Čo je to správny zlomok? Vlastné a nevlastné zlomky: pravidlá. Správny zlomok

Nesprávny zlomok

Štvrťroky

Poriadok. a A b existuje pravidlo, ktoré vám umožňuje jednoznačne identifikovať jeden z troch vzťahov medzi nimi: “< », « >" alebo " = ". Toto pravidlo sa nazýva objednávacie pravidlo a je formulovaný takto: dve nezáporné čísla a súvisia rovnakým vzťahom ako dve celé čísla a ; dve nekladné čísla a A b súvisia rovnakým vzťahom ako dve nezáporné čísla a ; ak náhle a nie negatívne, ale b- teda negatívny a > b. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">
Pridávanie zlomkov
Operácia sčítania. Pre akékoľvek racionálne čísla a A b existuje tzv sumačné pravidlo c. Zároveň aj samotné číslo c volal čiastkačísla a A b a označuje sa a proces hľadania takéhoto čísla sa nazýva zhrnutie. Sumárne pravidlo má nasledujúcu formu: .
Operácia násobenia. Pre akékoľvek racionálne čísla a A b existuje tzv pravidlo násobenia, ktorý im priradí nejaké racionálne číslo c. Zároveň aj samotné číslo c volal prácačísla a A b a označuje sa a proces hľadania takéhoto čísla sa tiež nazýva násobenie. Pravidlo násobenia vyzerá takto: .
Tranzitivita poradového vzťahu. Pre ľubovoľnú trojicu racionálnych čísel a , b A c Ak a menej b A b menej c, To a menej c, A keď a rovná sa b A b rovná sa c, To a rovná sa c. 6435">Komutativita sčítania. Zmena miesta racionálnych členov nezmení súčet.
Asociativita sčítania. Poradie, v ktorom sa sčítajú tri racionálne čísla, neovplyvňuje výsledok.
Prítomnosť nuly. Existuje racionálne číslo 0, ktoré po sčítaní zachováva každé druhé racionálne číslo.
Prítomnosť opačných čísel. Každé racionálne číslo má opačné racionálne číslo, ktoré po sčítaní dáva 0.
Komutivita násobenia. Zmena miesta racionálnych faktorov nezmení produkt.
Asociativita násobenia. Poradie, v ktorom sa násobia tri racionálne čísla, neovplyvňuje výsledok.
Dostupnosť jednotky. Existuje racionálne číslo 1, ktoré pri vynásobení zachováva každé druhé racionálne číslo.
Prítomnosť recipročných čísel. Každé racionálne číslo má inverzné racionálne číslo, ktoré po vynásobení dáva 1.
Distribúcia násobenia vzhľadom na sčítanie. Operácia násobenia je koordinovaná s operáciou sčítania prostredníctvom distribučného zákona:
Spojenie objednávkového vzťahu s operáciou sčítania. Doľava a pravá strana racionálna nerovnosť môžete pridať rovnaké racionálne číslo. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
Archimedova axióma. Bez ohľadu na racionálne číslo a, môžete si vziať toľko jednotiek, že ich súčet presiahne a. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Ďalšie vlastnosti

Všetky ostatné vlastnosti vlastné racionálnym číslam sa nerozlišujú ako základné, pretože vo všeobecnosti už nie sú založené priamo na vlastnostiach celých čísel, ale možno ich dokázať na základe daných základných vlastností alebo priamo definíciou nejakého matematického objektu. . Existuje veľa takýchto doplnkových vlastností. Má zmysel uviesť tu len niekoľko z nich.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Počítateľnosť množiny

Číslovanie racionálnych čísel

Ak chcete odhadnúť počet racionálnych čísel, musíte nájsť mohutnosť ich množiny. Je ľahké dokázať, že množina racionálnych čísel je spočítateľná. Na to stačí dať algoritmus, ktorý vymenúva racionálne čísla, t. j. vytvára bijekciu medzi množinami racionálnych a prirodzených čísel.

Najjednoduchší z týchto algoritmov vyzerá takto. Vznikne nekonečný stôl obyčajné zlomky, na každej i-tý riadok v každom j tý stĺpec, ktorého zlomok sa nachádza. Pre istotu sa predpokladá, že riadky a stĺpce tejto tabuľky sú očíslované od jednej. Bunky tabuľky sú označené , kde i- číslo riadku tabuľky, v ktorom sa bunka nachádza, a j- číslo stĺpca.

Výsledná tabuľka sa prechádza pomocou „hada“ podľa nasledujúceho formálneho algoritmu.

Tieto pravidlá sa prehľadávajú zhora nadol a ďalšia pozícia sa vyberá na základe prvého zápasu.

V procese takéhoto prechodu je každé nové racionálne číslo spojené s iným prirodzené číslo. To znamená, že zlomok 1/1 je priradený číslu 1, zlomok 2/1 číslu 2 atď. Treba poznamenať, že číslované sú iba neredukovateľné zlomky. Formálnym znakom neredukovateľnosti je, že najväčší spoločný deliteľ čitateľa a menovateľa zlomku sa rovná jednej.

Podľa tohto algoritmu môžeme spočítať všetky kladné racionálne čísla. To znamená, že množina kladných racionálnych čísel je spočítateľná. Je ľahké vytvoriť bijekciu medzi množinami kladných a záporných racionálnych čísel jednoduchým priradením ku každému racionálnemu číslu jeho opak. To. množina záporných racionálnych čísel je tiež spočítateľná. Ich spojenie je tiež spočítateľné vlastnosťou spočítateľných množín. Množina racionálnych čísel je spočítateľná aj ako spojenie spočítateľnej množiny s konečnou.

Tvrdenie o spočítateľnosti množiny racionálnych čísel môže spôsobiť zmätok, keďže sa na prvý pohľad zdá, že je oveľa rozsiahlejšia ako množina prirodzených čísel. V skutočnosti to tak nie je a existuje dostatok prirodzených čísel na vymenovanie všetkých racionálnych.

Nedostatok racionálnych čísel

Preponu takéhoto trojuholníka nemožno vyjadriť žiadnou racionálne číslo

Racionálne čísla tvaru 1 / n na slobode n možno merať ľubovoľne malé množstvá. Táto skutočnosť vytvára zavádzajúci dojem, že racionálne čísla možno použiť na meranie akýchkoľvek geometrických vzdialeností. Je ľahké ukázať, že to nie je pravda.

Z Pytagorovej vety vieme, že prepona pravouhlého trojuholníka je vyjadrená ako druhá odmocnina súčtu druhých mocnín jeho nôh. To. dĺžka prepony rovnoramenného správny trojuholník s jednotkovou nohou sa rovná, t.j. číslu, ktorého druhá mocnina je 2.

Ak predpokladáme, že číslo môže byť reprezentované nejakým racionálnym číslom, potom také celé číslo existuje m a také prirodzené číslo n, že , a zlomok je neredukovateľný, teda čísla m A n- obojstranne jednoduché.

Bežné zlomky sa delia na zlomky \textit (vlastné) a \textit (nevlastné). Toto rozdelenie je založené na porovnaní čitateľa a menovateľa.

Správne zlomky

Správny zlomok Volá sa obyčajný zlomok $\frac(m)(n)$, v ktorom je čitateľ menší ako menovateľ, t.j. $ m

Príklad 1

Správne sú napríklad zlomky $\frac(1)(3)$, $\frac(9)(123)$, $\frac(77)(78)$, $\frac(378567)(456298)$ , teda ako v každom z nich je čitateľ menší ako menovateľ, čo spĺňa definíciu vlastného zlomku.

Existuje definícia vlastného zlomku, ktorá je založená na porovnaní zlomku s jednotkou.

správne, ak je menej ako jedna:

Príklad 2

Napríklad bežný zlomok $\frac(6)(13)$ je správny, pretože podmienka $\frac(6)(13) je splnená

Nepravé zlomky

Nesprávny zlomok Volá sa obyčajný zlomok $\frac(m)(n)$, v ktorom je čitateľ väčší alebo rovný menovateľovi, t.j. $m\ge n$.

Príklad 3

Napríklad zlomky $\frac(5)(5)$, $\frac(24)(3)$, $\frac(567)(113)$, $\frac(100001)(100000)$ sú nepravidelné , teda ako v každom z nich je čitateľ väčší alebo rovný menovateľovi, ktorý spĺňa definíciu nesprávneho zlomku.

Uveďme definíciu nevlastného zlomku, ktorá je založená na jeho porovnaní s jednotkou.

Spoločný zlomok $\frac(m)(n)$ je nesprávne, ak je rovné alebo väčšie ako jedna:

\[\frac(m)(n)\ge 1\]

Príklad 4

Napríklad bežný zlomok $\frac(21)(4)$ je nesprávny, pretože podmienka $\frac(21)(4) >1$ je splnená;

spoločný zlomok $\frac(8)(8)$ je nesprávny, pretože podmienka $\frac(8)(8)=1$ je splnená.

Pozrime sa bližšie na pojem nevlastného zlomku.

Vezmime si ako príklad nesprávny zlomok $\frac(7)(7)$. Význam tohto zlomku je vziať sedem dielov objektu, ktorý je rozdelený na sedem rovnakých častí. Zo siedmich akcií, ktoré sú k dispozícii, sa teda dá poskladať celý objekt. Tie. nevlastný zlomok $\frac(7)(7)$ popisuje celý objekt a $\frac(7)(7)=1$. takže, nesprávne zlomky, v ktorej sa čitateľ rovná menovateľovi, opíšte jeden celý objekt a takýto zlomok možno nahradiť prirodzeným číslom $1$.

$\frac(5)(2)$ -- je celkom zrejmé, že z týchto piatich sekundových častí môžete poskladať $2$ celé objekty (jeden celý objekt bude zložený z $2$ častí a na zloženie dvoch celých objektov musíte potrebovať $2+2=4$ akcií) a zostáva jedna sekundová akcia. To znamená, že nesprávny zlomok $\frac(5)(2)$ popisuje $2$ objektu a $\frac(1)(2)$ podiel tohto objektu.

$\frac(21)(7)$ -- z dvadsaťjeden sedmin dielov môžete vyrobiť celé objekty za 3 $ (predmety za $ 3 $ s podielmi v každom $ 7 $). Tie. zlomok $\frac(21)(7)$ popisuje $3$ celé objekty.

Z uvažovaných príkladov môžeme vyvodiť nasledujúci záver: nevlastný zlomok možno nahradiť prirodzeným číslom, ak je čitateľ deliteľný menovateľom (napríklad $\frac(7)(7)=1$ a $\frac (21)(7)=3$) , alebo súčet prirodzeného čísla a vlastného zlomku, ak čitateľ nie je úplne deliteľný menovateľom (napríklad $\ \frac(5)(2)=2+ \frac(1)(2)$). Preto sa takéto zlomky nazývajú nesprávne.

Definícia 1

Proces reprezentácie nevlastného zlomku ako súčtu prirodzeného čísla a vlastného zlomku (napríklad $\frac(5)(2)=2+\frac(1)(2)$) sa nazýva oddelenie celej časti od nesprávnej frakcie.

Pri práci s nesprávnymi zlomkami existuje úzka súvislosť medzi nimi a zmiešanými číslami.

Nevlastný zlomok sa často píše ako zmiešané číslo – číslo, ktoré sa skladá z celého čísla a zlomkovej časti.

Ak chcete zapísať nesprávny zlomok ako zmiešané číslo, musíte rozdeliť čitateľa menovateľom so zvyškom. Kvocient bude celá časť zmiešaného čísla, zvyšok bude čitateľ zlomkovej časti a deliteľ bude menovateľ zlomkovej časti.

Príklad 5

Napíšte nevlastný zlomok $\frac(37)(12)$ ako zmiešané číslo.

Riešenie.

Vydeľte čitateľa menovateľom so zvyškom:

\[\frac(37)(12)=37:12=3\ (zvyšok\ 1)\] \[\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)\]

Odpoveď.$\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)$.

Ak chcete napísať zmiešané číslo ako nesprávny zlomok, musíte vynásobiť menovateľa celou časťou čísla, k výslednému súčinu pridať čitateľa zlomkovej časti a výslednú sumu zapísať do čitateľa zlomku. Menovateľ nesprávneho zlomku sa bude rovnať menovateľovi zlomkovej časti zmiešaného čísla.

Príklad 6

Napíšte zmiešané číslo $5\frac(3)(7)$ ako nesprávny zlomok.

Riešenie.

Odpoveď.$5\frac(3)(7)=\frac(38)(7)$.

Sčítanie zmiešaných čísel a správnych zlomkov

Sčítanie zmiešaných čísel$a\frac(b)(c)$ a správny zlomok$\frac(d)(e)$ sa vykonáva tak, že sa k danému zlomku pridá zlomková časť daného zmiešaného čísla:

Príklad 7

Pridajte správny zlomok $\frac(4)(15)$ a zmiešané číslo $3\frac(2)(5)$.

Riešenie.

Použime vzorec na sčítanie zmiešaného čísla a správneho zlomku:

\[\frac(4)(15)+3\frac(2)(5)=3+\vľavo (\frac(2)(5)+\frac(4)(15)\vpravo)=3+\ left(\frac(2\cdot 3)(5\cdot 3)+\frac(4)(15)\right)=3+\frac(6+4)(15)=3+\frac(10)( 15)\]

Delením číslom \textit(5) môžeme určiť, že zlomok $\frac(10)(15)$ je redukovateľný. Vykonajte redukciu a nájdime výsledok sčítania:

Takže výsledok sčítania správneho zlomku $\frac(4)(15)$ a zmiešaného čísla $3\frac(2)(5)$ je $3\frac(2)(3)$.

odpoveď:$3\frac(2)(3)$

Sčítanie zmiešaných čísel a nesprávnych zlomkov

Sčítanie nesprávnych zlomkov a zmiešaných čísel redukuje na sčítanie dvoch zmiešaných čísel, na čo stačí izolovať celú časť od nesprávneho zlomku.

Príklad 8

Vypočítajte súčet zmiešaného čísla $6\frac(2)(15)$ a nesprávneho zlomku $\frac(13)(5)$.

Riešenie.

Najprv získajme časť celého čísla z nesprávneho zlomku $\frac(13)(5)$:

odpoveď:$8\frac(11)(15)$.

Tento článok je o bežné zlomky. Tu si predstavíme pojem zlomok celku, ktorý nás privedie k definícii spoločného zlomku. Ďalej sa budeme zaoberať akceptovaným zápisom obyčajných zlomkov a uvedieme príklady zlomkov, povedzme o čitateľovi a menovateľovi zlomku. Potom uvedieme definície vlastných a nesprávnych, pozitívnych a negatívnych zlomkov a tiež zvážime polohu zlomkových čísel na súradnicovom lúči. Na záver uvádzame hlavné operácie so zlomkami.

Navigácia na stránke.

Akcie celku

Najprv sa predstavíme koncept podielu.

Predpokladajme, že máme nejaký objekt zložený z niekoľkých absolútne rovnakých (teda rovnakých) častí. Pre názornosť si môžete predstaviť napríklad jablko nakrájané na niekoľko rovnakých častí alebo pomaranč pozostávajúci z niekoľkých rovnakých plátkov. Každá z týchto rovnakých častí, ktoré tvoria celý objekt, sa nazýva časti celku alebo jednoducho akcií.

Všimnite si, že podiely sú rôzne. Poďme si to vysvetliť. Dajme si dve jablká. Prvé jablko nakrájajte na dve rovnaké časti a druhé na 6 rovnakých častí. Je jasné, že podiel prvého jablka bude iný ako podiel druhého jablka.

V závislosti od počtu podielov, ktoré tvoria celý objekt, majú tieto podiely svoje názvy. Poďme to vyriešiť názvy beatov. Ak sa objekt skladá z dvoch častí, ktorákoľvek z nich sa nazýva jedna druhá časť celého objektu; ak sa predmet skladá z troch častí, potom sa ktorákoľvek z nich nazýva jedna tretia časť atď.

Jeden sekundový podiel má špeciálne meno – polovicu. Jedna tretina je tzv tretí a jedna štvrtina časti - štvrť.

Kvôli stručnosti boli zavedené nasledovné: beatové označenia. Jedna druhá akcia je označená ako alebo 1/2, jedna tretina je označená ako alebo 1/3; jedna štvrtina zdieľania – páči sa mi alebo 1/4 atď. Všimnite si, že zápis s vodorovnou čiarou sa používa častejšie. Na posilnenie materiálu uveďme ešte jeden príklad: položka označuje stošesťdesiat siedmu časť celku.

Pojem podiel prirodzene siaha od predmetov k množstvám. Napríklad jednou z mier dĺžky je meter. Na meranie dĺžok kratších ako meter možno použiť zlomky metra. Môžete teda použiť napríklad pol metra alebo desatinu či tisícinu metra. Podiely ostatných veličín sa uplatňujú podobne.

Bežné zlomky, definícia a príklady zlomkov

Na popis počtu akcií, ktoré používame bežné zlomky. Uveďme príklad, ktorý nám umožní priblížiť sa k definícii obyčajných zlomkov.

Nechajte pomaranč pozostávať z 12 častí. Každá akcia v tomto prípade predstavuje jednu dvanástinu celého pomaranča, teda . Dva údery označujeme ako , tri údery ako atď., 12 úderov označujeme ako . Každý z uvedených záznamov sa nazýva obyčajný zlomok.

Teraz dajme generálku definícia bežných zlomkov.

Vyjadrená definícia obyčajných zlomkov nám umožňuje dávať príklady bežných zlomkov: 5/10, 21/1, 9/4, . A tu sú záznamy nezodpovedajú uvedenej definícii obyčajných zlomkov, to znamená, že to nie sú obyčajné zlomky.

Čitateľ a menovateľ

Pre pohodlie sa rozlišujú bežné frakcie čitateľ a menovateľ.

Definícia.

Čitateľ spoločný zlomok (m/n) je prirodzené číslo m.

Definícia.

Menovateľ spoločný zlomok (m/n) je prirodzené číslo n.

Čitateľ je teda umiestnený nad zlomkovou čiarou (naľavo od lomky) a menovateľ je umiestnený pod zlomkovou čiarou (napravo od lomky). Vezmime si napríklad spoločný zlomok 17/29, čitateľom tohto zlomku je číslo 17 a menovateľom je číslo 29.

Zostáva diskutovať o význame obsiahnutom v čitateli a menovateli obyčajného zlomku. Menovateľ zlomku ukazuje, z koľkých častí pozostáva jeden objekt, a čitateľ zase udáva počet takýchto podielov. Napríklad menovateľ 5 zlomku 12/5 znamená, že jeden objekt pozostáva z piatich podielov, a čitateľ 12 znamená, že sa vezme 12 takýchto podielov.

Prirodzené číslo ako zlomok s menovateľom 1

Menovateľ spoločného zlomku sa môže rovnať jednej. V tomto prípade môžeme uvažovať, že predmet je nedeliteľný, inými slovami, predstavuje niečo celok. Čitateľ takéhoto zlomku udáva, koľko celých objektov sa vezme. Obyčajný zlomok tvaru m/1 má teda význam prirodzeného čísla m. Takto sme zdôvodnili platnosť rovnosti m/1=m.

Prepíšme poslednú rovnosť takto: m=m/1. Táto rovnosť nám umožňuje reprezentovať akékoľvek prirodzené číslo m ako obyčajný zlomok. Napríklad číslo 4 je zlomok 4/1 a číslo 103 498 sa rovná zlomku 103 498/1.

takže, ľubovoľné prirodzené číslo m môže byť vyjadrené ako obyčajný zlomok s menovateľom 1 ako m/1 a akýkoľvek obyčajný zlomok tvaru m/1 môže byť nahradený prirodzeným číslom m.

Zlomkový stĺpec ako deliaci znak

Znázornenie pôvodného objektu vo forme n akcií nie je nič iné ako rozdelenie na n rovnakých častí. Po rozdelení položky na n akcií ju môžeme rozdeliť rovným dielom medzi n ľudí – každý dostane jednu akciu.

Ak máme na začiatku m identických objektov, z ktorých každý je rozdelený na n akcií, potom môžeme týchto m objektov rovnomerne rozdeliť medzi n ľudí, pričom každej osobe pridelíme jeden podiel z každého z m objektov. V tomto prípade bude mať každá osoba m podielov 1/n a m podielov 1/n dáva spoločný zlomok m/n. Spoločný zlomok m/n teda možno použiť na označenie rozdelenia m položiek medzi n ľudí.

Takto sme dostali explicitné spojenie medzi obyčajnými zlomkami a delením (pozri všeobecnú myšlienku delenia prirodzených čísel). Toto spojenie je vyjadrené takto: zlomkovú čiaru možno chápať ako deliaci znak, teda m/n=m:n.

Pomocou obyčajného zlomku môžete zapísať výsledok delenia dvoch prirodzených čísel, pre ktoré nie je možné vykonať celé delenie. Napríklad výsledok delenia 5 jabĺk 8 ľuďmi možno zapísať ako 5/8, to znamená, že každý dostane päť osmín jablka: 5:8 = 5/8.

Rovné a nerovnaké zlomky, porovnávanie zlomkov

Je to celkom prirodzená akcia porovnávanie zlomkov, pretože je jasné, že 1/12 pomaranča je iná ako 5/12 a 1/6 jablka je rovnaká ako ďalšia 1/6 tohto jablka.

V dôsledku porovnania dvoch obyčajných zlomkov sa získa jeden z výsledkov: zlomky sú rovnaké alebo nerovnaké. V prvom prípade máme rovnaké spoločné zlomky a v druhom - nerovnaké obyčajné zlomky. Uveďme definíciu rovnakých a nerovnakých obyčajných zlomkov.

Definícia.

rovný, ak platí rovnosť a·d=b·c.

Definícia.

Dva bežné zlomky a/b a c/d nerovná sa, ak neplatí rovnosť a·d=b·c.

Tu je niekoľko príkladov rovnakých zlomkov. Napríklad bežný zlomok 1/2 sa rovná zlomku 2/4, keďže 1·4=2·2 (ak je to potrebné, pozrite si pravidlá a príklady násobenia prirodzených čísel). Pre prehľadnosť si môžete predstaviť dve rovnaké jablká, prvé je rozrezané na polovicu a druhé je rozrezané na 4 časti. Je zrejmé, že dve štvrtiny jablka sa rovnajú 1/2 podielu. Ďalšími príkladmi rovnakých spoločných zlomkov sú zlomky 4/7 a 36/63 a pár zlomkov 81/50 a 1 620/1 000.

Ale obyčajné zlomky 4/13 a 5/14 nie sú rovnaké, pretože 4·14=56 a 13·5=65, teda 4·14≠13·5. Ďalšími príkladmi nerovnakých spoločných zlomkov sú zlomky 17/7 a 6/4.

Ak sa pri porovnávaní dvoch bežných zlomkov ukáže, že nie sú rovnaké, možno budete musieť zistiť, ktorý z týchto spoločných zlomkov menej iný a ktorý - viac. Na zistenie slúži pravidlo na porovnávanie obyčajných zlomkov, ktorého podstatou je priviesť porovnávané zlomky do spoločného menovateľa a následne porovnať čitateľov. Podrobné informácie o tejto téme sú zhromaždené v článku porovnanie zlomkov: pravidlá, príklady, riešenia.

Zlomkové čísla

Každý zlomok je zápis zlomkové číslo. To znamená, že zlomok je len „škrupina“ zlomkového čísla, jeho vzhľad a celé sémantické zaťaženie je obsiahnuté v zlomkovom čísle. Pre stručnosť a pohodlie sú však pojmy zlomok a zlomkové číslo kombinované a jednoducho sa nazývajú zlomok. Tu je vhodné preformulovať slávny výrok: povieme zlomok - myslíme zlomkové číslo, povieme zlomkové číslo - myslíme zlomok.

Zlomky na súradnicovom lúči

Všetky zlomkové čísla zodpovedajúce obyčajným zlomkom majú svoje vlastné jedinečné miesto na , to znamená, že medzi zlomkami a bodmi súradnicového lúča existuje zhoda jedna k jednej.

Aby ste sa dostali do bodu na súradnicovom lúči zodpovedajúcemu zlomku m/n, musíte vyčleniť m segmentov z počiatku v kladnom smere, ktorých dĺžka je 1/n zlomku jednotkového segmentu. Takéto segmenty možno získať rozdelením jednotkového segmentu na n rovnakých častí, čo je možné vždy vykonať pomocou kružidla a pravítka.

Ukážme napríklad bod M na súradnicovom lúči, ktorý zodpovedá zlomku 14/10. Dĺžka úsečky s koncami v bode O a v bode, ktorý je k nej najbližšie, označený malou pomlčkou, je 1/10 jednotkovej úsečky. Bod so súradnicou 14/10 sa odstráni z počiatku vo vzdialenosti 14 takýchto segmentov.

Rovnaké zlomky zodpovedajú rovnakému zlomkovému číslu, to znamená, že rovnaké zlomky sú súradnicami toho istého bodu na súradnicovom lúči. Napríklad súradnice 1/2, 2/4, 16/32, 55/110 zodpovedajú jednému bodu na súradnicovom lúči, pretože všetky zapísané zlomky sú rovnaké (nachádza sa vo vzdialenosti polovice rozloženého segmentu jednotky od pôvodu v pozitívnom smere).

Na vodorovnom a pravostrannom súradnicovom lúči je bod, ktorého súradnicami je väčší zlomok, umiestnený napravo od bodu, ktorého súradnicami je menší zlomok. Podobne bod s menšou súradnicou leží naľavo od bodu s väčšou súradnicou.

Vlastné a nevlastné zlomky, definície, príklady

Medzi obyčajnými zlomkami sú vlastné a nevlastné zlomky. Toto rozdelenie je založené na porovnaní čitateľa a menovateľa.

Definujme vlastné a nevlastné obyčajné zlomky.

Definícia.

Správny zlomok je obyčajný zlomok, ktorého čitateľ je menší ako menovateľ, teda ak m

Definícia.

Nesprávny zlomok je obyčajný zlomok, v ktorom je čitateľ väčší alebo rovný menovateľovi, to znamená, že ak m≥n, potom je obyčajný zlomok nesprávny.

Tu je niekoľko príkladov správnych zlomkov: 1/4, , 32 765/909 003. V každom zo zapísaných obyčajných zlomkov je totiž čitateľ menší ako menovateľ (ak je to potrebné, pozri článok o porovnaní prirodzených čísel), takže sú z definície správne.

Tu sú príklady nesprávnych zlomkov: 9/9, 23/4, . Čitateľ prvého zo zapísaných obyčajných zlomkov sa skutočne rovná menovateľovi a v ostatných zlomkoch je čitateľ väčší ako menovateľ.

Existujú aj definície vlastných a nevlastných zlomkov, založené na porovnaní zlomkov s jedným.

Definícia.

správne, ak je menej ako jedna.

Definícia.

Obyčajný zlomok sa nazýva nesprávne, ak sa rovná jednej alebo je väčšia ako 1.

Takže spoločný zlomok 7/11 je správny, pretože 7/11<1 , а обыкновенные дроби 14/3 и 27/27 – неправильные, так как 14/3>1 a 27/27 = 1.

Zamyslime sa nad tým, ako si obyčajné zlomky s čitateľom väčším alebo rovným menovateľovi zaslúžia takéto pomenovanie - „nesprávne“.

Zoberme si napríklad nesprávny zlomok 9/9. Tento zlomok znamená, že deväť častí sa odoberie z objektu, ktorý pozostáva z deviatich častí. To znamená, že z dostupných deviatich častí môžeme poskladať celý objekt. To znamená, že nesprávny zlomok 9/9 v podstate dáva celému objektu, teda 9/9 = 1. Vo všeobecnosti nesprávne zlomky s čitateľom rovným menovateľovi označujú jeden celý objekt a takýto zlomok možno nahradiť prirodzeným číslom 1.

Teraz zvážte nesprávne zlomky 7/3 a 12/4. Je celkom zrejmé, že z týchto siedmich tretích častí môžeme poskladať dva celé objekty (jeden celý objekt sa skladá z 3 častí, potom na zloženie dvoch celých predmetov budeme potrebovať 3 + 3 = 6 častí) a stále nám zostane jedna tretia časť. . To znamená, že nesprávny zlomok 7/3 v podstate znamená 2 predmety a tiež 1/3 takéhoto predmetu. A z dvanástich štvrtinových dielov môžeme vyrobiť tri celé predmety (tri predmety po štyroch častiach). To znamená, že zlomok 12/4 v podstate znamená 3 celé objekty.

Uvažované príklady nás vedú k nasledovnému záveru: nevlastné zlomky môžeme nahradiť buď prirodzenými číslami, keď je čitateľ delený rovnomerne menovateľom (napríklad 9/9=1 a 12/4=3), alebo súčtom. prirodzeného čísla a vlastného zlomku, keď čitateľ nie je rovnomerne deliteľný menovateľom (napríklad 7/3=2+1/3). Možno práve toto si vyslúžilo nesprávne zlomky pomenovanie „nepravidelné“.

Zvlášť zaujímavé je zobrazenie nevlastného zlomku ako súčtu prirodzeného čísla a vlastného zlomku (7/3=2+1/3). Tento proces sa nazýva oddelenie celej časti od nesprávnej frakcie a zaslúži si samostatné a starostlivejšie zváženie.

Za zmienku tiež stojí, že medzi nesprávnymi zlomkami a zmiešanými číslami je veľmi úzky vzťah.

Pozitívne a negatívne zlomky

Každý spoločný zlomok zodpovedá kladnému zlomkovému číslu (pozri článok o kladných a záporných číslach). To znamená, že obyčajné zlomky sú kladné zlomky. Napríklad obyčajné zlomky 1/5, 56/18, 35/144 sú kladné zlomky. Keď potrebujete zvýrazniť kladnosť zlomku, umiestni sa pred neho znamienko plus, napríklad +3/4, +72/34.

Ak pred bežný zlomok vložíte znamienko mínus, tento záznam bude zodpovedať zápornému zlomkovému číslu. V tomto prípade môžeme hovoriť o záporné zlomky. Tu je niekoľko príkladov záporných zlomkov: −6/10, −65/13, −1/18.

Kladné a záporné zlomky m/n a −m/n sú opačné čísla. Napríklad zlomky 5/7 a -5/7 sú opačné zlomky.

Kladné zlomky, podobne ako kladné čísla vo všeobecnosti, označujú prírastok, príjem, zmenu akejkoľvek hodnoty smerom nahor atď. Záporné zlomky zodpovedajú výdavkom, dlhu alebo zníženiu akéhokoľvek množstva. Napríklad záporný zlomok −3/4 možno interpretovať ako dlh, ktorého hodnota sa rovná 3/4.

V horizontálnom a pravostrannom smere sú záporné zlomky umiestnené naľavo od začiatku. Body súradnicovej čiary, ktorých súradnicami sú kladný zlomok m/n a záporný zlomok −m/n, sú umiestnené v rovnakej vzdialenosti od začiatku, ale na opačných stranách bodu O.

Tu stojí za zmienku zlomky tvaru 0/n. Tieto zlomky sa rovnajú číslu nula, teda 0/n=0.

Kladné zlomky, záporné zlomky a zlomky 0/n sa kombinujú a vytvárajú racionálne čísla.

Operácie so zlomkami

O jednej akcii s obyčajnými zlomkami – porovnávaní zlomkov – sme už hovorili vyššie. Sú definované ďalšie štyri aritmetické funkcie operácie so zlomkami– sčítanie, odčítanie, násobenie a delenie zlomkov. Pozrime sa na každú z nich.

Všeobecná podstata operácií so zlomkami je podobná podstate zodpovedajúcich operácií s prirodzenými číslami. Urobme analógiu.

Násobenie zlomkov možno chápať ako akciu nájdenia zlomku zo zlomku. Pre objasnenie uvedieme príklad. Povedzme, že máme 1/6 jablka a potrebujeme si z neho vziať 2/3. Časť, ktorú potrebujeme, je výsledkom vynásobenia zlomkov 1/6 a 2/3. Výsledkom vynásobenia dvoch obyčajných zlomkov je obyčajný zlomok (ktorý sa v špeciálnom prípade rovná prirodzenému číslu). Ďalej vám odporúčame preštudovať si informácie v článku Násobenie zlomkov – pravidlá, príklady a riešenia.

Bibliografia.

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartburd S.I. Matematika: učebnica pre 5. ročník. vzdelávacie inštitúcie.
Vilenkin N.Ya. a ďalšie. 6. ročník: učebnica pre všeobecnovzdelávacie inštitúcie.
Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (príručka pre študentov technických škôl).

Správny zlomok

Štvrťroky

Poriadok. a A b existuje pravidlo, ktoré vám umožňuje jednoznačne identifikovať jeden z troch vzťahov medzi nimi: “< », « >" alebo " = ". Toto pravidlo sa nazýva objednávacie pravidlo a je formulovaný takto: dve nezáporné čísla a súvisia rovnakým vzťahom ako dve celé čísla a ; dve nekladné čísla a A b súvisia rovnakým vzťahom ako dve nezáporné čísla a ; ak náhle a nie negatívne, ale b- teda negatívny a > b. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">
Pridávanie zlomkov
Operácia sčítania. Pre akékoľvek racionálne čísla a A b existuje tzv sumačné pravidlo c. Zároveň aj samotné číslo c volal čiastkačísla a A b a označuje sa a proces hľadania takéhoto čísla sa nazýva zhrnutie. Sumárne pravidlo má nasledujúcu formu: .
Operácia násobenia. Pre akékoľvek racionálne čísla a A b existuje tzv pravidlo násobenia, ktorý im priradí nejaké racionálne číslo c. Zároveň aj samotné číslo c volal prácačísla a A b a označuje sa a proces hľadania takéhoto čísla sa tiež nazýva násobenie. Pravidlo násobenia vyzerá takto: .
Tranzitivita poradového vzťahu. Pre ľubovoľnú trojicu racionálnych čísel a , b A c Ak a menej b A b menej c, To a menej c, A keď a rovná sa b A b rovná sa c, To a rovná sa c. 6435">Komutativita sčítania. Zmena miesta racionálnych členov nezmení súčet.
Asociativita sčítania. Poradie, v ktorom sa sčítajú tri racionálne čísla, neovplyvňuje výsledok.
Prítomnosť nuly. Existuje racionálne číslo 0, ktoré po sčítaní zachováva každé druhé racionálne číslo.
Prítomnosť opačných čísel. Každé racionálne číslo má opačné racionálne číslo, ktoré po sčítaní dáva 0.
Komutivita násobenia. Zmena miesta racionálnych faktorov nezmení produkt.
Asociativita násobenia. Poradie, v ktorom sa násobia tri racionálne čísla, neovplyvňuje výsledok.
Dostupnosť jednotky. Existuje racionálne číslo 1, ktoré pri vynásobení zachováva každé druhé racionálne číslo.
Prítomnosť recipročných čísel. Každé racionálne číslo má inverzné racionálne číslo, ktoré po vynásobení dáva 1.
Distribúcia násobenia vzhľadom na sčítanie. Operácia násobenia je koordinovaná s operáciou sčítania prostredníctvom distribučného zákona:
Spojenie objednávkového vzťahu s operáciou sčítania. Na ľavú a pravú stranu racionálnej nerovnosti možno pridať rovnaké racionálne číslo. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
Archimedova axióma. Bez ohľadu na racionálne číslo a, môžete si vziať toľko jednotiek, že ich súčet presiahne a. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Ďalšie vlastnosti

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Počítateľnosť množiny

Číslovanie racionálnych čísel

Najjednoduchší z týchto algoritmov vyzerá takto. Na každom je zostavená nekonečná tabuľka obyčajných zlomkov i-tý riadok v každom j tý stĺpec, ktorého zlomok sa nachádza. Pre istotu sa predpokladá, že riadky a stĺpce tejto tabuľky sú očíslované od jednej. Bunky tabuľky sú označené , kde i- číslo riadku tabuľky, v ktorom sa bunka nachádza, a j- číslo stĺpca.

Výsledná tabuľka sa prechádza pomocou „hada“ podľa nasledujúceho formálneho algoritmu.

Tieto pravidlá sa prehľadávajú zhora nadol a ďalšia pozícia sa vyberá na základe prvého zápasu.

V procese takéhoto prechodu je každé nové racionálne číslo spojené s iným prirodzeným číslom. To znamená, že zlomok 1/1 je priradený číslu 1, zlomok 2/1 číslu 2 atď. Treba poznamenať, že číslované sú iba neredukovateľné zlomky. Formálnym znakom neredukovateľnosti je, že najväčší spoločný deliteľ čitateľa a menovateľa zlomku sa rovná jednej.

Nedostatok racionálnych čísel

Preponu takéhoto trojuholníka nemožno vyjadriť žiadnym racionálnym číslom

Z Pytagorovej vety vieme, že prepona pravouhlého trojuholníka je vyjadrená ako druhá odmocnina súčtu druhých mocnín jeho nôh. To. dĺžka prepony rovnoramenného pravouhlého trojuholníka s jednotkovým ramenom sa rovná , t.j. číslu, ktorého druhá mocnina je 2.

Ak potom , t.j. m 2 = 2n 2. Preto číslo m 2 je párne, ale súčin dvoch nepárnych čísel je nepárny, čo znamená, že samotné číslo m tiež dokonca. Existuje teda prirodzené číslo k, tak, že číslo m môžu byť zastúpené vo forme m = 2k. Číselný štvorec m V tomto zmysle m 2 = 4k 2, ale na druhej strane m 2 = 2n 2 znamená 4 k 2 = 2n 2, príp n 2 = 2k 2. Ako je uvedené vyššie pre číslo m, to znamená, že číslo n- aj ako m. Ale potom nie sú relatívne prvočíslo, pretože obe sú rozpoltené. Výsledný rozpor dokazuje, že nejde o racionálne číslo.

Jednoduché matematické pravidlá a techniky, ak sa nepoužívajú neustále, najrýchlejšie zabudnú. Výrazy miznú z pamäte ešte rýchlejšie.

Jednou z týchto jednoduchých akcií je premena nesprávneho zlomku na vlastný alebo inými slovami zmiešaný zlomok.

Nesprávny zlomok

Nesprávny zlomok je zlomok, v ktorom je čitateľ (číslo nad riadkom) väčší alebo rovný menovateľovi (číslo pod riadkom). Tento zlomok sa získa sčítaním zlomkov alebo vynásobením zlomku celým číslom. Podľa pravidiel matematiky treba takýto zlomok premeniť na riadny.

Správny zlomok

Je logické predpokladať, že všetky ostatné zlomky sa nazývajú správne. Presná definícia je, že zlomok, ktorého čitateľ je menší ako jeho menovateľ, sa nazýva vlastný. Zlomok, ktorý má celočíselnú časť, sa niekedy nazýva zmiešaný zlomok.

Premena nesprávneho zlomku na správny zlomok

Prvý prípad: čitateľ a menovateľ sú si navzájom rovné. Výsledkom prevodu každého takéhoto zlomku je jedna. Je jedno, či sú to tri tretiny alebo stodvadsaťpäť stodvadsať pätín. Takýto zlomok v podstate označuje akciu delenia čísla samotným.

Druhý prípad: čitateľ je väčší ako menovateľ. Tu si musíte zapamätať spôsob delenia čísel zvyškom.
Aby ste to dosiahli, musíte nájsť číslo najbližšie k hodnote čitateľa, ktoré je bezo zvyšku deliteľné menovateľom. Napríklad máte zlomok devätnásť tretín. Najbližšie číslo, ktoré možno deliť tromi, je osemnásť. To je šesť. Teraz odčítajte výsledné číslo od čitateľa. Dostávame jeden. Toto je zvyšok. Zapíšte si výsledok prepočtu: šesť celých a jedna tretina.

Ale predtým, ako budete môcť zlomok zmenšiť do správnej podoby, musíte skontrolovať, či sa dá zmenšiť.
Zlomok môžete zmenšiť, ak majú čitateľ a menovateľ spoločný faktor. Teda číslo, ktorým sú obe bezo zvyšku deliteľné. Ak existuje niekoľko takýchto deliteľov, musíte nájsť najväčšieho.
Napríklad všetky párne čísla majú takého spoločného deliteľa – dvojku. A zlomok šestnásta dvanástina má ešte jedného spoločného deliteľa – štyri. Toto je najväčší deliteľ. Vydeľte čitateľa a menovateľa štyrmi. Výsledok zníženia: štyri tretiny. Teraz, ako prax, preveďte tento zlomok na správny zlomok.