Zákon rozdelenia náhodnej premennej. Diskrétna náhodná veličina a jej číselné charakteristiky

Ako je známe, náhodná premenná sa nazýva premenná, ktorá môže nadobudnúť určité hodnoty v závislosti od prípadu. Náhodné premenné označujú veľké písmená Latinská abeceda (X, Y, Z) a ich hodnoty sú uvedené v zodpovedajúcich malých písmenách (x, y, z). Náhodné veličiny sa delia na nespojité (diskrétne) a spojité.

Diskrétna náhodná premenná sa nazýva náhodná premenná, ktorá má iba konečnú alebo nekonečnú (spočítateľnú) množinu hodnôt s určitými nenulovými pravdepodobnosťami.

Zákon rozdelenia diskrétnej náhodnej premennej je funkcia, ktorá spája hodnoty náhodnej premennej s ich zodpovedajúcimi pravdepodobnosťami. Distribučný zákon možno špecifikovať jedným z nasledujúcich spôsobov.

1 . Distribučný zákon môže byť daný tabuľkou:

kde λ>0, k = 0, 1, 2, ….

v) používaním distribučná funkcia F(x) , ktorý určuje pre každú hodnotu x pravdepodobnosť, že náhodná premenná X nadobudne hodnotu menšiu ako x, t.j. F(x) = P(X< x).

Vlastnosti funkcie F(x)

3 . Rozdeľovací zákon je možné nastaviť graficky – distribučný polygón (polygón) (pozri úlohu 3).

Upozorňujeme, že na vyriešenie niektorých problémov nie je potrebné poznať distribučný zákon. V niektorých prípadoch stačí poznať jedno alebo viac čísel, ktoré odrážajú najviac dôležité vlastnosti distribučný zákon. Môže to byť číslo, ktoré má význam „priemernej hodnoty“ náhodnej premennej, alebo číslo, ktoré ukazuje priemerná veľkosť odchýlka náhodnej veličiny od jej strednej hodnoty. Čísla tohto druhu sa nazývajú číselné charakteristiky náhodnej premennej.

Hlavné číselné charakteristiky diskrétna náhodná premenná :

Matematické očakávanie (stredná hodnota) diskrétnej náhodnej premennej M(X) = Σ x i p i.
Pre binomické rozdelenie M(X)=np, pre Poissonovo rozdelenie M(X)=λ
Disperzia diskrétna náhodná premenná D(X)=M2 alebo D(X) = M(X2) -2. Rozdiel X–M(X) sa nazýva odchýlka náhodnej premennej od jej matematického očakávania.
Pre binomické rozdelenie D(X)=npq, pre Poissonovo rozdelenie D(X)=λ
Smerodajná odchýlka (smerodajná odchýlka) σ(X)=√D(X).

Príklady riešenia úloh na tému "Zákon rozdelenia diskrétnej náhodnej premennej"

Úloha 1.

Bolo vydaných 1 000 lotériových lístkov: 5 z nich vyhrá 500 rubľov, 10 vyhrá 100 rubľov, 20 vyhrá 50 rubľov a 50 vyhrá 10 rubľov. Určte zákon rozdelenia pravdepodobnosti náhodnej premennej X - výhry na tikete.

Riešenie. Podľa stavu problému sú možné nasledujúce hodnoty náhodnej premennej X: 0, 10, 50, 100 a 500.

Počet tiketov bez výhry je 1000 - (5+10+20+50) = 915, potom P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

Podobne nájdeme všetky ostatné pravdepodobnosti: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01, P(X = 500) = 5/1000 = 0,005. Výsledný zákon uvádzame vo forme tabuľky:

Nájdite matematické očakávanie X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1 + 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

Úloha 3.

Zariadenie sa skladá z troch samostatne fungujúcich prvkov. Pravdepodobnosť zlyhania každého prvku v jednom experimente je 0,1. Zostavte distribučný zákon pre počet neúspešných prvkov v jednom experimente, vytvorte distribučný polygón. Nájdite distribučnú funkciu F(x) a nakreslite ju. Nájdite matematické očakávanie, rozptyl a smerodajnú odchýlku diskrétnej náhodnej premennej.

Riešenie. 1. Diskrétna náhodná premenná X=(počet neúspešných prvkov v jednom experimente) má nasledovné možné hodnoty: x 1 \u003d 0 (zlyhal žiadny z prvkov zariadenia), x 2 \u003d 1 (zlyhal jeden prvok), x 3 \u003d 2 (zlyhali dva prvky) a x 4 \u003d 3 (zlyhali tri prvky).

Poruchy prvkov sú na sebe nezávislé, pravdepodobnosti zlyhania každého prvku sú navzájom rovnaké, preto platí Bernoulliho vzorec . Vzhľadom na to, že pomocou podmienky n=3, p=0,1, q=1-p=0,9 určíme pravdepodobnosti hodnôt:
P 3 (0) \u003d C 3 0 p 0 q 3-0 \u003d q 3 \u003d 0,9 3 \u003d 0,729;
P 3 (1) \u003d C 3 1 p 1 q 3-1 \u003d 3 * 0,1 * 0,9 2 \u003d 0,243;
P 3 (2) \u003d C 3 2 p 2 q 3-2 \u003d 3 * 0,1 2 * 0,9 \u003d 0,027;
P 3 (3) \u003d C 3 3 p 3 q 3-3 \u003d p 3 \u003d 0,1 3 \u003d 0,001;
Kontrola: ∑p i = 0,729 + 0,243 + 0,027 + 0,001 = 1.

Požadovaný zákon binomického rozdelenia X má teda tvar:

Na osi x vynesieme možné hodnoty x i a na zvislú os zodpovedajúce pravdepodobnosti р i. Zostrojme body M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001). Spojením týchto bodov s úsečkami získame požadovaný distribučný polygón.

3. Nájdite distribučnú funkciu F(x) = P(X

Pre x ≤ 0 máme F(x) = P(X<0) = 0;
za 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
za 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
za 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
pre x > 3 bude F(x) = 1, pretože udalosť je istá.

Graf funkcie F(x)

4. Pre binomické rozdelenie X:
- matematické očakávanie М(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- disperzia D(X) = npq = 3 x 0,1 x 0,9 = 0,27;
- priemerný smerodajná odchýlkaσ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.

Definícia 1

Náhodná premenná $X$ sa nazýva diskrétna (nespojitá), ak je množina jej hodnôt nekonečná alebo konečná, ale spočítateľná.

Inými slovami, množstvo sa nazýva diskrétne, ak je možné vyčísliť jeho hodnoty.

Náhodnú premennú môžete opísať pomocou distribučného zákona.

Distribučný zákon diskrétnej náhodnej premennej $ X $ môže byť uvedený vo forme tabuľky, v prvom riadku ktorej sú všetky možné hodnoty náhodnej premennej uvedené vo vzostupnom poradí a v druhom riadku zodpovedajúce pravdepodobnosti. z týchto hodnôt:

Obrázok 1.

kde $p1+ p2+ ... + pn = 1 $.

Táto tabuľka je blízko distribúcie diskrétnej náhodnej premennej.

Ak je množina možných hodnôt náhodnej premennej nekonečná, potom séria $p1+ p2+ ... + pn+ ...$ konverguje a jej súčet sa rovná $1$.

Graficky možno znázorniť distribučný zákon diskrétnej náhodnej premennej $X$, pre ktorú je v súradnicovom systéme (obdĺžnikový) postavená prerušovaná čiara, ktorá postupne spája body so súradnicami $(xi;pi), i=1,2, ... n $. Linka, ktorá bola volaná distribučný polygón.

Obrázok 2

Distribučný zákon diskrétnej náhodnej premennej $X$ možno znázorniť aj analyticky (pomocou vzorca):

$P(X=xi)= \varphi (xi),i =1,2,3 ... n$.

Akcie s diskrétnou pravdepodobnosťou

Pri riešení mnohých problémov teórie pravdepodobnosti je potrebné vykonať operácie násobenia diskrétnej náhodnej premennej konštantou, pridania dvoch náhodných premenných, ich vynásobenia a privedenia k mocnine. V týchto prípadoch je potrebné dodržiavať nasledujúce pravidlá pre náhodné diskrétne premenné:

Definícia 3

Násobením diskrétna náhodná premenná $X$ na konštantu $K$ je diskrétna náhodná premenná $Y=KX,$, ktorá je spôsobená rovnosťami: $y_i=Kx_i,\ \ p\left(y_i\right)=p\left (x_i\vpravo)= p_i,\ \ i=\overline(1,\ n).$

Definícia 4

Volajú sa dve náhodné premenné $x$ a $y$ nezávislý, ak distribučný zákon jedného z nich nezávisí od toho, aké možné hodnoty nadobudla druhá hodnota.

Definícia 5

súčet dve nezávislé diskrétne náhodné premenné $X$ a $Y$ sa nazývajú náhodná premenná $Z=X+Y, $ je kvôli rovnosti: $z_(ij)=x_i+y_j$, $P\left(z_(ij) )\vpravo)= P\vľavo(x_i\vpravo)P\vľavo(y_j\vpravo)=p_ip"_j$, $i=\overline(1,n)$, $j=\overline(1,m)$ , $P\vľavo (x_i\vpravo)=p_i$, $P\vľavo(y_j\vpravo)=p"_j$.

Definícia 6

Násobením dve nezávislé diskrétne náhodné premenné $X$ a $Y$ sa nazývajú náhodná premenná $Z=XY, $ je kvôli rovnosti: $z_(ij)=x_iy_j$, $P\left(z_(ij)\right) =P\left( x_i\right)P\left(y_j\right)=p_ip"_j$, $i=\overline(1,n)$, $j=\overline(1,m)$, $P\ left(x_i\right )=p_i$, $P\left(y_j\right)=p"_j$.

Zoberme si, že niektoré produkty $x_(i\ \ \ \ \ )y_j$ sa môžu navzájom rovnať. V tomto prípade sa pravdepodobnosť pridania produktu rovná súčtu zodpovedajúcich pravdepodobností.

Napríklad, ak $x_2\ \ y_3=x_5\ \ y_7,\ $, potom sa pravdepodobnosť $x_2y_3$ (alebo rovnaké $x_5y_7$) bude rovnať $p_2\cdot p"_3+p_5\cdot p"_7 .$

Uvedené platí aj pre sumu. Ak $x_1+\ y_2=x_4+\ \ y_6,$, potom pravdepodobnosť $x_1+\ y_2$ (alebo rovnaké $x_4+\ y_6$) bude $p_1\cdot p"_2+p_4\cdot p"_6.$

Nech náhodné premenné $X$ a $Y$ sú dané distribučnými zákonmi:

Obrázok 3

Kde $p_1+p_2+p_3=1,\ \ \ p"_1+p"_2=1.$ Potom bude distribučný zákon pre sumu $X+Y$ vyzerať takto

Obrázok 4

A distribučný zákon produktu $XY$ bude mať tvar

Obrázok 5

distribučná funkcia

Úplný popis náhodnej veličiny poskytuje aj distribučná funkcia.

Geometricky sa distribučná funkcia vysvetľuje ako pravdepodobnosť, že náhodná premenná $X$ nadobudne hodnotu, ktorá je reprezentovaná na reálnej čiare bodom ležiacim vľavo od bodu $x$.

X; význam F(5); pravdepodobnosť, že náhodná premenná X naberie hodnoty z intervalu . Zostrojte distribučný polygón.

Distribučná funkcia F(x) diskrétnej náhodnej premennej je známa X:

Uveďte zákon rozdelenia náhodnej premennej X vo forme tabuľky.

Vzhľadom na zákon rozdelenia náhodnej premennej X:

X	–28	–20	–12	–4
p	0,22	0,44	0,17	0,1	0,07

Pravdepodobnosť, že obchod má certifikáty kvality pre celý sortiment produktov, je 0,7. Komisia preverila dostupnosť certifikátov v štyroch predajniach v okrese. Urobte distribučný zákon, vypočítajte matematické očakávanie a rozptyl počtu predajní, v ktorých sa pri kontrole nenašli certifikáty kvality.

Na stanovenie priemerného času horenia elektrických lámp v skupine 350 rovnakých škatúľ sa na testovanie odobrala jedna elektrická lampa z každej škatule. Odhadnite zdola pravdepodobnosť, že priemerná doba horenia vybraných elektrických lámp sa bude líšiť od priemernej doby horenia celej série o absolútnu hodnotu menej ako 7 hodín, ak je známe, že smerodajná odchýlka doby horenia elektrických lámp v každom boxe je menej ako 9 hodín.

Na telefónnej ústredni dôjde k nesprávnemu spojeniu s pravdepodobnosťou 0,002. Nájdite pravdepodobnosť, že medzi 500 spojeniami bude:

Nájdite distribučnú funkciu náhodnej premennej X. Nakreslite funkcie a . Vypočítajte priemer, rozptyl, modus a medián náhodnej premennej X.

Automat vyrába valčeky. Predpokladá sa, že ich priemer je normálne rozložená náhodná premenná s priemernou hodnotou 10 mm. Aká je štandardná odchýlka, ak s pravdepodobnosťou 0,99 leží priemer v rozsahu od 9,7 mm do 10,3 mm.

Ukážka A: 6 9 7 6 4 4

Ukážka B: 55 72 54 53 64 53 59 48

42 46 50 63 71 56 54 59

54 44 50 43 51 52 60 43

50 70 68 59 53 58 62 49

59 51 52 47 57 71 60 46

55 58 72 47 60 65 63 63

58 56 55 51 64 54 54 63

56 44 73 41 68 54 48 52

52 50 55 49 71 67 58 46

50 51 72 63 64 48 47 55

Možnosť 17.

Spomedzi 35 dielov je 7 neštandardných. Nájdite pravdepodobnosť, že dve náhodne vybrané časti sú štandardné.

Hoď tromi kockami. Nájdite pravdepodobnosť, že súčet bodov na padnutých tvárach je násobkom 9.

Slovo „ADVENTURE“ sa skladá z kariet, na každej je napísané jedno písmeno. Karty sa zamiešajú a vyberú jedna po druhej bez toho, aby sa vrátili. Nájdite pravdepodobnosť, že písmená vyňaté v poradí vzhľadu tvoria slovo: a) DOBRODRUŽSTVO; b) ZAJATIE.

Urna obsahuje 6 čiernych a 5 bielych loptičiek. Náhodne sa vyžrebuje 5 loptičiek. Nájdite pravdepodobnosť, že medzi nimi sú:

2 biele gule;
menej ako 2 biele gule;
aspoň jedna čierna guľa.

ALE v jednom teste je 0,4. Nájdite pravdepodobnosti nasledujúcich udalostí:

udalosť ALE objaví sa 3-krát v sérii 7 nezávislých pokusov;
udalosť ALE sa objaví najmenej 220 a nie viac ako 235 krát v sérii 400 výziev.

Závod poslal do základne 5000 vysokokvalitných produktov. Pravdepodobnosť poškodenia každého produktu pri preprave je 0,002. Nájdite pravdepodobnosť, že sa na ceste nepoškodia viac ako 3 produkty.

Prvá urna obsahuje 4 biele a 9 čiernych loptičiek a druhá urna obsahuje 7 bielych a 3 čierne loptičky. Z prvej urny sa náhodne vyžrebujú 3 loptičky az druhej 4. Nájdite pravdepodobnosť, že všetky vyžrebované loptičky majú rovnakú farbu.

Vzhľadom na zákon rozdelenia náhodnej premennej X:

Vypočítajte jeho matematické očakávanie a rozptyl.

V krabičke je 10 ceruziek. Náhodne sú nakreslené 4 ceruzky. Náhodná hodnota X je počet modrých ceruziek medzi vybranými. Nájdite zákon jeho rozloženia, počiatočné a centrálne momenty 2. a 3. rádu.

Oddelenie technickej kontroly skontroluje 475 výrobkov na závady. Pravdepodobnosť, že výrobok je chybný, je 0,05. Nájdite s pravdepodobnosťou 0,95 hranice, ktoré budú obsahovať počet chybných výrobkov medzi testovanými.

Na telefónnej ústredni dôjde k nesprávnemu spojeniu s pravdepodobnosťou 0,003. Nájdite pravdepodobnosť, že medzi 1000 spojeniami bude:

najmenej 4 nesprávne pripojenia;
viac ako dve nesprávne pripojenia.

Náhodná premenná je daná funkciou hustoty rozdelenia:

Nájdite distribučnú funkciu náhodnej premennej X. Nakreslite funkcie a . Vypočítajte matematické očakávanie, rozptyl, modus a medián náhodnej premennej X.

Náhodná premenná je daná distribučnou funkciou:

Podľa vzorky ALE vyriešiť nasledujúce úlohy:

vytvoriť sériu variácií;

priemer vzorky;

Vzorový rozptyl

Režim a medián;

Ukážka A: 0 0 2 2 1 4

vypočítajte číselné charakteristiky variačného radu:

priemer vzorky;

Vzorový rozptyl

· smerodajná odchýlka;

režim a medián;

Ukážka B: 166 154 168 169 178 182 169 159

161 150 149 173 173 156 164 169

157 148 169 149 157 171 154 152

164 157 177 155 167 169 175 166

167 150 156 162 170 167 161 158

168 164 170 172 173 157 157 162

156 150 154 163 143 170 170 168

151 174 155 163 166 173 162 182

166 163 170 173 159 149 172 176

Možnosť 18.

Spomedzi 10 žrebov sú 2 výherné. Nájdite pravdepodobnosť, že jeden z piatich náhodne vyžrebovaných tiketov vyhrá.

Hoď tromi kockami. Nájdite pravdepodobnosť, že súčet hodených bodov je väčší ako 15.

Slovo "OBVOD" sa skladá z kariet, z ktorých každá má napísané jedno písmeno. Karty sa zamiešajú a vyberú jedna po druhej bez toho, aby sa vrátili. Nájdite pravdepodobnosť, že vyňaté písmená tvoria slovo: a) OBVOD; b) METER.

Urna obsahuje 5 čiernych a 7 bielych loptičiek. Náhodne sa vyžrebuje 5 loptičiek. Nájdite pravdepodobnosť, že medzi nimi sú:

4 biele gule;
menej ako 2 biele gule;
aspoň jedna čierna guľa.

Pravdepodobnosť udalosti ALE v jednom teste je 0,55. Nájdite pravdepodobnosti nasledujúcich udalostí:

udalosť ALE objaví sa 3-krát v sérii 5 výziev;
udalosť ALE sa objaví najmenej 130 a nie viac ako 200 krát v sérii 300 výziev.

Pravdepodobnosť úniku v plechovke konzervovaného jedla je 0,0005. Nájdite pravdepodobnosť, že dve z 2 000 pohárov budú vytekať.

Prvá urna obsahuje 4 biele a 8 čiernych loptičiek a druhá urna obsahuje 7 bielych a 4 čierne gule. Z prvej urny sa náhodne vyžrebujú 2 loptičky a z druhej urny 3 loptičky. Nájdite pravdepodobnosť, že všetky vytiahnuté loptičky majú rovnakú farbu.

Medzi dielmi, ktoré prichádzajú na montáž, z prvého stroja je 0,1% chybných, z druhého - 0,2%, z tretieho - 0,25%, zo štvrtého - 0,5%. Produktivita strojov súvisí s pomerom 4:3:2:1. Náhodne odobratá časť sa ukázala ako štandardná. Nájdite pravdepodobnosť, že predmet bol vyrobený na prvom stroji.

Vzhľadom na zákon rozdelenia náhodnej premennej X:

Vypočítajte jeho matematické očakávanie a rozptyl.

Elektrikár má tri žiarovky, z ktorých každá má poruchu s pravdepodobnosťou 0,1 .. Žiarovky sú zaskrutkované do objímky a zapnutý prúd. Po zapnutí prúdu chybná žiarovka okamžite vyhorí a nahradí sa inou. Nájdite distribučný zákon, matematické očakávanie a rozptyl počtu testovaných žiaroviek.

Pravdepodobnosť zasiahnutia cieľa je 0,3 na každý z 900 nezávislých výstrelov. Pomocou Čebyševovej nerovnosti odhadnite pravdepodobnosť, že cieľ bude zasiahnutý minimálne 240-krát a maximálne 300-krát.

Na telefónnej ústredni dôjde k nesprávnemu spojeniu s pravdepodobnosťou 0,002. Nájdite pravdepodobnosť, že medzi 800 spojeniami bude:

najmenej tri nesprávne pripojenia;
viac ako štyri nesprávne pripojenia.

Náhodná premenná je daná funkciou hustoty rozdelenia:

Nájdite distribučnú funkciu náhodnej premennej X. Zostrojte grafy funkcií a . Vypočítajte priemer, rozptyl, modus a medián náhodnej premennej X.

Náhodná premenná je daná distribučnou funkciou:

Podľa vzorky ALE vyriešiť nasledujúce úlohy:

vytvoriť sériu variácií;
vypočítať relatívne a akumulované frekvencie;
zostaviť empirickú distribučnú funkciu a zostaviť jej graf;
vypočítajte číselné charakteristiky variačného radu:

priemer vzorky;

Vzorový rozptyl

· smerodajná odchýlka;

režim a medián;

Ukážka A: 4 7 6 3 3 4

V prípade vzorky B vyriešte nasledujúce problémy:

vytvoriť zoskupenú sériu variácií;
zostavte histogram a mnohouholník frekvencií;
vypočítajte číselné charakteristiky variačného radu:

priemer vzorky;

Vzorový rozptyl

· smerodajná odchýlka;

režim a medián;

Ukážka B: 152 161 141 155 171 160 150 157

154 164 138 172 155 152 177 160

168 157 115 128 154 149 150 141

172 154 144 177 151 128 150 147

143 164 156 145 156 170 171 142

148 153 152 170 142 153 162 128

150 146 155 154 163 142 171 138

128 158 140 160 144 150 162 151

163 157 177 127 141 160 160 142

159 147 142 122 155 144 170 177

Možnosť 19.

1. Na stavbe pracuje 16 žien a 5 mužov. Náhodne boli vybraní 3 ľudia podľa personálnych počtov. Nájdite pravdepodobnosť, že všetci vybraní ľudia sú muži.

2. Hodia sa štyri mince. Nájdite pravdepodobnosť, že iba dve mince budú mať erb.

3. Slovo „PSYCHOLÓGIA“ sa skladá z kariet, z ktorých každá má napísané jedno písmeno. Karty sa zamiešajú a vyberú jedna po druhej bez toho, aby sa vrátili. Nájdite pravdepodobnosť, že vyňaté písmená tvoria slovo: a) PSYCHOLÓGIA; b) ZAMESTNANCI.

4. Urna obsahuje 6 čiernych a 7 bielych loptičiek. Náhodne sa vyžrebuje 5 loptičiek. Nájdite pravdepodobnosť, že medzi nimi sú:

a. 3 biele gule;

b. menej ako 3 biele gule;

c. aspoň jedna biela guľa.

5. Pravdepodobnosť udalosti ALE v jednom teste je 0,5. Nájdite pravdepodobnosti nasledujúcich udalostí:

a. udalosť ALE objaví sa 3-krát v sérii 5 nezávislých pokusov;

b. udalosť ALE sa objaví najmenej 30 a nie viac ako 40 krát v sérii 50 výziev.

6. Existuje 100 strojov rovnakého výkonu, pracujúcich nezávisle na sebe v rovnakom režime, v ktorom je ich pohon zapnutý na 0,8 pracovnej hodiny. Aká je pravdepodobnosť, že v danom čase bude zapnutých 70 až 86 strojov?

7. Prvá urna obsahuje 4 biele a 7 čiernych loptičiek a druhá urna obsahuje 8 bielych a 3 čierne gule. Z prvej urny sa náhodne vyžrebujú 4 loptičky a z druhej urny 1 loptička. Nájdite pravdepodobnosť, že medzi vytiahnutými loptičkami sú len 4 čierne gule.

8. Každý deň sa do predajne áut dodávajú tri značky áut v objemoch: Moskvič - 40 %; "Dobre" - 20%; "Volga" - 40% všetkých dovážaných automobilov. Medzi automobilmi značky Moskvich má 0,5% zariadenie proti krádeži, Oka - 0,01%, Volga - 0,1%. Nájdite pravdepodobnosť, že auto odobraté na testovanie má zariadenie proti krádeži.

9. Čísla a sú vybrané náhodne na segmente. Nájdite pravdepodobnosť, že tieto čísla vyhovujú nerovnostiam.

10. Je daný zákon rozdelenia náhodnej veličiny X:

X
p	0,1	0,2	0,3	0,4

Nájdite distribučnú funkciu náhodnej premennej X; význam F(2); pravdepodobnosť, že náhodná premenná X naberie hodnoty z intervalu . Zostrojte distribučný polygón.

ZÁKON O ROZDELENÍ A CHARAKTERISTIKY

NÁHODNÉ HODNOTY

Náhodné veličiny, ich klasifikácia a metódy popisu.

Náhodná hodnota je veličina, ktorá v dôsledku experimentu môže nadobudnúť jednu alebo druhú hodnotu, ktorá však nie je vopred známa. Pre náhodnú premennú je preto možné zadať iba hodnoty, z ktorých jedna bude nevyhnutne brať ako výsledok experimentu. Tieto hodnoty sa budú označovať ako možné hodnoty náhodnej premennej. Keďže náhodná premenná kvantitatívne charakterizuje náhodný výsledok experimentu, možno ju považovať za kvantitatívnu charakteristiku náhodnej udalosti.

Náhodné premenné sa zvyčajne označujú veľkými písmenami latinskej abecedy, napríklad X..Y..Z, a ich možné hodnoty zodpovedajúcimi malými písmenami.

Existujú tri typy náhodných premenných:

diskrétne; Nepretržitý; Zmiešané.

Diskrétne taká náhodná premenná sa nazýva, ktorej počet možných hodnôt tvorí spočítateľnú množinu. Počítateľná množina je zasa množina, ktorej prvky možno očíslovať. Slovo „diskrétny“ pochádza z latinského discretus, čo znamená „nespojitý, pozostávajúci z oddelených častí“.

Príklad 1. Diskrétna náhodná premenná je počet chybných častí X v dávke nfl. Možné hodnoty tejto náhodnej premennej sú séria celých čísel od 0 do n.

Príklad 2. Diskrétna náhodná premenná je počet výstrelov pred prvým zásahom do cieľa. Tu, ako v príklade 1, môžu byť možné hodnoty očíslované, hoci v obmedzujúcom prípade je možná hodnota nekonečne veľké číslo.

nepretržitý sa nazýva náhodná premenná, ktorej možné hodnoty plynule vypĺňajú určitý interval číselnej osi, niekedy nazývaný interval existencie tejto náhodnej premennej. V akomkoľvek konečnom intervale existencie je teda počet možných hodnôt spojitej náhodnej premennej nekonečne veľký.

Príklad 3. Spojitá náhodná veličina je spotreba elektriny v podniku za mesiac.

Príklad 4. Spojitá náhodná veličina je chyba pri meraní výšky pomocou výškomeru. Z princípu činnosti výškomeru nech je známe, že chyba je v rozsahu od 0 do 2 m. Preto interval existencie tejto náhodnej veličiny je interval od 0 do 2 m.

Zákon rozdelenia náhodných veličín.

Náhodná premenná sa považuje za úplne špecifikovanú, ak sú jej možné hodnoty uvedené na číselnej osi a je stanovený distribučný zákon.

Zákon rozdelenia náhodnej premennej sa nazýva vzťah, ktorý vytvára vzťah medzi možnými hodnotami náhodnej premennej a zodpovedajúcimi pravdepodobnosťami.

O náhodnej premennej sa hovorí, že je rozdelená podľa daného zákona alebo podlieha danému zákonu rozdelenia. Ako distribučné zákony sa používa množstvo pravdepodobností, distribučná funkcia, hustota pravdepodobnosti, charakteristická funkcia.

Distribučný zákon poskytuje úplný pravdepodobný popis náhodnej premennej. Podľa distribučného zákona je možné pred skúsenosťou posúdiť, ktoré možné hodnoty náhodnej premennej sa budú objavovať častejšie a ktoré menej.

Pre diskrétnu náhodnú premennú môže byť distribučný zákon uvedený vo forme tabuľky, analyticky (vo forme vzorca) a graficky.

Najjednoduchšou formou špecifikácie zákona o rozdelení diskrétnej náhodnej premennej je tabuľka (matica), ktorá uvádza vzostupne všetky možné hodnoty náhodnej premennej a im zodpovedajúce pravdepodobnosti, t.j.

Takáto tabuľka sa nazýva séria rozdelenia diskrétnej náhodnej premennej. jeden

Udalosti X 1 , X 2 ,..., X n , spočívajúce v tom, že v dôsledku testu náhodná premenná X nadobudne hodnoty x 1 , x 2 ,... x n, resp. , sú nekonzistentné a jediné možné (pretože v tabuľke sú uvedené všetky možné hodnoty náhodnej premennej), t.j. vytvoriť kompletnú skupinu. Preto sa súčet ich pravdepodobností rovná 1. Teda pre akúkoľvek diskrétnu náhodnú premennú

(Táto jednotka je nejakým spôsobom rozdelená medzi hodnoty náhodnej premennej, preto pojem „distribúcia“).

Distribučný rad je možné zobraziť graficky, ak sú hodnoty náhodnej premennej vynesené pozdĺž osi x a ich zodpovedajúce pravdepodobnosti pozdĺž osi y. Spojenie získaných bodov tvorí prerušovanú čiaru, nazývanú polygón alebo polygón rozdelenia pravdepodobnosti (obr. 1).

Príklad Hrá sa lotéria: auto v hodnote 5000 denov. jednotky, 4 televízory v hodnote 250 den. jednotka, 5 videorekordérov v hodnote 200 den. Jednotky Celkovo sa predáva 1000 vstupeniek za 7 dňov. Jednotky Vypracujte zákon o rozdelení čistých výhier získaných účastníkom lotérie, ktorý si kúpil jeden tiket.

Riešenie. Možné hodnoty náhodnej premennej X - čisté výhry na tiket - sú 0-7 = -7 den. Jednotky (ak tiket nevyhral), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 denov. Jednotky (ak lístok vyhral videorekordér, televízor alebo auto). Vzhľadom na to, že z 1000 tiketov je počet nevýhercov 990 a uvedené výhry sú 5, 4 a 1, a pri použití klasickej definície pravdepodobnosti dostaneme.

Na tejto stránke sme zhromaždili stručnú teóriu a príklady riešenia vzdelávacích problémov, v ktorých je diskrétna náhodná premenná už zadaná svojim distribučným radom (tabuľkový pohľad) a je potrebné ju preskúmať: nájsť číselné charakteristiky, vykresliť grafy atď. Príklady známych typov distribúcie nájdete na odkazoch:

Stručná teória o DSW

Diskrétna náhodná premenná je daná jej distribučným radom: zoznamom hodnôt $x_i$, ktoré môže nadobudnúť, a zodpovedajúcimi pravdepodobnosťami $p_i=P(X=x_i)$. Počet hodnôt náhodnej premennej môže byť konečný alebo spočítateľný. Pre jednoznačnosť budeme uvažovať prípad $i=\overline(1,n)$. Potom tabuľková reprezentácia diskrétnej náhodnej premennej má tvar:

$$ \začiatok(pole)(|c|c|) \hline X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\ \hline p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\ \hline \end(pole) $ $

V tomto prípade je splnená podmienka normalizácie: súčet všetkých pravdepodobností sa musí rovnať jednej

$$\sum_(i=1)^(n) p_i=1$$

Graficky možno znázorniť distribučné série distribučný polygón(alebo distribučný polygón). Za týmto účelom sú body so súradnicami $(x_i,p_i)$ vynesené do roviny a spojené v poradí prerušovanou čiarou. Nájdete podrobné príklady.

Číselné charakteristiky DSV

Očakávaná hodnota:

$$M(X) = \sum_(i=1)^(n) x_i \cdot p_i$$

Rozptyl:

$$ D(X)=M(X^2)-(M(X))^2 = \sum_(i=1)^(n) x_i^2 \cdot p_i - (M(X))^2$ $

štandardná odchýlka:

$$\sigma (X) = \sqrt(D(X))$$

Variačný koeficient:

$$V(X) = \frac(\sigma(X))(M(X))$$.

Režim: hodnota $Mo=x_k$ s najvyššou pravdepodobnosťou $p_k=\max_i(p_i)$.

Na výpočet priemeru, rozptylu a štandardnej odchýlky DSV môžete použiť online kalkulačky.

Funkcia distribúcie DSW

Podľa distribučnej série sa dá skladať distribučná funkcia diskrétna náhodná premenná $F(x)=P(X\lt x)$. Táto funkcia určuje pravdepodobnosť, že náhodná premenná $X$ nadobudne hodnotu menšiu ako nejaké číslo $x$. Príklady konštrukcie s podrobnými výpočtami a grafmi nájdete v príkladoch nižšie.

Príklady riešených problémov

Úloha 1. Diskrétna náhodná premenná je daná sériou rozdelení:
1 2 3 4 5 6 7
0,05 0,15 0,3 0,2 0,1 0,04 0,16
Zostrojte distribučný mnohouholník a distribučnú funkciu $F(x)$. Vypočítajte: $M[X], D[X], \sigma[X]$, ako aj variačný koeficient, šikmosť, špičatosť, modus a medián.

Úloha 2. Je daný zákon rozdelenia diskrétnej náhodnej premennej X. Vyžaduje sa:
a) určiť matematické očakávanie M(x), rozptyl D(x) a smerodajnú odchýlku (x) náhodnej premennej X; b) zostavte graf tohto rozdelenia.
xi 0 1 2 3 4 5 6
pi 0,02 0,38 0,30 0,16 0,08 0,04 0,02

Úloha 3. Pre náhodnú premennú X s daným distribučným radom
-1 0 1 8
0,2 0,1 $ r_1 $ $ r_2 $
A) nájdite $p_1$ a $p_2$ tak, aby $M(X)=0,5$
B) potom vypočítajte matematické očakávanie a rozptyl náhodnej premennej $X$ a nakreslite jej distribučnú funkciu

Úloha 4. Diskrétna RV $X$ môže nadobúdať iba dve hodnoty: $x_1$ a $x_2$ a $x_1 \lt x_2$. Pravdepodobnosť $P$ možnej hodnoty, matematické očakávanie $M(x)$ a rozptyl $D(x)$ sú známe. Nájdite: 1) Zákon rozdelenia tejto náhodnej premennej; 2) distribučná funkcia RV $X$; 3) Graf $F(x)$.
$ P = 0,3; M(x) = 6,6; D(x) = 13,44 $

Úloha 5. Náhodná premenná X má tri hodnoty: 2, 4 a 6. Nájdite pravdepodobnosti týchto hodnôt, ak $M(X)=4,2$, $D(X)=1,96$.

Úloha 6. Distribučný rad diskrétnych r.v. $ X $. Nájdite číselné charakteristiky polohy a rozptylu r.v. $ X $. Nájsť m.o. a rozptyl r.v. $Y=X/2-2$ bez napísania distribučnej série r.v. $Y$, skontrolujte výsledok pomocou funkcie generovania.
Zostrojte distribučnú funkciu r.v. $ X $.
¦ x¦ 8 ¦ 12 ¦ 18 ¦ 24 ¦ 30 ¦
¦p¦ 0,3¦ 0,1¦ 0,3¦ 0,2¦ 0,1¦

Úloha 7. Rozdelenie diskrétnej náhodnej premennej $X$ je dané nasledujúcou tabuľkou (distribučný rad):
-6 3 9 15
0,40 0,30 ? 0,10
Určite chýbajúcu hodnotu v alokačnej tabuľke. Vypočítajte hlavné číselné charakteristiky rozdelenia: $M_x, D_x, \sigma_x$. Nájdite a zostrojte distribučnú funkciu $F(x)$. Určte pravdepodobnosť, že náhodná premenná $X$ nadobudne hodnoty:
A) viac ako 6
B) menej ako 12,
C) nie viac ako 9.

Úloha 8. V úlohe je potrebné nájsť: a) matematické očakávanie; b) disperzia; c) smerodajná odchýlka diskrétnej náhodnej premennej X podľa daného zákona o jej rozdelení uvedená v tabuľke (prvý riadok tabuľky zobrazuje možné hodnoty, druhý riadok zobrazuje pravdepodobnosti možných hodnôt).

Úloha 9. Je daný zákon rozdelenia diskrétnej náhodnej premennej $X$ (prvý riadok obsahuje možné hodnoty $x_i$, druhý riadok zobrazuje pravdepodobnosti možných hodnôt $p_i$).
Nájsť:
A) matematické očakávanie $M(X)$, rozptyl $D(X)$ a štandardná odchýlka $\sigma(X)$;
B) zostavte distribučnú funkciu náhodnej premennej $F(x)$ a zostavte jej graf;
C) vypočítajte pravdepodobnosti zásahu náhodnej premennej $X$ v intervale $x_2 \lt X \lt x_4$ pomocou distribučnej funkcie $F(x)$;
D) zostavte zákon rozdelenia hodnoty $Y=100-2X$;
E) vypočítajte matematické očakávanie a rozptyl zostavenej náhodnej premennej $Y$ dvoma spôsobmi, t.j. použitím
vlastnosťou matematického očakávania a rozptylu, ako aj priamo zákonom rozdelenia náhodnej premennej $Y$.
10 20 30 40 50
0,1 0,2 0,1 0,2 0,4

Úloha 10. Do tabuľky sa priradí diskrétna náhodná premenná. Vypočítajte jeho počiatočné a centrálne momenty až do objednávky 4 vrátane. Nájdite pravdepodobnosti udalostí $\xi \lt M\xi$, $\xi \ge M \xi$, $\xi \lt 1/2 M \xi$, $\xi \ge 1/2 M \xi $.
X0 0,3 0,6 0,9 1,2
P 0,2 0,4 0,2 0,1 0,1