Poďme pracovať s kvadratické rovnice. Toto sú veľmi populárne rovnice! Vo veľmi všeobecný pohľad kvadratická rovnica vyzerá takto:

Napríklad:

Tu A =1; b = 3; c = -4

Tu A =2; b = -0,5; c = 2,2

Tu A =-3; b = 6; c = -18

No chápeš...

Ako riešiť kvadratické rovnice? Ak máte pred sebou kvadratickú rovnicu v tomto tvare, potom je všetko jednoduché. Pamätajte na čarovné slovíčko diskriminačný . Málokedy toto slovo nepočul stredoškolák! Fráza „riešime prostredníctvom diskriminátora“ vzbudzuje dôveru a istotu. Pretože od diskriminujúceho netreba očakávať triky! Jeho používanie je jednoduché a bezproblémové. Takže vzorec na nájdenie koreňov kvadratickej rovnice vyzerá takto:

Výraz pod znamienkom koreňa je ten diskriminačný. Ako vidíte, na nájdenie X používame iba a, b a c. Tie. koeficienty z kvadratickej rovnice. Len opatrne nahraďte hodnoty a, b a c Toto je vzorec, ktorý vypočítame. Poďme nahradiť s vlastnými znakmi! Napríklad pre prvú rovnicu A =1; b = 3; c= -4. Tu si to zapíšeme:

Príklad je takmer vyriešený:

To je všetko.

Aké prípady sú možné pri použití tohto vzorca? Sú len tri prípady.

1. Diskriminant je pozitívny. To znamená, že z nej možno extrahovať koreň. Či sa koreň extrahuje dobre alebo zle, je iná otázka. Dôležité je to, čo sa v princípe extrahuje. Potom má vaša kvadratická rovnica dva korene. Dve rôzne riešenia.

2. Diskriminačný rovná nule. Potom máte jedno riešenie. Presne povedané, toto nie je jeden koreň, ale dve rovnaké. Ale to hrá rolu pri nerovnostiach, kde si danú problematiku preštudujeme podrobnejšie.

3. Diskriminant je negatívny. Od záporného čísla Odmocnina nevyťažené. No dobre. To znamená, že neexistujú žiadne riešenia.

Všetko je veľmi jednoduché. A čo, myslíte si, že nie je možné urobiť chybu? No áno, ako...
Najčastejšími chybami je zámena s hodnotami znamienka a, b a c. Alebo skôr nie s ich znakmi (kde sa zmiasť?), ale s nahradením záporných hodnôt do vzorca na výpočet koreňov. Tu pomáha podrobný záznam vzorca s konkrétnymi číslami. Ak sa vyskytnú problémy s výpočtami, urob to!

Predpokladajme, že potrebujeme vyriešiť nasledujúci príklad:

Tu a = -6; b = -5; c = -1

Povedzme, že viete, že odpovede na prvýkrát dostanete len zriedka.

No nebuď lenivý. Napísanie ďalšieho riadku a počtu chýb bude trvať asi 30 sekúnd sa prudko zníži. Píšeme teda podrobne so všetkými zátvorkami a znakmi:

Zdá sa neuveriteľne ťažké písať tak opatrne. Ale to sa len zdá. Pokúsiť sa. No, alebo si vyberte. Čo je lepšie, rýchle alebo správne? Okrem toho ťa poteším. Po chvíli už nebude potrebné všetko tak starostlivo zapisovať. Vyjde to samo od seba. Najmä ak používate praktické techniky, ktoré sú popísané nižšie. Tento zlý príklad s kopou mínusov sa dá vyriešiť jednoducho a bez chýb!

takže, ako riešiť kvadratické rovnice cez diskriminant, ktorý sme si zapamätali. Alebo sa naučili, čo je tiež dobré. Viete, ako správne určiť a, b a c. Vieš ako? pozorne nahradiť ich do koreňového vzorca a pozorne spočítať výsledok. pochopil si to kľúčové slovo Tu - pozorne?

Kvadratické rovnice však často vyzerajú trochu inak. Napríklad takto:

Toto neúplné kvadratické rovnice . Dajú sa vyriešiť aj prostredníctvom diskriminátora. Len treba správne pochopiť, čomu sa tu rovnajú. a, b a c.

Už ste na to prišli? V prvom príklade a = 1; b = -4; A c? Vôbec to tam nie je! No áno, je to tak. V matematike to znamená c = 0 ! To je všetko. Namiesto toho do vzorca nahraďte nulu c, a uspejeme. To isté s druhým príkladom. Len my tu nemáme nulu s, A b !

Neúplné kvadratické rovnice sa však dajú vyriešiť oveľa jednoduchšie. Bez akejkoľvek diskriminácie. Zoberme si prvú neúplnú rovnicu. Čo môžete robiť na ľavej strane? Môžete vyňať X zo zátvoriek! Vyberme to.

A čo z tohto? A skutočnosť, že súčin sa rovná nule práve vtedy, ak sa niektorý z faktorov rovná nule! neveríš mi? Dobre, potom vymyslite dve nenulové čísla, ktoré po vynásobení dajú nulu!
Nefunguje? to je všetko...
Preto môžeme s istotou napísať: x = 0, alebo x = 4

Všetky. Toto budú korene našej rovnice. Obe sú vhodné. Pri dosadení ktorejkoľvek z nich do pôvodnej rovnice dostaneme správnu identitu 0 = 0. Ako vidíte, riešenie je oveľa jednoduchšie ako použitie diskriminantu.

Aj druhá rovnica sa dá vyriešiť jednoducho. Presuňte 9 na pravú stranu. Dostaneme:

Zostáva len extrahovať koreň z 9 a je to. Ukáže sa:

Tiež dva korene . x = +3 a x = -3.

Takto sa riešia všetky neúplné kvadratické rovnice. Buď umiestnením X mimo hranatých zátvoriek, alebo jednoduchým posunutím čísla doprava a následným extrahovaním koreňa.
Je mimoriadne ťažké zamieňať tieto techniky. Jednoducho preto, že v prvom prípade budete musieť extrahovať odmocninu X, čo je akosi nezrozumiteľné a v druhom prípade nie je čo vyťahovať zo zátvoriek...

Teraz si všimnite praktické techniky, ktoré výrazne znižujú počet chýb. Tie isté, ktoré sú spôsobené nepozornosťou... Pre ktoré sa to neskôr stáva bolestivé a urážlivé...

Prvé stretnutie. Nebuďte leniví pred riešením kvadratickej rovnice a priveďte ju k nej štandardný pohľad. Čo to znamená?
Povedzme, že po všetkých transformáciách dostanete nasledujúcu rovnicu:

Neponáhľajte sa písať koreňový vzorec! Takmer určite si pomiešate šance a, b a c. Správne zostavte príklad. Najprv X na druhú, potom bez štvorca, potom voľný výraz. Páči sa ti to:

A opäť, neponáhľajte sa! Mínus pred X na druhú vás môže poriadne rozčúliť. Je ľahké zabudnúť... Zbavte sa mínusov. Ako? Áno, ako je uvedené v predchádzajúcej téme! Musíme vynásobiť celú rovnicu -1. Dostaneme:

Ale teraz si môžete pokojne zapísať vzorec pre korene, vypočítať diskriminant a dokončiť riešenie príkladu. Rozhodnite sa sami. Teraz by ste mali mať korene 2 a -1.

Recepcia ako druhá. Skontrolujte korene! Podľa Vietovej vety. Neboj sa, všetko ti vysvetlím! Kontrola posledná vec rovnica. Tie. ten, ktorý sme použili na zapisovanie koreňového vzorca. Ak (ako v tomto príklade) koeficient a = 1, kontrola koreňov je jednoduchá. Stačí ich namnožiť. Výsledkom by mal byť voľný člen, t.j. v našom prípade -2. Pozor, nie 2, ale -2! Voľný člen s tvojím znamením . Ak to nevyjde, znamená to, že to už niekde pokazili. Hľadajte chybu. Ak to funguje, musíte pridať korene. Posledná a posledná kontrola. Koeficient by mal byť b s opak známy. V našom prípade -1+2 = +1. A koeficient b, ktorý je pred X, sa rovná -1. Takže, všetko je správne!
Je škoda, že je to také jednoduché len pre príklady, kde x na druhú je čisté, s koeficientom a = 1. Ale overte si aspoň takéto rovnice! Chýb bude čoraz menej.

Tretia recepcia. Ak má vaša rovnica zlomkové koeficienty, zbavte sa zlomkov! Vynásobte rovnicu spoločným menovateľom podľa popisu v predchádzajúcej časti. Pri práci so zlomkami sa z nejakého dôvodu neustále vkrádajú chyby...

Mimochodom, sľúbil som, že zlý príklad zjednoduším s kopou mínusov. Prosím! Tu je.

Aby sme sa nenechali zmiasť mínusmi, rovnicu vynásobíme -1. Dostaneme:

To je všetko! Riešenie je radosť!

Poďme si teda zhrnúť tému.

Praktické rady:

1. Pred riešením uvedieme kvadratickú rovnicu do štandardného tvaru a zostavíme ju Správny.

2. Ak je pred druhou mocninou X záporný koeficient, odstránime ho vynásobením celej rovnice -1.

3. Ak sú koeficienty zlomkové, zlomky odstránime vynásobením celej rovnice príslušným koeficientom.

4. Ak je x na druhú čistú, jej koeficient sa rovná jednej, riešenie možno ľahko overiť pomocou Vietovej vety. Urob to!

Zlomkové rovnice. ODZ.

Pokračujeme v zvládnutí rovníc. S lineárnymi a kvadratickými rovnicami už vieme pracovať. Zostáva posledný pohľad - zlomkové rovnice. Alebo sa tiež nazývajú oveľa slušnejšie - zlomkové racionálne rovnice . To je to isté.

Zlomkové rovnice.

Ako už názov napovedá, tieto rovnice nevyhnutne obsahujú zlomky. Ale nielen zlomky, ale zlomky, ktoré majú neznámy v menovateli. Aspoň v jednom. Napríklad:

Dovoľte mi pripomenúť, že ak sú menovatelia iba čísla, to sú lineárne rovnice.

Ako sa rozhodnúť zlomkové rovnice? V prvom rade sa zbavte zlomkov! Potom sa rovnica najčastejšie zmení na lineárnu alebo kvadratickú. A potom vieme, čo máme robiť... V niektorých prípadoch sa to môže zmeniť na identitu, napríklad 5=5 alebo nesprávny výraz, napríklad 7=2. Ale to sa stáva zriedka. Spomeniem to nižšie.

Ale ako sa zbaviť zlomkov!? Veľmi jednoduché. Použitie rovnakých identických transformácií.

Musíme vynásobiť celú rovnicu rovnakým výrazom. Aby sa znížili všetky menovatele! Všetko bude hneď jednoduchšie. Vysvetlím to na príklade. Musíme vyriešiť rovnicu:

Ako vás učili na základnej škole? Všetko presunieme na jednu stranu, privedieme k spoločnému menovateľovi atď. Zabudni ako strašný sen! To je to, čo musíte urobiť, keď sčítate alebo odčítate zlomky. Alebo pracujete s nerovnosťami. A v rovniciach hneď vynásobíme obe strany výrazom, ktorý nám dá možnosť zredukovať všetky menovatele (t.j. v podstate o spoločného menovateľa). A čo je toto za výraz?

Na ľavej strane zmenšenie menovateľa vyžaduje násobenie x+2. A vpravo je potrebné násobenie číslom 2. To znamená, že rovnicu treba vynásobiť číslom 2(x+2). Násobiť:

Toto je bežné násobenie zlomkov, ale popíšem to podrobne:

Upozorňujeme, že zatiaľ neotváram držiak (x + 2)! Takže to píšem celé:

Na ľavej strane sa úplne stiahne (x+2), a vpravo 2. Čo bolo požadované! Po redukcii dostaneme lineárne rovnica:

A túto rovnicu dokáže vyriešiť každý! x = 2.

Vyriešime ďalší príklad, trochu komplikovanejší:

Ak si pamätáme, že 3 = 3/1, a 2x = 2x/ 1, môžeme napísať:

A opäť sa zbavíme toho, čo sa nám v skutočnosti nepáči - zlomkov.

Vidíme, že na zmenšenie menovateľa s X musíme zlomok vynásobiť (x – 2). A zopár nám nie je prekážkou. Nuž, množme sa. Všetky ľavá strana A všetky pravá strana:

Opäť zátvorky (x – 2) neprezrádzam. Pracujem so zátvorkou ako celkom, ako keby to bolo jedno číslo! Toto sa musí robiť vždy, inak sa nič nezníži.

S pocitom hlbokej spokojnosti redukujeme (x – 2) a dostaneme rovnicu bez zlomkov, s pravítkom!

Teraz otvoríme zátvorky:

Prinášame podobné, všetko presunieme na ľavú stranu a získame:

Klasická kvadratická rovnica. Ale to mínus dopredu nie je dobré. Vždy sa ho môžete zbaviť vynásobením alebo delením -1. Ale ak sa pozriete pozorne na príklad, všimnete si, že je najlepšie rozdeliť túto rovnicu na -2! Jedným ťahom zmizne mínus a šance sa stanú atraktívnejšími! Deliť -2. Na ľavej strane - člen po člene a napravo - jednoducho vydeľte nulu -2, nulou a dostaneme:

Riešime cez diskriminant a kontrolujeme pomocou Vietovej vety. Dostaneme x = 1 a x = 3. Dva korene.

Ako vidíte, v prvom prípade sa rovnica po transformácii stala lineárnou, ale tu sa stáva kvadratickou. Stáva sa, že po zbavení sa zlomkov sa všetky X zmenšia. Niečo zostáva, napríklad 5=5. Znamená to, že x môže byť čokoľvek. Nech je to čokoľvek, stále sa to zníži. A ukázalo sa, že je to čistá pravda, 5=5. Ale po odstránení zlomkov sa to môže ukázať ako úplne nepravdivé, napríklad 2=7. A to znamená, že žiadne riešenia! Akékoľvek X sa ukáže ako nepravdivé.

Realizované hlavná cesta riešenia zlomkové rovnice ? Je to jednoduché a logické. Pôvodný výraz zmeníme tak, aby zmizlo všetko, čo sa nám nepáči. Alebo to prekáža. V tomto prípade ide o zlomky. To isté urobíme so všetkými druhmi komplexné príklady s logaritmami, sínusmi a inými hrôzami. my Vždy Poďme sa toho všetkého zbaviť.

Musíme však zmeniť pôvodný výraz v smere, ktorý potrebujeme podľa pravidiel, áno... ktorej zvládnutím je príprava na Jednotnú štátnu skúšku z matematiky. Takže to zvládame.

Teraz sa naučíme, ako obísť jeden z hlavné zálohy na jednotnú štátnu skúšku! Najprv sa však pozrime, či do toho spadnete alebo nie?

Pozrime sa na jednoduchý príklad:

Vec je už známa, obe strany vynásobíme (x – 2), dostaneme:

Pripomínam vám, so zátvorkami (x – 2) Pracujeme akoby s jedným, celistvým výrazom!

Tu som už do menovateľov nenapísal ani jeden, je to nedôstojné... A do menovateľov som nekreslil zátvorky, okrem x – 2 nie je nič, nemusíte kresliť. Skrátime:

Otvorte zátvorky, posuňte všetko doľava a zadajte podobné:

Riešime, kontrolujeme, dostaneme dva korene. x = 2 A x = 3. Skvelé.

Predpokladajme, že zadanie hovorí, že treba zapísať odmocninu alebo ich súčet, ak existuje viac ako jeden odmocninec. čo budeme písať?

Ak sa rozhodnete, že odpoveď je 5, vy boli prepadnutí. A úloha vám nebude pripísaná. Pracovali márne... Správna odpoveď je 3.

Čo sa deje?! A skús to skontrolovať. Dosaďte hodnoty neznámeho do originálny príklad. A ak o x = 3 všetko spolu úžasne porastie, dostaneme 9 = 9, potom kedy x = 2 Bude to delenie nulou! Čo absolútne nemôžete urobiť. Prostriedky x = 2 nie je riešením a v odpovedi sa nezohľadňuje. Toto je takzvaný cudzí alebo extra koreň. Jednoducho to zahodíme. Konečný koreň je jeden. x = 3.

Ako to?! – Počujem rozhorčené výkriky. Učili nás, že rovnicu možno vynásobiť výrazom! Toto je identická premena!

Áno, identické. Pod malou podmienkou - výraz, ktorým násobíme (delíme) - odlišný od nuly. A x – 2 pri x = 2 rovná sa nule! Všetko je teda spravodlivé.

A čo teraz môžem urobiť?! Nemnožiť výrazom? Mám to zakaždým skontrolovať? Opäť je to nejasné!

Pokojne! Nerobte paniku!

V tejto ťažkej situácii nás zachránia tri čarovné písmená. Viem, čo si myslíš. Správny! Toto ODZ . Oblasť prijateľných hodnôt.

Kvadratické rovnice. Diskriminačný. Riešenie, príklady.

Pozor!
Existujú ďalšie
materiály v osobitnom oddiele 555.
Pre tých, ktorí sú veľmi „nie veľmi...“
A pre tých, ktorí „veľmi...“)

Typy kvadratických rovníc

Čo je to kvadratická rovnica? Ako to vyzerá? Z hľadiska kvadratická rovnica kľúčové slovo je "námestie". To znamená, že v rovnici Nevyhnutne tam musí byť x na druhú. Okrem toho rovnica môže (ale nemusí!) obsahovať len X (na prvú mocninu) a len číslo (voľný člen). A nemali by existovať žiadne X s mocninou väčšou ako dva.

Z matematického hľadiska je kvadratická rovnica rovnicou v tvare:

Tu a, b a c- nejaké čísla. b a c- úplne akékoľvek, ale A– čokoľvek iné ako nula. Napríklad:

Tu A =1; b = 3; c = -4

Tu A =2; b = -0,5; c = 2,2

Tu A =-3; b = 6; c = -18

No chápeš...

V týchto kvadratických rovniciach vľavo je Plný setčlenov. X na druhú s koeficientom A, x na prvú mocninu s koeficientom b A voľný člen s.

Takéto kvadratické rovnice sa nazývajú plný.

A keď b= 0, čo získame? Máme X sa stratí pre prvú mocninu. To sa stane, keď sa vynásobí nulou.) Ukáže sa napríklad:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x2+4x=0

A tak ďalej. A ak oba koeficienty b A c sa rovnajú nule, potom je to ešte jednoduchšie:

2x 2 = 0,

-0,3 x 2 = 0

Takéto rovnice, kde niečo chýba, sa nazývajú neúplné kvadratické rovnice.Čo je celkom logické.) Upozorňujeme, že x na druhú je prítomné vo všetkých rovniciach.

Mimochodom, prečo A nemôže sa rovnať nule? A namiesto toho nahrádzate A nula.) Naša X na druhú zmizne! Rovnica sa stane lineárnou. A riešenie je úplne iné...

To sú všetky hlavné typy kvadratických rovníc. Úplné a neúplné.

Riešenie kvadratických rovníc.

Riešenie úplných kvadratických rovníc.

Kvadratické rovnice sa dajú ľahko vyriešiť. Podľa vzorcov a jasných, jednoduchých pravidiel. V prvej fáze je to nevyhnutné pozadu daná rovnica viesť k štandardnému formuláru, t.j. do formulára:

Ak je rovnica už uvedená v tejto forme, nemusíte robiť prvú fázu.) Hlavná vec je správne určiť všetky koeficienty, A, b A c.

Vzorec na nájdenie koreňov kvadratickej rovnice vyzerá takto:

Výraz pod koreňovým znakom sa nazýva diskriminačný. Ale viac o ňom nižšie. Ako vidíte, na nájdenie X používame iba a, b a c. Tie. koeficienty z kvadratickej rovnice. Len opatrne nahraďte hodnoty a, b a c Počítame podľa tohto vzorca. Poďme nahradiť s vlastnými znakmi! Napríklad v rovnici:

A =1; b = 3; c= -4. Tu si to zapíšeme:

Príklad je takmer vyriešený:

Toto je odpoveď.

Všetko je veľmi jednoduché. A čo, myslíte si, že nie je možné urobiť chybu? No áno, ako...

Najčastejšími chybami je zámena s hodnotami znamienka a, b a c. Alebo skôr nie s ich znakmi (kde sa zmiasť?), ale s nahradením záporných hodnôt do vzorca na výpočet koreňov. Tu pomáha podrobný záznam vzorca s konkrétnymi číslami. Ak sa vyskytnú problémy s výpočtami, urob to!

Predpokladajme, že potrebujeme vyriešiť nasledujúci príklad:

Tu a = -6; b = -5; c = -1

Povedzme, že viete, že odpovede na prvýkrát dostanete len zriedka.

No nebuď lenivý. Napísanie ďalšieho riadku a počtu chýb bude trvať asi 30 sekúnd sa prudko zníži. Píšeme teda podrobne so všetkými zátvorkami a znakmi:

Zdá sa neuveriteľne ťažké písať tak opatrne. Ale to sa len zdá. Pokúsiť sa. No, alebo si vyberte. Čo je lepšie, rýchle alebo správne? Okrem toho ťa poteším. Po chvíli už nebude potrebné všetko tak starostlivo zapisovať. Vyjde to samo od seba. Najmä ak používate praktické techniky, ktoré sú popísané nižšie. Tento zlý príklad s kopou mínusov sa dá vyriešiť jednoducho a bez chýb!

Kvadratické rovnice však často vyzerajú trochu inak. Napríklad takto:

Spoznali ste to?) Áno! Toto neúplné kvadratické rovnice.

Riešenie neúplných kvadratických rovníc.

Môžu byť tiež vyriešené pomocou všeobecného vzorca. Len treba správne pochopiť, čomu sa tu rovnajú. a, b a c.

Už ste na to prišli? V prvom príklade a = 1; b = -4; A c? Vôbec to tam nie je! No áno, je to tak. V matematike to znamená c = 0 ! To je všetko. Namiesto toho do vzorca nahraďte nulu c, a uspejeme. To isté s druhým príkladom. Len my tu nemáme nulu s, A b !

Neúplné kvadratické rovnice sa však dajú vyriešiť oveľa jednoduchšie. Bez akýchkoľvek vzorcov. Zoberme si prvú neúplnú rovnicu. Čo môžete robiť na ľavej strane? Môžete vyňať X zo zátvoriek! Vyberme to.

A čo z tohto? A skutočnosť, že súčin sa rovná nule práve vtedy, ak sa niektorý z faktorov rovná nule! neveríš mi? Dobre, potom vymyslite dve nenulové čísla, ktoré po vynásobení dajú nulu!
Nefunguje? to je všetko...
Preto môžeme s istotou napísať: x 1 = 0, x 2 = 4.

Všetky. Toto budú korene našej rovnice. Obe sú vhodné. Pri dosadení ktorejkoľvek z nich do pôvodnej rovnice dostaneme správnu identitu 0 = 0. Ako vidíte, riešenie je oveľa jednoduchšie ako použitie všeobecného vzorca. Dovoľte mi poznamenať, ktoré X bude prvé a ktoré druhé - absolútne ľahostajné. Je vhodné písať v poradí, x 1- čo je menšie a x 2- to, čo je väčšie.

Aj druhá rovnica sa dá vyriešiť jednoducho. Presuňte 9 na pravú stranu. Dostaneme:

Zostáva len extrahovať koreň z 9 a je to. Ukáže sa:

Tiež dva korene . x 1 = -3, x 2 = 3.

Takto sa riešia všetky neúplné kvadratické rovnice. Buď umiestnením X mimo hranatých zátvoriek, alebo jednoduchým posunutím čísla doprava a následným extrahovaním koreňa.
Je mimoriadne ťažké zamieňať tieto techniky. Jednoducho preto, že v prvom prípade budete musieť extrahovať odmocninu X, čo je akosi nezrozumiteľné a v druhom prípade nie je čo vyťahovať zo zátvoriek...

Diskriminačný. Diskriminačný vzorec.

Čarovné slovo diskriminačný ! Málokedy toto slovo nepočul stredoškolák! Fráza „riešime prostredníctvom diskriminátora“ vzbudzuje dôveru a istotu. Pretože od diskriminujúceho netreba očakávať triky! Je to jednoduché a bezproblémové použitie.) Najviac vám pripomínam všeobecný vzorec pre riešenia akýkoľvek kvadratické rovnice:

Výraz pod koreňovým znakom sa nazýva diskriminant. Typicky je diskriminant označený písmenom D. Diskriminačný vzorec:

D = b2-4ac

A čo je na tomto výraze také pozoruhodné? Prečo si to zaslúžilo špeciálne meno? Čo čo znamená diskriminant? Po všetkom -b, alebo 2a v tomto vzorci to konkrétne nenazývajú nijako... Písmená a písmená.

Tu je vec. Pri riešení kvadratickej rovnice pomocou tohto vzorca je to možné len tri prípady.

1. Diskriminant je pozitívny. To znamená, že z nej možno extrahovať koreň. Či sa koreň extrahuje dobre alebo zle, je iná otázka. Dôležité je to, čo sa v princípe extrahuje. Potom má vaša kvadratická rovnica dva korene. Dve rôzne riešenia.

2. Diskriminant je nula. Potom budete mať jedno riešenie. Keďže pripočítaním alebo odčítaním nuly v čitateli sa nič nemení. Presne povedané, toto nie je jeden koreň, ale dve rovnaké. Ale v zjednodušenej verzii je zvykom hovoriť jedno riešenie.

3. Diskriminant je negatívny. Druhá odmocnina zo záporného čísla sa nedá vziať. No dobre. To znamená, že neexistujú žiadne riešenia.

Úprimne povedané, kedy jednoduché riešenie kvadratických rovníc, nie je pojem diskriminant zvlášť potrebný. Hodnoty koeficientov dosadíme do vzorca a počítame. Všetko sa tam deje samo, dva korene, jeden a žiadny. Pri riešení zložitejších úloh však bez znalostí význam a vzorec diskriminantu nedostatočné. Najmä v rovniciach s parametrami. Takéto rovnice sú akrobaciou pre štátnu skúšku a jednotnú štátnu skúšku!)

takže, ako riešiť kvadratické rovnice cez rozlišovač, ktorý si si spomenul. Alebo ste sa naučili, čo tiež nie je zlé.) Viete správne určiť a, b a c. Vieš ako? pozorne nahradiť ich do koreňového vzorca a pozorne spočítať výsledok. Chápete, že kľúčové slovo je tu pozorne?

Teraz si všimnite praktické techniky, ktoré výrazne znižujú počet chýb. Tie isté, ktoré sú spôsobené nepozornosťou... Pre ktoré sa to neskôr stáva bolestivé a urážlivé...

Prvé stretnutie . Nebuďte leniví pred riešením kvadratickej rovnice a priveďte ju do štandardného tvaru. Čo to znamená?
Povedzme, že po všetkých transformáciách dostanete nasledujúcu rovnicu:

Neponáhľajte sa písať koreňový vzorec! Takmer určite si pomiešate šance a, b a c. Správne zostavte príklad. Najprv X na druhú, potom bez štvorca, potom voľný výraz. Páči sa ti to:

A opäť, neponáhľajte sa! Mínus pred X na druhú vás môže poriadne rozčúliť. Je ľahké zabudnúť... Zbavte sa mínusov. Ako? Áno, ako je uvedené v predchádzajúcej téme! Musíme vynásobiť celú rovnicu -1. Dostaneme:

Ale teraz si môžete pokojne zapísať vzorec pre korene, vypočítať diskriminant a dokončiť riešenie príkladu. Rozhodnite sa sami. Teraz by ste mali mať korene 2 a -1.

Recepcia ako druhá. Skontrolujte korene! Podľa Vietovej vety. Neboj sa, všetko ti vysvetlím! Kontrola posledná vec rovnica. Tie. ten, ktorý sme použili na zapisovanie koreňového vzorca. Ak (ako v tomto príklade) koeficient a = 1, kontrola koreňov je jednoduchá. Stačí ich namnožiť. Výsledkom by mal byť voľný člen, t.j. v našom prípade -2. Pozor, nie 2, ale -2! Voľný člen s tvojím znamením . Ak to nevyjde, znamená to, že to už niekde pokazili. Hľadajte chybu.

Ak to funguje, musíte pridať korene. Posledná a posledná kontrola. Koeficient by mal byť b s opak známy. V našom prípade -1+2 = +1. A koeficient b, ktorý je pred X, sa rovná -1. Takže, všetko je správne!
Je škoda, že je to také jednoduché len pre príklady, kde x na druhú je čisté, s koeficientom a = 1. Ale overte si aspoň takéto rovnice! Chýb bude čoraz menej.

Tretia recepcia . Ak má vaša rovnica zlomkové koeficienty, zbavte sa zlomkov! Vynásobte rovnicu spoločným menovateľom podľa popisu v lekcii "Ako riešiť rovnice? Transformácie identity." Pri práci so zlomkami sa z nejakého dôvodu neustále vkrádajú chyby...

Mimochodom, sľúbil som, že zlý príklad zjednoduším s kopou mínusov. Prosím! Tu je.

Aby sme sa nenechali zmiasť mínusmi, rovnicu vynásobíme -1. Dostaneme:

To je všetko! Riešenie je radosť!

Poďme si teda zhrnúť tému.

Praktické rady:

1. Pred riešením uvedieme kvadratickú rovnicu do štandardného tvaru a zostavíme ju Správny.

2. Ak je pred druhou mocninou X záporný koeficient, odstránime ho vynásobením celej rovnice -1.

3. Ak sú koeficienty zlomkové, zlomky odstránime vynásobením celej rovnice príslušným koeficientom.

4. Ak je x na druhú čistú, jej koeficient sa rovná jednej, riešenie možno ľahko overiť pomocou Vietovej vety. Urob to!

Teraz sa môžeme rozhodnúť.)

Riešte rovnice:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3 x + 8 = 0

x 2 - 4 x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2)

Odpovede (v neporiadku):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x2 = -0,5

x - ľubovoľné číslo

x 1 = -3
x 2 = 3

žiadne riešenia

x 1 = 0,25
x 2 = 0,5

Sedí všetko? Skvelé! Kvadratické rovnice nie sú vaša vec bolesť hlavy. Prvé tri fungovali, ale zvyšok nie? Potom problém nie je s kvadratickými rovnicami. Problém je v identických transformáciách rovníc. Pozrite si odkaz, je to užitočné.

Celkom to nejde? Alebo to vôbec nejde? Potom vám pomôže oddiel 555. Všetky tieto príklady sú tam rozpísané. Zobrazené Hlavná chyby v riešení. Samozrejme, hovoríme aj o použití identických transformácií v riešení rôzne rovnice. Veľa pomáha!

Ak sa vám táto stránka páči...

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učme sa - so záujmom!)

Môžete sa zoznámiť s funkciami a derivátmi.

Viac jednoduchým spôsobom. Ak to chcete urobiť, vložte z zo zátvoriek. Dostanete: z(аz + b) = 0. Faktory môžu byť napísané: z=0 a аz + b = 0, keďže výsledkom oboch môže byť nula. V zápise az + b = 0 posunieme druhého doprava s iným znamienkom. Odtiaľ dostaneme z1 = 0 a z2 = -b/a. Toto sú korene originálu.

Ak existuje neúplná rovnica v tvare az² + c = 0, v tomto prípade sa nájdu jednoduchým presunutím voľného člena na pravú stranu rovnice. Zmeňte aj jeho znamenie. Výsledkom bude az² = -с. Vyjadrite z² = -c/a. Vezmite odmocninu a napíšte dve riešenia - kladnú a zápornú druhú odmocninu.

Poznámka

Ak sú v rovnici zlomkové koeficienty, vynásobte celú rovnicu príslušným faktorom, aby ste sa zlomkov zbavili.

Znalosť riešenia kvadratických rovníc je nevyhnutná pre školákov aj študentov, niekedy to môže pomôcť aj dospelému v bežnom živote. Existuje niekoľko špecifických metód riešenia.

Riešenie kvadratických rovníc

Kvadratická rovnica tvaru a*x^2+b*x+c=0. Koeficient x je požadovaná premenná, a, b, c sú číselné koeficienty. Pamätajte, že znamienko „+“ sa môže zmeniť na znamienko „-“.

Na vyriešenie tejto rovnice je potrebné použiť Vietovu vetu alebo nájsť diskriminant. Najbežnejšou metódou je nájsť diskriminant, pretože pre niektoré hodnoty a, b, c nie je možné použiť Vietovu vetu.

Ak chcete nájsť diskriminant (D), musíte napísať vzorec D=b^2 - 4*a*c. Hodnota D môže byť väčšia, menšia alebo rovná nule. Ak je D väčšie resp menej ako nula, potom budú dva korene, ak D=0, zostane len jeden koreň, presnejšie môžeme povedať, že D má v tomto prípade dva ekvivalentné korene. Dosaďte do vzorca známe koeficienty a, b, c a vypočítajte hodnotu.

Potom, čo ste našli diskriminant, použite vzorce na nájdenie x: x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a, kde sqrt je funkcia, ktorá znamená získanie druhej odmocniny daného čísla. Po výpočte týchto výrazov nájdete dva korene vašej rovnice, po ktorých sa rovnica považuje za vyriešenú.

Ak je D menšie ako nula, potom má stále korene. Táto sekcia sa v škole prakticky neštuduje. Vysokoškoláci by si mali uvedomiť, že pod odmocninou sa objavuje záporné číslo. Zbavia sa ho zvýraznením imaginárnej časti, čiže -1 pod odmocninou sa vždy rovná imaginárnemu prvku „i“, ktorý sa vynásobí odmocninou s rovnakým kladným číslom. Napríklad, ak D=sqrt(-20), po transformácii dostaneme D=sqrt(20)*i. Po tejto transformácii sa riešenie rovnice zredukuje na rovnaké nájdenie koreňov, ako je opísané vyššie.

Vietov teorém pozostáva z výberu hodnôt x(1) a x(2). Používajú sa dve rovnaké rovnice: x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=с. A veľmi dôležitý bod je znamienko pred koeficientom b, nezabudnite, že toto znamienko je opačné ako v rovnici. Na prvý pohľad sa zdá, že výpočet x(1) a x(2) je veľmi jednoduchý, no pri riešení sa stretnete s tým, že budete musieť vyberať čísla.

Kvadratické rovnice sa študujú v 8. ročníku, takže tu nie je nič zložité. Schopnosť ich vyriešiť je absolútne nevyhnutná.

Kvadratická rovnica je rovnica v tvare ax 2 + bx + c = 0, kde koeficienty a, b a c sú ľubovoľné čísla a a ≠ 0.

Pred štúdiom špecifické metódy riešenia, všimnite si, že všetky kvadratické rovnice možno rozdeliť do troch tried:

1. Nemať korene;
2. Mať presne jeden koreň;
3. Majú dva rôzne korene.

Toto je dôležitý rozdiel kvadratické rovnice z lineárnych, kde koreň vždy existuje a je jedinečný. Ako určiť, koľko koreňov má rovnica? Je na to úžasná vec - diskriminačný.

Diskriminačný

Nech je daná kvadratická rovnica ax 2 + bx + c = 0. Potom je diskriminantom jednoducho číslo D = b 2 − 4ac.

Tento vzorec musíte poznať naspamäť. Odkiaľ pochádza, nie je teraz dôležité. Ďalšia vec je dôležitá: podľa znamienka diskriminantu môžete určiť, koľko koreňov má kvadratická rovnica. menovite:

1. Ak D< 0, корней нет;
2. Ak D = 0, existuje práve jeden koreň;
3. Ak D > 0, budú existovať dva korene.

Upozorňujeme: diskriminant označuje počet koreňov a vôbec nie ich znaky, ako z nejakého dôvodu mnohí ľudia veria. Pozrite si príklady a sami všetko pochopíte:

Úloha. Koľko koreňov majú kvadratické rovnice:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Zapíšme si koeficienty pre prvú rovnicu a nájdime diskriminant:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Takže diskriminant je kladný, takže rovnica má dva rôzne korene. Druhú rovnicu analyzujeme podobným spôsobom:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

Diskriminant je negatívny, neexistujú žiadne korene. Zostáva posledná rovnica:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminant je nula - koreň bude jedna.

Upozorňujeme, že koeficienty boli zapísané pre každú rovnicu. Áno, je to dlhé, áno, je to únavné, ale nebudete si miešať šance a robiť hlúpe chyby. Vyberte si sami: rýchlosť alebo kvalitu.

Mimochodom, ak na to prídete, po chvíli už nebudete musieť zapisovať všetky koeficienty. Takéto operácie budete vykonávať v hlave. Väčšina ľudí to začne robiť niekde po 50-70 vyriešených rovniciach - vo všeobecnosti nie až tak veľa.

Korene kvadratickej rovnice

Teraz prejdime k samotnému riešeniu. Ak je diskriminant D > 0, korene možno nájsť pomocou vzorcov:

Základný vzorec pre korene kvadratickej rovnice

Keď D = 0, môžete použiť ktorýkoľvek z týchto vzorcov - dostanete rovnaké číslo, ktoré bude odpoveďou. Nakoniec, ak D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12 x + 36 = 0.

Prvá rovnica:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ rovnica má dva korene. Poďme ich nájsť:

Druhá rovnica:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ rovnica má opäť dva korene. Poďme ich nájsť

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(zarovnať)\]

Nakoniec tretia rovnica:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ rovnica má jeden koreň. Môže sa použiť akýkoľvek vzorec. Napríklad ten prvý:

Ako vidíte z príkladov, všetko je veľmi jednoduché. Ak poznáte vzorce a viete počítať, nebudú žiadne problémy. Najčastejšie sa chyby vyskytujú pri dosadzovaní záporných koeficientov do vzorca. Aj tu vám pomôže technika opísaná vyššie: pozrite sa na vzorec doslovne, zapíšte si každý krok - a veľmi skoro sa zbavíte chýb.

Neúplné kvadratické rovnice

Stáva sa, že kvadratická rovnica sa mierne líši od toho, čo je uvedené v definícii. Napríklad:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

Je ľahké si všimnúť, že v týchto rovniciach chýba jeden z výrazov. Takéto kvadratické rovnice sa riešia ešte ľahšie ako štandardné: nevyžadujú si ani výpočet diskriminantu. Predstavme si teda nový koncept:

Rovnica ax 2 + bx + c = 0 sa nazýva neúplná kvadratická rovnica, ak b = 0 alebo c = 0, t.j. koeficient premennej x alebo voľného prvku sa rovná nule.

Samozrejme, je to úplne možné Pevné puzdro, keď sa oba tieto koeficienty rovnajú nule: b = c = 0. V tomto prípade má rovnica tvar ax 2 = 0. Je zrejmé, že takáto rovnica má jeden koreň: x = 0.

Zoberme si zvyšné prípady. Nech b = 0, potom dostaneme neúplnú kvadratickú rovnicu v tvare ax 2 + c = 0. Trochu ju transformujme:

Keďže aritmetická druhá odmocnina existuje len z nezáporného čísla, posledná rovnosť má zmysel len pre (−c /a) ≥ 0. Záver:

1. Ak je v neúplnej kvadratickej rovnici tvaru ax 2 + c = 0 splnená nerovnosť (−c /a) ≥ 0, budú korene dva. Vzorec je uvedený vyššie;
2. Ak (-c /a)< 0, корней нет.

Ako vidíte, diskriminant nebol potrebný – v neúplných kvadratických rovniciach neexistujú vôbec žiadne zložité výpočty. V skutočnosti si ani netreba pamätať nerovnosť (−c /a) ≥ 0. Stačí vyjadriť hodnotu x 2 a pozrieť sa, čo je na druhej strane znamienka rovnosti. Ak existuje kladné číslo, budú existovať dva korene. Ak je negatívny, nebudú tam žiadne korene.

Teraz sa pozrime na rovnice tvaru ax 2 + bx = 0, v ktorých sa voľný prvok rovná nule. Všetko je tu jednoduché: vždy budú existovať dva korene. Postačuje rozpočítať polynóm:

Vyňatie spoločného faktora zo zátvoriek

Súčin je nula, keď je aspoň jeden z faktorov nulový. Odtiaľ pochádzajú korene. Na záver sa pozrime na niektoré z týchto rovníc:

Úloha. Riešte kvadratické rovnice:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Neexistujú žiadne korene, pretože štvorec sa nemôže rovnať zápornému číslu.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = -1,5.

Bibliografický popis: Gasanov A. R., Kuramshin A. A., Elkov A. A., Shilnenkov N. V., Ulanov D. D., Shmeleva O. V. Metódy riešenia kvadratických rovníc // Mladý vedec. 2016. Číslo 6.1. P. 17-20..03.2019).



Náš projekt je o spôsoboch riešenia kvadratických rovníc. Cieľ projektu: naučiť sa riešiť kvadratické rovnice spôsobmi, ktoré nie sú zahrnuté v školských osnovách. Úloha: nájsť všetko možné spôsoby riešenie kvadratických rovníc a naučiť sa ich používať a predstaviť tieto metódy svojim spolužiakom.

Čo sú to „kvadratické rovnice“?

Kvadratická rovnica- rovnica tvaru sekera2 + bx + c = 0, Kde a, b, c- nejaké čísla ( a ≠ 0), X- neznámy.

Čísla a, b, c sa nazývajú koeficienty kvadratickej rovnice.

• a sa nazýva prvý koeficient;
• b sa nazýva druhý koeficient;
• c - voľný člen.

Kto ako prvý „vynašiel“ kvadratické rovnice?

Niektoré algebraické techniky na riešenie lineárnych a kvadratických rovníc boli známe už pred 4000 rokmi v starovekom Babylone. Objav starobabylonských hlinených tabuliek, ktoré sa datujú od roku 1800 do 1600 pred Kristom, poskytuje najskorší dôkaz o štúdiu kvadratických rovníc. Tie isté tablety obsahujú metódy na riešenie určitých typov kvadratických rovníc.

Potreba riešiť rovnice nielen prvého, ale aj druhého stupňa už v staroveku bola spôsobená potrebou riešiť problémy súvisiace so zisťovaním výmer pozemkov a s výkopovými prácami vojenského charakteru, ako aj ako s rozvojom astronómie a samotnej matematiky.

Pravidlo na riešenie týchto rovníc uvedené v babylonských textoch sa v podstate zhoduje s tým moderným, ale nie je známe, ako Babylončania k tomuto pravidlu dospeli. Takmer všetky doteraz nájdené klinopisné texty poskytujú len problémy s riešeniami položenými vo forme receptov, bez uvedenia spôsobu, akým boli nájdené. Napriek tomu vysoký stupeň vývoj algebry v Babylone, v klinových textoch chýba pojem záporného čísla a všeobecné metódy riešenie kvadratických rovníc.

Babylonskí matematici približne zo 4. storočia pred Kristom. použil metódu štvorcového doplnku na riešenie rovníc s kladnými koreňmi. Okolo roku 300 pred Kr Euklides prišiel so všeobecnejšou metódou geometrického riešenia. Prvým matematikom, ktorý našiel riešenia rovníc so zápornými koreňmi vo forme algebraického vzorca, bol indický vedec. Brahmagupta(India, 7. storočie nášho letopočtu).

Brahmagupta stanovil všeobecné pravidlo na riešenie kvadratických rovníc zredukovaných na jednu kanonickú formu:

ax2 + bx = c, a>0

Koeficienty v tejto rovnici môžu byť aj záporné. Brahmaguptove pravidlo je v podstate rovnaké ako naše.

Verejné súťaže v riešení zložitých problémov boli v Indii bežné. Jedna zo starých indických kníh o takýchto súťažiach hovorí: „Ako slnko zatieňuje hviezdy svojou žiarou, učený človek zatieni svoju slávu na verejných zhromaždeniach predložením a riešením algebraických problémov.“ Problémy boli často prezentované v poetickej forme.

V algebraickom pojednaní Al-Khwarizmi je uvedená klasifikácia lineárnych a kvadratických rovníc. Autor počíta 6 typov rovníc a vyjadruje ich takto:

1) „Štvorce sa rovnajú koreňom“, t. j. ax2 = bx.

2) „Štvorce sa rovnajú číslam“, t.j. ax2 = c.

3) „Korene sa rovnajú číslu“, t.j. ax2 = c.

4) „Štvorce a čísla sa rovnajú koreňom“, t. j. ax2 + c = bx.

5) „Štvorce a odmocniny sa rovnajú číslu“, t.j. ax2 + bx = c.

6) „Odmocniny a čísla sa rovnajú štvorcom“, t. j. bx + c == ax2.

Pre Al-Khwarizmiho, ktorý sa vyhýbal používaniu záporných čísel, sú členy každej z týchto rovníc sčítaním a nie odčítateľnými. V tomto prípade sa zjavne neberú do úvahy rovnice, ktoré nemajú kladné riešenia. Autor uvádza metódy riešenia týchto rovníc pomocou techník al-jabr a al-mukabal. Jeho rozhodnutie sa, samozrejme, úplne nezhoduje s naším. Nehovoriac o tom, že je to čisto rétorické, treba si napríklad uvedomiť, že pri riešení neúplnej kvadratickej rovnice prvého typu Al-Khorezmi, ako všetci matematici do 17. storočia, neberie do úvahy nulové riešenie, asi preto, že v konkrétnej praktickej na úlohách nezáleží. Pri riešení úplných kvadratických rovníc Al-Khwarizmiho na parciálnych číselné príklady stanovuje pravidlá riešenia a následne ich geometrické dôkazy.

Formuláre na riešenie kvadratických rovníc podľa modelu Al-Khwarizmiho v Európe boli prvýkrát uvedené v „Knihe počítadla“ napísanej v roku 1202. taliansky matematik Leonard Fibonacci. Autor nezávisle vyvinul niekoľko nových algebraických príkladov riešenia problémov a ako prvý v Európe pristúpil k zavedeniu záporných čísel.

Táto kniha prispela k rozšíreniu algebraických poznatkov nielen v Taliansku, ale aj v Nemecku, Francúzsku a ďalších európskych krajinách. Mnohé problémy z tejto knihy boli použité takmer vo všetkých európskych učebniciach 14. – 17. storočia. Všeobecné pravidlo riešenie kvadratických rovníc zredukovaných na jediný kanonický tvar x2 + bх = с pre všetky možné kombinácie znakov a koeficientov b, c bolo sformulované v Európe v roku 1544. M. Stiefel.

Odvodenie vzorca na riešenie kvadratickej rovnice vo všeobecnom tvare je dostupné od Viète, ale Viète rozpoznal iba kladné korene. talianski matematici Tartaglia, Cardano, Bombelli medzi prvými v 16. storočí. Okrem pozitívnych sa berú do úvahy aj negatívne korene. Až v 17. storočí. vďaka úsiliu Girard, Descartes, Newton a ďalšie vedcov spôsobom riešenie kvadratických rovníc má modernú podobu.

Pozrime sa na niekoľko spôsobov riešenia kvadratických rovníc.

Štandardné metódy riešenia kvadratických rovníc z školské osnovy:

1. Faktorizácia ľavej strany rovnice.
2. Metóda výberu celého štvorca.
3. Riešenie kvadratických rovníc pomocou vzorca.
4. Grafické riešenie kvadratická rovnica.
5. Riešenie rovníc pomocou Vietovej vety.

Zastavme sa podrobnejšie pri riešení redukovaných a neredukovaných kvadratických rovníc pomocou Vietovej vety.

Pripomeňme, že na vyriešenie vyššie uvedených kvadratických rovníc stačí nájsť dve čísla, ktorých súčin sa rovná voľnému členu a ktorých súčet sa rovná druhému koeficientu s opačným znamienkom.

Príklad.X 2 -5x+6=0

Musíte nájsť čísla, ktorých súčin je 6 a ktorých súčet je 5. Tieto čísla budú 3 a 2.

Odpoveď: x 1 = 2, x 2 =3.

Túto metódu však môžete použiť aj pre rovnice, ktorých prvý koeficient sa nerovná jednej.

Príklad.3x 2 +2x-5=0

Vezmite prvý koeficient a vynásobte ho voľným členom: x 2 +2x-15=0

Korene tejto rovnice budú čísla, ktorých súčin sa rovná - 15 a ktorých súčet sa rovná - 2. Tieto čísla sú 5 a 3. Ak chcete nájsť korene pôvodnej rovnice, vydeľte výsledné korene prvým koeficientom.

Odpoveď: x 1 = -5/3, x 2 =1

6. Riešenie rovníc metódou „hodenia“.

Uvažujme kvadratickú rovnicu ax 2 + bx + c = 0, kde a≠0.

Vynásobením oboch strán a dostaneme rovnicu a 2 x 2 + abx + ac = 0.

Nech ax = y, odkiaľ x = y/a; potom dospejeme k rovnici y 2 + by + ac = 0, ekvivalentnej danej rovnici. Jeho korene pre 1 a 2 nájdeme pomocou Vietovej vety.

Nakoniec dostaneme x 1 = y 1 /a a x 2 = y 2 /a.

Pri tejto metóde sa koeficient a násobí voľným členom, akoby mu bol „hodený“, preto sa nazýva „metóda hodu“. Táto metóda sa používa, keď môžete ľahko nájsť korene rovnice pomocou Vietovej vety a čo je najdôležitejšie, keď je diskriminantom presný štvorec.

Príklad.2x 2 - 11x + 15 = 0.

Koeficient 2 „hodíme“ na voľný člen a dosadíme a dostaneme rovnicu y 2 - 11y + 30 = 0.

Podľa Vietovej inverznej vety

y1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2,5; y2 = 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.

Odpoveď: x 1 = 2,5; X 2 = 3.

7. Vlastnosti koeficientov kvadratickej rovnice.

Nech je daná kvadratická rovnica ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0.

1. Ak a+ b + c = 0 (t. j. súčet koeficientov rovnice je nulový), potom x 1 = 1.

2. Ak a - b + c = 0 alebo b = a + c, potom x 1 = - 1.

Príklad.345x 2 - 137x - 208 = 0.

Pretože a + b + c = 0 (345 - 137 - 208 = 0), potom x 1 = 1, x 2 = -208/345.

Odpoveď: x 1 =1; X 2 = -208/345 .

Príklad.132x 2 + 247x + 115 = 0

Pretože a-b+c = 0 (132 - 247 +115=0), potom x 1 = - 1, x 2 = - 115/132

Odpoveď: x 1 = -1; X 2 =- 115/132

Existujú aj ďalšie vlastnosti koeficientov kvadratickej rovnice. ale ich použitie je zložitejšie.

8. Riešenie kvadratických rovníc pomocou nomogramu.

Obr 1. Nomogram

Ide o starú a v súčasnosti zabudnutú metódu riešenia kvadratických rovníc, umiestnenú na strane 83 zbierky: Bradis V.M. Štvormiestne matematické tabuľky. - M., Vzdelávanie, 1990.

Tabuľka XXII. Nomogram na riešenie rovnice z2 + pz + q = 0. Tento nomogram umožňuje bez riešenia kvadratickej rovnice určiť korene rovnice z jej koeficientov.

Krivková stupnica nomogramu je zostavená podľa vzorcov (obr. 1):

Veriaci OS = p, ED = q, OE = a(všetky v cm), z obr. 1 podobnosti trojuholníkov SAN A CDF dostaneme pomer

čo po dosadení a zjednodušení dáva rovnicu z 2 + pz + q = 0, a list z znamená značku akéhokoľvek bodu na zakrivenej stupnici.

Ryža. 2 Riešenie kvadratických rovníc pomocou nomogramu

Príklady.

1) Pre rovnicu z 2 - 9z + 8 = 0 nomogram dáva korene z 1 = 8,0 a z 2 = 1,0

Odpoveď: 8,0; 1,0.

2) Pomocou nomogramu riešime rovnicu

2z 2 - 9z + 2 = 0.

Koeficienty tejto rovnice vydelíme 2, dostaneme rovnicu z 2 - 4,5z + 1 = 0.

Nomogram dáva korene z 1 = 4 az 2 = 0,5.

Odpoveď: 4; 0,5.

9. Geometrická metóda riešenia kvadratických rovníc.

Príklad.X 2 + 10x = 39.

V origináli je tento problém formulovaný takto: „Druhá mocnina a desať odmocnín sa rovná 39.“

Zoberme si štvorec so stranou x, na jeho stranách sú postavené obdĺžniky tak, že druhá strana každého z nich je 2,5, teda plocha každého z nich je 2,5x. Výsledný obrazec sa potom doplní do nového štvorca ABCD, pričom v rohoch sa vytvoria štyri rovnaké štvorce, pričom strana každého z nich je 2,5 a plocha je 6,25.

Ryža. 3 Grafická metóda riešenia rovnice x 2 + 10x = 39

Plochu S štvorca ABCD možno znázorniť ako súčet plôch: pôvodného štvorca x 2, štyroch obdĺžnikov (4∙2,5x = 10x) a štyroch dodatočných štvorcov (6,25∙4 = 25), t.j. S = x 2 + 10x = 25. Nahradením x 2 + 10x číslom 39 dostaneme, že S = 39 + 25 = 64, čo znamená, že strana štvorca je ABCD, t.j. segment AB = 8. Pre požadovanú stranu x pôvodného štvorca získame

10. Riešenie rovníc pomocou Bezoutovej vety.

Bezoutova veta. Zvyšok delenia polynómu P(x) binómom x - α sa rovná P(α) (to znamená hodnote P(x) pri x = α).

Ak je číslo α koreňom polynómu P(x), potom je tento polynóm deliteľný x -α bezo zvyšku.

Príklad.x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α =1, 1-4+3=0. Vydelenie P(x) číslom (x-1): (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-1=0; x=1 alebo x-3=0, x=3; Odpoveď: x1 = 2, x2 =3.

Záver: Schopnosť rýchlo a racionálne riešiť kvadratické rovnice je jednoducho potrebné riešiť viac zložité rovnice, napríklad zlomkové racionálne rovnice, rovnice vyššie stupne, bikvadratické rovnice a na strednej škole trigonometrické, exponenciálne a logaritmické rovnice. Po preštudovaní všetkých nájdených metód na riešenie kvadratických rovníc môžeme našim spolužiakom poradiť okrem štandardných metód riešiť aj prenosovou metódou (6) a riešiť rovnice pomocou vlastnosti koeficientov (7), keďže sú dostupnejšie. k pochopeniu.

Literatúra:

1. Bradis V.M. Štvormiestne matematické tabuľky. - M., Vzdelávanie, 1990.
2. Algebra 8. ročník: učebnica pre 8. ročník. všeobecné vzdelanie inštitúcie Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Suvorova S. B. ed. S. A. Telyakovsky 15. vydanie, prepracované. - M.: Vzdelávanie, 2015
3. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
4. Glazer G.I. História matematiky v škole. Manuál pre učiteľov. / Ed. V.N. Mladší. - M.: Školstvo, 1964.