Plošné vzorce pre pravidelné čísla. Vzorec: plocha miestnosti a jej rozmery

Na internete možno nájsť viac ako 10 vzorcov na výpočet plochy trojuholníka. Mnohé z nich sa používajú pri problémoch so známymi stranami a uhlami trojuholníka. Existuje však množstvo ťažké príklady kde je podľa podmienky zadania známa len jedna strana a uhly trojuholníka, prípadne polomer kružnice opísanej alebo vpísanej a ešte jedna charakteristika. V takýchto prípadoch nie je možné použiť jednoduchý vzorec.

Nižšie uvedené vzorce vyriešia 95 percent problémov, v ktorých musíte nájsť oblasť trojuholníka.
Prejdime k úvahe o vzorcoch spoločnej oblasti.
Zvážte trojuholník zobrazený na obrázku nižšie

Na obrázku a ďalej vo vzorcoch sú zavedené klasické označenia všetkých jeho charakteristík
a,b,c sú strany trojuholníka,
R je polomer kružnice opísanej,
r je polomer vpísanej kružnice,
h[b],h[a],h[c] - výšky nakreslené v súlade so stranami a,b,c.
alfa, beta, hamma - rohy v blízkosti vrcholov.

Základné vzorce pre oblasť trojuholníka

1. Plocha sa rovná polovici súčinu strany trojuholníka a výšky zníženej na túto stranu. Vo vzorcovom jazyku môže byť táto definícia napísaná ako

Ak je teda známa strana a výška, každý študent nájde oblasť.
Mimochodom, z tohto vzorca možno odvodiť jeden užitočný vzťah medzi výškami

2. Ak vezmeme do úvahy, že výška trojuholníka cez susednú stranu je vyjadrená závislosťou

Potom z prvého vzorca oblasti nasleduje rovnaký typ druhého

Pozorne si prezrite vzorce - sú ľahko zapamätateľné, pretože práca má dve strany a uhol medzi nimi. Ak správne označíme strany a uhly trojuholníka (ako na obrázku vyššie), dostaneme dva strany a, b a uhol súvisí s tretím C (hamma).

3. Pre uhly trojuholníka vzťah

Závislosť vám umožňuje vo výpočtoch použiť nasledujúce vzorce pre oblasť trojuholníka

Príklady tejto závislosti sú extrémne zriedkavé, ale musíte si uvedomiť, že existuje taký vzorec.

4. Ak je známa strana a dva susedné uhly, potom sa oblasť nájde podľa vzorca

5. Vzorec pre plochu z hľadiska strany a kotangens susedných uhlov je nasledujúci

Preskupením indexov môžete získať závislosti pre ostatné strany.

6. Nižšie uvedený plošný vzorec sa používa v úlohách, keď sú vrcholy trojuholníka uvedené v rovine so súradnicami. V tomto prípade sa plocha rovná polovici determinantu modulo.

7. Heronov vzorec použité v príkladoch so známymi stranami trojuholníka.
Najprv nájdite polobvod trojuholníka

A potom určte plochu podľa vzorca

alebo

Často sa používa v kóde programov kalkulačky.

8. Ak sú známe všetky výšky trojuholníka, potom je plocha určená vzorcom

Ťažko sa to počíta na kalkulačke, avšak v balíkoch MathCad, Mathematica, Maple je plocha „jedna dva“.

9. Nasledujúce vzorce používajú známe polomery vpísaných a opísaných kružníc.

Najmä, ak sú známe polomer a strany trojuholníka alebo jeho obvod, potom sa plocha vypočíta podľa vzorca

10. V príkladoch, kde sú uvedené strany a polomer alebo priemer opísanej kružnice, sa plocha zistí podľa vzorca

11. Nasledujúci vzorec určuje plochu trojuholníka z hľadiska strany a uhlov trojuholníka.

A nakoniec - špeciálne prípady:
Oblasť pravouhlého trojuholníka s nohami a a b sa rovná polovici ich súčinu

Vzorec pre oblasť rovnostranného (pravidelného) trojuholníka=

\u003d jedna štvrtina súčinu druhej mocniny strany a odmocniny z troch.

Na vyriešenie problémov v geometrii potrebujete poznať vzorce - ako je oblasť trojuholníka alebo oblasť rovnobežníka - ako aj jednoduché triky, o ktorých budeme hovoriť.

Najprv sa naučme vzorce pre oblasti obrázkov. Špeciálne sme ich zhromaždili v pohodlnej tabuľke. Tlačte, učte sa a aplikujte!

Samozrejme, nie všetky geometrické vzorce sú v našej tabuľke. Napríklad riešiť úlohy z geometrie a stereometrie v druhej časti profilová skúška v matematike sa používajú aj iné vzorce pre oblasť trojuholníka. Určite vám o nich povieme.

Ale čo keď potrebujete nájsť nie oblasť lichobežníka alebo trojuholníka, ale oblasť nejakej zložitej postavy? Existujú univerzálne spôsoby! Ukážeme si ich na príkladoch z banky úloh FIPI.

1. Ako nájsť oblasť neštandardnej postavy? Napríklad ľubovoľný štvoruholník? Jednoduchá technika – rozložme túto postavu na tie, o ktorých všetci vieme, a nájdime jej plochu – ako súčet plôch týchto postáv.

Rozdeľte tento štvoruholník vodorovnou čiarou na dva trojuholníky so spoločnou základňou rovnajúcou sa . Výšky týchto trojuholníkov sa rovnajú a . Potom sa plocha štvoruholníka rovná súčtu plôch dvoch trojuholníkov: .

Odpoveď: .

2. V niektorých prípadoch môže byť oblasť obrázku reprezentovaná ako rozdiel akýchkoľvek oblastí.

Nie je také ľahké vypočítať, čomu sa rovná základňa a výška v tomto trojuholníku! Môžeme však povedať, že jeho plocha sa rovná rozdielu medzi plochami štvorca so stranou a tromi pravouhlé trojuholníky. Vidíte ich na obrázku? Dostaneme: .

Odpoveď: .

3. Niekedy je v úlohe potrebné nájsť oblasť nie celej postavy, ale jej časti. Zvyčajne hovoríme o ploche sektora - časti kruhu. Nájdite plochu sektora kruhu s polomerom, ktorého dĺžka oblúka sa rovná .

Na tomto obrázku vidíme časť kruhu. Plocha celého kruhu sa rovná , pretože . Zostáva zistiť, ktorá časť kruhu je zobrazená. Keďže dĺžka celého kruhu je (od) a dĺžka oblúka tohto sektora je rovnaká, dĺžka oblúka je niekoľkonásobne menšia ako dĺžka celého kruhu. Uhol, na ktorom tento oblúk spočíva, je tiež krát menší ako celý kruh (to znamená stupne). To znamená, že plocha sektora bude niekoľkonásobne menšia ako plocha celého kruhu.

Námestie geometrický obrazec - číselná charakteristika geometrického útvaru znázorňujúca veľkosť tohto útvaru (časť plochy ohraničená uzavretým obrysom tohto útvaru). Veľkosť plochy je vyjadrená počtom v nej obsiahnutých štvorcových jednotiek.

Vzorce oblasti trojuholníka

Vzorec plochy trojuholníka pre stranu a výšku
Oblasť trojuholníka rovná polovici súčinu dĺžky strany trojuholníka a dĺžky nadmorskej výšky nakreslenej na túto stranu
Vzorec pre oblasť trojuholníka s tromi stranami a polomerom opísanej kružnice
Vzorec pre oblasť trojuholníka s tromi stranami a polomerom vpísanej kružnice
Oblasť trojuholníka sa rovná súčinu polovice obvodu trojuholníka a polomeru vpísanej kružnice.

Vzorce štvorcovej oblasti

Vzorec pre plochu štvorca daný dĺžkou strany
štvorcová plocha sa rovná štvorcu dĺžky jeho strany.
Vzorec pre plochu štvorca daný dĺžkou uhlopriečky
štvorcová plocha rovná polovici štvorca dĺžky jeho uhlopriečky.
S= 1 2
2

Vzorec oblasti obdĺžnika

Oblasť obdĺžnika

Vzorce pre oblasť rovnobežníka

Vzorec plochy rovnobežníka pre dĺžku a výšku strany
Plocha rovnobežníka
Vzorec pre oblasť rovnobežníka s dvoma stranami a uhlom medzi nimi
Plocha rovnobežníka sa rovná súčinu dĺžok jej strán vynásobených sínusom uhla medzi nimi.
a b sinα

Vzorce pre oblasť kosoštvorca

Vzorec plochy kosoštvorca daný dĺžkou a výškou strany
Oblasť kosoštvorca sa rovná súčinu dĺžky jeho strany a dĺžky výšky zníženej na túto stranu.
Vzorec pre oblasť kosoštvorca daný dĺžkou strany a uhlom
Oblasť kosoštvorca sa rovná súčinu druhej mocniny dĺžky jej strany a sínusu uhla medzi stranami kosoštvorca.
Vzorec pre oblasť kosoštvorca z dĺžok jeho uhlopriečok
Oblasť kosoštvorca sa rovná polovici súčinu dĺžok jej uhlopriečok.

Vzorce pre oblasť lichobežníka

Heronov vzorec pre lichobežník
Kde S je oblasť lichobežníka,
- dĺžka základov lichobežníka,
- dĺžka strán lichobežníka,

Všetky vzorce pre oblasť rovinných figúrok

Oblasť rovnoramenného lichobežníka

1. Vzorec pre oblasť rovnoramenného lichobežníka z hľadiska strán a uhla

a - spodná základňa

b - horná základňa

c - rovnaké strany

α - uhol na spodnej základni

Vzorec pre oblasť rovnoramenného lichobežníka z hľadiska strán (S):

Vzorec pre oblasť rovnoramenného lichobežníka z hľadiska strán a uhla (S):

2. Vzorec pre oblasť rovnoramenného lichobežníka z hľadiska polomeru vpísanej kružnice

R- polomer vpísanej kružnice

D- priemer vpísanej kružnice

O - stred vpísanej kružnice

H- výška lichobežníka

α, β - lichobežníkové uhly

Vzorec pre oblasť rovnoramenného lichobežníka z hľadiska polomeru vpísanej kružnice (S):

FAIR, pre vpísaný kruh v rovnoramennom lichobežníku:

3. Vzorec pre oblasť rovnoramenného lichobežníka z hľadiska uhlopriečok a uhla medzi nimi

d-uhlopriečka lichobežníka

α,β- uhly medzi uhlopriečkami

Vzorec pre oblasť rovnoramenného lichobežníka z hľadiska uhlopriečok a uhla medzi nimi (S):

4. Vzorec pre oblasť rovnoramenného lichobežníka z hľadiska stredná čiara, bočná strana a uhol na základni

c- strana

m- stredná čiara lichobežníka

α, β - uhly na základni

Vzorec pre oblasť rovnoramenného lichobežníka z hľadiska stredovej čiary, bočnej strany a uhla pri základni,

(S):

5. Vzorec pre oblasť rovnoramenného lichobežníka z hľadiska základne a výšky

a - spodná základňa

b - horná základňa

h - výška lichobežníka

Vzorec pre oblasť rovnoramenného lichobežníka z hľadiska základne a výšky (S):

Oblasť trojuholníka so stranou a dvoma uhlami, vzorec.

a, b, c - strany trojuholníka

α, β, γ - opačné uhly

Plocha trojuholníka cez stranu a dva uhly (S):

Vzorec pre oblasť pravidelného mnohouholníka

a - polygónová strana

n - počet strán

Plocha pravidelného mnohouholníka (S):

(Heronovský) vzorec pre oblasť trojuholníka z hľadiska polobvodu (S):

Plocha rovnostranného trojuholníka je:

Vzorce na výpočet plochy rovnostranného trojuholníka.

a - strana trojuholníka

h - výška

Ako vypočítať plochu rovnoramenného trojuholníka?

b - základňa trojuholníka

a - rovnaké strany

h - výška

3. Vzorec pre oblasť lichobežníka z hľadiska štyroch strán

a - spodná základňa

b - horná základňa

c, d - strany

Polomer opísanej kružnice lichobežníka po stranách a uhlopriečkach

a - strany lichobežníka

c - spodná základňa

b - horná základňa

d - uhlopriečka

h - výška

Vzorec pre polomer opísanej kružnice lichobežníka (R)

nájdite polomer kružnice opísanej v rovnoramennom trojuholníku po stranách

Keď poznáte strany rovnoramenného trojuholníka, môžete použiť vzorec na nájdenie polomeru kružnice opísanej okolo tohto trojuholníka.

a, b - strany trojuholníka

Polomer kružnice opísanej v rovnoramennom trojuholníku (R):

Polomer vpísanej kružnice v šesťuholníku

a - strana šesťuholníka

Polomer vpísanej kružnice v šesťuholníku (r):

Polomer vpísanej kružnice v kosoštvorci

r - polomer vpísanej kružnice

a - strana kosoštvorca

D, d - uhlopriečky

h - výška diamantu

Polomer vpísanej kružnice v rovnoramennom lichobežníku

c - spodná základňa

b - horná základňa

a - strany

h - výška

Polomer vpísanej kružnice v pravouhlom trojuholníku

a, b - nohy trojuholníka

c - prepona

Polomer vpísanej kružnice v rovnoramennom trojuholníku

a, b - strany trojuholníka

Dokážte, že plocha zapísaného štvoruholníka je

\/(p - a)(p - b) (p - c) (p - d),

kde p je polobvod a a, b, c a d sú strany štvoruholníka.

Dokážte, že plocha štvoruholníka vpísaná do kruhu je

1/2 (ab + cb) sin α, kde a, b, c a d sú strany štvoruholníka a α je uhol medzi stranami a a b.

S = √[ a ƀ c d] sin ½ (α + β). - Prečítajte si viac na FB.ru:

Plochu ľubovoľného štvoruholníka (obr. 1.13) možno vyjadriť jeho stranami a, b, c a súčtom dvojice protiľahlých uhlov:

kde p je semiperimeter štvoruholníka.

Plocha štvoruholníka vpísaného do kruhu () (obr. 1.14, a) sa vypočíta pomocou Brahmaguptovho vzorca

a popísané (obr. 1.14, b) () - podľa vzorca

Ak je štvoruholník vpísaný a opísaný súčasne (obr. 1.14, c), potom sa vzorec stáva celkom jednoduchým:

Vrcholový vzorec

Na odhadnutie plochy mnohouholníka na kockovanom papieri stačí vypočítať, koľko buniek tento mnohouholník pokrýva (plochu bunky berieme ako jednotku). Presnejšie, ak S je oblasť mnohouholníka, je to počet buniek, ktoré ležia úplne vo vnútri mnohouholníka, a je to počet buniek, ktoré majú aspoň jeden spoločný bod s vnútrom mnohouholníka.

Ďalej budeme uvažovať iba o takých polygónoch, ktorých všetky vrcholy ležia v uzloch kockovaného papiera - v tých, kde sa pretínajú čiary mriežky. Ukazuje sa, že pre takéto polygóny môžete zadať nasledujúci vzorec:

kde je oblasť, r je počet uzlov, ktoré ležia presne vo vnútri mnohouholníka.

Tento vzorec sa nazýva „vrcholový vzorec“ podľa matematika, ktorý ho objavil v roku 1899.

Ak plánujete vykonať opravy sami, budete musieť urobiť odhad pre stavebné a dokončovacie materiály. Ak to chcete urobiť, budete musieť vypočítať plochu miestnosti, v ktorej plánujete vykonať opravy. Hlavným asistentom je špeciálne navrhnutý vzorec. Plocha miestnosti, konkrétne jej výpočet, vám umožní ušetriť veľa peňazí stavebné materiály a nasmerovať uvoľnené finančné zdroje vhodnejším smerom.

Geometrický tvar miestnosti

Vzorec na výpočet plochy miestnosti priamo závisí od jej tvaru. Najtypickejšie pre domáce štruktúry sú obdĺžnikové a štvorcové miestnosti. Pri prestavbe však môže dôjsť k skresleniu štandardnej formy. Izby sú:

Obdĺžnikový.
Námestie.
Komplexná konfigurácia (napríklad okrúhla).
S výklenkami a rímsami.

Každý z nich má svoje vlastné výpočtové funkcie, ale spravidla sa používa rovnaký vzorec. Môže sa vypočítať plocha miestnosti akéhokoľvek tvaru a veľkosti, tak či onak.

Obdĺžniková alebo štvorcová izba

Ak chcete vypočítať plochu obdĺžnikovej alebo štvorcovej miestnosti, nezabudnite školské hodiny geometria. Preto by pre vás nemalo byť ťažké určiť oblasť miestnosti. Výpočtový vzorec vyzerá takto:

S izby=A*B, kde

A je dĺžka miestnosti.

B je šírka miestnosti.

Na meranie týchto hodnôt budete potrebovať bežný meter. Ak chcete získať čo najpresnejšie výpočty, stojí za to merať stenu na oboch stranách. Ak sa hodnoty nezhodujú, vezmite za základ priemer výsledných údajov. Pamätajte však, že akékoľvek výpočty majú svoje vlastné chyby, takže materiál by sa mal zakúpiť s maržou.

Izba so zložitou konfiguráciou

Ak vaša izba nespadá pod definíciu „typická“, t.j. má tvar kruhu, trojuholníka, mnohouholníka, potom možno budete na výpočty potrebovať iný vzorec. Môžete sa pokúsiť podmienečne rozdeliť plochu miestnosti s takouto charakteristikou na obdĺžnikové prvky a vykonať výpočty štandardným spôsobom. Ak to pre vás nie je možné, použite nasledujúce metódy:

Vzorec na nájdenie oblasti kruhu:

S miestnosť \u003d π * R 2, kde

R je polomer miestnosti.

Vzorec na nájdenie oblasti trojuholníka je:

S miestnosť = √ (P (P - A) x (P - B) x (P - C)), kde

P je polovica obvodu trojuholníka.

A, B, C sú dĺžky jeho strán.

Preto P \u003d A + B + C / 2

Ak máte v procese výpočtu nejaké ťažkosti, je lepšie sa mučiť a obrátiť sa na profesionálov.

Priestor miestnosti s rímsami a výklenkami

Steny sú často zdobené dekoratívnymi prvkami vo forme rôznych výklenkov alebo ríms. Tiež ich prítomnosť môže byť spôsobená potrebou skryť niektoré neestetické prvky vašej izby. Prítomnosť ríms alebo výklenkov na stene znamená, že výpočet by sa mal vykonávať postupne. Tie. najprv sa nájde plocha plochej časti steny a potom sa k nej pridá plocha výklenku alebo rímsy.

Plocha steny sa zistí podľa vzorca:

S steny \u003d P x C, kde

P - obvod

C - výška

Musíte tiež zvážiť prítomnosť okien a dverí. Ich plocha sa musí od výslednej hodnoty odpočítať.

Izba s viacúrovňovým stropom

Viacúrovňový strop nekomplikuje výpočty tak, ako sa zdá na prvý pohľad. Ak má jednoduchý dizajn, potom je možné vykonať výpočty na princípe hľadania plochy stien komplikovanej výklenkami a rímsami.

Ak má však dizajn vášho stropu oblúkové a zvlnené prvky, potom je vhodnejšie určiť jeho plochu pomocou podlahovej plochy. Na to potrebujete:

Nájdite rozmery všetkých rovných častí stien.
Nájdite podlahovú plochu.
Vynásobte dĺžku a výšku vertikálnych častí.
Výslednú hodnotu spočítajte s podlahovou plochou.

Pokyny krok za krokom na určenie súčtu

miesto na zemi

Oslobodte miestnosť od nepotrebných vecí. V procese merania budete potrebovať voľný prístup do všetkých oblastí vašej miestnosti, takže sa musíte zbaviť všetkého, čo vám môže narušiť.
Vizuálne rozdeľte miestnosť na časti pravidelných a nepravidelných tvarov. Ak má vaša izba striktne štvorcový alebo obdĺžnikový tvar, potom je možné tento krok preskočiť.
Vytvorte ľubovoľné usporiadanie miestnosti. Tento výkres je potrebný, aby boli všetky údaje vždy na dosah ruky. Tiež vám nedá príležitosť zmiasť sa pri mnohých meraniach.
Merania sa musia vykonať niekoľkokrát. to dôležité pravidlo aby sa predišlo chybám vo výpočtoch. Tiež, ak používate, uistite sa, že lúč leží rovno na povrchu steny.
Nájdite celkovú plochu miestnosti. Vzorec pre celkovú plochu miestnosti je nájsť súčet všetkých plôch jednotlivých častí miestnosti. Tie. S celkom = S steny + S podlahy + S stropy