Funkcia f x sa volá aj keď. Graf nepárnych a párnych funkcií

Závislosť premennej y od premennej x, v ktorej každej hodnote x zodpovedá jedna hodnota y, sa nazýva funkcia. Zápis je y=f(x). Každá funkcia má množstvo základných vlastností, ako je monotónnosť, parita, periodicita a iné.

Zvážte paritnú vlastnosť podrobnejšie.

Funkcia y=f(x) sa volá aj vtedy, ak spĺňa nasledujúce dve podmienky:

2. Hodnota funkcie v bode x patriaca do rozsahu funkcie sa musí rovnať hodnote funkcie v bode -x. To znamená, že pre ľubovoľný bod x z oblasti funkcie musí platiť nasledujúca rovnosť f (x) \u003d f (-x).

Graf párnej funkcie

Ak vytvoríte graf párnej funkcie, bude symetrický okolo osi y.

Napríklad funkcia y=x^2 je párna. Poďme si to overiť. Oblasťou definície je celá číselná os, čo znamená, že je symetrická okolo bodu O.

Vezmite ľubovoľné x=3. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. Preto f(x) = f(-x). Obidve podmienky sú teda pre nás splnené, čo znamená, že funkcia je párna. Nižšie je uvedený graf funkcie y=x^2.

Obrázok ukazuje, že graf je symetrický okolo osi y.

Graf nepárnej funkcie

Funkcia y=f(x) sa nazýva nepárna, ak spĺňa tieto dve podmienky:

1. Definičný obor danej funkcie musí byť symetrický k bodu O. To znamená, že ak nejaký bod a patrí do definičného oboru funkcie, potom aj príslušný bod -a musí patriť do definičného oboru danej funkcie.

2. Pre ľubovoľný bod x z oblasti funkcie musí byť splnená nasledujúca rovnosť f (x) \u003d -f (x).

Graf nepárnej funkcie je symetrický vzhľadom na bod O - počiatok. Napríklad funkcia y=x^3 je nepárna. Poďme si to overiť. Oblasťou definície je celá číselná os, čo znamená, že je symetrická okolo bodu O.

Vezmite ľubovoľné x=2. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. Preto f(x) = -f(x). Obe podmienky sú teda pre nás splnené, čo znamená, že funkcia je nepárna. Nižšie je uvedený graf funkcie y=x^3.

Obrázok jasne ukazuje, že nepárna funkcia y=x^3 je symetrická vzhľadom na počiatok.

Späť dopredu

Pozor! Ukážka snímky slúži len na informačné účely a nemusí predstavovať celý rozsah prezentácie. Ak vás táto práca zaujala, stiahnite si plnú verziu.

Ciele:

• formovať pojem párnych a nepárnych funkcií, učiť schopnosti určovať a používať tieto vlastnosti kedy funkčný výskum, sprisahanie;
• rozvíjať tvorivú činnosť žiakov, logické myslenie, schopnosť porovnávať, zovšeobecňovať;
• pestovať pracovitosť, matematickú kultúru; rozvíjať komunikačné schopnosti .

Vybavenie: multimediálna inštalácia, interaktívna tabuľa, písomky.

Formy práce: frontálna a skupinová s prvkami pátracích a výskumných činností.

Zdroje informácií:

1. Trieda algebry 9 A.G. Mordkovich. Učebnica.
2. Algebra 9. ročník A.G. Mordkovich. Kniha úloh.
3. Algebra ročník 9. Úlohy na učenie a rozvoj žiakov. Belenková E.Yu. Lebedintseva E.A.

POČAS VYUČOVANIA

1. Organizačný moment

Stanovenie cieľov a cieľov lekcie.

2. Kontrola domácich úloh

č.10.17 (Problémová kniha 9. ročníka A.G. Mordkovich).

a) pri = f(X), f(X) =

b) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

c) 1. D( f) = [– 2; + ∞)
2. E( f) = [– 3; + ∞)
3. f(X) = 0 pre X ~ 0,4
4. f(X) >0 at X > 0,4 ; f(X) < 0 при – 2 < X < 0,4.
5. Funkcia sa zvyšuje s X € [– 2; + ∞)
6. Funkcia je obmedzená zdola.
7. pri prenájom = - 3, pri naib neexistuje
8. Funkcia je spojitá.

(Použili ste algoritmus skúmania funkcií?) Šmykľavka.

2. Skontrolujeme tabuľku, ktorá sa vám na snímke pýtala.

Vyplňte tabuľku
	doména	Funkčné nuly	Intervaly stálosti		Súradnice priesečníkov grafu s Oy
		x = -5, x = 2	х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ -5, x ≠ 2		х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ -5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Aktualizácia znalostí

– Funkcie sú dané.
– Zadajte doménu definície pre každú funkciu.
– Porovnajte hodnotu každej funkcie pre každý pár hodnôt argumentov: 1 a – 1; 2 a -2.
– Pre ktorú z daných funkcií v obore definície sú rovnosti f(– X) = f(X), f(– X) = – f(X)? (vložte údaje do tabuľky) Šmykľavka

		f(1) a f(– 1)	f(2) a f(– 2)	grafy	f(– X) = –f(X)	f(– X) = f(X)
1. f(X) =
2. f(X) = X 3
3. f(X) = | X |
4.f(X) = 2X – 3
5. f(X) =	X ≠ 0
6. f(X)=	X > –1		a nie sú definované.

4. nový materiál

– vystupovanie táto práca Chlapci, odhalili sme ešte jednu vlastnosť funkcie, ktorú nepoznáte, no nie je o nič menej dôležitá ako ostatné – ide o párnu a nepárnu funkciu. Zapíšte si tému lekcie: „Párne a nepárne funkcie“, našou úlohou je naučiť sa určovať párne a nepárne funkcie, zistiť význam tejto vlastnosti pri štúdiu funkcií a vykresľovaní.
Takže nájdime definície v učebnici a čítajme (s. 110) . Šmykľavka

Def. jeden Funkcia pri = f (X) definovaný na množine X sa nazýva dokonca, ak má nejakú hodnotu XЄ X prebieha rovnosť f (–x) = f (x). Uveďte príklady.

Def. 2 Funkcia y = f(x), definovaný na množine X sa nazýva zvláštny, ak má nejakú hodnotu XЄ X je splnená rovnosť f(–х)= –f(х). Uveďte príklady.

Kde sme sa stretli s pojmami „párny“ a „nepárny“?
Čo myslíte, ktorá z týchto funkcií bude párna? prečo? Ktoré sú zvláštne? prečo?
Pre akúkoľvek funkciu formulára pri= x n, kde n je celé číslo, možno tvrdiť, že funkcia je nepárna n je nepárne a funkcia je párna pre n- dokonca.
– Zobrazenie funkcií pri= a pri = 2X– 3 nie je párne ani nepárne, pretože rovnosť nie je splnená f(– X) = – f(X), f(– X) = f(X)

Štúdium otázky, či je funkcia párna alebo nepárna, sa nazýva štúdium funkcie pre paritu.Šmykľavka

Definície 1 a 2 sa zaoberali hodnotami funkcie v x a - x, preto sa predpokladá, že funkcia je definovaná aj v hodnote X a na - X.

ODA 3. Ak množina čísel spolu s každým jej prvkom x obsahuje opačný prvok x, potom množina X sa nazýva symetrická množina.

Príklady:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) sú symetrické množiny a , [–5;4] sú nesymetrické.

- Majú párne funkcie definičný obor - symetrickú množinu? Tie zvláštne?
- Ak D( f) je asymetrická množina, aká je potom funkcia?
– Ak teda funkcia pri = f(X) je párne alebo nepárne, potom je jeho doména definície D( f) je symetrická množina. Platí však aj opak, ak je definičným oborom funkcie symetrická množina, potom je párna alebo nepárna?
- Prítomnosť symetrickej množiny definičného oboru je teda nevyhnutnou podmienkou, nie však dostatočnou.
– Ako teda môžeme preskúmať funkciu parity? Skúsme napísať algoritmus.

Šmykľavka

Algoritmus na skúmanie funkcie pre paritu

1. Určte, či je definičný obor funkcie symetrický. Ak nie, funkcia nie je ani párna, ani nepárna. Ak áno, prejdite na krok 2 algoritmu.

2. Napíšte výraz pre f(–X).

3. Porovnaj f(–X).a f(X):

• ak f(–X).= f(X), potom je funkcia párna;
• ak f(–X).= – f(X), potom je funkcia nepárna;
• ak f(–X) ≠ f(X) a f(–X) ≠ –f(X), potom funkcia nie je ani párna, ani nepárna.

Príklady:

Preskúmajte funkciu pre paritu a) pri= x 5+; b) pri= ; v) pri= .

Riešenie.

a) h (x) \u003d x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), symetrická množina.

2) h (- x) \u003d (-x) 5 + - x5 - \u003d - (x 5 +),

3) h (- x) \u003d - h (x) \u003d\u003e funkcia h(x)= x 5 + nepárne.

b) y =,

pri = f(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), asymetrická množina, takže funkcia nie je ani párna, ani nepárna.

v) f(X) = , y = f(x),

1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

Možnosť 2

1. Je daná množina symetrická: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

a); b) y \u003d x (5 - x 2). 2. Preskúmajte funkciu parity:

a) y \u003d x 2 (2x - x 3), b) y \u003d

3. Na obr. zakreslený pri = f(X), pre všetkých X, splnenie podmienky X? 0.
Nakreslite funkciu pri = f(X), ak pri = f(X) je párna funkcia.

3. Na obr. zakreslený pri = f(X), pre všetky x spĺňajúce x? 0.
Nakreslite funkciu pri = f(X), ak pri = f(X) je zvláštna funkcia.

Vzájomná kontrola zapnutá šmykľavka.

6. Domáce úlohy: №11.11, 11.21,11.22;

Dôkaz geometrického významu vlastnosti parity.

*** (Priradenie možnosti USE).

1. Nepárna funkcia y \u003d f (x) je definovaná na celej skutočnej čiare. Pre akúkoľvek nezápornú hodnotu premennej x sa hodnota tejto funkcie zhoduje s hodnotou funkcie g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). Nájdite hodnotu funkcie h( X) = at X = 3.

7. Zhrnutie

Prevod grafu.

Slovný popis funkcie.

Grafický spôsob.

Grafický spôsob určenia funkcie je najnázornejší a často sa používa v strojárstve. V matematickej analýze sa ako ilustrácia používa grafický spôsob špecifikácie funkcií.

Graf funkcií f je množina všetkých bodov (x; y) súradnicovej roviny, kde y=f(x) a x „prechádza“ celým definičným oborom danej funkcie.

Podmnožina súradnicovej roviny je graf nejakej funkcie, ak má najviac jeden spoločný bod s akoukoľvek priamkou rovnobežnou s osou Oy.

Príklad. Sú obrázky nižšie grafmi funkcií?

Výhodou grafickej úlohy je jej prehľadnosť. Okamžite vidíte, ako sa funkcia správa, kde sa zvyšuje, kde klesá. Z grafu môžete okamžite zistiť niektoré dôležité charakteristiky funkcie.

Vo všeobecnosti analytické a grafické spôsoby definovania funkcie idú ruka v ruke. Práca so vzorcom pomáha vytvárať graf. A graf často navrhuje riešenia, ktoré si vo vzorci nevšimnete.

Takmer každý študent pozná tri spôsoby, ako definovať funkciu, ktorú sme práve prebrali.

Pokúsme sa odpovedať na otázku: "Existujú iné spôsoby, ako definovať funkciu?"

Existuje taký spôsob.

Funkciu možno celkom jednoznačne definovať slovami.

Napríklad funkcia y=2x môže byť definovaná nasledujúcim slovným popisom: každej skutočnej hodnote argumentu x je priradená jej dvojnásobná hodnota. Pravidlo je nastavené, funkcia je nastavená.

Okrem toho je možné zadať funkciu slovne, čo je mimoriadne ťažké, ak nie nemožné, špecifikovať pomocou vzorca.

Napríklad: každá hodnota prirodzeného argumentu x je spojená so súčtom číslic, ktoré tvoria hodnotu x. Napríklad, ak x=3, potom y=3. Ak x=257, potom y=2+5+7=14. A tak ďalej. Je ťažké to zapísať do vzorca. Ale stôl sa dá ľahko vyrobiť.

Metóda slovného opisu je pomerne zriedka používaná metóda. Ale niekedy sa to stane.

Ak existuje zákon o zhode jedna ku jednej medzi x a y, potom existuje funkcia. Aký zákon, v akej forme je vyjadrený – vzorcom, tabuľkou, grafom, slovami – nemení podstatu veci.

Uvažujme funkcie, ktorých definičné oblasti sú symetrické vzhľadom na počiatok súradníc, t.j. pre hocikoho X mimo rozsah číslo (- X) tiež patrí do oblasti definície. Medzi tieto funkcie patrí párne a nepárne.

Definícia. Volá sa funkcia f dokonca, ak k nejakému X mimo svojej domény

Príklad. Zvážte funkciu

Je dokonca. Poďme si to overiť.

Pre hocikoho X rovnosti

Obidve podmienky sú teda pre nás splnené, čo znamená, že funkcia je párna. Nižšie je uvedený graf tejto funkcie.

Definícia. Volá sa funkcia f zvláštny, ak k nejakému X mimo svojej domény

Príklad. Zvážte funkciu

Je divná. Poďme si to overiť.

Oblasť definície je celá číselná os, čo znamená, že je symetrická podľa bodu (0; 0).

Pre hocikoho X rovnosti

Obe podmienky sú teda pre nás splnené, čo znamená, že funkcia je nepárna. Nižšie je uvedený graf tejto funkcie.

Grafy zobrazené na prvom a treťom obrázku sú symetrické okolo osi y a grafy zobrazené na druhom a štvrtom obrázku sú symetrické okolo začiatku.

Ktoré z funkcií, ktorých grafy sú zobrazené na obrázkoch, sú párne a ktoré nepárne?

Grafy párnych a nepárnych funkcií majú nasledujúce vlastnosti:

Ak je funkcia párna, jej graf je symetrický podľa osi y. Ak je funkcia nepárna, jej graf je symetrický podľa počiatku.

Príklad. Nakreslite funkciu \(y=\vľavo|x \vpravo|\).

Riešenie. Uvažujme funkciu: \(f\left(x \right)=\left|x \right|\) a dosaďte \(x \) za opačnú \(-x \). V dôsledku jednoduchých transformácií dostaneme: $$f\left(-x \right)=\left|-x \right|=\left|x \right|=f\left(x \right)$$ In inými slovami, ak argument nahradíte opačným znamienkom, funkcia sa nezmení.

To znamená, že táto funkcia je párna a jej graf bude symetrický okolo osi y ( vertikálna os). Graf tejto funkcie je znázornený na obrázku vľavo. To znamená, že pri vykresľovaní grafu môžete zostaviť iba polovicu a druhú časť (naľavo od zvislej osi, kresliť už symetricky na pravú stranu). Určením symetrie funkcie pred začatím vykresľovania jej grafu môžete výrazne zjednodušiť proces konštrukcie alebo štúdia funkcie. Ak je ťažké sa prihlásiť všeobecný pohľad, môžete to urobiť jednoduchšie: do rovnice nahraďte rovnaké hodnoty rôznych znamienok. Napríklad -5 a 5. Ak sú hodnoty funkcie rovnaké, potom môžeme dúfať, že funkcia bude párna. Z matematického hľadiska tento prístup nie je úplne správny, ale z praktického hľadiska je pohodlný. Ak chcete zvýšiť spoľahlivosť výsledku, môžete nahradiť niekoľko párov takýchto opačných hodnôt.

Príklad. Nakreslite funkciu \(y=x\vľavo|x \vpravo|\).

Riešenie. Skontrolujeme to isté ako v predchádzajúcom príklade: $$f\left(-x \right)=x\left|-x \right|=-x\left|x \right|=-f\left(x \right ) $$ Znamená to, že pôvodná funkcia je nepárna (znamienko funkcie je obrátené).

Záver: funkcia je symetrická vzhľadom na pôvod. Môžete postaviť iba jednu polovicu a druhú polovicu nakresliť symetricky. Táto symetria sa kreslí ťažšie. To znamená, že sa na graf pozeráte z druhej strany hárku a dokonca je obrátený hore nohami. A môžete to urobiť aj takto: vezmite nakreslenú časť a otočte ju okolo začiatku o 180 stupňov proti smeru hodinových ručičiek.

Príklad. Nakreslite funkciu \(y=x^3+x^2\).

Riešenie. Vykonajte rovnakú kontrolu zmeny znamienka ako v predchádzajúcich dvoch príkladoch. $$f\left(-x \right)=\left(-x \right)^3+\left(-x \right)^2=-x^2+x^2$$ $$f\left( -x \vpravo)\not=f\vľavo(x \vpravo),f\vľavo(-x \vpravo)\not=-f\vľavo(x \vpravo)$$ Čo znamená, že funkcia nie je ani párna, ani nepárna .

Záver: funkcia nie je symetrická ani k počiatku, ani k stredu súradnicového systému. Stalo sa to preto, že ide o súčet dvoch funkcií: párne a nepárne. Rovnaká situácia nastane, ak odpočítate dve rôzne funkcie. Násobenie alebo delenie však povedie k inému výsledku. Napríklad súčin párnej a nepárnej funkcie dáva nepárne. Alebo kvocient dvoch nepárnych vedie k párnej funkcii.