - 2*2 2 + 1 = 1.

3. f'(x) = 3*x 2 - 4*x.

4. f'(x0) = f'(2) = 3*2 2 - 4*2 = 4.

5. Dosaďte získané hodnoty do tangentového vzorca, dostaneme: y = 1 + 4*(x - 2). Otvorením zátvoriek a uvedením podobných výrazov dostaneme: y = 4*x - 7.

Odpoveď: y = 4*x - 7.

Všeobecná schéma zostavenia tangentovej rovnice do grafu funkcie y = f(x):

1. Určte x0.

2. Vypočítajte f(x0).

3. Vypočítajte f'(x)