Zhrnutie lekcie „Racionálne, iracionálne, exponenciálne a goniometrické nerovnosti“. Riešenie logaritmických a exponenciálnych nerovností

prihláška číslo 3

Lekcia 225 Racionálne, iracionálne, exponenciálne a trigonometrické nerovnosti.

Dátum:

Typ lekcie: lekcia zovšeobecňovania a systematizácie vedomostí na túto tému.

Ciele lekcie:

zovšeobecnenie poznatkov o metódach riešenia exponenciálnych nerovností. Príprava na skúšku;

formovanie adekvátnej sebaúcty a vzájomného hodnotenia u žiakov pri práci v skupine;

rozvoj matematickej reči pri komentovaní riešenia, pri zostavovaní algoritmov na dokončenie úlohy; schopnosť prekonávať ťažkosti schopnosť pracovať s referenčnou literatúrou.

vzdelávanie vzájomnej pomoci.

Vedomosti, zručnosti, zručnosti a vlastnosti, ktoré aktualizujú / získavajú / upevňujú / atď. žiaci počas hodiny:

systematizovať svoje vedomosti o danej téme;

upevniť teoretické vedomosti o danej téme;

aplikovať vedomosti v nezvyčajnej situácii.

Potrebné vybavenie a materiály:

Notebooky na individuálne testovanie, multimediálny projektor;

prezentácia na lekciu;

písacie potreby, letáky, hárky na sebahodnotenie.

Vyučovacie metódy: technológia problémovo-situačného učenia pomocou prípadovej fázy.

Kroky lekcie:

1. Org moment - 1 minúta

2. formulácia témy a cieľov vyučovacej hodiny 1 minúta

3. Aktualizácia základných poznatkov. Blesková anketa. (3 min.)

4. Výsledky bleskového prieskumu - 2 minúty

5. Kontrola domácich úloh. Klasifikácia. 3 minúty

6. Domáca úloha diferencovaného charakteru s právom výberu. 1 minúta

7. Opakovanie teórie a induktor (zacielenie na výkon) 2 min

8. Rozvoj zručností riešenia. Práca s referenčnou literatúrou. 5 nerovností 10 min

9. Reklama 2 minúty

10. Medzera. Neznáme úlohy - 2 min

11. riešte tieto úlohy 4 minúty

12. Propagácia riešenia nových problémov 4 min

13. Odraz - 2 min

14. Sebahodnotenie 1 minúta

Pred začiatkom hodiny sa študenti posadia v súlade s tromi úrovňami výcviku v určitých radoch. Všimnite si, že zručnosti na preberanú tému nepatria medzi povinné požiadavky na prípravu študentov, preto ju u mňa študujú len pripravenejší študenti (1. a 2. skupina).

Účel lekcie. Analyzujte spôsoby riešenia iracionálnych nerovností priemeru a pokročilá úroveň komplexnosť, vypracovať referenčné schémy.

1. fáza lekcie - organizačná (1 min.)

Učiteľ povie žiakom tému hodiny, účel a vysvetlí účel písomky, ktorá je na laviciach.

2. fáza lekcie (5 min.)

ústna práca na zopakovanie pri riešení najjednoduchších problémov na tému „Stupeň s racionálnym ukazovateľom“

Učiteľ vyzve žiakov, aby sa v odpovediach na otázky striedali, pričom svoju odpoveď komentovali s odkazom na príslušný teoretický fakt.

Stupeň s racionálnym exponentom

Zjednodušte: 1) 12 m 4 /3 m 8

2) 6 s 3/7 + 4 (od 1/7) 3

3) (32 x 2) 1/5 x 3/5

4) 2 4,6a 2 -1,6a

5) 2x 0,2 x -1,2

6) 4 x 3/5 x 1/10

8) 2x 4/5 3x 1/5

9) (3x 2/5) 2 + 2x 4/5

10) 3 x 1/2 x 3/2

Vypočítajte: 11) 4 3,2 m 4 -1,2 m, pričom m = 1/4

12) 6 -5,6a 6 3,6a, pri a = 1/2

13) 5 27 2/3 - 16 1/4

14) 3 4,4 s 3 -6,4 s, pričom c = 1/2

15) 3x 2/5 x 3/5, pri x = 2

3. fáza lekcie - štúdium Nová téma(20 min.), prednáška

Učiteľ vyzve 3 skupiny žiakov, aby začali pracovať na opakovaní s kartičkami – konzultantmi na tému „Najjednoduchšie goniometrické rovnice“(pretože študovaný materiál má zvýšenú úroveň zložitosti a nie je povinný). Žiaci 3. skupiny sú spravidla žiaci so slabou matematickou prípravou, pedagogicky zanedbaní školáci. Po dokončení úlohy sa v skupine vymenia karty. Pripravenejší študenti začnú analyzovať novú tému.

Pred analýzou metód riešenia iracionálnych nerovností je potrebné študentom pripomenúť hlavné teoretické fakty, na základe ktorých sa budú budovať schémy podpory pre ekvivalentné prechody. V závislosti od úrovne prípravy žiakov to môžu byť buď ústne odpovede na otázky učiteľa, alebo spoločná práca učiteľa a žiakov, no v každom prípade by na hodine malo odznieť nasledovné.

Definícia 1. Nerovnice, ktoré majú rovnakú množinu riešení, sa nazývajú ekvivalentné.

Pri riešení nerovností sa táto nerovnosť väčšinou transformuje na ekvivalentnú.

Napríklad nerovnosť (x - 3)/(x 2 + 1) sú ekvivalentné, pretože majú rovnakú sadu riešení: X. nerovnosti 2x / (x - 1) 1 a 2x x - 1 nie sú rovnocenné, pretože riešenia prvého sú riešenia x 1 a riešenia druhého sú čísla x -1.

Definícia 2. Oblasť nerovnosti je množina hodnôt x, pre ktoré majú obe strany nerovnosti zmysel.

Motivácia. Samotné nerovnosti sú zaujímavé pre štúdium, keďže práve s ich pomocou sú v symbolickom jazyku napísané najdôležitejšie úlohy poznávania reality. Nerovnosť často slúži ako dôležitý pomocný nástroj na preukázanie alebo vyvrátenie existencie akýchkoľvek objektov, na odhad ich počtu, na klasifikáciu. Preto sa s nerovnosťami musíme vyrovnať nie menej často ako s rovnicami.

Definícia. Nerovnosť obsahujúca premennú pod koreňovým znakom sa nazýva iracionálna.

Príklad 1√ (5 - x)

Aký je rozsah definície nerovnosti?

Aká je podmienka na kvadratúru oboch strán, aby sa vytvorila ekvivalentná nerovnosť?

√(5 - x) 5 - x -11

Príklad 2√10 + x - x 2 ≥ 2 10 + x - x 2 ≥ 0 10 + x - x 2 ≥ 4

10 + x - x 2 ≥ 4

pretože každé riešenie druhej nerovnosti sústavy je riešením prvej nerovnosti.

Príklad 3 Riešiť nerovnosti

b) √2x 2 + 5x - 3 ≤ 0 2x 2 + 5x - 3 = 0

Rozoberme si tri typické príklady, z ktorých bude zrejmé, ako pri riešení nerovníc robiť ekvivalentné prechody, keď očividná transformácia nie je ekvivalentná.

Príklad 1√1 - 4x x + 11.

Chcel by som, samozrejme, dostať do štvorca obe časti štvorcová nerovnosť. V tomto prípade môžeme dostať neekvivalentnú nerovnosť. Ak budeme brať do úvahy iba tie x, pre ktoré sú obe časti nezáporné (ľavá strana je zjavne nezáporná), potom bude kvadratúra stále možná. Ale čo robiť s tými x pre ktoré pravá časť negatívne? A nerobte nič, pretože žiadne z týchto x nebude riešením nerovnosti: koniec koncov, pre akékoľvek riešenie nerovnosti je pravá strana väčšia ako ľavá, čo je nezáporné číslo, a preto je samo sebou. nie negatívne. Takže dôsledkom našej nerovnosti bude takýto systém

1 - 4x (x + 11) 2

Tento systém však nemusí byť ekvivalentný pôvodnej nerovnosti. Oblasťou výslednej sústavy je celá číselná os, pričom pôvodná nerovnosť je definovaná len pre tie x, pre ktoré je 1 - 4x ≥ 0. Ak teda chceme, aby naša sústava bola ekvivalentná nerovnosti, musíme pripísať túto podmienku:

Odpoveď: (- 6; ¼]

Silnému študentovi sa navrhuje, aby zdôvodnil všeobecný pohľad, toto sa stane

√f(x) g (x) f (x) ( g(x)) 2

g(x) ≥ 0

f(x) ≥ 0.

Ak by pôvodná nerovnosť mala znamienko ≤ namiesto f (x) ≤ (g (x)) 2 .

Príklad 2√x x - 2

Aj tu môžeme umocniť tie x, pre ktoré je splnená podmienka x - 2 ≥ 0. Teraz však už nie je možné vyradiť tie x, pre ktoré je pravá strana záporná: koniec koncov, v tomto prípade pravá strana bude menšia ako zjavne nezáporná ľavá strana, takže všetky takéto x budú riešenia nerovníc. Nie však všetky, ale tie, ktoré sú zahrnuté do rozsahu definície nerovnosti, t.j. pre ktoré x ≥ 0. Aké prípady treba zvážiť?

Prípad 1: ak x - 2 ≥ 0, potom naša nerovnosť implikuje systém

2 prípad: ak x - 2

Pri analýze prípadov vzniká zložená podmienka nazývaná „set“. Získame množinu dvoch systémov ekvivalentných nerovnosti

Silný študent je vyzvaný, aby uvažoval všeobecným spôsobom, potom to dopadne takto:

√f (x) g (x) f (x) (g (x)) 2

g(x) ≥ 0

f(x) ≥ 0

g(x).

Ak by pôvodná nerovnosť mala namiesto toho znamienko ≥, potom f (x) ≥ (g (x)) 2 mala byť braná ako prvá nerovnosť tohto systému.

Príklad 3√x 2 - 1 √x + 5.

Aký význam majú výrazy na ľavej a pravej strane?

Dá sa to štvorčekovať?

Čo je doménou definície nerovností?

Dostaneme x 2 - 1 x + 5

Ktorá podmienka je zbytočná?

Dostaneme teda, že táto nerovnosť je ekvivalentná systému

Silný študent je vyzvaný, aby uskutočnil zdôvodnenie vo všeobecnej forme, dopadne to takto:

√f (x) √g (x) f (x) g (x)

g(x) ≥ 0.

Zamyslite sa nad tým, čo sa zmení, ak namiesto pôvodnej nerovnosti bude znamienko ≥, ≤ alebo

Na tabuli sú vyvesené 3 schémy riešenia iracionálnych nerovností, ešte raz sa rozoberá princíp ich konštrukcie.

4. fáza - upevnenie vedomostí (5 min.)

Žiaci 2. skupiny sú vyzvaní, aby označili, ktorý systém alebo ich kombinácia je ekvivalentná nerovnosti č. 167 (Algebra a začiatok analýzy 10-11 buniek. M, Enlightenment, 2005, Sh.A. Alimov)

Dvaja najpripravenejší študenti z tejto skupiny sú vyzvaní, aby riešili nerovnosti na tabuli: č. 1. √x 2 - 1 1

Č. 2. √25 - x 2

Žiaci skupiny 1 dostanú podobnú úlohu, ale viac vysoký stupeň obtiažnosť č. 170 (Algebra a začiatok analýzy 10-11 buniek. M, Enlightenment, 2005, Sh.A. Alimov)

jeden z najpripravenejších študentov z tejto skupiny je vyzvaný, aby vyriešil nerovnosť na tabuli: √4x - x 2

V tomto prípade môžu abstrakt použiť všetci študenti.

V tomto čase učiteľ pracuje so žiakmi 3. skupiny: odpovedá na ich otázky, v prípade potreby pomáha; a riadi riešenie problémov na tabuli.

Na konci času dostane každá skupina hárok odpovedí na kontrolu (odpovede môžete zobraziť na obrazovke pomocou multimediálneho systému).

5. fáza hodiny – diskusia o riešeniach problémov prezentovaných na tabuli (7 min.)

Žiaci, ktorí plnili úlohy pri tabuli, svoje rozhodnutia komentujú a ostatní v prípade potreby upravujú a robia si poznámky do zošitov.

6. fáza hodiny - zhrnutie hodiny, komentár k domácej úlohe (2 min.)

3 skupinová výmena kariet v rámci skupiny.

2 skupina č. 168 (3, 4)

1 skupina č. 169 (5), č. 170 (6)

Iracionálne nerovnosti

Pod iracionálna nerovnosť sa chápe ako nerovnosť, v ktorej sú neznáme veličiny pod znamienkom radikálu. Riešenie takýchto nerovností zvyčajne spočíva v tom, že sa pomocou niektorých transformácií nahradia ekvivalentnými. racionálne rovnice nerovnosti alebo sústavy rovníc a nerovníc (často zmiešané sústavy, t. j. také, ktoré zahŕňajú rovnice aj nerovnice) a ďalšie riešenie môže nasledovať vyššie načrtnuté kroky. Tieto transformácie sú okrem zmeny premenných (zavedenie nových premenných) a faktorizácie aj eleváciou oboch častí nerovnosti na rovnakú mieru. V tomto prípade je však potrebné sledovať ekvivalenciu prechodov z jednej nerovnosti na druhú. Bezmyšlienkovým umocňovaním možno korene nerovnosti stratiť aj získať súčasne. Napríklad umocnenie správnej nerovnosti -1<2, мы получим верное неравенство 1<4; из верного неравенства -5<2 получается уже неверное неравенство 25<4;из неверного неравенства 1<-2 получим верное неравенство 1<4; наконец, из неверного неравенства 5<2 получим неверное неравенство 25<4. Вы видите, что возможны все комбинации верных и неверных неравенств!

Hlavné tvrdenie, ktoré sa tu používa, je však pravdivé: ak sú obe strany nerovnosti nezáporné, potom je ekvivalentná nerovnosti získanej z nej termickou umocňovaním.

Pri riešení nerovností týmto spôsobom treba dávať pozor, aby sme nezískali cudzie riešenia. Preto je užitočné tam, kde je to možné, nájsť doménu definície nerovnosti, ako aj doménu možných hodnôt riešení.

Exponenciálne a logaritmické nerovnosti

Riešeniu exponenciálnych a logaritmických nerovníc predchádza štúdium vlastností zodpovedajúcich funkcií; vykonávanie mnohých úloh pri transformácii exponenciálnych a logaritmických výrazov; riešenie rovníc obsahujúcich logaritmy a premenné v exponente. Riešenie najjednoduchších nerovností, ktoré sa uvažujú

kde znamená jednu z nerovností<,>,.

Ide o to, že táto téma sa zvyčajne uvádza ako úplne nová, založená len na predtým študovaných vlastnostiach týchto funkcií. Je účelné to podľa mňa spojiť s riešením nerovníc všeobecne (teda s už známym algoritmom). Treba poznamenať, že intervalovú metódu nemožno použiť priamo. Ale riešenie rôznych exponenciálnych a logaritmických nerovností je založené na nasledujúcich pravidlách:

Ak a>1, potom

Ak 0

Ak a>1, potom

Ak 0

Kde znak znamená opak významu znaku.

Pomocou ktorých sa exponenciálne a logaritmické nerovnosti zvyčajne redukujú na racionálne, ktoré sa už dajú vyriešiť vyššie opísanou metódou intervalov.

Nerovnice obsahujúce goniometrické funkcie

Táto téma je v vzdelávacej literatúre slabo pokrytá a v niektorých učebniciach je vo všeobecnosti vyňatá z rozsahu študovaného predmetu (ako už bolo uvedené v I. kapitole tejto práce). Z trigonometrických nerovností sa spravidla berú do úvahy iba najjednoduchšie typy.

Zatiaľ čo úlohy uvedené v praktickej časti súvisiacej s týmto odsekom sa nachádzajú v zborníkoch súťažných úloh, v zborníkoch pre uchádzačov a materiály na prijímacie skúšky na technické fakulty vysokých škôl. Tie. tento materiál nie je zahrnutý v povinnom štúdiu na základnej a strednej škole, ale je užitočný.

Intervalová metóda je obzvlášť účinná pri riešení nerovníc obsahujúcich goniometrické funkcie. Pri riešení čisto goniometrických nerovností touto metódou je vhodné namiesto číselnej osi použiť číselný kruh, ktorý je rozdelený koreňmi príslušných goniometrických rovníc (čitateľ a menovateľ) na oblúky, ktoré zohrávajú rovnakú úlohu ako intervaly. na číselnej osi. Na týchto oblúkoch má goniometrický výraz zodpovedajúci riešenej nerovnosti konštantné znamienka, ktoré možno určiť pomocou pravidla samostatného „pohodlného“ bodu a vlastnosti násobnosti koreňov. Na určenie samotných oblúkov často nie je vôbec potrebné nájsť celú (nekonečnú) množinu koreňov zodpovedajúcich rovníc; stačí z týchto rovníc nájsť hodnoty hlavných goniometrických funkcií (sínus, kosínus, tangens, kotangens) a označiť body na číselnom kruhu zodpovedajúce týmto hodnotám.

Číselný kruh môžete použiť priamo na vyriešenie pôvodnej goniometrickej nerovnosti pomocou intervalovej metódy, ak všetky funkcie, cez ktoré je nerovnosť zapísaná, majú hlavnú (najmenšiu kladnú) periódu alebo kde m je nejaké kladné celé číslo. Ak je hlavná perióda týchto funkcií väčšia ako alebo, mali by ste najprv zmeniť premenné a potom použiť číselný kruh.

Ak nerovnica obsahuje goniometrické aj iné funkcie, potom by sa mala použiť číselná os na jej vyriešenie intervalovou metódou.

Všetky problémy B7, ktoré som videl, boli formulované v podstate rovnakým spôsobom: vyriešte rovnicu. V tomto prípade samotné rovnice patria do jedného z troch typov:

logaritmický;
Demonštratívne;
Iracionálne.

Všeobecne povedané, úplný sprievodca každým typom rovnice zaberie viac ako tucet strán, čo ďaleko presahuje rámec skúšky. Preto budeme brať do úvahy len tie najjednoduchšie prípady, ktoré si vyžadujú nenáročné uvažovanie a výpočty. Tieto znalosti budú stačiť na vyriešenie akéhokoľvek problému B7.

V matematike výraz „riešiť rovnicu“ znamená nájsť množinu všetkých koreňov danej rovnice alebo dokázať, že táto množina je prázdna. Ale do formulára USE je možné zadať iba čísla - žiadne sady. Ak teda v úlohe B7 bol viac ako jeden koreň (alebo naopak žiadny) - v riešení sa stala chyba.

Logaritmické rovnice

Logaritmická rovnica je akákoľvek rovnica, ktorá sa redukuje na log tvaru a f(X) = k, kde a > 0, a≠ 1 je základ logaritmu, f(X) je ľubovoľná funkcia, k je nejaká konštantná.

Takáto rovnica sa rieši zavedením konštanty k pod znamienko logaritmu: k= log a a k. Základ nového logaritmu sa rovná základni pôvodného. Dostaneme log rovnice a f(X) = log a a k, ktorý sa rieši zahodením logaritmu.

Všimnite si, že podľa podmienky a> 0, teda f(X) = a k> 0, t.j. pôvodný logaritmus existuje.

Úloha. Riešte rovnicu: log 7 (8 − X) = 2.

Riešenie. log 7 (8 - X) = 2 ⇔ log 7 (8 − X) = log 7 7 2 ⇔ 8 − X = 49 ⇔ X = −41.

Úloha. Riešte rovnicu: log 0,5 (6 − X) = −2.

Riešenie. log 0,5 (6 − X) = −2 ⇔ log 0,5 (6 − X) = log 0,5 0,5 −2 ⇔ 6 − X = 4 ⇔ X = 2.

Ale čo keď sa ukáže, že pôvodná rovnica je komplikovanejšia ako štandardný log a f(X) = k? Potom ho zredukujeme na štandardný, pričom všetky logaritmy zhromažďujeme v jednom smere a čísla v druhom.

Ak je v pôvodnej rovnici viac ako jeden logaritmus, budete musieť hľadať rozsah prijateľných hodnôt (RTV) každej funkcie pod logaritmom. V opačnom prípade sa môžu objaviť ďalšie korene.

Úloha. Vyriešte rovnicu: log 5 ( X+ 1) + denník 5 ( X + 5) = 1.

Pretože v rovnici sú dva logaritmy, nájdeme ODZ:

X + 1 > 0 ⇔ X > −1
X + 5 > 0 ⇔ X > −5

Dostaneme, že ODZ je interval (−1, +∞). Teraz riešime rovnicu:

denník 5 ( X+ 1) + denník 5 ( X+ 5) = 1 ⇒ log 5 ( X + 1)(X+ 5) = 1 ⇔ log 5 ( X + 1)(X+ 5) = log 5 5 1 ⇔ ( X + 1)(X + 5) = 5 ⇔ X 2 + 6X + 5 = 5 ⇔ X (X + 6) = 0 ⇔ X 1 = 0, X 2 = −6.

ale X 2 = -6 nespĺňa podmienky na ODZ. Zostáva koreňom X 1 = 0.

exponenciálne rovnice

Exponenciálna rovnica je akákoľvek rovnica, ktorá sa redukuje na tvar a f(X) = k, kde a > 0, a≠ 1 - základ titulu, f(X) je ľubovoľná funkcia, k je nejaká konštantná.

Táto definícia takmer doslovne opakuje definíciu logaritmickej rovnice. Exponenciálne rovnice sa riešia ešte jednoduchšie ako logaritmické, pretože tu nie je potrebná funkcia f(X) bol pozitívny.

Aby sme to vyriešili, vykonáme substitúciu k = a t, kde t Vo všeobecnosti platí, že logaritmus ( t= log a k), ale v USE čísla a a k budú vybrané tak, aby sa našli t bude ľahké. Vo výslednej rovnici a f(X) = a t základy sú rovnaké, čo znamená, že exponenty sú rovnaké, t.j. f(X) = t. Riešenie poslednej rovnice spravidla nespôsobuje problémy.

Úloha. Riešiť rovnicu: 7 X − 2 = 49.

Riešenie. 7 X − 2 = 49 ⇔ 7 X − 2 = 7 2 ⇔ X − 2 = 2 ⇔ X = 4.

Úloha. Vyriešte rovnicu: 6 16 − X = 1/36.

Riešenie. 6 16 - X = 1/36 ⇔ 6 16 − X = 6 −2 ⇔ 16 − X = −2 ⇔ X = 18.

Trochu o transformácii exponenciálnych rovníc. Ak je pôvodná rovnica odlišná od a f(X) = k , aplikujeme pravidlá pre prácu so stupňami:

a n · a m = a n + m ,
a n / a m = a n − m ,
(a n) m = a n · m .

Okrem toho musíte poznať pravidlá nahradenia koreňov a zlomkov stupňami s racionálnym exponentom:

Takéto rovnice sú v USE extrémne zriedkavé, ale bez nich by bola analýza problému B7 neúplná.

Úloha. Riešiť rovnicu: (5/7) X− 2 (7/5) 2 X − 1 = 125/343

Všimni si:

(7/5) 2X − 1 = ((5/7) −1) 2X − 1 = (5/7) 1 − 2X ,
125/343 = (5 3) /(7 3) = (5/7) 3 .

Máme: (5/7) X− 2 (7/5) 2 X − 1 = 125/343 ⇔ (5/7) X− 2 · (5/7) 1 − 2 X = (5/7) 3 ⇔ (5/7) X − 2 + 1 − 2X = (5/7) 3 ⇔ (5/7) −X − 1 = (5/7) 3 ⇔ −X − 1 = 3 ⇔ X = −4.

Iracionálne rovnice

Iracionálna sa chápe ako akákoľvek rovnica obsahujúca znamienko koreňa. Z celej škály iracionálnych rovníc budeme uvažovať iba o najjednoduchšom prípade, keď rovnica má tvar:

Aby sme túto rovnicu vyriešili, odmocnime obe strany. Dostaneme rovnicu f(X) = a 2. V tomto prípade je automaticky splnená požiadavka ODZ: f(X) ≥ 0, pretože a 2 ≥ 0. Zostáva vyriešiť jednoduchú rovnicu f(X) = a 2 .

Úloha. Vyriešte rovnicu:

Obidve strany odmocníme a dostaneme: 5 X − 6 = 8 2 ⇔ 5X − 6 = 64 ⇔ 5X = 70 ⇔ X = 14.

Úloha. Vyriešte rovnicu:

Najprv, ako minule, obe strany uvaľujeme. A potom do čitateľa pridáme znamienko mínus. Máme:

Všimnite si, že kedy X= −4 bude pod odmocninou kladné číslo, t.j. požiadavka ODZ bola splnená.

Do absolvovania skúšky z matematiky zostáva čoraz menej času. Situácia sa vyostruje, nervy školákov, rodičov, učiteľov a vychovávateľov sú stále viac natiahnuté. Denné hĺbkové hodiny matematiky vám pomôžu zmierniť nervové napätie. Koniec koncov, nič, ako viete, nie je tak pozitívne a nepomáha pri absolvovaní skúšok, ako dôvera vo svoje schopnosti a vedomosti. Dnes vám učiteľ matematiky povie o riešení systémov logaritmických a exponenciálnych nerovností, úloh, ktoré tradične spôsobujú ťažkosti mnohým moderným stredoškolákom.

Aby ste sa ako lektor matematiky naučili riešiť úlohy C3 z Jednotnej štátnej skúšky z matematiky, odporúčam vám venovať pozornosť nasledujúcim dôležitým bodom.

1. Predtým, ako pristúpime k riešeniu systémov logaritmických a exponenciálnych nerovníc, je potrebné naučiť sa riešiť každý z týchto typov nerovníc samostatne. Najmä na pochopenie toho, ako sa nachádza oblasť prípustných hodnôt, sa vykonávajú ekvivalentné transformácie logaritmických a exponenciálnych výrazov. Niektoré tajomstvá, ktoré s tým súvisia, môžete pochopiť preštudovaním článkov „“ a „“.

2. Zároveň je potrebné si uvedomiť, že nie vždy riešenie sústavy nerovníc spočíva v riešení každej nerovnosti samostatne a prekračovaní vzniknutých medzier. Niekedy, keď poznáme riešenie jednej nerovnosti systému, riešenie druhej je značne zjednodušené. Ako učiteľ matematiky, ktorý pripravuje študentov na záverečné skúšky vo formáte USE, v tomto článku prezradím pár tajomstiev, ktoré s tým súvisia.

3. Je potrebné jasne pochopiť rozdiel medzi križovatkou a spojením súprav. Ide o jeden z najdôležitejších matematických poznatkov, ktorý sa skúsený profesionálny lektor snaží dať svojmu študentovi už od prvých hodín. Vizuálne znázornenie prieniku a spojenia množín je dané takzvanými "Eulerovými kruhmi".

Nastaviť križovatku Množina sa nazýva množina, ktorá obsahuje len tie prvky, ktoré má každá z týchto množín.

križovatka

Obrázok priesečníka množín pomocou "Eulerových kruhov"

Vysvetlenie prstom. Diana má v kabelke „súpravu“ pozostávajúcu z ( perá, ceruzka, vládcov, zošity, hrebene). Alice má v kabelke „súpravu“ pozostávajúcu z ( notebook, ceruzka, zrkadlá, zošity, kyjevské kotlety). Priesečníkom týchto dvoch „množín“ bude „množina“ pozostávajúca z ( ceruzka, zošity), keďže Diana aj Alice majú oba tieto „prvky“.

Dôležité mať na pamäti! Ak je riešením nerovnice interval a riešením nerovnice je interval, potom riešenie sústav:

je interval, ktorý je križovatka pôvodné intervaly. Tu a nižšieniektorú z postáv title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="17" width="93" style="vertical-align: -4px;">!} a pod je opačné znamenie.

Spojenie množín sa nazýva súbor, ktorý pozostáva zo všetkých prvkov pôvodných súborov.

Inými slovami, ak sú dané dve sady a potom ich združenia bude súbor nasledujúceho formulára:

Obrázok spojenia množín pomocou "Eulerových kruhov"

Vysvetlenie prstom. Zjednotením „množín“ v predchádzajúcom príklade bude „množina“ pozostávajúca z ( perá, ceruzka, vládcov, zošity, hrebene, notebook, zrkadlá, kyjevské kotlety), keďže pozostáva zo všetkých prvkov pôvodných „súborov“. Jedno objasnenie, ktoré nemusí byť zbytočné. Veľa nemôže obsahujú rovnaké prvky.

Dôležité mať na pamäti! Ak je riešením nerovnice interval a riešením nerovnice je interval, potom riešením množiny je:

je interval, ktorý je združenie pôvodné intervaly.

Poďme rovno na príklady.

Príklad 1 Vyriešte systém nerovností:

Riešenie úlohy C3.

1. Najprv vyriešime prvú nerovnosť. Pomocou substitúcie prejdeme k nerovnosti:

2. Teraz riešime druhú nerovnosť. Rozsah jeho prípustných hodnôt je určený nerovnosťou:

Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}

V prijateľnom rozsahu vzhľadom na to, že základ logaritmu title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="52" style="vertical-align: -4px;"> переходим к равносильному неравенству:!}

Vylúčením riešení, ktoré nie sú v rozsahu prípustných hodnôt, dostaneme interval

3. Odpoveď na systému nerovnosti budú križovatka

Výsledné medzery na číselnej osi. Riešením je ich priesečník

Príklad 2 Vyriešte systém nerovností:

Riešenie úlohy C3.

1. Najprv vyriešime prvú nerovnosť. Vynásobte obe časti názvom title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="55" style="vertical-align: 0px;"> и делаем замену в результате чего приходим к неравенству:!}

Prejdime na opačnú substitúciu:

Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Grafické znázornenie výsledného rozpätia. Riešenie sústavy - ich prienik

Príklad 3 Vyriešte systém nerovností:

Riešenie úlohy C3.

1. Najprv vyriešime prvú nerovnosť. Vynásobte obe jeho časti názvom title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="61" style="vertical-align: -4px;"> после чего получаем неравенство:!}

Pomocou substitúcie prejdeme k nasledujúcej nerovnosti:

Prejdime na opačnú substitúciu:

2. Teraz riešime druhú nerovnosť. Najprv určme rozsah prípustných hodnôt tejto nerovnosti:

ql-right-eqno">

Vezmite prosím na vedomie, že

Potom, berúc do úvahy rozsah prípustných hodnôt, dostaneme:

3. Nájdeme všeobecné riešenie nerovností. Porovnanie získaných iracionálnych hodnôt uzlových bodov nie je v tomto príklade v žiadnom prípade triviálnou úlohou. Dá sa to urobiť nasledujúcim spôsobom. Pretože

Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}

potom a konečná odpoveď systému je:

Príklad 4 Vyriešte systém nerovností:

Riešenie problému С3.

1. Najprv vyriešme druhú nerovnosť:

2. Prvá nerovnosť pôvodného systému je logaritmická nerovnosť s premennou bázou. Pohodlný spôsob riešenia takýchto nerovností je opísaný v článku „Komplexné logaritmické nerovnosti“, je založený na jednoduchom vzorci:

Namiesto znamienka je možné nahradiť akékoľvek znamienko nerovnosti, hlavné je, aby bolo v oboch prípadoch rovnaké. Použitie tohto vzorca výrazne zjednoduší riešenie nerovnosti:

Poďme teraz určiť rozsah prípustných hodnôt tejto nerovnosti. Je to dané nasledujúcim systémom:

Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Je ľahké vidieť, že tento interval bude zároveň riešením našej nerovnosti.

3. Konečná odpoveď na originál systémov nerovnosti budú križovatka získané intervaly, tj

Príklad 5 Vyriešte systém nerovností:

Riešenie problému C3.

1. Najprv vyriešime prvú nerovnosť. Používame substitúciu Prejdeme na nasledujúcu kvadratickú nerovnosť:

2. Teraz riešime druhú nerovnosť. Rozsah jeho prípustných hodnôt je určený systémom:

Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Táto nerovnosť je ekvivalentná nasledujúcemu zmiešanému systému:

V rozsahu platných hodnôt, to znamená s title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="53" style="vertical-align: -4px;"> используя равносильные преобразования переходим к следующей смешанной системе:!}

Ak vezmeme do úvahy rozsah prípustných hodnôt, získame:

3. Konečné rozhodnutie originálu systémov je

Riešenie úlohy C3.

1. Najprv vyriešime prvú nerovnosť. Ekvivalentnými transformáciami ho privedieme do tvaru:

2. Teraz riešime druhú nerovnosť. Rozsah jeho platných hodnôt je určený rozsahom: title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="68" style="vertical-align: 0px;"> Используя замену переменной переходим к следующему квадратичному неравенству:!}

Táto odpoveď patrí úplne do rozsahu prijateľných hodnôt nerovnosti.

3. Prekročením intervalov získaných v predchádzajúcich odsekoch získame konečnú odpoveď na systém nerovností:

Dnes máme vyriešené systémy logaritmických a exponenciálnych nerovností. Úlohy tohto druhu boli ponúknuté na skúšku POUŽÍVAŤ možnosti v matematike v celom prúde školský rok. Ako učiteľ matematiky so skúsenosťami s prípravou na Jednotnú štátnu skúšku však môžem povedať, že to vôbec neznamená, že podobné úlohy budú v r. skutočné možnosti Jednotná štátna skúška z matematiky v júni.

Dovoľte mi vysloviť jedno varovanie určené predovšetkým tútorom a učiteľom škôl, ktorí sa podieľajú na príprave študentov stredných škôl absolvovanie skúšky matematiky. Je veľmi nebezpečné pripravovať školákov na skúšku striktne na dané témy, pretože v tomto prípade hrozí jej úplné „zaplnenie“ aj pri miernej zmene vopred uvedeného formátu úlohy. Matematické vzdelanie musí byť úplné. Vážení kolegovia, neprirovnávajte svojich študentov k robotom takzvaným „školením“ na riešenie určitého typu problémov. Nie je predsa nič horšie ako formalizácia ľudského myslenia.

Veľa šťastia všetkým a tvorivý úspech!

Sergej Valerijevič

Ak sa pokúsite, potom sú dve možnosti: bude to fungovať alebo to nebude fungovať. Ak to neskúsiš, je len jeden.
© Ľudová múdrosť