Hogyan lehet megtalálni a geometriai alakzatok területét. Képlet: a helyiség területe és méretei

Ha saját maga tervezi a javításokat, akkor becslést kell készítenie az építő- és befejező anyagokra. Ehhez ki kell számítania annak a helyiségnek a területét, amelyben javítást tervez. Ebben a fő asszisztens egy speciálisan kialakított formula. A szoba területe, nevezetesen annak kiszámítása lehetővé teszi, hogy sok pénzt takarítson meg építőanyagokés a felszabaduló pénzügyi forrásokat megfelelőbb irányba terelje.

A szoba geometriai formája

A helyiség területének kiszámításának képlete közvetlenül függ a helyiség alakjától. A háztartási építményekre a legjellemzőbbek a téglalap és négyzet alakú helyiségek. Az átépítés során azonban a szabványos forma torzulhat. A szobák a következők:

Négyszögletes.
Négyzet.
Komplex konfiguráció (például kerek).
Fülkékkel és párkányokkal.

Mindegyiknek megvannak a saját számítási jellemzői, de általában ugyanazt a képletet használják. Bármilyen alakú és méretű helyiség területe, így vagy úgy, kiszámítható.

Négyszögletes vagy négyzet alakú szoba

Egy téglalap vagy négyzet alakú szoba területének kiszámításához ne feledje iskolai órákat geometria. Ezért nem lehet nehéz meghatározni a szoba területét. A számítási képlet így néz ki:

S szoba=A*B, hol

A a szoba hossza.

B a szoba szélessége.

Ezen értékek méréséhez rendszeres mérőszalagra lesz szüksége. A legpontosabb számítások érdekében érdemes a falat mindkét oldalon megmérni. Ha az értékek nem konvergálnak, akkor a kapott adatok átlagát vegyük alapul. De ne feledje, hogy minden számításnak megvannak a maga hibái, ezért az anyagot árréssel kell megvásárolni.

Komplex konfigurációjú szoba

Ha az Ön szobája nem tartozik a "tipikus" definíció alá, pl. kör, háromszög, sokszög alakú, akkor előfordulhat, hogy más képletre lesz szüksége a számításokhoz. Megpróbálhatja feltételesen felosztani az ilyen jellemzőkkel rendelkező szoba területét téglalap alakú elemekre, és számításokat végezhet a szokásos módon. Ha ez nem lehetséges az Ön számára, használja a következő módszereket:

A képlet a kör területének meghatározásához:

S szoba \u003d π * R 2, ahol

R a szoba sugara.

A háromszög területének meghatározásának képlete a következő:

S szoba = √ (P (P - A) x (P - B) x (P - C)), ahol

P a háromszög fél kerülete.

A, B, C az oldalainak hossza.

Ezért P \u003d A + B + C / 2

Ha a számítás során nehézségei vannak, akkor jobb, ha nem kínozza magát, és szakemberekhez fordul.

Szobarész párkányokkal és fülkékkel

A falakat gyakran díszítő elemekkel díszítik különféle fülkék vagy párkányok formájában. Jelenlétük annak is köszönhető, hogy el kell rejteni a helyiség néhány esztétikus elemét. A párkányok vagy fülkék jelenléte a falon azt jelenti, hogy a számítást szakaszosan kell elvégezni. Azok. először megkeresik a fal lapos részének területét, majd hozzáadják a fülke vagy párkány területét.

A fal területét a következő képlet határozza meg:

S falak \u003d P x C, ahol

P - kerület

C - magasság

Figyelembe kell vennie az ablakok és ajtók jelenlétét is. Területüket le kell vonni a kapott értékből.

Szoba többszintes mennyezettel

A többszintű mennyezet nem bonyolítja annyira a számításokat, mint első pillantásra tűnik. Ha egyszerű kialakítású, akkor számításokat lehet végezni azon az elven, hogy meg kell találni a falak területét, amelyet a fülkék és a párkányok bonyolítanak.

Ha azonban a mennyezet kialakítása íves és hullámos elemekkel rendelkezik, akkor célszerűbb a területet az alapterület alapján meghatározni. Ehhez szüksége van:

Keresse meg a falak összes egyenes szakaszának méreteit.
Keresse meg az alapterületet.
Szorozzuk meg a függőleges szakaszok hosszát és magasságát.
A kapott értéket összegezze az alapterülettel.

Lépésről lépésre a végösszeg meghatározásához

alapterület

Szabadítsa meg a szobát a felesleges dolgoktól. A mérés során szabad hozzáférésre lesz szüksége a szobája minden területéhez, ezért meg kell szabadulnia mindentől, ami ezt zavarhatja.
Vizuálisan osztja fel a helyiséget szabályos és szabálytalan alakú részekre. Ha szobája szigorúan négyzet vagy téglalap alakú, akkor ez a lépés kihagyható.
Készítsen tetszőleges elrendezést a helyiségben. Erre a rajzra azért van szükség, hogy minden adat mindig kéznél legyen. Ezenkívül nem ad lehetőséget arra, hogy számos mérés során összezavarodjon.
A méréseket többször kell elvégezni. azt fontos szabály hogy elkerüljük a számítási hibákat. Ha használja, győződjön meg arról, hogy a gerenda simán fekszik a fal felületén.
Keresse meg a szoba teljes területét. A helyiség teljes területének képlete az, hogy meg kell találni a helyiség egyes részeinek összes területének összegét. Azok. S összesen = S fal + S padló + S mennyezet

Az interneten több mint 10 képlet található egy háromszög területének kiszámításához, amelyek közül sokat a háromszög ismert oldalaival és szögeivel kapcsolatos problémák esetén használnak. Van azonban néhány nehéz példák ahol a hozzárendelés feltétele szerint a háromszögnek csak az egyik oldala és szögei, vagy a körülírt vagy beírt kör sugara és még egy jellemzője ismert. Ilyen esetekben nem lehet egyszerű képletet alkalmazni.

Az alábbi képletek megoldják a problémák 95 százalékát, amelyekben meg kell találni a háromszög területét.
Térjünk át a közös terület képletek figyelembevételére.
Tekintsük az alábbi ábrán látható háromszöget

Az ábrán és a továbbiakban a képletekben minden jellemzőjének klasszikus elnevezése bemutatásra kerül
a,b,c a háromszög oldalai,
R a körülírt kör sugara,
r a beírt kör sugara,
h[b],h[a],h[c] - az a,b,c oldalak szerint rajzolt magasságok.
alfa, béta, hamma - sarkok a csúcsok közelében.

A háromszög területének alapképletei

1. A terület egyenlő a háromszög oldala és az erre az oldalra süllyesztett magasság szorzatának felével. A képlet nyelvében ez a meghatározás így írható fel

Így, ha ismert az oldal és a magasság, akkor minden tanuló megtalálja a területet.
Egyébként ebből a képletből levezethető egy hasznos összefüggés a magasságok között

2. Ha figyelembe vesszük, hogy a háromszög szomszédos oldalának magasságát a függés fejezi ki

Ezután a terület első képletéből kövesse a második azonos típusát

Nézze meg figyelmesen a képleteket – könnyen megjegyezhetőek, mert a műnek két oldala van, és egy szög van közöttük. Ha helyesen jelöljük ki a háromszög oldalait és szögeit (mint a fenti ábrán), akkor kettőt kapunk oldalak a,b a szög pedig a harmadikhoz kapcsolódik C (hamma).

3. A háromszög szögeire az összefüggés

A függőség lehetővé teszi, hogy a számításokban a következő képleteket alkalmazza egy háromszög területére

Példák erre a függőségre rendkívül ritkák, de emlékeznie kell arra, hogy létezik ilyen képlet.

4. Ha ismert az oldal és a két szomszédos szög, akkor a területet a képlet határozza meg

5. Az oldal és a szomszédos szögek kotangense szerinti terület képlete a következő

Az indexek átrendezésével függőséget kaphat a többi oldal számára.

6. Az alábbi területképletet olyan feladatokban használjuk, amikor egy háromszög csúcsai a síkon koordinátákkal vannak megadva. Ebben az esetben a terület egyenlő a modulo determináns felével.

7. Gém-képlet a háromszög ismert oldalaira vonatkozó példákban használatos.
Először keresse meg a háromszög fél kerületét

Ezután határozza meg a területet a képlet alapján

vagy

Gyakran használják a számológép-programok kódjában.

8. Ha a háromszög összes magassága ismert, akkor a területet a képlet határozza meg

Számológéppel nehéz kiszámolni, viszont a MathCad, Mathematica, Maple csomagokban a terület "egy kettő".

9. A következő képletek a beírt és körülírt körök ismert sugarait használják.

Különösen, ha egy háromszög sugara és oldalai, vagy kerülete ismertek, akkor a területet a képlet szerint számítják ki.

10. Azokban a példákban, ahol a körülírt kör oldalai és sugara vagy átmérője adott, a területet a képlet határozza meg

11. A következő képlet egy háromszög területét határozza meg a háromszög oldala és szögei szerint.

És végül - speciális esetek:
Négyzet derékszögű háromszög az a és b lábakkal egyenlő a szorzatuk felével

Egy egyenlő oldalú (szabályos) háromszög területének képlete=

\u003d az oldal négyzete és a három gyöke szorzatának egynegyede.

A Föld mérésének ismerete az ókorban jelent meg, és fokozatosan formálódott a geometria tudományában. A görög nyelvből ezt a szót földmérésnek fordítják.

A Föld sík területének hosszának és szélességének mértéke a terület. A matematikában általában jelölik latin betű S (az angol "square" - "terület", "négyzet") vagy a görög σ (szigma) betű. Az S egy síkon lévő ábra területét vagy egy test felületét jelöli, σ pedig egy huzal keresztmetszete a fizikában. Ezek a fő szimbólumok, bár lehetnek mások is, például az anyagok szilárdsága terén, A a profil keresztmetszete.

Számítási képletek

Az egyszerű ábrák területeinek ismeretében megtalálhatja az összetettebbek paramétereit.. Az ókori matematikusok képleteket dolgoztak ki, amelyekkel könnyen kiszámíthatók. Ilyen alakok a háromszög, a négyszög, a sokszög, a kör.

Egy összetett lapos figura területének meghatározásához számos egyszerű formára kell bontani, például háromszögekre, trapézokra vagy téglalapokra. Ezután a matematikai módszerek képletet vezetnek le ennek az ábrának a területén. Hasonló módszer nemcsak a geometriában, hanem a matematikai elemzésben is használják a görbék által határolt ábrák területének kiszámítására.

Háromszög

Kezdjük a legegyszerűbb formával - egy háromszöggel. Téglalap alakúak, egyenlő szárúak és egyenlő oldalúak. Vegyünk bármelyiket ABC háromszög AB=a, BC=b és AC=c (∆ ABC) oldalakkal. Területének megtalálásához idézzük fel az iskolai matematika tantárgyból ismert szinusz- és koszinusztételeket. Minden számítástól eltekintve a következő képletekhez jutunk:

S=√ - mindenki által ismert Heron-képlet, ahol p=(a+b+c)/2 - egy háromszög fél kerülete;
S=a h/2, ahol h az a oldalra süllyesztett magasság;
S=a b (sin γ)/2, ahol γ az a és b oldalak közötti szög;
S=a b/2, ha ∆ ABC négyszögletes (itt a és b lábak);
S=b² (sin (2 β))/2, ha ∆ ABC egyenlő szárú (itt b az egyik „csípő”, β a háromszög „csípői” közötti szög);
S=a² √¾ ha ∆ ABC egyenlő oldalú (itt a a háromszög oldala).

Négyszög

Legyen egy ABCD négyszög AB=a, BC=b, CD=c, AD=d. Egy tetszőleges 4-szög S területének megkereséséhez fel kell osztani egy átlóval két olyan háromszögre, amelyek S1 és S2 területei általában nem egyenlőek.

Ezután a képletek segítségével számolja ki és adja össze, azaz S=S1+S2. Ha azonban a quad egy bizonyos osztályba tartozik, akkor a területét a korábban ismert képletekkel találhatja meg:

S=(a+c) h/2=e h, ha a négyes trapéz (itt a és c bázis, e középső vonal trapéz, h - a trapéz egyik alapjához süllyesztett magasság;
S=a h=a b sin φ=d1 d2 (sin φ)/2, ha ABCD paralelogramma (itt φ az a és b oldal közötti szög, h az a oldalra süllyesztett magasság, d1 és d2 átlók);
S=a b=d²/2, ha ABCD egy téglalap (d egy átló);
S=a² sin φ=P² (sin φ)/16=d1 d2/2, ha ABCD rombusz (a a rombusz oldala, φ az egyik sarka, P a kerülete);
S=a²=P²/16=d²/2, ha az ABCD négyzet.

Poligon

Az n-szög területének meghatározásához a matematikusok a legegyszerűbb egyenlő háromszögekre bontják, megkeresik mindegyik területét, majd összeadják őket. De ha a sokszög a szabályosok osztályába tartozik, akkor a képletet használják:

S \u003d a n h / 2 \u003d a² n / \u003d P² /, ahol n a sokszög csúcsainak (vagy oldalainak) száma, a az n-szög oldala, P a kerülete, h az apotéma , azaz a sokszög középpontjától annak egyik oldaláig 90°-os szögben húzott szakasz.

Egy kör

A kör egy tökéletes sokszög végtelen számú oldallal.. Ki kell számolnunk a jobb oldali kifejezés határát a sokszög terület képletében, ahol az n oldalak száma a végtelen felé tart. Ebben az esetben a sokszög kerülete egy R sugarú kör hosszává változik, amely a körünk határa lesz, és egyenlő lesz P=2 π R értékkel. Helyettesítsük be ezt a kifejezést a fenti képletbe. Kapunk:

S=(π² R² cos (180°/n))/(n sin (180°/n)).

Határozzuk meg ennek a kifejezésnek az n→∞ határértékét. Ehhez figyelembe vesszük, hogy lim (cos (180°/n)) n→∞ esetén cos 0°=1 (lim a határ előjele), és lim = lim n→∞ esetén egyenlő 1/π (a fokmértéket radiánra fordítottuk, a π rad \u003d 180 ° arányt használva, és alkalmaztuk az elsőt csodálatos határ lim (sin x)/x=1 mint x→∞). A kapott értékeket S utolsó kifejezésébe behelyettesítve a jól ismert képlethez jutunk:

S=π² R² 1 (1/π)=π R².

Egységek

Rendszeres és nem rendszerszintű mértékegységeket alkalmazunk. A rendszeregységekre SI (System International) néven hivatkozunk. Ez egy négyzetméter (négyzetméter, m²) és az abból származó mértékegységek: mm², cm², km².

Négyzetmilliméterben (mm²) mérik például a vezetékek keresztmetszeti területét az elektrotechnikában, négyzetcentiméterben (cm²) - a gerenda keresztmetszetét a szerkezeti mechanikában, négyzetméterben (m²) ) - egy lakás vagy ház, négyzetkilométerben (km²) - egy terület a földrajzban .

Néha azonban nem rendszerszintű mértékegységeket is használnak, mint például: szövés, ar (a), hektár (ha) és acre (ac). A következő arányokat adjuk meg:

1 szövés \u003d 1 a \u003d 100 m² \u003d 0,01 ha;
1 ha = 100 a = 100 hektár = 10000 m² = 0,01 km² = 2,471 as;
1 ac = 4046,856 m² = 40,47 a = 40,47 hektár = 0,405 ha.

Geometriai terület- egy geometriai alakzat numerikus jellemzője, amely ennek az alaknak a méretét mutatja (a felület zárt körvonala által határolt része). A terület nagyságát a benne lévő négyzetegységek száma fejezi ki.

Háromszög terület képletek

Háromszög terület képlete az oldalra és a magasságra
Egy háromszög területe egyenlő a háromszög oldalának hosszának és az erre az oldalra húzott magasság hosszának a szorzatával
A háromszög területének képlete három oldallal és a körülírt kör sugarával
A képlet egy háromszög területének három oldalával és egy beírt kör sugarával
Egy háromszög területe egyenlő a háromszög fél kerületének és a beírt kör sugarának szorzatával.

Négyzetterület képletek

A négyzet területének képlete egy oldal hosszának függvényében
négyzet alakú terület egyenlő az oldalhosszának négyzetével.
A négyzet területének képlete az átló hosszának függvényében
négyzet alakú terület egyenlő az átlója hosszának négyzetének felével.
S= 1 2
2

Téglalap terület képlete

Téglalap terület

A paralelogramma területének képletei

Párhuzamos terület képlete az oldal hosszára és magasságára
Párhuzamos terület
A paralelogramma területének képlete adott két oldal és a köztük lévő szög
Párhuzamos terület egyenlő az oldalai hosszának a szorzatával a köztük lévő szög szinuszával.
a b sinα

A rombusz területének képletei

A rombusz terület képlete adott oldalhossz és magasság
Rombusz terület egyenlő az oldala hosszának és az erre az oldalra süllyesztett magasságának szorzatával.
A rombusz területének képlete az oldalhossz és a szög alapján
Rombusz terület egyenlő az oldala hosszának négyzetének és a rombusz oldalai közötti szög szinuszának szorzatával.
A rombusz területének képlete az átlóinak hosszából
Rombusz terület egyenlő az átlói hosszának a felével.

Trapézfelület képletek

Heron képlete a trapézhoz
ahol S a trapéz területe,
- a trapéz alapjainak hossza,
- a trapéz oldalainak hossza,

négyzetek geometriai formák- a méretüket jellemző számértékek kétdimenziós térben. Ez az érték rendszer- és nem rendszeregységekben mérhető. Tehát például egy rendszeren kívüli területegység száz, hektár. Ez az eset áll fenn, ha a mért felület egy földdarab. A terület rendszeregysége a hosszúság négyzete. Az SI rendszerben szokás úgy tekinteni, hogy a sík felület területegysége négyzetméter. A CGS-ben a területegységet négyzetcentiméterben fejezik ki.

A geometria és a területképletek elválaszthatatlanul összefüggenek. Ez az összefüggés abban a tényben rejlik, hogy a számítási területek lapos figurák alkalmazásuk alapján. Számos ábra esetében több lehetőség is származtatott, amelyek alapján kiszámítják a négyzetméretüket. A problémafelvetés adatai alapján meg tudjuk határozni a legegyszerűbb megoldási módot. Ez megkönnyíti a számítást és minimálisra csökkenti a számítási hibák valószínűségét. Ehhez vegye figyelembe az ábrák fő területét a geometriában.

A háromszög területének meghatározására szolgáló képletek többféleképpen is bemutathatók:

1) A háromszög területét az a alapból és a h magasságból kell kiszámítani. Az alap az ábra azon oldala, amelyen a magasság le van engedve. Ekkor a háromszög területe:

2) A derékszögű háromszög területét pontosan ugyanúgy számítjuk ki, ha a hipotenúzust tekintjük alapnak. Ha azonban a lábat vesszük alapul, akkor a derékszögű háromszög területe egyenlő lesz a felezett lábak szorzatával.

A háromszög területének kiszámítására szolgáló képletek nem érnek véget. Egy másik kifejezés tartalmazza az a,b oldalakat és az a és b közötti γ szög szinuszfüggvényét. A szinusz értéke a táblázatokban található. Számológép segítségével is megkereshető. Ekkor a háromszög területe:

Ennek az egyenlőségnek megfelelően arról is meggyőződhet, hogy a derékszögű háromszög területét a lábak hossza határozza meg. Mert a γ szög derékszög, tehát a derékszögű háromszög területét a szinuszfüggvénnyel való szorzás nélkül számítjuk ki.

3) Tekintsünk egy speciális esetet - egy szabályos háromszöget, amelyben az a oldal feltétel alapján ismert, vagy a hossza a megoldás során megtalálható. A geometriai feladatban szereplő ábráról többet nem tudunk. Akkor hogyan lehet megtalálni a területet ilyen feltételek mellett? Ebben az esetben a szabályos háromszög területének képletét alkalmazzák:

Téglalap

Hogyan lehet megtalálni a téglalap területét és használni a közös csúcsú oldalak méreteit? A számítás kifejezése a következő:

Ha az átlók hosszát szeretné használni egy téglalap területének kiszámításához, akkor szükség van a metszésükkor kialakuló szög szinuszfüggvényére. A téglalap területének képlete:

Négyzet

A négyzet területe az oldalhossz második hatványa:

A bizonyítás abból a definícióból következik, hogy a téglalapot négyzetnek nevezzük. A négyzetet alkotó minden oldal mérete azonos. Ezért egy ilyen téglalap területének kiszámítása az egyik szorzásra csökken, azaz az oldal második hatványára. És a négyzet területének kiszámításának képlete a kívánt formát veszi fel.

A négyzet területe más módon is megtalálható, például ha átlót használ:

Hogyan lehet kiszámítani egy olyan alak területét, amelyet egy sík kör által határolt része alkot? A terület kiszámításához a következő képleteket kell használni:

Paralelogramma

A paralelogramma esetében a képlet tartalmazza az oldal lineáris méreteit, a magasságot és a matematikai műveletet - szorzást. Ha a magasság ismeretlen, akkor hogyan lehet megtalálni a paralelogramma területét? Van egy másik módszer is a számításra. Egy bizonyos értékre van szükség, amelyet a szomszédos oldalak által alkotott szög trigonometrikus függvénye, valamint azok hossza veszi fel.

A paralelogramma területének képletei a következők:

Rombusz

Hogyan találjuk meg a rombusznak nevezett négyszög területét? A rombusz területét egyszerű matematikai műveletekkel határozzák meg átlókkal. A bizonyítás azon alapul, hogy a d1 és d2 átlós szakaszok derékszögben metszik egymást. A szinusztáblázat azt mutatja, hogy for derékszög ez a függvény egyenlő eggyel. Ezért a rombusz területét a következőképpen számítják ki:

A rombusz területe más módon is megtalálható. Ezt bizonyítani sem nehéz, tekintve, hogy oldalai azonos hosszúságúak. Ezután helyettesítse a szorzatukat egy hasonló kifejezéssel egy paralelogrammára. Hiszen ennek a konkrét alaknak egy speciális esete a rombusz. Itt γ- belső sarok rombusz. A rombusz területét a következőképpen határozzuk meg:

Trapéz

Hogyan lehet megtalálni a trapéz területét az alapokon (a és b), ha a hosszuk a feladatban van feltüntetve? Itt a h magassághossz ismert értéke nélkül nem lehet kiszámítani egy ilyen trapéz területét. Mert ez az érték tartalmazza a számításhoz szükséges kifejezést:

Ugyanígy számítható ki egy téglalap alakú trapéz négyzetmérete is. Ugyanakkor figyelembe veszik, hogy egy téglalap alakú trapézban a magasság és az oldal fogalma kombinálódik. Ezért téglalap alakú trapéz esetén a magasság helyett az oldal hosszát kell megadni.

Henger és paralelepipedon

Fontolja meg, mi szükséges a teljes henger felületének kiszámításához. Ennek az ábrának a területe egy körpár, amelyet alapoknak neveznek, és oldalfelület. A köröket alkotó körök sugara egyenlő r-rel. Egy henger területére a következő számítás történik:

Hogyan lehet megtalálni egy paralelepipedon területét, amely három pár arcból áll? Mérései összhangban vannak egy adott párral. Az egymással szemben lévő arcoknak ugyanazok a paraméterei. Először keresse meg az S(1), S(2), S(3) - egyenlőtlen lapok négyzetméreteit. Ezután a paralelepipedon felülete:

Gyűrű

Két közös középpontú kör gyűrűt alkot. A gyűrű területét is korlátozzák. Ebben az esetben mindkét számítási képlet figyelembe veszi az egyes körök méreteit. Az első, amely a gyűrű területét számítja ki, nagyobb R és kisebb r sugarakat tartalmaz. Gyakrabban külsőnek és belsőnek nevezik őket. A második kifejezésben a gyűrű területét a nagyobb D és a kisebb d átmérők segítségével számítjuk ki. Így a gyűrű területét az ismert sugarak szerint a következőképpen számítjuk ki:

A gyűrű területét az átmérők hosszának felhasználásával a következőképpen határozzuk meg:

Poligon

Hogyan lehet megtalálni egy olyan sokszög területét, amelynek alakja nem megfelelő? Általános képlet területre vonatkozóan nincsenek ilyen adatok. De ha például koordinátasíkon van ábrázolva, akkor lehet kockás papír, akkor ebben az esetben hogyan lehet megtalálni a felületet? Itt olyan módszert alkalmaznak, amely nem igényli az ábra hozzávetőleges mérését. Ezt teszik: ha olyan pontokat találnak, amelyek a cella sarkába esnek, vagy egész koordinátákkal rendelkeznek, akkor csak azokat veszik figyelembe. Ha ezután meg szeretné tudni, mi a terület, használja a Pick által bizonyított képletet. Össze kell adni a vonalláncon belül található pontok számát úgy, hogy a pontok fele rajta van, és ki kell vonni egyet, vagyis a következő módon számítjuk ki:

ahol C, D - a pontok száma a teljes vonalláncon belül és a teljes vonalláncon.