Geometria - sztereometria, a vonalak közötti távolság.

Két vonal közötti távolság.

C2. feladat

Egy szabályos háromszög alakú prizmában ABCA1B1C1,
amelyeknek minden éle 1, keresse meg az AB és CB1 egyenesek távolságát

A ferde vonalak távolsága az egyik ferde vonal és az elsővel párhuzamos másik egyenesen áthaladó sík közötti távolság.

A két metsző vonal közötti távolság meghatározásához a következőkre lesz szüksége:

1. Rajzoljon át egy síkot a második egyenessel párhuzamos egyenesek egyikén.

2. Az első egyenes tetszőleges pontjából ejtse le a síkra merőlegest, és keresse meg a hosszát. Vagyis a probléma egy pont és egy sík távolságának megállapítására redukálódik.

Ezt megtehetjük geometriai módszerrel vagy koordináta módszerrel..jpg" align="left" width="132" height="168">

Bizonyítsuk be, hogy az MCC1 sík merőleges az AB egyenesre, következésképpen az A1B1C síkra:

Az MC szakasz az ABC egyenlő oldalú háromszög mediánja, tehát magassága. A KM egyenes párhuzamos a CC1 egyenessel, ezért merőleges az AB-re. Azaz az AB egyenes merőleges az MCC1 sík két metsző egyenesére, és ezért merőleges a síkra.

Most nézzük meg az MCC1 síkon derékszögű háromszög ISS és rajzolja meg benne az MR magasságot:

A háromszög MP magasságának hossza az AB és CB1 egyenesek távolsága, amelyet meg kell találnunk.

Az MP magasság meghatározásához az ISS háromszög területének kétszeresét fejezzük ki

Helyezzük a prizmánkat a koordinátarendszerbe. Ha kockával vagy téglatesttel oldunk meg egy feladatot, akkor kézenfekvő a koordinátarendszer választása: a koordináták origóját a kocka valamelyik csúcsára helyezzük, a tengelyeket pedig az élek mentén irányítjuk. Prizma esetében ez nem annyira nyilvánvaló.

Olyan koordinátarendszert kell kiválasztanunk, hogy az M pont, valamint az A1B1C síkot meghatározó A1, B1 és C pontok koordinátái legyenek leginkább kiszámítva. egyszerű módonés a lehető legtöbb nullát tartalmazzon. Ezért célszerű egy ilyen koordinátarendszert választani:

Írjuk fel a szükséges pontok koordinátáit:

$\blacktriangleright$ A metsző egyenesek olyan vonalak, amelyeken keresztül nem lehet egy síkot meghúzni.

A metsző vonalak jele: ha az első egyenes metszi azt a síkot, amelyben a második egyenes egy olyan pontban van, amely nem a második egyenesen fekszik, akkor ezek az egyenesek metszik egymást.

$\fekete háromszögjobb$ akkor az egyik ferde egyenesen pontosan egy sík megy át párhuzamosan a másik egyenessel metsző vonalak közötti távolság a távolság ezen egyenesek egyike és az elsővel párhuzamos második egyenesen átmenő sík között.

Tehát, ha az $a$ és $b$ egyenesek metszik egymást, akkor:

1. lépés: Rajzoljon egy vonalat $c\párhuzamos b$ úgy, hogy a $c$ egyenes metszi a $a$ egyenest. A $\alpha$ sík, amely áthalad a $a$ és $c$ egyeneseken, a $b$ egyenessel párhuzamos sík lesz.

2. lépés: A $a$ és $c$ egyenesek metszéspontjából ($a\cap c=H$ ) engedje le a $HB$ merőlegest a $b$ egyenesre. (első módszer).

Vagy a $b$ egyenes bármely $B"$ pontjából ejtse le a $c$ egyenesre merőlegest (a második út).

A probléma állapotától függően a két módszer egyike sokkal kényelmesebb lehet, mint a másik.

1. feladat #2452

Feladat szint: EGE könnyebb

Egy $ABCDA_1B_1C_1D_1$ kockában, amelynek éle $\sqrt(32)$ , keresse meg a $DB_1$ és $CC_1$ vonalak közötti távolságot.

A $DB_1$ és $CC_1$ egyenes vonalak az alapon vannak keresztezve, mert a $DB_1$ egyenes metszi a $(DD_1C_1)$ síkot, amely tartalmazza a $CC_1$ -t, egy $D$ pontban, amely nem a $CC_1$ -n fekszik.

A ferde vonalak közötti távolságot a $CC_1$ egyenes és a $DB_1$ $CC_1$-vel párhuzamosan átmenő sík közötti távolságként kell keresni. Mert $DD_1\párhuzamos CC_1$ , akkor a $(B_1D_1D)$ sík párhuzamos a $CC_1$ -vel.
Bizonyítsuk be, hogy $CO$ merőleges erre a síkra. Valójában $CO\perp BD$ (egy négyzet átlóiként) és $CO\perp DD_1$ (mivel a $DD_1$ él merőleges a teljes $(ABC)$ síkra. Tehát $CO$ merőleges két metsző egyenesre a síkból, ezért $CO\perp (B_1D_1D)$ .

$AC$ , mint egy négyzet átlója egyenlő $AB\sqrt2$ , azaz. $AC=\sqrt(32)\cdot \sqrt2=8$. Ezután $CO=\frac12\cdot AC=4$ .

Válasz: 4

2. feladat #2453

Feladatszint: Nehezebb, mint a vizsga

Adott egy kocka $ABCDA_1B_1C_1D_1$ . Határozza meg a $AB_1$ és $BC_1$ vonalak közötti távolságot, ha a kocka éle $a$ .

1) Figyeljük meg, hogy ezek a vonalak a jel szerint metszik egymást, hiszen az $AB_1$ egyenes metszi a $(BB_1C_1)$ síkot, amely tartalmazza a $BC_1$ -t, egy $B_1$ pontban, amely nem a $BC_1$ -n fekszik.
A ferde vonalak közötti távolságot a $BC_1$ egyenes és az $AB_1$ $BC_1$-el párhuzamosan átmenő sík közötti távolságként kell keresni.

Ehhez rajzolja meg a $AD_1$ -t - párhuzamos a $BC_1$ -vel. Ezért a $(AB_1D_1)\párhuzamos BC_1$ sík alapján.

2) Dobd el a $C_1H$ merőlegest erre a síkra, és bizonyítsd be, hogy a $H$ pont az $AO$ szakasz folytatására esik, ahol $O$ az átlóinak metszéspontja. a négyzet $A_1B_1C_1D_1$ .
Valóban, azóta a $C_1O\perp B_1D_1$ négyzet tulajdonságával, akkor a három tételével a merőleges vetület $HO\perp B_1D_1$ . De $\háromszög AB_1D_1$ egyenlő szárú, tehát $AO$ a medián és a magasság. Ezért a $H$ pontnak az $AO$ egyenesen kell lennie.

3) Tekintsük a $(AA_1C_1)$ síkot.

$\háromszög AA_1O\sim \háromszög OHC_1$ két sarok ( $\angle AA_1O=\angle OHC_1=90^\circ$, $\angle AOA_1=\angle HOC_1$ ). Ily módon

\[\dfrac(C_1H)(AA_1)=\dfrac(OC_1)(AO) \qquad (*)\]

A Pitagorasz-tétel alapján $\háromszög AA_1O$ : \

Ezért a $(*)$-ból most megtalálhatjuk a merőlegest

Válasz:

$\dfrac a(\sqrt3)$

3. feladat #2439

Feladatszint: Nehezebb, mint a vizsga

$OK$ merőleges a $A_1B$ egyenesre.
Valóban, rajzoljunk $KH\párhuzamos B_1C_1$ (tehát $H\in AB_1$ ). Aztán azóta $B_1C_1\perp (AA_1B_1)$ , majd $KH\perp (AA_1B_1)$ . Ekkor a három merőleges tétel (mivel a $HO\perp A_1B$ vetület) ferde $KO\perp A_1B$ , chtd.
Így $KO$ a szükséges távolság.

vegye észre, az $\háromszög AOK\sim \háromszög AC_1B_1$(két sarok). Következésképpen,

\[\dfrac(AO)(AC_1)=\dfrac(OK)(B_1C_1) \quad \Rightarrow \quad OK=\dfrac(\sqrt6\cdot \sqrt2)(2\sqrt3)=1.\]

Ha nagyon részletes...

Nyilvánvalóan a feltételben hivatkozott szakasz: $%AA_1MN$%, ahol a $%M$% és $%N$% a $%B_1C_1$% és $%BC$% él felezőpontja (és a egy ilyen szakasz síkja, nyilvánvalóan merőleges az alapok síkjaira). Azok. mivel ez a szakasz négyzet, a prizma magassága (oldaléle) = egy szabályos háromszög magassága $%AN = h = a\cdot \sqrt(3)/2 = 2\sqrt(7)\cdot \ sqrt(3)/ 2 = \sqrt(21)$%.
Keressük a távolságot a $%A_1B$% és $%AM$% metszéspontja között.

"Rossz" megoldási mód (legyen az is, mert más problémáknál gyakran ezt használják). Készítünk egy síkot, amely például a $%AM$% egyenest tartalmazza és párhuzamos a $%A_1B$% egyenessel (lehetséges volt olyan síkot rajzolni, amely átmegy $%A_1B$% és párhuzamosan $%AM$%) . Ehhez: t.-on keresztül $%M$% húzunk egy egyenest $%ME || A_1B$%; a $%A_1B$% és $%AM$% párhuzamos egyenesek által meghatározott sík az alapok 2 párhuzamos síkját PÁRHUZAMOS egyenesek mentén metszi, azaz. ha a $%E$% pont az "alsó" bázishoz tartozik, akkor $%A_1M || BE$% (azaz $%BA_1ME$% egy paralelogramma, és $%BE = A_1M = \sqrt(21)$%). Most konstrukció szerint a $%A_1B$% párhuzamos a $%AME$% síkkal (mert $%A_1B || ME$%), és keressük a távolságot bármely ponttól $%A_1B$% (például , a $%B$% ) ponttól a $%AME$% síkra. Ez = a $%BAME$% piramis magassága a $%B$% tetejétől a $%AME$% aljáig húzva. De nehéz ilyen magasságot építeni $%H$%, ezért "a hangerőn keresztül" keressük. Egyrészt $%V_(BAME) = 1/3\cdot S_(\Delta AME)\cdot H$%, másrészt: $%V_(BAME) = 1/3\cdot S_(BAE) \ cdot MN$% (mert a $%M$% ponttól a $%BAE$% alapig mért magasság a prizma magassága lesz $%MN = \sqrt(21)$% (bár a magasság "kint" lesz " maga a piramis) $%BAME$%, de ez nem változtat semmit)).
A $%\Delta ABE$% szögben $%\angle ABE = 60^0 + 90^0 = 150^0$%, és a háromszög területe $%S_(ABE) = 1/2\cdot 2\ sqrt(7) \cdot \sqrt(21) \cdot sin(150^0) = 7 \sqrt(3)/2$%. Azok. piramistérfogat: $%V_(BAME) = 1/3\cdot 7\sqrt(3) /2 \cdot \sqrt(21) = 7\sqrt(7) /2$%
És hátra van a $%AME$% háromszög területének megtalálása. "Ismerjük" az oldalait (megtaláljuk): $%AM = \sqrt(2) \cdot \sqrt(21) = \sqrt(42)$% (ez a négyzet átlója), $%ME = A_1B = \sqrt( (2 \sqrt(7))^2 + (\sqrt(21))^2 ) = \sqrt( 28 + 21) = 7$%, és $%AE$% - a $% háromszögből BAE$% a koszinusztétel szerint: $%AE^2 = 21 + 28 - 2\cdot 2\sqrt(7) \cdot \sqrt(21)\cdot (-\sqrt(3))/2 = 49 + 2 \cdot 7 \cdot 3 = 91 $%. Azok. (ismét) oldalak: $%AM = \sqrt(42)$%, $%ME = 7 = \sqrt(49)$% és $%AE = \sqrt(91)$%. De $%91 = 42 + 49 $%, azaz. $%AE^2 = AM^2 + ME^2$%, azaz. "a Pitagorasz-tétel inverz tétele alapján" a háromszög derékszögű ($%AM \perp ME$%). Ekkor a területe: $%S_(AME) = 1/2\cdot AM\cdot AE = 1/2\cdot 7\sqrt(42)$%.
Azaz $%1/3\cdot 1/2 \cdot 7\sqrt(42) \cdot H = 7\sqrt(7)/2$%, ahonnan $%H = 3\sqrt(7)/\sqrt ( 42) = 3/\sqrt(6) = \sqrt(6)/2$% -- távolság a $%B$% ponttól (és a $%A_1B$% egyenestől a $%AME$ síkig % (egyenlő az átkelés közötti távolsággal).

Most a szokásos megoldás =)) Keressünk egy síkot, amely merőleges a $%AM$% egyenesre. "Egy egyenes akkor merőleges egy síkra, ha merőleges az abban a síkban fekvő két nem párhuzamos egyenesre." Nyilvánvaló, hogy $%AM \perp A_1N$% (mivel ezek egy négyzet átlói). Ezenkívül a $%AN$% a ferde $%AM$% vetülete az "alsó" alapra. És ha a vetület $%AN \perp BC$%, akkor a ferde $%AM\perp BC$% (3 merőleges elmélet). Másképpen is mondhatjuk: ha azt mondjuk, hogy a $%BC$% egyenes az alap síkjában fekszik, amely merőleges a $%ANM$% síkra, és a $%BC$% merőleges a $%AN$-ra. % - ezen síkok metszésvonala, akkor a $ %BC$% merőleges a teljes $%ANM$% síkra, így a $%BC\perp AM$%. Így a $%AM\perp A_1N$% és a $%AM\perp BC$%, tehát a $%AM$% merőleges a $%BA_1N$% síkra. De a $%A_1B$% egyenes egyáltalán ehhez a síkhoz tartozik (nem is kell erre a síkra vetíteni). Azok. a $%O$% pontból (a $%AM$% és a $%BA_1N$%) sík metszéspontja merőleges a $%BA_1$% oldalra (azaz $%OT\perp A_1B$%) - kapunk egy közös merőleges két metszéspontot (hossza = a köztük lévő távolság). A $%\Delta BNA_1$% háromszög téglalap alakú ($%\angle BNA_1 = 90^0)$%, a $%OT$% szakasz pedig a hipotenuzusra merőleges fele. És perp. a hipotenuzushoz: $%NK = BN\cdot A_1N / A_1B = \sqrt(7)\cdot \sqrt(42)/7 = \sqrt(6)$%. És távolság $%OT = \sqrt(6)/2$%