Sústavy lineárnych rovníc. Riešenie sústav lineárnych algebraických rovníc, metódy riešenia, príklady

Gaussova metóda má množstvo nevýhod: nie je možné zistiť, či je systém konzistentný alebo nie, kým sa nevykonajú všetky potrebné transformácie v Gaussovej metóde; Gaussova metóda nie je vhodná pre systémy s písmenovými koeficientmi.

Zvážte iné metódy riešenia systémov lineárne rovnice. Tieto metódy využívajú koncepciu hodnosti matice a redukujú riešenie akéhokoľvek kĺbového systému na riešenie systému, na ktorý sa vzťahuje Cramerovo pravidlo.

Príklad 1 Nájsť spoločné rozhodnutie ďalší systém lineárne rovnice využívajúce základný systém riešení reduk homogénny systém a konkrétne riešenie nehomogénneho systému.

1. Vyrobíme maticu A a rozšírená matica systému (1)

2. Preskúmajte systém (1) kvôli kompatibilite. Aby sme to urobili, nájdeme hodnosti matríc A a https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). Ak sa ukáže, že , potom systém (1) nezlučiteľné. Ak to dostaneme , potom je tento systém konzistentný a budeme ho riešiť. (Štúdia konzistencie je založená na Kronecker-Capelliho vete).

a. nachádzame rA.

Nájsť rA, budeme postupne uvažovať o nenulových maloletých prvého, druhého atď. rádu matice A a maloletí okolo nich.

M1=1≠0 (1 je prevzaté z ľavého horného rohu matice ALE).

Hraničný M1 druhý riadok a druhý stĺpec tejto matice. . Pokračujeme k hraniciam M1 druhý riadok a tretí stĺpec..gif" width="37" height="20 src=">. Teraz ohraničíme nenulovú vedľajšiu М2′ druhá objednávka.

Máme: (pretože prvé dva stĺpce sú rovnaké)

(pretože druhý a tretí riadok sú proporcionálne).

To vidíme rA=2 a je základom minor matice A.

b. nachádzame .

Dostatočne základné drobné М2′ matice A hranica so stĺpcom voľných členov a všetkými riadkami (máme len posledný riadok).

. Z toho vyplýva, že М3′′ zostáva základom minor matice https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)

Pretože М2′- menší základ matice A systémov (2) , potom je tento systém ekvivalentný systému (3) , pozostávajúce z prvých dvoch rovníc sústavy (2) (pre М2′ je v prvých dvoch riadkoch matice A).

(3)

Keďže základná menšia je https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)

V tomto systéme sú dve voľné neznáme ( x2 a x4 ). Preto FSR systémov (4) pozostáva z dvoch riešení. Aby sme ich našli, priraďujeme k nim voľné neznáme (4) hodnoty ako prvé x2 = 1 , x4 = 0 , a potom - x2 = 0 , x4=1 .

O x2 = 1 , x4 = 0 dostaneme:

Tento systém už má jediná vec riešenie (možno ho nájsť Cramerovým pravidlom alebo akoukoľvek inou metódou). Odčítaním prvej rovnice od druhej rovnice dostaneme:

Jej rozhodnutie bude x1= -1 , x3 = 0 . Vzhľadom na hodnoty x2 a x4 , ktorý sme dali, dostaneme prvý zásadné riešenie systémov (2) : .

Teraz vložíme (4) x2 = 0 , x4=1 . Dostaneme:

Tento systém riešime pomocou Cramerovej vety:

Získame druhé základné riešenie systému (2) : .

Riešenia β1 , β2 a make up FSR systémov (2) . Potom bude jeho všeobecné riešenie

γ= C1 β1+С2β2=С1(-1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(-С1+5С2, С1, 4С2, С2)

Tu C1 , C2 sú ľubovoľné konštanty.

4. Nájdite jednu súkromné Riešenie heterogénny systém(1) . Ako v odseku 3 , namiesto systému (1) zvážiť ekvivalentný systém (5) , pozostávajúce z prvých dvoch rovníc sústavy (1) .

(5)

Voľné neznáme prenášame na pravú stranu x2 a x4.

(6)

Dajme zadarmo neznáme x2 a x4 ľubovoľné hodnoty, napr. x2=2 , x4=1 a zapojte ich do (6) . Zoberme si systém

Tento systém má jediné rozhodnutie(pretože je to determinant М2′0). Jeho vyriešením (pomocou Cramerovej vety alebo Gaussovej metódy) dostaneme x1=3 , x3=3 . Vzhľadom na hodnoty voľných neznámych x2 a x4 , dostaneme konkrétne riešenie nehomogénneho systému(1)a1=(3,2,3,1).

5. Teraz zostáva písať všeobecné riešenie α nehomogénnej sústavy(1) : rovná sa súčtu súkromné rozhodnutie tento systém a všeobecné riešenie jeho redukovaného homogénneho systému (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).

To znamená: (7)

6. Vyšetrenie. Ak chcete skontrolovať, či ste systém vyriešili správne (1) , potrebujeme všeobecné riešenie (7) nahradiť v (1) . Ak sa každá rovnica stane identitou ( C1 a C2 by mala byť zničená), potom sa riešenie nájde správne.

Nahradíme (7) napríklad len v poslednej rovnici sústavy (1) (X1 + X2 + X3 ‑9 X4 =‑1) .

Získame: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

Kde -1=-1. Máme identitu. Robíme to so všetkými ostatnými rovnicami systému (1) .

Komentujte. Overovanie je zvyčajne dosť ťažkopádne. Môžeme odporučiť nasledovné „čiastočné overenie“: v celkovom riešení systému (1) priradiť nejaké hodnoty ľubovoľným konštantám a výsledné konkrétne riešenie dosadiť len do vyradených rovníc (t.j. do tých rovníc z (1) ktoré nie sú zahrnuté (5) ). Ak získate identity, potom pravdepodobne, riešenie systému (1) nájdené správne (ale takáto kontrola nedáva úplnú záruku správnosti!). Napríklad, ak v (7) dať C2=- 1 , C1=1, potom dostaneme: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Dosadením do poslednej rovnice systému (1) máme: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , t.j. –1=–1. Máme identitu.

Príklad 2 Nájdite všeobecné riešenie sústavy lineárnych rovníc (1) , vyjadrujúce hlavné neznáme z hľadiska voľných.

Riešenie. Ako v príklad 1, skladať matice A a https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> týchto matíc. Teraz ponecháme len tie rovnice systému (1) , ktorých koeficienty sú zahrnuté v tejto základnej moll (t. j. máme prvé dve rovnice) a uvažujeme systém z nich pozostávajúci, ktorý je ekvivalentný systému (1).

Prenesme voľné neznáme na pravú stranu týchto rovníc.

systému (9) riešime Gaussovou metódou, pričom správne časti považujeme za voľné členy.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">

Možnosť 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">

Možnosť 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">

Možnosť 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">

Možnosť 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">

§jedna. Sústavy lineárnych rovníc.

systém zobrazenia

nazývaný systém m lineárne rovnice s n neznámy.

Tu
- neznámy, - koeficienty pre neznáme,
- voľné členy rovníc.

Ak sú všetky voľné členy rovníc rovné nule, systém sa nazýva homogénne.rozhodnutie systém sa nazýva množina čísel
, pri ich dosadení do systému namiesto neznámych sa všetky rovnice zmenia na identity. Systém je tzv kĺb ak má aspoň jedno riešenie. Kĺbový systém s unikátnym riešením je tzv istý. Tieto dva systémy sa nazývajú ekvivalent ak sú množiny ich riešení rovnaké.

Systém (1) môže byť reprezentovaný v maticovej forme pomocou rovnice

(2)

§2. Kompatibilita sústav lineárnych rovníc.

Rozšírenú maticu systému (1) nazývame maticou

Kroneckerova - Capelliho veta. Systém (1) je konzistentný vtedy a len vtedy, ak sa poradie matice systému rovná hodnote rozšírenej matice:

§3. Systémové riešenien lineárne rovnice sn neznámy.

Uvažujme o nehomogénnom systéme n lineárne rovnice s n neznámy:

(3)

Cramerova veta.Ak je hlavným determinantom systému (3)
, potom má systém jedinečné riešenie určené vzorcami:

tie.
,

kde - determinant získaný z determinantu výmena stĺpca do stĺpca voľných členov.

Ak
a aspoň jeden z nich ≠0, potom systém nemá žiadne riešenia.

Ak
, potom má systém nekonečne veľa riešení.

Sústavu (3) je možné riešiť pomocou jej maticového zápisu (2). Ak hodnosť matice ALE rovná sa n, t.j.
, potom matica ALE má inverznú
. Násobenie maticovej rovnice
do matrice
vľavo dostaneme:

Posledná rovnosť vyjadruje spôsob riešenia sústav lineárnych rovníc pomocou inverzná matica.

Príklad. Riešte sústavu rovníc pomocou inverznej matice.

Riešenie. Matrix
nedegenerované, pretože
, takže existuje inverzná matica. Vypočítajme inverznú maticu:
.

Cvičenie. Vyriešte systém Cramerovou metódou.

§štyri. Riešenie ľubovoľných sústav lineárnych rovníc.

Nech je daný nehomogénny systém lineárnych rovníc tvaru (1).

Predpokladajme, že systém je konzistentný, t.j. podmienka Kronecker-Capelliho vety je splnená:
. Ak hodnosť matice
(do počtu neznámych), potom má systém unikátne riešenie. Ak
, potom má systém nekonečne veľa riešení. Poďme si to vysvetliť.

Nech hodnosť matice r(A)= r< n. Pretože
, potom existuje nejaký nenulový menší poriadok r. Nazvime to základný moll. Neznáme, ktorých koeficienty tvoria základnú minor, sa nazývajú základné premenné. Zvyšné neznáme sa nazývajú voľné premenné. Preusporiadame rovnice a prečíslujeme premenné tak, aby sa táto vedľajšia nachádzala v ľavom hornom rohu matice systému:

najprv r riadky sú lineárne nezávislé, ostatné sú vyjadrené cez ne. Preto môžu byť tieto čiary (rovnice) vyradené. Dostaneme:

Dajme voľným premenným ľubovoľné číselné hodnoty: . Na ľavej strane necháme len základné premenné a voľné premenné presunieme na pravú stranu.

Mám systém r lineárne rovnice s r neznámy, ktorého determinant je odlišný od 0. Má jedinečné riešenie.

Táto sústava sa nazýva všeobecné riešenie sústavy lineárnych rovníc (1). Inak: vyjadrenie základných premenných z hľadiska voľných sa nazýva spoločné riešenie systémov. Z toho môžete získať nekonečné číslo súkromné rozhodnutia, pričom voľným premenným dáva ľubovoľné hodnoty. Zavolá sa konkrétne riešenie získané zo všeobecného pri nulových hodnotách voľných premenných základné riešenie. Počet rôznych základných riešení nepresahuje
. Základné riešenie s nezápornými zložkami je tzv kľúčový systémové riešenie.

Príklad.

,r=2.

Premenné
- základný,
- zadarmo.

Pridajme rovnice; expresné
cez
:

- spoločné rozhodnutie.

- súkromné riešenie
.

- základné riešenie, základný.

§5. Gaussova metóda.

Gaussova metóda je univerzálna metóda na štúdium a riešenie ľubovoľných systémov lineárnych rovníc. Spočíva v uvedení systému do diagonálnej (alebo trojuholníkovej) formy postupnou elimináciou neznámych pomocou elementárnych transformácií, ktoré neporušujú ekvivalenciu systémov. Premenná sa považuje za vylúčenú, ak je obsiahnutá len v jednej rovnici systému s koeficientom 1.

Elementárne transformácie systémy sú:

Násobenie rovnice nenulovým číslom;

Pridanie rovnice vynásobenej ľubovoľným číslom s inou rovnicou;

Preskupenie rovníc;

Vypustenie rovnice 0 = 0.

Elementárne transformácie možno vykonávať nie na rovniciach, ale na rozšírených maticiach výsledných ekvivalentných systémov.

Príklad.

Riešenie. Napíšeme rozšírenú maticu systému:

Predstavujeme vykonávanie elementárnych transformácií ľavá strana matice do jednotkového tvaru: jednotky vytvoríme na hlavnej uhlopriečke a nuly mimo nej.

Komentujte. Ak je pri vykonávaní elementárnych transformácií rovnica v tvare 0 = do(kde do0), potom je systém nekonzistentný.

Riešenie sústav lineárnych rovníc metódou postupného odstraňovania neznámych možno formalizovať vo forme tabuľky.

Ľavý stĺpec tabuľky obsahuje informácie o vylúčených (základných) premenných. Zvyšné stĺpce obsahujú koeficienty neznámych a voľné členy rovníc.

Rozšírená matica systému sa zapíše do zdrojovej tabuľky. Ďalej pokračujte v implementácii Jordanových transformácií:

1. Vyberte premennú , ktorý sa stane základom. Príslušný stĺpec sa nazýva kľúčový stĺpec. Vyberte rovnicu, v ktorej táto premenná zostane a bude vylúčená z iných rovníc. Príslušný riadok tabuľky sa nazýva kľúčový riadok. Koeficient Znak , ktorý sa nachádza na priesečníku radu kľúčov a stĺpca kľúčov, sa nazýva kľúč.

2. Prvky kľúčového reťazca sú rozdelené podľa kľúčového prvku.

3. Kľúčový stĺpec je vyplnený nulami.

4. Zvyšné prvky sa vypočítajú podľa pravidla obdĺžnika. Tvoria obdĺžnik, na ktorého protiľahlých vrcholoch je kľúčový prvok a prepočítaný prvok; od súčinu prvkov na uhlopriečke obdĺžnika s kľúčovým prvkom sa odpočíta súčin prvkov inej uhlopriečky, výsledný rozdiel sa vydelí kľúčovým prvkom.

Príklad. Nájdite všeobecné riešenie a základné riešenie sústavy rovníc:

Riešenie.

Všeobecné riešenie systému:

Základné riešenie:
.

Jednorazová substitučná transformácia umožňuje prejsť z jednej bázy systému na druhú: namiesto jednej z hlavných premenných sa do bázy zavedie jedna z voľných premenných. Na tento účel sa v stĺpci voľnej premennej vyberie kľúčový prvok a vykonajú sa transformácie podľa vyššie uvedeného algoritmu.

§6. Hľadanie riešení podpory

Referenčné riešenie sústavy lineárnych rovníc je základné riešenie, ktoré neobsahuje záporné zložky.

Podporné riešenia systému sa nachádzajú Gaussovou metódou za nasledujúcich podmienok.

1. V pôvodnom systéme musia byť všetky voľné výrazy nezáporné:
.

2. Kľúčový prvok je vybraný spomedzi kladných koeficientov.

3. Ak má premenná zavedená do bázy niekoľko kladných koeficientov, potom kľúčovým reťazcom je ten, v ktorom je pomer voľného člena ku kladnému koeficientu najmenší.

Poznámka 1. Ak sa v procese odstraňovania neznámych objaví rovnica, v ktorej sú všetky koeficienty kladné, a voľný člen
, potom systém nemá žiadne nezáporné riešenia.

Poznámka 2. Ak sa v stĺpcoch koeficientov pre voľné premenné nenachádza ani jeden kladný prvok, potom je prechod na iné referenčné riešenie nemožný.

Príklad.

Na túto lekciu budeme uvažovať o metódach riešenia sústavy lineárnych rovníc. V kurze vyššej matematiky je potrebné riešiť sústavy lineárnych rovníc ako vo forme samostatných úloh, napr. „Vyriešte sústavu pomocou Cramerových vzorcov“, tak aj v rámci riešenia iných úloh. So sústavami lineárnych rovníc sa treba zaoberať takmer vo všetkých odvetviach vyššej matematiky.

Najprv trocha teórie. Čo v tomto prípade znamená matematické slovo „lineárny“? To znamená, že v rovniciach sústavy všetky premenné sú zahrnuté v prvom stupni: žiadne vymyslené veci ako atď., z ktorých sa tešia len účastníci matematických olympiád.

Vo vyššej matematike sa na označenie premenných nepoužívajú len písmená známe z detstva.
Pomerne populárnou možnosťou sú premenné s indexmi: .
Alebo začiatočné písmená latinskej abecedy, malé a veľké:
Nie je tak zriedkavé nájsť grécke písmená: - mnohým dobre známe "alfa, beta, gama". A tiež súbor s indexmi, povedzme, s písmenom „mu“:

Použitie jedného alebo druhého súboru písmen závisí od odvetvia vyššej matematiky, v ktorom sa stretávame so systémom lineárnych rovníc. Takže napríklad v systémoch lineárnych rovníc, ktoré sa vyskytujú pri riešení integrálov, diferenciálne rovnice tradične používaná notácia

Ale bez ohľadu na to, ako sú premenné označené, princípy, metódy a metódy riešenia systému lineárnych rovníc sa od toho nemenia. Preto, ak narazíte na niečo hrozné, ako je, neponáhľajte sa zavrieť knihu problémov v strachu, koniec koncov, namiesto toho môžete nakresliť slnko, namiesto toho - vtáka a namiesto toho - tvár (učiteľa). A napodiv je možné vyriešiť aj systém lineárnych rovníc s týmito zápismi.

Niečo, čo mám takú predtuchu, že článok bude dosť dlhý, takže malý obsah. Takže sekvenčné „zhrnutie“ bude nasledovné:

– Riešenie sústavy lineárnych rovníc substitučnou metódou („školská metóda“);
– Riešenie sústavy metódou sčítania (odčítania) rovníc sústavy po členoch;
– Riešenie sústavy podľa Cramerových vzorcov;
– Riešenie sústavy pomocou inverznej matice;
– Riešenie sústavy Gaussovou metódou.

Systémy lineárnych rovníc pozná každý zo školského kurzu matematiky. V skutočnosti začíname opakovaním.

Riešenie sústavy lineárnych rovníc substitučnou metódou

Táto metóda možno nazvať aj „školská metóda“ alebo metóda odstraňovania neznámych. Obrazne povedané, možno ju nazvať aj „polodokončenou Gaussovou metódou“.

Príklad 1

Tu máme systém dvoch rovníc s dvoma neznámymi. Všimnite si, že voľné členy (čísla 5 a 7) sa nachádzajú na ľavej strane rovnice. Vo všeobecnosti je jedno, kde sú, vľavo alebo vpravo, len sa tak často nachádzajú v úlohách z vyššej matematiky. A takýto záznam by nemal byť mätúci, v prípade potreby môže byť systém vždy napísaný "ako obvykle":. Nezabudnite, že pri prenose termínu z časti do časti musíte zmeniť jej znamienko.

Čo znamená riešiť sústavu lineárnych rovníc? Riešiť sústavu rovníc znamená nájsť množinu jej riešení. Riešením systému je množina hodnôt všetkých premenných v ňom zahrnutých, ktorý mení KAŽDÚ rovnicu systému na skutočnú rovnosť. Okrem toho môže byť systém nezlučiteľné (nemám riešenia).Nehanbi sa, je to tak všeobecná definícia=) Budeme mať iba jednu hodnotu "x" a jednu hodnotu "y", ktoré spĺňajú každú rovnicu s-my.

Na riešenie systému existuje grafická metóda, ktorú nájdete v lekcii. Najjednoduchšie problémy s priamkou. Tam som hovoril o geometrický zmysel sústavy dvoch lineárnych rovníc s dvoma neznámymi. Ale teraz na dvore je éra algebry a čísel - čísel, akcií - akcií.

My rozhodujeme: z prvej rovnice vyjadríme:
Výsledný výraz dosadíme do druhej rovnice:

Otvoríme zátvorky, zadáme podobné výrazy a nájdeme hodnotu:

Ďalej si pripomíname, z čoho tancovali:
Už poznáme hodnotu, zostáva nájsť:

Odpoveď:

Potom, čo bol AKÝKOĽVEK systém rovníc vyriešený AKÝMKOĽVEK spôsobom, dôrazne odporúčam skontrolovať (ústne, na koncepte alebo na kalkulačke). Našťastie sa to robí rýchlo a jednoducho.

1) Dosaďte nájdenú odpoveď do prvej rovnice:

- získa sa správna rovnosť.

2) Nájdenú odpoveď dosadíme do druhej rovnice:

- získa sa správna rovnosť.

Alebo, jednoduchšie povedané, „všetko sa spojilo“

Uvažovaný spôsob riešenia nie je jediný, z prvej rovnice bolo možné vyjadriť , ale nie .
Môžete to aj naopak - vyjadriť niečo z druhej rovnice a dosadiť to do prvej rovnice. Mimochodom, všimnite si, že najnevýhodnejším zo štyroch spôsobov je vyjadrenie z druhej rovnice:

Získajú sa zlomky, ale prečo? Existuje racionálnejšie riešenie.

V niektorých prípadoch sú však zlomky stále nevyhnutné. V tejto súvislosti dávam do pozornosti AKO som ten výraz napísal. Nie takto: a v žiadnom prípade nie takto: .

Ak sa vo vyššej matematike zaoberáte zlomkovými číslami, skúste všetky výpočty vykonať v bežných nesprávnych zlomkoch.

Presne tak, nie alebo!

Čiarka sa môže použiť len príležitostne, najmä ak - toto je konečná odpoveď na nejaký problém a s týmto číslom nie je potrebné vykonávať žiadne ďalšie akcie.

Mnohí čitatelia si pravdepodobne pomysleli „prečo také podrobné vysvetlenie, ako pri opravnej triede, a všetko je jasné“. Nič také, zdá sa, že je to taký jednoduchý školský príklad, ale koľko VEĽMI dôležitých záverov! Tu je ďalší:

Každá úloha by sa mala snažiť dokončiť čo najracionálnejším spôsobom.. Už len preto, že šetrí čas a nervy a tiež znižuje pravdepodobnosť, že urobíte chybu.

Ak v úlohe z vyššej matematiky narazíte na systém dvoch lineárnych rovníc s dvoma neznámymi, potom môžete vždy použiť substitučnú metódu (pokiaľ nie je uvedené, že systém je potrebné vyriešiť inou metódou) “.
Navyše, v niektorých prípadoch je vhodné použiť substitučnú metódu s väčším počtom premenných.

Príklad 2

Riešte sústavu lineárnych rovníc s tromi neznámymi

Podobný systém rovníc často vzniká pri použití takzvanej metódy neurčitých koeficientov, keď nájdeme integrál racionálnej zlomkovej funkcie. Odtiaľ som daný systém prevzal ja.

Pri hľadaní integrálu – cieľa rýchlo nájdite hodnoty koeficientov a nebuďte sofistikovaní pomocou Cramerových vzorcov, metódy inverznej matice atď. Preto je v tomto prípade vhodná substitučná metóda.

Keď je daný akýkoľvek systém rovníc, v prvom rade je žiaduce to zistiť, ale dá sa to OKAMŽITE nejako zjednodušiť? Pri analýze rovníc systému si všimneme, že druhú rovnicu systému možno deliť 2, čo robíme:

Referencia: matematický symbol znamená „z toho vyplýva toto“, často sa používa pri riešení problémov.

Teraz analyzujeme rovnice, musíme vyjadriť nejakú premennú cez zvyšok. Akú rovnicu zvoliť? Pravdepodobne ste už uhádli, že najjednoduchším spôsobom na tento účel je vziať prvú rovnicu systému:

Tu nezáleží na tom, ktorú premennú vyjadriť, rovnako dobre by sa dalo vyjadriť alebo .

Ďalej dosadíme výraz pre do druhej a tretej rovnice systému:

Otvorte zátvorky a pridajte podobné výrazy:

Tretiu rovnicu vydelíme 2:

Z druhej rovnice vyjadríme a dosadíme do tretej rovnice:

Takmer všetko je pripravené, z tretej rovnice nájdeme:
Z druhej rovnice:
Z prvej rovnice:

Kontrola: Nahraďte nájdené hodnoty premenných na ľavej strane každej rovnice systému:

1)
2)
3)

Získajú sa zodpovedajúce pravé strany rovníc, takže riešenie je nájdené správne.

Príklad 3

Vyriešte sústavu lineárnych rovníc so 4 neznámymi

Toto je príklad na samoriešenie (odpoveď na konci hodiny).

Riešenie sústavy sčítaním (odčítaním) rovníc sústavy po členoch

Pri riešení sústav lineárnych rovníc by sme sa mali snažiť použiť nie „školskú metódu“, ale metódu sčítania (odčítania) rovníc systému po členoch. prečo? To šetrí čas a zjednodušuje výpočty, ale teraz to bude jasnejšie.

Príklad 4

Vyriešte sústavu lineárnych rovníc:

Vzal som rovnaký systém ako v prvom príklade.
Pri analýze systému rovníc si všimneme, že koeficienty premennej sú identické v absolútnej hodnote a opačné v znamienku (–1 a 1). V tejto situácii môžu byť rovnice pridané po členoch:

Činnosti zakrúžkované červenou farbou sa vykonávajú MENTÁLNE.
Ako vidíte, v dôsledku termwise sčítania sme stratili premennú . Toto v skutočnosti je podstatou metódy je zbaviť sa jednej z premenných.

kde X* - jedno z riešení nehomogénneho systému (2) (napríklad (4)), (E-A + A) tvorí jadro (nulový priestor) matice A.

Urobme skeletový rozklad matrice (E-A + A):

E−A + A=Q S

kde Q n×n−r- hodnostná matica (Q) = n-r, S n-r×n- matica poradia (S) = n-r.

Potom (13) môže byť napísané v nasledujúcom tvare:

x=x*+Qk, ∀ k ∈ R n-r.

kde k=Sz.

takže, všeobecný postup riešenia sústavy lineárnych rovníc využívajúce pseudoinverznú maticu možno znázorniť v tejto forme:

Vypočítajte pseudoinverznú maticu A + .
Vypočítame konkrétne riešenie nehomogénnej sústavy lineárnych rovníc (2): X*=A + b.
Kontrolujeme kompatibilitu systému. Na to počítame AA + b. Ak AA + b≠b, potom je systém nekonzistentný. V opačnom prípade pokračujeme v postupe.
vyssylyaem E-A+A.
Robiť rozklad kostry E-A + A=Q·S.
Budovanie riešenia

x=x*+Qk, ∀ k ∈ R n-r.

Riešenie systému lineárnych rovníc online

Online kalkulačka vám umožňuje nájsť všeobecné riešenie systému lineárnych rovníc s podrobným vysvetlením.

Riešenie lineárnych systémov algebraické rovnice(SLAE) je nepochybne najdôležitejšou témou kurzu lineárnej algebry. Obrovské množstvo problémov zo všetkých odvetví matematiky sa redukuje na riešenie sústav lineárnych rovníc. Tieto faktory vysvetľujú dôvod vytvorenia tohto článku. Materiál článku je vybraný a štruktúrovaný tak, aby ste s jeho pomocou mohli

zvoliť optimálnu metódu riešenia vášho systému lineárnych algebraických rovníc,
študovať teóriu zvolenej metódy,
vyriešte svoj systém lineárnych rovníc po podrobnom zvážení riešení typických príkladov a problémov.

Stručný popis materiálu článku.

Najprv uvedieme všetky potrebné definície, pojmy a zavedieme nejaký zápis.

Ďalej uvažujeme o metódach riešenia systémov lineárnych algebraických rovníc, v ktorých sa počet rovníc rovná počtu neznámych premenných a ktoré majú jedinečné riešenie. Najprv sa zameriame na Cramerovu metódu, po druhé si ukážeme maticovú metódu riešenia takýchto sústav rovníc a po tretie rozoberieme Gaussovu metódu (metóda postupnej eliminácie neznámych premenných). Pre upevnenie teórie určite vyriešime niekoľko SLAE rôznymi spôsobmi.

Potom sa obraciame na riešenie systémov lineárnych algebraických rovníc všeobecný pohľad, v ktorom sa počet rovníc nezhoduje s počtom neznámych premenných alebo je hlavná matica systému degenerovaná. Formulujeme Kroneckerovu-Capelliho vetu, ktorá nám umožňuje stanoviť kompatibilitu SLAE. Analyzujme riešenie systémov (v prípade ich kompatibility) pomocou konceptu minoritnej bázy matice. Zvážime aj Gaussovu metódu a podrobne popíšeme riešenia príkladov.

Nezabudnite sa pozastaviť nad štruktúrou všeobecného riešenia homogénnych a nehomogénnych systémov lineárnych algebraických rovníc. Uveďme koncept základného systému riešení a ukážme, ako sa všeobecné riešenie SLAE zapisuje pomocou vektorov základného systému riešení. Pre lepšie pochopenie sa pozrime na niekoľko príkladov.

Na záver uvažujeme o sústavách rovníc, ktoré sú redukované na lineárne, ako aj o rôznych problémoch, pri riešení ktorých vznikajú SLAE.

Navigácia na stránke.

Definície, pojmy, označenia.

Budeme uvažovať sústavy p lineárnych algebraických rovníc s n neznámymi premennými (p sa môže rovnať n ) tvaru

Neznáme premenné, - koeficienty (niektoré reálne alebo komplexné čísla), - voľné členy (aj reálne alebo komplexné čísla).

Táto forma SLAE sa nazýva koordinovať.

AT matricový formulár tento systém rovníc má tvar,
kde - hlavná matica systému, - matica-stĺpec neznámych premenných, - matica-stĺpec voľných členov.

Ak do matice A pridáme ako (n + 1)-tý stĺpec maticu-stĺpec voľných členov, tak dostaneme tzv. rozšírená matrica sústavy lineárnych rovníc. Rozšírená matica je zvyčajne označená písmenom T a stĺpec voľných členov je oddelený zvislou čiarou od ostatných stĺpcov, tj.

Riešením sústavy lineárnych algebraických rovníc nazývaný súbor hodnôt neznámych premenných, ktorý mení všetky rovnice systému na identity. Maticová rovnica pre dané hodnoty neznámych premenných sa tiež zmení na identitu.

Ak má sústava rovníc aspoň jedno riešenie, potom sa nazýva kĺb.

Ak systém rovníc nemá riešenia, potom sa nazýva nezlučiteľné.

Ak má SLAE jedinečné riešenie, potom sa nazýva istý; ak existuje viac ako jedno riešenie, potom - neistý.

Ak sa voľné členy všetkých rovníc sústavy rovnajú nule , potom sa systém zavolá homogénne, inak - heterogénne.

Riešenie elementárnych sústav lineárnych algebraických rovníc.

Ak sa počet rovníc systému rovná počtu neznámych premenných a determinant jeho hlavnej matice nie je nula, potom budeme takéto SLAE nazývať elementárne. Takéto sústavy rovníc majú jedinečné riešenie a v prípade homogénneho systému sú všetky neznáme premenné rovné nule.

Takéto SLAE sme začali študovať v r stredná škola. Pri ich riešení sme zobrali jednu rovnicu, jednu neznámu premennú sme vyjadrili inými a dosadili ju do zvyšných rovníc, potom sme zobrali ďalšiu rovnicu, vyjadrili ďalšiu neznámu premennú a dosadili ju do iných rovníc atď. Alebo použili metódu sčítania, to znamená, že pridali dve alebo viac rovníc na odstránenie niektorých neznámych premenných. Nebudeme sa týmito metódami podrobne zaoberať, keďže ide v podstate o modifikácie Gaussovej metódy.

Hlavnými metódami riešenia elementárnych sústav lineárnych rovníc sú Cramerova metóda, maticová metóda a Gaussova metóda. Poďme si ich roztriediť.

Riešenie sústav lineárnych rovníc Cramerovou metódou.

Potrebujeme vyriešiť systém lineárnych algebraických rovníc

v ktorej sa počet rovníc rovná počtu neznámych premenných a determinant hlavnej matice systému je odlišný od nuly, teda .

Nech je determinant hlavnej matice systému a sú determinanty matíc, ktoré sa získajú z A nahradením 1., 2., …, n-tý stĺpec respektíve stĺpec voľných členov:

Pri takomto zápise sa neznáme premenné vypočítajú pomocou vzorcov Cramerovej metódy as . Takto sa nájde riešenie sústavy lineárnych algebraických rovníc Cramerovou metódou.

Príklad.

Cramerova metóda .

Riešenie.

Hlavná matica systému má tvar . Vypočítajte jej determinant (ak je to potrebné, pozrite si článok):

Keďže determinant hlavnej matice systému je nenulový, systém má jedinečné riešenie, ktoré možno nájsť Cramerovou metódou.

Zostavte a vypočítajte potrebné determinanty (determinant sa získa nahradením prvého stĺpca v matici A stĺpcom voľných členov, determinant - nahradením druhého stĺpca stĺpcom voľných členov, - nahradením tretieho stĺpca matice A stĺpcom voľných členov ):

Hľadanie neznámych premenných pomocou vzorcov :

odpoveď:

Hlavnou nevýhodou Cramerovej metódy (ak ju možno nazvať nevýhodou) je zložitosť výpočtu determinantov pri počte rovníc systému viac ako tri.

Riešenie sústav lineárnych algebraických rovníc maticovou metódou (pomocou inverznej matice).

Nech je sústava lineárnych algebraických rovníc uvedená v maticovom tvare , kde matica A má rozmer n x n a jej determinant je nenulový.

Keďže , potom je matica A invertibilná, to znamená, že existuje inverzná matica . Ak obe časti rovnosti vynásobíme vľavo, dostaneme vzorec na nájdenie stĺpcovej matice neznámych premenných. Tak sme dostali riešenie systému lineárnych algebraických rovníc maticová metóda.

Príklad.

Vyriešte sústavu lineárnych rovníc maticová metóda.

Riešenie.

Prepíšme sústavu rovníc do maticového tvaru:

Pretože

potom možno SLAE vyriešiť maticovou metódou. Pomocou inverznej matice možno nájsť riešenie tohto systému ako .

Zostavme inverznú maticu pomocou matice algebraických doplnkov prvkov matice A (ak je to potrebné, pozri článok):

Zostáva vypočítať - maticu neznámych premenných vynásobením inverznej matice na maticovom stĺpci voľných členov (v prípade potreby pozri článok):

odpoveď:

alebo v inom zápise x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Hlavným problémom pri hľadaní riešení sústav lineárnych algebraických rovníc maticovou metódou je zložitosť nájdenia inverznej matice, najmä pre štvorcové matice vyššieho ako tretieho rádu.

Riešenie sústav lineárnych rovníc Gaussovou metódou.

Predpokladajme, že potrebujeme nájsť riešenie systému n lineárnych rovníc s n neznámymi premennými
ktorého determinant hlavnej matice je odlišný od nuly.

Podstata Gaussovej metódy spočíva v postupnom vylúčení neznámych premenných: najprv sa x 1 vylúči zo všetkých rovníc systému počnúc druhou, potom sa x 2 vylúči zo všetkých rovníc počnúc treťou atď., až kým nebude známa iba neznáma premenná x n zostáva v poslednej rovnici. Takýto proces transformácie rovníc systému na postupnú elimináciu neznámych premenných sa nazýva priama Gaussova metóda. Po dokončení dopredného chodu Gaussovej metódy sa z poslednej rovnice zistí x n, pomocou tejto hodnoty sa z predposlednej rovnice vypočíta x n-1 atď., Z prvej rovnice sa zistí x 1. Proces výpočtu neznámych premenných pri prechode od poslednej rovnice systému k prvej sa nazýva reverzná Gaussova metóda.

Stručne popíšme algoritmus na elimináciu neznámych premenných.

Budeme predpokladať, že , pretože to môžeme vždy dosiahnuť preskupením rovníc systému. Neznámu premennú x 1 vylúčime zo všetkých rovníc systému, počnúc druhou. Ak to chcete urobiť, pridajte prvú rovnicu vynásobenú k druhej rovnici systému, pridajte prvú vynásobenú k tretej rovnici a tak ďalej, pridajte prvú vynásobenú k n-tej rovnici. Systém rovníc po takýchto transformáciách nadobudne tvar

kde .

K rovnakému výsledku by sme dospeli, ak by sme x 1 vyjadrili pomocou iných neznámych premenných v prvej rovnici systému a výsledný výraz dosadili do všetkých ostatných rovníc. Premenná x 1 je teda vylúčená zo všetkých rovníc, počnúc druhou.

Ďalej postupujeme podobne, ale len s časťou výsledného systému, ktorý je vyznačený na obrázku

Ak to chcete urobiť, pridajte druhý vynásobený k tretej rovnici systému, pridajte druhý vynásobený k štvrtej rovnici a tak ďalej, pridajte druhý vynásobený k n-tej rovnici. Systém rovníc po takýchto transformáciách nadobudne tvar

kde . Premenná x 2 je teda vylúčená zo všetkých rovníc, počnúc treťou.

Ďalej pristúpime k eliminácii neznámeho x 3, pričom postupujeme podobne ako časť systému označená na obr.

Pokračujeme teda v priamom kurze Gaussovej metódy, kým systém nezíska formu

Odteraz začíname spätný zdvih Gaussova metóda: z poslednej rovnice vypočítame x n ako , pomocou získanej hodnoty x n nájdeme x n-1 z predposlednej rovnice atď., z prvej rovnice nájdeme x 1.

Príklad.

Vyriešte sústavu lineárnych rovníc Gaussova metóda.

Riešenie.

Vylúčme neznámu premennú x 1 z druhej a tretej rovnice sústavy. Aby sme to dosiahli, k obom častiam druhej a tretej rovnice pridáme zodpovedajúce časti prvej rovnice, vynásobené a takto:

Teraz vylúčime x 2 z tretej rovnice tak, že k jej ľavej a pravej časti pridáme ľavú a pravú časť druhej rovnice, vynásobené:

Týmto je dopredný kurz Gaussovej metódy dokončený, začíname opačný kurz.

Z poslednej rovnice výslednej sústavy rovníc zistíme x 3:

Z druhej rovnice dostaneme .

Z prvej rovnice nájdeme zostávajúcu neznámu premennú a tým sa dokončí opačný priebeh Gaussovej metódy.

odpoveď:

X 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1.

Riešenie sústav lineárnych algebraických rovníc všeobecného tvaru.

Vo všeobecnom prípade sa počet rovníc systému p nezhoduje s počtom neznámych premenných n:

Takéto SLAE nemusia mať žiadne riešenia, môžu mať jediné riešenie alebo mať nekonečne veľa riešení. Toto tvrdenie platí aj pre sústavy rovníc, ktorých hlavná matica je štvorcová a degenerovaná.

Kronecker-Capelliho veta.

Pred nájdením riešenia systému lineárnych rovníc je potrebné zistiť jeho kompatibilitu. Odpoveď na otázku, kedy je SLAE kompatibilný a kedy nekompatibilný, dáva Kroneckerova-Capelliho veta:
na konzistentnosť sústavy p rovníc s n neznámymi (p sa môže rovnať n ) je potrebné a postačujúce, aby sa hodnosť hlavnej matice systému rovnala hodnosti rozšírenej matice, teda Rank( A) = Poradie (T) .

Uvažujme ako príklad aplikáciu Kronecker-Cappelliho vety na určenie kompatibility sústavy lineárnych rovníc.

Príklad.

Zistite, či má sústava lineárnych rovníc riešenia.

Riešenie.

. Využime metódu ohraničenia maloletých. Minor druhého rádu odlišný od nuly. Poďme na neplnoletých tretieho rádu, ktorí to obklopujú:

Keďže všetky hraničiace maloleté osoby tretieho rádu sa rovnajú nule, poradie hlavnej matice je dve.

Na druhej strane, hodnosť rozšírenej matice sa rovná trom, keďže moll tretieho rádu

odlišný od nuly.

Touto cestou, Rang(A) , teda podľa Kronecker-Capelliho vety môžeme konštatovať, že pôvodný systém lineárnych rovníc je nekonzistentný.

odpoveď:

Neexistuje systém riešenia.

Takže sme sa naučili určiť nekonzistentnosť systému pomocou Kronecker-Capelliho vety.

Ako však nájsť riešenie SLAE, ak je preukázaná jeho kompatibilita?

Na to potrebujeme koncept minoritnej bázy matice a vetu o hodnosti matice.

Volá sa vedľajší najvyšší rád matice A okrem nuly základné.

Z definície základu minor vyplýva, že jeho poradie sa rovná hodnosti matice. Pre nenulovú maticu A môže byť niekoľko základných minorov, vždy je jeden základný minor.

Zoberme si napríklad maticu .

Všetky minority tretieho rádu tejto matice sú rovné nule, pretože prvky tretieho riadku tejto matice sú súčtom zodpovedajúcich prvkov prvého a druhého riadku.

Nasledujúce neplnoleté osoby druhého rádu sú základné, pretože sú nenulové

maloletí nie sú základné, pretože sa rovnajú nule.

Veta o poradí matice.

Ak je poradie matice rádu p x n r, potom všetky prvky riadkov (a stĺpcov) matice, ktoré netvoria zvolenú základňu minor, sú lineárne vyjadrené pomocou zodpovedajúcich prvkov riadkov (a stĺpcov). ), ktoré tvoria základ minor.

Čo nám dáva veta o poradí matice?

Ak sme Kroneckerovou-Capelliho vetou stanovili kompatibilitu systému, potom zvolíme ľubovoľnú základnú vedľajšiu hlavnú maticu systému (jej poradie sa rovná r) a vylúčime zo systému všetky rovnice, ktoré tvoria zvolenú základnú moll. Takto získaný SLAE bude ekvivalentný pôvodnému, keďže vyradené rovnice sú stále nadbytočné (podľa vety o poradí matice sú lineárnou kombináciou zostávajúcich rovníc).

Výsledkom je, že po vyradení nadmerných rovníc systému sú možné dva prípady.

Ak sa počet rovníc r vo výslednej sústave rovná počtu neznámych premenných, potom bude určitý a jediné riešenie možno nájsť Cramerovou metódou, maticovou metódou alebo Gaussovou metódou.

Príklad.

Riešenie.

Hodnosť hlavnej matice systému sa rovná dvom, keďže moll druhého rádu odlišný od nuly. Rozšírená matica hodnosť sa tiež rovná dvom, pretože jediná vedľajšia skupina tretieho rádu sa rovná nule

a minor druhého rádu uvažovaného vyššie je iný ako nula. Na základe Kronecker-Capelliho vety je možné tvrdiť kompatibilitu pôvodného systému lineárnych rovníc, keďže Rank(A)=Rank(T)=2 .

Ako základ minor berieme . Tvoria ju koeficienty prvej a druhej rovnice:

Tretia rovnica systému sa nezúčastňuje na tvorbe základnej moll, preto ju vylúčime zo systému na základe vety o poradí matice:

Takto sme získali elementárny systém lineárnych algebraických rovníc. Vyriešime to Cramerovou metódou:

odpoveď:

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2.

Ak je počet rovníc r vo výslednom SLAE menší ako počet neznámych premenných n , potom v ľavých častiach rovníc ponecháme členy, ktoré tvoria základnú moll, a zvyšné členy prenesieme do pravých častí rovníc. systému s opačným znamienkom.

Neznáme premenné (je ich r), ktoré zostávajú na ľavej strane rovníc, sa nazývajú hlavné.

Volajú sa neznáme premenné (je ich n - r), ktoré skončili na pravej strane zadarmo.

Teraz predpokladáme, že voľné neznáme premenné môžu nadobudnúť ľubovoľné hodnoty, zatiaľ čo r hlavných neznámych premenných bude vyjadrené v termínoch voľných neznámych premenných jedinečným spôsobom. Ich vyjadrenie možno nájsť riešením výsledného SLAE Cramerovou metódou, maticovou metódou alebo Gaussovou metódou.

Vezmime si príklad.

Príklad.

Riešenie systému lineárnych algebraických rovníc .

Riešenie.

Nájdite poradie hlavnej matice systému metódou hraničiacich maloletých. Zoberme si a 1 1 = 1 ako nenulovú vedľajšiu hodnotu prvého poriadku. Začnime hľadať nenulového neplnoletého druhoradého okolo tohto maloletého:

Našli sme teda nenulovú moll druhého rádu. Začnime hľadať nenulový hraničný moll tretieho rádu:

Hodnosť hlavnej matice je teda tri. Poradie rozšírenej matice sa tiež rovná trom, to znamená, že systém je konzistentný.

Ako základný sa bude brať nájdený nenulový moll tretieho rádu.

Pre prehľadnosť uvádzame prvky, ktoré tvoria základ moll:

Pojmy, ktoré sa podieľajú na základnej moll, ponecháme na ľavej strane rovníc systému a zvyšok prenesieme s opačnými znamienkami na pravú stranu:

Voľným neznámym premenným x 2 a x 5 dávame ľubovoľné hodnoty, teda berieme , kde sú ľubovoľné čísla. V tomto prípade má SLAE formu

Získanú elementárnu sústavu lineárnych algebraických rovníc riešime Cramerovou metódou:

V dôsledku toho, .

V odpovedi nezabudnite uviesť voľné neznáme premenné.

odpoveď:

Kde sú ľubovoľné čísla.

Zhrnúť.

Na riešenie sústavy lineárnych algebraických rovníc všeobecného tvaru najprv zistíme jej kompatibilitu pomocou Kroneckerovej-Capelliho vety. Ak sa poradie hlavnej matice nerovná hodnote rozšírenej matice, potom dospejeme k záveru, že systém je nekonzistentný.

Ak sa hodnosť hlavnej matice rovná hodnosti rozšírenej matice, vyberieme základnú vedľajšiu a zahodíme rovnice systému, ktoré sa nezúčastňujú na tvorbe vybranej základnej vedľajšej.

Ak sa poradie základnej minor rovná počtu neznámych premenných, potom má SLAE jedinečné riešenie, ktoré možno nájsť akoukoľvek nám známou metódou.

Ak je poradie vedľajšej bázy menšie ako počet neznámych premenných, potom členy s hlavnými neznámymi premennými necháme na ľavej strane rovníc systému, zvyšné členy prenesieme na pravú stranu a priradíme ľubovoľné hodnoty na voľné neznáme premenné. Z výslednej sústavy lineárnych rovníc nájdeme hlavné neznáme premenné Cramerovou metódou, maticovou metódou alebo Gaussovou metódou.

Gaussova metóda na riešenie sústav lineárnych algebraických rovníc všeobecného tvaru.

Pomocou Gaussovej metódy je možné riešiť sústavy lineárnych algebraických rovníc akéhokoľvek druhu bez ich predbežného skúmania kompatibility. Proces postupnej eliminácie neznámych premenných umožňuje vyvodiť záver o kompatibilite aj nekonzistencii SLAE a ak existuje riešenie, umožňuje ho nájsť.

Z hľadiska výpočtovej práce je výhodnejšia Gaussova metóda.

Sledujte to Detailný popis a analyzované príklady v článku Gaussova metóda na riešenie systémov lineárnych algebraických rovníc všeobecného tvaru.

Zaznamenávanie všeobecného riešenia homogénnych a nehomogénnych lineárnych algebraických systémov pomocou vektorov základnej sústavy riešení.

V tejto časti sa zameriame na spojené homogénne a nehomogénne systémy lineárnych algebraických rovníc, ktoré majú nekonečný počet riešení.

Poďme sa najskôr zaoberať homogénnymi systémami.

Základný rozhodovací systém Homogénna sústava p lineárnych algebraických rovníc s n neznámymi premennými je množinou (n – r) lineárne nezávislých riešení tejto sústavy, kde r je rád minoritnej bázy hlavnej matice sústavy.

Ak označíme lineárne nezávislé riešenia homogénneho SLAE ako X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) sú stĺpce matíc rozmeru n o 1 ), potom je všeobecné riešenie tohto homogénneho systému reprezentované ako lineárna kombinácia vektorov základného systému riešení s ľubovoľnými konštantnými koeficientmi С 1 , С 2 , …, С (n-r), teda .

Čo znamená všeobecné riešenie homogénneho systému lineárnych algebraických rovníc (oroslau)?

Význam je jednoduchý: vzorec určuje všetko možné riešenia pôvodný SLAE, inými slovami, ak vezmeme ľubovoľnú množinu hodnôt ľubovoľných konštánt С 1, С 2, …, С (n-r), podľa vzorca dostaneme jedno z riešení pôvodného homogénneho SLAE.

Ak teda nájdeme fundamentálny systém riešení, môžeme všetky riešenia tohto homogénneho SLAE nastaviť ako .

Ukážme si proces konštrukcie základného systému riešení pre homogénny SLAE.

Z pôvodného systému lineárnych rovníc zvolíme základnú moll, vylúčime zo systému všetky ostatné rovnice a na pravú stranu rovníc systému prenesieme s opačnými znamienkami všetky členy obsahujúce voľné neznáme premenné. Dajme voľným neznámym premenným hodnoty 1,0,0,…,0 a vypočítajme hlavné neznáme riešením výslednej elementárnej sústavy lineárnych rovníc akýmkoľvek spôsobom, napríklad Cramerovou metódou. Tak dostaneme X (1) - prvé riešenie fundamentálnej sústavy. Ak dáme voľným neznámym hodnoty 0,1,0,0,…,0 a vypočítame hlavné neznáme, dostaneme X (2) . A tak ďalej. Ak dáme voľným neznámym premenným hodnoty 0,0,…,0,1 a vypočítame hlavné neznáme, dostaneme X (n-r) . Takto bude skonštruovaný základný systém riešení homogénneho SLAE a jeho všeobecné riešenie je možné zapísať do tvaru .

Pre nehomogénne systémy lineárnych algebraických rovníc je všeobecné riešenie reprezentované ako

Pozrime sa na príklady.

Príklad.

Nájdite základnú sústavu riešení a všeobecné riešenie homogénnej sústavy lineárnych algebraických rovníc .

Riešenie.

Hodnosť hlavnej matice homogénnych sústav lineárnych rovníc sa vždy rovná hodnosti rozšírenej matice. Nájdime hodnosť hlavnej matice metódou fringing minors. Ako nenulovú minoritu prvého rádu berieme prvok a 1 1 = 9 hlavnej matice systému. Nájdite hraničnú nenulovú moll druhého rádu:

Nájde sa minor druhého rádu, odlišný od nuly. Poďme cez neplnoletých tretieho rádu, ktorí s ním hraničia, pri hľadaní nenulovej jednotky:

Všetky hraničiace neplnoleté osoby tretieho rádu sa rovnajú nule, preto je poradie hlavnej a rozšírenej matice dve. Vezmime si základnú mollovú. Kvôli prehľadnosti si všimneme prvky systému, ktoré ho tvoria:

Tretia rovnica pôvodného SLAE sa nezúčastňuje na tvorbe základnej moll, preto ju možno vylúčiť:

Ponecháme členy obsahujúce hlavné neznáme na pravej strane rovníc a prenesieme členy s voľnými neznámymi na pravú stranu:

Zostavme základnú sústavu riešení pôvodnej homogénnej sústavy lineárnych rovníc. Základný systém riešení tohto SLAE sa skladá z dvoch riešení, keďže pôvodný SLAE obsahuje štyri neznáme premenné a poradie jeho základnej minor sú dve. Aby sme našli X (1), dáme voľným neznámym premenným hodnoty x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0, potom nájdeme hlavné neznáme zo systému rovníc
.