Aplikácia Vietovej vety a štúdium umiestnenia koreňov kvadratickej rovnice vzhľadom na nulu. Štúdium polohy koreňov štvorcového trojčlenu v úlohách s parametrami

4. Umiestnenie koreňov štvorcového trojčlenu v závislosti od parametra

Často sa vyskytujú problémy s parametrami, v ktorých musíte určiť umiestnenie koreňov štvorcového trinomu na číselnej osi. Na základe hlavných ustanovení a poznámok z predchádzajúceho odseku uvažujeme o nasledujúcich prípadoch:

1. Nech je daná kvadratická trojčlenka, kde
a bodka m na osi Vôl. Potom oba kone
kvadratická trojčlenka
bude striktne menej m

alebo

Geometrická ilustrácia je znázornená na obrázkoch 3.1 a 3.2.

2. Nech je daný kvadratický trojčlen, kde a je bod m na osi Vôl. Nerovnosť
vtedy a len vtedy, keď čísla a A
mať rôzne znamenia, teda
(Obr. 4.1 a 4.2.)

3. Nech je daná kvadratická trojčlenka, kde a je bod m na osi Vôl. Potom oba kone
kvadratická trojčlenka bude prísne väčšia m len vtedy, ak sú splnené tieto podmienky:

alebo

Geometrická ilustrácia je znázornená na obrázkoch 5.1 a 5.2.

4. Nech je daný kvadratický trojčlen, kde a interval (m, M) Potom oba odmocniny štvorcovej trojčlenky patria do určeného intervalu vtedy a len vtedy, ak sú splnené tieto podmienky:

alebo

Geometrická ilustrácia je znázornená na obrázkoch 6.1 a 6.2.

5. Nech je daná kvadratická trojčlenka, kde , sú jej korene a úsečka
. Úsek leží v intervale
len vtedy, ak sú splnené tieto podmienky:

Geometrická ilustrácia je znázornená na obrázkoch 7.1 a 7.2.

Príklad.Nájdite všetky hodnoty parametrova, pre každý z nich oba korene rovnice
viac ako -2.

Riešenie. Je to uvedené v podmienkach úlohy. Že rovnica má dva korene, teda . Uvažovaná situácia je opísaná v prípade 3 a je znázornená na obrázku 5.1. a 5.2.

Poďme nájsť
,

Berúc do úvahy toto všetko, zapíšme si kombináciu dvoch systémov:

alebo

Vyriešením týchto dvoch systémov dostaneme .

Odpoveď. Pre každú hodnotu parametra a z intervalu sú oba korene rovnice väčšie ako -2.

Príklad.Pri akých hodnotách parametrovanerovnosť
sa vykonáva pre akékoľvek
?

Riešenie. Ak súprava X je riešením tejto nerovnosti, potom podmienka úlohy znamená, že interval
musí byť vo vnútri súpravy X, teda

.

Zvážme všetko možné hodnoty parameter A.

1.Ak a=0, potom nerovnosť nadobudne tvar
, a jeho riešením bude interval
. V tomto prípade je podmienka splnená a a=0 je riešením problému.

2.Ak
, potom je grafom pravej strany nerovnosti kvadratická trojčlenka, ktorej vetvy smerujú nahor. Riešenie nerovnosti závisí od znamienka.

Zvážte prípad, kedy
. Potom, aby nerovnosť platila pre všetkých, je potrebné, aby odmocniny štvorcovej trojčlenky boli menšie ako číslo -1, teda:

alebo

Vyriešením tohto systému dostaneme
.

Ak
, potom parabola leží nad osou OX a riešením nerovnice bude ľubovoľné číslo z množiny reálnych čísel vrátane intervalu . Nájdime takých A z podmienky:

alebo

Vyriešením tohto systému dostaneme
.

3.Ak
, potom, keď
riešením nerovnosti je interval, ktorý nemôže zahŕňať interval, a kedy
táto nerovnosť nemá riešenia.

Spojenie všetkých nájdených hodnôt A, dostaneme odpoveď.

Odpoveď. Pre ľubovoľnú hodnotu parametra z intervalu
nerovnosť platí pre všetky .

Príklad.Pre aké hodnoty parametra a obsahuje množina funkčných hodnôt segment
?

Riešenie. 1. Ak
, To

a) kedy a = 1 funkcia bude mať tvar r = 2 a súbor jeho hodnôt pozostáva z jediný bod 2 a neobsahuje segment ;

b) pri a = Funkcia -1 bude mať tvar r = -2 X+2 . Jeho mnoho významov
obsahuje segment, čo znamená a =-1 je riešením problému.

2.Ak
potom vetvy paraboly smerujú nahor, najmenšia hodnota funkcia sa nachádza vo vrchole paraboly
:

,
.

Množina funkčných hodnôt je interval
, ktorý obsahuje segment
, ak sú splnené tieto podmienky:

.

3. Ak
potom vetvy paraboly smerujú nadol, najvyššia hodnota funkcia sa nachádza vo vrchole paraboly
. Množina funkčných hodnôt je interval
, ktorá obsahuje segment, ak sú splnené nasledujúce podmienky:

Vyriešením tohto systému nerovností získame
.

Kombináciou riešení dostaneme
.

Odpoveď. O
množina funkčných hodnôt obsahuje segment .

Problémy riešiť samostatne

1. Bez výpočtu koreňov kvadratickej rovnice
, Nájsť

A)
, b)
, V)

2. Nájdite množinu funkčných hodnôt

A)
, b)
, V)
, G)

3. Riešte rovnice

A)
, b)

4. Pri akých hodnotách parametrov A oba korene rovnice
ležať na intervale (-5, 4)?

5. Pri akých hodnotách parametrov A nerovnosť platí pre všetky hodnoty X?

6. Pri akých hodnotách parametrov A najmenšia funkčná hodnota

Na segmente
rovná -1?

7. Pri akých hodnotách parametrov A rovnica
má korene?

Karpová Irina Viktorovna

PROGRAM A VYUČOVACIE MATERIÁLY VÝBEROVÉHO KURZU z matematiky pre žiakov 8.-9. ročníka „Základy teórie pravdepodobnosti a matematickej štatistiky“

Vysvetľujúca poznámka

V súčasnosti sa stáva zrejmá univerzálnosť pravdepodobnostno-štatistických zákonov, ktoré sa stali základom opisu vedeckého obrazu sveta. Na pravdepodobnostno-štatistickom základe sa rozvíja moderná fyzika, chémia, biológia, demografia, lingvistika, filozofia, celý komplex sociálno-ekonomických vied.

Dieťa každý deň vo svojom živote čelí pravdepodobnostným situáciám. Spektrum otázok súvisiacich s pochopením vzťahu medzi pojmami pravdepodobnosť a spoľahlivosť, problém výberu najlepšieho z viacerých možností riešenia, posúdenie miery rizika a šancí na úspech – to všetko je vo sfére skutočných záujmov vo formácii. a sebarozvoj jednotlivca.

Všetky vyššie uvedené si vyžadujú, aby sa dieťa oboznámilo s pravdepodobnostnými a štatistickými zákonmi.

Účel kurzu: oboznámiť študentov s niektorými zákonitosťami teórie pravdepodobnosti a štatistickými metódami spracovania údajov.

Ciele kurzu

Oboznámiť študentov so základným pojmovým aparátom teórie pravdepodobnosti.

Naučte sa určiť pravdepodobnosť udalostí v klasická schéma testy.

Zaviesť metódy primárne spracovanieštatistické údaje.

Požiadavky na úroveň zvládnutia obsahu kurzu

V dôsledku zvládnutia programu kurzu by študenti mali vedieť:

základné pojmy teórie pravdepodobnosti: test, výsledok testu, priestor elementárnych udalostí, náhodné, spoľahlivé, nemožné udalosti, kompatibilné a nezlučiteľné udalosti;

podmienky klasickej testovacej schémy a určenie pravdepodobnosti udalosti v klasickej testovacej schéme;

určenie relatívnej frekvencie výskytu udalosti a štatistickej pravdepodobnosti;

definícia variačná séria a jeho základné číselné charakteristiky.

Počas kurzu musia študenti absolvovať zručnosti:

určiť všetky možné výsledky testov, kompatibilitu a nezlučiteľnosť udalostí;

riešiť problémy teórie pravdepodobnosti zahŕňajúce výpočet pravdepodobnosti v klasickej testovacej schéme;

vypočítať relatívnu frekvenciu výskytu udalosti;

makeup štatistické rozdelenie vzorky a vypočítať jeho číselné charakteristiky.

Program zahŕňa rozvoj u študentov zručnosti:

využitie existujúcich algoritmov a v prípade potreby ich kreatívne spracovanie v špecifických podmienkach problému;

samostatné riešenie problémov;

používanie zovšeobecnených schém obsahujúcich základné definície a vzorce pri riešení úloh.

Rozsah kurzu: Navrhovaný kurz trvá 20 hodín

Tematické plánovanie

	Témy lekcií	Počet hodín
	Základné pojmy teórie pravdepodobnosti.
	Klasická skúšobná schéma. Stanovenie pravdepodobnosti v klasickom dizajne testu.
	Frekvencia je absolútna a relatívna.
	Štatistická definícia pravdepodobnosti.
	Všeobecné a vzorové populácie.
	Štatistické rozdelenie vzorky.
	Numerické charakteristiky štatistického rozdelenia.
	Štatistický odhad a prognóza.

Text návodu

Mnoho ľudí miluje matematiku pre jej večné pravdy: dvakrát dva sú vždy štyri, súčet párnych čísel je párny a plocha obdĺžnika sa rovná súčinu jeho priľahlých strán. Na akýkoľvek problém, ktorý ste riešili na hodinách matematiky, dostali všetci rovnakú odpoveď – len ste sa pri riešení museli nepomýliť.

Skutočný život nie je taký jednoduchý a priamočiary. Výsledok mnohých javov sa nedá vopred predpovedať, nech sa deje čokoľvek úplné informácie Nemali sme o nich žiadne informácie. Nedá sa napríklad s istotou povedať, na ktorú stranu hodená minca kedy pristane ďalší rok napadne prvý sneh alebo koľko ľudí v meste bude chcieť v priebehu nasledujúcej hodiny telefonovať. Takéto nepredvídateľné udalosti sa nazývajú náhodný.

Náhoda má však aj svoje zákonitosti, ktoré sa začínajú prejavovať pri mnohonásobnom opakovaní náhodných javov. Ak hodíte mincou 1000-krát, vyletí o hlavu približne v polovici času, čo sa nedá povedať o dvoch či dokonca desiatich hodoch. Všimnite si slovo "približne" - zákon neuvádza, že počet hláv bude presne 500 alebo bude medzi 490 a 510. Netvrdí nič isté, ale poskytuje určitý stupeň istoty, že nejaká náhodná udalosť objaví sa . Takéto vzory študuje špeciálna oblasť matematiky - teória pravdepodobnosti.

Teória pravdepodobnosti je neoddeliteľne spojená s našou každodenný život. To poskytuje vynikajúcu príležitosť na experimentálne stanovenie mnohých pravdepodobnostných zákonov, ktoré sa mnohokrát opakujú. náhodné experimenty. Materiálmi pre tieto experimenty budú najčastejšie obyčajná minca, kocka, súprava domino, ruleta a dokonca aj balíček kariet. Každá z týchto položiek tak či onak súvisí s hrami. Faktom je, že prípad sa tu objavuje nanajvýš čistej forme, pričom prvé pravdepodobnostné problémy súviseli s odhadovaním šancí hráčov na výhru.

Moderná teória pravdepodobnosti sa posunula tak ďaleko od hazardných hier ako geometria od problémov hospodárenia s pôdou, no ich náležitosti stále zostávajú najjednoduchším a najspoľahlivejším zdrojom náhody. Po cvičení s ruletou a kockou sa naučíte vypočítať pravdepodobnosť náhodných udalostí v reálnych životných situáciách, čo vám umožní vyhodnocovať vaše šance na úspech, testovať hypotézy a rozhodovať sa nielen v hrách a lotériách.

Matematická štatistika je oblasť matematiky, ktorá študuje metódy zhromažďovania, systematizácie a spracovania výsledkov pozorovaní hromadných náhodných javov s cieľom identifikovať existujúce vzorce.

V istom zmysle sú problémy matematickej štatistiky opakom problémov teórie pravdepodobnosti: zaoberajú sa iba experimentálne získanými hodnotami. náhodné premenné, Štatistika si kladie za cieľ predkladať a testovať hypotézy o rozdelení týchto náhodných premenných a odhadnúť parametre ich rozdelenia.

1. Náhodné udalosti. Ako porovnať udalosti?

Ako každý iný odbor matematiky, aj teória pravdepodobnosti má svoj vlastný pojmový aparát, ktorý sa používa pri formulovaní definícií, dokazovaní teorémov a odvodzovaní vzorcov. Uvažujme o pojmoch, ktoré použijeme pri ďalšej prezentácii teórie.

Skúška– implementácia súboru podmienok.

Výsledok testu (základná udalosť)– akýkoľvek výsledok, ktorý sa môže vyskytnúť počas testu.

Príklady.

1) Skúška:

Výsledky testu:ω 1 – na hornej strane kocky sa objaví jeden bod;

ω 2 – na hornej strane kocky sa objavia dva body;

ω 3 – na hornej strane kocky sa objavia tri body;

ω 4 – na hornej strane kocky sa objavia štyri body;

ω 5 – na hornej strane kocky sa objaví päť bodov;

ω 6 – na hornej strane kocky sa objaví šesť bodov.

Celkovo existuje 6 možných výsledkov testu (alebo 6 základných udalostí).

2) Skúška:študent robí skúšku.

Výsledky testu:ω 1 – žiak dostal zlú známku;

ω 2 – študent dostal C;

ω 3 – študent dostal B;

ω 4 – študent dostal „A“.

Existujú 4 možné výsledky testu (alebo 4 základné udalosti).

Komentujte. Zápis ω je štandardný zápis pre elementárny dej, v nasledujúcom budeme používať tento zápis.

Výsledky tohto testu zavoláme rovnako možné, ak výsledky pokusov majú rovnakú šancu nastať.

Priestor elementárnych udalostí– súbor všetkých základných udalostí (výsledkov testu), ktoré sa môžu vyskytnúť počas testu.

V príkladoch, na ktoré sme sa pozreli vyššie, boli v skutočnosti opísané priestory elementárnych udalostí testovacích údajov.

Komentujte. Počet bodov v priestore elementárnych udalostí (PES), t.j. počet elementárnych udalostí bude ďalej označený písmenom n.

Uvažujme o základnom koncepte, ktorý budeme používať v budúcnosti.

Definícia 1.1.Udalosť je nazbieranie určitého počtu PES bodov.

V nasledujúcom texte budeme udalosti označovať všeobecne s latinskými písmenami: A, B, C.

Definícia 1.2.Udalosť, ktorá môže alebo nemusí nastať počas testu, sa nazýva náhodná udalosť.

Keď si kúpime žreb do lotérie, môžeme a nemusíme vyhrať; v nasledujúcich voľbách vládna strana môže, ale nemusí vyhrať; počas vyučovania môžete, ale aj nemusíte byť predvolaní k tabuli atď. Toto všetko sú príklady náhodných udalostí, ktoré za rovnakých podmienok môžu, ale nemusia nastať počas testu.

Komentujte. Akákoľvek elementárna udalosť je tiež náhodná udalosť.

Definícia 1.3.Udalosť, ktorá nastane pri akomkoľvek výsledku pokusu, sa nazýva spoľahlivá udalosť.

Definícia 1.4.Udalosť, ktorá nemôže nastať pri žiadnom výsledku testu, sa nazýva nemožná udalosť.

Príklad.

1) Skúška: Kocky sú hodené.

Udalosť A: na hornej strane kocky sa objaví párny počet bodov;

Udalosť B: na hornej strane kocky sa objaví počet bodov, ktorý je násobkom 3;

Udalosť C: Na hornej strane matrice sa objaví 7 bodov;

Udalosť D: Na hornej strane kocky sa hodí počet bodov menší ako 7.

Diania A A IN môže, ale nemusí nastať počas testu, takže ide o náhodné udalosti.

Udalosť S sa nikdy nemôže stať, takže je to nemožná udalosť.

Udalosť D nastane pri akomkoľvek výsledku testu, čo znamená, že ide o spoľahlivú udalosť.

Povedali sme, že náhodné udalosti za rovnakých podmienok môžu, ale nemusia nastať. Zároveň niektoré náhodné udalosti majú väčšiu šancu nastať (čo znamená, že sú pravdepodobnejšie – bližšie k spoľahlivosti), zatiaľ čo iné majú menej (sú menej pravdepodobné – bližšie k nemožnému). Preto ako prvú aproximáciu môžeme definovať pravdepodobnosť ako mieru možnosti výskytu udalosti.

Je jasné, že pravdepodobnejšie udalosti sa budú vyskytovať častejšie ako menej pravdepodobné. Takže môžete porovnávať pravdepodobnosti podľa frekvencie, s akou sa udalosti vyskytujú.

Nasledujúce udalosti sa pokúsime usporiadať na špeciálnej pravdepodobnostnej škále, aby sa zvýšila pravdepodobnosť ich výskytu.

Udalosť A: budúci rok prvý sneh v Chabarovsku napadne v nedeľu;

Udalosť B: sendvič, ktorý spadol zo stola, spadol maslom nadol;

Udalosť C: pri hode kockou sa objaví 6 bodov;

Udalosť D: pri hode kockou sa objaví párny počet bodov;

Udalosť E: pri hode kockou prišlo 7 bodov;

Udalosť F: Pri hode kockou sa objaví číslo menšie ako 7.

Takže na začiatočný bod našej stupnice umiestnime nemožné udalosti, pretože stupeň možnosti ich výskytu (pravdepodobnosti) je prakticky rovný 0. Toto bude teda udalosť E. Na koncový bod našej stupnice umiestnime spoľahlivé udalosti - F. Všetky ostatné udalosti sú náhodné; skúsme ich usporiadať na stupnici podľa narastajúceho stupňa ich výskytu. Aby sme to dosiahli, musíme zistiť, ktoré z nich sú menej pravdepodobné a ktoré pravdepodobnejšie. Začnime udalosťou D: Keď hodíme kockou, každá zo 6 strán má rovnakú šancu byť navrchu. Na troch stranách kocky je párny počet bodov a na ostatných troch je nepárny počet. To znamená, že presne polovica šancí (3 zo 6) je taká D stane sa. Udalosť preto umiestnime D v strede našej stupnice.

Na podujatí S iba jedna šanca zo 6, zatiaľ čo udalosť D– tri šance zo 6 (ako sme zistili). Preto S menej pravdepodobné a budú umiestnené na stupnici naľavo od udalosti D.

Udalosť A ešte menej pravdepodobné ako S, pretože v týždni je 7 dní a prvý sneh môže napadnúť s rovnakou pravdepodobnosťou v ktoromkoľvek z nich, preto udalosť A jedna šanca za 7. Udalosť A, teda bude umiestnený ešte viac vľavo ako udalosť S.

Najťažšie je umiestniť na váhu udalosť IN. Tu nie je možné presne vypočítať šance, ale na pomoc si môžete zavolať životné skúsenosti: sendvič oveľa častejšie padá na podlahu tvárou nadol (existuje dokonca „sendvičový zákon“), takže udalosť IN oveľa pravdepodobnejšie ako D, tak na stupnici ho umiestnime viac vpravo ako D. Tak dostaneme mierku:

E A C D B F

nemožné náhodné spoľahlivé

Skonštruovaná pravdepodobnostná škála nie je úplne reálna – nie sú na nej žiadne číselné značky ani delenia. Stojíme pred úlohou naučiť sa vypočítať mieru možnosti výskytu (pravdepodobnosti) konkrétnej udalosti.

Štvorcová trojčlenka je hlavnou funkciou školskej matematiky – mimochodom, nie je najprimitívnejšia. Schopnosť využívať zdroje, ktoré mu boli poskytnuté na riešenie problémov, do značnej miery charakterizuje úroveň matematického myslenia študenta školskej algebry. Tento článok poskytuje zdôvodnenie tejto práce a poskytuje príklady konkrétnych aplikácií vlastností kvadratickej funkcie. Stimulačným faktorom je skutočnosť, že pri riešení akéhokoľvek problému s parametrami je skôr či neskôr potrebné (a je to možné) problém preformulovať v zmysle kvadratického trinomu a vyriešiť ho pomocou vlastností tejto univerzálnej funkcie.

Štúdium kvadratického trinomu

Definícia. Štvorcový trojčlen relatívne k premennej x sa nazýva výraz v tvare f(x) = ax 2 + bx + c (1), kde a, b, cR, a0.

Štvorcový trinóm je obyčajný polynóm 2. stupňa. Spektrum otázok formulovaných z hľadiska štvorcového trinómu sa neočakávane ukazuje ako mimoriadne široké. Keďže úlohy spojené so štúdiom kvadratického trinomu tradične zaujímajú čestné a popredné miesto v písomných prijímacích skúškach na školy a univerzity, je veľmi dôležité naučiť študenta (budúceho uchádzača) neformálnym (čiže tvorivým) znalostiam rôznych techník a metódy takéhoto výskumu. Tento metodologický vývoj fixuje hlavné tvrdenia o kvadratickom trinome (Vietova veta, umiestnenie koreňov vzhľadom na dané bodyčíselná os, technika manipulácie s diskriminantom), problémy sú vyriešené rôzne druhy a rôzne úrovne obtiažnosti. Hlavným ideologickým záverom je, že v školskej matematike existujú fragmenty bohaté na hlboký obsah, ktoré sú prístupné študentovi a nevyžadujú použitie nástrojov matematickej analýzy a iných častí takzvanej „vyššej matematiky“.

Grafom trojčlenky (1) je parabola; pri 0 - hore. Umiestnenie paraboly vzhľadom na os Ox závisí od hodnoty diskriminantu D = b 2 - 4ac: pre D>0 existujú dva priesečníky paraboly s osou Ox (dva rôzne reálne korene trinómu) ; keď D=0 - jeden bod (dvojitý skutočný koreň); pri D 0 - nad osou Ox). Štandardnou technikou je reprezentovať trojčlen takto (pomocou dokonalého štvorca):

f(x) = ax 2 + bx + c = = . Toto znázornenie vám umožňuje jednoducho zostaviť graf pomocou lineárnych transformácií grafu funkcie y=x 2 ; súradnice vrcholu paraboly: .

Rovnaká transformácia nám umožňuje okamžite vyriešiť najjednoduchšia úloha do extrému: nájdite najväčšiu (pre 0) hodnotu funkcie (1); extrémna hodnota sa dosiahne v bode a rovná sa .

Jedným z hlavných úsudkov o kvadratickej trojčlenke je

Veta 1 (vieta). Ak x 1, x 2 sú korene trojčlenky (1), potom

(Viete vzorce).

Vietovu vetu možno použiť na riešenie mnohých problémov, najmä tých, v ktorých je potrebné formulovať podmienky, ktoré určujú znaky koreňov. Nasledujúce dve vety sú priamymi dôsledkami Vietovej vety.

Veta 2. Na to, aby korene štvorcového trojčlenu (1) boli skutočné a mali rovnaké znamienka, je potrebné a postačujúce, aby boli splnené tieto podmienky:

D = b 2 - 4ac 0, x 1 x 2 = > 0,

Okrem toho sú oba korene kladné pre x 1 + x 2 = > 0,

a oba korene sú záporné pri x 1 + x 2 =

Veta 3. Na to, aby korene štvorcovej trojčlenky (1) boli skutočné a mali rôzne znamienka, je potrebné a postačujúce, aby boli splnené tieto podmienky:

D=b2-4ac > 0, x 1 x 2 =

v tomto prípade má kladný koreň väčší modul pri x 1 + x 2 = > 0,

a záporná odmocnina má väčší modul pri x 1 + x 2 =

Nižšie uvedené teorémy a dôsledky môžu (a preto by mali byť) efektívne aplikované pri riešení problémov s parametrami.

Veta 4. Aby boli oba odmocniny štvorcového trojčlenu (1) menšie ako číslo M, teda na číselnej osi ležia korene vľavo od bodu M, je potrebné a postačujúce, aby boli splnené tieto podmienky:

alebo kombináciou podmienok,

(obr. 1, a a 1, b).

Dôkaz.

Nevyhnutnosť. Ak má trojčlen (1) skutočné korene x 1 a x 2 (možno sa zhodujú), x 1 x 2 a x 1, (x 1 - M) (x 2 - M) > 0, x 1 + x 2 0, M > (x 1 + x 2)/2. Podľa vzorcov Viety , teda , alebo , atď.

Primeranosť- rozpor s podmienkou. Ak , potom (x 1 - M) (x 2 - M) 0, x 1 x 2 - (x 1 + x 2) M + M 2 0, odkiaľ , af(M) 0 - opäť rozpor s podmienkou; zostáva jediná možnosť x 1

Veta 5. Aby jeden z koreňov štvorcovej trojčlenky (1) bol menší ako číslo M a druhý väčší ako číslo M, teda bod M by ležal v intervale medzi koreňmi, je potrebné a postačujúce, aby boli splnené tieto podmienky:

alebo kombináciou podmienok af(M)

(Obr. 2,a a 2,b).

Dôkaz.

Nevyhnutnosť. Ak má trojčlen (1) reálne korene x 1 a x 2 , x 1 M , potom (x 1 - M)(x 2 - M), teda alebo af(M)

Primeranosť. Nech af(M) , alebo , potom (x 1 - M) (x 2 - M)0,

x 1 x 2 - (x 1 + x 2) M + M20, odkiaľ , af(M)0 - rozpor s podmienkou; Zostáva len možnosť, ktorú treba dokázať. Veta bola dokázaná.

Veta 6. Aby boli oba odmocniny štvorcového trinómu (1) väčšie ako číslo M, teda na číselnej osi ležia korene napravo od bodu M, je potrebné a postačujúce, aby boli splnené tieto podmienky:

alebo kombináciou podmienok,

(obr. 3, a a 3, b).

Dôkaz. Nevyhnutnosť. Ak má trinom (1) skutočné korene x 1 a x 2 (možno sa zhodujú), x 1 x 2 a x 1 > M, x 2 > M, potom , (x 1 - M) (x 2 - M) > 0 x 1 + x 2 > 2M; inak x 1 x 2 - (x 1 + x 2) M + M 2 > 0, teda M, alebo atď.

Primeranosť. Nechaj . My tvrdíme opak. Predpokladajme teda, že , , - rozpor s podmienkou. Ak , potom (x 1 - M) (x 2 - M) 0, x 1 x 2 - (x 1 + x 2) M + M 2 0, odkiaľ , af(M) 0 - opäť rozpor s podmienkou; Zostáva len možnosť x 1 > M, x 2 > M, čo je potrebné dokázať. Veta bola dokázaná.

Dôsledok 1. Aby oba odmocniny štvorcového trojčlenu (1) boli väčšie ako číslo M, ale menšie ako číslo N (M

alebo kombináciou podmienok,

(obr. 4,a a 4,b).

Dôsledok 2. Aby len väčšia odmocnina štvorcového trojčlenu (1) patrila do intervalu (M,N), kde M

alebo kombináciou podmienok,

menší koreň leží mimo segmentu

(obr. 5,a a 5,b).

Dôsledok 3. Aby len menšia odmocnina štvorcového trojčlenu (1) patrila do intervalu (M,N), kde M

, alebo kombináciou podmienok, ;

väčší koreň leží mimo segmentu

(obr. 6,a a 6,b).

Dôsledok 4. Aby jeden z koreňov štvorcovej trojčlenky (1) bol menší ako M a druhý väčší ako N (M

alebo kombináciou podmienok,

(Obr. 7,a a 7,b).

Samozrejme, analytické a geometrické interpretácie výsledkov Viet 4-6 a Dôsledkov 1-4 sú ekvivalentné a strategickým cieľom je rozvíjať presné prekladateľské zručnosti z jedného jazyka do druhého. Je obzvlášť dôležité preukázať, ako „vizualizácia“ („grafický pohľad“) pomáha presne zaznamenať formálne podmienky potrebné a dostatočné na splnenie požiadaviek úlohy.

Naznačme typické problémy, ktoré možno vyriešiť pomocou overených viet (všeobecnejšie sa dajú riešiť na základe vlastností kvadratického trinomu).

Problém 1. Nájdite všetky hodnoty a, pre ktoré majú rovnice x 2 +ax+1=0 a x 2 +x+a=0 aspoň jeden spoločný koreň.

Riešenie. Obe rovnice majú presne rovnaké korene vtedy a len vtedy, ak sa koeficienty zodpovedajúcich kvadratických trinómov zhodujú (polynóm druhého stupňa je úplne určený svojimi dvoma koreňmi a zodpovedajúce koeficienty týchto polynómov sú rovnaké), takže dostaneme a=1 . Ak však vezmeme do úvahy iba skutočné korene, potom pre a=1 takéto korene neexistujú (diskriminant zodpovedajúceho trinomu je záporný). Pre a1 uvažujeme takto: ak x 0 je koreňom oboch rovníc f(x)=0 a g(x)=0, potom x 0 bude koreňom rovnice f(x)-g(x) =0 (je to len nutná, ale nie postačujúca podmienka pre existenciu spoločného koreňa dvoch rovníc f(x)=0 a g(x)=0, keďže rovnica f(x) - g(x)= 0 je ich dôsledkom); odčítaj druhú od prvej rovnice a získaj

(x 2 + ax + 1) - (x 2 + x + a) = 0, x(a-1) - (a-1)=0, odkiaľ, pretože a1, x=1. teda Ak daný rovnice majú spoločný koreň, potom sa rovná 1. Dosaďte x = 1 do prvej rovnice: 1 + a + 1 = 0 a a = -2.

Odpoveď. a = -2.

Problém 2. Pri akom a bude súčet druhých mocnín koreňov rovnice x 2 - ax + a – 1 = 0 najmenší?

Riešenie. Autor: Vietov teorém, x 1 + x 2 = a, x 1 x 2 = a - 1. Máme:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 +x 2) 2 - 2x 1 x 2 = a 2 - 2 (a-1) = a 2 - 2a + 2 = (a-1) 2 + 1 1 a = 1 pre a=1.

Odpoveď. a = 1.

Problém 3. Existujú také, že korene polynómu f(x)=x 2 +2x+a sú skutočné, odlišné a oba ležia medzi -1 a 1?

Riešenie. Aby obidva korene x 1 a x 2 trinomu f(x) boli medzi -1 a 1, je potrebné, aby aritmetický priemer týchto koreňov bol medzi -1 a 1: ; ale na Vietov teorém, , Preto

Odpoveď. Nie

Problém 4. Pre aké hodnoty parametra a platia oba korene kvadratickej rovnice x 2 +(2a+6)x + 4a + 12 = 0 a oba sú väčšie ako -1?

Riešenie. Veta 6 dáva:

, , , .

Odpoveď. .

Problém 5. Pre aké hodnoty parametra a platia oba korene kvadratickej rovnice x 2 +4ax+ (1-2a+4a 2) = 0 a oba sú menšie ako -1?

Riešenie. Veta 4 dáva:

, , , a>1.

Odpoveď. a > 1.

Problém 6. Pre aké hodnoty parametra a je jeden koreň kvadratickej rovnice f(x) = (a-2)x 2 - 2(a+3)x + 4a = 0 väčší ako 3 a druhý menší ako 2 ?

Riešenie. Hneď si všimnime, že a2 (inak by rovnica mala len jeden koreň). Použiteľné následok 4(tu M=2, N=3):

, , , 2

Odpoveď. a(2;5).

Problém 7. Pre aké a má rovnica (a-1)x 2 -(2a-1)x+a+5 = 0 (2) skutočné korene? Preskúmajte znaky týchto koreňov.

Riešenie. Ak a = 1, rovnica (2) je lineárna: -x + 6 = 0, x = 6 > 0.

Ak a1, potom rovnica (2) je kvadratická a má skutočné korene práve vtedy, ak D=(2a-1) 2 -4(a-1)(a+5)0, . Oba korene sú kladné, keď (Veta 6), kde

A ;

oba korene sú negatívne, keď (Veta 4) - tento systém nemá žiadne riešenia; korene majú rôzne znamienka pre (a-1)(a+5) Veta 5, teda -5

Odpoveď.

Keď sú oba korene kladné; keď a=-5, jeden z koreňov je 0.

Pre a = 1 je jediným kladným koreňom x = 6.

Neexistujú žiadne riešenia.

Problém 8. Nájdite všetky skutočné hodnoty a, pre ktoré je trojčlenka

(a 2 -1)x 2 + 2(a-1)x + 1 je kladné pre všetky reálne x.

Riešenie. Keď a 2 = 1 dostaneme binom 2(a-1)x+1; keď a=1 je podmienka problému splnená, keď a=-1 nie je. Ak je 2 1, potom na uspokojenie nerovnosti

(a 2 -1)x 2 +2(a-1)x+1>0 pre všetky xR je potrebné a dostatočné

,

odkiaľ nájdeme a>1.

Odpoveď. 1.

Rovnice

Problém 9. Za akých podmienok má rovnica x 2 +px+q=0 (3), kde x=sint, riešenia vzhľadom na t? Nájdite všetky tieto riešenia.

Riešenie. 1. Rovnica (3) má koreň x 1 =-1, alebo sint=-1, alebo t= ak 1-p+q=0. V tomto prípade sa druhý koreň rovná x 2 = 1-p; to znamená, že ak , potom rovnica sin 2 t +psint+q=0 (4) má okrem uvedených aj korene (pre p=2 sa oba rady koreňov zhodujú).

2. Rovnica (3) má koreň x 1 = 1 alebo sint = 1 alebo t = , Ak

1+p+q=0. V tomto prípade sa druhý koreň rovná x 2 =-1-p; to znamená, že ak , potom rovnica (4) má okrem uvedených aj korene (pre p=-2 sa oba rady koreňov zhodujú).

3. Korene (3) sú si navzájom rovné pri p 2 -4q=0; potom x 1 = x 2 = -p/2; ak tiež , To a pre p2 neexistujú žiadne korene. Ak p=2, potom q=1, x 2 +2x+1=0, x=-1, t= a ak p=-2, potom x=1, t=.

Prípad I nastane práve vtedy, ak 1-p+q>0, 1+p+q dôsledok 3) alebo p-1.

Prípad II nastane vtedy a len vtedy, ak 1-p+q 0 ( následok 2), alebo -p-1.

Prípad III nastane vtedy a len vtedy, ak p 2 >4q, -2+p 0, 1-p+q>0, 1+p+q>0 ( následok 1), alebo 2

V čom .

V ostatných prípadoch rovnica sin 2 t +psint+q=0 nemá riešenia.

Problém 10. Pre aké aR má rovnica sin 4 x+cos 4 x+sin2x+a=0 (5) riešenia? Nájdite tieto riešenia.

Riešenie. Keďže sin 4 x + cos 4 x = hriech 4 x + 2 sin 2 xcos 2 x + cos 4 x - 2sin 2 xcos 2 x =

(sin 2 x+cos 2 x) 2 - 4sin 2 xcos 2 x = 1 - sin 2 2x, rovnicu (5) je možné prepísať nasledovne:

1 - sin 2 2x + sin2x + a = 0, sin 2 2x - 2sin2x - 2 - 2a = 0; Urobme náhradu y=sin2x:

y2-2y-2-2a = 0 (6).

Rovnica (6) má reálne korene, ak D=3+2a. Nech y 1, y 2 sú korene (6). Rovnica (5) má korene v jednom z nasledujúcich prípadov:

1. Aspoň jeden koreň sa rovná 1. Potom 1-2-2-2a=0, a=; rovnica (6) má tvar y2-2y+1=0 a druhý koreň sa tiež rovná 1; teda s a= sin2x=1, 2x= .

2. Aspoň jeden koreň sa rovná -1. Potom 1+2-2-2a=0, a=; rovnica (6) sa stáva y2-2y-3=0 a druhý koreň je 3; ale koreň y=3 nesedí, preto s a= sin2x=-1, 2x= .

3. -1 : 3+2a>0, a>-, (-1) 2 -2(-1)-2-2a>0, 2(-1)-2

1 2 -21-2-2a>0, 21-2>0 - nekonzistentný systém (0=2-2>0).

4. y 1: (-1) 2 -2(-1)-2-2a1-2-2a>0 - rozpor.

5. -1 Dôsledok 3: V tomto prípade 1 2 -21-2-2a (-1)-2-2a>0 a . Korene (6) sú y 1 = 1-, y 2 = 1+ a iba . Potom

Rovnice obsahujúce parameter.
Lekcia 2: Lokalizácia koreňov kvadratickej rovnice v závislosti od
z parametra.
Cieľ: Rozvinúť schopnosť rozpoznať polohu paraboly v
v závislosti od jeho koeficientov.
ja
Vysvetlenie nového materiálu.
Počas vyučovania
Riešenie mnohých problémov s parametrami ponúkanými na skúškach, v
najmä na Jednotnej štátnej skúške z matematiky vyžaduje schopnosť správne
formulovať potrebné a dostatočné podmienky zodpovedajúce
rôzne prípady umiestnenia koreňov kvadratická trojčlenka na
číselná os.
Pozrime sa na príklad: nájdite všetky hodnoty parametra c, pre ktoré obidve

menej ako – 1.
1
2). Teraz potrebujete
Rovnica má dva rôzne korene pre D > 0 (c >
vytvorte sústavu rovníc, keď x1>−1 a x2>−1. Tam bude
dosť ťažké sa rozhodnúť.
Na riešenie problémov tohto typu existuje špeciálna metóda.
Najprv uvažujme kvadratickú funkciu f(x) = ax2+bx+c,a≠0.
Zapíšme to v tvare f(x)=a(x+ b
2a)
Pripomeňme si hlavné charakteristiky paraboly, ktoré nám umožňujú zostrojiť ju
harmonogram. Pri riešení problémov s parametrami, týmito charakteristikami
aplikované v inom kontexte.
+ 4ac-b2
4a
2
.
1. Riadok x=−b
2a je os paraboly, ktorá je súčasne
jeho os symetrie. Vrchol paraboly je bod (
−b
2a
;4ac−b2
4a).
2. Znamienko čísla a ukazuje, kam smerujú vetvy paraboly: ak a >
0, potom nahor, ak a< 0, то вниз.

3. Diskriminant D=b2−4ac ukazuje, či sa parabola pretína s
os x.
Skombinujme vyššie uvedené v tabuľke:
Umiestnenie grafu vo vzťahu k osi x v závislosti od
znamienka koeficientu a a diskriminantu.
a > 0
A< 0
D > 0
D = 0
D< 0
Výrok 1: Obidva korene sú menšie ako číslo A, teda x1< А и х2 < А тогда
a len vtedy, keď ( D>0,
a>0,
x0 f(A)>0
alebo ( D>0,
a<0,
x0 f(A)<0.
Výrok 2: Korene ležia na opačných stranách čísla A, teda x1<
A< х2 , тогда и только тогда, когда { a>0,
systémy možno nahradiť vzorcom a⋅f(A)<0.
f(A)<0 или { a<0,
f(A)>0.
Títo dvaja
Výrok 3: Oba korene sú väčšie ako číslo A, teda x1 > A a x2 > A, potom
a len vtedy, keď ( D>0,
a>0,
x0>A,
f(A)>0
alebo ( D>0,
a<0,
x0>A,
f(A)<0.

Výrok 4: Obidva korene ležia medzi bodmi A a B, teda A< х1 <
a<0,
A<х0<В,
f(A)<0,
f(B)<0.
a>0,
A<х0<В,
f(A)>0,
f(B)>0
B a A< х2 < В, тогда и только тогда, когда { D>0,
> x2 a A< х1 < В, тогда и только тогда, когда { a>0,
> x2 a A< х2 < В, тогда и только тогда, когда { a>0,
alebo ( D>0,
f(B)>0 alebo (a<0,
alebo (a<0,
f(A)>0,
f(B)<0
f(A)>0,
f(B)<0.
f(A)<0,
f(B)>0.
f(A)<0,
Výrok 5: Väčší koreň leží medzi bodmi A a B, teda x1
Výrok 6: Menší koreň leží medzi bodmi A a B, teda x1
Výrok 7: Korene ležia na opačných stranách segmentu
je tam x1< А < В < х2, тогда и только тогда, когда { a>0,
f(A)<0,
f(B)<0
alebo (a<0,
f(A)>0,
f(B)>0.
[A;B]
, To
Vráťme sa k príkladu 1: nájdite všetky hodnoty parametra c, pre ktoré obidve
korene kvadratickej rovnice x2+4сх+(1−2с+4с2)=0 sú rôzne a
menej ako – 1. (Na vyriešenie je potrebné použiť výrok
1.)
Príklad 2: Pre aké skutočné hodnoty k sú oba korene (vrátane
násobky) rovnice (1 + k)x2 – 3kx + 4k = 0 je väčšie ako 1? (Pre riešenia
je potrebné použiť vyhlásenie 3.)
II. Vystuženie pokrytého materiálu. Praktická práca v
skupiny.
1. skupina:
1. Pri akých hodnotách k sa nachádza číslo 2 medzi koreňmi rovnice 2x2
1
2 x + (k – 3) (k + 5) = 0?
–
2. Pri akých hodnotách parametra a sú oba korene rovnice x2 – ax + 2 = 0
leží v intervale (0; 3)?

Skupina 2:
1. Pri akých hodnotách k sa nachádza číslo 3 medzi koreňmi rovnice x2
+
x + (k – 1) (k + 7) = 0?
2. Existujú hodnoty parametra a také, že korene rovnice x2 +
2x + a = 0 leží medzi – 1 a 1?
Skupina 3:
1. Nájdite množinu hodnôt parametra k, keď je číslo 2
medzi koreňmi rovnice 9x2 – 6x – (k – 2)(k + 2) = 3.
2. Pri akých hodnotách parametra a sú všetky riešenia rovnice (a – 1)x2 – (a +
1)x + a = 0 má jediné rozhodnutie vyhovujúca podmienka 0<
X< 3?
III. Domáca úloha.
1. Pri akých hodnotách parametra a sú oba korene rovnice (a + 4)x2 – 2(a +
2)x + 3(a + 6) = 0 kladné?
2. Pri akých hodnotách parametra a sú oba korene rovnice (a – 3)x2 – 3(a –
4)x + 4a – 16 = 0 patrí do intervalu (2; 5)?
3. Pri akých hodnotách parametra a je jeden z koreňov rovnice 2x2 – 2x –
3a – 2 = 0 je väčšie ako 1 a druhé je menšie ako 1?

Ministerstvo školstva a politiky mládeže Čuvašskej republiky

Autonómna inštitúcia Čuvašskej republiky

"Poľnohospodárska a technologická vysoká škola Tsivilsky"

Smer – fyzika, matematika a informačné technológie

Výskumná práca:

Umiestnenie koreňov kvadratického trinomu

Práca dokončená:

Žiak 1. ročníka, skupina 14 B

odbor "ekonomika"

vedúci:

Eshmeikina

Irina Anatolyevna,

učiteľ matematiky

Tsivilsk 2012

1. Úvod.

2. Teoretická časť

2.1. Umiestnenie koreňov štvorcového trojčlenu.

2.2. Desať pravidiel na lokalizáciu koreňov štvorcového trojčlenu

3. Praktická časť

3.1. Príklady riešenia problémov

3.2. Umiestnenie koreňov vzhľadom na jeden bod.

3.3. Umiestnenie koreňov vo vzťahu k dvom alebo viacerým bodom.

4. Závery.

5. Použitá literatúra.

6. Aplikácie

Úvod

Relevantnosť: v úlohách Štátnej skúšky (2. časť) a Jednotnej štátnej skúšky z matematiky s podrobnou odpoveďou (časť C) sú úlohy s parametrami, ktoré žiakom často spôsobujú veľké ťažkosti. Študenti navyše často pociťujú psychologické problémy a obávajú sa takýchto úloh, pretože v škole a technickej škole zriedka riešia problémy, ktoré obsahujú parametre.

Ťažkosti pri riešení problémov s parametrami sú spôsobené tým, že prítomnosť parametra vás núti riešiť problém nie podľa šablóny, ale zvážiť rôzne prípady, z ktorých sa metódy riešenia navzájom výrazne líšia.

Mnoho problémov s parametrami sa týka štúdia umiestnenia koreňov štvorcového trinómu vzhľadom na daný bod alebo daný interval (úsek, interval, lúč).

Účel práce: preskúmať umiestnenie koreňov štvorcovej trojčlenky vzhľadom na daný bod alebo daný interval.

Zbierajte materiál na túto tému Zvážte pravidlá pre umiestnenie koreňov štvorcového trojčlenu. Vyriešte úlohy pomocou pravidiel na lokalizáciu koreňov štvorcového trojčlenu.

Predmet štúdia: kvadratický trinom a umiestnenie jeho koreňov.

1. Hľadaj-kolektívne.

Praktický význam: tento materiál pomôže pri príprave na jednotnú štátnu skúšku pre študentov, ktorí chcú pokračovať v štúdiu na vysokej škole.

Teoretická časť

2.1. Umiestnenie koreňov kvadratického trinomu

Mnoho problémov s parametrami sa redukuje na štúdium umiestnenia koreňov štvorcového trinómu vzhľadom na daný bod alebo daný interval:

Pri akých hodnotách parametra sú korene (alebo koreň) kvadratickej rovnice väčšie (menšie ako, nie viac ako, nie menšie ako) dané číslo; nachádza sa medzi dvoma danými číslami; nepatria do daných intervalov atď., atď.

Graf kvadratickej funkcie y = ax²+inx+c má nasledujúce polohy vzhľadom na os x.

https://pandia.ru/text/78/376/images/image002_6.jpg" align="right hspace=12" width="196" height="202">Kvadratická rovnica x²+pх+q=0 alebo nie má riešenie (parabola typu D), alebo má jeden alebo dva kladné korene (C), alebo má jeden alebo dva záporné korene (A), alebo má korene rôznych znamienok (B).

Analyzujme parabolu C. Aby rovnica mala korene, je potrebné, aby diskriminant D ≥ 0. Keďže oba korene rovnice zostrojením musia byť kladné, osová os vrcholu paraboly ležiacej medzi koreňmi je kladné, xv > 0.

Ordináta vrcholu f(xв) ≤ 0 kvôli tomu, že sme požadovali existenciu koreňov.

Ak požadujeme splnenie podmienky f(0) > 0, potom v dôsledku spojitosti skúmanej funkcie bude bod x1(0; xv) taký, že f(x1) = 0. je menší koreň rovnice. Ak teda všetky podmienky spojíme, dostaneme: Kvadratická rovnica x² + px + q = 0 má dva možno viacnásobné korene x1, x2 >

Uvažovaním podobným spôsobom odvodíme nasledujúce pravidlá pre umiestnenie koreňov štvorcového trojčlenu.

2.2. Desať pravidiel na lokalizáciu koreňov štvorcového trojčlenu

Pravidlo 1. Kvadratická rovnica ax2 + bx + c = 0 (a ≠ potom nemá riešenia

a až keď D< 0.

Pravidlo 2.1. Kvadratická rovnica (1) má dva rôzne korene vtedy a len vtedy

keď D > 0.

Pravidlo 2.2. Kvadratická rovnica (1) má teda dva, možno viacnásobné korene

len keď D ≥ 0.

Pravidlo 3.1. Kvadratická rovnica (1) má dva korene x1< М и х2 >M vtedy a len

https://pandia.ru/text/78/376/images/image007_15.gif" align="left" width="74 height=42" height="42"> iba ak

Pravidlo 4.1. Kvadratická rovnica x2 + px +q = 0 pre a ≠ 0) má dva

rôzne korene x1, x2 > M vtedy a len vtedy

kde =

Pravidlo 4.2. Kvadratická rovnica má dva možné viacnásobné korene

x1,x2 > M vtedy a len vtedy

Pravidlo 4.3. Kvadratická rovnica má dva rôzne korene x1, x2 ≥ M potom a

iba ak

https://pandia.ru/text/78/376/images/image018_3.gif" width="162" height="74 src=">

Pravidlo 4.4. Kvadratická rovnica má 2, možno násobky odmocniny

x1, x2 ≥ M vtedy a len vtedy

https://pandia.ru/text/78/376/images/image020_2.gif" width="166" height="74 src=">

Pravidlo 5.1. Kvadratická rovnica má 2 rôzne korene x1, x2< М тогда и

iba ak

Pravidlo 6.1. < N < M < х2 тогда и

iba ak

https://pandia.ru/text/78/376/images/image026_1.gif" width="137 height=48" height="48">

Pravidlo 6.2. Kvadratická rovnica má korene x1 = N< М < х2

vtedy a len vtedy

Pravidlo 6.3. Kvadratická rovnica má x1 koreňov< N < M = х2

vtedy a len vtedy

Pravidlo 7.1. Kvadratická rovnica má x1 koreňov< m < x2 < M тогда и только

potom, keď

https://pandia.ru/text/78/376/images/image032_0.gif" width="128 height=48" height="48">

Pravidlo 7.2. TO kvadratická rovnica má korene N< x1 < M < x2 тогда и только

potom, keď

Pravidlo 8.1. N < x1 < x2 < M (может быть

viac koreňov N< x1 ≤ x2 < M) тогда и только тогда, когда

https://pandia.ru/text/78/376/images/image039_1.gif" width="142" height="98">

Pravidlo 8.3. Kvadratická rovnica (1) má rôzne korene N≤ x1< x2 ≤ M (может

byť viacerými koreňmi N< x1 ≤ x2 ≤ M) тогда и только тогда, когда

Pravidlo 8.4. Kvadratická rovnica (1) má rôzne korene N ≤ x1< x2 ≤ M (может

byť viacnásobnými koreňmi N ≤ x1 ≤ x2 ≤ M) vtedy a len vtedy

https://pandia.ru/text/78/376/images/image044_1.gif" width="144" height="98">

Pravidlo 9. Kvadratická rovnica má jeden koreň v intervale (N; M),

a druhý sa nachádza mimo tohto intervalu vtedy a len vtedy

f (N) f (M)< 0.

Pravidlo 10. Kvadratická rovnica (1) má jedinečné riešenie x1 = x2 > M

(x1 = x2< М) тогда и только тогда, когда

Praktická časť

3.1. Príklady riešenia problémov.

Príklad 1. Pre aké hodnoty a platí rovnica x² - 2ax + a² + 2a – 3 = 0

a) nemá korene; b) má korene rôznych znakov;

c) má pozitívne korene; d) má dva rôzne negatívne korene?

Riešenie: a) Podľa pravidla 1 neexistujú riešenia, keď diskriminant D = - 4(2a-3)< 0, откуда а > 3/2.

b) Podľa pravidla 3.1 pre M = 0 máme f(0)=a² + 2a – 3< 0, откуда а(-3;1).

c) Podľa pravidla 4.2 pre M=0

Kde .

d) Podľa pravidla 5.1 pre M=0

Odkiaľ to je?< - 3.

3.2. Umiestnenie koreňov vzhľadom na jeden bod.

Príklad 2 Pre aké hodnoty parametra a ležia korene rovnice x² + 2(a+1)x + a² + a + 1 = 0 na lúči (-2;+∞).

Urobme si grafickú analýzu problému. Podľa podmienok úlohy sú možné len nasledujúce dva prípady pre umiestnenie grafu funkcie f(x) = x² + 2(a+1)x + a² + a + 1 vzhľadom na bod x = -2.

xv = - a - 1

Oba tieto prípady sú analyticky opísané podmienkami

Z toho vyplýva, že 0 ≤ a< .

Príklad 3 . Nájdite všetky hodnoty parametra a, pre ktoré sú korene kvadratického trinomu x² + x + a odlišné a nie väčšie ako a. (Príloha 1)

3.3. Umiestnenie koreňov vo vzťahu k dvom alebo viacerým bodom.

Príklad 4. Pri akých hodnotách parametra m sú korene rovnice x² - 2 mx + m² -1= 0 sú obsiahnuté medzi číslami -2 a 4.

Diskriminant rovnice D = 4m² - 4m² + 4 = 4 je dokonalý štvorec. Poďme nájsť korene rovnice: x1= m+1, x2= m - 1. Tieto korene spĺňajú danú podmienku, ak

Odpoveď: pri m(-1;3).

Príklad 5. Pri akých hodnotách parametra a má rovnica 2x² + (a-4)x + a + 2 = 0 rôzne korene, ktoré spĺňajú nerovnosť ‌│x-1│>2. (Príloha 2)

Riešenie kvadratických rovníc s parametrami možno zapísať vo forme schémy na štúdium problémov súvisiacich s umiestnením koreňov kvadratického trinómu Ax²+Bx+C.

Štúdia prípadu A = 0 (ak závisí od parametrov).

1. Nájdenie diskriminantu D v prípade A≠0.

2. Ak je D úplný štvorec nejakého výrazu, nájdite korene x1, x2 a podriaďte ich podmienkam úlohy.

3. Ak druhá odmocnina z D nie je extrahovaná, potom grafická analýza problému.

4. Analytický popis vhodných prípadov umiestnenia paraboly, pre ktoré sa berú do úvahy nasledovné:

Ø znamienko (hodnota) koeficientu pri x²;

Ø znak (hodnota) diskriminantu;

Ø znaky (hodnoty) kvadratickej funkcie v skúmaných bodoch;

Ø umiestnenie vrcholu paraboly vzhľadom na študované body.

4. Zjednotenie niektorých nerovností (systémov).

5. Riešenie výsledných sústav.

Našiel som 10 pravidiel pre umiestnenie koreňov štvorcového trojčlenu. Vyriešené problémy s umiestnením koreňov vzhľadom na jeden bod; umiestnenie koreňov vo vzťahu k dvom alebo viacerým bodom.

Ovládanie techník na riešenie úloh s parametrami možno považovať za kritérium znalosti hlavných odvetví matematiky, úrovne matematických a logické myslenie, matematická kultúra.

Referencie

1. Mochalov, a nerovnosti s parametrami / , .-

Cheboksary: ​​​​Vydavateľstvo Chuvash. Univ., 200. roky.

2. Kozhukhov, metódy riešenia úloh s parametrami/ // Matematika v škole - 1998. - č.6.

3. Týždenný tréning - metodická aplikácia do novín „Prvý september“ „Matematika“ č.18, 2002

Príloha 1

Príklad 3 . Nájdite všetky hodnoty parametra a, pre ktoré sú korene kvadratického trinomu x² + x + a odlišné a nie väčšie ako a.

xv= -1/2

Nájdite diskriminant D = 1 - 4a. Vzhľadom na to, že nie je extrahovaný, vyriešme príklad graficky.

Urobme si grafickú analýzu. Keďže korene x1, x2 funkcie f(x) = x² + x + a sú rôzne a x1≤ a, x2 ≤ a, jej graf môže mať iba nasledovné usporiadanie.

Popíšme tieto grafy analyticky.

https://pandia.ru/text/78/376/images/image062_1.gif" width="149" height="48">

Poďme zistiť, v čom a sú korene rovnice odlišné, t. j. diskriminant D=a²-16a je kladný a buď sú oba menšie ako -1, alebo sú oba väčšie ako 3, alebo jeden z nich je menší ako -1 a druhá je väčšia ako 3. Graf funkcie f(x)=2x²+(a-4)x+a+2 má v týchto prípadoch nasledovné usporiadanie:

Analyticky sú tieto grafy opísané podmienkami

Informácie o autorovi

Stukalová Nadežda Vasilievna

Miesto práce, pozícia:

MBOU SOŠ č.15, učiteľka matematiky

Tambovský región

Charakteristika lekcie (lekcie)

Úroveň vzdelania:

Stredné (úplné) všeobecné vzdelanie

Cieľové publikum:

žiak (študent)

Cieľové publikum:

učiteľ (učiteľ)

Triedy:

Položky:

Algebra

Položky:

Matematika

Účel lekcie:

Typ lekcie:

Kombinovaná lekcia

Žiaci v triede (hľadisko):

Použité učebnice a učebné pomôcky:

A. G. Mordkovich, algebra, 9. ročník, učebnica, 2011

A. G. Mordkovich, algebra, 9. ročník, problémová kniha, 2011

S.A. Telyakovsky, algebra 9. ročník, učebnica, 2009

Použitá metodologická literatúra:

Miroshin, V.V. Riešenie úloh s parametrami: Teória a prax / V.V. Miroshin - M.: Skúška, 2009.

L. V. Kuznetsova Zbierka úloh na skúšku

Použité vybavenie:

Počítač, filmový projektor

Stručný opis:

Plán hodiny: 1. Organizačný moment. 2. Zovšeobecnenie a systematizácia poznatkov (zapamätať si potrebné a postačujúce podmienky pre umiestnenie koreňov štvorcového trojčlenu na číselnej osi). 3. Riešenie úloh s parametrami (práca v skupinách). 4. Samostatná práca nasleduje overenie. 5. Zhrnutie. 6. Domáce úlohy.

Zhrnutie lekcie

k téme

„Umiestnenie koreňov štvorcového trojčlenu

v závislosti od hodnôt parametrov"

učiteľka matematiky Stukalová N.V. MBOU stredná škola č.15

Michurinsk - vedecké mesto Ruskej federácie 2011

Účel lekcie:

Rozvíjať praktické zručnosti žiakov pri riešení úloh s parametrami;

Pripravte študentov na úspešné ukončenie GIA v matematike;

Rozvíjať výskumné a kognitívne aktivity študentov;

Rozvíjať záujem o matematiku;

Rozvíjať matematické schopnosti žiakov.

Plán lekcie:

1. Organizačný moment.

2. Zovšeobecnenie a systematizácia poznatkov (pamätajte na potrebné a postačujúce podmienky pre umiestnenie koreňov štvorcového trojčlenu na číselnej osi).

3. Riešenie úloh s parametrami (práca v skupinách).

4. Samostatná práca s následným overením.

5. Zhrnutie.

6. Domáce úlohy.

Počas vyučovania.

1. Organizovanie času.

Učiteľ oznámi tému hodiny, stanoví ciele a zámery pre študentov a oznámi plán hodiny.

Problémy s parametrami spôsobujú veľké ťažkosti. Je to spôsobené tým, že riešenie takýchto problémov si vyžaduje nielen znalosť vlastností funkcií a rovníc, ale aj schopnosť vykonávať algebraické transformácie, ale aj vysoká logická kultúra a dobré výskumné techniky.

Naša lekcia je venovaná riešeniu úloh o umiestnení koreňov štvorcového trojčlenu na číselnej osi.

2. Zovšeobecňovanie a systematizácia vedomostí:

Pripomeňte si potrebné a postačujúce podmienky na splnenie rôznych požiadaviek na umiestnenie koreňov kvadratickej rovnice voči daným bodom alebo intervalom.

Po odpovedi študentov sa zobrazia snímky so správnou odpoveďou.

1. Umiestnenie koreňov na oboch stranách danej číselnej osi

bodov.

stav x 1< m<х 2, необходимо и достаточно выполнения неравенства аf(x)<0.

2. Umiestnenie koreňov na oboch stranách daného segmentu.

Aby korene kvadratickej rovnice pre a ≠ 0 vyhovovali

stav x 1< m, х 2 < n, где m

systémy nerovností

3. Umiestnenie koreňov na jednej strane daného na číselnej osi

Bodky.

Aby korene kvadratickej rovnice pre a ≠ 0 vyhovovali

stav m<х 1 <х 2, т.е располагались на числовой прямой правее точки х = m,

je nevyhnutné a postačujúce na uspokojenie systému nerovností

Ak je naľavo od bodu x = m, je potrebné a postačujúce urobiť

systémy nerovností

4. Korene patria do daného intervalu.

interval (m;n), je potrebné a postačujúce na spustenie systému

nerovnosti

5. Príslušnosť koreňov k danému segmentu.

Aby korene kvadratickej rovnice pre a ≠ 0 patrili

interval, je potrebné a postačujúce spustiť systém

nerovnosti

3. Riešenie problémov s parametrami.

Žiaci sú rozdelení do 4 skupín. V každej skupine sú deti, ktoré sú úspešnejšie v algebre. Každá skupina začne riešiť problém, ktorý zodpovedá číslu jej skupiny. Po prediskutovaní postupu riešenia úlohy jeden zástupca z každej skupiny príde k tabuli a vypracuje riešenie problému svojej skupiny a vysvetlí jeho riešenie (na skladacích tabuliach). V tomto čase musia deti riešiť problémy inej skupiny (môžete si nechať poradiť od učiteľa).

Úloha č.1.

Pri akých hodnotách parametrov A jeden koreň rovnice (12a + 7) x 2 + (9a - 42) x ​​+ +11 - 3a = = 0 je väčší ako 1, druhý koreň je menší ako 1?

Riešenie.

Graf funkcie y = f(x), kde f(x) = (12a + 7)x 2 + (9a - 42)x ​​​​+ +11 - 3a, pričom

a ≠ - 7/12 je parabola, ktorej vetvy pre a > - 7/12 smerujú nahor, pre a< - 7/12 - вниз. Тогда значения параметра A uspokojiť nerovnosť

(12a +)f(1)< 0, где f(1) = 12а+7+9а-42+11-3а = 18а-24. Решив неравенство (12а+7)(18а-24)<0, получим, что - 7/12<а<4/3. Ответ: (-7/12; 4/3).

Problém č.2.

Nájdite hodnoty parametra a, pri ktorých sú korene rovnice (1+a)x 2 - 3ax +4a = 0 väčšie ako 1.

Riešenie.

Pre a≠-1 je daná rovnica kvadratická a D= -a(7a+16). Získame systém, z ktorého -16/7≤а≤ -1.

Hodnoty parametrov, pri ktorých sú korene tejto rovnice pre a ≠ - 1 väčšie ako 1, patria do intervalu [-16/7; -1).

Keď a = -1, daná rovnica má tvar 3x - 4 = 0 a jediný koreň

Odpoveď: [-16/7; -1]

Úloha č.3.

Pri akých hodnotách parametra k sú korene rovnice (k-2)x 2 -2kx+2k-3=0

patrí do intervalu (0;1)?

Riešenie.

Pre k≠2 musia požadované hodnoty parametrov spĺňať systém nerovností

kde D= 4k2-4(k-2)(2k-3) = -4(k2-7k+6), f(0) = 2k-3? F(1) = k-5, xin = k/(k-2).

Tento systém nemá žiadne riešenia.

Pre k = 2 je daná rovnica -4x+1 = 0, jej jediným koreňom je

x = ¼, ktorá patrí do intervalu (0;1).

Úloha č.4.

Pre aké hodnoty a sú oba korene rovnice x 2 -2ax + a 2 -a = 0 umiestnené na segmente?

Požadované hodnoty musia spĺňať systém nerovností

kde D= 4a2-4(a2-a) = 4a, f(2) = a2-5a+4, f(6) = a2-13a+36, x b = a.

Jediným riešením systému je hodnota a = 4.

4. Samostatná práca (kontrola a školenie).

Študenti pracujú v skupinách a vykonávajú rovnakú verziu, pretože materiál je veľmi zložitý a nie každý to dokáže.

č. 1. Pre aké hodnoty parametra a patria obidva korene rovnice x 2 -2ax + a 2 - 1 =0 do intervalu (-2;4)?

č. 2. Nájdite všetky hodnoty k, pre ktorý je jeden koreň rovnice

(k-5)x2-2kx+k-4=0 je menšie ako 1 a druhý koreň je väčší ako 2.

č. 3. Pre aké hodnoty a je číslo 1 umiestnené medzi koreňmi štvorcového trinomu x 2 + (a + 1) x - a 2?

Po uplynutí času sa zobrazia odpovede. Vykonáva sa samotestovanie nezávislej práce.

5. Zhrnutie lekcie. Dokončite vetu.

“Dnes v triede...”

"Pamätám si…"

"Rád by som poznamenal..."

Učiteľ rozoberá celý priebeh hodiny a jej hlavné body, hodnotí aktivity každého študenta na hodine.

6. Domáca úloha

(zo zbierky úloh na prípravu na štátnu skúšku v 9. ročníku od L. V. Kuznecova)