Konštrukcia funkcie y x 3. Kvadratické a kubické funkcie

Lekcia na tému: "Graf a vlastnosti funkcie $y=x^3$. Príklady vykresľovania grafov"

Dodatočné materiály
Vážení používatelia, nezabudnite zanechať svoje komentáre, recenzie, priania. Všetky materiály boli skontrolované antivírusovým programom.

Učebné pomôcky a simulátory v internetovom obchode Integral pre 7. ročník
Elektronická učebnica pre 7. ročník "Algebra za 10 minút"
Vzdelávací komplex 1C "Algebra, ročníky 7-9"

Vlastnosti funkcie $y=x^3$

Poďme si popísať vlastnosti tejto funkcie:

1. x je nezávislá premenná, y je závislá premenná.

2. Definičná oblasť: je zrejmé, že pre akúkoľvek hodnotu argumentu (x) možno vypočítať hodnotu funkcie (y). V súlade s tým je doménou definície tejto funkcie celý číselný rad.

3. Rozsah hodnôt: y môže byť čokoľvek. Rozsah hodnôt je teda aj celý číselný rad.

4. Ak x= 0, potom y= 0.

Graf funkcie $y=x^3$

1. Vytvorme si tabuľku hodnôt:

2. Pre kladné hodnoty x graf funkcie $y=x^3$ je veľmi podobný parabole, ktorej vetvy sú viac „pritlačené“ k osi OY.

3. Keďže pre záporné hodnoty x má funkcia $y=x^3$ opačné hodnoty, graf funkcie je symetrický vzhľadom na počiatok.

Teraz si označme body na súradnicovej rovine a zostavme graf (pozri obr. 1).

Táto krivka sa nazýva kubická parabola.

Príklady

I. Malá loď úplne vyčerpala sladkú vodu. Z mesta je potrebné priviesť dostatočné množstvo vody. Voda sa objednáva vopred a platí sa za plnú kocku, aj keď jej napustíte o niečo menej. Koľko kociek si mám objednať, aby som nepreplatil kocku navyše a úplne naplnil nádrž? Je známe, že nádrž má rovnakú dĺžku, šírku a výšku, ktoré sa rovnajú 1,5 m, vyriešme tento problém bez vykonania výpočtov.

Riešenie:

1. Nakreslíme funkciu $y=x^3$.
2. Nájdite bod A, súradnicu x, ktorá sa rovná 1,5. Vidíme, že súradnica funkcie je medzi hodnotami 3 a 4 (pozri obr. 2). Treba si teda objednať 4 kocky.

Zostrojovanie grafov funkcií obsahujúcich moduly zvyčajne spôsobuje školákom značné ťažkosti. Všetko však nie je také zlé. Stačí si zapamätať niekoľko algoritmov na riešenie takýchto problémov a môžete ľahko zostaviť graf aj pre tie najzdanlivejšie komplexná funkcia. Poďme zistiť, aké sú to algoritmy.

1. Zostrojenie grafu funkcie y = |f(x)|

Všimnite si, že množina funkčných hodnôt y = |f(x)| : y ≥ 0. Grafy takýchto funkcií sú teda vždy umiestnené celé v hornej polrovine.

Zostrojenie grafu funkcie y = |f(x)| pozostáva z nasledujúcich jednoduchých štyroch krokov.

1) Opatrne a opatrne zostrojte graf funkcie y = f(x).

2) Ponechajte nezmenené všetky body na grafe, ktoré sú nad alebo na osi 0x.

3) Zobrazte časť grafu, ktorá leží pod osou 0x symetricky vzhľadom na os 0x.

Príklad 1. Nakreslite graf funkcie y = |x 2 – 4x + 3|

1) Zostrojíme graf funkcie y = x 2 – 4x + 3. Je zrejmé, že grafom tejto funkcie je parabola. Nájdite súradnice všetkých priesečníkov paraboly so súradnicovými osami a súradnicami vrcholu paraboly.

x 2 – 4 x + 3 = 0.

x 1 = 3, x 2 = 1.

Preto parabola pretína os 0x v bodoch (3, 0) a (1, 0).

y = 0 2 – 4 0 + 3 = 3.

Preto parabola pretína os 0y v bode (0, 3).

Súradnice vrcholov paraboly:

x v = -(-4/2) = 2, y v = 2 2 – 4 2 + 3 = -1.

Preto bod (2, -1) je vrcholom tejto paraboly.

Nakreslite parabolu pomocou získaných údajov (obr. 1)

2) Časť grafu ležiaca pod osou 0x je zobrazená symetricky vzhľadom na os 0x.

3) Získame graf pôvodnej funkcie ( ryža. 2, zobrazené ako bodkovaná čiara).

2. Vykreslenie funkcie y = f(|x|)

Všimnite si, že funkcie tvaru y = f(|x|) sú párne:

y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). To znamená, že grafy takýchto funkcií sú symetrické okolo osi 0y.

Vykreslenie grafu funkcie y = f(|x|) pozostáva z nasledujúceho jednoduchého reťazca akcií.

1) Nakreslite graf funkcie y = f(x).

2) Ponechajte tú časť grafu, pre ktorú x ≥ 0, teda časť grafu, ktorá sa nachádza v pravej polrovine.

3) Zobrazte časť grafu špecifikovanú v bode (2) symetricky k osi 0y.

4) Ako konečný graf vyberte spojenie kriviek získaných v bodoch (2) a (3).

Príklad 2. Nakreslite graf funkcie y = x 2 – 4 · |x| + 3

Pretože x 2 = |x| 2, potom môže byť pôvodná funkcia prepísaná v nasledujúcom tvare: y = |x| 2 – 4 |x| + 3. Teraz môžeme použiť algoritmus navrhnutý vyššie.

1) Starostlivo a starostlivo zostavíme graf funkcie y = x 2 – 4 x + 3 (pozri aj ryža. 1).

2) Ponecháme tú časť grafu, pre ktorú x ≥ 0, teda tú časť grafu, ktorá sa nachádza v pravej polrovine.

3) Displej pravá strana grafika je symetrická k osi 0y.

(obr. 3).

Príklad 3. Nakreslite graf funkcie y = log 2 |x|

Aplikujeme schému uvedenú vyššie.

1) Zostrojte graf funkcie y = log 2 x (obr. 4).

3. Vykreslenie funkcie y = |f(|x|)|

Všimnite si, že funkcie tvaru y = |f(|x|)| sú tiež párne. Skutočne, y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x), a preto sú ich grafy symetrické okolo osi 0y. Súbor hodnôt takýchto funkcií: y ≥ 0. To znamená, že grafy takýchto funkcií sú umiestnené úplne v hornej polrovine.

Ak chcete vykresliť funkciu y = |f(|x|)|, musíte:

1) Opatrne zostrojte graf funkcie y = f(|x|).

2) Ponechajte nezmenenú časť grafu, ktorá je nad alebo na osi 0x.

3) Zobrazte časť grafu umiestnenú pod osou 0x symetricky vzhľadom na os 0x.

4) Ako konečný graf vyberte spojenie kriviek získaných v bodoch (2) a (3).

Príklad 4. Nakreslite graf funkcie y = |-x 2 + 2|x| – 1|.

1) Všimnite si, že x 2 = |x| 2. To znamená, že namiesto pôvodnej funkcie y = -x 2 + 2|x| - 1

môžete použiť funkciu y = -|x| 2 + 2|x| – 1, keďže ich grafy sa zhodujú.

Zostavíme graf y = -|x| 2 + 2|x| – 1. Používame na to algoritmus 2.

a) Nakreslite graf funkcie y = -x 2 + 2x – 1 (obr. 6).

b) Ponecháme tú časť grafu, ktorá sa nachádza v pravej polrovine.

c) Výslednú časť grafu zobrazíme symetricky k osi 0y.

d) Výsledný graf je na obrázku znázornený bodkovanou čiarou (obr. 7).

2) Nad osou 0x nie sú žiadne body, body na osi 0x necháme nezmenené.

3) Časť grafu umiestnená pod osou 0x je zobrazená symetricky vzhľadom na 0x.

4) Výsledný graf je na obrázku znázornený bodkovanou čiarou (obr. 8).

Príklad 5. Nakreslite graf funkcie y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|

1) Najprv musíte nakresliť funkciu y = (2|x| – 4) / (|x| + 3). Aby sme to urobili, vrátime sa k algoritmu 2.

a) Opatrne nakreslite funkciu y = (2x – 4) / (x + 3) (obr. 9).

Všimnite si, že táto funkcia je zlomková lineárna a jej graf je hyperbola. Ak chcete nakresliť krivku, musíte najprv nájsť asymptoty grafu. Horizontálne – y = 2/1 (pomer koeficientov x v čitateli a menovateli zlomku), vertikálne – x = -3.

2) Časť grafu, ktorá je nad osou 0x alebo na nej, ponecháme nezmenenú.

3) Časť grafu umiestnená pod osou 0x sa zobrazí symetricky vzhľadom na 0x.

4) Výsledný graf je znázornený na obrázku (Obr. 11).

webová stránka, pri kopírovaní celého materiálu alebo jeho časti je potrebný odkaz na zdroj.

Vytvorme si tabuľku hodnôt funkcií

Vidíme, že kedy (kocka kladného čísla je kladná) a kedy (kocka záporné číslo negatívny). V dôsledku toho bude graf umiestnený na súradnicovej rovine v 1. a 3. štvrťroku. Hodnotu argumentu x nahradíme opačnou hodnotou, potom funkcia nadobudne opačnú hodnotu; pretože ak, tak

To znamená, že každý bod na grafe zodpovedá bodu na rovnakom grafe, ktorý je umiestnený symetricky vzhľadom na počiatok.

Počiatok je teda stredom symetrie grafu.

Graf funkcie je na obrázku 81. Táto priamka sa nazýva kubická parabola.

V prvom štvrťroku kubická parabola (v ) „strmo“ stúpa

nahor (hodnoty y „rýchlo“ rastú so zvyšujúcim sa x. Pozri tabuľku), pri malých hodnotách x sa čiara „tesne“ blíži k osi x (pri „malých“ hodnotách y „veľmi malé“ pozri tabuľku). Ľavá strana kubickej paraboly (v tretej štvrtine) je symetrická k pravej strane vzhľadom na počiatok.

Úhľadne nakreslený graf môže slúžiť ako prostriedok na aproximáciu kociek čísel. Takže napríklad kladenie nájdeme podľa grafu

Pre približný výpočet kociek boli zostavené špeciálne tabuľky.

Takáto tabuľka je dostupná aj v príručke od V. M. Bradisa „Štvorciferné matematické tabuľky“.

Táto tabuľka obsahuje približné kocky s číslami od 1 do 10, zaokrúhlené na 4 platné číslice.

Štruktúra tabuľky kociek a pravidlá jej používania sú rovnaké ako pri štvorcovej tabuľke. Keď sa však číslo zväčší (alebo zníži) 10, 100 atď. krát, jeho kocka sa zväčší (alebo zníži) 1 000, 1 000 000 atď. To znamená, že pri použití tabuľky kociek musíte mať na pamäti nasledujúce pravidlo zalamovania čiarkou:

Ak v čísle posuniete čiarku o niekoľko číslic, potom v kocke tohto čísla musíte posunúť čiarku rovnakým smerom o trojnásobok počtu číslic.

Vysvetlime si to na príkladoch:

1) Vypočítajte 2,2353. Pomocou tabuľky nájdeme: ; pridať k poslednej číslici opravu 8 pre poslednú číslicu:

2) Vypočítajte. Tak to nájdeme

Pomocou tabuľky nájdeme posunutím čiarky, dostaneme

Približné vzorce. Ak v identite

číslo a je malé v porovnaní s jednotou, potom vynechaním členov c dostaneme približné vzorce:

Pomocou týchto vzorcov je ľahké nájsť približné kocky s číslami blízkymi jednej, napríklad: presná kocka: 1,061208;

Pozrime sa, ako zostaviť graf pomocou modulu.

Nájdite body, na ktorých prechode sa mení znamienko modulov.
Každý výraz pod modulom prirovnáme k 0. Máme dva z nich x-3 a x+3.
x-3=0 a x+3=0
x=3 a x=-3

Náš číselný rad bude rozdelený do troch intervalov (-∞;-3)U(-3;3)U(3;+∞). V každom intervale musíte určiť znamienko modulárnych výrazov.

1. Je to veľmi jednoduché, vezmite do úvahy prvý interval (-∞;-3). Zoberme si akúkoľvek hodnotu z tohto segmentu, napríklad -4, a dosaďte hodnotu x do každej z modulárnych rovníc.
x = -4
x-3=-4-3=-7 a x+3=-4+3=-1

Oba výrazy majú záporné znamienko, čo znamená, že pred znamienko modulu v rovnici dáme mínus a namiesto znamienka modulu dáme zátvorky a dostaneme požadovanú rovnicu na intervale (-∞;-3).

y= — (x-3)-( — (x+3))=-x+3+x+3=6

Na intervale (-∞;-3) bol získaný graf lineárnej funkcie (priamka) y=6

2. Zvážte druhý interval (-3;3). Poďme zistiť, ako bude grafová rovnica vyzerať na tomto segmente. Zoberme si ľubovoľné číslo od -3 do 3, napríklad 0. Dosaďte hodnotu x za hodnotu 0.
x=0
x-3=0-3=-3 a x+3=0+3=3

Prvý výraz x-3 má záporné znamienko a druhý výraz x+3 má kladné znamienko. Preto pred výraz x-3 napíšeme znamienko mínus a pred druhý výraz znamienko plus.

y= — (x-3)-( + (x+3))=-x+3-x-3=-2x

Na intervale (-3;3) sme dostali graf lineárnej funkcie (priamka) y=-2x

3. Uvažujme tretí interval (3;+∞). Zoberme si akúkoľvek hodnotu z tohto segmentu, napríklad 5, a dosaďte hodnotu x do každej z modulárnych rovníc.

x=5
x-3=5-3=2 a x+3=5+3=8

Pre oba výrazy vyšli znamienka kladne, to znamená, že pred znamienko modulu v rovnici dáme plus a namiesto znamienka modulu dáme zátvorky a dostaneme požadovanú rovnicu na intervale (3;+ ∞).

y= + (x-3)-( + (x+3))=x-3-x-3=-6

Na intervale (3;+∞) sme dostali graf lineárnej funkcie (priamka) у=-6

4. Teraz si zhrňme graf y=|x-3|-|x+3|.
Na intervale (-∞;-3) zostavíme graf lineárnej funkcie (priamka) y=6.
Na intervale (-3;3) zostavíme graf lineárnej funkcie (priamka) y=-2x.
Na zostrojenie grafu y = -2x vyberieme niekoľko bodov.
x=-3 y=-2*(-3)=6 výsledkom je bod (-3;6)
x=0 y=-2*0=0 výsledkom je bod (0;0)
x=3 y=-2*(3)=-6 výsledkom je bod (3;-6)
Na intervale (3;+∞) zostavíme graf lineárnej funkcie (priamka) у=-6.

5. Teraz analyzujme výsledok a odpovedzme na otázku, nájdite hodnotu k, ktorú má priamka y=kx s grafom y=|x-3|-|x+3| daná funkcia má práve jeden spoločný bod.

Priamka y=kx pre akúkoľvek hodnotu k bude vždy prechádzať bodom (0;0). Preto môžeme zmeniť iba sklon tejto priamky y=kx a za sklon je zodpovedný koeficient k.

Ak je k akékoľvek kladné číslo, potom bude existovať jeden priesečník priamky y=kx s grafom y=|x-3|-|x+3|. Táto možnosť nám vyhovuje.

Ak má k hodnotu (-2;0), potom priesečník priamky y=kx s grafom y=|x-3|-|x+3| budú tri táto možnosť nám nevyhovuje.

Ak k=-2, bude veľa riešení [-2;2], pretože priamka y=kx sa bude zhodovať s grafom y=|x-3|-|x+3| v tejto oblasti. Táto možnosť nám nevyhovuje.

Ak je k menšie ako -2, potom priamka y=kx s grafom y=|x-3|-|x+3| bude mať jednu križovatku Táto možnosť nám vyhovuje.

Ak k=0, potom priesečník priamky y=kx s grafom y=|x-3|-|x+3| bude aj jedna táto možnosť nám vyhovuje.

Odpoveď: keď k patrí do intervalu (-∞;-2)U a rastie na intervale )