Pyramída. Skrátená pyramída

Pyramída je mnohosten, ktorého jedna plocha je mnohouholník ( základňu ) a všetky ostatné plochy sú trojuholníky so spoločným vrcholom ( bočné steny ) (obr. 15). Pyramída je tzv správne , ak je jeho základňa pravidelný mnohouholník a vrchol pyramídy sa premieta do stredu základne (obr. 16). Trojuholníková pyramída so všetkými rovnakými okrajmi sa nazýva štvorsten .

Bočné rebro pyramídy je strana bočnej steny, ktorá nepatrí k základni Výška pyramída je vzdialenosť od jej vrcholu k rovine základne. Všetky bočné hrany pravidelnej pyramídy sú si navzájom rovné, všetky bočné steny sú rovnaké rovnoramenné trojuholníky. Výška bočnej plochy pravidelnej pyramídy vytiahnutej z vrcholu sa nazýva apotéma . Diagonálny rez sa nazýva rez pyramídy rovinou prechádzajúcou dvoma bočnými hranami, ktoré nepatria k tej istej ploche.

Bočný povrch pyramída je súčet plôch všetkých bočných stien. Celková plocha povrchu sa nazýva súčet plôch všetkých bočných plôch a základne.

Vety

1. Ak sú v pyramíde všetky bočné hrany rovnako naklonené k rovine podstavy, potom sa vrchol pyramídy premieta do stredu kružnice opísanej v blízkosti podstavy.

2. Ak v pyramíde majú všetky bočné hrany rovnaké dĺžky, potom sa vrchol pyramídy premietne do stredu kružnice opísanej blízko základne.

3. Ak sú všetky steny pyramídy rovnako naklonené k rovine základne, potom sa vrchol pyramídy premieta do stredu kruhu vpísaného do základne.

Na výpočet objemu ľubovoľnej pyramídy je správny vzorec:

Kde V- objem;

S základňa– základná plocha;

H- výška pyramídy.

Pre pravidelnú pyramídu sú správne nasledujúce vzorce:

Kde p– obvod základne;

h a– apotéma;

H- výška;

S plný

S strana

S základňa– základná plocha;

V– objem pravidelnej pyramídy.

Skrátená pyramída nazývaná časť pyramídy uzavretá medzi základňou a reznou rovinou rovnobežnou so základňou pyramídy (obr. 17). Pravidelná zrezaná pyramída nazývaná časť pravidelnej pyramídy uzavretá medzi základňou a reznou rovinou rovnobežnou so základňou pyramídy.

Dôvody zrezaná pyramída - podobné mnohouholníky. Bočné plochy – lichobežníky. Výška zrezanej pyramídy je vzdialenosť medzi jej základňami. Uhlopriečka zrezaný ihlan je segment spájajúci jeho vrcholy, ktoré neležia na rovnakej ploche. Diagonálny rez je rez zrezaného ihlana rovinou prechádzajúcou dvoma bočnými hranami, ktoré nepatria k tej istej ploche.

Pre skrátenú pyramídu platia nasledujúce vzorce:

(4)

Kde S 1 , S 2 – plochy hornej a dolnej podstavy;

S plný– celková plocha;

S strana- bočný povrch;

H- výška;

V– objem zrezanej pyramídy.

Pre pravidelnú skrátenú pyramídu je vzorec správny:

Kde p 1 , p 2 – obvody podstavcov;

h a– apotéma pravidelného zrezaného ihlana.

Príklad 1 V pravidelnej trojuholníkovej pyramíde je dihedrálny uhol pri základni 60º. Nájdite dotyčnicu uhla sklonu bočnej hrany k rovine základne.

Riešenie. Urobme si nákres (obr. 18).

Pyramída je pravidelná, čo znamená, že na základni je rovnostranný trojuholník a všetky bočné strany sú rovnaké rovnoramenné trojuholníky. Dihedrálny uhol pri základni je uhol sklonu bočnej plochy pyramídy k rovine základne. Lineárny uhol je uhol a medzi dvoma kolmicami: atď. Vrchol pyramídy sa premieta do stredu trojuholníka (stred opísanej kružnice a vpísanej kružnice trojuholníka ABC). Uhol sklonu bočnej hrany (napr S.B.) je uhol medzi samotnou hranou a jej priemetom do roviny základne. Pre rebro S.B. tento uhol bude uhol SBD. Ak chcete nájsť dotyčnicu, musíte poznať nohy SO A O.B.. Nechajte dĺžku segmentu BD rovná sa 3 A. Bodka Oúsečka BD sa delí na časti: a Od nachádzame SO: Z toho nájdeme:

odpoveď:

Príklad 2 Nájdite objem pravidelného zrezaného štvorbokého ihlana, ak sú uhlopriečky jeho podstav rovné cm a cm a jeho výška je 4 cm.

Riešenie. Na zistenie objemu zrezanej pyramídy použijeme vzorec (4). Ak chcete nájsť oblasť základní, musíte nájsť strany základných štvorcov a poznať ich uhlopriečky. Strany podstav sa rovnajú 2 cm a 8 cm. To znamená plochy podstav a Nahradením všetkých údajov do vzorca vypočítame objem zrezanej pyramídy:

odpoveď: 112 cm 3.

Príklad 3 Nájdite plochu bočnej steny pravidelnej trojuholníkovej zrezanej pyramídy, ktorej strany základne sú 10 cm a 4 cm a výška pyramídy je 2 cm.

Riešenie. Urobme si nákres (obr. 19).

Bočná strana tejto pyramídy je rovnoramenný lichobežník. Na výpočet plochy lichobežníka potrebujete poznať základňu a výšku. Základy sú dané podľa stavu, neznáma ostáva len výška. Odkiaľ ju nájdeme A 1 E kolmo od bodu A 1 v rovine spodnej základne, A 1 D– kolmo od A 1 os AC. A 1 E= 2 cm, keďže toto je výška pyramídy. Nájsť DE Urobme si dodatočný nákres zobrazujúci pohľad zhora (obr. 20). Bodka O– premietanie stredov hornej a dolnej základne. keďže (pozri obr. 20) a Na druhej strane OK– polomer vpísaný do kruhu a OM- polomer vpísaný do kruhu:

MK = DE.

Podľa Pytagorovej vety z

Oblasť bočnej tváre:

odpoveď:

Príklad 4. Na základni pyramídy leží rovnoramenný lichobežník, ktorého základy A A b (a> b). Každá bočná plocha zviera uhol rovný rovine základne pyramídy j. Nájdite celkovú plochu pyramídy.

Riešenie. Urobme si nákres (obr. 21). Celková plocha pyramídy SABCD rovná súčtu plôch a plochy lichobežníka A B C D.

Použime tvrdenie, že ak sú všetky steny pyramídy rovnako naklonené k rovine podstavy, potom sa vrchol premieta do stredu kružnice vpísanej do podstavy. Bodka O– vrcholová projekcia S na základni pyramídy. Trojuholník SOD je ortogonálny priemet trojuholníka CSD do roviny základne. Podľa vety o oblasti ortogonálnej projekcie plochá postava dostaneme:

Rovnako to znamená Problém sa teda zmenšil na nájdenie oblasti lichobežníka A B C D. Nakreslíme lichobežník A B C D samostatne (obr. 22). Bodka O– stred kruhu vpísaného do lichobežníka.

Keďže kruh môže byť vpísaný do lichobežníka, potom alebo Z Pytagorovej vety máme

je mnohosten, ktorý je tvorený základňou pyramídy a rezom rovnobežným s ňou. Môžeme povedať, že zrezaná pyramída je pyramída s odrezaným vrcholom. Tento obrázok má mnoho jedinečných vlastností:

• Bočné steny pyramídy sú lichobežníkové;
• Bočné hrany pravidelného zrezaného ihlana sú rovnakej dĺžky a sklonené k základni pod rovnakým uhlom;
• Základy sú podobné polygóny;
• V pravidelnej skrátenej pyramíde sú tváre identické rovnoramenné lichobežníky, ktorých plocha je rovnaká. Sú tiež naklonené k základni pod jedným uhlom.

Vzorec pre plochu bočného povrchu zrezanej pyramídy je súčtom plôch jej strán:

Keďže strany zrezanej pyramídy sú lichobežníky, na výpočet parametrov budete musieť použiť vzorec lichobežníková oblasť. Pre bežnú skrátenú pyramídu môžete použiť iný vzorec na výpočet plochy. Pretože všetky jeho strany, plochy a uhly na základni sú rovnaké, je možné použiť obvody základne a apotému a tiež odvodiť plochu cez uhol v základni.

Ak je podľa podmienok v pravidelnom zrezanom ihlane uvedená apotéma (výška strany) a dĺžky strán podstavy, potom je možné plochu vypočítať prostredníctvom polovičného súčinu súčtu obvodov základy a apotéma:

Pozrime sa na príklad výpočtu plochy bočného povrchu zrezanej pyramídy.
Daná pravidelná päťuholníková pyramída. Apothem l= 5 cm, dĺžka okraja vo veľkej základni je a= 6 cm a okraj je na menšej základni b= 4 cm. Vypočítajte plochu zrezanej pyramídy.

Najprv nájdime obvody podstavcov. Keďže sme dostali päťuholníkovú pyramídu, chápeme, že základne sú päťuholníky. To znamená, že základne obsahujú figúrku s piatimi rovnakými stranami. Nájdite obvod väčšej základne:

Rovnakým spôsobom nájdeme obvod menšej základne:

Teraz môžeme vypočítať plochu pravidelnej skrátenej pyramídy. Doplňte údaje do vzorca:

Vypočítali sme teda plochu pravidelnej zrezanej pyramídy cez obvody a apotém.

Ďalším spôsobom, ako vypočítať plochu bočného povrchu pravidelnej pyramídy, je vzorec cez uhly na základni a oblasť týchto základov.

Pozrime sa na príklad výpočtu. Pamätáme si, že tento vzorec platí len pre pravidelnú zrezanú pyramídu.

Nech je daná pravidelná štvoruholníková pyramída. Hrana spodnej základne je a = 6 cm a hrana hornej základne je b = 4 cm, uhol vzpriamenia základne je β = 60°. Nájdite bočnú plochu pravidelnej zrezanej pyramídy.

Najprv vypočítajme plochu základne. Keďže pyramída je pravidelná, všetky hrany podstav sú si navzájom rovné. Vzhľadom na to, že základňa je štvoruholník, chápeme, že bude potrebné vypočítať plocha námestia. Je to súčin šírky a dĺžky, ale pri druhej mocnine sú tieto hodnoty rovnaké. Nájdite oblasť väčšej základne:


Teraz použijeme nájdené hodnoty na výpočet bočného povrchu.

Keď poznáme niekoľko jednoduchých vzorcov, ľahko sme vypočítali plochu bočného lichobežníka zrezanej pyramídy pomocou rôznych hodnôt.

Schopnosť vypočítať objem priestorových útvarov je dôležitá pri riešení množstva praktických úloh v geometrii. Jednou z najbežnejších postáv je pyramída. V tomto článku zvážime plné aj skrátené pyramídy.

Pyramída ako trojrozmerná postava

Každý vie o egyptské pyramídy, takže má dobrú predstavu o tom, o akej postave sa budeme baviť. Egyptské kamenné stavby sú však len špeciálnym prípadom obrovskej triedy pyramíd.

Uvažovaným geometrickým objektom vo všeobecnom prípade je polygonálna základňa, ktorej každý vrchol je spojený s určitým bodom v priestore, ktorý nepatrí do roviny základne. Táto definícia vedie k obrázku pozostávajúceho z jedného n-uholníka a n trojuholníkov.

Každá pyramída pozostáva z n+1 stien, 2*n hrán a n+1 vrcholov. Keďže predmetná postava je dokonalý mnohosten, počty označených prvkov sa riadia Eulerovou rovnosťou:

2*n = (n+1) + (n+1) - 2.

Mnohouholník umiestnený na základni dáva názov pyramídy, napríklad trojuholníkový, päťuholníkový atď. Sada pyramíd s rôznymi základňami je znázornená na fotografii nižšie.

Bod, v ktorom sa stretáva n trojuholníkov obrazca, sa nazýva vrchol pyramídy. Ak sa z nej spustí kolmica na základňu a pretína ju v geometrickom strede, potom sa takýto obrazec nazýva priamka. Ak táto podmienka nie je splnená, potom nastáva naklonená pyramída.

Pravý útvar, ktorého základňu tvorí rovnostranný (rovnouholníkový) n-uholník, sa nazýva pravidelný.

Vzorec pre objem pyramídy

Na výpočet objemu pyramídy použijeme integrálny počet. Aby sme to urobili, rozdelíme postavu rozrezaním rovín rovnobežných so základňou na nekonečný počet tenkých vrstiev. Na obrázku nižšie je znázornený štvorhranný ihlan s výškou h a dĺžkou strany L, v ktorom štvoruholník označuje tenkú vrstvu rezu.

Plochu každej takejto vrstvy možno vypočítať pomocou vzorca:

A(z) = Ao*(h-z)2/h2.

Tu A 0 je plocha základne, z je hodnota vertikálnej súradnice. Je vidieť, že ak z = 0, potom vzorec dáva hodnotu A 0 .

Ak chcete získať vzorec pre objem pyramídy, mali by ste vypočítať integrál po celej výške obrázku, to znamená:

V = ∫ h 0 (A(z)*dz).

Dosadením závislosti A(z) a výpočtom primitívnej derivácie dospejeme k výrazu:

V = -Ao*(h-z)3/(3*h2)| h0 = 1/3*Ao*h.

Získali sme vzorec pre objem pyramídy. Ak chcete nájsť hodnotu V, stačí vynásobiť výšku postavy plochou základne a potom vydeliť výsledok tromi.

Všimnite si, že výsledný výraz je platný pre výpočet objemu pyramídy akéhokoľvek typu. To znamená, že môže byť naklonený a jeho základňa môže byť ľubovoľný n-uholník.

a jeho objem

Prijaté v odseku vyššie všeobecný vzorec pre objem možno objasniť v prípade pyramídy so správnou základňou. Plocha takejto základne sa vypočíta podľa nasledujúceho vzorca:

Ao = n/4*L2*ctg(pi/n).

Tu je L dĺžka strany pravidelného mnohouholníka s n vrcholmi. Symbol pi je číslo pi.

Dosadením výrazu pre A 0 do všeobecného vzorca dostaneme objem pravidelnej pyramídy:

Vn = 1/3*n/4*L2*h*ctg(pi/n) = n/12*L2*h*ctg(pi/n).

Napríklad pre trojuholníkovú pyramídu má tento vzorec za následok nasledujúci výraz:

V3 = 3/12*L 2 *h*ctg(60 o) = √3/12*L 2 *h.

Pre pravidelnú štvorhrannú pyramídu má objemový vzorec tvar:

V4 = 4/12*L2*h*ctg(45o) = 1/3*L2*h.

Určenie objemov pravidelných pyramíd vyžaduje znalosť strany ich základne a výšky postavy.

Skrátená pyramída

Predpokladajme, že sme vzali ľubovoľnú pyramídu a odrezali časť jej bočnej plochy obsahujúcej vrchol. Zostávajúca postava sa nazýva zrezaná pyramída. Skladá sa už z dvoch n-gonálnych základov a n lichobežníkov, ktoré ich spájajú. Ak bola rovina rezu rovnobežná so základňou obrázku, potom je vytvorená zrezaná pyramída s podobnými rovnobežnými základňami. To znamená, že dĺžky strán jednej z nich možno získať vynásobením dĺžok druhej určitým koeficientom k.

Na obrázku vyššie je zrezaný pravidelný, je vidieť, že jeho hornú základňu, rovnako ako spodnú, tvorí pravidelný šesťuholník.

Vzorec, ktorý možno odvodiť pomocou integrálneho počtu podobného vyššie uvedenému, je:

V = 1/3*h*(Ao + Ai + √(Ao*A1)).

Kde Ao a Ai sú plochy spodnej (veľkej) a hornej (malej) bázy. Premenná h ​​označuje výšku zrezaného ihlana.

Objem Cheopsovej pyramídy

Je zaujímavé vyriešiť problém určenia objemu, ktorý najväčšia egyptská pyramída v sebe obsahuje.

V roku 1984 britskí egyptológovia Mark Lehner a Jon Goodman stanovili presné rozmery Cheopsovej pyramídy. Jeho pôvodná výška bola 146,50 metra (v súčasnosti asi 137 metrov). Priemerná dĺžka každá zo štyroch strán konštrukcie mala 230,363 metra. Základňa pyramídy s vysoká presnosť je štvorcový.

Pomocou uvedených čísel určíme objem tohto kamenného obra. Keďže pyramída je pravidelná štvoruholníková, platí pre ňu vzorec:

Nahradením čísel dostaneme:

V 4 = 1/3*(230,363) 2 *146,5 ≈ 2591444 m 3.

Objem Cheopsovej pyramídy je takmer 2,6 milióna m3. Pre porovnanie uvádzame, že olympijský bazén má objem 2,5 tisíc m 3 . To znamená, že na naplnenie celej Cheopsovej pyramídy budete potrebovať viac ako 1000 takýchto bazénov!

Mnohosten, v ktorom jedna z jeho plôch je mnohouholník a všetky ostatné plochy sú trojuholníky so spoločným vrcholom, sa nazýva pyramída.

Tieto trojuholníky tvoriace pyramídu sa nazývajú bočné steny a zostávajúci mnohouholník je základ pyramídy.

Na základni pyramídy leží geometrický obrazec– n-uholník. V tomto prípade sa pyramída nazýva aj tzv n-uhlík.

Trojuholníková pyramída, ktorej okraje sú rovnaké, sa nazýva štvorsten.

Okraje pyramídy, ktoré nepatria k základni, sa nazývajú bočné a ich spoločným bodom je vrchol pyramídy. Ostatné okraje pyramídy sú zvyčajne tzv strany k základu.

Pyramída je tzv správne, ak má na svojej základni pravidelný mnohouholník a všetky bočné hrany sú si navzájom rovné.

Vzdialenosť od vrcholu pyramídy k rovine základne sa nazýva výška pyramídy. Môžeme povedať, že výška pyramídy je úsečka kolmá na základňu, ktorej konce sú na vrchole pyramídy a v rovine základne.

Pre každú pyramídu platia nasledujúce vzorce:

1) S plná = S strana + S hlavná, Kde

S total – celková plocha pyramídy;

S strana – plocha bočnej plochy, t.j. súčet plôch všetkých bočných stien pyramídy;

S hlavná – oblasť základne pyramídy.

2) V = 1/3 S báza N, Kde

V – objem pyramídy;

H – výška pyramídy.

Pre pravidelná pyramída vyskytuje:

S strana = 1/2 P hlavná h, Kde

P hlavná – obvod základne pyramídy;

h je dĺžka apotému, to znamená dĺžka výšky bočnej steny zníženej z vrcholu pyramídy.

Časť pyramídy uzavretá medzi dvoma rovinami - rovina základne a rovina rezu rovnobežná so základňou sa nazýva zrezaná pyramída.

Základňa pyramídy a rez pyramídou rovnobežnou rovinou sa nazývajú dôvodov zrezaná pyramída. Zvyšné tváre sú tzv bočné. Vzdialenosť medzi rovinami základov sa nazýva výška zrezaná pyramída. Hrany, ktoré nepatria k podložkám, sa nazývajú bočné.

Okrem toho základňa zrezanej pyramídy podobné n-uholníky. Ak sú základy zrezanej pyramídy pravidelné polygóny, a všetky bočné hrany sú si navzájom rovné, potom sa takýto zrezaný ihlan nazýva správne.

Pre ľubovoľná zrezaná pyramída platia tieto vzorce:

1) S plné = S strana + S 1 + S 2, Kde

S total – celková plocha;

S strana – plocha bočnej plochy, t.j. súčet plôch všetkých bočných stien zrezaného ihlana, ktoré sú lichobežníkmi;

S 1, S 2 – základné plochy;

2) V = 1/3(S1 + S2 + √(S1 · S2))H, Kde

V – objem zrezaného ihlana;

H – výška zrezaného ihlana.

Pre pravidelná zrezaná pyramída my tiež máme:

S strana = 1/2 (P 1 + P 2) h, Kde

P 1, P 2 – obvody podstavcov;

h – apotéma (výška bočného čela, čo je lichobežník).

Zoberme si niekoľko problémov týkajúcich sa skrátenej pyramídy.

Úloha 1.

V trojuholníkovom zrezanom ihlane s výškou rovnajúcou sa 10 sú strany jednej podstavy 27, 29 a 52. Určte objem zrezaného ihlana, ak obvod druhej podstavy je 72.

Riešenie.

Zoberme si skrátenú pyramídu ABCA 1 B 1 C 1 zobrazenú v Postava 1.

1. Objem zrezanej pyramídy možno nájsť pomocou vzorca

V = 1/3H · (S 1 + S 2 + √ (S 1 · S 2)), kde S 1 je plocha jednej zo zásad, možno nájsť pomocou Heronovho vzorca

S = √(p(p – a)(p – b)(p – c)),

pretože Úloha udáva dĺžky troch strán trojuholníka.

Máme: p 1 = (27 + 29 + 52)/2 = 54.

S 1 = √(54(54 – 27)(54 – 29)(54 – 52)) = √(54 27 25 2) = 270.

2. Pyramída je zrezaná, čo znamená, že podobné mnohouholníky ležia na základniach. V našom prípade je trojuholník ABC podobný trojuholníku A 1 B 1 C 1. Okrem toho koeficient podobnosti možno nájsť ako pomer obvodov uvažovaných trojuholníkov a pomer ich plôch sa bude rovnať štvorcu koeficientu podobnosti. Máme teda:

S1/S2 = (P1)2/(P2)2 = 1082/722 = 9/4. Preto S2 = 4S1/9 = 4270/9 = 120.

Takže V = 1/3 10(270 + 120 + √(270 120)) = 1900.

Odpoveď: 1900.

Úloha 2.

V trojuholníkovom zrezanom ihlane je rovina vedená cez stranu hornej základne rovnobežne s protiľahlou bočnou hranou. V akom pomere sa delí objem zrezaného ihlana, ak sú zodpovedajúce strany podstav v pomere 1:2?

Riešenie.

Uvažujme ABCA 1 B 1 C 1 - zrezanú pyramídu zobrazenú v ryža. 2.

Keďže strany v podstavách sú v pomere 1:2, plochy podstav sú v pomere 1:4 (trojuholník ABC je podobný trojuholníku A 1 B 1 C 1).

Potom je objem skrátenej pyramídy:

V = 1/3 h · (S 1 + S 2 + √ (S 1 · S 2)) = 1/3 h · (4S 2 + S 2 + 2S 2) = 7/3 · h · S 2, kde S 2 – plocha hornej základne, h – výška.

Ale objem hranola ADEA 1 B 1 C 1 je V 1 = S 2 h, a preto

V 2 = V – V 1 = 7/3 · h · S 2 - h · S 2 = 4/3 · h · S 2.

Takže V2:V1 = 3:4.

odpoveď: 3:4.

Úloha 3.

Strany podstav pravidelnej štvorbokej zrezanej pyramídy sa rovnajú 2 a 1 a výška je 3. Priesečníkom uhlopriečok pyramídy je nakreslená rovina rovnobežná so základňami pyramídy, ktorá pyramídu rozdeľuje na dve časti. Nájdite objem každého z nich.

Riešenie.

Zoberme si skrátenú pyramídu ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 zobrazenú v ryža. 3.

Označme O 1 O 2 = x, potom OO₂ = O 1 O – O 1 O 2 = 3 – x.

Uvažujme trojuholník B 1 O 2 D 1 a trojuholník BO 2 D:

uhol B 1 O 2 D 1 sa rovná uhlu BO 2 D ako zvislý;

uhol BDO 2 sa rovná uhlu D 1 B 1 O 2 a uhol O 2 ВD sa rovná uhlu B 1 D 1 O 2 ležiacemu priečne v B 1 D 1 || BD a sečny B₁D a BD1, v tomto poradí.

Preto je trojuholník B 1 O 2 D 1 podobný trojuholníku BO 2 D a pomer strán je:

В1D 1 /ВD = О 1 О 2 /ОО 2 alebo 1/2 = x/(x – 3), odkiaľ x = 1.

Uvažujme trojuholník B 1 D 1 B a trojuholník LO 2 B: uhol B je spoločný a v B 1 D 1 existuje aj dvojica jednostranných uhlov || LM, čo znamená, že trojuholník B 1 D 1 B je podobný trojuholníku LO 2 B, z ktorého B 1 D: LO 2 = OO 1: OO 2 = 3: 2, t.j.

L02 = 2/3 · B1D1, LN = 4/3 · B1D1.

Potom S KLMN = 16/9 · S A 1 B 1 C 1 D 1 = 16/9.

Takže, V1 = 1/3 · 2 (4 + 16/9 + 8/3) = 152/27.

V2 = 1/3 · 1 · (16/9 + 1 + 4/3) = 37/27.

Odpoveď: 152/27; 37/27.

blog.site, pri kopírovaní celého materiálu alebo jeho časti je potrebný odkaz na pôvodný zdroj.