Az y x függvény felépítése 3. Másodfokú és köbfüggvények

Lecke a témában: "A $y=x^3$ függvény grafikonja és tulajdonságai. Példák ábrázolásra"

Kiegészítő anyagok
Kedves felhasználók, ne felejtsék el meghagyni észrevételeiket, visszajelzéseiket, javaslataikat. Az összes anyagot egy vírusirtó program ellenőrzi.

Oktatási segédanyagok és szimulátorok az "Integral" online áruházban a 7. osztály számára
Elektronikus tankönyv 7. osztályos "Algebra 10 percben"
Oktatási komplexum 1C "Algebra, 7-9. osztály"

A $y=x^3$ függvény tulajdonságai

Leírjuk ennek a függvénynek a tulajdonságait:

1. x a független változó, y a függő változó.

2. Definíciós tartomány: nyilvánvaló, hogy az (x) argumentum tetszőleges értékére ki lehet számítani az (y) függvény értékét. Ennek megfelelően ennek a függvénynek a definíciós tartománya a teljes számegyenes.

3. Értéktartomány: y bármi lehet. Ennek megfelelően a tartomány egyben a teljes számsor is.

4. Ha x= 0, akkor y= 0.

A $y=x^3$ függvény grafikonja

1. Készítsünk egy értéktáblázatot:

2. Mert pozitív értékeket x, a $y=x^3$ függvény grafikonja nagyon hasonlít egy parabolához, melynek ágai jobban "nyomódnak" az OY tengelyhez.

3. Mivel a $y=x^3$ függvénynek az x negatív értékei ellentétes értékei vannak, a függvény grafikonja szimmetrikus az origóhoz képest.

Most jelöljük meg a pontokat a koordinátasíkon, és készítsünk grafikont (lásd 1. ábra).

Ezt a görbét köbös parabolának nevezzük.

Példák

I. A kis hajóból kifogyott az édesvíz. Elegendő vizet kell hozni a városból. A vizet előre megrendelik, és egy teljes kockát fizetnek, még akkor is, ha kicsit kevesebbet tölt. Hány kockát kell rendelni, hogy ne fizessen túl egy extra kockáért, és ne töltse fel teljesen a tartályt? Ismeretes, hogy a tartály hossza, szélessége és magassága megegyezik, ami 1,5 m. Oldjuk meg ezt a problémát számítások elvégzése nélkül.

Megoldás:

1. Ábrázoljuk a $y=x^3$ függvényt.
2. Keresse meg az A pontot, x koordinátája, amely egyenlő 1,5-tel. Látjuk, hogy a függvény koordinátája a 3 és 4 értékek között van (lásd 2. ábra). Tehát 4 kockát kell rendelni.

A modulokat tartalmazó függvénygráfok felépítése általában jelentős nehézségeket okoz az iskolásoknak. Azonban nem minden olyan rossz. Elegendő több algoritmusra emlékezni az ilyen problémák megoldásához, és könnyedén készíthet grafikont még a leglátványosabbnak is. összetett funkció. Lássuk, melyek ezek az algoritmusok.

1. Az y = |f(x)| függvény ábrázolása

Vegye figyelembe, hogy a függvényértékek halmaza y = |f(x)| : y ≥ 0. Így az ilyen függvények grafikonjai mindig teljesen a felső félsíkban helyezkednek el.

Az y = |f(x)| függvény ábrázolása a következő egyszerű négy lépésből áll.

1) Gondosan és körültekintően készítse el az y = f(x) függvény grafikonját!

2) Hagyja változatlanul a grafikon azon pontjait, amelyek a 0x tengely felett vagy azon vannak.

3) A grafikonnak a 0x tengely alatti része szimmetrikusan jelenik meg a 0x tengely körül.

Példa 1. Rajzolja meg az y = |x 2 - 4x + 3| függvény grafikonját

1) Megszerkesztjük az y \u003d x 2 - 4x + 3 függvény grafikonját. Nyilvánvaló, hogy ennek a függvénynek a grafikonja egy parabola. Határozzuk meg a parabola és a koordinátatengelyek metszéspontjainak koordinátáit, valamint a parabola csúcsának koordinátáit.

x 2 - 4x + 3 = 0.

x 1 = 3, x 2 = 1.

Ezért a parabola a (3, 0) és (1, 0) pontokban metszi a 0x tengelyt.

y \u003d 0 2 - 4 0 + 3 \u003d 3.

Ezért a parabola a (0, 3) pontban metszi a 0y tengelyt.

Parabola csúcs koordinátái:

x in \u003d - (-4/2) \u003d 2, y in \u003d 2 2 - 4 2 + 3 \u003d -1.

Ezért a (2, -1) pont ennek a parabolának a csúcsa.

A kapott adatok felhasználásával rajzoljunk parabolát! (1. ábra)

2) A grafikonnak a 0x tengely alatti része szimmetrikusan jelenik meg a 0x tengelyhez képest.

3) Megkapjuk az eredeti függvény grafikonját ( rizs. 2 szaggatott vonallal jelölve).

2. Az y = f(|x|) függvény ábrázolása

Vegye figyelembe, hogy az y = f(|x|) alakú függvények párosak:

y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). Ez azt jelenti, hogy az ilyen függvények grafikonjai szimmetrikusak a 0y tengelyre.

Az y = f(|x|) függvény ábrázolása a következő egyszerű műveleti láncból áll.

1) Ábrázolja az y = f(x) függvényt!

2) Hagyja el a gráfnak azt a részét, amelyre x ≥ 0, azaz a gráfnak azt a részét, amely a jobb oldali félsíkban található.

3) Jelenítse meg a grafikon (2) bekezdésben meghatározott részét szimmetrikusan a 0y tengelyre.

4) Végső grafikonként válassza ki a (2) és (3) bekezdésben kapott görbék unióját.

2. példa Rajzolja meg az y = x 2 – 4 · |x| függvény grafikonját + 3

Mivel x 2 = |x| 2 , akkor az eredeti függvény a következőképpen írható át: y = |x| 2 – 4 · |x| + 3. És most már alkalmazhatjuk a fent javasolt algoritmust.

1) Gondosan és körültekintően megszerkesztjük az y \u003d x 2 - 4 x + 3 függvény grafikonját (lásd még rizs. egy).

2) Meghagyjuk a gráfnak azt a részét, amelyre x ≥ 0, vagyis a gráfnak azt a részét, amely a jobb oldali félsíkban található.

3) Kijelző jobb oldal a 0y tengelyre szimmetrikus grafika.

(3. ábra).

3. példa Rajzolja meg az y = log 2 |x| függvény grafikonját

A fenti sémát alkalmazzuk.

1) Ábrázoljuk az y = log 2 x függvényt (4. ábra).

3. Az y = |f(|x|)| függvény ábrázolása

Vegye figyelembe, hogy az y = |f(|x|)| alakú függvények párosak is. Valóban, y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x), ezért grafikonjaik szimmetrikusak a 0y tengelyre. Az ilyen függvények értékkészlete: y ≥ 0. Így az ilyen függvények grafikonjai teljesen a felső félsíkban helyezkednek el.

Az y = |f(|x|)| függvény ábrázolásához a következőket kell tennie:

1) Szerkessze meg az y = f(|x|) függvény tiszta gráfját!

2) Hagyja változatlanul a grafikonnak azt a részét, amely a 0x tengely felett vagy azon található.

3) A grafikon 0x tengely alatti részét szimmetrikusan kell megjeleníteni a 0x tengelyhez képest.

4) Végső grafikonként válassza ki a (2) és (3) bekezdésben kapott görbék unióját.

4. példa Rajzolja meg az y = |-x 2 + 2|x| függvény grafikonját – 1|.

1) Vegye figyelembe, hogy x 2 = |x| 2. Ezért az eredeti függvény helyett y = -x 2 + 2|x| - egy

használhatja az y = -|x| függvényt 2 + 2|x| – 1, mivel a grafikonjaik megegyeznek.

Egy y = -|x| gráfot készítünk 2 + 2|x| – 1. Ehhez a 2. algoritmust használjuk.

a) Ábrázoljuk az y \u003d -x 2 + 2x - 1 függvényt (6. ábra).

b) Meghagyjuk a gráfnak azt a részét, amely a jobb oldali félsíkban található.

c) Jelenítse meg a grafikon eredményül kapott részét a 0y tengelyre szimmetrikusan.

d) A kapott grafikont pontozott vonallal ábrázoltuk az ábrán (7. ábra).

2) A 0x tengely felett nincsenek pontok, a 0x tengelyen lévő pontokat változatlanul hagyjuk.

3) A grafikonnak a 0x tengely alatti része szimmetrikusan jelenik meg a 0x-hez képest.

4) A kapott grafikont szaggatott vonal mutatja az ábrán (8. ábra).

5. példa: Ábrázolja az y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|

1) Először meg kell ábrázolnia az y = (2|x| – 4) / (|x| + 3) függvényt. Ehhez visszatérünk a 2. algoritmushoz.

a) Óvatosan ábrázolja az y = (2x – 4) / (x + 3) függvényt (9. ábra).

Vegye figyelembe, hogy ez a függvény lineáris-tört, és a grafikonja egy hiperbola. A görbe felépítéséhez először meg kell találni a grafikon aszimptotáit. Vízszintes - y \u003d 2/1 (az együtthatók aránya x-nél a tört számlálójában és nevezőjében), függőleges - x \u003d -3.

2) A diagramnak a 0x tengely felett vagy azon lévő része változatlan marad.

3) A diagramnak a 0x tengely alatti része szimmetrikusan jelenik meg a 0x-hez képest.

4) A végső grafikon az ábrán látható (11. ábra).

oldalon, az anyag teljes vagy részleges másolásakor a forrásra mutató hivatkozás szükséges.

Készítsünk egy táblázatot a függvényértékekről

Látjuk, hogy for (egy pozitív szám kocka pozitív), és for (a kocka negatív szám negatív). Következésképpen a grafikon az I. és III. negyedben a koordinátasíkon fog elhelyezkedni. Cseréljük ki az x argumentum értékét az ellenkező értékre, ekkor a függvény az ellenkező értéket veszi fel; hiszen ha , akkor

Ez azt jelenti, hogy a gráf minden pontja ugyanazon gráf egy pontjának felel meg, amely szimmetrikusan helyezkedik el az origóhoz képest.

Így a koordináták origója a gráf szimmetriaközéppontja.

A függvény grafikonja a 81. ábrán látható. Ezt az egyenest köbös parabolának nevezzük.

Az első negyedévben a köbös parabola ( at ) "meredeken" emelkedik

felfelé (az y értékei "gyorsan" nőnek x növelésével. lásd a táblázatot), kis x érték esetén az egyenes "közel" közelít az abszcissza tengelyhez ("kicsinél" az y értéke "nagyon kicsi" ", lásd a táblázatot). A köbös parabola bal oldala (a harmadik kvadránsban) szimmetrikus a jobb oldallal az origóhoz képest.

Egy szépen megrajzolt gráf a számok közelítő négyzetesítésének eszközeként szolgálhat. Így például a beállítást az ütemezés szerint találjuk meg

A kockák hozzávetőleges kiszámításához speciális táblázatokat állítottak össze.

Ilyen táblázat található V. M. Bradis „Négy számjegyű matematikai táblázatok” című kézikönyvében is.

Ez a táblázat 1-től 10-ig terjedő számkockák hozzávetőleges értékeit tartalmazza, 4 számjegyre kerekítve.

A kockatáblázat felépítése és használatának szabályai megegyeznek a négyzettáblákéval. Ha azonban egy szám 10, 100 stb.-szeresére nő (vagy csökken), a kocka 1000, 1000 000 stb.-szeresére nő (vagy csökken). Tehát a kockatáblázat használatakor szem előtt kell tartania a következő vesszőtörő szabályt:

Ha egy vesszőt több számjegyre mozgat egy számban, akkor ennek a számnak a kockájában a vesszőt ugyanabba az irányba kell mozgatnia három számjegyre.

Magyarázzuk meg példákkal:

1) Számítsd ki a 2,2353-at! A táblázat szerint azt találjuk:; az utolsó számjegyhez adjon hozzá egy 8-as módosítást az utolsó jelhez:

2) Számítsa ki. Mióta megtaláljuk

A táblázat szerint a vessző mozgatásával megtaláljuk, megkapjuk

Hozzávetőleges képletek. Ha identitásban

az a szám kicsi az egységhez képest, akkor a c tagokat elvetve közelítő képleteket kapunk:

Ezekkel a képletekkel könnyen találhatunk hozzávetőlegesen egyhez közeli számkockákat, például: pontos kocka: 1,061208;

Nézzük meg, hogyan készítsünk grafikont a modullal.

Keressük meg azokat a pontokat, amelyek átmeneténél a modulusok előjele megváltozik.
Minden olyan kifejezés, amely a modulus alatt van, 0-val egyenlő. Van kettő x-3 és x+3.
x-3=0 és x+3=0
x=3 és x=-3

A számsorunk három intervallumra lesz felosztva (-∞;-3)U(-3;3)U(3;+∞). Minden intervallumon meg kell határoznia az almodul kifejezések előjelét.

1. Ezt nagyon könnyű megtenni, vegyük figyelembe az első intervallumot (-∞;-3). Vegyünk ebből a szegmensből tetszőleges értéket, például -4-et, és helyettesítsük be mindegyiket a moduláris egyenlet alatt az x értéke helyett.
x=-4
x-3=-4-3=-7 és x+3=-4+3=-1

Mindkét kifejezés negatív előjelű, ami azt jelenti, hogy az egyenletben a modul jele elé mínuszt teszünk, a moduljel helyett pedig zárójeleket teszünk, és megkapjuk a kívánt egyenletet a (-∞; -3) intervallumon.

y= — (x-3)-( — (x+3))=-x+3+x+3=6

A (-∞;-3) intervallumon egy lineáris függvény (egyenes) grafikonját kapjuk y \u003d 6

2. Tekintsük a második intervallumot (-3;3). Nézzük meg, hogyan fog kinézni a grafikon egyenlete ezen a szegmensen. Vegyünk tetszőleges számot -3-tól 3-ig, például 0-t. Helyettesítsünk 0-t x helyett.
x=0
x-3=0-3=-3 és x+3=0+3=3

Az első x-3 kifejezés negatív, a második x+3 kifejezés pozitív előjelű. Ezért írunk egy mínusz jelet az x-3 kifejezés elé, és egy pluszjelet a második kifejezés elé.

y= — (x-3)-( + (x+3))=-x+3-x-3=-2x

A (-3; 3) intervallumon egy lineáris függvény (egyenes) grafikonját kapjuk y \u003d -2x

3. Tekintsük a harmadik intervallumot (3;+∞). Ebből a szegmensből tetszőleges értéket veszünk, például 5-öt, és mindegyikbe behelyettesítjük a moduláris egyenletet az x érték helyett.

x=5
x-3=5-3=2 és x+3=5+3=8

Mindkét kifejezésnél az előjelek pozitívnak bizonyultak, ami azt jelenti, hogy az egyenletben a modulusjel elé pluszt teszünk, és a modulusjel helyett zárójeleket teszünk, és megkapjuk a kívánt egyenletet a (3;+) intervallumon. ∞).

y= + (x-3)-( + (x+3))=x-3-x-3=-6

A (3; + ∞) intervallumon egy lineáris függvény (egyenes) grafikonját kapjuk y \u003d -6

4. Most összegezzük, ábrázoljuk y=|x-3|-|x+3|.
A (-∞;-3) intervallumon egy y \u003d 6 lineáris függvény (egyenes) grafikonját építjük fel.
A (-3; 3) intervallumon felépítjük egy lineáris függvény (egyenes) grafikonját y \u003d -2x.
Az y \u003d -2x grafikon felépítéséhez több pontot választunk ki.
x=-3 y=-2*(-3)=6 pontot kapott (-3;6)
x=0 y=-2*0=0 pontot kapott (0;0)
x=3 y=-2*(3)=-6 pontot kapott (3;-6)
A (3; + ∞) intervallumon egy lineáris függvény (egyenes) grafikonját építjük fel y \u003d -6.

5. Most elemezzük az eredményt és válaszoljuk meg a hozzárendelés kérdését, keressük meg azt a k értékét, amelyre az y=kx egyenes rendelkezik az y=|x-3|-|x+3| gráfgal. ennek a függvénynek pontosan egy közös pontja van.

Az y=kx egyenes k bármely értékéhez mindig a (0;0) ponton halad át. Ezért ennek az egyenesnek csak az y=kx meredekségét tudjuk megváltoztatni, a meredekségért pedig a k együttható a felelős.

Ha k bármely pozitív szám, akkor az y=kx egyenesnek egy metszéspontja lesz az y=|x-3|-|x+3| gráfgal. Ez az opció megfelel nekünk.

Ha k értéke (-2;0), akkor az y=kx egyenes metszéspontjai az y=|x-3|-|x+3| gráfgal. három lesz.Ez a lehetőség nem felel meg nekünk.

Ha k=-2, akkor lesz egy megoldáshalmaz [-2;2], mert az y=kx egyenes egybeesik az y=|x-3|-|x+3| gráfgal. ezen a területen. Ez a lehetőség nem felel meg nekünk.

Ha k kisebb, mint -2, akkor az y=kx egyenes az y=|x-3|-|x+3| egy kereszteződése lesz.Ez a lehetőség megfelel nekünk.

Ha k=0, akkor az y=kx egyenes metszéspontjai az y=|x-3|-|x+3| gráfgal. lesz olyan is.Ez a lehetőség megfelel nekünk.

Válasz: amikor k a (-∞;-2)U intervallumhoz tartozik, és az intervallumon növekszik)