Riešenie kvadratických nerovností graficky. Lineárne nerovnice, príklady, riešenia

Jednou z najpohodlnejších metód riešenia kvadratických nerovností je grafická metóda. V tomto článku si rozoberieme, ako sa graficky riešia kvadratické nerovnosti. Najprv si povedzme, čo je podstatou tejto metódy. A potom dáme algoritmus a zvážime príklady riešenia kvadratických nerovností graficky.

Navigácia na stránke.

Podstata grafickej metódy

Vo všeobecnosti grafický spôsob riešenia nerovností s jednou premennou sa používa nielen na riešenie štvorcových nerovností, ale aj nerovností iných typov. Podstata grafickej metódy riešenia nerovnostíďalej: zvážte funkcie y=f(x) a y=g(x), ktoré zodpovedajú ľavému a pravé časti nerovností, zostavte ich grafy do jednej pravouhlej súradnicovej sústavy a zistite, v akých intervaloch sa graf jednej z nich nachádza pod alebo nad druhou. Tie intervaly kde

• graf funkcie f nad grafom funkcie g sú riešenia nerovnosti f(x)>g(x) ;
• graf funkcie f nie nižší ako graf funkcie g sú riešenia nerovnosti f(x)≥g(x) ;
• graf funkcie f pod grafom funkcie g sú riešenia nerovnosti f(x)
• graf funkcie f nie nad grafom funkcie g sú riešenia nerovnosti f(x)≤g(x) .

Povedzme tiež, že úsečky priesečníkov grafov funkcií f a g sú riešením rovnice f(x)=g(x) .

Prenesme tieto výsledky do nášho prípadu – na vyriešenie kvadratickej nerovnosti a x 2 +b x+c<0 (≤, >, ≥).

Zavedieme dve funkcie: prvá y=a x 2 +b x+c (v tomto prípade f(x)=a x 2 +b x+c) zodpovedá ľavej strane kvadratickej nerovnosti, druhá y=0 (v tento prípad g (x)=0 ) zodpovedá pravej strane nerovnosti. harmonogram kvadratickej funkcie f je parabola a graf trvalá funkcia g je priamka zhodná s osou x x.

Ďalej je podľa grafickej metódy riešenia nerovníc potrebné analyzovať, v akých intervaloch sa graf jednej funkcie nachádza nad alebo pod druhou, čo nám umožní zapísať požadované riešenie kvadratickej nerovnosti. V našom prípade musíme analyzovať polohu paraboly vzhľadom na os Ox.

V závislosti od hodnôt koeficientov a, b a c je možných nasledujúcich šesť možností (pre naše potreby postačí schematické znázornenie a je možné neznázorniť os Oy, pretože jej poloha nemá vplyv na riešenie nerovnosti):

Na tomto obrázku vidíme parabolu, ktorej vetvy smerujú nahor a ktorá pretína os Ox v dvoch bodoch, ktorých úsečky sú x 1 a x 2 . Tento nákres zodpovedá variantu, keď je koeficient a kladný (zodpovedá za smerovanie vetiev paraboly nahor) a keď je kladná diskriminant štvorcového trojčlenu a x 2 +b x + c (v tomto prípade má trojčlen dva korene, ktoré sme označili ako x 1 a x 2 a predpokladali sme, že x 1 0 , D=b 2 −4 a c=(−1) 2 −4 1 (−6)=25>0 x1 = -2, x2 = 3.

Pre prehľadnosť nakreslíme červenou farbou časti paraboly umiestnené nad osou x a modrou farbou - umiestnenú pod osou x.


Teraz poďme zistiť, aké medzery zodpovedajú týmto častiam. Nasledujúci nákres im pomôže určiť (v budúcnosti mentálne urobíme takéto výbery vo forme obdĺžnikov):


Takže na osi x boli dva intervaly (−∞, x 1) a (x 2, +∞) zvýraznené červenou farbou, na ktorých je parabola vyššia ako os Ox, tvoria riešenie kvadratickej nerovnosti a x 2 +b x+c>0 , a interval (x 1 , x 2) je zvýraznený modrou farbou, na ňom je parabola pod osou Ox , je to riešenie nerovnosti a x 2 + b x + c<0 . Решениями нестрогих квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c≥0 и a·x 2 +b·x+c≤0 будут те же промежутки, но в них следует включить числа x 1 и x 2 , отвечающие равенству a·x 2 +b·x+c=0 .

A teraz stručne: pre a>0 a D=b 2 −4 a c>0 (alebo D"=D/4>0 pre párny koeficient b)

• riešenie kvadratickej nerovnosti a x 2 +b x+c>0 je (−∞, x 1)∪(x 2 , +∞) alebo iným spôsobom x x2;
• riešenie kvadratickej nerovnosti a x 2 +b x+c≥0 je (−∞, x 1 ]∪ alebo v inom zápise x 1 ≤x≤x 2 ,

kde x 1 a x 2 sú korene štvorcového trojčlenu a x 2 + b x + c a x 1


Tu vidíme parabolu, ktorej vetvy smerujú nahor, a ktorá sa dotýka osi úsečky, čiže má s ňou jeden spoločný bod, označme úsečku tohto bodu x 0. Prezentovaný prípad zodpovedá a>0 (vetvy smerujú nahor) a D=0 ( štvorcový trojčlen má jeden koreň x 0 ). Napríklad si môžete vziať kvadratickej funkcie y=x2-4x+4, tu a=1>0, D=(-4)2-414=0 a xo=2.

Nákres jasne ukazuje, že parabola sa nachádza nad osou Ox všade, okrem bodu dotyku, teda v intervaloch (−∞, x 0), (x 0, ∞) . Pre prehľadnosť vyberáme oblasti na výkrese analogicky s predchádzajúcim odsekom.


Vyvodíme závery: pre a>0 a D=0

• riešenie kvadratickej nerovnosti a x 2 +b x+c>0 je (−∞, x 0)∪(x 0 , +∞) alebo v inom zápise x≠x 0 ;
• riešenie kvadratickej nerovnosti a x 2 +b x+c≥0 je (−∞, +∞) alebo v inom zápise x∈R ;
• kvadratická nerovnosť a x 2 +b x+c<0 не имеет решений (нет интервалов, на которых парабола расположена ниже оси Ox );
• kvadratická nerovnosť a x 2 +b x+c≤0 má jednoznačné riešenie x=x 0 (je dané dotykovým bodom),

kde x 0 je odmocnina štvorcovej trojčlenky a x 2 + b x + c.


V tomto prípade sú vetvy paraboly nasmerované nahor a nemá žiadne spoločné body s osou x. Tu máme podmienky a>0 (vetvy smerujú nahor) a D<0 (квадратный трехчлен не имеет действительных корней). Для примера можно построить график функции y=2·x 2 +1 , здесь a=2>0, D=02-421=-8<0 .

Je zrejmé, že parabola je umiestnená nad osou Ox po celej svojej dĺžke (nie sú žiadne intervaly, kde by bola pod osou Ox, nie je tam žiadny bod dotyku).


Teda pre a>0 a D<0 решением квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c>0 a a x 2 +b x+c≥0 je množina všetkých reálnych čísel a nerovností a x 2 +b x+c<0 и a·x 2 +b·x+c≤0 не имеют решений.

A existujú tri možnosti umiestnenia paraboly s vetvami smerujúcimi nadol a nie nahor vzhľadom na os Ox. V zásade ich nemožno brať do úvahy, pretože vynásobením oboch častí nerovnosti −1 môžeme prejsť na ekvivalentnú nerovnosť s kladným koeficientom pri x 2 . Nie je však na škodu urobiť si o týchto prípadoch predstavu. Tu je zdôvodnenie podobné, preto zapisujeme len hlavné výsledky.

Algoritmus riešenia

Výsledkom všetkých predchádzajúcich výpočtov je Algoritmus na grafické riešenie štvorcových nerovností:

Na súradnicovej rovine sa urobí schematický výkres, na ktorom je znázornená os Ox (nie je potrebné znázorniť os Oy) a náčrt paraboly zodpovedajúcej kvadratickej funkcii y=a x 2 + b x + c. Na zostavenie náčrtu paraboly stačí zistiť dva body:

• Najprv sa hodnotou koeficientu a zistí, kam smerujú jeho vetvy (pre a>0 - hore, pre a<0 – вниз).
• A po druhé, hodnotou diskriminantu štvorcovej trojčlenky a x 2 + b x + c vyjde, či parabola pretína os x v dvoch bodoch (pre D> 0), dotýka sa jej v jednom bode (pre D= 0), alebo nemá žiadne spoločné body s osou Ox (pre D<0 ). Для удобства на чертеже указываются координаты точек пересечения или координата точки касания (при наличии этих точек), а сами точки изображаются выколотыми при решении строгих неравенств, или обычными при решении нестрогих неравенств.

• Keď je výkres pripravený, na ňom v druhom kroku algoritmu

  • pri riešení kvadratickej nerovnosti a·x 2 +b·x+c>0 sa určia intervaly, v ktorých sa parabola nachádza nad osou x;
  • pri riešení nerovnosti a x 2 +b x+c≥0 sa určia intervaly, v ktorých sa parabola nachádza nad osou úsečky a pripočítajú sa k nim úsečky priesečníkov (resp. úsečka dotykového bodu);
  • pri riešení nerovnosti a x 2 +b x+c<0 находятся промежутки, на которых парабола ниже оси Ox ;
  • nakoniec pri riešení kvadratickej nerovnosti tvaru a x 2 +b x + c≤0 existujú intervaly, kde je parabola pod osou Ox a k nim sa pripočítajú úsečky priesečníkov (alebo úsečka dotykového bodu). ;

  predstavujú požadované riešenie kvadratickej nerovnosti a ak neexistujú žiadne takéto intervaly a žiadne styčné body, potom pôvodná kvadratická nerovnosť nemá riešenia.

Zostáva len vyriešiť niekoľko kvadratických nerovností pomocou tohto algoritmu.

Príklady s riešeniami

Príklad.

Vyriešte nerovnosť .

Riešenie.

Potrebujeme vyriešiť kvadratickú nerovnosť, použijeme algoritmus z predchádzajúceho odseku. V prvom kroku musíme nakresliť náčrt grafu kvadratickej funkcie . Koeficient pri x 2 je 2, je kladný, preto vetvy paraboly smerujú nahor. Zistime tiež, či parabola s osou x má spoločné body, na to vypočítame diskriminant štvorcovej trojčlenky . Máme . Ukázalo sa, že diskriminant je väčší ako nula, preto má trinom dva skutočné korene: a , to znamená x 1 = -3 a x 2 = 1/3.

Z toho je zrejmé, že parabola pretína os Ox v dvoch bodoch s úsečkami −3 a 1/3. Tieto body na výkrese znázorníme ako obyčajné body, keďže riešime neprísnu nerovnosť. Podľa objasnených údajov získame nasledujúci nákres (zodpovedá prvej šablóne z prvého odseku článku):

Prejdeme k druhému kroku algoritmu. Keďže riešime nestriktnú kvadratickú nerovnicu so znamienkom ≤, musíme určiť intervaly, v ktorých sa parabola nachádza pod osou úsečky a pridať k nim úsečky priesečníkov.

Z nákresu je vidieť, že parabola je pod osou v intervale (−3, 1/3) a pripočítame k nej úsečky priesečníkov, teda čísla −3 a 1/3. Výsledkom je, že sa dostaneme k číselnému segmentu [−3, 1/3] . Toto je požadované riešenie. Dá sa zapísať ako dvojitá nerovnosť −3≤x≤1/3 .

odpoveď:

[−3, 1/3] alebo −3≤x≤1/3.

Príklad.

Nájdite riešenie kvadratickej nerovnosti −x 2 +16 x−63<0 .

Riešenie.

Ako obvykle začíname kresbou. Číselný koeficient pre druhú mocninu premennej je záporný, −1, preto vetvy paraboly smerujú nadol. Vypočítajme diskriminant, alebo lepšie jeho štvrtú časť: D"=82 −(−1)(−63)=64−63=1. Jeho hodnota je kladná, vypočítame korene štvorcového trinomu: a xi=7 a x2=9. Parabola teda pretína os Ox v dvoch bodoch s úsečkami 7 a 9 (počiatočná nerovnosť je striktná, preto tieto body znázorníme s prázdnym stredom) Teraz môžeme urobiť schematický nákres:

Keďže riešime striktnú znamienkovú kvadratickú nerovnosť<, то нас интересуют промежутки, на которых парабола расположена ниже оси абсцисс:

Nákres ukazuje, že riešenia pôvodnej kvadratickej nerovnosti sú dva intervaly (−∞, 7) , (9, +∞) .

odpoveď:

(−∞, 7)∪(9, +∞) alebo v inom zápise x<7 , x>9 .

Pri riešení štvorcových nerovností, keď je diskriminant štvorcového trinómu na jeho ľavej strane rovný nule, si treba dať pozor na zahrnutie alebo vylúčenie úsečky dotyčnicového bodu z odpovede. Závisí to od znaku nerovnosti: ak je nerovnosť prísna, potom to nie je riešenie nerovnosti, a ak je neprísne, potom áno.

Príklad.

Má kvadratická nerovnosť 10 x 2 −14 x+4,9≤0 aspoň jedno riešenie?

Riešenie.

Nakreslíme funkciu y=10 x 2 −14 x+4,9 . Jeho vetvy sú nasmerované nahor, pretože koeficient v x 2 je kladný a dotýka sa úsečky v bode s osou 0,7, pretože D "=(−7) 2 −10 4,9=0, odkiaľ alebo 0,7 ako desatinné číslo. Schematicky to vyzerá takto:

Keďže riešime kvadratickú nerovnicu so znamienkom ≤, jej riešením budú intervaly, na ktorých je parabola pod osou Ox, ako aj úsečka bodu dotyčnice. Z nákresu je vidieť, že nie je ani jedna medzera, kde by bola parabola pod osou Ox, preto jej riešením bude len úsečka bodu dotyku, teda 0,7.

odpoveď:

táto nerovnosť má jedinečné riešenie 0,7 .

Príklad.

Vyriešte kvadratickú nerovnosť –x 2 +8 x−16<0 .

Riešenie.

Postupujeme podľa algoritmu na riešenie kvadratických nerovností a začneme vykresľovaním. Vetvy paraboly smerujú nadol, pretože koeficient pri x 2 je záporný, −1. Nájdite diskriminant štvorcového trinomu –x 2 +8 x−16 , máme D'=42 -(-1)(-16)=16-16=0 a ďalej x°=-4/(-1), x°=4. Parabola sa teda dotýka osi Ox v bode s úsečkou 4 . Urobme si kresbu:

Pozeráme sa na znak pôvodnej nerovnosti, je to tak<. Согласно алгоритму, решение неравенства в этом случае составляют все промежутки, на которых парабола расположена строго ниже оси абсцисс.

V našom prípade sú to otvorené lúče (−∞, 4) , (4, +∞) . Samostatne si všimneme, že 4 - úsečka dotykového bodu - nie je riešením, pretože v dotykovom bode nie je parabola nižšia ako os Ox.

odpoveď:

(−∞, 4)∪(4, +∞) alebo v inom zápise x≠4 .

Venujte zvláštnu pozornosť prípadom, keď je diskriminant štvorcovej trojčlenky na ľavej strane štvorcovej nerovnosti menší ako nula. Netreba sa tu ponáhľať a povedať, že nerovnica nemá riešenia (na takýto záver sme zvyknutí robiť pre kvadratické rovnice so záporným diskriminantom). Ide o to, že kvadratická nerovnosť pre D<0 может иметь решение, которым является множество всех действительных чисел.

Príklad.

Nájdite riešenie kvadratickej nerovnosti 3 x 2 +1>0 .

Riešenie.

Ako obvykle začíname kresbou. Koeficient a je 3, je kladný, preto vetvy paraboly smerujú nahor. Vypočítajte diskriminant: D=0 2 −4 3 1=−12 . Keďže diskriminant je záporný, parabola nemá žiadne spoločné body s osou x. Získané informácie sú dostatočné pre schematický diagram:

Riešime striktnú kvadratickú nerovnosť so znamienkom >. Jeho riešením budú všetky intervaly, kde je parabola nad osou Ox. V našom prípade je parabola po celej dĺžke nad osou x, takže požadovaným riešením bude množina všetkých reálnych čísel.

Ox , a tiež k nim musíte pridať úsečku priesečníkov alebo úsečku dotykového bodu. Ale kresba jasne ukazuje, že neexistujú žiadne takéto medzery (keďže parabola je všade pod osou x), rovnako ako neexistujú žiadne priesečníky, rovnako ako neexistujú žiadne body kontaktu. Preto pôvodná kvadratická nerovnosť nemá riešenia.

odpoveď:

neexistujú žiadne riešenia alebo v inom zápise ∅.

Bibliografia.

• Algebra: učebnica pre 8 buniek. všeobecné vzdelanie inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; vyd. S. A. Teljakovskij. - 16. vyd. - M. : Vzdelávanie, 2008. - 271 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Algebra: 9. ročník: učebnica. pre všeobecné vzdelanie inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; vyd. S. A. Teljakovskij. - 16. vyd. - M. : Vzdelávanie, 2009. - 271 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Mordkovič A.G. Algebra. 8. trieda. O 14:00 1. časť Učebnica pre študentov vzdelávacích inštitúcií / A. G. Mordkovich. - 11. vyd., vymazané. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 s.: chor. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Mordkovič A.G. Algebra. 9. ročník O 14.00 h Časť 1. Učebnica pre študentov vzdelávacích inštitúcií / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13. vydanie, Sr. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 s.: chor. ISBN 978-5-346-01752-3.
• Mordkovič A.G. Algebra a začiatok matematickej analýzy. 11. ročník O 14:00 1. časť Učebnica pre študentov vzdelávacích inštitúcií ( úroveň profilu) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2. vyd., vymazané. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 s.: chor. ISBN 978-5-346-01027-2.

Teraz môžeme zistiť, ako sú vyriešené lineárne nerovnosti a x + b<0 (они могут быть записаны и с помощью любого другого знака неравенства).

Hlavným spôsobom ich riešenia je použitie ekvivalentných transformácií, ktoré umožňujú dospieť k a≠0 to elementárne nerovnosti tvaru x

, ≥), p - nejaké číslo, ktoré je požadovaným riešením a pre a=0 - na číselné nerovnosti tvaru a

, ≥), z ktorého sa vyvodzuje záver o riešení pôvodnej nerovnosti. Najprv to analyzujeme.

Taktiež nezaškodí pozrieť sa na riešenie lineárnych nerovností s jednou premennou a z iných pozícií. Ukážeme si preto aj to, ako môžete lineárnu nerovnosť vyriešiť graficky a pomocou intervalovej metódy.

Použitie ekvivalentných transformácií

Potrebujeme vyriešiť lineárnu nerovnosť a x+b<0 (≤, >, ≥). Ukážme si, ako to urobiť pomocou ekvivalentných transformácií nerovnosti.

V tomto prípade sa prístupy líšia v závislosti od toho, či sa koeficient a pre premennú x rovná nule alebo nie. Pozrime sa na ne postupne. Okrem toho sa pri zvažovaní budeme držať trojbodovej schémy: najprv uvedieme podstatu procesu, potom dáme algoritmus na riešenie lineárnej nerovnosti a nakoniec dáme riešenia typických príkladov.

Začnime s algoritmus na riešenie lineárnej nerovnosti a x+b<0 (≤, >, ≥) pri ≠0.

• Najprv sa číslo b prenesie na pravú stranu nerovnosti s opačným znamienkom. To nám umožňuje prejsť na ekvivalentnú nerovnosť a x<−b (≤, >, ≥).
• Po druhé, obe časti výslednej nerovnosti sú rozdelené nenulovým číslom a. Navyše, ak a je kladné číslo, potom sa zachová znamienko nerovnosti a ak a je záporné číslo, potom sa znamienko nerovnosti obráti. V dôsledku toho sa získa elementárna nerovnosť, ktorá je ekvivalentná pôvodnej lineárnej nerovnosti a toto je odpoveď.

Zostáva pochopiť použitie hlasového algoritmu s príkladmi. Zvážte, ako sa s ním riešia lineárne nerovnosti pre a≠0 .

Príklad.

Vyriešte nerovnosť 3 x+12≤0 .

Riešenie.

Pre túto lineárnu nerovnosť máme a=3 ab=12. Je zrejmé, že koeficient a pre premennú x je nenulový. Použijeme zodpovedajúci algoritmus riešenia uvedený vyššie.

Najprv prenesieme výraz 12 na pravú stranu nerovnosti, pričom nezabudneme zmeniť jej znamienko, to znamená, že na pravej strane bude -12. Výsledkom je ekvivalentná nerovnosť 3·x≤−12 .

A po druhé, obe časti výslednej nerovnosti vydelíme 3, keďže 3 je kladné číslo, potom sa znamienko nerovnosti nemení. Máme (3 x):3≤(−12):3 , čo je rovnaké ako x≤−4 .

Výsledná elementárna nerovnosť x≤−4 je ekvivalentná pôvodnej lineárnej nerovnosti a je jej požadovaným riešením.

Takže riešením lineárnej nerovnosti 3 x+12≤0 je akékoľvek reálne číslo menšie alebo rovné mínus štyri. Odpoveď možno zapísať aj ako číselný interval zodpovedajúci nerovnosti x≤−4 , teda ako (−∞, −4] .

Získaním zručnosti pre prácu s lineárnymi nerovnosťami možno ich riešenia písať stručne bez vysvetlenia. V tomto prípade sa najprv zapíše počiatočná lineárna nerovnosť a nižšie sú ekvivalentné nerovnosti získané v každom kroku riešenia:
3x+12≤0;
3 x ≤ -12;
x≤-4.

odpoveď:

x≤−4 alebo (−∞, −4] .

Príklad.

Uveďte všetky riešenia lineárnej nerovnosti −2,7 z>0 .

Riešenie.

Tu je koeficient a s premennou z −2,7. A koeficient b chýba v explicitnej forme, to znamená, že sa rovná nule. Preto prvý krok algoritmu na riešenie lineárnej nerovnosti s jednou premennou nie je potrebné vykonať, pretože prenos nuly z ľavej strany na pravú nezmení tvar pôvodnej nerovnosti.

Zostáva vydeliť obe strany nerovnosti -2,7, pričom nezabudnite obrátiť znamienko nerovnosti, pretože -2,7 je záporné číslo. Máme (-2,7 z): (-2,7)<0:(−2,7) , a ďalej z<0 .

A teraz stručne:
-2,7 z>0;
z<0 .

odpoveď:

z<0 или (−∞, 0) .

Príklad.

Vyriešte nerovnosť .

Riešenie.

Potrebujeme vyriešiť lineárnu nerovnosť s koeficientom a pre premennú x rovným −5 a koeficientom b, ktorému zlomok zodpovedá −15/22. Postupujeme podľa známej schémy: najprv prenesieme −15/22 na pravú stranu s opačným znamienkom, potom obe časti nerovnosti vydelíme záporným číslom −5, pričom znamienko nerovnosti zmeníme:

Posledný prechod na pravej strane využíva , potom vykonaný .

odpoveď:

Teraz prejdime k prípadu, keď a=0 . Princíp riešenia lineárnej nerovnosti a x+b<0 (знак, естественно, может быть и другим) при a=0 , то есть, неравенства 0·x+b<0 , заключается в рассмотрении числового неравенства b<0 и выяснении, верное оно или нет.

Na čom je založená? Veľmi jednoducho: o definícii riešenia nerovnosti. Ako? Áno, je to tu: bez ohľadu na to, akú hodnotu premennej x dosadíme do pôvodnej lineárnej nerovnosti, dostaneme číselnú nerovnosť tvaru b<0 (так как при подстановке любого значения t вместо переменной x мы имеем 0·t+b<0 , откуда b<0 ). Если оно верное, то это означает, что любое число является решением исходного неравенства. Если же числовое неравенство b<0 оказывается неверным, то это говорит о том, что исходное линейное неравенство не имеет решений, так как не существует ни одного значения переменной, которое обращало бы его в верное числовое равенство.

Sformulujme vyššie uvedenú úvahu do formulára algoritmus na riešenie lineárnych nerovností 0 x+b<0 (≤, >, ≥) :

• Zvážte číselnú nerovnosť b<0 (≤, >, ≥) a
• ak je to pravda, potom riešením pôvodnej nerovnosti je ľubovoľné číslo;
• ak je nepravdivá, potom pôvodná lineárna nerovnosť nemá riešenia.

Teraz sa na to pozrime s príkladmi.

Príklad.

Vyriešte nerovnosť 0 x+7>0 .

Riešenie.

Pre ľubovoľnú hodnotu premennej x sa lineárna nerovnosť 0 x+7>0 zmení na numerickú nerovnosť 7>0 . Posledná nerovnosť je pravdivá, preto akékoľvek číslo je riešením pôvodnej nerovnosti.

odpoveď:

riešením je ľubovoľné číslo alebo (−∞, +∞) .

Príklad.

Má lineárna nerovnosť riešenia 0 x−12,7≥0 .

Riešenie.

Ak namiesto premennej x dosadíme ľubovoľné číslo, pôvodná nerovnosť sa zmení na číselnú nerovnosť −12,7≥0, čo je nesprávne. A to znamená, že žiadne číslo nie je riešením lineárnej nerovnosti 0 x−12,7≥0 .

odpoveď:

nie, nie je.

Na záver tejto podkapitoly budeme analyzovať riešenia dvoch lineárnych nerovností, ktorých koeficienty sú rovné nule.

Príklad.

Ktorá z lineárnych nerovností 0 x+0>0 a 0 x+0≥0 nemá riešenia a ktorá má nekonečne veľa riešení?

Riešenie.

Ak namiesto premennej x dosadíme ľubovoľné číslo, potom prvá nerovnosť bude mať tvar 0>0 a druhá - 0≥0 . Prvý je nesprávny a druhý je správny. Preto lineárna nerovnosť 0 x+0>0 nemá riešenia a nerovnosť 0 x+0≥0 má nekonečne veľa riešení, konkrétne jej riešením je ľubovoľné číslo.

odpoveď:

nerovnosť 0 x+0>0 nemá riešenia a nerovnosť 0 x+0≥0 má nekonečne veľa riešení.

intervalová metóda

Vo všeobecnosti sa intervalová metóda študuje v kurze školskej algebry neskôr, ako je prebratá téma riešenia lineárnych nerovníc s jednou premennou. Intervalová metóda však umožňuje riešiť rôzne nerovnosti, vrátane lineárnych. Preto sa pri tom pozastavme.

Hneď si všimneme, že na riešenie lineárnych nerovníc s nenulovým koeficientom pre premennú x je vhodné použiť intervalovú metódu. V opačnom prípade sa záver o riešení nerovnosti dá rýchlejšie a pohodlnejšie urobiť spôsobom, o ktorom sme hovorili na konci predchádzajúceho odseku.

Z toho vyplýva intervalová metóda

• zavedenie funkcie zodpovedajúcej ľavej strane nerovnosti, v našom prípade - lineárna funkcia y=a x+b,
• nájdenie jeho núl, ktoré rozdeľujú definičný obor na intervaly,
• určenie znamienok, ktoré majú hodnoty funkcie na týchto intervaloch, na základe čoho sa urobí záver o riešení lineárnej nerovnosti.

Zozbierajme tieto momenty algoritmu, odhaľujúce, ako riešiť lineárne nerovnosti a x+b<0 (≤, >, ≥) pri a≠0 intervalovou metódou:

• Nájdeme nuly funkcie y=a x+b, pre ktoré je vyriešené a x+b=0. Ako viete, pre a≠0 má jeden koreň, ktorý označujeme x 0 .
• Je postavený a je na ňom znázornený bod so súradnicou x 0. Navyše, ak sa vyrieši prísna nerovnosť (so znamienkom< или >), potom je tento bod prepichnutý (s prázdnym stredom) a ak nie je presný (so znamienkom ≤ alebo ≥), vloží sa obyčajný bod. Tento bod rozdeľuje súradnicovú čiaru na dva intervaly (−∞, x 0) a (x 0 , +∞) .
• Určia sa znamienka funkcie y=a·x+b na týchto intervaloch. Na tento účel sa vypočíta hodnota tejto funkcie v ľubovoľnom bode intervalu (−∞, x 0) a znamienko tejto hodnoty bude požadovaným znamienkom na intervale (−∞, x 0) . Podobne znamienko na intervale (x 0 , +∞) sa zhoduje so znamienkom hodnoty funkcie y=a·x+b v ktoromkoľvek bode tohto intervalu. Môžete sa však zaobísť bez týchto výpočtov a vyvodiť závery o znamienkach podľa hodnoty koeficientu a: ak a>0, potom na intervaloch (−∞, x 0) a (x 0, +∞) budú znamienka - a +, a ak a >0 , potom + a -.
• Ak sa vyrieši nerovnosť so znamienkami > alebo ≥, potom sa cez medzeru umiestni šrafovanie so znamienkom plus a ak sa vyriešia nerovnosti so znamienkami< или ≤, то – со знаком минус. В результате получается , которое и является искомым решением линейного неравенства.

Uvažujme o príklade riešenia lineárnej nerovnosti intervalovou metódou.

Príklad.

Vyriešte nerovnosť −3 x+12>0 .

Riešenie.

Hneď ako analyzujeme metódu intervalov, potom ju použijeme. Podľa algoritmu najprv nájdeme koreň rovnice −3 x+12=0 , −3 x=−12 , x=4 . Ďalej znázorníme súradnicovú čiaru a označíme na nej bod so súradnicou 4 a tento bod urobíme vyrazeným, pretože riešime prísnu nerovnosť:

Teraz definujeme znaky na intervaloch. Na určenie znamienka na intervale (−∞, 4) môžete vypočítať hodnotu funkcie y=−3 x+12 , napríklad pre x=3 . Máme −3 3+12=3>0 , čo znamená, že znamienko + je na tomto intervale. Na určenie znamienka na inom intervale (4, +∞) môžete vypočítať hodnotu funkcie y=−3 x+12 , napríklad v bode x=5 . Máme −3 5+12=−3<0 , значит, на этом промежутке знак −. Эти же выводы можно было сделать на основании значения коэффициента при x : так как он равен −3 , то есть, он отрицательный, то на промежутке (−∞, 4) будет знак +, а на промежутке (4, +∞) знак −. Проставляем определенные знаки над соответствующими промежутками:

Keďže nerovnosť riešime znamienkom >, nakreslíme cez medzeru šrafu so znamienkom +, kresba má tvar

Na základe výsledného obrázku usúdime, že požadované riešenie je (−∞, 4) alebo v inom zápise x<4 .

odpoveď:

(−∞, 4) alebo x<4 .

Graficky

Je užitočné mať predstavu o geometrickej interpretácii riešenia lineárnych nerovností v jednej premennej. Aby sme to dosiahli, uvažujme štyri lineárne nerovnosti s rovnakou ľavou stranou: 0,5 x−1<0 , 0,5·x−1≤0 , 0,5·x−1>0 a 0,5 x−1≥0, ich riešenia sú x<2 , x≤2 , x>2 a x≥2 a tiež nakreslite graf lineárnej funkcie y=0,5 x−1.

Je ľahké to vidieť

• riešenie nerovnosti 0,5 x−1<0 представляет собой промежуток, на котором график функции y=0,5·x−1 располагается ниже оси абсцисс (эта часть графика изображена синим цветом),
• riešením nerovnosti 0,5 x−1≤0 je interval, na ktorom je graf funkcie y=0,5 x−1 pod osou Ox alebo sa s ňou zhoduje (inými slovami, nie nad osou x),
• podobne, riešením nerovnosti 0,5 x−1>0 je interval, na ktorom je graf funkcie nad osou Ox (táto časť grafu je znázornená červenou farbou),
• a riešením nerovnosti 0,5 x−1≥0 je interval, na ktorom je graf funkcie vyšší alebo sa zhoduje s osou x.

Grafický spôsob riešenia nerovností, najmä lineárnych, a znamená nájsť intervaly, na ktorých sa graf funkcie zodpovedajúcej ľavej strane nerovnosti nachádza nad, pod, nie nižšie ani vyššie ako graf funkcie zodpovedajúcej pravej strane nerovnosti. nerovnosť. V našom prípade lineárnej nerovnosti funkcia zodpovedajúca ľavej strane je y=a x+b a pravá strana je y=0, čo sa zhoduje s osou Ox.

Vzhľadom na vyššie uvedené informácie je ľahké ho formulovať Algoritmus na grafické riešenie lineárnych nerovností:

• Zostrojí sa graf funkcie y=a x+b (môžete schematicky) a
• pri riešení nerovnosti a x+b<0 определяется промежуток, на котором график ниже оси Ox ,
• pri riešení nerovnosti a x+b≤0 sa určí interval, na ktorom je graf nižší alebo sa zhoduje s osou Ox,
• pri riešení nerovnosti a x+b>0 sa určí interval, na ktorom je graf nad osou Ox,
• pri riešení nerovnosti a x+b≥0 sa určí interval, na ktorom je graf vyššie alebo sa zhoduje s osou Ox .

Príklad.

Vyriešte nerovnosť graficky.

Riešenie.

Zostavme náčrt grafu lineárnej funkcie . Toto je priamka, ktorá klesá, pretože koeficient v x je záporný. Potrebujeme tiež súradnicu jej priesečníka s osou úsečky, je to koreň rovnice , čo sa rovná . Pre naše účely ani nepotrebujeme kresliť os Oy. Takže náš schematický výkres bude vyzerať takto

Keďže riešime nerovnosť so znamienkom >, zaujíma nás interval, na ktorom je graf funkcie nad osou Ox. Pre názornosť si túto časť grafu zvýrazníme červenou farbou a aby sme mohli jednoducho určiť interval zodpovedajúci tejto časti, zvýrazníme červenou farbou časť súradnicovej roviny, v ktorej sa nachádza vybraná časť grafu, ako napr. na obrázku nižšie:

Interval, ktorý nás zaujíma, je súčasťou osi Ox, ktorá sa ukázala byť zvýraznená červenou farbou. Je zrejmé, že ide o otvorený číselný lúč . Toto je požadované riešenie. Všimnite si, že ak by sme nerovnosť riešili nie so znamienkom >, ale s neprísnym znamienkom nerovnosti ≥, museli by sme v odpovedi pridať, keďže v tomto bode je graf funkcie sa zhoduje s osou Ox .y=0·x+7 , ktorá je rovnaká ako y=7, definuje priamku v rovine súradníc rovnobežnú s osou Ox a leží nad ňou. Preto nerovnosť 0 x+7<=0 не имеет решений, так как нет промежутков, на которых график функции y=0·x+7 ниже оси абсцисс.

A graf funkcie y=0 x+0 , ktorý je rovnaký ako y=0 , je priamka zhodná s osou Ox . Preto riešením nerovnosti 0 x+0≥0 je množina všetkých reálnych čísel.

odpoveď:

druhá nerovnica, jej riešením je akékoľvek reálne číslo.

Lineárne nerovnosti

Obrovské množstvo nerovností pomocou ekvivalentných transformácií môže byť nahradené ekvivalentnou lineárnou nerovnicou, inými slovami, redukované na lineárnu nerovnosť. Takéto nerovnosti sú tzv nerovnosti redukujúce na lineárne.

V škole takmer súčasne s riešením lineárnych nerovností uvažujú aj o jednoduchých nerovnostiach, ktoré sa redukujú na lineárne. Sú to špeciálne prípady. celočíselných nerovností, totiž v ich ľavej a pravej časti sú celočíselné výrazy, ktoré predstavujú resp lineárne dvojčlenky, alebo sú na ne prevedené pomocou a . Pre názornosť uvádzame niekoľko príkladov takýchto nerovností: 5−2 x>0 , 7 (x−1)+3≤4 x−2+x, .

Nerovnosti, ktoré sú vo forme podobné tým, ktoré sú uvedené vyššie, môžu byť vždy znížené na lineárne. Dá sa to urobiť otvorením zátvoriek, uvedením podobných výrazov, preusporiadaním výrazov a presunutím výrazov z jednej časti nerovnosti do druhej s opačným znamienkom.

Napríklad na zmenšenie nerovnosti 5−2 x>0 na lineárnu stačí preusporiadať členy na jej ľavej strane, máme −2 x+5>0 . Na zmenšenie druhej nerovnosti 7 (x−1)+3≤4 x−2+x na lineárnu potrebujeme trochu viac práce: na ľavej strane otvoríme zátvorky 7 x−7+3≤4 x− 2+x , potom prinesieme rovnaké členy v oboch častiach 7 x−4≤5 x−2 , potom prenesieme členy z pravej strany na ľavú 7 x−4−5 x+2≤0 a nakoniec dajte rovnaké výrazy na ľavej strane 2 ·x−2≤0 . Podobne možno tretiu nerovnosť zredukovať na lineárnu nerovnosť.

Pretože takéto nerovnosti sa dajú vždy zredukovať na lineárne, niektorí autori ich dokonca nazývajú aj lineárne. Budeme ich však považovať za lineárne.

Teraz je jasné, prečo sa takéto nerovnosti zvažujú spolu s lineárnymi nerovnosťami. A princíp ich riešenia je úplne rovnaký: vykonaním ekvivalentných transformácií sa dajú zredukovať na elementárne nerovnosti, ktoré sú želanými riešeniami.

Ak chcete vyriešiť nerovnosť tohto druhu, môžete ju najskôr znížiť na lineárnu a potom túto lineárnu nerovnosť vyriešiť. Ale je to racionálnejšie a pohodlnejšie to urobiť:

• po otvorení zátvoriek zozbierajte všetky členy s premennou na ľavej strane nerovnosti a všetky čísla na pravej strane,
• a potom pridajte podobné výrazy,
• a potom obe časti získanej nerovnosti vydeľte koeficientom v x (ak je, samozrejme, iný ako nula). Toto dá odpoveď.

Príklad.

Vyriešte nerovnosť 5 (x+3)+x≤6 (x−3)+1 .

Riešenie.

Najprv otvoríme zátvorky, výsledkom čoho je nerovnosť 5 x+15+x≤6 x−18+1 . Teraz uvádzame podobné pojmy: 6 x+15≤6 x−17 . Ďalej prenesieme podmienky z ľavá strana, dostaneme 6 x+15−6 x+17≤0 a opäť redukujeme podobné členy (čo nás vedie k lineárnej nerovnosti 0 x+32≤0 ) a máme 32≤0 . Dospeli sme teda k nesprávnej číselnej nerovnosti, z ktorej usudzujeme, že pôvodná nerovnosť nemá riešenia.

odpoveď:

neexistujú žiadne riešenia.

Na záver poznamenávame, že existuje mnoho ďalších nerovností, ktoré sa redukujú na lineárne nerovnosti alebo na nerovnosti vyššie uvedeného tvaru. Napríklad riešenie exponenciálna nerovnosť 5 2 x−1 ≥1 redukuje na riešenie lineárnej nerovnosti 2 x−1≥0 . Ale o tom budeme hovoriť, keď budeme analyzovať riešenia nerovníc zodpovedajúceho tvaru.

Bibliografia.

• Algebra: učebnica pre 8 buniek. všeobecné vzdelanie inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; vyd. S. A. Teljakovskij. - 16. vyd. - M. : Vzdelávanie, 2008. - 271 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Algebra: 9. ročník: učebnica. pre všeobecné vzdelanie inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; vyd. S. A. Teljakovskij. - 16. vyd. - M. : Vzdelávanie, 2009. - 271 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Mordkovič A.G. Algebra. 8. trieda. O 14:00 1. časť Učebnica pre študentov vzdelávacích inštitúcií / A. G. Mordkovich. - 11. vyd., vymazané. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 s.: chor. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Mordkovič A.G. Algebra. 9. ročník O 14.00 h Časť 1. Učebnica pre študentov vzdelávacích inštitúcií / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13. vydanie, Sr. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 s.: chor. ISBN 978-5-346-01752-3.
• Mordkovič A.G. Algebra a začiatok matematickej analýzy. 11. ročník O 14.00 h Časť 1. Učebnica pre študentov vzdelávacích inštitúcií (profilová úroveň) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2. vyd., vymazané. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 s.: chor. ISBN 978-5-346-01027-2.

pozri tiež Grafické riešenie úlohy lineárneho programovania, Kanonická forma úloh lineárneho programovania

Systém obmedzení pre takýto problém pozostáva z nerovností v dvoch premenných:
a účelová funkcia má tvar F = C 1 X + C 2 r, ktorá sa má maximalizovať.

Odpovedzme na otázku: aké dvojice čísel ( X; r) sú riešenia sústavy nerovností, t.j. vyhovujú každej z nerovností súčasne? Inými slovami, čo to znamená riešiť systém graficky?
Najprv musíte pochopiť, aké je riešenie jednej lineárnej nerovnosti s dvoma neznámymi.
Vyriešiť lineárnu nerovnosť s dvoma neznámymi znamená určiť všetky dvojice hodnôt neznámych, pre ktoré je nerovnosť splnená.
Napríklad nerovnosť 3 X – 5r≥ 42 uspokojí dvojice ( X , r): (100, 2); (3, –10) atď. Problémom je nájsť všetky takéto dvojice.
Zvážte dve nerovnosti: sekera + podľa≤ c, sekera + podľa≥ c. Rovno sekera + podľa = c rozdelí rovinu na dve polroviny tak, aby súradnice bodov jednej z nich vyhovovali nerovnosti sekera + podľa >c a ďalšia nerovnosť sekera + +podľa <c.
Skutočne, vezmite bod so súradnicou X = X 0; potom bod ležiaci na priamke s úsečkou X 0 , má ordinát

Nechaj pre istotu a<0, b>0, c>0. Všetky body s osou x X 0 vyššie P(napr. bodka M), mať y M>r 0 a všetky body pod bodom P, s úsečkou X 0, mať yN<r 0 Pretože X 0 je ľubovoľný bod, potom budú na jednej strane čiary vždy body, pre ktoré sekera+ podľa > c, tvoriaci polrovinu, a na druhej strane body, pre ktoré sekera + podľa< c.

Obrázok 1

Znamienko nerovnosti v polrovine závisí od čísel a, b , c.
Z toho vyplýva nasledujúca metóda pre grafické riešenie sústav lineárnych nerovníc v dvoch premenných. Na vyriešenie systému potrebujete:

1. Pre každú nerovnosť zapíšte rovnicu zodpovedajúcu danej nerovnosti.
2. Zostrojte čiary, ktoré sú grafmi funkcií daných rovnicami.
3. Pre každú priamku určte polrovinu, ktorá je daná nerovnicou. Aby ste to urobili, vezmite ľubovoľný bod, ktorý neleží na priamke, dosaďte jeho súradnice do nerovnosti. ak je nerovnica pravdivá, potom polrovina obsahujúca zvolený bod je riešením pôvodnej nerovnosti. Ak je nerovnosť nepravdivá, potom polrovina na druhej strane priamky je množinou riešení tejto nerovnosti.
4. Na vyriešenie systému nerovností je potrebné nájsť oblasť priesečníka všetkých polrovín, ktoré sú riešením každej nerovnosti v systéme.

Táto oblasť sa môže ukázať ako prázdna, potom systém nerovností nemá riešenia, je nekonzistentný. V opačnom prípade je systém údajne kompatibilný.
Riešením môže byť konečné číslo a nekonečná množina. Oblasť môže byť uzavretý polygón alebo môže byť neobmedzená.

Pozrime sa na tri relevantné príklady.

Príklad 1. Graficky vyriešte sústavu:
X + y- 1 ≤ 0;
–2X- 2r + 5 ≤ 0.

• uvažujme rovnice x+y–1=0 a –2x–2y+5=0 zodpovedajúce nerovniciam;
• zostrojme priame čiary dané týmito rovnicami.

Obrázok 2

Definujme polroviny dané nerovnicami. Vezmite ľubovoľný bod, nech (0; 0). Zvážte X+ y- 1 0 dosadíme bod (0; 0): 0 + 0 – 1 ≤ 0. teda v polrovine, kde leží bod (0; 0), X + r – 1 ≤ 0, t.j. polrovina ležiaca pod priamkou je riešením prvej nerovnosti. Dosadením tohto bodu (0; 0) do druhého dostaneme: –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, t.j. v polrovine, kde leží bod (0; 0), -2 X – 2r+ 5≥ 0 a dostali sme otázku, kde -2 X – 2r+ 5 ≤ 0 teda v inej polrovine - v tej nad priamkou.
Nájdite priesečník týchto dvoch polrovín. Čiary sú rovnobežné, teda roviny sa nikde nepretínajú, čiže sústava týchto nerovností nemá riešenia, je nesúrodá.

Príklad 2. Nájdite graficky riešenia sústavy nerovníc:

Obrázok 3
1. Napíšte rovnice zodpovedajúce nerovniciam a zostrojte priamky.
X + 2r– 2 = 0

X	2	0
r	0	1

r – X – 1 = 0

X	0	2
r	1	3

r + 2 = 0;
r = –2.
2. Po výbere bodu (0; 0) určíme znamienka nerovností v polrovinách:
0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0, t.j. X + 2r– 2 ≤ 0 v polrovine pod priamkou;
0 – 0 – 1 ≤ 0, t.j. r –X– 1 ≤ 0 v polrovine pod priamkou;
0 + 2 = 2 ≥ 0, t.j. r+ 2 ≥ 0 v polrovine nad čiarou.
3. Priesečník týchto troch polrovín bude plocha, ktorá je trojuholníkom. Nie je ťažké nájsť vrcholy oblasti ako priesečníky zodpovedajúcich čiar


Touto cestou, ALE(–3; –2), AT(0; 1), OD(6; –2).

Uvažujme ešte jeden príklad, v ktorom výsledná doména riešenia systému nie je obmedzená.

Graf lineárnej alebo kvadratickej nerovnosti sa zostavuje rovnakým spôsobom, ako sa zostavuje graf akejkoľvek funkcie (rovnice). Rozdiel je v tom, že nerovnosť implikuje viacero riešení, takže graf nerovností nie je len bod na číselnej osi alebo priamka na súradnicovej rovine. Pomocou matematických operácií a znaku nerovnosti môžete určiť množinu riešení nerovnosti.

Kroky

Grafické znázornenie lineárnej nerovnosti na číselnej osi

1. Vyriešte nerovnosť. Ak to chcete urobiť, izolujte premennú pomocou rovnakých algebraických trikov, ktoré používate na riešenie akejkoľvek rovnice. Pamätajte, že pri násobení alebo delení nerovnosti záporným číslom (alebo výrazom) otočte znamienko nerovnosti.

   • Napríklad vzhľadom na nerovnosť 3r + 9 > 12 (\displaystyle 3r+9>12). Ak chcete premennú izolovať, odčítajte 9 od oboch strán nerovnosti a potom obe strany vydeľte 3:
     3r + 9 > 12 (\displaystyle 3r+9>12)
     3 r + 9 − 9 > 12 − 9 (\displaystyle 3 y+9-9>12-9)
     3 roky > 3 (\displaystyle 3y>3)
     3 y 3 > 3 3 (\displaystyle (\frac (3y)(3))>(\frac (3)(3)))
     y > 1 (\displaystyle y>1)
   • Nerovnosť musí mať iba jednu premennú. Ak má nerovnosť dve premenné, je lepšie vykresliť graf na rovine súradníc.

2. Nakreslite číselnú os. Na číselnej osi označte nájdenú hodnotu (premenná môže byť menšia, väčšia alebo rovná tejto hodnote). Nakreslite číselnú os vhodnej dĺžky (dlhú alebo krátku).

   • Napríklad, ak ste to vypočítali y > 1 (\displaystyle y>1), označte na číselnom riadku hodnotu 1.

3. Nakreslite kruh, ktorý predstaví nájdenú hodnotu. Ak je premenná menšia ako ( < {\displaystyle <} ) alebo viac ( > (\displaystyle >)) tejto hodnoty, kruh nie je vyplnený, pretože množina riešení túto hodnotu neobsahuje. Ak je premenná menšia alebo rovná ( ≤ (\displaystyle \leq )) alebo väčší alebo rovný ( ≥ (\displaystyle\geq )) na túto hodnotu sa kruh vyplní, pretože množina riešení obsahuje túto hodnotu.

   • y > 1 (\displaystyle y>1), na číselnej osi nakreslite v bode 1 otvorený kruh, pretože 1 nie je v množine riešení.

4. Na číselnej osi vytieňujte oblasť, ktorá definuje množinu riešení. Ak je premenná väčšia ako nájdená hodnota, vytieňte oblasť napravo od nej, pretože sada riešení obsahuje všetky hodnoty, ktoré sú väčšie ako nájdená hodnota. Ak je premenná menšia ako nájdená hodnota, vytieňte oblasť naľavo od nej, pretože sada riešení obsahuje všetky hodnoty, ktoré sú menšie ako nájdená hodnota.

   • Napríklad vzhľadom na nerovnosť y > 1 (\displaystyle y>1), na číselnej osi vytieňujte oblasť napravo od 1, pretože sada riešení obsahuje všetky hodnoty väčšie ako 1.

   Grafické znázornenie lineárnej nerovnosti v rovine súradníc

   1. Vyriešte nerovnosť (nájdite hodnotu y (\displaystyle y)). Ak chcete získať lineárnu rovnicu, izolujte premennú na ľavej strane pomocou známej algebraické metódy. Premenná by mala zostať na pravej strane x (\displaystyle x) a možno aj nejakú konštantu.

      • Napríklad vzhľadom na nerovnosť 3r + 9 > 9x (\displaystyle 3y+9>9x). Na izoláciu premennej y (\displaystyle y), odčítajte 9 od oboch strán nerovnosti a potom obe strany vydeľte 3:
        3r + 9 > 9x (\displaystyle 3y+9>9x)
        3 r + 9 − 9 > 9 x − 9 (\displaystyle 3y+9-9>9x-9)
        3 y > 9 x − 9 (\displaystyle 3y>9x-9)
        3 y 3 > 9 x − 9 3 (\displaystyle (\frac (3y)(3))>(\frac (9x-9)(3)))
        y > 3 x − 3 (\displaystyle y> 3x-3)

   2. Nakreslite na rovinu súradníc lineárna rovnica. zápletka ako nakresliť graf ľubovoľnej lineárnej rovnice. Nakreslite priesečník s osou Y a potom nakreslite ďalšie body pomocou sklonu.

      • y > 3 x − 3 (\displaystyle y> 3x-3) nakreslite rovnicu y = 3 x − 3 (\displaystyle y=3x-3). Priesečník s osou Y má súradnice a sklon je 3 (alebo 3 1 (\displaystyle (\frac (3)(1)))). Najprv teda nakreslite bod so súradnicami (0 , − 3) (\displaystyle (0,-3)); bod nad priesečníkom s osou y má súradnice (1 , 0) (\displaystyle (1,0)); bod pod priesečníkom s osou y má súradnice (− 1 , − 6) (\displaystyle (-1,-6))

   3. Nakreslite rovnú čiaru. Ak je nerovnosť prísna (vrátane znamienka < {\displaystyle <} alebo > (\displaystyle >)), nakreslite bodkovanú čiaru, pretože sada riešení neobsahuje hodnoty ležiace na čiare. Ak nerovnosť nie je prísna (zahŕňa znamienko ≤ (\displaystyle \leq ) alebo ≥ (\displaystyle\geq )), nakreslite plnú čiaru, pretože množina riešení obsahuje hodnoty, ktoré ležia na čiare.

      • Napríklad v prípade nerovnosti y > 3 x − 3 (\displaystyle y> 3x-3) nakreslite bodkovanú čiaru, pretože sada riešení neobsahuje hodnoty ležiace na čiare.

   4. Zatiente príslušnú oblasť. Ak má nerovnosť tvar y > m x + b (\displaystyle y>mx+b), vyplňte oblasť nad čiarou. Ak má nerovnosť tvar r< m x + b {\displaystyle y, vyplňte oblasť pod čiarou.

      • Napríklad v prípade nerovnosti y > 3 x − 3 (\displaystyle y> 3x-3) zatieniť oblasť nad čiarou.

   Grafické znázornenie kvadratickej nerovnosti na rovine súradníc

   1. Určite, že táto nerovnosť je štvorcová. Kvadratická nerovnosť má tvar a x 2 + b x + c (\displaystyle ax^(2)+bx+c). Niekedy nerovnosť neobsahuje premennú prvého poriadku ( x (\displaystyle x)) a/alebo voľný výraz (konštantný), ale musí obsahovať premennú druhého rádu ( x 2 (\displaystyle x^(2))). Premenné x (\displaystyle x) a y (\displaystyle y) musia byť izolované na rôznych stranách nerovnosti.

      • Napríklad musíte vykresliť nerovnosť r< x 2 − 10 x + 16 {\displaystyle y.

   2. Nakreslite graf na rovine súradníc. Ak to chcete urobiť, transformujte nerovnosť na rovnicu a zápletka ako nakresliť akúkoľvek kvadratickú rovnicu. Pamätajte, že grafom kvadratickej rovnice je parabola.

      • Napríklad v prípade nerovnosti r< x 2 − 10 x + 16 {\displaystyle y vyniesť kvadratickú rovnicu y = x 2 − 10 x + 16 (\displaystyle y=x^(2)-10x+16). Vrchol paraboly je v bode (5 , − 9) (\displaystyle (5,-9)) a parabola pretína os x v bodoch (2 , 0) (\displaystyle (2,0)) a (8 , 0) (\displaystyle (8,0)).