Vyriešte danú sústavu rovníc Cramerovou metódou. Cramerova metóda riešenia sústav lineárnych rovníc

Cramerova metóda alebo takzvané Cramerovo pravidlo je metóda hľadania neznámych veličín zo sústav rovníc. Dá sa použiť iba vtedy, ak je počet hľadaných hodnôt ekvivalentný číslu algebraické rovnice v systéme, to znamená, že hlavná matica vytvorená zo systému musí byť štvorcová a nesmie obsahovať nula riadkov, a tiež ak jej determinant nesmie byť nula.

Veta 1

Cramerova veta Ak hlavný determinant $D$ hlavnej matice zostavený na základe koeficientov rovníc nie je rovná nule, potom je systém rovníc konzistentný a má jedinečné riešenie. Riešenie takéhoto systému je vypočítané pomocou takzvaných Cramerových vzorcov na riešenie systémov lineárne rovnice: $x_i = \frac(D_i)(D)$

Čo je Cramerova metóda?

Podstata Cramerovej metódy je nasledovná:

Aby sme našli riešenie systému pomocou Cramerovej metódy, najprv vypočítame hlavný determinant matice $D$. Keď sa vypočítaný determinant hlavnej matice pri výpočte Cramerovou metódou rovná nule, potom systém nemá jediné riešenie alebo má nekonečný počet riešení. V tomto prípade sa na nájdenie všeobecnej alebo nejakej základnej odpovede pre systém odporúča použiť Gaussovu metódu.
Potom musíte nahradiť najvzdialenejší stĺpec hlavnej matice stĺpcom voľných výrazov a vypočítať determinant $D_1$.
Opakujte to isté pre všetky stĺpce, čím získate determinanty od $D_1$ do $D_n$, kde $n$ je číslo stĺpca úplne vpravo.
Po nájdení všetkých determinantov $D_1$...$D_n$ je možné neznáme premenné vypočítať pomocou vzorca $x_i = \frac(D_i)(D)$.

Techniky výpočtu determinantu matice

Na výpočet determinantu matice s rozmerom väčším ako 2 x 2 môžete použiť niekoľko metód:

Pravidlo trojuholníkov, alebo Sarrusovo pravidlo, pripomínajúce rovnaké pravidlo. Podstata trojuholníkovej metódy spočíva v tom, že pri výpočte determinantu sú súčin všetkých čísel spojených na obrázku červenou čiarou vpravo zapísaný znamienkom plus a všetky čísla spojené podobným spôsobom na obrázku vľavo. sa píšu so znamienkom mínus. Obe pravidlá sú vhodné pre matice veľkosti 3 x 3. V prípade Sarrusovho pravidla sa najskôr prepíše samotná matica a vedľa nej sa prepíše opäť jej prvý a druhý stĺpec. Cez maticu a tieto prídavné stĺpce sa ťahajú uhlopriečky, pričom členy matice ležiace na hlavnej uhlopriečke alebo rovnobežne s ňou sa píšu so znamienkom plus a prvky ležiace na vedľajšej uhlopriečke alebo rovnobežne s ňou sa píšu so znamienkom mínus.

Obrázok 1. Trojuholníkové pravidlo na výpočet determinantu pre Cramerovu metódu

Pomocou metódy známej ako Gaussova metóda sa táto metóda niekedy nazýva aj redukcia poradia determinantu. V tomto prípade sa matica transformuje a zredukuje na trojuholníkový tvar a potom sa vynásobia všetky čísla na hlavnej uhlopriečke. Malo by sa pamätať na to, že pri hľadaní determinantu týmto spôsobom nemôžete násobiť alebo deliť riadky alebo stĺpce číslami bez toho, aby ste ich nevybrali ako násobiteľ alebo deliteľ. V prípade hľadania determinantu je možné riadky a stĺpce navzájom iba odčítať a sčítať, pričom sa predtým odčítaný riadok vynásobil nenulovým faktorom. Vždy, keď zmeníte usporiadanie riadkov alebo stĺpcov matice, mali by ste pamätať na potrebu zmeniť konečné znamienko matice.
Pri riešení SLAE so 4 neznámymi pomocou Cramerovej metódy je najlepšie použiť Gaussovu metódu na hľadanie a nájdenie determinantov alebo určenie determinantu hľadaním neplnoletých osôb.

Riešenie sústav rovníc Cramerovou metódou

Aplikujme Cramerovu metódu na sústavu 2 rovníc a dvoch požadovaných veličín:

$\začiatok(prípady) a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \\ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \\ \koniec(prípady)$

Pre pohodlie si to zobrazme v rozbalenej forme:

$A = \begin(pole)(cc|c) a_1 & a_2 & b_1 \\ a_3 & a_4 & b_1 \\ \end(pole)$

Poďme nájsť determinant hlavnej matice, nazývaný aj hlavný determinant systému:

$D = \začiatok(pole)(|cc|) a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \end(pole) = a_1 \cdot a_4 – a_3 \cdot a_2$

Ak sa hlavný determinant nerovná nule, potom na vyriešenie slough pomocou Cramerovej metódy je potrebné vypočítať niekoľko ďalších determinantov z dvoch matíc so stĺpcami hlavnej matice nahradenými radom voľných členov:

$D_1 = \začiatok(pole)(|cc|) b_1 & a_2 \\ b_2 & a_4 \\ \end(pole) = b_1 \cdot a_4 – b_2 \cdot a_4$

$D_2 = \začiatok(pole)(|cc|) a_1 & b_1 \\ a_3 & b_2 \\ \end(pole) = a_1 \cdot b_2 – a_3 \cdot b_1$

Teraz nájdime neznáme $x_1$ a $x_2$:

$x_1 = \frac (D_1)(D)$

$x_2 = \frac (D_2)(D)$

Príklad 1

Cramerova metóda na riešenie SLAE s hlavnou maticou 3. rádu (3 x 3) a tromi požadovanými.

Vyriešte sústavu rovníc:

$\začiatok(prípadov) 3x_1 – 2x_2 + 4x_3 = 21 \\ 3x_1 +4x_2 + 2x_3 = 9\\ 2x_1 – x_2 - x_3 = 10 \\ \koniec (prípadov)$

Vypočítajme hlavný determinant matice pomocou pravidla uvedeného vyššie pod bodom číslo 1:

$D = \začiatok(pole)(|ccc|) 3 & -2 & 4 \\3 & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \end(pole) = 3 \cdot 4 \cdot ( -1) + 2 \cdot (-2) \cdot 2 + 4 \cdot 3 \cdot (-1) – 4 \cdot 4 \cdot 2 – 3 \cdot (-2) \cdot (-1) - (- 1) \cdot 2 \cdot 3 = - 12 – 8 -12 -32 – 6 + 6 = - 64 $

A teraz tri ďalšie determinanty:

$D_1 = \začiatok(pole)(|ccc|) 21 & 2 & 4 \\ 9 & 4 & 2 \\ 10 & 1 & 1 \\ \end(pole) = 21 \cdot 4 \cdot 1 + (- 2) \cdot 2 \cdot 10 + 9 \cdot (-1) \cdot 4 – 4 \cdot 4 \cdot 10 – 9 \cdot (-2) \cdot (-1) - (-1) \cdot 2 \ cdot 21 = - 84 – 40 – 36 – 160 – 18 + 42 = - 296 USD

$D_2 = \začiatok(pole)(|ccc|) 3 & 21 & 4 \\3 & 9 & 2 \\ 2 & 10 & 1 \\ \end(pole) = 3 \cdot 9 \cdot (- 1) + 3 \cdot 10 \cdot 4 + 21 \cdot 2 \cdot 2 – 4 \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 3 \cdot (-1) – 2 \cdot 10 \cdot 3 = - 27 + 120 + 84 – 72 + 63 – 60 = 108 USD

$D_3 = \začiatok(pole)(|ccc|) 3 & -2 & 21 \\ 3 & 4 & 9 \\ 2 & 1 & 10 \\ \end(pole) = 3 \cdot 4 \cdot 10 + 3 \cdot (-1) \cdot 21 + (-2) \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 4 \cdot 2 - (-2) \cdot 3 \cdot 10 - (-1) \cdot 9 \cdot 3 = 120 – 63 – 36 – 168 + 60 + 27 = - 60 USD

Nájdeme požadované množstvá:

$x_1 = \frac(D_1) (D) = \frac(- 296)(-64) = 4 \frac(5)(8)$

$x_2 = \frac(D_1) (D) = \frac(108) (-64) = - 1 \frac (11) (16)$

$x_3 = \frac(D_1) (D) = \frac(-60) (-64) = \frac (15) (16)$

Pri rovnakom počte rovníc ako je počet neznámych s hlavným determinantom matice, ktorý sa nerovná nule, sú koeficienty sústavy (pre takéto rovnice existuje riešenie a je len jedno).

Cramerova veta.

Keď je determinant matice štvorcovej sústavy nenulový, znamená to, že sústava je konzistentná a má jedno riešenie a možno ho nájsť pomocou Cramerove vzorce:

kde Δ - determinant matice systému,

Δ i je determinant systémovej matice, v ktorej namiesto i Stĺpec obsahuje stĺpec pravých strán.

Keď je determinant systému nula, znamená to, že systém sa môže stať kooperatívnym alebo nekompatibilným.

Táto metóda sa zvyčajne používa pre malé systémy s rozsiahlymi výpočtami a ak je potrebné určiť jednu z neznámych. Zložitosť metódy spočíva v tom, že je potrebné vypočítať veľa determinantov.

Popis Cramerovej metódy.

Existuje systém rovníc:

Systém 3 rovníc možno vyriešiť pomocou Cramerovej metódy, ktorá bola diskutovaná vyššie pre systém 2 rovníc.

Z koeficientov neznámych poskladáme determinant:

Bude to systémový determinant. Kedy D≠0, čo znamená, že systém je konzistentný. Teraz vytvorte 3 ďalšie determinanty:

Riešime systém tým Cramerove vzorce:

Príklady riešenia sústav rovníc Cramerovou metódou.

Príklad 1.

Daný systém:

Riešime to Cramerovou metódou.

Najprv musíte vypočítať determinant matice systému:

Pretože Δ≠0, čo znamená, že z Cramerovej vety je systém konzistentný a má jedno riešenie. Vypočítame ďalšie determinanty. Determinant Δ 1 sa získa z determinantu Δ nahradením jeho prvého stĺpca stĺpcom voľných koeficientov. Dostaneme:

Rovnakým spôsobom získame determinant Δ 2 z determinantu matice systému nahradením druhého stĺpca stĺpcom voľných koeficientov:

Uvažujme sústavu 3 rovníc s tromi neznámymi

Pomocou determinantov 3. rádu možno riešenie takejto sústavy zapísať v rovnakom tvare ako pri sústave dvoch rovníc, t.j.

(2.4)

ak 0. Tu

Je to tam Cramerovo pravidlo riešenie sústavy troch lineárnych rovníc o troch neznámych.

Príklad 2.3. Vyriešte sústavu lineárnych rovníc pomocou Cramerovho pravidla:

Riešenie . Nájdenie determinantu hlavnej matice systému

Od 0 potom na nájdenie riešenia systému môžeme použiť Cramerovo pravidlo, ale najprv vypočítame tri ďalšie determinanty:

Vyšetrenie:

Preto bolo riešenie nájdené správne. 

Cramerove pravidlá získané pre lineárne systémy 2. a 3. rádu naznačujú, že rovnaké pravidlá možno formulovať pre lineárne systémy ľubovoľného rádu. Naozaj sa to stane

Cramerova veta. Kvadratická sústava lineárnych rovníc s nenulovým determinantom hlavnej matice sústavy (0) má jedno a len jedno riešenie a toto riešenie sa vypočíta pomocou vzorcov

(2.5)

Kde  – determinant hlavnej matice,  i – maticový determinant, získaný z hlavného, nahrádzajúciistĺpec stĺpca voľných členov.

Všimnite si, že ak =0, potom Cramerovo pravidlo neplatí. To znamená, že systém buď nemá žiadne riešenia, alebo má nekonečne veľa riešení.

Po sformulovaní Cramerovej vety prirodzene vyvstáva otázka výpočtu determinantov vyšších rádov.

2.4. Determinanty n-tého rádu

Dodatočná maloletá M ij element a ij je determinant získaný z daného vymazaním i riadok a j stĺpec. Algebraický doplnok A ij element a ij volá sa vedľajší prvok tohto prvku so znamienkom (–1). i + j, t.j. A ij = (–1) i + j M ij .

Napríklad nájdime vedľajšie a algebraické doplnky prvkov a 23 a a 31 kvalifikantov

Dostaneme



Pomocou konceptu algebraického doplnku môžeme formulovať determinantná expanzná vetan-tého poradia podľa riadku alebo stĺpca.

Veta 2.1. Maticový determinantAsa rovná súčtu súčinov všetkých prvkov určitého riadku (alebo stĺpca) ich algebraickými doplnkami:

(2.6)

Táto veta je základom jednej z hlavných metód na výpočet determinantov, tzv. spôsob zníženia objednávky. V dôsledku rozšírenia determinantu n poradí nad ľubovoľným riadkom alebo stĺpcom, dostaneme n determinantov ( n-1) poradie. Ak chcete mať menej takýchto determinantov, odporúča sa vybrať riadok alebo stĺpec, ktorý má najviac núl. V praxi sa expanzný vzorec pre determinant zvyčajne píše ako:

tie. algebraické dodatky sa píšu výslovne v zmysle neplnoletých.

Príklady 2.4. Vypočítajte determinanty tak, že ich najprv zoradíte do nejakého riadku alebo stĺpca. V takýchto prípadoch zvyčajne vyberte stĺpec alebo riadok, ktorý má najviac núl. Vybraný riadok alebo stĺpec bude označený šípkou.



2.5. Základné vlastnosti determinantov

Rozšírením determinantu cez ľubovoľný riadok alebo stĺpec dostaneme n determinantov ( n-1) poradie. Potom každý z týchto determinantov ( n–1. rád možno rozložiť aj na súčet determinantov ( n-2) poradie. Pokračujúc v tomto procese možno dosiahnuť determinanty 1. rádu, t.j. na prvky matice, ktorej determinant sa vypočíta. Takže na výpočet determinantov 2. rádu budete musieť vypočítať súčet dvoch členov, pre determinanty 3. rádu súčet 6 členov, pre determinanty 4. rádu - 24 členov. Počet členov sa bude prudko zvyšovať so zvyšujúcim sa poradím determinantu. To znamená, že výpočet determinantov veľmi vysokých rádov sa stáva pomerne náročnou úlohou, ktorá presahuje možnosti dokonca počítača. Determinanty však možno vypočítať aj iným spôsobom, pomocou vlastností determinantov.

Nehnuteľnosť 1 . Determinant sa nezmení, ak sa v ňom vymenia riadky a stĺpce, t.j. pri transponovaní matice:

Táto vlastnosť označuje rovnosť riadkov a stĺpcov determinantu. Inými slovami, akékoľvek tvrdenie o stĺpcoch determinantu platí aj pre jeho riadky a naopak.

Nehnuteľnosť 2 . Determinant zmení znamienko, keď sa vymenia dva riadky (stĺpce).

Dôsledok . Ak má determinant dva rovnaké riadky (stĺpce), potom sa rovná nule.

Nehnuteľnosť 3 . Spoločný činiteľ všetkých prvkov v ľubovoľnom riadku (stĺpci) možno vyňať zo znamienka determinantu.

Napríklad,

Dôsledok . Ak sú všetky prvky určitého riadku (stĺpca) determinantu rovné nule, potom samotný determinant je rovný nule.

Nehnuteľnosť 4 . Determinant sa nezmení, ak sa prvky jedného riadka (stĺpca) pridajú k prvkom iného riadka (stĺpca) a vynásobia sa ľubovoľným číslom.

Napríklad,

Nehnuteľnosť 5 . Determinant súčinu matíc sa rovná súčinu determinantov matíc:

2. Riešenie sústav rovníc maticovou metódou (pomocou inverznej matice).
3. Gaussova metóda riešenia sústav rovníc.

Cramerova metóda.

Cramerova metóda sa používa na riešenie sústav lineárnych algebraických rovníc ( SLAU).

Vzorce na príklade sústavy dvoch rovníc s dvoma premennými.
Vzhľadom na to: Vyriešte systém Cramerovou metódou

Čo sa týka premenných X A pri.
Riešenie:
Nájdite determinant matice, zloženú z koeficientov systému Výpočet determinantov. :

Aplikujme Cramerove vzorce a nájdime hodnoty premenných:
A .
Príklad 1:
Vyriešte sústavu rovníc:

ohľadom premenných X A pri.
Riešenie:

Nahraďme prvý stĺpec v tomto determinante stĺpcom koeficientov z pravej strany systému a nájdime jeho hodnotu:

Poďme na to podobná akcia, nahradením druhého stĺpca v prvom determinante:

Použiteľné Cramerove vzorce a nájdite hodnoty premenných:
A .
odpoveď:
komentár: Táto metóda môže riešiť systémy vyšších dimenzií.

komentár: Ak sa ukáže, že , ale nedá sa vydeliť nulou, potom hovoria, že systém nemá jedinečné riešenie. V tomto prípade má systém buď nekonečne veľa riešení, alebo nemá žiadne riešenia.

Príklad 2(nekonečné množstvo riešení):

Vyriešte sústavu rovníc:

ohľadom premenných X A pri.
Riešenie:
Nájdite determinant matice zloženej z koeficientov systému:

Riešenie systémov substitučnou metódou.

Prvá z rovníc systému je rovnosť, ktorá platí pre všetky hodnoty premenných (pretože 4 sa vždy rovná 4). To znamená, že zostáva len jedna rovnica. Toto je rovnica vzťahu medzi premennými.
Zistili sme, že riešením systému je ľubovoľný pár hodnôt premenných, ktoré sú navzájom spojené rovnosťou.
Spoločné rozhodnutie bude napísané takto:
Jednotlivé riešenia možno určiť výberom ľubovoľnej hodnoty y a výpočtom x z tejto rovnosti spojenia.

atď.
Takýchto riešení je nekonečne veľa.
odpoveď: spoločné rozhodnutie
Súkromné riešenia:

Príklad 3(žiadne riešenia, systém je nekompatibilný):

Vyriešte sústavu rovníc:

Riešenie:
Nájdite determinant matice zloženej z koeficientov systému:

Cramerove vzorce nemožno použiť. Vyriešme tento systém pomocou substitučnej metódy

Druhá rovnica systému je rovnosť, ktorá neplatí pre žiadne hodnoty premenných (samozrejme, pretože -15 sa nerovná 2). Ak jedna z rovníc systému neplatí pre žiadne hodnoty premenných, potom celý systém nemá riešenia.
odpoveď:žiadne riešenia

Aby ste zvládli tento odsek, musíte byť schopní odhaliť determinanty „dva po dvoch“ a „tri po troch“. Ak ste zlí s kvalifikáciami, preštudujte si lekciu Ako vypočítať determinant?

Najprv sa bližšie pozrieme na Cramerovo pravidlo pre sústavu dvoch lineárnych rovníc o dvoch neznámych. Prečo? - Po všetkom najjednoduchší systém možno riešiť školskou metódou, metódou sčítania po semestri!

Faktom je, že aj keď niekedy sa takáto úloha vyskytne - vyriešiť systém dvoch lineárnych rovníc s dvoma neznámymi pomocou Cramerových vzorcov. Po druhé, jednoduchší príklad vám pomôže pochopiť, ako použiť Cramerovo pravidlo pre zložitejší prípad – systém troch rovníc s tromi neznámymi.

Okrem toho existujú systémy lineárnych rovníc s dvoma premennými, ktoré je vhodné riešiť pomocou Cramerovho pravidla!

Zvážte sústavu rovníc

V prvom kroku vypočítame determinant, tzv hlavný determinant systému.

Gaussova metóda.

Ak , potom systém má jediné rozhodnutie a na nájdenie koreňov musíme vypočítať ďalšie dva determinanty:
A

V praxi možno označiť aj vyššie uvedené kvalifikátory latinské písmeno.

Korene rovnice nájdeme pomocou vzorcov:
,

Príklad 7

Vyriešte sústavu lineárnych rovníc

Riešenie: Vidíme, že koeficienty rovnice sú dosť veľké, na pravej strane sú desatinné miesta s čiarkou. Čiarka je pomerne zriedkavým hosťom v praktických úlohách z matematiky, tento systém som prevzal z ekonometrickej úlohy.

Ako vyriešiť takýto systém? Môžete sa pokúsiť vyjadriť jednu premennú pomocou druhej, ale v tomto prípade pravdepodobne skončíte s hroznými ozdobnými zlomkami, s ktorými je mimoriadne nepohodlné pracovať a návrh riešenia bude vyzerať jednoducho hrozne. Môžete vynásobiť druhú rovnicu 6 a odčítať člen po člene, ale aj tu vzniknú rovnaké zlomky.

Čo robiť? V takýchto prípadoch prichádzajú na pomoc Cramerove vzorce.

;

Odpoveď: ,

Oba korene majú nekonečné chvosty a nachádzajú sa približne, čo je celkom prijateľné (a dokonca bežné) pre problémy ekonometrie.

Komentáre tu nie sú potrebné, pretože úloha sa rieši pomocou hotových vzorcov, je tu však jedno upozornenie. Kedy použiť túto metódu, povinné Fragment návrhu úlohy je nasledujúci fragment: „To znamená, že systém má jedinečné riešenie“. V opačnom prípade vás recenzent môže potrestať za nerešpektovanie Cramerovej vety.

Nebolo by zbytočné kontrolovať, čo je vhodné vykonať na kalkulačke: nahradíme približné hodnoty v ľavá strana každá rovnica systému. Výsledkom je, že s malou chybou by ste mali dostať čísla, ktoré sú na správnych stranách.

Príklad 8

Odpoveď prezentujte v obyčajnom nesprávne zlomky. Vykonajte kontrolu.

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami (príklad konečného návrhu a odpoveď na konci hodiny).

Prejdime k Cramerovmu pravidlu pre systém troch rovníc s tromi neznámymi:

Nájdeme hlavný determinant systému:

Ak , potom systém má nekonečne veľa riešení alebo je nekonzistentný (nemá žiadne riešenia). V tomto prípade Cramerovo pravidlo nepomôže, musíte použiť Gaussovu metódu.

Ak , potom má systém jedinečné riešenie a na nájdenie koreňov musíme vypočítať ďalšie tri determinanty:
, ,

A nakoniec sa odpoveď vypočíta pomocou vzorcov:

Ako vidíte, prípad „tri po troch“ sa v zásade nelíši od prípadu „dva po dvoch“; stĺpec voľných výrazov sa postupne „prechádza“ zľava doprava pozdĺž stĺpcov hlavného determinantu.

Príklad 9

Vyriešte systém pomocou Cramerových vzorcov.

Riešenie: Riešime sústavu pomocou Cramerových vzorcov.

, čo znamená, že systém má jedinečné riešenie.

Odpoveď: .

V skutočnosti tu opäť nie je nič zvláštne na komentár, pretože riešenie sa riadi hotovými vzorcami. Existuje však niekoľko pripomienok.

Stáva sa, že v dôsledku výpočtov sa získajú „zlé“ neredukovateľné frakcie, napríklad: .
Odporúčam nasledujúci „liečebný“ algoritmus. Ak nemáte po ruke počítač, postupujte takto:

1) Vo výpočtoch môže byť chyba. Akonáhle narazíte na „zlý“ zlomok, musíte okamžite skontrolovať Je podmienka prepísaná správne?. Ak je podmienka prepísaná bez chýb, potom je potrebné prepočítať determinanty pomocou rozšírenia v inom riadku (stĺpci).

2) Ak sa v dôsledku kontroly nezistia žiadne chyby, pravdepodobne došlo k preklepu v podmienkach úlohy. V tomto prípade pokojne a OPATRNE prepracujte úlohu až do konca a potom určite skontrolujte a po rozhodnutí to vypíšeme na čistý list. Samozrejme, kontrola zlomkovej odpovede je nepríjemná úloha, ale bude to odzbrojujúci argument pre učiteľa, ktorý veľmi rád dá mínus za každú hovadinu typu . Ako narábať so zlomkami je podrobne popísané v odpovedi na príklad 8.

Ak máte po ruke počítač, potom na kontrolu použite automatizovaný program, ktorý si môžete zadarmo stiahnuť hneď na začiatku lekcie. Mimochodom, najvýhodnejšie je použiť program hneď (ešte pred spustením riešenia), okamžite uvidíte medzikrok, kde ste urobili chybu! Rovnaká kalkulačka automaticky vypočíta riešenie systému maticová metóda.

Druhá poznámka. Z času na čas existujú systémy, v ktorých rovnice niektoré premenné chýbajú, napr.

Tu v prvej rovnici nie je žiadna premenná, v druhej nie je žiadna premenná. V takýchto prípadoch je veľmi dôležité správne a POZORNE zapísať hlavný determinant:
– namiesto chýbajúcich premenných sa umiestnia nuly.
Mimochodom, je racionálne otvárať determinanty s nulami podľa riadku (stĺpca), v ktorom je nula umiestnená, pretože existuje výrazne menej výpočtov.

Príklad 10

Vyriešte systém pomocou Cramerových vzorcov.

Toto je príklad samostatného riešenia (ukážka konečného návrhu a odpoveď na konci hodiny).

V prípade systému 4 rovníc so 4 neznámymi sú Cramerove vzorce napísané podľa podobných princípov. Živý príklad si môžete pozrieť v lekcii Vlastnosti determinantov. Zmenšenie poradia determinantu – päť determinantov 4. rádu je celkom riešiteľných. Hoci úloha už veľmi pripomína profesorskú topánku na hrudi šťastného študenta.

Riešenie sústavy pomocou inverznej matice

Metóda inverzná matica- toto je v podstate špeciálny prípad maticová rovnica(Pozri príklad č. 3 uvedenej lekcie).

Ak chcete študovať túto časť, musíte byť schopní rozšíriť determinanty, nájsť inverznú hodnotu matice a vykonať násobenie matice. Príslušné odkazy budú poskytnuté v priebehu vysvetlení.

Príklad 11

Riešte sústavu maticovou metódou

Riešenie: Napíšme systém v maticovom tvare:
, Kde

Pozrite si systém rovníc a matíc. Myslím, že každý chápe princíp, akým zapisujeme prvky do matíc. Jediná poznámka: ak by v rovniciach chýbali nejaké premenné, museli by sa na zodpovedajúce miesta v matici umiestniť nuly.

Inverznú maticu nájdeme pomocou vzorca:
, kde je transponovaná matica algebraických doplnkov zodpovedajúcich prvkov matice.

Najprv sa pozrime na determinant:

Tu je determinant rozšírený na prvom riadku.

Pozor! Ak , potom inverzná matica neexistuje a systém nie je možné vyriešiť maticovou metódou. V tomto prípade je systém riešený metódou eliminácie neznámych (Gaussova metóda).

Teraz musíme vypočítať 9 maloletých a zapísať ich do matice maloletých

Referencia: Je užitočné poznať význam dvojitých indexov v lineárnej algebre. Prvá číslica je číslo riadku, v ktorom sa prvok nachádza. Druhá číslica je číslo stĺpca, v ktorom sa prvok nachádza:

To znamená, že dvojitý dolný index označuje, že prvok je v prvom riadku, treťom stĺpci a napríklad prvok je v 3. riadku, 2. stĺpci

Počas riešenia je lepšie podrobne popísať výpočet maloletých, aj keď s určitými skúsenosťami sa dá zvyknúť na ich výpočet s chybami ústne.