Piramis. Csonka piramis

Piramis poliédernek nevezzük, melynek egyik lapja sokszög ( bázis ), és az összes többi lap olyan háromszög, amelynek közös csúcsa ( oldalsó arcok ) (15. ábra). A piramist az ún helyes , ha alapja szabályos sokszög, és a gúla teteje az alap közepébe vetül (16. ábra). Olyan háromszög alakú piramist nevezünk, amelynek minden éle egyenlő tetraéder .

Oldalsó borda piramis az oldallap azon oldala, amely nem tartozik az alaphoz Magasság A piramis a csúcsa és az alap síkja közötti távolság. Egy szabályos gúla minden oldaléle egyenlő egymással, minden oldallap egyenlő egyenlő szárú háromszögek. A csúcsból húzott szabályos gúla oldallapjának magasságát ún apothema . átlós szakasz A gúla egy szakaszát olyan síknak nevezzük, amely két olyan oldalélen halad át, amelyek nem tartoznak ugyanahhoz a laphoz.

Oldalsó felület piramist az összes oldallap területének összegének nevezzük. Teljes felület az összes oldallap és az alap területének összege.

Tételek

1. Ha egy gúla minden oldalsó éle egyformán dől az alap síkjához, akkor a gúla teteje a körülírt kör közepébe vetül az alap közelében.

2. Ha a piramisban minden oldalél rendelkezik egyenlő hosszúságúak, akkor a gúla tetejét a körülírt kör közepébe vetítjük az alap közelében.

3. Ha a piramisban minden lap egyformán dől az alap síkjához, akkor a gúla teteje az alapba írt kör középpontjába vetül.

Egy tetszőleges piramis térfogatának kiszámításához a képlet helyes:

ahol V- hangerő;

S fő- alapterület;

H a piramis magassága.

Egy szabályos piramisra a következő képletek igazak:

ahol p- az alap kerülete;

h a- apotém;

H- magasság;

S tele

S oldal

S fő- alapterület;

V egy szabályos piramis térfogata.

csonka piramis a gúla alapja és a vágósík közé zárt, a gúla alapjával párhuzamos részét nevezzük (17. ábra). Helyes csonka piramis a szabályos gúla része, amely az alap és a gúla alapjával párhuzamos vágási sík közé záródik.

Alapok csonka piramis - hasonló sokszögek. Oldalsó arcok - trapéz alakú. Magasság A csonka piramist alapjai közötti távolságnak nevezzük. Átlós A csonka piramis egy szakasz, amely összeköti a csúcsait, amelyek nem fekszenek ugyanazon a lapon. átlós szakasz A csonka gúla egy szakaszát két olyan oldalélen áthaladó síknak nevezzük, amelyek nem tartoznak ugyanahhoz a laphoz.

Csonka piramis esetén a következő képletek érvényesek:

(4)

ahol S 1 , S 2 - a felső és az alsó bázis területei;

S tele a teljes felület;

S oldal az oldalsó felület;

H- magasság;

V a csonka gúla térfogata.

Egy szabályos csonka piramisra a következő képlet igaz:

ahol p 1 , p 2 - alap kerületek;

h a- a szabályos csonka piramis apotémája.

1. példa Egy szabályos háromszög alakú piramisban a diéder szöge az alapnál 60º. Határozza meg az oldalél dőlésszögének érintőjét az alap síkjához!

Megoldás. Készítsünk rajzot (18. ábra).

A piramis szabályos, ami azt jelenti, hogy az alap egyenlő oldalú háromszög, és minden oldallapja egyenlő egyenlő szárú háromszög. A diéder szög az alapnál a piramis oldallapjának az alap síkjához viszonyított dőlésszöge. A lineáris szög lesz a szög a két merőleges között: i.e. A piramis csúcsa a háromszög középpontjába van vetítve (a körülírt kör középpontja és a háromszögbe írt kör ABC). Az oldalborda dőlésszöge (pl SB) maga az él és az alapsíkra való vetülete közötti szög. A bordához SB ez a szög lesz a szög SBD. Az érintő megtalálásához ismernie kell a lábakat ÍGYés OB. Legyen a szegmens hossza BD a 3 a. pont O vonalszakasz BD részekre oszlik: és Attól találjuk ÍGY: Innen találjuk:

Válasz:

2. példa Határozzuk meg egy szabályos csonka négyszög alakú gúla térfogatát, ha alapjainak átlói cm és cm, magassága pedig 4 cm!

Megoldás. Egy csonka gúla térfogatának meghatározásához a (4) képletet használjuk. Az alapok területeinek meghatározásához meg kell találni az alapnégyzetek oldalait, átlójuk ismeretében. Az alapok oldala 2 cm, illetve 8 cm Ez az alapok területeit jelenti és az összes adatot behelyettesítve a képletbe, kiszámítjuk a csonka gúla térfogatát:

Válasz: 112 cm3.

3. példa Határozzuk meg egy szabályos háromszög alakú csonka gúla oldallapjának területét, amelynek alapjai 10 cm és 4 cm, a gúla magassága pedig 2 cm.

Megoldás. Készítsünk rajzot (19. ábra).

Ennek a piramisnak az oldallapja az egyenlőszárú trapéz. A trapéz területének kiszámításához ismernie kell az alapokat és a magasságot. Az alapok állapot szerint vannak megadva, csak a magasság marad ismeretlen. Keresse meg honnan DE 1 E merőleges egy pontból DE 1 az alsó alap síkján, A 1 D- merőlegesen DE 1 on AC. DE 1 E\u003d 2 cm, mivel ez a piramis magassága. A megtalálásért DE készítünk egy további rajzot, amelyen felülnézetet fogunk ábrázolni (20. ábra). Pont O- a felső és alsó alapok középpontjának vetülete. mivel (lásd 20. ábra) és Másrészt rendben a beírt kör sugara és OM a beírt kör sugara:

MK=DE.

A Pitagorasz-tétel szerint abból

Oldalsó arc területe:

Válasz:

4. példa A piramis alján egyenlő szárú trapéz található, melynek alapjai aés b (a> b). Mindegyik oldallap szöget zár be a piramis alapjának síkjával j. Határozza meg a piramis teljes felületét.

Megoldás. Készítsünk rajzot (21. ábra). A piramis teljes felülete SABCD egyenlő a területek és a trapéz területének összegével ABCD.

Azt az állítást használjuk, hogy ha a piramis minden lapja egyformán dől az alap síkjához, akkor a csúcs az alapba írt kör középpontjába vetül. Pont O- csúcsvetítés S a piramis tövében. Háromszög GYEP a háromszög ortogonális vetülete CSD az alapsíkhoz. Az ortogonális vetületi terület tételével lapos alak kapunk:

Hasonlóképpen azt jelenti Így a probléma a trapéz területének megtalálására csökkent ABCD. Rajzolj egy trapézt ABCD külön-külön (22. ábra). Pont O a trapézba írt kör középpontja.

Mivel a kör trapézba írható, akkor vagy A Pitagorasz-tétel szerint van

- Ez egy poliéder, amelyet a piramis alapja és egy vele párhuzamos szakasz alkot. Azt mondhatjuk, hogy a csonka piramis egy levágott tetejű piramis. Ennek a figurának számos egyedi tulajdonsága van:

• A piramis oldallapjai trapéz alakúak;
• A szabályos csonka gúla oldalsó bordái azonos hosszúságúak és azonos szögben hajlanak az alaphoz;
• Az alapok hasonló sokszögek;
• Egy szabályos csonka piramisban a lapok azonos, egyenlő szárú trapézok, amelyek területe egyenlő. Ezenkívül egy szögben dőlnek az alaphoz.

A csonka gúla oldalfelületének területének képlete az oldalak területének összege:

Mivel a csonka piramis oldalai trapéz alakúak, a paraméterek kiszámításához a képletet kell használni. trapéz alakú terület. Szabályos csonka piramis esetén egy másik képlet is alkalmazható a terület kiszámítására. Mivel minden oldala, lapja és szöge az alapnál egyenlő, lehetséges az alap és az apotém kerülete, valamint az alapnál lévő szögből származtatni a területet.

Ha egy szabályos csonka gúlában a feltételek szerint adott az apotém (az oldal magassága) és az alap oldalainak hossza, akkor a terület a kerületek összegének félszorzatán keresztül számítható ki. az alapok és az apotém:

Nézzünk egy példát a csonka piramis oldalfelületének kiszámítására.
Adott egy szabályos ötszögletű piramis. Apothem l\u003d 5 cm, az arc hossza a nagy alapban a\u003d 6 cm, és az arc a kisebb alapon van b\u003d 4 cm. Számítsa ki a csonka gúla területét!

Először is keressük meg az alapok kerületét. Mivel egy ötszögletű piramist kapunk, megértjük, hogy az alapok ötszögek. Ez azt jelenti, hogy az alapok öt azonos oldalú figurák. Keresse meg a nagyobb alap kerületét:

Ugyanígy megtaláljuk a kisebb alap kerületét is:

Most kiszámolhatjuk egy szabályos csonka piramis területét. Az adatokat a képletben helyettesítjük:

Így kiszámítottuk egy szabályos csonka piramis területét a kerületeken és az apotémen keresztül.

Egy másik módszer a szabályos piramis oldalfelületének kiszámítására a képlet az alap sarkain és ezeknek az alapoknak a területén keresztül.

Nézzünk egy számítási példát. Ne feledje, hogy ez a képlet csak egy szabályos csonka piramisra vonatkozik.

Legyen adott egy szabályos négyszög alakú piramis. Az alsó alap lapja a = 6 cm, a felső lapja b = 4 cm. A diéderszög az alapnál β = 60°. Határozza meg egy szabályos csonka gúla oldalfelületét.

Először is számítsuk ki az alapok területét. Mivel a piramis szabályos, az alapok minden lapja egyenlő egymással. Tekintettel arra, hogy az alap négyszög, megértjük, hogy ki kell számítani négyzet alakú terület. Ez a szélesség és hosszúság szorzata, de négyzetesen ezek az értékek megegyeznek. Keresse meg a nagyobb alap területét:


Most a talált értékeket használjuk az oldalfelület kiszámításához.

Néhány egyszerű képlet ismeretében könnyen kiszámítottuk egy csonka gúla oldalsó trapézjának területét különféle értékeken keresztül.

A térbeli alakzatok térfogatának kiszámításának képessége számos geometriai gyakorlati probléma megoldásában fontos. Az egyik leggyakoribb forma a piramis. Ebben a cikkben a piramisokat fogjuk megvizsgálni, mind teljes, mind csonka formában.

Piramis mint háromdimenziós figura

Mindenki tud kb egyiptomi piramisok, ezért jól látható, hogy melyik ábráról lesz szó. Mindazonáltal az egyiptomi kőépítmények csak különleges esetei a piramisok hatalmas osztályának.

A vizsgált geometriai objektum általános esetben egy sokszögű alap, amelynek minden csúcsa a tér valamely pontjához kapcsolódik, amely nem tartozik az alapsíkhoz. Ez a meghatározás egy n-szögből és n háromszögből álló ábrához vezet.

Bármely piramis n+1 lapból, 2*n élből és n+1 csúcsból áll. Mivel a vizsgált ábra egy tökéletes poliéder, a jelölt elemek száma megfelel az Euler-egyenletnek:

2*n = (n+1) + (n+1) - 2.

Az alján található sokszög adja a piramis nevét, például háromszög, ötszög stb. Az alábbi képen különböző alapokkal rendelkező piramisok készlete látható.

Azt a pontot, ahol az ábra n háromszöge összekapcsolódik, a piramis csúcsának nevezzük. Ha egy merőlegest leeresztünk róla az alapra, és a geometriai középpontban metszi, akkor egy ilyen alakot egyenesnek nevezünk. Ha ez a feltétel nem teljesül, akkor van egy ferde piramis.

Egy egyenes alakzatot, melynek alapját egy egyenlő oldalú (egyenszögű) n-szög alkotja, szabályosnak nevezzük.

Piramis térfogat képlete

A piramis térfogatának kiszámításához integrálszámítást használunk. Ehhez az ábrát az alappal párhuzamos metszősíkokkal végtelen számú vékony rétegre osztjuk. Az alábbi ábrán egy h magasságú és L oldalhosszúságú négyszög alakú gúla látható, amelyben egy vékony metszetréteg négyszöggel van megjelölve.

Az egyes rétegek területe a következő képlettel számítható ki:

A(z) = A0*(h-z)2/h2.

Itt A 0 az alap területe, z a függőleges koordináta értéke. Látható, hogy ha z = 0, akkor a képlet A 0 értéket ad.

A piramis térfogatának képletéhez ki kell számítani az integrált az ábra teljes magasságában, azaz:

V = ∫ h 0 (A(z)*dz).

Az A(z) függőséget behelyettesítve és az antiderivatívát kiszámítva a következő kifejezéshez jutunk:

V = -A 0 *(h-z) 3 /(3*h 2)| h 0 \u003d 1/3 * A 0 * h.

Megkaptuk a piramis térfogatának képletét. A V értékének meghatározásához elegendő megszorozni az ábra magasságát az alap területével, majd az eredményt elosztani hárommal.

Vegye figyelembe, hogy az eredményül kapott kifejezés egy tetszőleges típusú piramis térfogatának kiszámítására érvényes. Vagyis ferde lehet, alapja pedig tetszőleges n-szög lehet.

és a térfogata

A fenti bekezdésben érkezett általános képlet térfogatra finomítható szabályos talpú gúla esetén. Egy ilyen alap területét a következő képlettel számítjuk ki:

A 0 = n/4*L 2 *ctg(pi/n).

Itt L egy n csúcsú szabályos sokszög oldalhossza. A pi szimbólum a pi szám.

Az A 0 kifejezést behelyettesítve az általános képletbe, megkapjuk egy szabályos piramis térfogatát:

V n = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n).

Például egy háromszög alakú piramis esetében ez a képlet a következő kifejezéshez vezet:

V 3 \u003d 3/12 * L 2 * h * ctg (60 o) \u003d √3 / 12 * L 2 * h.

Egy szabályos négyszög alakú piramis esetében a térfogatképlet a következőképpen alakul:

V 4 \u003d 4/12 * L 2 * h * ctg (45 o) \u003d 1/3 * L 2 * h.

A szabályos piramisok térfogatának meghatározásához ismerni kell alapjuk oldalát és az ábra magasságát.

Piramis csonka

Tegyük fel, hogy vettünk egy tetszőleges piramist, és levágtuk az oldalfelületének a csúcsot tartalmazó részét. A fennmaradó alakot csonka piramisnak nevezzük. Már két n-szögű alapból és n trapézből áll, amelyek összekötik őket. Ha a vágási sík párhuzamos volt az ábra alapjával, akkor egy csonka gúlát képezünk párhuzamos hasonló alapokkal. Vagyis az egyik oldalának hosszát úgy kaphatjuk meg, hogy a másik oldalának hosszát megszorozzuk valamilyen k együtthatóval.

A fenti ábrán egy csonka szabályos látható, melynek felső bázisát az alsóhoz hasonlóan szabályos hatszög alkotja.

A fentihez hasonló integrálszámítással levezethető képlet a következő:

V = 1/3*ó*(A 0 + A 1 + √(A 0 * A 1)).

Ahol A 0 és A 1 az alsó (nagy) és a felső (kis) bázis területei. A h változó a csonka gúla magasságát jelöli.

Kheopsz piramisának térfogata

Kíváncsi a legnagyobb egyiptomi piramis térfogatának meghatározására vonatkozó probléma megoldása.

1984-ben Mark Lehner és Jon Goodman brit egyiptológusok meghatározták a Kheopsz-piramis pontos méreteit. Eredeti magassága 146,50 méter volt (jelenleg körülbelül 137 méter). Az építmény mind a négy oldalának átlagos hossza 230,363 méter volt. A piramis alapja nagy pontosságú négyzet alakú.

A megadott számadatok segítségével határozzuk meg ennek a kőóriásnak a térfogatát. Mivel a piramis szabályos négyszög, ezért a képlet érvényes rá:

A számokat beillesztve a következőket kapjuk:

V 4 \u003d 1/3 * (230,363) 2 * 146,5 ≈ 2591444 m 3.

Kheopsz piramisának térfogata közel 2,6 millió m 3. Összehasonlításképpen megjegyezzük, hogy az olimpiai medence térfogata 2,5 ezer m 3. Vagyis a teljes Kheopsz-piramis feltöltéséhez több mint 1000 ilyen medencére lesz szükség!

Az olyan poliédert, amelyben az egyik lap sokszög, a többi lap pedig közös csúcsú háromszög, piramisnak nevezzük.

Ezeket a piramist alkotó háromszögeket ún oldalsó arcok, a fennmaradó sokszög pedig alapján piramisok.

A piramis alján fekszik geometriai alakzat– n-gon. Ebben az esetben a piramist is ún n-szén.

Olyan háromszög alakú piramist nevezünk, amelynek minden éle egyenlő tetraéder.

A piramisnak az alaphoz nem tartozó éleit ún oldalsó, és közös pontjuk az csúcs piramisok. A piramis többi élét általában ún alapítványi pártok.

A piramist az ún helyes, ha az alapjában szabályos sokszög van, és minden oldalél egyenlő egymással.

A piramis csúcsa és az alap síkja közötti távolságot ún magas piramisok. Azt mondhatjuk, hogy a gúla magassága az alapra merőleges szakasz, melynek végei a gúla tetején és az alap síkján vannak.

Bármely piramisra a következő képletek érvényesek:

1) S teljes \u003d S oldal + S fő, ahol

S full - a piramis teljes felületének területe;

S oldal - oldalfelület, i.e. a piramis összes oldallapja területének összege;

S alap - a piramis alapjának területe.

2) V = 1/3 S fő N, ahol

V a piramis térfogata;

H a piramis magassága.

Mert helyes piramis bekövetkezik:

S oldal = 1/2 P fő h, ahol

P fő - a piramis alapjának kerülete;

h az apotém hossza, azaz a gúla tetejétől leeresztett oldallap magasságának hossza.

A piramis két sík - az alap síkja és a vágósík - közé zárt, az alappal párhuzamosan húzott részét ún. csonka piramis.

A gúla alapját és a gúla párhuzamos síkbeli metszetét ún okokból csonka piramis. A többi arcot hívják oldalsó. Az alapok síkjai közötti távolságot ún magas csonka piramis. A nem bázisokhoz tartozó éleket hívjuk oldalsó.

Ezen kívül a csonka piramis alapjai hasonló n-gonok. Ha a csonka gúla alapjai az szabályos sokszögek, és minden oldalél egyenlő egymással, akkor egy ilyen csonka gúlát nevezünk helyes.

Mert tetszőleges csonka piramis a következő képletek érvényesek:

1) S teljes \u003d S oldal + S 1 + S 2, ahol

S teljes - teljes felület;

S oldal - oldalfelület, i.e. a csonka gúla összes oldallapjának területeinek összege, amelyek trapéz alakúak;

S 1, S 2 - alapterületek;

2) V = 1/3 (S 1 + S 2 + √ (S 1 S 2))H, ahol

V a csonka gúla térfogata;

H a csonka gúla magassága.

Mert szabályos csonka piramis nálunk is van:

S oldal \u003d 1/2 (P 1 + P 2) h, ahol

P 1, P 2 - az alapok kerülete;

h - apothem (az oldallap magassága, amely trapéz).

Tekintsünk néhány problémát egy csonka piramison.

1. feladat.

Egy 10 magasságú háromszög alakú csonka gúlában az egyik alap oldalai 27, 29 és 52. Határozzuk meg a csonka gúla térfogatát, ha a másik alap kerülete 72!

Megoldás.

Tekintsük az ábrán látható ABCA 1 B 1 C 1 csonka piramist 1.ábra.

1. A csonka gúla térfogata a képlettel határozható meg

V = 1/3H (S 1 + S 2 + √(S 1 S 2)), ahol S 1 az egyik bázis területe, megtalálható a Heron képlet segítségével

S = √(p(p – a)(p – b)(p – c)),

mert A feladat adott egy háromszög három oldalának hossza.

Van: p 1 \u003d (27 + 29 + 52) / 2 \u003d 54.

S 1 \u003d √ (54 (54 - 27) (54 - 29) (54 - 52)) \u003d √ (54 27 25 2) \u003d 270.

2. A piramis csonka, ami azt jelenti, hogy hasonló sokszögek vannak az alapokon. Esetünkben az ABC háromszög hasonló az A 1 B 1 C 1 háromszöghöz. Ezenkívül a hasonlósági együttható megtalálható a vizsgált háromszögek kerületének arányaként, és területük aránya megegyezik a hasonlósági együttható négyzetével. Így a következőkkel rendelkezünk:

S 1 /S 2 \u003d (P 1) 2 / (P 2) 2 \u003d 108 2 / 72 2 \u003d 9/4. Ezért S 2 \u003d 4S 1 / 9 \u003d 4 270/9 \u003d 120.

Tehát V = 1/3 10(270 + 120 + √(270 120)) = 1900.

Válasz: 1900.

2. feladat.

Egy háromszög alakú csonka gúlában a felső alap oldalának a szemközti oldalélével párhuzamos síkot húzunk át. Milyen arányban oszlik meg a csonka gúla térfogata, ha az alapok megfelelő oldalai 1:2 arányban állnak egymással?

Megoldás.

Tekintsük az ABCA 1 B 1 C 1-et - egy csonka piramist, amely a képen látható rizs. 2.

Mivel az alapoknál az oldalak 1:2 arányban állnak egymással, akkor az alapok területei 1:4-hez viszonyítanak (az ABC háromszög hasonló az A 1 B 1 C 1 háromszöghöz).

Ekkor a csonka piramis térfogata:

V = 1/3 óra (S 1 + S 2 + √(S 1 S 2)) = 1/3 óra (4S 2 + S 2 + 2S 2) = 7/3 h S 2, ahol S 2 a ​a felső alap, h a magasság.

De az ADEA 1 B 1 C 1 prizma térfogata V 1 = S 2 h, és ezért

V 2 \u003d V - V 1 \u003d 7/3 h S 2 - h S 2 \u003d 4/3 h S 2.

Tehát V 2: V 1 \u003d 3: 4.

Válasz: 3:4.

3. feladat.

Egy szabályos négyszögletű csonka gúla alapjainak oldalai 2 és 1, magassága 3. A gúla átlóinak metszéspontján a gúla alapjaival párhuzamos síkot húzunk, amely a gúlát két részre osztja. . Keresse meg mindegyik térfogatát.

Megoldás.

Tekintsük az ábrán látható ABCD 1 B 1 C 1 D 1 csonka piramist rizs. 3.

Jelöljük O 1 O 2 \u003d x, majd OO₂ \u003d O 1 O - O 1 O 2 \u003d 3 - x.

Tekintsük a B 1 O 2 D 1 háromszöget és a BO 2 D háromszöget:

a B 1 O 2 D 1 szög egyenlő a BO 2 D függőleges szöggel;

a ВDO 2 szög egyenlő a D 1 B 1 O 2 szöggel, és az O 2 ВD szög egyenlő a B 1 D 1 O 2 szöggel, amely a B 1 D 1 pontnál keresztben fekszik || BD és szekánsok B₁D és BD1.

Ezért a B 1 O 2 D 1 háromszög hasonló a BO 2 D háromszöghez, és az oldalak aránya:

B1D 1 / BD \u003d O 1 O 2 / OO 2 vagy 1/2 \u003d x / (x - 3), ahonnan x \u003d 1.

Tekintsük a В 1 D 1 В háromszöget és az LO 2 B háromszöget: a В szög közös, és a B 1 D 1 pontban is van egyoldalú szögpár || LM, akkor a B 1 D 1 B háromszög hasonló az LO 2 B háromszöghez, ahonnan B 1 D: LO 2 \u003d OO 1: OO 2 \u003d 3: 2, azaz.

LO 2 \u003d 2/3 B 1 D 1, LN = 4/3 B 1 D 1.

Ekkor S KLMN = 16/9 S A 1 B 1 C 1 D 1 = 16/9.

Tehát V 1 \u003d 1/3 2 (4 + 16/9 + 8/3) \u003d 152/27.

V 2 \u003d 1/3 1 (16/9 + 1 + 4/3) \u003d 37/27.

Válasz: 152/27; 37/27.

blog.site, az anyag teljes vagy részleges másolásakor a forrásra mutató hivatkozás szükséges.