Nájdite rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie. Tangenta ku grafu funkcie v bode

Dôležité poznámky!
1. Ak sa namiesto vzorcov zobrazuje gobbledygook, vymažte vyrovnávaciu pamäť. Ako to urobiť vo vašom prehliadači je napísané tu:
2. Skôr ako začnete čítať článok, venujte pozornosť nášmu navigátoru, kde nájdete najužitočnejšie zdroje pre

Už viete, čo je derivát? Ak nie, najprv si prečítajte tému. Takže hovoríte, že poznáte derivát. Teraz to skontrolujeme. Nájdite prírastok funkcie, keď je prírastok argumentu rovný. Zvládli ste to? Malo by to fungovať. Teraz nájdite deriváciu funkcie v bode. Odpoveď: . Stalo? Ak máte problémy s niektorým z týchto príkladov, dôrazne vám odporúčam vrátiť sa k téme a znova si ju preštudovať. Viem, že téma je veľmi veľká, ale inak nemá zmysel ísť ďalej. Zvážte graf nejakej funkcie:

Vyberme si určitý bod na čiare grafu. Nech je jeho úsečka, potom sa ordináta rovná. Potom vyberieme bod s úsečkou blízko bodu; jeho ordináta je:

Cez tieto body nakreslíme priamku. Nazýva sa to sekans (rovnako ako v geometrii). Označme uhol sklonu priamky k osi ako. Rovnako ako v trigonometrii sa tento uhol meria od kladného smeru osi x proti smeru hodinových ručičiek. Aké hodnoty môže mať uhol? Bez ohľadu na to, ako nakloníte túto priamku, jedna polovica bude stále trčať. Preto maximálny možný uhol je , a minimálny možný uhol je . Znamená, . Uhol nie je zahrnutý, pretože poloha priamky sa v tomto prípade presne zhoduje s a je logickejšie zvoliť menší uhol. Zoberme si bod na obrázku tak, že priamka je rovnobežná s osou x a a je ordináta:

Z obrázku je vidieť, že a. Potom je pomer prírastkov:

(keďže je obdĺžnikový).

Teraz to zredukujme. Potom sa bod priblíži k bodu. Keď sa stane infinitezimálnym, pomer sa rovná derivácii funkcie v bode. Čo sa stane so sektom? Bod bude nekonečne blízko bodu, takže ich možno považovať za rovnaký bod. Ale priamka, ktorá má len jeden spoločný bod s krivkou, nie je nič iné ako dotyčnica(v tomto prípade je táto podmienka splnená len na malej ploche - blízko bodu, ale to stačí). Hovoria, že v tomto prípade zaberá sekanta limitná poloha.

Nazvime uhol sklonu sečnice k osi. Potom sa ukáže, že derivát

to jest derivácia sa rovná dotyčnici uhla sklonu dotyčnice ku grafu funkcie v danom bode.

Keďže dotyčnica je priamka, spomeňme si teraz na rovnicu priamky:

Za čo je zodpovedný koeficient? Pre sklon priamky. Toto sa volá: sklon. Čo to znamená? A skutočnosť, že sa rovná dotyčnici uhla medzi priamkou a osou! Takže toto sa stane:

Ale toto pravidlo sme získali zvážením zvyšujúcej sa funkcie. Čo sa zmení, ak sa funkcia zníži? Pozrime sa:
Teraz sú uhly tupé. A prírastok funkcie je záporný. Uvažujme ešte raz: . Na druhej strane, . Dostaneme: , to znamená, že všetko je ako naposledy. Opäť nasmerujeme bod do bodu a sečna zaujme hraničnú polohu, to znamená, že sa zmení na dotyčnicu ku grafu funkcie v bode. Sformulujme teda posledné pravidlo:
Derivácia funkcie v danom bode sa rovná dotyčnici uhla sklonu dotyčnice ku grafu funkcie v tomto bode alebo (ktorá je rovnaká) sklonu tejto dotyčnice:

Tak to je geometrický význam derivácie. Dobre, toto všetko je zaujímavé, ale prečo to potrebujeme? Tu príklad:
Na obrázku je znázornený graf funkcie a jej dotyčnica v bode úsečky. Nájdite hodnotu derivácie funkcie v bode.
Riešenie.
Ako sme nedávno zistili, hodnota derivácie v bode dotyku sa rovná sklonu dotyčnice, ktorý sa zase rovná dotyčnici uhla sklonu tejto dotyčnice k osi x. To znamená, že na nájdenie hodnoty derivácie musíme nájsť tangens tangensového uhla. Na obrázku máme vyznačené dva body ležiace na dotyčnici, ktorých súradnice sú nám známe. Poďme to teda dokončiť správny trojuholník, prechádzajúc týmito bodmi a nájdite dotyčnicu dotyčnicového uhla!

Uhol sklonu dotyčnice k osi je. Nájdite tangens tohto uhla: . Derivácia funkcie v bode sa teda rovná.
odpoveď:. Teraz to skúste sami:

Odpovede:

Vedieť geometrický význam derivácie, môžeme veľmi jednoducho vysvetliť pravidlo, že derivácia v bode lokálneho maxima alebo minima sa rovná nule. V skutočnosti je dotyčnica ku grafu v týchto bodoch „horizontálna“, to znamená rovnobežná s osou x:

Aký je uhol medzi rovnobežnými čiarami? Samozrejme, nula! A tangens nuly je tiež nula. Takže derivácia sa rovná nule:

Prečítajte si o tom viac v téme „Monotónnosť funkcií. Extrémne body."

Teraz sa zamerajme na ľubovoľné dotyčnice. Povedzme, že máme nejakú funkciu, napríklad . Nakreslili sme jeho graf a chceme k nemu v určitom bode nakresliť dotyčnicu. Napríklad v bode. Vezmeme pravítko, priložíme ho ku grafu a nakreslíme:

Čo vieme o tejto linke? Čo je najdôležitejšie vedieť o priamke v súradnicovej rovine? Keďže priamka je obrazom lineárnej funkcie, bolo by veľmi vhodné poznať jej rovnicu. Teda koeficienty v rovnici

Ale my už vieme! Toto je sklon dotyčnice, ktorý sa v tomto bode rovná derivácii funkcie:

V našom príklade to bude takto:

Teraz už zostáva len nájsť. Je to také jednoduché ako lúskanie hrušiek: koniec koncov - hodnota. Graficky je to súradnica priesečníka čiary so súradnicovou osou (napokon vo všetkých bodoch osi):

Nakreslíme to (takže je to obdĺžnikové). Potom (do rovnakého uhla medzi dotyčnicou a osou x). Čo sú a čomu sa rovnajú? Obrázok jasne ukazuje, že a. Potom dostaneme:

Všetky získané vzorce spojíme do rovnice priamky:

Teraz sa rozhodnite sami:

Nájsť dotyčnicová rovnica k funkcii v bode.
Dotyčnica k parabole pretína os pod uhlom. Nájdite rovnicu tejto dotyčnice.
Čiara je rovnobežná s dotyčnicou ku grafu funkcie. Nájdite úsečku dotykového bodu.
Čiara je rovnobežná s dotyčnicou ku grafu funkcie. Nájdite úsečku dotykového bodu.

Riešenia a odpovede:

ROVNICE TANGENTY KU GRAFU FUNKCIE. STRUČNÝ POPIS A ZÁKLADNÉ VZORCE

Derivácia funkcie v konkrétnom bode sa rovná dotyčnici dotyčnice ku grafu funkcie v tomto bode alebo sklonu tejto dotyčnice:

Rovnica dotyčnice ku grafu funkcie v bode:

Algoritmus na nájdenie tangentovej rovnice:

No, téma je ukončená. Ak čítate tieto riadky, znamená to, že ste veľmi cool.

Pretože len 5% ľudí je schopných niečo zvládnuť sami. A ak dočítate až do konca, tak ste v týchto 5%!

Teraz to najdôležitejšie.

Pochopili ste teóriu na túto tému. A opakujem, toto... toto je proste super! Už teraz ste lepší ako drvivá väčšina vašich rovesníkov.

Problém je, že to nemusí stačiť...

Prečo?

Pre úspešné zloženie jednotnej štátnej skúšky, na prijatie na vysokú školu s obmedzeným rozpočtom a HLAVNE na celý život.

nebudem ta o nicom presviedcat, poviem len jedno...

Ľudia, ktorí dostali dobré vzdelanie, zarábajú oveľa viac ako tí, ktorí ho nedostali. Toto je štatistika.

Ale to nie je to hlavné.

Hlavne, že sú ŠŤASTNEJŠÍ (existujú také štúdie). Možno preto, že sa pred nimi otvára oveľa viac príležitostí a život sa stáva jasnejším? neviem...

Ale zamysli sa nad sebou...

Čo je potrebné na to, aby ste boli na jednotnej štátnej skúške lepší ako ostatní a nakoniec boli... šťastnejší?

ZÍSKAJTE SI RUKU RIEŠENÍM PROBLÉMOV V TEJTO TÉME.

Na skúške od vás nebudú žiadať teóriu.

Budete potrebovať riešiť problémy včas.

A ak ste ich nevyriešili (VEĽA!), určite niekde urobíte hlúpu chybu alebo jednoducho nebudete mať čas.

Je to ako v športe – treba to veľakrát zopakovať, aby ste vyhrali.

Nájdite kolekciu kdekoľvek chcete, nutne s riešeniami, podrobnou analýzou a rozhodni sa, rozhodni sa, rozhodni sa!

Môžete využiť naše úlohy (voliteľné) a my ich, samozrejme, odporúčame.

Ak chcete lepšie používať naše úlohy, musíte pomôcť predĺžiť životnosť učebnice YouClever, ktorú práve čítate.

Ako? Sú dve možnosti:

Odomknite všetky skryté úlohy v tomto článku -
Odomknite prístup ku všetkým skrytým úlohám vo všetkých 99 článkoch učebnice - Kúpte si učebnicu - 499 RUR

Áno, takýchto článkov máme v našej učebnici 99 a prístup ku všetkým úlohám a všetkým skrytým textom v nich je možné okamžite otvoriť.

Prístup ku všetkým skrytým úlohám je poskytovaný po CELÚ životnosť stránky.

Na záver...

Ak sa vám nepáčia naše úlohy, nájdite si iné. Len neostávajte pri teórii.

„Rozumiem“ a „Viem vyriešiť“ sú úplne odlišné zručnosti. Potrebujete oboje.

Nájdite problémy a riešte ich!

Článok poskytuje podrobné vysvetlenie definícií, geometrický význam derivátu s grafické symboly. Rovnica dotyčnice bude uvažovaná s príkladmi, nájde sa rovnica dotyčnice ku krivkám 2. rádu.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definícia 1

Uhol sklonu priamky y = k x + b sa nazýva uhol α, ktorý sa meria od kladného smeru osi x k priamke y = k x + b v kladnom smere.

Na obrázku je smer x označený zelenou šípkou a zeleným oblúkom a uhol sklonu červeným oblúkom. Modrá čiara označuje priamku.

Definícia 2

Sklon priamky y = k x + b sa nazýva číselný koeficient k.

Uhlový koeficient sa rovná dotyčnici priamky, inými slovami k = t g α.

Uhol sklonu priamky sa rovná 0 iba vtedy, ak je x rovnobežné a sklon je rovná nule, pretože dotyčnica nuly je 0. To znamená, že tvar rovnice bude y = b.
Ak je uhol sklonu priamky y = k x + b ostrý, potom sú splnené podmienky 0< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию t g α >0 a v grafe je nárast.
Ak α = π 2, potom je umiestnenie priamky kolmé na x. Rovnosť je určená x = c, pričom hodnota c je reálne číslo.
Ak je uhol sklonu priamky y = k x + b tupý, potom zodpovedá podmienkam π 2< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.

Definícia 3

Sekanta je priamka, ktorá prechádza cez 2 body funkcie f (x). Inými slovami, sečna je priama čiara, ktorá je nakreslená cez ľubovoľné dva body v grafe danú funkciu.

Obrázok ukazuje, že A B je sečna a f (x) je čierna krivka, α je červený oblúk označujúci uhol sklonu sečny.

Keď sa uhlový koeficient priamky rovná dotyčnici uhla sklonu, je zrejmé, že dotyčnicu pravouhlého trojuholníka A B C možno nájsť pomerom protiľahlej strany k susednej.

Definícia 4

Dostaneme vzorec na nájdenie sekantu formulára:

k = t g α = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A, kde úsečky bodov A a B sú hodnoty x A, x B a f (x A), f (x B) sú funkcie hodnôt v týchto bodoch.

Je zrejmé, že uhlový koeficient sečnice sa určuje pomocou rovnosti k = f (x B) - f (x A) x B - x A alebo k = f (x A) - f (x B) x A - x B , pričom rovnicu treba zapísať ako y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) resp.
y = f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B).

Secant rozdeľuje graf vizuálne na 3 časti: naľavo od bodu A, od A do B, napravo od B. Obrázok nižšie ukazuje, že existujú tri sečeny, ktoré sa považujú za zhodné, to znamená, že sú nastavené pomocou podobná rovnica.

Podľa definície je jasné, že priamka a jej sečna sa v tomto prípade zhodujú.

Secant môže pretínať graf danej funkcie viackrát. Ak pre sečnicu existuje rovnica v tvare y = 0, potom je počet priesečníkov so sínusoidou nekonečný.

Definícia 5

Tangenta ku grafu funkcie f (x) v bode x 0 ; f (x 0) je priamka prechádzajúca daným bodom x 0; f (x 0), s prítomnosťou segmentu, ktorý má veľa hodnôt x blízkych x 0.

Príklad 1

Pozrime sa bližšie na príklad nižšie. Potom je jasné, že priamku definovanú funkciou y = x + 1 považujeme za dotyčnicu k y = 2 x v bode so súradnicami (1; 2). Pre prehľadnosť je potrebné zvážiť grafy s hodnotami blízkymi (1; 2). Funkcia y = 2 x je znázornená čiernou farbou, modrá čiara je dotyčnica a červená bodka je priesečník.

Je zrejmé, že y = 2 x sa spája s čiarou y = x + 1.

Na určenie dotyčnice by sme mali zvážiť správanie sa dotyčnice A B, keď sa bod B nekonečne približuje k bodu A Pre prehľadnosť uvádzame nákres.

Sečna A B označená modrou čiarou smeruje k polohe samotnej dotyčnice a uhol sklonu sečny α sa začne približovať k uhlu sklonu samotnej dotyčnice α x.

Definícia 6

Dotyčnica ku grafu funkcie y = f (x) v bode A sa považuje za limitnú polohu sečny A B, keďže B smeruje k A, teda k B → A.

Teraz prejdime k uvažovaniu o geometrickom význame derivácie funkcie v bode.

Prejdime k uvažovaniu sečnice A B pre funkciu f (x), kde A a B so súradnicami x 0, f (x 0) a x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x) a ∆ x je označené ako prírastok argumentu . Teraz bude mať funkcia tvar ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) . Pre názornosť uveďme príklad kresby.

Uvažujme výsledný pravouhlý trojuholník A B C. Na riešenie použijeme definíciu dotyčnice, to znamená, že získame vzťah ∆ y ∆ x = t g α . Z definície dotyčnice vyplýva, že lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x . Podľa pravidla o derivácii v bode máme, že derivácia f (x) v bode x 0 sa nazýva limita pomeru prírastku funkcie k prírastku argumentu, kde ∆ x → 0 , potom to označíme ako f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x .

Z toho vyplýva, že f " (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x, kde k x je označená ako sklon dotyčnice.

To znamená, že zistíme, že f ' (x) môže existovať v bode x 0 a podobne ako dotyčnica k danému grafu funkcie v bode dotyku rovnajúcemu sa x 0, f 0 (x 0), kde hodnota sklon dotyčnice v bode sa rovná derivácii v bode x 0 . Potom dostaneme, že k x = f " (x 0) .

Geometrický význam derivácia funkcie v bode je, že je daný pojem existencie dotyčnice ku grafu v tom istom bode.

Na napísanie rovnice akejkoľvek priamky na rovine je potrebné mať uhlový koeficient s bodom, ktorým prechádza. Jeho zápis sa považuje za x 0 v priesečníku.

Rovnica dotyčnice ku grafu funkcie y = f (x) v bode x 0, f 0 (x 0) má tvar y = f "(x 0) x - x 0 + f (x 0).

To znamená, že konečná hodnota derivácie f "(x 0) môže určiť polohu dotyčnice, teda vertikálne, za predpokladu, že lim x → x 0 + 0 f "(x) = ∞ a lim x → x 0 - 0 f "(x ) = ∞ alebo vôbec neprítomnosť za podmienky lim x → x 0 + 0 f " (x) ≠ lim x → x 0 - 0 f " (x) .

Umiestnenie dotyčnice závisí od hodnoty jej uhlového koeficientu k x = f "(x 0). Keď je rovnobežná s osou x, dostaneme, že k k = 0, keď je rovnobežná s o y - k x = ∞, a tvar rovnica dotyčnice x = x 0 rastie s k x > 0, klesá ako k x< 0 .

Príklad 2

Zostavte rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie y = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 v bode so súradnicami (1; 3) a určte uhol sklonu.

Riešenie

Podľa podmienky máme, že funkcia je definovaná pre všetky reálne čísla. Zistíme, že bod so súradnicami určenými podmienkou (1; 3) je bod dotyku, potom x 0 = - 1, f (x 0) = - 3.

Je potrebné nájsť deriváciu v bode s hodnotou - 1. Chápeme to

y " = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 " = = e x + 1 " + x 3 3 " - 6 - 3 3 x " - 17 - 3 3 " = e x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y " (x 0) = y" (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

Hodnota f' (x) v bode dotyčnice je sklon dotyčnice, ktorý sa rovná dotyčnici sklonu.

Potom k x = t g α x = y" (x 0) = 3 3

Z toho vyplýva, že α x = a r c t g 3 3 = π 6

odpoveď: dotyčnica má tvar

y = f " (x 0) x - x 0 + f (x 0) y = 3 3 (x + 1) - 3 y = 3 3 x - 9 - 3 3

Pre názornosť uvádzame príklad v grafickom znázornení.

Čierna farba je použitá pre graf pôvodnej funkcie, Modrá farba– obraz dotyčnice, červený bod – dotykový bod. Obrázok vpravo ukazuje zväčšený pohľad.

Príklad 3

Určte existenciu dotyčnice ku grafu danej funkcie
y = 3 · x - 1 5 + 1 v bode so súradnicami (1 ; 1) . Napíšte rovnicu a určte uhol sklonu.

Riešenie

Podmienkou máme, že definičný obor danej funkcie sa považuje za množinu všetkých reálnych čísel.

Prejdime k hľadaniu derivátu

y " = 3 x - 1 5 + 1 " = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5

Ak x 0 = 1, potom f' (x) nie je definované, ale limity sú zapísané ako lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ a lim x → 1 - 0 3 5 · 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 · 1 (- 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ , čo znamená existencia vertikálnej dotyčnice v bode (1; 1).

odpoveď: rovnica bude mať tvar x = 1, kde uhol sklonu bude rovný π 2.

Pre názornosť si to znázornime graficky.

Príklad 4

Nájdite body na grafe funkcie y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2, kde

Neexistuje žiadna dotyčnica;
Dotyčnica je rovnobežná s x;
Dotyčnica je rovnobežná s priamkou y = 8 5 x + 4.

Riešenie

Je potrebné venovať pozornosť rozsahu definície. Podmienkou máme, že funkcia je definovaná na množine všetkých reálnych čísel. Rozšírime modul a riešime sústavu s intervalmi x ∈ - ∞ ; 2 a [-2; + ∞). Chápeme to

y = - 115 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176, x ∈ - ∞; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12, x ∈ [ - 2; + ∞)

Je potrebné odlíšiť funkciu. To máme

y" = -115 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176", x ∈ - ∞; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 ", x ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35), x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3, x ∈ [ - 2; + ∞)

Keď x = - 2, potom derivácia neexistuje, pretože jednostranné limity v tomto bode nie sú rovnaké:

lim x → - 2 - 0 y " (x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y " (x) = lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

Vypočítame hodnotu funkcie v bode x = - 2, kde to dostaneme

y (- 2) = 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 = - 2, teda dotyčnica v bode ( - 2; - 2) nebude existovať.
Dotyčnica je rovnobežná s x, keď je sklon nula. Potom k x = t g α x = f "(x 0). To znamená, že je potrebné nájsť hodnoty takéhoto x, keď ho derivácia funkcie zmení na nulu. To znamená hodnoty f " (x) budú dotykové body, kde dotyčnica je rovnobežná s x .

Keď x ∈ - ∞ ; - 2, potom - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 a pre x ∈ (- 2; + ∞) dostaneme 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0.

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 · 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2; +∞

Vypočítajte zodpovedajúce funkčné hodnoty

y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 r 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

Preto - 5; 8 5, - 4; 4 3, 1; 8 5, 3; 4 3 sa považujú za požadované body grafu funkcie.

Pozrime sa na grafické znázornenie riešenia.

Čierna čiara je graf funkcie, červené bodky sú dotykové body.

Keď sú čiary rovnobežné, uhlové koeficienty sú rovnaké. Potom je potrebné hľadať body na grafe funkcie, kde sa sklon bude rovnať hodnote 8 5. Aby ste to dosiahli, musíte vyriešiť rovnicu v tvare y "(x) = 8 5. Potom, ak x ∈ - ∞; - 2, dostaneme, že - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 5, a ak x ∈ ( - 2; + ∞), potom 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5.

Prvá rovnica nemá korene, pretože diskriminant menej ako nula. Poďme si to zapísať

1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0

Ďalšia rovnica má teda dva skutočné korene

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 · (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2; +∞

Prejdime k hľadaniu hodnôt funkcie. Chápeme to

y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

Body s hodnotami - 1; 4 15, 5; 8 3 sú body, v ktorých sú dotyčnice rovnobežné s priamkou y = 8 5 x + 4.

odpoveď:čierna čiara – graf funkcie, červená čiara – graf y = 8 5 x + 4, modrá čiara – dotyčnice v bodoch - 1; 4 15, 5; 8 3.

Pre dané funkcie môže existovať nekonečný počet dotyčníc.

Príklad 5

Napíšte rovnice všetkých dostupných dotyčníc funkcie y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3, ktoré sú umiestnené kolmo na priamku y = - 2 x + 1 2.

Riešenie

Na zostavenie rovnice dotyčnice je potrebné nájsť koeficient a súradnice dotyčnicového bodu na základe podmienky kolmosti priamok. Definícia je nasledovná: súčin uhlových koeficientov, ktoré sú kolmé na priamky, sa rovná - 1, to znamená, že sa zapíše ako k x · k ⊥ = - 1. Z podmienky máme, že uhlový koeficient je umiestnený kolmo na priamku a rovná sa k ⊥ = - 2, potom k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2.

Teraz musíte nájsť súradnice dotykových bodov. Musíte nájsť x a potom jeho hodnotu pre danú funkciu. Všimnite si, že z geometrického významu derivácie v bode
x 0 dostaneme, že k x = y "(x 0). Z tejto rovnosti nájdeme hodnoty x pre body dotyku.

Chápeme to

y " (x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 " = 3 - hriech 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 hriech 3 2 x 0 - π 4 3 2 = - 9 2 hriech 3 2 x 0 - π 4 ⇒ k x = y " (x 0) ⇔ - 9 2 hriech 3 2 x 0 - π 4 = 1 2 ⇒ hriech 3 2 x 0 - π 4 = - 19

Toto goniometrická rovnica sa použije na výpočet súradníc dotyčnicových bodov.

3 2 x 0 - π 4 = a rc sin - 1 9 + 2 πk alebo 3 2 x 0 - π 4 = π - a rc sin - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 = - a rc sin 1 9 + 2 πk alebo 3 2 x 0 - π 4 = π + a rc sin 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 - a rc sin 1 9 + 2 πk alebo x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z

Z je množina celých čísel.

Našlo sa x styčných bodov. Teraz musíte prejsť k hľadaniu hodnôt y:

y0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - hriech 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 alebo y 0 = 3 - 1 - hriech 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 alebo y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 = 4 5 - 1 3 alebo y 0 = - 4 5 + 1 3

Z toho dostaneme, že 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 - 1 3, 2 3 5 π 4 + a rc sin 1 9 + 2 πk; - 4 5 + 1 3 sú dotykové body.

odpoveď: potrebné rovnice budú napísané ako

y = 1 2 x - 2 3 π 4 - a rc sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3, y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z

Pre vizuálnu reprezentáciu zvážte funkciu a dotyčnicu na súradnicovej čiare.

Obrázok ukazuje, že funkcia sa nachádza na intervale [-10; 10 ], kde čierna čiara je graf funkcie, modré čiary sú dotyčnice, ktoré sú umiestnené kolmo na danú čiaru v tvare y = - 2 x + 1 2. Červené bodky sú dotykové body.

Kanonické rovnice kriviek 2. rádu nie sú jednohodnotové funkcie. Tangentové rovnice pre nich sú zostavené podľa známych schém.

Tangenta ku kruhu

Definovať kružnicu so stredom v bode x c e n t e r ; y c e n t e r a polomer R, použite vzorec x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2 .

Túto rovnosť možno zapísať ako spojenie dvoch funkcií:

y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r

Prvá funkcia je umiestnená hore a druhá dole, ako je znázornené na obrázku.

Zostaviť rovnicu kružnice v bode x 0; y 0 , ktorý sa nachádza v hornom alebo dolnom polkruhu, mali by ste nájsť rovnicu grafu funkcie v tvare y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r alebo y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r v označenom bode.

Keď v bodoch x c e n t e r ; y c e n t e r + R a x c e n t e r; y c e n t e r - R dotyčnice môžu byť dané rovnicami y = y c e n t e r + R a y = y c e n t e r - R a v bodoch x c e n t e r + R; y c e n t e r a
x c e n t e r - R; y c e n t e r bude rovnobežné s o y, potom získame rovnice tvaru x = x c e n t e r + R a x = x c e n t e r - R .

Tangenta k elipse

Keď má elipsa stred v x c e n t e r ; y c e n t e r s poloosami a a b, potom ho možno špecifikovať pomocou rovnice x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1.

Elipsu a kružnicu možno označiť spojením dvoch funkcií, a to hornej a dolnej polovice elipsy. Potom to dostaneme

y = b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r

Ak sú dotyčnice umiestnené vo vrcholoch elipsy, potom sú rovnobežné okolo x alebo okolo y. Nižšie, kvôli prehľadnosti, zvážte obrázok.

Príklad 6

Napíšte rovnicu dotyčnice k elipse x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 v bodoch s hodnotami x rovnými x = 2.

Riešenie

Je potrebné nájsť dotykové body, ktoré zodpovedajú hodnote x = 2. Dosadíme do existujúcej rovnice elipsy a nájdeme ju

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

Potom 2; 5 3 2 + 5 a 2; - 5 3 2 + 5 sú dotykové body, ktoré patria hornej a dolnej polovici elipsy.

Prejdime k hľadaniu a riešeniu rovnice elipsy vzhľadom na y. Chápeme to

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 r - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

Je zrejmé, že horná polovica elipsy je špecifikovaná pomocou funkcie tvaru y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 a spodná polovica elipsy y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2.

Aplikujme štandardný algoritmus na vytvorenie rovnice pre dotyčnicu ku grafu funkcie v bode. Napíšeme, že rovnica pre prvú dotyčnicu v bode 2; 5 3 2 + 5 bude vyzerať

y " = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 " = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y" (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

Zistíme, že rovnica druhej dotyčnice s hodnotou v bode
2; - 5 3 2 + 5 má formu

y " = 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2 " = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y" (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

Graficky sú dotyčnice označené nasledovne:

Tangenta k hyperbole

Keď má hyperbola stred v x c e n t e r ; y c e n t e r a vrcholy x c e n t e r + α ; y c e n t e r a x c e n t e r - a; y c e n t e r , nastáva nerovnosť x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1, ak s vrcholmi x c e n t e r ; y c e n t e r + b a x c e n t e r; y c e n t e r - b , potom sa špecifikuje pomocou nerovnosti x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = -1 .

Hyperbola môže byť reprezentovaná ako dve kombinované funkcie formulára

y = b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r alebo y = b a e 2 c e 2 c e 2 t e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e n t e r

V prvom prípade platí, že dotyčnice sú rovnobežné s y a v druhom sú rovnobežné s x.

Z toho vyplýva, že na nájdenie rovnice dotyčnice k hyperbole je potrebné zistiť, ku ktorej funkcii dotykový bod patrí. Aby sme to určili, je potrebné dosadiť do rovníc a skontrolovať identitu.

Príklad 7

Napíšte rovnicu pre dotyčnicu k hyperbole x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 v bode 7; - 3 3 - 3 .

Riešenie

Je potrebné transformovať záznam riešenia pre nájdenie hyperboly pomocou 2 funkcií. Chápeme to

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 a y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

Je potrebné identifikovať, do ktorej funkcie daný bod so súradnicami 7 patrí; - 3 3 - 3 .

Je zrejmé, že na kontrolu prvej funkcie je potrebné y (7) = 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, potom bod nepatrí do grafu, keďže neplatí rovnosť.

Pre druhú funkciu platí, že y (7) = - 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, čo znamená, že bod patrí do daného grafu. Odtiaľ by ste mali nájsť svah.

Chápeme to

y " = - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3 " = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y " (x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

odpoveď: tangensová rovnica môže byť reprezentovaná ako

y = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3

Je to jasne znázornené takto:

Tangenta k parabole

Ak chcete vytvoriť rovnicu pre dotyčnicu k parabole y = a x 2 + b x + c v bode x 0, y (x 0), musíte použiť štandardný algoritmus, potom bude mať rovnica tvar y = y "(x 0) x - x 0 + y ( x 0) Takáto dotyčnica vo vrchole je rovnobežná s x.

Mali by ste definovať parabolu x = a y 2 + b y + c ako spojenie dvoch funkcií. Preto musíme vyriešiť rovnicu pre y. Chápeme to

x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 a y = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a

Znázornime to graficky ako:

Ak chcete zistiť, či bod x 0, y (x 0) patrí funkcii, postupujte jemne podľa štandardného algoritmu. Takáto dotyčnica bude rovnobežná s oy vzhľadom na parabolu.

Príklad 8

Napíšte rovnicu dotyčnice ku grafu x - 2 y 2 - 5 y + 3, keď máme dotyčnicový uhol 150°.

Riešenie

Riešenie začneme reprezentáciou paraboly ako dvoch funkcií. Chápeme to

2 r 2 - 5 r + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 · (- 2) · (3 - x) = 49 - 8 x y = 5 + 49 - 8 x - 4 r = 5 - 49 - 8 x - 4

Hodnota sklonu sa rovná hodnote derivácie v bode x 0 tejto funkcie a rovná sa dotyčnici uhla sklonu.

Dostaneme:

k x = y "(x 0) = t g α x = t g 150° = - 1 3

Odtiaľ určíme hodnotu x pre body dotyku.

Prvá funkcia bude napísaná ako

y " = 5 + 49 - 8 x - 4 " = 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

Je zrejmé, že neexistujú žiadne skutočné korene, pretože sme dostali zápornú hodnotu. Dospeli sme k záveru, že pre takúto funkciu neexistuje dotyčnica s uhlom 150°.

Druhá funkcia bude napísaná ako

y " = 5 - 49 - 8 x - 4 " = - 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

Máme, že styčné body sú 23 4 ; - 5 + 3 4 .

odpoveď: dotyčnica má tvar

y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4

Poďme si to graficky znázorniť takto:

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Video lekcia „Rovnica dotyčnice ku grafu funkcie“ ukazuje vzdelávací materiál zvládnuť tému. Počas video lekcie je popísaný teoretický materiál potrebný na sformulovanie konceptu rovnice dotyčnice ku grafu funkcie v danom bode, algoritmus na nájdenie takejto dotyčnice a príklady riešenia problémov pomocou študovaného teoretického materiálu. .

Videonávod využíva metódy, ktoré zlepšujú prehľadnosť materiálu. Prezentácia obsahuje kresby, diagramy, dôležité hlasové komentáre, animáciu, zvýrazňovanie a ďalšie nástroje.

Video lekcia začína prezentáciou témy lekcie a obrázkom dotyčnice ku grafu nejakej funkcie y=f(x) v bode M(a;f(a)). Je známe, že uhlový koeficient dotyčnice vynesený do grafu v danom bode sa rovná derivácii funkcie f΄(a) v tomto bode. Aj z kurzu algebry poznáme rovnicu priamky y=kx+m. Schematicky je uvedené riešenie problému nájdenia dotyčnicovej rovnice v bode, ktoré sa redukuje na nájdenie koeficientov k, m. Keď poznáme súradnice bodu patriaceho do grafu funkcie, môžeme nájsť m dosadením hodnoty súradnice do rovnice dotyčnice f(a)=ka+m. Z toho zistíme m=f(a)-ka. Keď teda poznáme hodnotu derivácie v danom bode a súradnice bodu, môžeme rovnicu dotyčnice reprezentovať týmto spôsobom y=f(a)+f΄(a)(x-a).

Nasleduje príklad zostavenia tangentovej rovnice podľa diagramu. Vzhľadom na funkciu y=x 2, x=-2. Ak vezmeme a=-2, nájdeme hodnotu funkcie v danom bode f(a)= f(-2)=(-2) 2 =4. Určíme deriváciu funkcie f΄(x)=2x. V tomto bode sa derivácia rovná f΄(a)= f΄(-2)=2·(-2)=-4. Na zostavenie rovnice boli nájdené všetky koeficienty a=-2, f(a)=4, f΄(a)=-4, takže rovnica dotyčnice je y=4+(-4)(x+2). Zjednodušením rovnice dostaneme y = -4-4x.

Nasledujúci príklad navrhuje zostrojiť rovnicu pre dotyčnicu v počiatku ku grafu funkcie y=tgx. V danom bode a=0, f(0)=0, f΄(x)=1/cos 2 x, f΄(0)=1. Takže rovnica dotyčnice vyzerá ako y=x.

Ako zovšeobecnenie, proces skladania rovnice dotyčnice ku grafu funkcie v určitom bode je formalizovaný vo forme algoritmu pozostávajúceho zo 4 krokov:

Zadajte označenie a pre úsečku dotykového bodu;
f(a) sa vypočíta;
Určí sa f΄(x) a vypočíta sa f΄(a). Nájdené hodnoty a, f(a), f΄(a) sa dosadia do rovnice tangenty y=f(a)+f΄(a)(x-a).

Príklad 1 uvažuje o zostavení tangentovej rovnice ku grafu funkcie y=1/x v bode x=1. Na vyriešenie problému používame algoritmus. Pre danú funkciu v bode a=1 je hodnota funkcie f(a)=-1. Derivácia funkcie f΄(x)=1/x 2. V bode a=1 je derivácia f΄(a)= f΄(1)=1. Pomocou získaných údajov sa zostaví tangentová rovnica y=-1+(x-1), alebo y=x-2.

V príklade 2 je potrebné nájsť rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie y=x 3 +3x 2 -2x-2. Hlavnou podmienkou je rovnobežnosť dotyčnice a priamky y=-2x+1. Najprv nájdeme uhlový koeficient dotyčnice, ktorý sa rovná uhlovému koeficientu priamky y=-2x+1. Pretože f΄(a)=-2 pre danú priamku, potom k=-2 pre požadovanú dotyčnicu. Nájdeme deriváciu funkcie (x 3 +3x 2 -2x-2)΄=3x 2 +6x-2. Keď vieme, že f΄(a)=-2, nájdeme súradnice bodu 3a 2 +6a-2=-2. Po vyriešení rovnice dostaneme 1 = 0 a 2 = -2. Pomocou nájdených súradníc môžete nájsť rovnicu dotyčnice pomocou dobre známeho algoritmu. Hodnotu funkcie nájdeme v bodoch f(a 1)=-2, f(a 2)=-18. Hodnota derivácie v bode f΄(а 1)= f΄(а 2)=-2. Dosadením nájdených hodnôt do rovnice dotyčnice dostaneme pre prvý bod a 1 =0 y=-2x-2 a pre druhý bod a 2 =-2 rovnicu dotyčnice y=-2x-22.

Príklad 3 popisuje zloženie rovnice dotyčnice na jej vykreslenie v bode (0;3) ku grafu funkcie y=√x. Riešenie sa robí pomocou dobre známeho algoritmu. Dotykový bod má súradnice x=a, kde a>0. Hodnota funkcie v bode f(a)=√x. Derivácia funkcie f΄(х)=1/2√х, teda v danom bode f΄(а)=1/2√а. Dosadením všetkých získaných hodnôt do tangentovej rovnice dostaneme y = √a + (x-a)/2√a. Transformáciou rovnice dostaneme y=x/2√а+√а/2. Keď vieme, že dotyčnica prechádza bodom (0;3), zistíme hodnotu a. Nájdeme a od 3=√a/2. Preto √a=6, a=36. Nájdeme rovnicu dotyčnice y=x/12+3. Na obrázku je znázornený graf uvažovanej funkcie a zostrojená požadovaná dotyčnica.

Žiakom pripomenieme približné rovnosti Δy=≈f΄(x)Δxa f(x+Δx)-f(x)≈f΄(x)Δx. Ak vezmeme x=a, x+Δx=x, Δx=x-a, dostaneme f(x)- f(a)≈f΄(a)(x-a), teda f(x)≈f(a)+ f΄( a) (x-a).

V príklade 4 je potrebné nájsť približnú hodnotu výrazu 2,003 6. Keďže je potrebné nájsť hodnotu funkcie f(x)=x 6 v bode x=2,003, môžeme použiť známy vzorec, pričom f(x)=x 6, a=2, f(a )= f(2)=64, f΄(x)=6x 5. Derivát v bode f΄(2)=192. Preto 2,003 6 ≈65-192·0,003. Po vypočítaní výrazu dostaneme 2,003 6 ≈64,576.

Video lekcia „Rovnica dotyčnice ku grafu funkcie“ sa odporúča použiť na tradičnej hodine matematiky v škole. Učiteľovi, ktorý vyučuje na diaľku, video materiál pomôže vysvetliť tému jasnejšie. Video možno odporučiť študentom, aby si ho zopakovali samostatne, ak je to potrebné na prehĺbenie pochopenia predmetu.

DEKODOVANIE TEXTU:

Vieme, že ak bod M (a; f(a)) (em so súradnicami a a ef z a) patrí do grafu funkcie y = f (x) a ak je v tomto bode možné nakresliť dotyčnicu ku grafu funkcie, ktorá nie je kolmá na os x, potom sa uhlový koeficient dotyčnice rovná f"(a) (eff prvočíslo od a).

Nech je daná funkcia y = f(x) a bod M (a; f(a)) a je tiež známe, že f´(a) existuje. Vytvorme rovnicu pre dotyčnicu ku grafu danej funkcie v daný bod. Táto rovnica, podobne ako rovnica akejkoľvek priamky, ktorá nie je rovnobežná so zvislou osou, má tvar y = kx+m (y sa rovná ka x plus em), takže úlohou je nájsť hodnoty koeficienty k a m (ka a em)

Uhlový koeficient k= f"(a). Na výpočet hodnoty m využijeme fakt, že požadovaná priamka prechádza bodom M(a; f (a)). To znamená, že ak dosadíme súradnice bodu M do rovnice priamky získame správnu rovnosť : f(a) = ka+m, odkiaľ zistíme, že m = f(a) - ka.

Zostáva nahradiť nájdené hodnoty koeficientov ki a m do rovnice priamky:

y = kx+(f(a)-ka);

y = f(a)+k(x-a);

r= f(a)+ f"(a) (X- a). ( y sa rovná ef z plus ef prvočíslo z a, vynásobené x mínus a).

Získali sme rovnicu pre dotyčnicu ku grafu funkcie y = f(x) v bode x=a.

Ak povedzme y = x 2 a x = -2 (t.j. a = -2), potom f (a) = f (-2) = (-2) 2 = 4; f´(x) = 2x, čo znamená f"(a) = f´(-2) = 2·(-2) = -4. (potom ef a sa rovná štyrom, ef prvočísla x sa rovná dvom x, čo znamená ef prvočíslo od a rovná sa mínus štyri)

Dosadením nájdených hodnôt a = -2, f(a) = 4, f"(a) = -4 do rovnice dostaneme: y = 4+(-4)(x+2), teda y = -4x -4.

(E sa rovná mínus štyri x mínus štyri)

Vytvorme rovnicu pre dotyčnicu ku grafu funkcie y = tanx (y sa rovná dotyčnici x) v počiatku. Máme: a = 0, f(0) = tan0=0;

f"(x)=, čo znamená f"(0) = l. Dosadením nájdených hodnôt a=0, f(a)=0, f´(a) = 1 do rovnice dostaneme: y=x.

Zhrňme naše kroky pri hľadaní rovnice dotyčnice ku grafu funkcie v bode x pomocou algoritmu.

ALGORITHM NA VYTVORENIE ROVNICE PRE TANGENTU KU GRAFU FUNKCIE y = f(x):

1) Označte úsečku dotykového bodu písmenom a.

2) Vypočítajte f(a).

3) Nájdite f´(x) a vypočítajte f´(a).

4) Dosaďte do vzorca nájdené čísla a, f(a), f´(a). r= f(a)+ f"(a) (X- a).

Príklad 1. Vytvorte rovnicu pre dotyčnicu ku grafu funkcie y = - in

bod x = 1.

Riešenie. Použime algoritmus, berúc do úvahy, že v v tomto príklade

2) f(a)=f(1)=-=-1

3) f'(x)=; f´(a)= f´(1)= =1.

4) Dosaďte do vzorca nájdené tri čísla: a = 1, f(a) = -1, f"(a) = 1. Dostaneme: y = -1+(x-1), y = x-2 .

Odpoveď: y = x-2.

Príklad 2. Daná funkcia y = x 3 + 3 x 2 -2 x - 2. Napíšte rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie y = f(x), rovnobežne s priamkou y = -2x +1.

Použitím algoritmu na zostavenie tangentovej rovnice berieme do úvahy, že v tomto príklade f(x) = x 3 + 3 x 2 -2 x - 2, ale úsečka dotykového bodu tu nie je uvedená.

Začnime takto uvažovať. Požadovaná dotyčnica musí byť rovnobežná s priamkou y = -2x+1. A rovnobežné čiary majú rovnaké uhlové koeficienty. To znamená, že uhlový koeficient dotyčnice sa rovná uhlovému koeficientu danej priamky: k dotyčnica. = -2. Hok cas. = f"(a). Hodnotu a teda môžeme nájsť z rovnice f ´(a) = -2.

Poďme nájsť deriváciu funkcie y=f(X):

f"(X)= (x 3 + 3x 2-2x-2)' = 3x 2 +6x-2;f"(a)= 3a2+6a-2.

Z rovnice f"(a) = -2, t.j. 3a 2 + 6a-2=-2 nájdeme a 1 =0, a 2 =-2. To znamená, že existujú dve dotyčnice, ktoré spĺňajú podmienky úlohy: jedna v bode s osou 0, druhá v bode s osou -2.

Teraz môžete postupovať podľa algoritmu.

1) ai = 0 a 2 = -2.

2) f(a1)= 0 3 +3·02-2∙0-2=-2; f(a 2)= (-2)3+3·(-2)2-2·(-2)-2=6;

3) f"(a1) = f"(a2) = -2.

4) Dosadením hodnôt a 1 = 0, f(a 1) = -2, f"(a 1) = -2 do vzorca dostaneme:

y=-2-2(x-0), y=-2x-2.

Nahradením hodnôt a 2 = -2, f(a 2) =6, f"(a 2) = -2 do vzorca dostaneme:

y=6-2(x+2), y=-2x+2.

Odpoveď: y=-2x-2, y=-2x+2.

Príklad 3. Z bodu (0; 3) nakreslite dotyčnicu ku grafu funkcie y = . Riešenie. Použime algoritmus na zostavenie tangentovej rovnice, berúc do úvahy, že v tomto príklade f(x) = . Všimnite si, že tu, ako v príklade 2, úsečka dotyčnice nie je explicitne uvedená. Napriek tomu postupujeme podľa algoritmu.

1) Nech x = a je úsečka bodu dotyku; je jasné, že >0.

3) f´(x)=()´=; f'(a) =.

4) Dosadenie hodnôt a, f(a) = , f"(a) = do vzorca

y=f (a) +f "(a) (x-a), dostaneme:

Podľa podmienky dotyčnica prechádza bodom (0; 3). Nahradením hodnôt x = 0, y = 3 do rovnice dostaneme: 3 = a potom =6, a =36.

Ako vidíte, v tomto príklade sa nám až vo štvrtom kroku algoritmu podarilo nájsť úsečku dotyčnicového bodu. Dosadením hodnoty a =36 do rovnice dostaneme: y=+3

Na obr. Obrázok 1 znázorňuje geometrické znázornenie uvažovaného príkladu: zostrojí sa graf funkcie y =, nakreslí sa priamka y = +3.

Odpoveď: y = +3.

Vieme, že pre funkciu y = f(x), ktorá má deriváciu v bode x, platí približná rovnosť: Δyf´(x)Δx (delta y sa približne rovná prvočíslu eff x vynásobenému delta x)

alebo, podrobnejšie, f(x+Δx)-f(x) f´(x) Δx (eff z x plus delta x mínus ef z x sa približne rovná eff prvočíslo z x x delta x).

Pre pohodlie ďalšej diskusie zmeňme zápis:

namiesto x napíšeme A,

namiesto x+Δx budeme písať x

namiesto Δx budeme písať x-a.

Potom bude mať vyššie napísaná približná rovnosť podobu:

f(x)-f(a)f´(a)(x-a)

f(x)f(a)+f'(a)(x-a). (eff z x sa približne rovná ef z plus ef prvočíslo z a, vynásobené rozdielom medzi x a a).

Príklad 4: Nájdite približnú hodnotu číselné vyjadrenie 2,003 6 .

Riešenie. Je to o o nájdení hodnoty funkcie y = x 6 v bode x = 2,003. Použime vzorec f(x)f(a)+f´(a)(x-a), berúc do úvahy, že v tomto príklade f(x)=x 6, a = 2,f(a) = f(2) = 26 = 64; x = 2,003, f"(x) = 6x 5, a teda f"(a) = f"(2) = 625 =192.

V dôsledku toho dostaneme:

2,003 6 64+192· 0,003, t.j. 2,0036 = 64,576.

Ak použijeme kalkulačku, dostaneme:

2,003 6 = 64,5781643...

Ako vidíte, presnosť aproximácie je celkom prijateľná.

Y = f(x) a ak v tomto bode možno nakresliť dotyčnicu ku grafu funkcie, ktorá nie je kolmá na os x, potom sa uhlový koeficient dotyčnice rovná f"(a). viackrát to použil, napríklad v § 33 sa stanovilo, že graf funkcie y = sin x (sínusoida) zviera v počiatku s osou x (presnejšie s dotyčnicou) uhol 45°. graf na začiatku zviera uhol 45° s kladným smerom osi x) a v príklade 5 § 33 bodov bolo nájdených podľa plánu funkcie, v ktorom je dotyčnica rovnobežná s osou x. V príklade 2 § 33 bola zostavená rovnica pre dotyčnicu ku grafu funkcie y = x 2 v bode x = 1 (presnejšie v bode (1; 1), ale častejšie je len hodnota abscisy). naznačené v domnienke, že ak je známa hodnota úsečky, potom hodnotu ordináta možno nájsť z rovnice y = f(x)). V tejto časti vyvinieme algoritmus na zostavenie tangentovej rovnice ku grafu ľubovoľnej funkcie.

Nech je daná funkcia y = f(x) a bod M (a; f(a)) a tiež je známe, že existuje f"(a). Zostavme rovnicu pre dotyčnicu ku grafu a daná funkcia v danom bode je ako rovnica ktorejkoľvek priamky, ktorá nie je rovnobežná s osou ordinátov, tvar y = kx+m, takže úlohou je nájsť hodnoty koeficientov k a m.

S uhlovým koeficientom k nie sú žiadne problémy: vieme, že k = f "(a). Na výpočet hodnoty m použijeme skutočnosť, že požadovaná priamka prechádza bodom M(a; f (a)) To znamená, že ak do rovnice priamky dosadíme súradnice bodu M, dostaneme správnu rovnosť: f(a) = ka+m, z čoho zistíme, že m = f(a) - ka.
Zostáva dosadiť nájdené hodnoty koeficientov súpravy rovnica rovno:

Získali sme rovnicu pre dotyčnicu ku grafu funkcie y = f(x) v bode x=a.
Ak povedzme
Dosadením nájdených hodnôt a = 1, f(a) = 1 f"(a) = 2 do rovnice (1) dostaneme: y = 1+2(x-f), teda y = 2x-1.
Porovnajte tento výsledok s výsledkom získaným v príklade 2 z § 33. Prirodzene, stalo sa to isté.
Vytvorme rovnicu pre dotyčnicu ku grafu funkcie y = tan x v počiatku. Máme: to znamená cos x f"(0) = 1. Dosadením nájdených hodnôt a = 0, f(a) = 0, f"(a) = 1 do rovnice (1) dostaneme: y = x.
Preto sme tangentoid v § 15 (pozri obr. 62) nakreslili cez počiatok súradníc pod uhlom 45° k osi x.
Vyriešenie týchto dosť jednoduché príklady, vlastne sme použili určitý algoritmus, ktorý je obsiahnutý vo vzorci (1). Urobme tento algoritmus explicitným.

ALGORITMUS NA VYTVORENIE ROVNICE PRE TANGENTU KU GRAFU FUNKCIE y = f(x)

1) Označte úsečku dotykového bodu písmenom a.
2) Vypočítajte 1 (a).
3) Nájdite f"(x) a vypočítajte f"(a).
4) Dosaďte nájdené čísla a, f(a), (a) do vzorca (1).

Príklad 1 Napíšte rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie v bode x = 1.
Použime algoritmus, berúc do úvahy to v tomto príklade

Na obr. 126 je znázornená hyperbola, je zostrojená priamka y = 2.
Nákres potvrdzuje vyššie uvedené výpočty: skutočne sa priamka y = 2 dotýka hyperboly v bode (1; 1).

odpoveď: y = 2-x.
Príklad 2 Nakreslite dotyčnicu ku grafu funkcie tak, aby bola rovnobežná s priamkou y = 4x - 5.
Ujasnime si formuláciu problému. Požiadavka „nakresliť dotyčnicu“ zvyčajne znamená „vytvoriť rovnicu pre dotyčnicu“. Je to logické, pretože ak bol človek schopný vytvoriť rovnicu pre dotyčnicu, potom je nepravdepodobné, že by mal ťažkosti zostrojiť priamku na rovine súradníc pomocou jej rovnice.
Použime algoritmus na zostavenie dotyčnicovej rovnice, berúc do úvahy, že v tomto príklade je tu však na rozdiel od predchádzajúceho príkladu nejednoznačnosť: úsečka dotyčnicového bodu nie je explicitne uvedená.
Začnime takto uvažovať. Požadovaná dotyčnica musí byť rovnobežná s priamkou y = 4x-5. Dve čiary sú rovnobežné vtedy a len vtedy, ak sú ich sklony rovnaké. To znamená, že uhlový koeficient dotyčnice sa musí rovnať uhlovému koeficientu danej priamky: Hodnotu a teda môžeme nájsť z rovnice f"(a) = 4.
Máme:
Z rovnice To znamená, že existujú dve dotyčnice, ktoré spĺňajú podmienky úlohy: jedna v bode s osou 2, druhá v bode s osou -2.
Teraz môžete postupovať podľa algoritmu.

Príklad 3 Z bodu (0; 1) nakreslite dotyčnicu ku grafu funkcie
Použime algoritmus na zostavenie dotyčnicovej rovnice, berúc do úvahy, že v tomto príklade, Všimnite si, že tu, ako v príklade 2, úsečka dotyčnicového bodu nie je explicitne uvedená. Napriek tomu postupujeme podľa algoritmu.

Podľa podmienky dotyčnica prechádza bodom (0; 1). Dosadením hodnôt x = 0, y = 1 do rovnice (2) dostaneme:
Ako vidíte, v tomto príklade sa nám až vo štvrtom kroku algoritmu podarilo nájsť úsečku dotyčnicového bodu. Dosadením hodnoty a = 4 do rovnice (2) dostaneme:

Na obr. 127 predstavuje geometrické znázornenie uvažovaného príkladu: nakreslí sa graf funkcie

V § 32 sme poznamenali, že pre funkciu y = f(x), ktorá má deriváciu v pevnom bode x, platí približná rovnosť:

Pre uľahčenie ďalšieho uvažovania zmeňme zápis: namiesto x budeme písať a, namiesto x budeme písať x a podľa toho namiesto x-a. Potom bude mať vyššie napísaná približná rovnosť podobu:

Teraz sa pozrite na obr. 128. Ku grafu funkcie y = f(x) v bode M (a; f (a)) sa nakreslí dotyčnica. Bod x je vyznačený na osi x blízko a. Je jasné, že f(x) je ordináta grafu funkcie v zadanom bode x. Čo je f(a) + f"(a) (x-a)? Toto je ordináta dotyčnice zodpovedajúcej rovnakému bodu x - pozri vzorec (1). Čo znamená približná rovnosť (3)? Skutočnosť že Ak chcete vypočítať približnú hodnotu funkcie, vezmite hodnotu ordináty dotyčnice.

Príklad 4. Nájdite približnú hodnotu číselného výrazu 1,02 7.
Hovoríme o nájdení hodnoty funkcie y = x 7 v bode x = 1,02. Použime vzorec (3), berúc do úvahy to v tomto príklade
V dôsledku toho dostaneme:

Ak použijeme kalkulačku, dostaneme: 1,02 7 = 1,148685667...
Ako vidíte, presnosť aproximácie je celkom prijateľná.
odpoveď: 1,02 7 =1,14.

A.G. Mordkovich Algebra 10. ročník

Kalendár-tematické plánovanie v matematike, video v matematike online, Matematika v škole na stiahnutie

Obsah lekcie poznámky k lekcii podporná rámcová lekcia prezentácia akceleračné metódy interaktívne technológie Prax úlohy a cvičenia autotest workshopy, školenia, prípady, questy domáce úlohy diskusia otázky rétorické otázky od študentov Ilustrácie audio, videoklipy a multimédiá fotografie, obrázky, grafika, tabuľky, diagramy, humor, anekdoty, vtipy, komiksy, podobenstvá, výroky, krížovky, citáty Doplnky abstraktyčlánky triky pre zvedavcov jasličky učebnice základný a doplnkový slovník pojmov iné Zdokonaľovanie učebníc a vyučovacích hodínoprava chýb v učebnici aktualizácia fragmentu v učebnici, prvky inovácie v lekcii, nahradenie zastaraných vedomostí novými Len pre učiteľov perfektné lekcie kalendárny plán na rok usmernenia diskusné programy Integrované lekcie

Zvážte nasledujúci obrázok:

Znázorňuje určitú funkciu y = f(x), ktorá je diferencovateľná v bode a. Bod M so súradnicami (a; f(a)) je označený. Sečnica MR je nakreslená cez ľubovoľný bod P(a + ∆x; f(a + ∆x)) grafu.

Ak sa teraz bod P posunie pozdĺž grafu do bodu M, potom sa priamka MR bude otáčať okolo bodu M. V tomto prípade bude ∆x smerovať k nule. Odtiaľ môžeme formulovať definíciu dotyčnice ku grafu funkcie.

Tangenta ku grafu funkcie

Dotyčnica ku grafu funkcie je limitnou pozíciou sečny, pretože prírastok argumentu má tendenciu k nule. Treba si uvedomiť, že existencia derivácie funkcie f v bode x0 znamená, že v tomto bode grafu je dotyčnica jemu.

V tomto prípade sa uhlový koeficient dotyčnice bude rovnať derivácii tejto funkcie v tomto bode f'(x0). Toto je geometrický význam derivácie. Dotyčnica ku grafu funkcie f diferencovateľnej v bode x0 je určitá priamka prechádzajúca bodom (x0;f(x0)) a má uhlový koeficient f’(x0).

Tangentová rovnica

Skúsme získať rovnicu dotyčnice ku grafu nejakej funkcie f v bode A(x0; f(x0)). Rovnica priamky so sklonom k má nasledujúci tvar:

Pretože náš koeficient sklonu sa rovná derivácii f'(x0), potom bude mať rovnica nasledujúci tvar: y = f'(x0)*x + b.

Teraz vypočítajme hodnotu b. Využívame na to fakt, že funkcia prechádza bodom A.

f(x0) = f’(x0)*x0 + b, odtiaľto vyjadríme b a dostaneme b = f(x0) - f’(x0)*x0.

Výslednú hodnotu dosadíme do rovnice dotyčnice:

y = f’(x0)*x + b = f’(x0)*x + f(x0) - f’(x0)*x0 = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).

y = f(x0) + f'(x0)*(x - x0).

Uvažujme nasledujúci príklad: nájdite rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie f(x) = x 3 - 2*x 2 + 1 v bode x = 2.

2. f(x0) = f(2) = 2 2 - 2*2 2 + 1 = 1.

3. f’(x) = 3*x 2 - 4*x.

4. f’(x0) = f’(2) = 3*2 2 - 4*2 = 4.

5. Dosaďte získané hodnoty do tangentového vzorca, dostaneme: y = 1 + 4*(x - 2). Otvorením zátvoriek a uvedením podobných výrazov dostaneme: y = 4*x - 7.

Odpoveď: y = 4*x - 7.

Všeobecná schéma na zostavenie tangentovej rovnice do grafu funkcie y = f(x):

1. Určte x0.

2. Vypočítajte f(x0).

3. Vypočítajte f’(x)