Lecke "tétel a két párhuzamos egyenes és egy metsző által alkotott szögekről". Kör

1. § Inverz tétel

Ebben a leckében megtudjuk, mely tételeket nevezzük inverznek, példákat adunk inverz tételekre, tételeket fogalmazunk meg a két párhuzamos egyenes és egy metsző által alkotott szögekről, valamint megismerkedünk az ellentmondásos bizonyítás módszerével.

Amikor különféle geometriai formák definíciókat szoktak megfogalmazni, tételeket bizonyítani, és a tételekből származó következményeket figyelembe venni. Minden tételnek két része van: egy feltétel és egy következtetés.

A tétel feltétele az, ami adott, a következtetés pedig az, amit bizonyítani kell. Nagyon gyakran egy tétel feltétele a "ha" szóval kezdődik, a következtetés pedig az "akkor" szóval kezdődik. Például az egyenlő szárú háromszög tulajdonságaira vonatkozó tétel a következőképpen fogalmazható meg: "Ha a háromszög egyenlő szárú, akkor az alapjában lévő szögek egyenlőek." A „Ha a háromszög egyenlő szárú” tétel első része a tétel feltétele, az „akkor az alapjában lévő szögek egyenlőek” tétel második része a tétel következtetése.

Azt a tételt, ahol a feltétel és a következtetés felcserélődik, inverz tételnek nevezzük. Az egyenlő szárú háromszög tulajdonságaira vonatkozó tétel fordított tétele így hangzik: "Ha egy háromszög két szöge egyenlő, akkor egy ilyen háromszög egyenlő szárú."

Írjuk le mindegyiket röviden:

Látjuk, hogy a feltétel és a következtetés felcserélődött.

Ezen állítások mindegyike igaz.

Felmerül a kérdés: mindig igaz-e az állítás, ahol a feltétel helyenként változik a következtetéssel?

Vegyünk egy példát.

Ha a szögek függőlegesek, akkor egyenlők. Ez igaz állítás, van bizonyítéka. Megfogalmazzuk a fordított állítást: ha a szögek egyenlőek, akkor függőlegesek. Ez az állítás téves, ezt egy cáfoló példával is könnyű ellenőrizni: vegyünk két derékszöget (lásd az ábrát), ezek egyenlőek, de nem függőlegesek.

Így a már bizonyított állításokkal (tételekkel) kapcsolatos inverz állítások (tételek) mindig bizonyítást igényelnek.

2. § Tételek két párhuzamos egyenes és egy metsző által alkotott szögekről

Emlékezzünk most vissza a bizonyított állításokra - két egyenes párhuzamosságának jeleit kifejező tételekre, fogalmazzuk meg a tételeket velük fordítottan, és bizonyítással győződjünk meg érvényességükről.

A párhuzamos egyenesek első jele.

Ha két egyenes keresztirányú metszéspontjában a fekvőszögek egyenlőek, akkor az egyenesek párhuzamosak.

Inverz tétel:

Ha két párhuzamos egyenest metsz egy metszőponttal, akkor a keresztező szögek egyenlőek.

Bizonyítsuk be ezt az állítást.

Adott: az a és b párhuzamos egyeneseket az AB szekáns metszi.

Bizonyítsuk be, hogy az 1 és 2 keresztirányú szögek egyenlőek. (lásd a képet.)

Bizonyíték:

Tegyük fel, hogy az 1 és 2 szögek nem egyenlőek.

Tegyük félre az AB gerendából a 2 szöggel egyenlő CAB szöget úgy, hogy a CAB szög és a 2 szög keresztben fekvő szögek a CA és b egyenesek AB metszéspontjában.

Felépítés szerint ezek a keresztirányú szögek egyenlőek, tehát a CA egyenes párhuzamos a b egyenessel.

Azt kaptuk, hogy két a és CA egyenes áthalad az A ponton, és párhuzamosak a b egyenessel. Ez ellentmond a párhuzamos egyenesek axiómájának: egy olyan ponton keresztül, amely nem egy adott egyenesen fekszik, csak egy egyenes van párhuzamosan az adott egyenessel.

Tehát a feltevésünk téves, az 1 és 2 szögek egyenlőek.

A tétel bizonyítást nyert.

3. § Az ellentmondásos bizonyítás módja

Ennek a tételnek a bizonyításakor egy érvelési módszert alkalmaztunk, amelyet ellentmondásos bizonyítási módszernek nevezünk. A bizonyítás megkezdésekor a bizonyításhoz szükségesnek az ellenkezőjét feltételeztük. Ezt a feltevést igaznak tekintve okoskodással ellentmondásba jutottunk a párhuzamos egyenesek axiómájával. Ebből arra a következtetésre jutottunk, hogy a feltevésünk nem igaz, de a tétel állítása igaz. Ezt a bizonyítási módszert gyakran használják a matematikában.

Tekintsük a bizonyított tétel következményét.

Következmény:

Ha egy egyenes merőleges két párhuzamos egyenes közül az egyikre, akkor merőleges a másikra is.

Legyen az a egyenes párhuzamos a b egyenessel, a c egyenes merőleges az a egyenesre, azaz. szög 1 = 90°.

A c egyenes metszi az a egyenest, így a c egyenes metszi a b egyenest is.

Ha a párhuzamos vonalakat metszi egy metsző, a fekvőszögek egyenlőek, ami azt jelenti, hogy a szög 1 = szög 2.

Mivel az 1 szög = 90°, akkor a 2. szög = 90°, így a c egyenes merőleges a b egyenesre.

A következmény bizonyított.

Az inverz tétel az egyenesek párhuzamosságának második jelére:

Ha két párhuzamos egyenest metsz egy metszővel, akkor a megfelelő szögek egyenlőek.

Az inverz tétel az egyenesek párhuzamosságának harmadik jelére:

Ha két párhuzamos egyenest metsz egy metszővel, akkor az egyoldali szögek összege 180º.

Tehát ebben a leckében megtudtuk, mely tételeket nevezzük inverznek, két párhuzamos egyenes és egy metsző által alkotott szögekre vonatkozó tételeket fogalmaztunk meg és tekintünk, valamint megismerkedtünk az ellentmondásos bizonyítás módszerével is.

A felhasznált irodalom listája:

1. Geometria. 7-9. évfolyam: tankönyv. általános műveltségre szervezetek / L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev és mások - M .: Oktatás, 2013. - 383 p.: ill.
2. Gavrilova N.F. Pourochnye fejlesztés a geometriában 7. évfolyam. - M.: "VAKO", 2004, 288s. - (Az iskolai tanár segítségére).
3. Belitskaya O.V. Geometria. 7. osztály. 1. rész. Tesztek. - Szaratov: Líceum, 2014. - 64 p.

A két párhuzamos egyenes és szekánsa közötti szögek tételeiről szóló videóóra olyan anyagot tartalmaz, amely bemutatja a tétel felépítésének jellemzőit, példákat inverz tételek kialakítására és bizonyítására, valamint az ezekből adódó következményeket. Ennek a videóórának a feladata a tétel fogalmának elmélyítése, komponensekre bontása, figyelembe véve az inverz tétel fogalmát, kialakítani a tétel felépítésének képességét, ennek az inverzét, a tétel következményeit, a alakítsák ki az állítások bizonyításának képességét.

A videóóra formája lehetővé teszi az ékezetek sikeres elhelyezését az anyag bemutatásakor, megkönnyítve az anyag megértését és memorizálását. Ennek a videós leckének a témája összetett és fontos, ezért vizuális segédeszköz használata nem csak tanácsos, hanem kívánatos is. Lehetőséget ad az oktatás minőségének javítására. Az animált effektusok javítják a teljesítményt oktatási anyag, közelebb hozza a tanulási folyamatot a hagyományoshoz, a videó használata pedig felszabadítja a tanárt az egyéni munka elmélyítésére.

Az oktatóvideó a témája bejelentésével kezdődik. Az óra elején megfontoljuk a tétel komponensekre bontását, hogy jobban megértsük felépítését és lehetőségeit további kutatás. A képernyőn egy diagram látható, amely bemutatja, hogy a tétel ezek feltételeiből és következtetéseiből áll. A feltétel és a következtetés fogalmát a párhuzamos egyenesek jelének példája írja le, megjegyezve, hogy az állítás egy része a tétel feltétele, a következtetés pedig a következtetés.

A tétel felépítéséről szerzett ismereteit elmélyítve a hallgatók megkapják az adott tétellel fordított tétel fogalmát. Csere eredményeként jön létre - a feltételből lesz a következtetés, a következtetésből - a feltétel. Annak érdekében, hogy a tanulók képesek legyenek az adatokkal inverz tételeket felépíteni, és képesek legyenek ezek bizonyítására, olyan tételeket kell figyelembe venni, amelyek fordítottak a 25. leckében a párhuzamos egyenesek jeleiről tárgyaltakkal.

A képernyőn a tétel az első tétellel fordítottan jelenik meg, amely az egyenesekkel párhuzamos jellemzőt írja le. A feltétel és a következtetés felcserélésével azt az állítást kapjuk, hogy ha bármely párhuzamos egyenest metsz egy metszővel, akkor az egyidejűleg képzett fekvőszögek egyenlőek lesznek. A bizonyítást az ábra mutatja, amelyen az a, b egyenesek, valamint az ezeken az M és N pontokban áthaladó szekáns látható. A képen ∠1 és ∠2 keresztezési szögek vannak jelölve. Bizonyítani kell egyenlőségüket. Először is, a bizonyítás során feltételezzük, hogy ezek a szögek nem egyenlőek. Ehhez egy bizonyos P egyenest húzunk az M ponton keresztül. Egy `∠PMN szöget alkotunk, amely keresztben fekszik a ∠2 szöggel MN-hez képest. A `∠PMN és ∠2 szögek szerkezetileg egyenlőek, ezért MP║b. Következtetés - két egyenes vonalat húzunk a ponton, párhuzamosan b-vel. Ez azonban lehetetlen, mert nem felel meg a párhuzamos egyenesek axiómájának. A feltevés tévesnek bizonyul, ami az eredeti állítás érvényességét bizonyítja. A tétel bizonyítást nyert.

Ezután felhívjuk a hallgatók figyelmét az érvelés során alkalmazott bizonyítási módszerre. Azt a bizonyítást, amelyben a bizonyított állítást hamisnak tételezzük fel, a geometriában ellentmondásos bizonyításnak nevezzük. Ezt a módszert gyakran használják különféle geometriai állítások bizonyítására. Ebben az esetben a keresztirányú szögek egyenlőtlenségét feltételezve az érvelés során olyan ellentmondás tárult fel, amely tagadja egy ilyen ellentmondás érvényességét.

Emlékeztetjük a tanulókat, hogy hasonló módszert használtak korábban a bizonyításokban. Példa erre a 12. leckében annak a tételnek a bizonyítása, hogy két olyan egyenes, amely egy harmadikra ​​merőleges, nem metszi egymást, valamint a párhuzamos egyenesek axiómájának 28. leckében a következmények bizonyítása.

Egy másik bizonyítható következmény szerint egy egyenes merőleges mindkét párhuzamos egyenesre, ha merőleges az egyikre. Az ábrán az a és b egyenes, valamint egy rájuk merőleges c egyenes látható. A c egyenes a-ra való merőlegessége azt jelenti, hogy a vele bezárt szög 90°. A és b párhuzamossága, a c egyenessel való metszéspontja azt jelenti, hogy c egyenes metszi b-t. A b egyenessel alkotott ∠2 szög a ∠1 szöget keresztezi. Mivel az egyenesek párhuzamosak, a megadott szögek egyenlőek. Ennek megfelelően a ∠2 szög értéke is 90° lesz. Ez azt jelenti, hogy a c egyenes merőleges a b egyenesre. A figyelembe vett tétel bizonyítva van.

Ezt követően igazoljuk a tételt a második feltétel inverzével párhuzamos egyenesekre. Az inverz tétel kimondja, hogy ha két egyenes párhuzamos, akkor a megfelelő szögek egyenlőek lesznek. A bizonyítás egy c szekáns, egymással párhuzamos a és b egyenes felépítésével kezdődik. Az így kialakított sarkokat az ábrán jelöljük. Létezik egy pár megfelelő szög, ∠1 és ∠2 néven, és a ∠3 szög is meg van jelölve, amely a ∠1 szöget keresztezi. A és b párhuzamossága a ∠3=∠1 egyenlőséget jelenti keresztben fekvőként. Tekintettel arra, hogy ∠3, ∠2 függőlegesek, szintén egyenlők. Az ilyen egyenlőségek következménye az az állítás, hogy ∠1=∠2. A figyelembe vett tétel bizonyítva van.

Utoljára bizonyított ezt a leckét a tétel a párhuzamos egyenesek utolsó kritériumának inverze. Szövege szerint párhuzamos vonalakon áthaladó szekáns esetén az ilyenkor kialakult egyoldalú szögek összege 180°. A bizonyítás menetét az ábra mutatja, amelyen az a és b egyenesek metszenek c szekánst. Be kell bizonyítani, hogy az egyoldali szögek összege 180° lesz, azaz ∠4+∠1 = 180°. Az a és b egyenesek párhuzamossága a megfelelő ∠1 és ∠2 szögek egyenlőségét jelenti. A ∠4, ∠2 szögek szomszédossága azt jelenti, hogy 180°-ot adnak össze. Ebben az esetben a szögek ∠1= ∠2, ami azt jelenti, hogy ∠1 összesen a ∠4 szöggel 180° lesz. A tétel bizonyítást nyert.

A fordított tételek kialakításának és bizonyításának mélyebb megértéséhez külön meg kell jegyezni, hogy ha egy tétel bizonyított és igaz, ez nem jelenti azt, hogy a fordított tétel is igaz lesz. Ennek megértéséhez egy egyszerű példát mutatunk be. Van egy tétel, hogy minden függőleges szög egyenlő. Az inverz tétel úgy hangzik, mintha minden egyenlő szög függőleges, ami nem igaz. Végül is építhet két egyenlő szöget, amelyek nem függőlegesek. Ez látható az ábrán.

A "Tételek két párhuzamos egyenes és egy metsző által alkotott szögekről" című videóóra egy vizuális segédeszköz, amelyet a tanár használhat a geometria órán, valamint sikeresen alkothat képet a fordított tételekről és következményekről, valamint a bizonyításukat az önálló tanulás anyag, legyen hasznos a távoktatásban.

Tétel: Ha két párhuzamos egyenest metsz egy metszővel, akkor a keresztirányú fekvőszögek egyenlőek. és A B \u003d 2 s

Bizonyítás: A B CD M N 1 2 A B CD M N 1 2 K O Legyenek az AB és CD egyenesek párhuzamosak, MN pedig a metszőjük. Bizonyítsuk be, hogy az 1 és 2 keresztirányú szögek egyenlőek egymással. Tegyük fel, hogy 1 és 2 nem egyenlő. Húzzunk egy KF egyenest az O ponton keresztül. Ekkor az O pontban megszerkeszthetünk egy keresztben fekvő KON-t, amely egyenlő 2-vel. De ha KON = 2, akkor a KF egyenes párhuzamos lesz CD-vel. Azt kaptuk, hogy két AB és KF egyenest húzunk át az O ponton, és párhuzamosak a CD egyenessel. De ez nem lehet. Ellentmondáshoz jutottunk, mert feltételeztük, hogy 1 és 2 nem egyenlő. Ezért a feltevésünk téves, és 1-nek egyenlőnek kell lennie 2-vel, azaz a keresztirányú fekvőszögek egyenlőek. F

Tétel: Ha két párhuzamos egyenest egy metsző metsz, akkor a megfelelő szögek egyenlőek. és A B-ben = 2

Tétel: Ha két párhuzamos egyenest metsz egy metszővel, akkor az egyoldalú szögek összege 180°. a az A-ban B = 180°

Bizonyítás: Hagyja, hogy az a és b párhuzamos egyeneseket az AB szekáns metszi, akkor a megfelelő 1 és 2 egyenlő lesz, 2 és 3 szomszédos, ezért = 180 °. Az 1 = 2 és = 180° egyenlőségből az következik, hogy = 180°. A tétel bizonyítást nyert. 2 a c A B 3 1

Megoldás: 1. Legyen X 2, akkor 1 = (X + 70°), mert az 1 és 2 szögek összege = 180°, amiatt, hogy szomszédosak. Készítsük el az egyenletet: X+ (X+70°) = 180° 2X = 110° X = 55° (2. szög) 2. Keresse meg 1. 55° + 70° = 125° 3. 1 = 3, mert függőlegesek. 3 = 5, mert átfekszenek. 125° 5 = 7, mert függőlegesek. 2 = 4, mert függőlegesek. 4 = 6, mert átfekszenek. 55° 6 = 8, mert függőlegesek. 1. feladat: A B Feltétel: keresse meg az összes szöget, amelyet két párhuzamos A és B metszéspontja alkot egy C metszésponttal, ha az egyik szög 70°-kal nagyobb, mint a másik.

Megoldás: 1. 1= 2, mert függőlegesek, tehát 2= 45° szomszédos 2-vel, tehát 3+ 2=180°, ebből következik, hogy 3= 180° - 45°= 135° =180°, mert egyoldalúak. 4 = 45°. Válasz: 4=45°; 3=135°. 3. feladat: A B 2 Feltétel: két párhuzamos A és B egyenest egy C metsző metszi. Keresse meg, mi lesz egyenlő 4-gyel és 3-mal, ha 1=45°

Tételek a kialakult szögekről

Geometria, III. fejezet, 7. évfolyam

L.S. Atanasyan tankönyvéhez

legmagasabb kategóriájú matematikatanár

MOU "Upshinsky általános általános iskola"

A Mari El Köztársaság Orsha kerülete

A tétel fordítottja

Tétel: NÁL NÉL egyenlő szárú háromszög az alapszögek egyenlőek .

Tétel: Ha a háromszög egyenlő szárú, akkor benne az alap szögei egyenlőek .

Tételfeltétel (adott): háromszög - egyenlő szárú

A tétel következtetése (Bizonyítás): az alapszögek egyenlőek

Tételfeltétel : az alapszögek egyenlőek

A tétel következtetése : háromszög - egyenlő szárú

ÚJ NYILATKOZAT

Fordított

tétel

Ha egy háromszögnek két szöge van

egyenlők, akkor egyenlő szárú .

A tétel fordítottja

Mindig ennek az ellenkezője igaz?

Tétel

Inverz tétel

Ha két szög összege 180 0 , akkor a szögek szomszédosak

Szomszédos szögek összege

egyenlő 180 0 .

Ha a szögek egyenlőek,

akkor függőlegesek

A függőleges szögek egyenlőek

Ha egy háromszögben az egyik oldalára húzott felező egyben az erre az oldalra húzott medián, akkor ez a háromszög egyenlő szárú

Egy egyenlő szárú háromszögben az alaphoz húzott felező a medián és a magasság

Ha egy háromszögben az egyik oldalára húzott felező egyenlő az oldalra húzott magassággal, akkor ez a háromszög egyenlő szárú

E Ha a háromszög egyenlő szárú, akkor az alaphoz húzott felező , a medián és a magasság is

Két párhuzamos egyenes és egy keresztirányú szögek

Mindig ennek az ellenkezője igaz?

Tétel

Inverz tétel

Ha egy két párhuzamos vonalak egy szekáns keresztezte, akkor keresztirányú szögek egyenlőek

keresztbe-kasul sarkok egyenlő akkor vonalak párhuzamosak .

De ez ellentmond axióma párhuzamos , tehát a feltevésünk téves.

MÓDSZERBŐL

csúnya

Ellentétes feltevést teszünk annak, amit bizonyítanunk kell

Az érveléssel ellentmondáshoz jutunk a jól ismert axiómával vagy tétellel

Arra a következtetésre jutunk, hogy feltevésünk téves, és a tétel állítása helyes

De ez ellentmond axióma párhuzamos

Ezért a feltevésünk téves.

Ha két párhuzamos egyenest metsz egy metszővel, akkor a metszőszögek egyenlőek

KÖVETKEZMÉNY A TÉTELBŐL

Ha egy egyenes merőleges két párhuzamos egyenes közül az egyikre, akkor merőleges a másikra is.

Kialakultak a sarkok

két párhuzamos egyenes és egy szekáns

Tétel

Inverz tétel

Ha egy szekáns két egyenesének metszéspontjában a megfelelő szögek egyenlőek , akkor vonalak párhuzamosak .

Ha egy két párhuzamos vonalak egy szekáns keresztezte, akkor a megfelelő szögek egyenlőek

Kialakultak a sarkok

két párhuzamos egyenes és egy szekáns

Tétel

Inverz tétel

Ha egy szekáns két egyenesének metszéspontjában 0 , akkor vonalak párhuzamosak .

Ha egy két párhuzamos vonalak egy szekáns keresztezte, akkor az egyoldali szögek összege 180 0

Az a és b egyenesek párhuzamosak.

Keresse meg a sarkot 2.

Az a és b egyenesek párhuzamosak.

Ismeretlen sarkok keresése

Az a és b egyenesek párhuzamosak.

Ismeretlen sarkok keresése

Ismeretlen sarkok keresése

Ismeretlen sarkok keresése

Ismeretlen sarkok keresése

Az a és b egyenesek párhuzamosak. Keressen ismeretlen szögeket, ha két átlós szög összege 100 0 .

Az a és b egyenesek párhuzamosak. Keressen ismeretlen szögeket, ha két megfelelő szög összege 260 0 .

Az a és b egyenesek párhuzamosak. Keressen ismeretlen szögeket, ha két egyoldalú szög különbsége 50 0 .