Čo to znamená skúmať funkciu na paritu. Funkčný výskum

Závislosť premennej y od premennej x, v ktorej každej hodnote x zodpovedá jedna hodnota y, sa nazýva funkcia. Zápis je y=f(x). Každá funkcia má množstvo základných vlastností, ako je monotónnosť, parita, periodicita a iné.

Zvážte paritnú vlastnosť podrobnejšie.

Funkcia y=f(x) sa volá aj vtedy, ak spĺňa nasledujúce dve podmienky:

2. Hodnota funkcie v bode x patriaca do rozsahu funkcie sa musí rovnať hodnote funkcie v bode -x. To znamená, že pre ľubovoľný bod x z oblasti funkcie musí platiť nasledujúca rovnosť f (x) \u003d f (-x).

Graf párnej funkcie

Ak vytvoríte graf párnej funkcie, bude symetrický okolo osi y.

Napríklad funkcia y=x^2 je párna. Poďme sa na to pozrieť. Oblasťou definície je celá číselná os, čo znamená, že je symetrická okolo bodu O.

Vezmite ľubovoľné x=3. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. Preto f(x) = f(-x). Obidve podmienky sú teda pre nás splnené, čo znamená, že funkcia je párna. Nižšie je uvedený graf funkcie y=x^2.

Obrázok ukazuje, že graf je symetrický okolo osi y.

Graf nepárnej funkcie

Funkcia y=f(x) sa nazýva nepárna, ak spĺňa tieto dve podmienky:

1. Definičný obor danej funkcie musí byť symetrický k bodu O. To znamená, že ak nejaký bod a patrí do definičného oboru funkcie, potom aj príslušný bod -a musí patriť do definičného oboru danej funkcie.

2. Pre ľubovoľný bod x z oblasti funkcie musí byť splnená nasledujúca rovnosť f (x) \u003d -f (x).

Graf nepárnej funkcie je symetrický vzhľadom na bod O - počiatok. Napríklad funkcia y=x^3 je nepárna. Poďme sa na to pozrieť. Oblasťou definície je celá číselná os, čo znamená, že je symetrická okolo bodu O.

Vezmite ľubovoľné x=2. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. Preto f(x) = -f(x). Obe podmienky sú teda pre nás splnené, čo znamená, že funkcia je nepárna. Nižšie je uvedený graf funkcie y=x^3.

Obrázok jasne ukazuje, že nepárna funkcia y=x^3 je symetrická vzhľadom na počiatok.

Funkcia sa nazýva párna (nepárna), ak je akákoľvek a rovnosť

.

Graf párnej funkcie je symetrický okolo osi
.

Graf nepárnej funkcie je symetrický podľa pôvodu.

Príklad 6.2. Preskúmajte párne alebo nepárne funkcie

1)
; 2)
; 3)
.

Riešenie.

1) Funkcia je definovaná pomocou
. Poďme nájsť
.

Tie.
. Táto funkcia je teda párna.

2) Funkcia je definovaná pre

Tie.
. Táto funkcia je teda zvláštna.

3) funkcia je definovaná pre , t.j. pre

,
. Preto funkcia nie je ani párna, ani nepárna. Nazvime to všeobecná funkcia.

3. Skúmanie funkcie pre monotónnosť.

Funkcia
sa nazýva zvyšovanie (klesanie) v určitom intervale, ak v tomto intervale každá väčšia hodnota argumentu zodpovedá väčšej (menšej) hodnote funkcie.

Funkcie rastúce (klesajúce) v určitom intervale sa nazývajú monotónne.

Ak funkcia
diferencovateľné na intervale
a má kladnú (negatívnu) deriváciu
, potom funkciu
v tomto intervale stúpa (klesá).

Príklad 6.3. Nájdite intervaly monotónnosti funkcií

1)
; 3)
.

Riešenie.

1) Táto funkcia je definovaná na celej číselnej osi. Poďme nájsť derivát.

Derivácia je nula, ak
a
. Oblasť definície - číselná os, delená bodmi
,
pre intervaly. Určme znamienko derivácie v každom intervale.

V intervale
derivácia je záporná, funkcia na tomto intervale klesá.

V intervale
derivácia je kladná, preto funkcia na tomto intervale rastie.

2) Táto funkcia je definovaná, ak
alebo

.

V každom intervale určíme znamienko štvorcovej trojčlenky.

Teda rozsah funkcie

Poďme nájsť derivát
,
, ak
, t.j.
, ale
. Určme znamienko derivácie v intervaloch
.

V intervale
derivácia je záporná, preto funkcia na intervale klesá
. V intervale
derivácia je kladná, funkcia na intervale rastie
.

4. Skúmanie funkcie pre extrém.

Bodka
sa nazýva maximálny (minimálny) bod funkcie
, ak existuje takéto okolie bodu že pre všetkých
toto okolie spĺňa nerovnosť

.

Maximálne a minimálne body funkcie sa nazývajú extrémne body.

Ak funkcia
v bode má extrém, potom sa derivácia funkcie v tomto bode rovná nule alebo neexistuje (nevyhnutná podmienka existencie extrému).

Body, v ktorých sa derivácia rovná nule alebo neexistuje, sa nazývajú kritické.

5. Dostatočné podmienky pre existenciu extrému.

Pravidlo 1. Ak pri prechode (zľava doprava) cez kritický bod derivát
zmení znamienko z "+" na "-", potom na bod funkciu
má maximum; ak od "-" po "+", potom minimum; ak
nezmení znamienko, potom neexistuje extrém.

Pravidlo 2. Nech v bode
prvá derivácia funkcie
nula
a druhá derivácia existuje a je nenulová. Ak
, potom je maximálny bod, ak
, potom je minimálny bod funkcie.

Príklad 6.4 . Preskúmajte maximálne a minimálne funkcie:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

Riešenie.

1) Funkcia je definovaná a spojitá na intervale
.

Poďme nájsť derivát
a vyriešiť rovnicu
, t.j.
.odtiaľ
sú kritické body.

Určme znamienko derivácie v intervaloch ,
.

Pri prechode cez body
a
derivácia mení znamienko z „-“ na „+“, preto podľa pravidla 1
sú minimálne body.

Pri prechode cez bod
derivácia mení znamienko z "+" na "-", takže
je maximálny bod.

,
.

2) Funkcia je definovaná a spojitá v intervale
. Poďme nájsť derivát
.

Riešením rovnice
, Nájsť
a
sú kritické body. Ak je menovateľ
, t.j.
, potom derivát neexistuje. takže,
je tretí kritický bod. Určme znamienko derivácie v intervaloch.

Preto má funkcia v bode minimum
, maximálne v bodoch
a
.

3) Funkcia je definovaná a spojitá, ak
, t.j. pri
.

Poďme nájsť derivát

.

Poďme nájsť kritické body:

Okolie bodov
nepatria do domény definície, teda nie sú extrémnymi t. Poďme teda preskúmať kritické body
a
.

4) Funkcia je definovaná a spojitá na intervale
. Použijeme pravidlo 2. Nájdite deriváciu
.

Poďme nájsť kritické body:

Poďme nájsť druhú deriváciu
a určiť jej znamienko v bodoch

V bodoch
funkcia má minimum.

V bodoch
funkcia má max.

Späť dopredu

Pozor! Ukážka snímky slúži len na informačné účely a nemusí predstavovať celý rozsah prezentácie. Ak vás táto práca zaujala, stiahnite si plnú verziu.

Ciele:

• formovať pojem párnych a nepárnych funkcií, učiť schopnosti určovať a používať tieto vlastnosti kedy funkčný výskum, sprisahanie;
• rozvíjať tvorivú činnosť žiakov, logické myslenie, schopnosť porovnávať, zovšeobecňovať;
• pestovať pracovitosť, matematickú kultúru; rozvíjať komunikačné schopnosti .

Vybavenie: multimediálna inštalácia, interaktívna tabuľa, písomky.

Formy práce: frontálna a skupinová s prvkami pátracích a výskumných činností.

Zdroje informácií:

1. Trieda algebry 9 A.G. Mordkovich. Učebnica.
2. Algebra 9. ročník A.G. Mordkovich. Kniha úloh.
3. Algebra ročník 9. Úlohy na učenie a rozvoj žiakov. Belenková E.Yu. Lebedintseva E.A.

POČAS VYUČOVANIA

1. Organizačný moment

Stanovenie cieľov a cieľov lekcie.

2. Kontrola domácich úloh

č.10.17 (Problémová kniha 9. ročníka A.G. Mordkovich).

a) pri = f(X), f(X) =

b) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

c) 1. D( f) = [– 2; + ∞)
2. E( f) = [– 3; + ∞)
3. f(X) = 0 pre X ~ 0,4
4. f(X) >0 at X > 0,4 ; f(X) < 0 при – 2 < X < 0,4.
5. Funkcia sa zvyšuje s X € [– 2; + ∞)
6. Funkcia je obmedzená zdola.
7. pri prenájom = - 3, pri naib neexistuje
8. Funkcia je spojitá.

(Použili ste algoritmus skúmania funkcií?) Šmykľavka.

2. Skontrolujeme tabuľku, ktorá sa vám na snímke pýtala.

Vyplňte tabuľku
	doména	Funkčné nuly	Intervaly stálosti		Súradnice priesečníkov grafu s Oy
		x = -5, x = 2	х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ -5, x ≠ 2		х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ -5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Aktualizácia znalostí

– Funkcie sú dané.
– Zadajte doménu definície pre každú funkciu.
– Porovnajte hodnotu každej funkcie pre každý pár hodnôt argumentov: 1 a – 1; 2 a -2.
– Pre ktorú z daných funkcií v obore definície sú rovnosti f(– X) = f(X), f(– X) = – f(X)? (vložte údaje do tabuľky) Šmykľavka

		f(1) a f(– 1)	f(2) a f(– 2)	grafy	f(– X) = –f(X)	f(– X) = f(X)
1. f(X) =
2. f(X) = X 3
3. f(X) = | X |
4.f(X) = 2X – 3
5. f(X) =	X ≠ 0
6. f(X)=	X > –1		a nie sú definované.

4. nový materiál

– vystupovanie táto práca Chlapci, odhalili sme ešte jednu vlastnosť funkcie, ktorú nepoznáte, no nie je o nič menej dôležitá ako ostatné – ide o párnu a nepárnu funkciu. Zapíšte si tému lekcie: „Párne a nepárne funkcie“, našou úlohou je naučiť sa určovať párne a nepárne funkcie, zistiť význam tejto vlastnosti pri štúdiu funkcií a vykresľovaní.
Takže nájdime definície v učebnici a čítajme (s. 110) . Šmykľavka

Def. jeden Funkcia pri = f (X) definovaný na množine X sa nazýva dokonca, ak má nejakú hodnotu XЄ X prebieha rovnosť f (–x) = f (x). Uveďte príklady.

Def. 2 Funkcia y = f(x), definovaný na množine X sa nazýva zvláštny, ak má nejakú hodnotu XЄ X je splnená rovnosť f(–х)= –f(х). Uveďte príklady.

Kde sme sa stretli s pojmami „párny“ a „nepárny“?
Čo myslíte, ktorá z týchto funkcií bude párna? prečo? Ktoré sú zvláštne? prečo?
Pre akúkoľvek funkciu formulára pri= x n, kde n je celé číslo, možno tvrdiť, že funkcia je nepárna n je nepárne a funkcia je párna pre n- dokonca.
– Zobrazenie funkcií pri= a pri = 2X– 3 nie je párne ani nepárne, pretože rovnosť nie je splnená f(– X) = – f(X), f(– X) = f(X)

Štúdium otázky, či je funkcia párna alebo nepárna, sa nazýva štúdium funkcie pre paritu.Šmykľavka

Definície 1 a 2 sa zaoberali hodnotami funkcie v x a - x, preto sa predpokladá, že funkcia je definovaná aj v hodnote X a na - X.

ODA 3. Ak množina čísel spolu s každým jej prvkom x obsahuje opačný prvok x, potom množina X sa nazýva symetrická množina.

Príklady:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) sú symetrické množiny a , [–5;4] sú nesymetrické.

- Majú párne funkcie definičný obor - symetrickú množinu? Tie zvláštne?
- Ak D( f) je asymetrická množina, aká je potom funkcia?
– Ak teda funkcia pri = f(X) je párne alebo nepárne, potom je jeho doména definície D( f) je symetrická množina. Platí však aj opak, ak je definičným oborom funkcie symetrická množina, potom je párna alebo nepárna?
- Prítomnosť symetrickej množiny definičného oboru je teda nevyhnutnou podmienkou, nie však dostatočnou.
– Ako teda môžeme preskúmať funkciu parity? Skúsme napísať algoritmus.

Šmykľavka

Algoritmus na skúmanie funkcie pre paritu

1. Určte, či je definičný obor funkcie symetrický. Ak nie, funkcia nie je ani párna, ani nepárna. Ak áno, prejdite na krok 2 algoritmu.

2. Napíšte výraz pre f(–X).

3. Porovnaj f(–X).a f(X):

• ak f(–X).= f(X), potom je funkcia párna;
• ak f(–X).= – f(X), potom je funkcia nepárna;
• ak f(–X) ≠ f(X) a f(–X) ≠ –f(X), potom funkcia nie je ani párna, ani nepárna.

Príklady:

Preskúmajte funkciu pre paritu a) pri= x 5+; b) pri= ; v) pri= .

Riešenie.

a) h (x) \u003d x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), symetrická množina.

2) h (- x) \u003d (-x) 5 + - x5 - \u003d - (x 5 +),

3) h (- x) \u003d - h (x) \u003d\u003e funkcia h(x)= x 5 + nepárne.

b) y =,

pri = f(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), asymetrická množina, takže funkcia nie je ani párna, ani nepárna.

v) f(X) = , y = f(x),

1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

Možnosť 2

1. Je daná množina symetrická: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

a); b) y \u003d x (5 - x 2). 2. Preskúmajte funkciu parity:

a) y \u003d x 2 (2x - x 3), b) y \u003d

3. Na obr. zakreslený pri = f(X), pre všetkých X, splnenie podmienky X? 0.
Nakreslite funkciu pri = f(X), ak pri = f(X) je párna funkcia.

3. Na obr. zakreslený pri = f(X), pre všetky x spĺňajúce x? 0.
Nakreslite funkciu pri = f(X), ak pri = f(X) je zvláštna funkcia.

Vzájomná kontrola zapnutá šmykľavka.

6. Domáce úlohy: №11.11, 11.21,11.22;

Dôkaz geometrického významu vlastnosti parity.

*** (Priradenie možnosti USE).

1. Nepárna funkcia y \u003d f (x) je definovaná na celej skutočnej čiare. Pre akúkoľvek nezápornú hodnotu premennej x sa hodnota tejto funkcie zhoduje s hodnotou funkcie g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). Nájdite hodnotu funkcie h( X) = at X = 3.

7. Zhrnutie

Funkcia je jedným z najdôležitejších matematických pojmov. Funkcia - premenná závislosť pri z premennej X, ak každá hodnota X zodpovedá jednej hodnote pri. premenlivý X nazývaná nezávislá premenná alebo argument. premenlivý pri nazývaná závislá premenná. Všetky hodnoty nezávislej premennej (premenná X) tvoria definičný obor funkcie. Všetky hodnoty, ktoré má závislá premenná (premenná r), tvoria rozsah funkcie.

Graf funkcií nazývajú množinu všetkých bodov súradnicovej roviny, ktorých úsečky sa rovnajú hodnotám argumentu a súradnice sa rovnajú zodpovedajúcim hodnotám funkcie, to znamená hodnotám premenné sú vynesené pozdĺž osi x X a hodnoty premennej sú vynesené pozdĺž osi y r. Na vykreslenie funkcie potrebujete poznať vlastnosti funkcie. Hlavné vlastnosti funkcie budú uvedené nižšie!

Na vykreslenie funkčného grafu odporúčame použiť náš program – Graphing Functions Online. Ak máte nejaké otázky pri štúdiu materiálu na tejto stránke, vždy sa ich môžete opýtať na našom fóre. Aj na fóre vám pomôžeme riešiť problémy z matematiky, chémie, geometrie, teórie pravdepodobnosti a mnohých ďalších predmetov!

Základné vlastnosti funkcií.

1) Rozsah funkcií a rozsah funkcií.

Rozsah funkcie je množina všetkých platných platných hodnôt argumentu X(premenná X), pre ktoré je funkcia y = f(x) definované.
Rozsah funkcie je množina všetkých reálnych hodnôt rže funkcia akceptuje.

V elementárnej matematike sa funkcie študujú iba na množine reálnych čísel.

2) Funkčné nuly.

hodnoty X, na ktorom y=0, sa volá funkčné nuly. Sú to úsečky priesečníkov grafu funkcie s osou x.

3) Intervaly znamienkovej stálosti funkcie.

Intervaly znamienkovej stálosti funkcie sú také intervaly hodnôt X, na ktorom sú hodnoty funkcie r buď len pozitívne alebo len negatívne sa nazývajú intervaly znamienkovej stálosti funkcie.

4) Monotónnosť funkcie.

Rastúca funkcia (v určitom intervale) je funkcia, v ktorej väčšia hodnota argumentu z tohto intervalu zodpovedá väčšej hodnote funkcie.

Klesajúca funkcia (v nejakom intervale) - funkcia, v ktorej väčšej hodnote argumentu z tohto intervalu zodpovedá menšia hodnota funkcie.

5) Párne (nepárne) funkcie.

Párna funkcia je funkcia, ktorej definičný obor je symetrický vzhľadom na počiatok a pre ľubovoľný X f(-x) = f(x). Graf párnej funkcie je symetrický okolo osi y.

Nepárna funkcia je funkcia, ktorej definičný obor je symetrický vzhľadom na pôvod a pre ľubovoľný X z oblasti definície rovnosti f(-x) = - f(x). Graf nepárnej funkcie je symetrický podľa pôvodu.

Dokonca aj funkcia
1) Definičný obor je symetrický vzhľadom na bod (0; 0), teda ak bod a patrí do oblasti definície, potom pointa -a patrí tiež do oblasti definície.
2) Za akúkoľvek hodnotu X f(-x)=f(x)
3) Graf párnej funkcie je symetrický okolo osi Oy.

nepárna funkcia má nasledujúce vlastnosti:
1) Definičný obor je symetrický vzhľadom na bod (0; 0).
2) pre akúkoľvek hodnotu X, ktorá patrí do oblasti definície, rovnosti f(-x)=-f(x)
3) Graf nepárnej funkcie je symetrický vzhľadom na počiatok (0; 0).

Nie každá funkcia je párna alebo nepárna. Funkcie všeobecný pohľad nie sú párne ani nepárne.

6) Obmedzené a neobmedzené funkcie.

Funkcia sa nazýva ohraničená, ak existuje kladné číslo M také, že |f(x)| ≤ M pre všetky hodnoty x . Ak také číslo neexistuje, funkcia je neobmedzená.

7) Periodicita funkcie.

Funkcia f(x) je periodická, ak existuje nenulové číslo T také, že pre ľubovoľné x z oblasti funkcie platí f(x+T) = f(x). Toto najmenšie číslo sa nazýva perióda funkcie. Všetky goniometrické funkcie sú periodické. (trigonometrické vzorce).

Funkcia f sa nazýva periodické, ak existuje číslo také, že pre ľubovoľné X z oblasti definície rovnosti f(x)=f(x-T)=f(x+T). T je obdobie funkcie.

Každá periodická funkcia má nekonečný počet periód. V praxi sa zvyčajne považuje za najmenšie pozitívne obdobie.

Hodnoty periodickej funkcie sa opakujú po intervale, ktorý sa rovná perióde. Používa sa pri vykresľovaní grafov.

Prevod grafu.

Slovný popis funkcie.

Grafický spôsob.

Grafický spôsob určenia funkcie je najnázornejší a často sa používa v strojárstve. V matematickej analýze sa ako ilustrácia používa grafický spôsob špecifikácie funkcií.

Graf funkcií f je množina všetkých bodov (x; y) súradnicovej roviny, kde y=f(x) a x „prechádza“ celým definičným oborom danej funkcie.

Podmnožina súradnicovej roviny je graf nejakej funkcie, ak má najviac jeden spoločný bod s akoukoľvek priamkou rovnobežnou s osou Oy.

Príklad. Sú obrázky nižšie grafmi funkcií?

Výhodou grafickej úlohy je jej prehľadnosť. Okamžite vidíte, ako sa funkcia správa, kde sa zvyšuje, kde klesá. Z grafu môžete okamžite zistiť niektoré dôležité charakteristiky funkcie.

Vo všeobecnosti analytické a grafické spôsoby definovania funkcie idú ruka v ruke. Práca so vzorcom pomáha vytvárať graf. A graf často navrhuje riešenia, ktoré si vo vzorci nevšimnete.

Takmer každý študent pozná tri spôsoby, ako definovať funkciu, ktorú sme práve prebrali.

Pokúsme sa odpovedať na otázku: "Existujú iné spôsoby, ako definovať funkciu?"

Existuje taký spôsob.

Funkciu možno celkom jednoznačne definovať slovami.

Napríklad funkcia y=2x môže byť definovaná nasledujúcim slovným popisom: každej skutočnej hodnote argumentu x je priradená jej dvojnásobná hodnota. Pravidlo je nastavené, funkcia je nastavená.

Okrem toho je možné zadať funkciu slovne, čo je mimoriadne ťažké, ak nie nemožné, špecifikovať pomocou vzorca.

Napríklad: každá hodnota prirodzeného argumentu x je spojená so súčtom číslic, ktoré tvoria hodnotu x. Napríklad, ak x=3, potom y=3. Ak x=257, potom y=2+5+7=14. A tak ďalej. Je ťažké to zapísať do vzorca. Ale stôl sa dá ľahko vyrobiť.

Metóda slovného opisu je pomerne zriedka používaná metóda. Ale niekedy sa to stane.

Ak existuje zákon o zhode jedna ku jednej medzi x a y, potom existuje funkcia. Aký zákon, v akej forme je vyjadrený – vzorcom, tabuľkou, grafom, slovami – nemení podstatu veci.

Uvažujme funkcie, ktorých definičné oblasti sú symetrické vzhľadom na počiatok súradníc, t.j. pre hocikoho X mimo rozsah číslo (- X) tiež patrí do oblasti definície. Medzi tieto funkcie patrí párne a nepárne.

Definícia. Volá sa funkcia f dokonca, ak k nejakému X mimo svojej domény

Príklad. Zvážte funkciu

Je dokonca. Poďme si to overiť.

Pre hocikoho X rovnosti

Obidve podmienky sú teda pre nás splnené, čo znamená, že funkcia je párna. Nižšie je uvedený graf tejto funkcie.

Definícia. Volá sa funkcia f zvláštny, ak k nejakému X mimo svojej domény

Príklad. Zvážte funkciu

Je divná. Poďme si to overiť.

Oblasť definície je celá číselná os, čo znamená, že je symetrická podľa bodu (0; 0).

Pre hocikoho X rovnosti

Obe podmienky sú teda pre nás splnené, čo znamená, že funkcia je nepárna. Nižšie je uvedený graf tejto funkcie.

Grafy zobrazené na prvom a treťom obrázku sú symetrické okolo osi y a grafy zobrazené na druhom a štvrtom obrázku sú symetrické okolo začiatku.

Ktoré z funkcií, ktorých grafy sú zobrazené na obrázkoch, sú párne a ktoré nepárne?