Rovnoramenný trojuholník má. Znaky, základné prvky a vlastnosti rovnoramenného trojuholníka

Vlastnosti rovnoramenného trojuholníka vyjadrujú nasledujúce vety.

Veta 1. V rovnoramennom trojuholníku sú uhly v základni rovnaké.

Veta 2. V rovnoramennom trojuholníku je stred pripojená k základni stred a nadmorská výška.

Veta 3. V rovnoramennom trojuholníku je stredom k základni priečinka a nadmorská výška.

Veta 4. V rovnoramennom trojuholníku je nadmorská výška nakreslená k základni osou a stredom.

Dokážme jednu z nich, napríklad vetu 2.5.

Dôkaz. Uvažujme rovnoramenný trojuholník ABC so základňou BC a dokážme, že ∠ B = ∠ C. Nech AD je osi trojuholníka ABC (obr. 1). Trojuholníky ABD a ACD sú rovnaké podľa prvého znamienka rovnosti trojuholníkov (AB = AC podľa podmienky, AD - spoločná strana, ∠ 1 = ∠ 2, keďže AD je osička). Z rovnosti týchto trojuholníkov vyplýva, že ∠ B = ∠ C. Veta je dokázaná.

Pomocou vety 1 je stanovená nasledujúca veta.

Veta 5. Tretie kritérium pre rovnosť trojuholníkov. Ak sa tri strany jedného trojuholníka rovnajú trom stranám iného trojuholníka, potom sú tieto trojuholníky zhodné (obr. 2).

Komentujte. Vety ustanovené v príkladoch 1 a 2 vyjadrujú vlastnosti odvesny úsečky. Z týchto návrhov to vyplýva kolmice na strany trojuholníka sa pretínajú v jednom bode.

Príklad 1 Dokážte, že bod v rovine rovnako vzdialený od koncov úsečky leží na kolmici na túto úsečku.

Riešenie. Bod M nech je rovnako vzdialený od koncov úsečky AB (obr. 3), t.j. AM = BM.

Potom je Δ AMV rovnoramenný. Nakreslite priamku p cez bod M a stred O úsečky AB. Podľa konštrukcie je úsečka MO mediánom rovnoramenného trojuholníka AMB, a preto (Veta 3), a výška, t.j. priamka MO, je kolmica na úsečku AB.

Príklad 2 Dokážte, že každý bod kolmice na úsečku je rovnako vzdialený od jej koncov.

Riešenie. Nech p je kolmica na úsečku AB a bod O je stred úsečky AB (pozri obr. 3).

Uvažujme ľubovoľný bod M ležiaci na priamke p. Nakreslíme segmenty AM a BM. Trojuholníky AOM a BOM sú rovnaké, pretože ich uhly vo vrchole O sú pravé, noha OM je spoločná a noha OA sa rovná vetve OB podľa podmienky. Z rovnosti trojuholníkov AOM a BOM vyplýva, že AM = BM.

Príklad 3 V trojuholníku ABC (pozri obr. 4) AB = 10 cm, BC = 9 cm, AC = 7 cm; v trojuholníku DEF DE = 7 cm, EF = 10 cm, FD = 9 cm.

Porovnajte trojuholníky ABC a DEF. Nájdite zodpovedajúce rovnaké uhly.

Riešenie. Tieto trojuholníky sú rovnaké podľa tretieho kritéria. Zodpovedajúco rovnaké uhly: A a E (ležia oproti rovnakým stranám BC a FD), B a F (ležia proti rovnakým stranám AC a DE), C a D (ležia oproti rovnakým stranám AB a EF).

Príklad 4. Na obrázku 5, AB = DC, BC = AD, ∠B = 100°.

Nájdite uhol D.

Riešenie. Zvážte trojuholníky ABC a ADC. Rovnaké sú podľa tretieho kritéria (AB = DC, BC = AD podľa podmienky a strana AC je spoločná). Z rovnosti týchto trojuholníkov vyplýva, že ∠ B = ∠ D, ale uhol B sa rovná 100°, čo znamená, že uhol D sa rovná 100°.

Príklad 5. V rovnoramennom trojuholníku ABC so základňou AC je vonkajší uhol pri vrchole C 123°. Nájdite veľkosť uhla ABC. Uveďte svoju odpoveď v stupňoch.

Video riešenie.

Trojuholník, v ktorom sú dve strany rovnaké, sa nazýva rovnoramenný. Tieto strany sa nazývajú bočné a tretia strana sa nazýva základňa. V tomto článku vám povieme o vlastnostiach rovnoramenného trojuholníka.

Veta 1

Uhly v blízkosti základne rovnoramenného trojuholníka sú rovnaké

Dôkaz vety.

Povedzme, že máme rovnoramenný trojuholník ABC, ktorého základňa je AB. Pozrime sa na trojuholník BAC. Tieto trojuholníky sa podľa prvého znamienka navzájom rovnajú. To je pravda, pretože BC = AC, AC = BC, uhol ACB = uhol ACB. Z toho vyplýva, že uhol BAC = uhol ABC, pretože to sú zodpovedajúce uhly našich trojuholníkov navzájom rovnaké. Tu je vlastnosť uhlov rovnoramenného trojuholníka.

Veta 2

Stred v rovnoramennom trojuholníku, ktorý je nakreslený k jeho základni, je tiež výška a stred

Dôkaz vety.

Povedzme, že máme rovnoramenný trojuholník ABC, ktorého základňa je AB a CD je stred, ktorý sme nakreslili k jeho základni. V trojuholníkoch ACD a BCD je uhol CAD = uhol CBD ako zodpovedajúce uhly na základni rovnoramenného trojuholníka (Veta 1). A strana AC = strana BC (podľa definície rovnoramenného trojuholníka). Strana AD = strana BD, pretože bod D rozdeľuje segment AB na rovnaké časti. Z toho vyplýva, že trojuholník ACD = trojuholník BCD.

Z rovnosti týchto trojuholníkov máme rovnosť zodpovedajúcich uhlov. To znamená, že uhol ACD = uhol BCD a uhol ADC = uhol BDC. Z rovnosti 1 vyplýva, že CD je osi. A uhol ADC a uhol BDC sú susedné uhly a z rovnosti 2 vyplýva, že sú oba pravé uhly. Ukázalo sa, že CD je výška trojuholníka. Toto je vlastnosť mediánu rovnoramenného trojuholníka.

A teraz trochu o znameniach rovnoramenného trojuholníka.

Veta 3

Ak sú dva uhly v trojuholníku rovnaké, potom je trojuholník rovnoramenný

Dôkaz vety.

Povedzme, že máme trojuholník ABC, v ktorom uhol CAB = uhol CBA. Trojuholník ABC = trojuholník BAC podľa druhého kritéria rovnosti medzi trojuholníkmi. To je pravda, pretože AB = BA; uhol CBA = uhol CAB, uhol CAB = uhol CBA. Z tejto rovnosti trojuholníkov máme rovnosť zodpovedajúcich strán trojuholníka - AC = BC. Potom sa ukáže, že trojuholník ABC je rovnoramenný.

Veta 4

Ak je v ľubovoľnom trojuholníku jeho stredom aj jeho nadmorská výška, potom je takýto trojuholník rovnoramenný

Dôkaz vety.

V trojuholníku ABC nakreslíme stredný CD. Bude to aj výška. Pravý trojuholník ACD = správny trojuholník BCD, keďže noha CD je pre nich spoločná a noha AD = noha BD. Z toho vyplýva, že ich prepony sú si navzájom rovné, ako zodpovedajúce časti rovnakých trojuholníkov. To znamená, že AB = BC.

Veta 5

Ak sa tri strany trojuholníka rovnajú trom stranám iného trojuholníka, potom sú tieto trojuholníky zhodné

Dôkaz vety.

Predpokladajme, že máme trojuholník ABC a trojuholník A1B1C1 taký, že strany AB = A1B1, AC = A1C1, BC = B1C1. Uvažujme o dôkaze tejto vety protirečením.

Predpokladajme, že tieto trojuholníky sa navzájom nerovnajú. Odtiaľ máme, že uhol BAC sa nerovná uhlu B1A1C1, uhol ABC sa nerovná uhlu A1B1C1, uhol ACB sa zároveň nerovná uhlu A1C1B1. V opačnom prípade by tieto trojuholníky boli rovnaké podľa vyššie uvedených kritérií.

Predpokladajme, že trojuholník A1B1C2 = trojuholník ABC. V trojuholníku leží vrchol C2 s vrcholom C1 vzhľadom na priamku A1B1 v tej istej polrovine. Predpokladali sme, že vrcholy C2 a C1 sa nezhodujú. Predpokladajme, že bod D je stredom segmentu C1C2. Máme teda rovnoramenné trojuholníky B1C1C2 a A1C1C2, ktoré majú spoločnú základňu C1C2. Ukazuje sa, že ich mediány B1D a A1D sú tiež ich výškami. To znamená, že priamka B1D a priamka A1D sú kolmé na priamku C1C2.

B1D a A1D majú rôzne body B1 a A1, a preto sa nemôžu zhodovať. Ale cez bod D priamky C1C2 môžeme nakresliť iba jednu priamku, ktorá je naň kolmá. Máme rozpor.

Teraz viete, aké sú vlastnosti rovnoramenného trojuholníka!

Zapnuté túto lekciu téma " Rovnoramenný trojuholník a jeho vlastnosti." Dozviete sa, ako vyzerajú rovnoramenné a rovnostranné trojuholníky a ako sú charakterizované. Dokážte vetu o rovnosti uhlov na základni rovnoramenného trojuholníka. Zvážte tiež vetu o stredovej osi (strednej a výške) nakreslenej k základni rovnoramenného trojuholníka. Na konci lekcie budete riešiť dve úlohy pomocou definície a vlastností rovnoramenného trojuholníka.

Definícia:Rovnoramenné sa nazýva trojuholník, ktorého dve strany sú rovnaké.

Ryža. 1. Rovnoramenný trojuholník

AB = AC - strany. BC - základ.

Plocha rovnoramenného trojuholníka sa rovná polovici súčinu jeho základne a výšky.

Definícia:Rovnostranný sa nazýva trojuholník, v ktorom sú všetky tri strany rovnaké.

Ryža. 2. Rovnostranný trojuholník

AB = BC = SA.

Veta 1: V rovnoramennom trojuholníku sú základné uhly rovnaké.

Vzhľadom na to: AB = AC.

dokázať:∠B =∠C.

Ryža. 3. Kreslenie pre vetu

dôkaz: trojuholník ABC = trojuholník ACB podľa prvého znamienka (dve rovnaké strany a uhol medzi nimi). Z rovnosti trojuholníkov vyplýva, že všetky zodpovedajúce prvky sú rovnaké. To znamená ∠B = ∠C, čo je potrebné dokázať.

Veta 2: V rovnoramennom trojuholníku bisector pritiahnutý k základni je medián A výška.

Vzhľadom na to: AB = AC, ∠1 = ∠2.

dokázať:ВD = DC, AD kolmá na BC.

Ryža. 4. Kresba pre vetu 2

dôkaz: trojuholník ADB = trojuholník ADC podľa prvého znamienka (AD - všeobecný, AB = AC podľa podmienky, ∠BAD = ∠DAC). Z rovnosti trojuholníkov vyplýva, že všetky zodpovedajúce prvky sú rovnaké. BD = DC, pretože ležia oproti rovnakým uhlom. Takže AD je medián. Tiež ∠3 = ∠4, pretože ležia na opačných rovnakých stranách. Ale okrem toho sú si úplne rovní. Preto ∠3 = ∠4 = . To znamená, že AD je výška trojuholníka, čo sme potrebovali dokázať.

V jedinom prípade a = b = . V tomto prípade sa čiary AC a BD nazývajú kolmé.

Keďže os, výška a medián sú rovnaký segment, platia aj nasledujúce tvrdenia:

Nadmorská výška rovnoramenného trojuholníka nakresleného k základni je stred a stred.

Medián rovnoramenného trojuholníka nakresleného k základni je nadmorská výška a stred.

Príklad 1: V rovnoramennom trojuholníku má základňa polovičnú veľkosť strany a obvod je 50 cm Nájdite strany trojuholníka.

Vzhľadom na to: AB = AC, BC = AC. P = 50 cm.

Nájsť: BC, AC, AB.

Riešenie:

Ryža. 5. Kreslenie napríklad 1

Označme základ BC ako a, potom AB = AC = 2a.

2a + 2a + a = 50.

5a = 50, a = 10.

odpoveď: BC = 10 cm, AC = AB = 20 cm.

Príklad 2: Dokážte, že v rovnostrannom trojuholníku sú všetky uhly rovnaké.

Vzhľadom na to: AB = BC = SA.

dokázať:∠A = ∠B = ∠C.

dôkaz:

Ryža. 6. Napríklad kreslenie

∠B = ∠C, pretože AB = AC a ∠A = ∠B, pretože AC = BC.

Preto ∠A = ∠B = ∠C, čo je potrebné dokázať.

odpoveď: Osvedčené.

V dnešnej lekcii sme sa pozreli na rovnoramenný trojuholník a študovali sme jeho základné vlastnosti. V ďalšej lekcii budeme riešiť problémy na tému rovnoramenné trojuholníky, výpočet plochy rovnoramenného a rovnostranného trojuholníka.

1. Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. a iné Geometria 7. - M.: Vzdelávanie.
2. Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B. a iné Geometria 7. 5. vyd. - M.: Osveta.
3. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolova V.V. Geometria 7 / V.F. Butuzov, S.B. Kadomcev, V.V. Prasolová, vyd. Sadovnichego V.A. - M.: Vzdelávanie, 2010.

1. Slovníky a encyklopédie o akademikov ().
2. festival pedagogická myšlienka « Verejná lekcia» ().
3. Kaknauchit.ru ().

1. Číslo 29. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolova V.V. Geometria 7 / V.F. Butuzov, S.B. Kadomcev, V.V. Prasolová, vyd. Sadovnichego V.A. - M.: Vzdelávanie, 2010.

2. Obvod rovnoramenného trojuholníka je 35 cm a základňa je trikrát menšia ako strana. Nájdite strany trojuholníka.

3. Dané: AB = BC. Dokážte, že ∠1 = ∠2.

4. Obvod rovnoramenného trojuholníka je 20 cm, jedna jeho strana je dvakrát väčšia ako druhá. Nájdite strany trojuholníka. Koľko riešení má problém?

Kontrola domácich úloh

№ 111.

Vzhľadom na to: CD = BD , 1 = 2

Dokázať: A B C - rovnoramenné

№ 107.

strane A C je 2-krát menej ako AB

P = 50 cm,

P = 50 cm

x + 2x + 2x = 50

x = 10

2 X

2 X

AC = 10 cm,

AB = BC = 20 cm

Ktoré trojuholníky sú rovnoramenné? Pre rovnoramenné trojuholníky pomenujte základňu a strany.

Dané: AD - stred ∆ BAC, BAC = 74 0. Nájdi: BA D. (obr. 1)

Dané: KL - výška ∆ KMN. Nájsť: KLN. (Obr.2)

Dané: QS - medián ∆ PQR, PS = 5,3 cm. Nájsť: PR. (Obr.3)

• Dané: ∆ ABC je rovnoramenná so základňou AC, BC je os, AC = 46 cm. Nájsť: AK. (obr. 4)
• Dané: ∆ ABC je rovnoramenný so základňou AC, výška VC, ABC = 46 0. Nájsť: AVK. (Obr.5)
• Dané: ∆ C BD rovnoramenné so základňou B C, DA medián, BDC = 120 0. Nájsť: ADB. (Obr. 6)

7. trieda

Vlastnosti rovnoramenného trojuholníka

K poznaniu vedú tri cesty:

Cesta reflexie je najušľachtilejšia cesta,

Cesta napodobňovania je najjednoduchšia cesta,

A cesta skúseností je tá najtrpkejšia cesta.

Konfucius.

V rovnoramennom trojuholníku sú základné uhly rovnaké.

Dané: ABC rovnoramenné

dokázať:

dôkaz:

1. Nakreslíme os BD uhla B.

2. Zvážte ∆ AB D a ∆ CBD:

AB = BC (podľa podmienok),

V D – spoločná strana,

∠ A BD = ∠ C BD

∆ АВD = ∆CBD (na základe 1 znamienka rovnosti trojuholníkov)

3. V rovnakých trojuholníkoch sú príslušné uhly ∠ A= ∠ C.

V rovnoramennom trojuholníku je stred pripojená k základni stred a nadmorská výška.

Vzhľadom na to: ABC rovnoramenné,

A D – bisector .

dokázať: A D - výška,

A D – medián.

dôkaz:

1) Zvážte tiež:

∆ BAD = ∆CAD (na základe 1 kritéria pre rovnosť trojuholníkov).

2) V rovnakých trojuholníkoch sú zodpovedajúce strany a uhly rovnaké

1 = 2 = 90° (susedné uhly).

Preto je AD medián a výška ∆ ABC.

Riešenie problémov.

Savrašová S.M., Yastrebinetsky G.A. „Cvičenia planimetrie na hotových výkresoch“

110

70

70

Riešenie problémov.

Dané: AB = B C, 1 = 130 0.

L. S. Atanasyan. "Geometria 7-9" č. 112.

Riešenie problémov.

Nájsť: AB D.

Trojuholník

ABC - rovnoramenné

V D – medián

To znamená, že B D je os

40 0

40 0

CM. Savrašová, G.A. Yastrebinetsky „Cvičenia na hotových výkresoch“

Domáca úloha:

• odsek 19 (str. 35 – 36), č. 109, 112, 118.