Numerické charakteristiky spojitých náhodných veličín. Nech je spojitá náhodná premenná X špecifikovaná distribučnou funkciou f(x)

Hustota distribúcie pravdepodobnosti X zavolajte funkciu f(x)– prvá derivácia distribučnej funkcie F(x):

Koncept hustoty rozdelenia pravdepodobnosti náhodnej premennej X Pre diskrétna hodnota nepoužiteľné.

Hustota rozdelenia pravdepodobnosti f(x)- nazývaná funkcia diferenciálneho rozdelenia:

Nehnuteľnosť 1. Hustota distribúcie je nezáporná veličina:

Nehnuteľnosť 2. Nevlastný integrál hustoty distribúcie v rozsahu od do sa rovná jednotke:

Príklad 1.25. Vzhľadom na distribučnú funkciu spojitej náhodnej premennej X:

f(x).

Riešenie: Hustota distribúcie sa rovná prvej derivácii distribučnej funkcie:

1. Daná distribučná funkcia spojitej náhodnej premennej X:

Nájdite hustotu distribúcie.

2. Je daná distribučná funkcia spojitej náhodnej veličiny X:

Nájdite hustotu distribúcie f(x).

1.3. Číselné charakteristiky spojitej náhodnosti

množstvá

Očakávaná hodnota spojitá náhodná premenná X, ktorého možné hodnoty patria do celej osi Oh, je určená rovnosťou:

Predpokladá sa, že integrál absolútne konverguje.

a,b), že:

f(x)– hustota distribúcie náhodnej veličiny.

Disperzia spojitá náhodná premenná X, ktorého možné hodnoty patria do celej osi, sú určené rovnosťou:

Špeciálny prípad. Ak hodnoty náhodnej premennej patria do intervalu ( a,b), že:

Pravdepodobnosť, že X bude nadobúdať hodnoty patriace do intervalu ( a,b), je určená rovnosťou:

.

Príklad 1.26. Spojitá náhodná premenná X

Nájdite matematické očakávanie, rozptyl a pravdepodobnosť zásahu náhodnej premennej X v intervale (0;0,7).

Riešenie: Náhodná premenná je rozdelená na interval (0,1). Určme hustotu distribúcie spojitej náhodnej premennej X:

a) Matematické očakávanie :

b) Rozptyl

V)

Úlohy pre samostatná práca:

1. Náhodná premenná X dané distribučnou funkciou:

M(x);

b) rozptyl D(x);

X do intervalu (2,3).

2. Náhodná premenná X

Nájdite: a) matematické očakávanie M(x);

b) rozptyl D(x);

c) určiť pravdepodobnosť zásahu náhodnej premennej X do intervalu (1;1,5).

3. Náhodná premenná X daná kumulatívnou distribučnou funkciou:

Nájdite: a) matematické očakávanie M(x);

b) rozptyl D(x);

c) určiť pravdepodobnosť zásahu náhodnej premennej X v intervale

1.4. Zákony rozdelenia spojitej náhodnej premennej

1.4.1. Rovnomerné rozdelenie

Spojitá náhodná premenná X má rovnomerné rozloženie v segmente [ a,b], ak na tomto segmente je hustota rozdelenia pravdepodobnosti náhodnej premennej konštantná a mimo nej je rovná nule, t.j.

Ryža. 4.

; ; .

Príklad 1.27. Autobus na určitej trase sa pohybuje rovnomerne v intervaloch 5 minút. Nájdite pravdepodobnosť, že je rovnomerne rozdelená náhodná premenná X– čakacia doba na autobus bude kratšia ako 3 minúty.

Riešenie: Náhodná hodnota X– rovnomerne rozložené v intervale .

Hustota pravdepodobnosti: .

Aby čakacia doba nepresiahla 3 minúty, cestujúci sa musí dostaviť na zastávku do 2 až 5 minút po odchode predchádzajúceho autobusu, t.j. náhodná hodnota X musí spadať do intervalu (2;5). To. požadovaná pravdepodobnosť:

Úlohy pre samostatnú prácu:

1. a) nájdite matematické očakávanie náhodnej premennej X rozložené rovnomerne v intervale (2;8);

b) nájdite rozptyl a priemer smerodajná odchýlka náhodná premenná X, rovnomerne rozložené v intervale (2;8).

2. Minútová ručička elektrických hodín sa na konci každej minúty prudko pohybuje. Nájdite pravdepodobnosť, že v danom okamihu budú hodiny ukazovať čas, ktorý sa líši od skutočného času najviac o 20 sekúnd.

1.4.2. Exponenciálne rozdelenie

Spojitá náhodná premenná X je rozdelená podľa exponenciálneho zákona, ak má hustota pravdepodobnosti tvar:

kde je parameter exponenciálneho rozdelenia.

Teda

Ryža. 5.

Číselné charakteristiky:

Príklad 1.28. Náhodná hodnota X– doba prevádzky žiarovky – má exponenciálne rozdelenie. Určte pravdepodobnosť, že prevádzkový čas žiarovky bude minimálne 600 hodín, ak je priemerný prevádzkový čas 400 hodín.

Riešenie: Podľa podmienok úlohy matematické očakávanie náhodnej premennej X rovná sa 400 hodinám, preto:

;

Požadovaná pravdepodobnosť, kde

Nakoniec:

Úlohy pre samostatnú prácu:

1. Napíšte hustotu a distribučnú funkciu exponenciálneho zákona, ak je parameter .

2. Náhodná premenná X

Nájdite matematické očakávanie a rozptyl množstva X.

3. Náhodná premenná X daná funkciou rozdelenia pravdepodobnosti:

Nájdite matematické očakávanie a smerodajnú odchýlku náhodnej premennej.

1.4.3. Normálne rozdelenie

Normálne sa nazýva rozdelenie pravdepodobnosti spojitej náhodnej premennej X, ktorého hustota má tvar:

Kde A– matematické očakávanie, – štandardná odchýlka X.

Pravdepodobnosť, že X nadobudne hodnotu patriacu do intervalu:

, Kde

– Laplaceova funkcia.

Distribúcia, pre ktorú ; , t.j. s hustotou pravdepodobnosti nazývaný štandardný.

Ryža. 6.

Pravdepodobnosť, že absolútna hodnota je zamietnutá menšia ako kladné číslo:

.

Najmä keď a= 0 platí rovnosť:

Príklad 1.29. Náhodná hodnota X normálne distribuované. Smerodajná odchýlka. Nájdite pravdepodobnosť, že odchýlka náhodnej premennej od jej matematického očakávania v absolútnej hodnote bude menšia ako 0,3.

Riešenie: .

Úlohy pre samostatnú prácu:

1. Napíšte hustotu pravdepodobnosti normálneho rozdelenia náhodnej premennej X, s vedomím, že M(x)= 3, D(x)= 16.

2. Očakávanie a štandardná odchýlka normálne rozloženej náhodnej premennej X rovná 20 a 5. Nájdite pravdepodobnosť, že ako výsledok testu X bude mať hodnotu obsiahnutú v intervale (15;20).

3. Náhodné chyby merania podliehajú normálnemu zákonu so štandardnou odchýlkou ​​mm a matematickým očakávaním a= 0. Nájdite pravdepodobnosť, že z 3 nezávislých meraní chyba aspoň jedného nepresiahne 4 mm v absolútnej hodnote.

4. Určitá látka sa odváži bez systematických chýb. Náhodné chyby váženia podliehajú normálnemu zákonu so štandardnou odchýlkou ​​r Nájdite pravdepodobnosť, že váženie sa vykoná s chybou nepresahujúcou 10 g v absolútnej hodnote.

Náhodná premenná Premenná sa nazýva premenná, ktorá ako výsledok každého testu nadobúda jednu predtým neznámu hodnotu v závislosti od náhodných dôvodov. Náhodné premenné sú označené veľkými písmenami s latinskými písmenami: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Náhodné premenné môžu byť podľa svojho typu diskrétne A nepretržitý.

Diskrétna náhodná premenná- ide o náhodnú premennú, ktorej hodnoty môžu byť maximálne spočítateľné, to znamená buď konečné alebo spočítateľné. Spočítateľnosťou rozumieme, že hodnoty náhodnej premennej je možné očíslovať.

Príklad 1 . Tu sú príklady diskrétnych náhodných premenných:

a) počet zásahov do terča $n$ výstrelmi, tu sú možné hodnoty $0,\ 1,\ \bodky,\ n$.

b) počet vypadnutých emblémov pri hode mincou, tu sú možné hodnoty $0,\1,\\bodky,\n$.

c) počet lodí prichádzajúcich na palubu (počítateľný súbor hodnôt).

d) počet hovorov prichádzajúcich do PBX (počítateľný súbor hodnôt).

1. Zákon rozdelenia pravdepodobnosti diskrétnej náhodnej premennej.

Diskrétna náhodná premenná $X$ môže nadobúdať hodnoty $x_1,\bodky ,\ x_n$ s pravdepodobnosťou $p\left(x_1\right),\\dots ,\p\left(x_n\right)$. Korešpondencia medzi týmito hodnotami a ich pravdepodobnosťami sa nazýva zákon rozdelenia diskrétnej náhodnej premennej. Táto korešpondencia je spravidla špecifikovaná pomocou tabuľky, ktorej prvý riadok označuje hodnoty $x_1,\bodky,\ x_n$ a druhý riadok obsahuje pravdepodobnosti $p_1,\bodky,\ p_n$ zodpovedajúce tieto hodnoty.

$\begin(pole)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end(pole)$

Príklad 2 . Nech náhodná premenná $X$ je počet bodov hodených pri hode kockou. Takáto náhodná premenná $X$ môže nadobúdať nasledujúce hodnoty: $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Pravdepodobnosti všetkých týchto hodnôt sa rovnajú $ 1/6 $. Potom zákon rozdelenia pravdepodobnosti náhodnej premennej $X$:

$\begin(pole)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end(pole)$

Komentujte. Keďže v distribučnom zákone diskrétnej náhodnej premennej $X$ tvoria udalosti $1,\ 2,\ \bodky ,\ 6$ úplnú skupinu udalostí, potom sa súčet pravdepodobností musí rovnať jednej, teda $ \sum(p_i)=1$.

2. Matematické očakávanie diskrétnej náhodnej premennej.

Matematické očakávanie náhodnej premennej určuje jeho „centrálny“ význam. Pre diskrétnu náhodnú premennú sa matematické očakávanie vypočíta ako súčet súčinov hodnôt $x_1,\bodky,\x_n$ a pravdepodobností $p_1,\bodky,\p_n$ zodpovedajúcich týmto hodnotám, tj. : $M\vľavo(X\vpravo)=\súčet ^n_(i=1)(p_ix_i)$. V anglickojazyčnej literatúre sa používa iný zápis $E\left(X\right)$.

Vlastnosti matematického očakávania$M\vľavo(X\vpravo)$:

1. $M\left(X\right)$ sa nachádza medzi najmenším a najvyššie hodnoty náhodná premenná $X$.
2. Matematické očakávanie konštanty sa rovná samotnej konštante, t.j. $M\vľavo(C\vpravo)=C$.
3. Konštantný faktor možno vyňať zo znamienka matematického očakávania: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. Matematické očakávanie súčtu náhodných premenných sa rovná súčtu ich matematických očakávaní: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. Matematické očakávanie súčinu nezávislých náhodných premenných sa rovná súčinu ich matematických očakávaní: $M\vľavo(XY\vpravo)=M\vľavo(X\vpravo)M\vľavo(Y\vpravo)$.

Príklad 3 . Nájdime matematické očakávanie náhodnej premennej $X$ z príkladu $2$.

$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\over (6))+2\cdot ((1)\over (6) )+3\cdot ((1)\nad (6))+4\cdot ((1)\nad (6))+5\cdot ((1)\nad (6))+6\cdot ((1) )\nad (6))=3,5.$$

Môžeme si všimnúť, že $M\left(X\right)$ leží medzi najmenšou ($1$) a najväčšou ($6$) hodnotou náhodnej premennej $X$.

Príklad 4 . Je známe, že matematické očakávanie náhodnej premennej $X$ sa rovná $M\left(X\right)=2$. Nájdite matematické očakávanie náhodnej premennej $3X+5$.

Použitím vyššie uvedených vlastností dostaneme $M\vľavo(3X+5\vpravo)=M\vľavo(3X\vpravo)+M\vľavo(5\vpravo)=3M\vľavo(X\vpravo)+5=3\ cdot 2 +5 = 11 $.

Príklad 5 . Je známe, že matematické očakávanie náhodnej premennej $X$ sa rovná $M\left(X\right)=4$. Nájdite matematické očakávanie náhodnej premennej $2X-9$.

Pomocou vyššie uvedených vlastností dostaneme $M\vľavo(2X-9\vpravo)=M\vľavo(2X\vpravo)-M\vľavo(9\vpravo)=2M\vľavo(X\vpravo)-9=2\ cdot 4 -9=-1$.

3. Disperzia diskrétnej náhodnej premennej.

Možné hodnoty náhodné premenné s rovnakými matematickými očakávaniami sa môžu okolo svojich priemerných hodnôt rozptýliť rôzne. Napríklad v dvoch skupinách študentov bolo priemerné skóre na skúške z teórie pravdepodobnosti 4, ale v jednej skupine boli všetci dobrí študenti a v druhej skupine boli iba študenti C a vynikajúci študenti. Preto je potrebná numerická charakteristika náhodnej premennej, ktorá by ukazovala rozptyl hodnôt náhodnej premennej okolo jej matematického očakávania. Táto vlastnosť je disperzia.

Rozptyl diskrétnej náhodnej premennej$X$ sa rovná:

$$D\vľavo(X\vpravo)=\súčet^n_(i=1)(p_i(\vľavo(x_i-M\vľavo(X\vpravo)\vpravo))^2).\ $$

V anglickej literatúre sa používa označenie $V\left(X\right),\Var\left(X\right)$. Veľmi často sa rozptyl $D\left(X\right)$ počíta pomocou vzorca $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\ vľavo(X \vpravo)\vpravo))^2$.

Disperzné vlastnosti$D\vľavo(X\vpravo)$:

1. Rozptyl je vždy väčší alebo rovný nule, t.j. $D\vľavo(X\vpravo)\ge 0$.
2. Rozptyl konštanty je nulový, t.j. $D\vľavo(C\vpravo)=0$.
3. Konštantný faktor možno odobrať zo znamienka disperzie za predpokladu, že je na druhú, t.j. $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\right)$.
4. Rozptyl súčtu nezávislých náhodných veličín sa rovná súčtu ich rozptylov, t.j. $D\vľavo(X+Y\vpravo)=D\vľavo(X\vpravo)+D\vľavo(Y\vpravo)$.
5. Rozptyl rozdielu medzi nezávislými náhodnými premennými sa rovná súčtu ich rozptylov, t.j. $D\vľavo(X-Y\vpravo)=D\vľavo(X\vpravo)+D\vľavo(Y\vpravo)$.

Príklad 6 . Vypočítajme rozptyl náhodnej premennej $X$ z príkladu $2$.

$$D\vľavo(X\vpravo)=\súčet^n_(i=1)(p_i(\vľavo(x_i-M\vľavo(X\vpravo)\vpravo))^2)=((1)\nad (6))\cdot (\left(1-3.5\right))^2+((1)\over (6))\cdot (\left(2-3.5\right))^2+ \dots +( (1)\viac ako (6))\cdot (\left(6-3.5\right))^2=((35)\viac ako (12))\približne 2,92,$$

Príklad 7 . Je známe, že rozptyl náhodnej premennej $X$ sa rovná $D\left(X\right)=2$. Nájdite rozptyl náhodnej premennej $4X+1$.

Pomocou vyššie uvedených vlastností nájdeme $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ vľavo(X\vpravo)=16\cdot 2=32$.

Príklad 8 . Je známe, že rozptyl náhodnej premennej $X$ sa rovná $D\left(X\right)=3$. Nájdite rozptyl náhodnej premennej $3-2X$.

Pomocou vyššie uvedených vlastností nájdeme $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ vľavo(X\vpravo)=4\cdot 3=12$.

4. Distribučná funkcia diskrétnej náhodnej premennej.

Spôsob reprezentácie diskrétnej náhodnej premennej vo forme distribučného radu nie je jediný, a čo je najdôležitejšie, nie je univerzálny, pretože spojitú náhodnú premennú nie je možné špecifikovať pomocou distribučného radu. Existuje ďalší spôsob, ako reprezentovať náhodnú premennú - distribučnú funkciu.

Distribučná funkcia náhodná premenná $X$ sa nazýva funkcia $F\left(x\right)$, ktorá určuje pravdepodobnosť, že náhodná premenná $X$ bude mať hodnotu menšiu ako nejaká pevná hodnota $x$, teda $F\ vľavo(x\vpravo)=P\vľavo(X< x\right)$

Vlastnosti distribučnej funkcie:

1. $0\le F\left(x\right)\le 1$.
2. Pravdepodobnosť, že náhodná premenná $X$ bude nadobúdať hodnoty z intervalu $\left(\alpha ;\ \beta \right)$, sa rovná rozdielu medzi hodnotami distribučnej funkcie na koncoch tohto interval: $P\left(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\left(x\right)$ - neklesá.
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \vpravo)=1\ )$.

Príklad 9 . Nájdite distribučnú funkciu $F\left(x\right)$ pre distribučný zákon diskrétnej náhodnej premennej $X$ z príkladu $2$.

$\begin(pole)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(pole)$

Ak $x\le 1$, potom, samozrejme, $F\left(x\right)=0$ (vrátane pre $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X< 1\right)=0$).

Ak 1 dolár< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Ak 2 doláre< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Ak 3 doláre< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Ak 4 doláre< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Ak 5 dolárov< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Ak $x > 6$, potom $F\vľavo(x\vpravo)=P\vľavo(X=1\vpravo)+P\vľavo(X=2\vpravo)+P\vľavo(X=3\vpravo) +P\vľavo(X=4\vpravo)+P\vľavo(X=5\vpravo)+P\vľavo(X=6\vpravo)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1/6 + 1/6 = 1 $.

Takže $F(x)=\vľavo\(\začiatok(matica)
0,\ na\ x\le 1,\\
1/6, o\ 1< x\le 2,\\
1/3,\ na\ 2< x\le 3,\\
1/2, o\ 3< x\le 4,\\
2/3,\ o\ 4< x\le 5,\\
6.5., o 4< x\le 5,\\
1,\ pre\ x > 6.
\end(matica)\right.$

Hustota rozdelenia pravdepodobnosti spojitej náhodnej premennej (funkcia diferenciálneho rozdelenia) je prvou deriváciou integrálnej distribučnej funkcie: f(x)=F’(X). Z tejto definície a vlastností distribučnej funkcie vyplýva, že

Matematické očakávanie spojitej náhodnej premennej X je číslo

Rozptyl spojitej náhodnej premennej X je určený rovnosťou

Príklad 79. Hustota rozloženia času T REA montáž na výrobnej linke

Nájdite koeficient A, distribučná funkcia času montáže REA a pravdepodobnosť, že čas montáže bude v rámci intervalu (0,1A).

Riešenie. Na základe vlastnosti distribučnej funkcie náhodnej premennej

Dvojnásobnou integráciou po častiach dostaneme

Distribučná funkcia sa rovná

Pravdepodobnosť, že čas zostavenia REA neprekročí limity (0; 1/λ):

Príklad 80. Hustota pravdepodobnosti odchýlky výstupného odporu jednotky elektronického zariadenia od menovitej hodnoty R 0 v tolerančnom rozmedzí 2δ je popísané zákonom

Nájdite matematické očakávanie a rozptyl odchýlky odporu od menovitej hodnoty.

Riešenie.

Keďže integrand je nepárny a limity integrácie sú symetrické okolo počiatku, integrál sa rovná 0.

teda M{R} = 0.

Vykonaním náhrady r = a hriech X, dostaneme

Príklad 81. Hustota distribúcie spojitej náhodnej premennej X je daná:

Nájdite: 1. F(x); 2. M(X); 3. D(X).

Riešenie. 1. Na nájdenie F(x) použijeme vzorec

Ak
, To

A

Ak
, To

Ak
, potom f(x)=0 a

3.

Dvojitým integrovaním po častiach dostaneme:

, Potom

82. Nájdite f(x), M(X), D(X) v úlohách 74, 75.

83. Hustota rozdelenia spojitej náhodnej premennej X je daná:

Nájdite distribučnú funkciu F(x).

84. Hustota rozdelenia spojitej náhodnej premennej X je daná na celej osi Ox rovnosťou
. Nájdite konštantný parameter C.

85. Náhodná premenná X v intervale (-3, 3) je daná hustotou rozdelenia
; mimo tohto intervalu

a) Nájdite rozptyl X;

b) čo je pravdepodobnejšie: výsledok testu bude X<1 или X>1?

86. Nájdite rozptyl náhodnej premennej X danej distribučnou funkciou

87. Náhodná veličina je daná distribučnou funkciou

Nájdite očakávanú hodnotu, rozptyl a štandardnú odchýlku X.

§8. Rovnomerné a exponenciálne distribúcie

Rozdelenie spojitej náhodnej premennej X sa nazýva rovnomerné, ak na intervale (a,b), ktorý obsahuje všetky možné hodnoty X, zostáva hustota konštantná a mimo tohto intervalu je nulová, t.j.

Exponenciálne rozdelenie je rozdelenie pravdepodobnosti spojitej náhodnej premennej X, ktoré je opísané hustotou

kde λ je konštantná kladná hodnota. Funkcia exponenciálneho rozdelenia zákona

Matematické očakávanie a rozptyl sú rovnaké

;
;

Príklad 88. Hodnota dielika ampérmetra je 0,10A. Hodnoty ampérmetra sa zaokrúhľujú na najbližší celý dielik. Nájdite pravdepodobnosť, že sa počas počítania vyskytne chyba väčšia ako 0,02A.

Riešenie. Chybu zaokrúhľovania môžeme považovať za náhodnú premennú X, ktorá je rovnomerne rozložená v intervale (0;0,1) medzi dvoma celočíselnými dielikmi. teda

Potom
.

Príklad 89. Trvanie bezporuchovej prevádzky prvku má exponenciálne rozdelenie. Nájdite pravdepodobnosť, že počas časového úseku t=100 hodín: a) prvok zlyhá; b) prvok nezlyhá.

Riešenie. a) Podľa definície
, preto určuje pravdepodobnosť poruchy prvku v čase t, preto

b) Udalosť „prvok nezlyhá“ je opakom uvažovanej udalosti, teda jej pravdepodobnosťou

90. Rádioelektronická jednotka je zmontovaná na výrobnej linke, montážny cyklus je 2 minúty. Hotový blok sa vyberie z dopravníka na monitorovanie a nastavenie v ľubovoľnom časovom bode v rámci hodinového cyklu. Nájdite matematické očakávanie a štandardnú odchýlku času, kedy je hotový blok na dopravníku. Čas, ktorý blok strávi na dopravníku, sa riadi zákonom rovnomerného rozdelenia náhodných premenných.

91. Pravdepodobnosť zlyhania REA v určitom čase je vyjadrená vzorcom . Určite priemerný prevádzkový čas elektronického zariadenia pred poruchou.

92. Vyvíjaný komunikačný satelit musí mať stredný čas medzi poruchami 5 rokov. Vzhľadom na to, že skutočný čas medzi poruchami je náhodná exponenciálne rozložená hodnota, určite pravdepodobnosť, že

a) satelit bude v prevádzke menej ako 5 rokov,

b) satelit bude fungovať najmenej 10 rokov,

c) satelit zlyhá do 6. roku.

93. Istý nájomca si kúpil štyri klasické žiarovky s priemernou životnosťou 1000 hodín, jednu z nich nainštaloval do stolovej lampy a zvyšok si nechal v zálohe pre prípad, že by lampa vyhorela. Definuj:

a) predpokladanú celkovú životnosť štyroch svietidiel,

b) pravdepodobnosť, že štyri svietidlá budú v prevádzke celkovo 5 000 hodín alebo viac,

c) pravdepodobnosť, že celkový termínŽivotnosť všetkých svietidiel nepresiahne 2000 hodín.

94. Hodnota dielika stupnice meracieho zariadenia je 0,2. Údaje prístroja sa zaokrúhľujú na najbližší celý dielik. Nájdite pravdepodobnosť, že počas počítania dôjde k chybe: a) menšia ako 0,04; b) veľký 0,05.

95. Autobusy na určitej trase premávajú presne podľa cestovného poriadku. Interval pohybu 5 min. Nájdite pravdepodobnosť, že cestujúci prichádzajúci na zastávku počká na ďalší autobus menej ako 3 minúty.

96. Nájdite matematické očakávanie náhodnej premennej X rovnomerne rozloženej v intervale (2, 8).

97. Nájdite rozptyl a smerodajnú odchýlku náhodnej premennej X, rovnomerne rozloženej v intervale (2, 8).

98. Skúšajú sa dva nezávisle fungujúce prvky. Trvanie bezporuchovej prevádzky prvého prvku má exponenciálne rozdelenie
, druhý
. Nájdite pravdepodobnosť, že počas časového trvania t=6 hodín: a) zlyhajú oba prvky; b) oba prvky nezlyhajú; c) zlyhá iba jeden prvok; d) aspoň jeden prvok zlyhá.

Príklady riešenia úloh na tému „Náhodné premenné“.

Úloha 1 . Do lotérie je vydaných 100 tiketov. Žrebovala sa jedna výhra v hodnote 50 USD. a desať výhier po 10 USD. Nájdite zákon rozdelenia hodnoty X - náklady na možné výhry.

Riešenie. Možné hodnoty pre X: x 1 = 0; X 2 = 10 a x 3 = 50. Keďže je 89 „prázdnych“ lístkov, potom p 1 = 0,89, pravdepodobnosť výhry 10 USD. (10 lístkov) – str 2 = 0,10 a vyhrať 50 USD -p 3 = 0,01. Takto:

	0,89	0,10	0,01

Jednoduché ovládanie:.

Úloha 2. Pravdepodobnosť, že si kupujúci vopred prečítal reklamu na produkt je 0,6 (p=0,6). Selektívna kontrola kvality reklamy sa vykonáva prieskumom kupujúcich pred prvým, ktorý si reklamu vopred preštudoval. Zostavte distribučnú sériu pre počet skúmaných kupujúcich.

Riešenie. Podľa problémových podmienok p = 0,6. Od: q=1 -p = 0,4. Nahradením týchto hodnôt dostaneme: a zostavte distribučnú sériu:

p i		0,24

Úloha 3. Počítač pozostáva z troch samostatne fungujúcich prvkov: systémovej jednotky, monitora a klávesnice. Pri jedinom prudkom zvýšení napätia je pravdepodobnosť zlyhania každého prvku 0,1. Na základe Bernoulliho distribúcie zostavte distribučný zákon pre počet zlyhaných prvkov počas prepätia v sieti.

Riešenie. Uvažujme Bernoulliho distribúcia(alebo binomický): pravdepodobnosť, že n testy, udalosť A sa objaví presne k raz: , alebo:

	q n					p n

IN Vráťme sa k úlohe.

Možné hodnoty pre X (počet zlyhaní):

x 0 = 0 – žiadny z prvkov zlyhal;

x 1 =1 – porucha jedného prvku;

x 2 =2 – porucha dvoch prvkov;

x 3 =3 – porucha všetkých prvkov.

Keďže podľa podmienky p = 0,1, potom q = 1 – p = 0,9. Pomocou Bernoulliho vzorca dostaneme

, ,

, .

Ovládanie: .

Preto požadovaný distribučný zákon:

	0,729	0,243	0,027	0,001

Problém 4. Vyrobených 5000 nábojov. Pravdepodobnosť, že jedna kazeta je chybná . Aká je pravdepodobnosť, že v celej dávke budú práve 3 chybné kazety?

Riešenie. Použiteľné Poissonovo rozdelenie: Toto rozdelenie sa používa na určenie pravdepodobnosti, že pre veľmi veľké

počet testov (hromadné testy), v každom z nich je pravdepodobnosť udalosti A veľmi malá, udalosť A nastane k-krát: , Kde .

Tu n = 5000, p = 0,0002, k = 3. Nájdeme potom požadovanú pravdepodobnosť: .

Problém 5. Pri streľbe do prvého zásahu s pravdepodobnosťou zásahu p = 0,6 pri streľbe musíte nájsť pravdepodobnosť, že k zásahu dôjde pri treťom výstrele.

Riešenie. Aplikujme geometrickú distribúciu: nech sa vykonajú nezávislé pokusy, v ktorých každý jav A má pravdepodobnosť výskytu p (a nevyskytnutie q = 1 – p). Test sa skončí hneď, ako nastane udalosť A.

Za takýchto podmienok je pravdepodobnosť, že udalosť A nastane na k-tom pokuse, určená vzorcom: . Tu p = 0,6; q = 1 – 0,6 = 0,4;k = 3. Preto .

Problém 6. Nech je daný zákon rozdelenia náhodnej premennej X:

Nájdite matematické očakávania.

Riešenie. .

Všimnite si, že pravdepodobnostným významom matematického očakávania je priemerná hodnota náhodnej premennej.

Problém 7. Nájdite rozptyl náhodnej premennej X s nasledujúcim distribučným zákonom:

Riešenie. Tu .

Distribučný zákon pre druhú mocninu X 2 :

X 2

Požadovaná odchýlka: .

Disperzia charakterizuje mieru odchýlky (disperzie) náhodnej premennej od jej matematického očakávania.

Problém 8. Nech je náhodná premenná daná rozdelením:

			10 m

Nájdi ju číselné charakteristiky.

Riešenie: m, m 2 ,

M 2 , m.

O náhodnej premennej X môžeme povedať buď: jej matematické očakávanie je 6,4 m s rozptylom 13,04 m 2 , alebo – jeho matematické očakávanie je 6,4 m s odchýlkou ​​m. Druhá formulácia je zjavne jasnejšia.

Úloha 9. Náhodná hodnota X dané distribučnou funkciou:
.

Nájdite pravdepodobnosť, že v dôsledku testu hodnota X nadobudne hodnotu obsiahnutú v intervale .

Riešenie. Pravdepodobnosť, že X nadobudne hodnotu z daného intervalu, sa rovná prírastku integrálnej funkcie v tomto intervale, t.j. . V našom prípade a teda

.

Úloha 10. Diskrétna náhodná premenná X podľa distribučného zákona:

Nájdite distribučnú funkciu F(x ) a nakreslite to.

Riešenie. Od distribučnej funkcie,

Pre , To

v ;

v ;

v ;

v ;

Príslušný graf:

Problém 11. Spojitá náhodná premenná X dané diferenciálnou distribučnou funkciou: .

Nájdite pravdepodobnosť zásahu X na interval

Riešenie. Všimnite si, že toto je špeciálny prípad zákona o exponenciálnom rozdelení.

Použime vzorec: .

Úloha 12. Nájdite číselné charakteristiky diskrétnej náhodnej premennej X špecifikovanej distribučným zákonom:

	–5
	X2: X 2 . , Kde – Laplaceova funkcia. Hodnoty tejto funkcie sa nachádzajú pomocou tabuľky. V našom prípade: . Z tabuľky nájdeme: , teda:

Na rozdiel od diskrétnej náhodnej premennej nemožno spojité náhodné premenné špecifikovať vo forme tabuľky jej distribučného zákona, pretože nie je možné uviesť a zapísať všetky jej hodnoty v určitom poradí. Jeden z možné spôsobyšpecifikovaním spojitej náhodnej premennej je použiť distribučnú funkciu.

DEFINÍCIA. Distribučná funkcia je funkcia, ktorá určuje pravdepodobnosť, že náhodná premenná nadobudne hodnotu, ktorá je reprezentovaná na číselnej osi bodom ležiacim vľavo od bodu x, t.j.

Niekedy sa namiesto termínu „distribučná funkcia“ používa termín „integrovaná funkcia“.

Vlastnosti distribučnej funkcie:

1. Hodnoty distribučnej funkcie patria do segmentu: 0F(x)1
2. F(x) je neklesajúca funkcia, t.j. F(x 2)F(x 1), ak x 2 > x 1

Dôsledok 1. Pravdepodobnosť, že náhodná premenná nadobudne hodnotu obsiahnutú v intervale (a,b), sa rovná prírastku distribučnej funkcie na tomto intervale:

P(aX

Príklad 9. Náhodná veličina X je daná distribučnou funkciou:

Nájdite pravdepodobnosť, že v dôsledku testu X nadobudne hodnotu patriacu do intervalu (0;2): P(0

Riešenie: Keďže na intervale (0;2) podľa podmienky, F(x)=x/4+1/4, potom F(2)-F(0)=(2/4+1/4)-(0 /4+1/4) = 1/2. Takže P(0

Dôsledok 2. Pravdepodobnosť, že spojitá náhodná premenná X nadobudne jednu konkrétnu hodnotu, je nulová.

Dôsledok 3. Ak je to možné, hodnoty náhodnej premennej patria do intervalu (a;b), potom: 1) F(x)=0 pre xa; 2) F(x)=1 pri xb.
Platné sú nasledujúce limitné vzťahy:

Graf distribučnej funkcie sa nachádza v pásme ohraničenom priamkami y=0, y=1 (prvá vlastnosť). Keď sa x zvyšuje v intervale (a;b), ktorý obsahuje všetky možné hodnoty náhodnej premennej, graf „stúpa“. V xa sú ordináty grafu rovné nule; v xb sú ordináty grafu rovné jednej:

Obrázok 1

Príklad 10. Diskrétna náhodná premenná X je daná distribučnou tabuľkou:

X	1	4	8
P	0.3	0.1	0.6

Nájdite distribučnú funkciu a nakreslite ju.
Riešenie: Distribučnú funkciu možno napísať analyticky takto:

Obrázok-2

DEFINÍCIA: Hustota rozdelenia pravdepodobnosti spojitej náhodnej premennej X je funkcia f(x) - prvá derivácia distribučnej funkcie F(x): f(x)=F"(x)

Z tejto definície vyplýva, že distribučná funkcia je primitívnou vlastnosťou distribučnej hustoty.

Veta. Pravdepodobnosť, že spojitá náhodná premenná X nadobudne hodnotu patriacu do intervalu (a;b), sa rovná určitému integrálu hustoty distribúcie v rozsahu od a do b:

(8)

Vlastnosti rozdelenia hustoty pravdepodobnosti:

1. Hustota pravdepodobnosti je nezáporná funkcia: f(x)0.
2. Určitý integrál od -∞ do +∞ hustoty pravdepodobnosti spojitej náhodnej premennej sa rovná 1: f(x)dx=1.
3. Určitý integrál od -∞ do x hustoty pravdepodobnosti spojitej náhodnej premennej sa rovná distribučnej funkcii tejto premennej: f(x)dx=F(x)

Príklad 11. Je uvedená hustota rozdelenia pravdepodobnosti náhodnej premennej X

Nájdite pravdepodobnosť, že v dôsledku testu X nadobudne hodnotu patriacu do intervalu (0,5;1).

Riešenie: Požadovaná pravdepodobnosť:

Rozšírme definíciu číselných charakteristík diskrétnych veličín na spojité veličiny. Nech je spojitá náhodná premenná X špecifikovaná hustotou rozdelenia f(x).

DEFINÍCIA. Matematické očakávanie spojitej náhodnej premennej X, ktorej možné hodnoty patria do segmentu, sa nazýva určitý integrál:

M(x)=xf(x)dx (9)

Ak je to možné, hodnoty patria do celej osi Ox, potom:

M(x)=xf(x)dx (10)

Modus M 0 (X) spojitej náhodnej premennej X je jej možná hodnota, ktorej zodpovedá lokálne maximum hustoty rozdelenia.

Medián Me (X) spojitej náhodnej premennej X je jej možná hodnota, ktorá je určená rovnosťou:

P(Xe (X))=P(X>Me (X))

DEFINÍCIA. Rozptyl spojitej náhodnej premennej je matematickým očakávaním druhej mocniny jej odchýlky. Ak je to možné, hodnoty X patria do segmentu, potom:

D(x)= 2 f(x)dx (11)
alebo
D(x)=x 2 f(x)dx- 2 (11*)

Ak možné hodnoty patria do celej osi x, potom.