Systém rovníc pomocou inverznej matice online. Cramerovo pravidlo

Maticová metóda riešenia SLAU aplikovaný na riešenie sústav rovníc, v ktorých počet rovníc zodpovedá počtu neznámych. Metóda sa najlepšie používa na riešenie systémov nízkeho rádu. Maticová metóda na riešenie sústav lineárnych rovníc je založená na aplikácii vlastností násobenia matíc.

Inými slovami, táto metóda metóda inverzná matica, nazýva sa to preto, lebo riešenie sa redukuje na obyčajnú maticovú rovnicu, na vyriešenie ktorej potrebujete nájsť inverznú maticu.

Maticová metóda riešenia SLAE s determinantom, ktorý je väčší ako alebo menej ako nula je nasledujúca:

Predpokladajme, že existuje SLE (systém lineárnych rovníc) s n neznáme (v ľubovoľnom poli):

To znamená, že sa dá ľahko previesť do maticovej formy:

AX=B, Kde A— hlavná matica systému, B A X— stĺpce voľných výrazov a riešení systému, v tomto poradí:

Vynásobme túto maticovú rovnicu zľava A-1— inverzná matica k matici A: A -1 (AX)=A -1 B.

Pretože A −1 A=E, znamená, X = A -1 B. Pravá strana rovnice udáva stĺpec riešenia počiatočného systému. Podmienkou použiteľnosti matricovej metódy je nedegenerácia matrice A. Nevyhnutnou a dostatočnou podmienkou na to je, že determinant matice sa nerovná nule A:

detA≠0.

Pre homogénna sústava lineárnych rovníc, t.j. ak je vektor B = 0, vykonané obrátené pravidlo: v systéme AX = 0 existuje netriviálne (t.j. nie rovná nule) rozhodnutie je len kedy detA=0. Toto spojenie medzi riešeniami homogénnych a nehomogénnych systémov lineárnych rovníc sa nazýva Fredholmská alternatíva.

Teda riešenie SLAE maticová metóda vyrobené podľa vzorca . Alebo sa riešenie SLAE nájde pomocou inverzná matica A-1.

Je známe, že pre štvorcovú maticu A objednať n na n existuje inverzná matica A-1 iba ak je jeho determinant nenulový. Teda systém n lineárne algebraické rovnice s n Neznáme maticovou metódou riešime len vtedy, ak determinant hlavnej matice systému nie je rovný nule.

Napriek tomu, že existujú obmedzenia použiteľnosti takejto metódy a ťažkosti s výpočtami pre veľké hodnoty koeficientov a systémy vysokého rádu, metóda sa dá ľahko implementovať na počítači.

Príklad riešenia nehomogénneho SLAE.

Najprv skontrolujme, či sa determinant matice koeficientov neznámych SLAE nerovná nule.

Teraz nájdeme zväzová matica, transponujte ho a dosaďte do vzorca na určenie inverznej matice.

Dosaďte premenné do vzorca:

Teraz nájdeme neznáme vynásobením inverznej matice a stĺpca voľných členov.

takže, x = 2; y = 1; z = 4.

Pri prechode z bežnej formy SLAE na maticovú formu buďte opatrní s poradím neznámych premenných v rovniciach systému. Napríklad:

NEDÁ sa to napísať takto:

Najprv je potrebné zoradiť neznáme premenné v každej rovnici systému a až potom prejsť na maticový zápis:

Okrem toho musíte byť opatrní s označením neznámych premenných x 1, x 2, …, x n môžu tam byť aj iné písmená. Napr:

v maticovom tvare to zapíšeme takto:

Systémy je lepšie riešiť maticovou metódou lineárne rovnice, v ktorom sa počet rovníc zhoduje s počtom neznámych premenných a determinant hlavnej matice systému sa nerovná nule. Ak sú v systéme viac ako 3 rovnice, nájdenie inverznej matice bude vyžadovať viac výpočtového úsilia, preto je v tomto prípade vhodné použiť na riešenie Gaussovu metódu.

The online kalkulačka rieši sústavu lineárnych rovníc maticovou metódou. Je to dané veľmi podrobné riešenie. Ak chcete vyriešiť systém lineárnych rovníc, vyberte počet premenných. Vyberte metódu výpočtu inverznej matice. Potom zadajte údaje do buniek a kliknite na tlačidlo "Vypočítať".

×

POZOR

Vymazať všetky bunky?

Zavrieť Vymazať

Pokyny na zadávanie údajov.Čísla sa zadávajú ako celé čísla (príklady: 487, 5, -7623 atď.), desatinné miesta (napr. 67., 102,54 atď.) alebo zlomky. Zlomok je potrebné zadať v tvare a/b, kde a a b sú celé čísla resp desatinné čísla. Príklady 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7 atď.

Maticová metóda riešenia sústav lineárnych rovníc

Uvažujme nasledujúci systém lineárne rovnice:

Vzhľadom na definíciu inverznej matice máme A −1 A=E, Kde E- matica identity. Preto (4) možno zapísať takto:

Na vyriešenie sústavy lineárnych rovníc (1) (alebo (2)) teda stačí vynásobiť prevrátenú hodnotu A matice na vektor obmedzenia b.

Príklady riešenia sústavy lineárnych rovníc maticovou metódou

Príklad 1. Vyriešte nasledujúci systém lineárnych rovníc pomocou maticovej metódy:

Nájdite inverznú hodnotu matice A pomocou Jordan-Gaussovej metódy. S pravá strana matice A Napíšme maticu identity:

Vylúčme prvky 1. stĺpca matice pod hlavnou diagonálou. Ak to chcete urobiť, pridajte riadky 2,3 k riadku 1, vynásobené -1/3, -1/3, v tomto poradí:

Vylúčme prvky 2. stĺpca matice pod hlavnou diagonálou. Ak to chcete urobiť, pridajte riadok 3 s riadkom 2 vynásobeným -24/51:

Vylúčme prvky 2. stĺpca matice nad hlavnou diagonálou. Ak to chcete urobiť, pridajte riadok 1 k riadku 2 vynásobenému -3/17:

Oddeľte pravú stranu matrice. Výsledná matica je inverzná matica A :

Maticová forma zápisu sústavy lineárnych rovníc: Ax=b, Kde

Vypočítajme všetky algebraické doplnky matice A:

,

,

,

,

,

,

,

,

.

Inverzná matica sa vypočíta z nasledujúceho výrazu.

Nech existuje štvorcová matica n-tého rádu

Matica A -1 sa volá inverzná matica vo vzťahu k matici A, ak A*A -1 = E, kde E je matica identity n-tého rádu.

Matica identity- taká štvorcová matica, v ktorej sú všetky prvky pozdĺž hlavnej uhlopriečky, prechádzajúce z ľavého horného rohu do pravého dolného rohu, jednotky a zvyšok sú nuly, napríklad:

inverzná matica môže existovať len pre štvorcové matice tie. pre tie matice, v ktorých sa počet riadkov a stĺpcov zhoduje.

Veta pre podmienku existencie inverznej matice

Na to, aby matica mala inverznú maticu, je potrebné a postačujúce, aby bola nesingulárna.

Nazýva sa matica A = (A1, A2,...A n). nedegenerované, ak sú stĺpcové vektory lineárne nezávislé. Počet lineárne nezávislých stĺpcových vektorov matice sa nazýva poradie matice. Preto môžeme povedať, že na to, aby inverzná matica existovala, je potrebné a postačujúce, aby sa hodnosť matice rovnala jej rozmeru, t.j. r = n.

Algoritmus na nájdenie inverznej matice

1. Do tabuľky na riešenie sústav rovníc Gaussovou metódou zapíšte maticu A a priraďte jej vpravo (namiesto pravých strán rovníc) maticu E.
2. Pomocou Jordanových transformácií zredukujte maticu A na maticu pozostávajúcu z jednotkových stĺpcov; v tomto prípade je potrebné súčasne transformovať maticu E.
3. V prípade potreby preusporiadajte riadky (rovnice) poslednej tabuľky tak, aby ste pod maticou A pôvodnej tabuľky dostali maticu identity E.
4. Zapíšte si inverznú maticu A -1, ktorá sa nachádza v poslednej tabuľke pod maticou E pôvodnej tabuľky.

Príklad 1

Pre maticu A nájdite inverznú maticu A -1

Riešenie: Napíšeme maticu A a maticu identity E priradíme doprava Pomocou Jordanových transformácií zredukujeme maticu A na maticu identity E. Výpočty sú uvedené v tabuľke 31.1.

Skontrolujme si správnosť výpočtov vynásobením pôvodnej matice A a inverznej matice A -1.

Ako výsledok násobenia matice sa získala matica identity. Preto boli výpočty vykonané správne.

odpoveď:

Riešenie maticových rovníc

Maticové rovnice môžu vyzerať takto:

AX = B, HA = B, AXB = C,

kde A, B, C sú špecifikované matice, X je požadovaná matica.

Maticové rovnice sa riešia vynásobením rovnice inverznými maticami.

Napríklad, ak chcete nájsť maticu z rovnice, musíte túto rovnicu vynásobiť vľavo.

Preto, aby ste našli riešenie rovnice, musíte nájsť inverznú maticu a vynásobiť ju maticou na pravej strane rovnice.

Ostatné rovnice sú riešené podobne.

Príklad 2

Vyriešte rovnicu AX = B, ak

Riešenie: Pretože inverzná matica sa rovná (pozri príklad 1)

Maticová metóda v ekonomickej analýze

Spolu s inými sa tiež používajú maticové metódy. Tieto metódy sú založené na lineárnej a vektorovej maticovej algebre. Takéto metódy sa používajú na účely analýzy zložitých a viacrozmerných ekonomických javov. Najčastejšie sa tieto metódy využívajú vtedy, keď je potrebné vykonať porovnávacie hodnotenie fungovania organizácií a ich štruktúrnych členení.

V procese aplikácie metód maticovej analýzy možno rozlíšiť niekoľko fáz.

V prvej fáze vytvára sa sústava ekonomických ukazovateľov a na jej základe sa zostavuje matica počiatočných údajov, čo je tabuľka, v ktorej sú v jednotlivých riadkoch uvedené systémové čísla (i = 1,2,...,n), a vo zvislých stĺpcoch - čísla ukazovateľov (j = 1,2,....,m).

V druhej fáze Pre každý vertikálny stĺpec je identifikovaná najväčšia z dostupných hodnôt indikátora, ktorá sa berie ako jedna.

Potom sa všetky sumy uvedené v tomto stĺpci vydelia najvyššia hodnota a vytvorí sa matica štandardizovaných koeficientov.

V tretej etape všetky zložky matice sú odmocnené. Ak majú rozdielny význam, potom je každému maticovému indikátoru priradený určitý váhový koeficient k. Hodnota posledného je určená znaleckým posudkom.

Na poslednom, štvrtá etapa nájdené hodnoty hodnotenia R j sú zoskupené v poradí podľa ich zvýšenia alebo zníženia.

Uvedené maticové metódy by sa mali použiť napríklad vtedy, keď komparatívna analýza rôznych investičných akciách, ako aj pri posudzovaní iných ekonomických ukazovateľov organizácií.

(niekedy sa táto metóda nazýva aj maticová metóda alebo metóda inverznej matice) vyžaduje predbežné oboznámenie sa s takou koncepciou, akou je maticová forma zápisu SLAE. Metóda inverznej matice je určená na riešenie tých systémov lineárnych algebraických rovníc, v ktorých je determinant matice systému odlišný od nuly. Prirodzene to predpokladá, že matica systému je štvorcová (koncept determinantu existuje len pre štvorcové matice). Podstatu metódy inverznej matice možno vyjadriť v troch bodoch:

1. Napíšte tri matice: systémovú maticu $A$, maticu neznámych $X$, maticu voľných členov $B$.
2. Nájdite inverznú maticu $A^(-1)$.
3. Pomocou rovnosti $X=A^(-1)\cdot B$ získajte riešenie daného SLAE.

Akýkoľvek SLAE môže byť napísaný v maticovej forme ako $A\cdot X=B$, kde $A$ je matica systému, $B$ je matica voľných výrazov, $X$ je matica neznámych. Nech existuje matica $A^(-1)$. Vynásobme obe strany rovnosti $A\cdot X=B$ maticou $A^(-1)$ vľavo:

$$A^(-1)\cdot A\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$

Keďže $A^(-1)\cdot A=E$ ($E$ je matica identity), vyššie napísaná rovnosť bude:

$$E\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$

Keďže $E\cdot X=X$, potom:

$$X=A^(-1)\cdot B.$$

Príklad č.1

Vyriešte SLAE $ \left \( \začiatok(zarovnané) & -5x_1+7x_2=29;\\ & 9x_1+8x_2=-11. \end(zarovnané) \right.$ pomocou inverznej matice.

$$ A=\left(\začiatok(pole) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \koniec(pole)\vpravo);\; B=\left(\začiatok(pole) (c) 29\\ -11 \koniec(pole)\vpravo);\; X=\vľavo(\začiatok(pole) (c) x_1\\ x_2 \koniec(pole)\vpravo). $$

Nájdime inverznú maticu k sústave matice, t.j. Vypočítajme $A^(-1)$. V príklade č.2

$$ A^(-1)=-\frac(1)(103)\cdot\left(\začiatok(pole)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\koniec (pole)\vpravo) . $$

Teraz dosaďte všetky tri matice ($X$, $A^(-1)$, $B$) do rovnosti $X=A^(-1)\cdot B$. Potom vykonáme násobenie matice

$$ \left(\begin(pole) (c) x_1\\ x_2 \end(pole)\right)= -\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(pole)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\koniec (pole)\vpravo)\cdot \left(\začiatok(pole) (c) 29\\ -11 \koniec(pole)\vpravo)=\\ =-\frac (1)(103)\cdot \left(\začiatok(pole) (c) 8\cdot 29+(-7)\cdot (-11)\\ -9\cdot 29+(-5)\cdot (- 11) \end(pole)\right)= -\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(pole) (c) 309\\ -206 \end(pole)\right)=\left( \začiatok(pole) (c) -3\\ 2\koniec(pole)\vpravo). $$

Dostali sme teda rovnosť $\left(\začiatok(pole) (c) x_1\\ x_2 \end(pole)\right)=\left(\začiatok(pole) (c) -3\\ 2\end( pole )\vpravo)$. Z tejto rovnosti máme: $x_1=-3$, $x_2=2$.

Odpoveď: $x_1=-3$, $x_2=2$.

Príklad č.2

Vyriešte SLAE $ \left\(\začiatok(zarovnané) & x_1+7x_2+3x_3=-1;\\ & -4x_1+9x_2+4x_3=0;\\ & 3x_2+2x_3=6. \end(zarovnané)\vpravo .$ pomocou metódy inverznej matice.

Zapíšme si maticu systému $A$, maticu voľných členov $B$ a maticu neznámych $X$.

$$ A=\left(\začiatok(pole) (ccc) 1 & 7 & 3\\ -4 & 9 & 4 \\0 & 3 & 2\koniec (pole)\vpravo);\; B=\left(\začiatok(pole) (c) -1\\0\\6\koniec(pole)\vpravo);\; X=\vľavo(\začiatok(pole) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \koniec(pole)\vpravo). $$

Teraz je na rade nájsť inverznú maticu matice systému, t.j. nájsť $A^(-1)$. V príklade č. 3 na stránke venovanej hľadaniu inverzných matíc už bola inverzná matica nájdená. Použime hotový výsledok a napíšme $A^(-1)$:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(pole) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 a 37\koniec (pole)\vpravo). $$

Teraz nahraďme všetky tri matice ($X$, $A^(-1)$, $B$) rovnosťou $X=A^(-1)\cdot B$ a potom vykonajte násobenie matice na pravej strane tejto rovnosti.

$$ \left(\begin(pole) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(pole)\right)= \frac(1)(26)\cdot \left(\begin(pole) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\koniec (pole) \vpravo)\cdot \left(\začiatok(pole) (c) -1\\0\ \6\end(pole)\right)=\\ =\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(pole) (c) 6\cdot(-1)+(-5)\cdot 0 +1\cdot 6 \\ 8\cdot (-1)+2\cdot 0+(-16)\cdot 6 \\ -12\cdot (-1)+(-3)\cdot 0+37\cdot 6 \end(pole)\right)=\frac(1)(26)\cdot \left(\začiatok(pole) (c) 0\\-104\\234\end(pole)\right)=\left( \začiatok(pole) (c) 0\\-4\\9\koniec (pole)\vpravo) $$

Takže máme rovnosť $\left(\začiatok(pole) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(pole)\right)=\left(\začiatok(pole) (c) 0\\-4 \ \9\koniec(pole)\vpravo)$. Z tejto rovnosti máme: $x_1=0$, $x_2=-4$, $x_3=9$.

V prvej časti sme sa pozreli na nejaký teoretický materiál, substitučnú metódu, ako aj metódu sčítania po členoch systémových rovníc. Odporúčam každému, kto sa na stránku dostal cez túto stránku, aby si prečítal prvú časť. Možno sa niektorým návštevníkom bude zdať látka príliš jednoduchá, ale v procese riešenia sústav lineárnych rovníc som vyslovil množstvo veľmi dôležitých pripomienok a záverov týkajúcich sa riešenia matematických úloh vo všeobecnosti.

Teraz budeme analyzovať Cramerovo pravidlo, ako aj riešenie systému lineárnych rovníc pomocou inverznej matice (maticová metóda). Všetky materiály sú prezentované jednoducho, podrobne a jasne, takmer všetci čitatelia sa budú môcť naučiť riešiť systémy pomocou vyššie uvedených metód.

Najprv sa bližšie pozrieme na Cramerovo pravidlo pre sústavu dvoch lineárnych rovníc o dvoch neznámych. Prečo? - Po všetkom najjednoduchší systém možno riešiť školskou metódou, metódou sčítania po semestri!

Faktom je, že aj keď niekedy sa takáto úloha vyskytne - vyriešiť systém dvoch lineárnych rovníc s dvoma neznámymi pomocou Cramerových vzorcov. Po druhé, jednoduchší príklad vám pomôže pochopiť, ako použiť Cramerovo pravidlo pre zložitejší prípad – systém troch rovníc s tromi neznámymi.

Okrem toho existujú systémy lineárnych rovníc s dvoma premennými, ktoré je vhodné riešiť pomocou Cramerovho pravidla!

Zvážte sústavu rovníc

V prvom kroku vypočítame determinant, tzv hlavný determinant systému.

Gaussova metóda.

Ak , potom systém má jediné rozhodnutie a na nájdenie koreňov musíme vypočítať ďalšie dva determinanty:
A

V praxi možno označiť aj vyššie uvedené kvalifikátory latinské písmeno.

Korene rovnice nájdeme pomocou vzorcov:
,

Príklad 7

Vyriešte sústavu lineárnych rovníc

Riešenie: Vidíme, že koeficienty rovnice sú dosť veľké, na pravej strane sú desatinné miesta s čiarkou. Čiarka je pomerne zriedkavým hosťom v praktických úlohách z matematiky Tento systém som prevzal z ekonometrickej úlohy.

Ako vyriešiť takýto systém? Môžete sa pokúsiť vyjadriť jednu premennú pomocou druhej, ale v tomto prípade pravdepodobne skončíte s hroznými ozdobnými zlomkami, s ktorými je mimoriadne nepohodlné pracovať a návrh riešenia bude vyzerať jednoducho hrozne. Druhú rovnicu môžete vynásobiť 6 a odčítať člen od člena, ale aj tu vzniknú rovnaké zlomky.

Čo robiť? V takýchto prípadoch prichádzajú na pomoc Cramerove vzorce.

;

;

Odpoveď: ,

Oba korene majú nekonečné chvosty a nachádzajú sa približne, čo je celkom prijateľné (a dokonca bežné) pre problémy ekonometrie.

Komentáre tu nie sú potrebné, pretože úloha sa rieši pomocou hotových vzorcov, je tu však jedno upozornenie. Kedy použiť túto metódu, povinné Fragment návrhu úlohy je nasledujúci fragment: „To znamená, že systém má jedinečné riešenie“. V opačnom prípade vás recenzent môže potrestať za nerešpektovanie Cramerovej vety.

Nebolo by zbytočné kontrolovať, čo je vhodné vykonať na kalkulačke: nahradíme približné hodnoty v ľavá strana každá rovnica systému. Výsledkom je, že s malou chybou by ste mali dostať čísla, ktoré sú na správnych stranách.

Príklad 8

Odpoveď prezentujte obyčajne nesprávne zlomky. Vykonajte kontrolu.

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami (príklad konečného návrhu a odpoveď na konci hodiny).

Prejdime k Cramerovmu pravidlu pre systém troch rovníc s tromi neznámymi:

Nájdeme hlavný determinant systému:

Ak , potom má systém nekonečne veľa riešení alebo je nekonzistentný (nemá žiadne riešenia). V tomto prípade Cramerovo pravidlo nepomôže, musíte použiť Gaussovu metódu.

Ak , potom má systém jedinečné riešenie a na nájdenie koreňov musíme vypočítať ďalšie tri determinanty:
, ,

A nakoniec sa odpoveď vypočíta pomocou vzorcov:

Ako vidíte, prípad „tri po troch“ sa v zásade nelíši od prípadu „dva po dvoch“ stĺpec voľných výrazov postupne „prechádza“ zľava doprava pozdĺž stĺpcov hlavného determinantu.

Príklad 9

Vyriešte systém pomocou Cramerových vzorcov.

Riešenie: Riešime sústavu pomocou Cramerových vzorcov.

, čo znamená, že systém má jedinečné riešenie.

Odpoveď: .

V skutočnosti tu opäť nie je nič zvláštne na komentár, pretože riešenie sa riadi hotovými vzorcami. Existuje však niekoľko pripomienok.

Stáva sa, že v dôsledku výpočtov sa získajú „zlé“ neredukovateľné frakcie, napríklad: .
Odporúčam nasledujúci „liečebný“ algoritmus. Ak nemáte po ruke počítač, postupujte takto:

1) Vo výpočtoch môže byť chyba. Akonáhle narazíte na „zlý“ zlomok, musíte okamžite skontrolovať Je podmienka prepísaná správne?. Ak je podmienka prepísaná bez chýb, potom je potrebné prepočítať determinanty pomocou rozšírenia v inom riadku (stĺpci).

2) Ak sa v dôsledku kontroly nezistia žiadne chyby, pravdepodobne došlo k preklepu v podmienkach úlohy. V tomto prípade pokojne a OPATRNE prepracujte úlohu až do konca a potom určite skontrolujte a po rozhodnutí to vypíšeme na čistý list. Samozrejme, kontrola zlomkovej odpovede je nepríjemná úloha, ale bude to odzbrojujúci argument pre učiteľa, ktorý veľmi rád dá mínus za každú hovadinu typu . Ako narábať so zlomkami je podrobne popísané v odpovedi na príklad 8.

Ak máte po ruke počítač, potom na kontrolu použite automatizovaný program, ktorý si môžete zadarmo stiahnuť hneď na začiatku lekcie. Mimochodom, najvýhodnejšie je použiť program hneď (ešte pred spustením riešenia okamžite uvidíte medzikrok, kde ste urobili chybu); Rovnaká kalkulačka automaticky vypočíta riešenie sústavy pomocou maticovej metódy.

Druhá poznámka. Z času na čas existujú systémy, v ktorých rovnice niektoré premenné chýbajú, napr.

Tu v prvej rovnici nie je žiadna premenná, v druhej nie je žiadna premenná. V takýchto prípadoch je veľmi dôležité správne a POZORNE zapísať hlavný determinant:
– namiesto chýbajúcich premenných sa umiestnia nuly.
Mimochodom, je racionálne otvárať determinanty s nulami podľa riadku (stĺpca), v ktorom je nula umiestnená, pretože existuje výrazne menej výpočtov.

Príklad 10

Vyriešte systém pomocou Cramerových vzorcov.

Toto je príklad samostatného riešenia (ukážka konečného návrhu a odpoveď na konci hodiny).

V prípade systému 4 rovníc so 4 neznámymi sú Cramerove vzorce napísané podľa podobných princípov. Živý príklad si môžete pozrieť v lekcii Vlastnosti determinantov. Zmenšenie poradia determinantu – päť determinantov 4. rádu je celkom riešiteľných. Hoci úloha už veľmi pripomína profesorskú topánku na hrudi šťastného študenta.

Riešenie sústavy pomocou inverznej matice

Metóda inverznej matice je v podstate špeciálny prípad maticová rovnica(Pozri príklad č. 3 uvedenej lekcie).

Ak chcete študovať túto časť, musíte byť schopní rozšíriť determinanty, nájsť inverznú hodnotu matice a vykonať násobenie matice. Príslušné odkazy budú poskytnuté v priebehu vysvetlení.

Príklad 11

Riešte sústavu maticovou metódou

Riešenie: Napíšme systém v maticovom tvare:
, Kde

Pozrite si systém rovníc a matíc. Myslím, že každý chápe princíp, akým zapisujeme prvky do matíc. Jediná poznámka: ak by v rovniciach chýbali nejaké premenné, museli by sa na zodpovedajúce miesta v matici umiestniť nuly.

Inverznú maticu nájdeme pomocou vzorca:
, kde je transponovaná matica algebraických doplnkov zodpovedajúcich prvkov matice.

Najprv sa pozrime na determinant:

Tu je determinant rozšírený na prvom riadku.

Pozor! Ak , potom inverzná matica neexistuje a systém nie je možné vyriešiť maticovou metódou. V tomto prípade je systém riešený metódou eliminácie neznámych (Gaussova metóda).

Teraz musíme vypočítať 9 maloletých a zapísať ich do matice maloletých

Referencia: Je užitočné poznať význam dvojitých indexov v lineárnej algebre. Prvá číslica je číslo riadku, v ktorom sa prvok nachádza. Druhá číslica je číslo stĺpca, v ktorom sa prvok nachádza:

To znamená, že dvojitý dolný index označuje, že prvok je v prvom riadku, treťom stĺpci a napríklad prvok je v 3. riadku, 2. stĺpci