Tizedes törtek osztása természetes számokkal. Tizedes osztás, szabályok, példák, megoldások

felosztási szabály tizedes törtek a egész számok.

Négy egyforma játék összesen 921 rubel 20 kopejkába került. Mennyibe kerül egy játék (lásd 1. ábra)?

Rizs. 1. A probléma illusztrációja

Megoldás

Egy játék költségének meghatározásához ezt az összeget el kell osztani néggyel. Váltsuk át az összeget kopekkára:

Válasz: egy játék ára 23 030 kopekka, azaz 230 rubel 30 kopecka vagy 230,3 rubel.

Megoldhatja ezt a problémát anélkül, hogy a rubelt kopejkává alakítaná át, vagyis elosztaná a tizedes törtet egy természetes számmal:.

Egy tizedes tört természetes számmal való osztásához el kell osztania a törtet ezzel a számmal, mivel a természetes számok felosztásra kerülnek, és privát vesszőbe kell tenni, amikor a teljes rész felosztása véget ért.

Úgy osztunk egy oszlopban, ahogy osztjuk a természetes számokat. Miután lebontottuk a 2-es számot (a tizedek száma a tizedesvessző utáni első számjegy a 921,20 osztalék rekordjában), vesszőt a hányadosba, és folytassa az osztást:

Válasz: 230,3 rubel.

Úgy osztunk egy oszlopban, ahogy osztjuk a természetes számokat. Miután kivettük a 6-os számot (a tizedek száma a tizedesvessző utáni szám az osztalék 437,6 rekordjában), tegyen vesszőt a hányadosba, és folytassa az osztást:

Ha az osztalék kisebb, mint az osztó, akkor a hányados nulláról indul.

Az 1 nem osztható 19-cel, ezért a hányadosba nullát teszünk. Az egész rész felosztása véget ért, a privátban vesszőt teszünk. Lebontjuk a 7-et. A 17 nem osztható 19-cel, privátban nullát írunk. Lebontjuk 6-ot és folytatjuk a felosztást:

Úgy osztunk, ahogy osztjuk a természetes számokat. A hányadosba vesszőt teszünk, amint levesszük a 8-at - a tizedesvessző utáni első számjegyet az osztalékban 74,8. Folytassuk a felosztást. Kivonáskor 8-at kapunk, de még nincs vége az osztásnak. Tudjuk, hogy a tizedes tört végére nullákat is lehet adni – ez nem fogja megváltoztatni a tört értékét. Nullát rendelünk, és 80-at elosztunk 10-zel. 8-at kapunk - az osztásnak vége.

Egy tizedes tört 10-zel, 100-zal, 1000-zel stb. való osztásához a törtben lévő vesszőt annyi számjeggyel kell balra mozgatni, ahány az osztóban egy után nulla van.

A ezt a leckét Megtanultuk, hogyan kell elosztani egy tizedes törtet természetes számmal. Egy közönséges természetes számmal rendelkező változatot vettünk figyelembe, valamint egy olyan változatot, amelyben bitegységgel való osztás történik (10, 100, 1000 stb.).

Oldja meg az egyenleteket:

Ismeretlen osztó kereséséhez el kell osztani az osztalékot a hányadossal. Azaz .

Oszlopra osztjuk. Miután lebontottuk a 4-es számot (a tizedek száma a tizedesvessző utáni első számjegy az osztalék 134,4 rekordjában), tegyen vesszőt a hányadosba, és folytassa az osztást:

Ebben a cikkben egy olyan fontos, tizedes törtekkel végzett műveletet elemezünk, mint az osztás. Először megfogalmazzuk Általános elvek, akkor elemezzük, hogyan lehet helyesen osztani a tizedes törteket egy oszloppal mind más törtekre, mind természetes számokra. Ezután elemezzük a közönséges törtek tizedesjegyekre való felosztását és fordítva, és a végén meglátjuk, hogyan kell megfelelően felosztani a 0, 1, 0, 01, 100, 10 stb. végű törteket.

Itt csak a pozitív törtszámú eseteket vesszük figyelembe. Ha a tört előtt mínusz van, akkor a vele való cselekvéshez meg kell tanulmányoznia a racionális és valós számok felosztásáról szóló anyagot.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Minden tizedes tört, véges és periodikus is, igazságos speciális forma közönséges törtek jelölése. Ezért ugyanazok az elvek vonatkoznak rájuk, mint a megfelelő közönséges törtekre. Így a tizedes törtek felosztásának teljes folyamatát lecsökkentjük a közönséges törtekre való helyettesítésre, majd a számításokat az általunk már ismert módszerekkel. Vegyünk egy konkrét példát.

1. példa

Ossza el az 1,2-t 0,48-cal.

Megoldás

A tizedes törteket közönséges törtek formájában írjuk. Képesek leszünk:

1 , 2 = 12 10 = 6 5

0 , 48 = 48 100 = 12 25 .

Így 6 5-öt el kell osztanunk 12 25-tel. Hisszük:

1, 2: 0, 48 = 6 2: 12 25 = 6 5 25 12 = 6 25 5 12 = 5 2

A keletkezőből helytelen tört kiválaszthatja az egész részt, és vegyes számot kaphat 2 1 2, vagy ábrázolhatja tizedes törtként, hogy megegyezzen az eredeti számokkal: 5 2 \u003d 2, 5. Hogyan kell ezt megtenni, már korábban írtunk.

Válasz: 1 , 2: 0 , 48 = 2 , 5 .

2. példa

Számítsd ki, hány lesz 0 , (504) 0 , 56 .

Megoldás

Először is át kell alakítanunk egy periodikus tizedes törtet közönségessé.

0 , (504) = 0 , 504 1 - 0 , 001 = 0 , 504 0 , 999 = 504 999 = 56 111

Ezt követően a végső tizedes törtet is lefordítjuk egy másik alakra: 0, 56 = 56 100. Most két számunk van, amelyekkel könnyen elvégezhetjük a szükséges számításokat:

0 , (504) : 1 , 11 = 56 111: 56 100 = 56 111 100 56 = 100 111

Van egy eredményünk, amit decimálisra is konvertálhatunk. Ehhez osztja el a számlálót a nevezővel az oszlop módszerrel:

Válasz: 0 , (504) : 0 , 56 = 0 , (900) .

Ha az osztási példában nem periodikus tizedes törtekkel találkoztunk, akkor egy kicsit másképp fogunk cselekedni. Ezeket nem tudjuk a szokásos közönséges törtekre hozni, ezért osztáskor először fel kell kerekíteni őket egy bizonyos számjegyre. Ezt a műveletet az osztóval és az osztóval is végre kell hajtani: a pontosság érdekében a meglévő véges vagy periodikus törtet is kerekítjük.

3. példa

Keresse meg, mennyi lesz a 0, 779 ... / 1, 5602.

Megoldás

Először is mindkét törtet századra kerekítjük. Így léphetünk át a végtelen, nem ismétlődő törtekről a véges tizedesjegyekre:

0 , 779 … ≈ 0 , 78

1 , 5602 ≈ 1 , 56

Folytathatjuk a számításokat, és hozzávetőleges eredményt kapunk: 0, 779 ...: 1, 5602 ≈ 0, 78: 1, 56 = 78100: 156100 = 78100 100156 = 78156 = 12 = 0,5.

Az eredmény pontossága a kerekítés mértékétől függ.

Válasz: 0 , 779 … : 1 , 5602 ≈ 0 , 5 .

Hogyan oszthatunk el egy természetes számot tizedessel és fordítva

Az osztás megközelítése ebben az esetben majdnem ugyanaz: a véges és periodikus törteket közönséges törtekre cseréljük, a végtelen nem periodikusakat pedig kerekítjük. Kezdjük a természetes számmal és egy tizedes törttel való osztás példájával.

4. példa

Ossza el a 2,5-öt 45-tel.

Megoldás

Vegyük 2, 5-öt egy közönséges tört alakjába: 255 10 \u003d 51 2. Ezután csak el kell osztanunk egy természetes számmal. Már tudjuk, hogyan kell ezt csinálni:

25, 5: 45 = 51 2: 45 = 51 2 1 45 = 17 30

Ha az eredményt decimális jelölésre fordítjuk, akkor 0 , 5 (6) -t kapunk.

Válasz: 25 , 5: 45 = 0 , 5 (6) .

Az oszlopos osztás nem csak természetes számokra jó. Hasonlatosan használhatjuk törtekre is. Az alábbiakban jelezzük az ehhez szükséges műveletek sorrendjét.

1. definíció

A tizedes törtek oszlopának természetes számokkal való osztásához a következőket kell tennie:

1. Adjunk hozzá néhány nullát a jobb oldali tizedes törthez (az osztáshoz tetszőleges számot adhatunk hozzá).

2. Ossza el a tizedes törtet egy természetes számmal egy algoritmus segítségével. Amikor a tört egész részének osztása véget ér, vesszőt teszünk a kapott hányadosba, és tovább számolunk.

Az ilyen osztás eredménye lehet véges vagy végtelen periodikus tizedes tört. A maradéktól függ: ha nulla, akkor az eredmény véges lesz, és ha a maradékok ismétlődnek, akkor a válasz periodikus tört lesz.

Vegyünk példának néhány feladatot, és próbáljuk meg ezeket a lépéseket konkrét számokkal kiegészíteni.

5. példa

Számítsd ki, mennyi lesz 65, 14 4.

Megoldás

Az oszlopos módszert használjuk. Ehhez adjon hozzá két nullát a törthez, és kapja meg a 65, 1400 tizedestörtet, amely megegyezik az eredetivel. Most írunk egy oszlopot a 4-gyel való osztáshoz:

A kapott szám a szükséges egész rész elosztásának eredménye lesz. Vesszőt teszünk, elválasztva, és folytatjuk:

Elértük a nulla maradékot, így a felosztási folyamat befejeződött.

Válasz: 65 , 14: 4 = 16 , 285 .

6. példa

Ossza el a 164,5-öt 27-tel.

Megoldás

Először elosztjuk a tört részt, és megkapjuk:

A kapott ábrát vesszővel választjuk el, és folytatjuk az osztást:

Látjuk, hogy a maradékok időszakosan ismétlődnek, és a kilences, kettős és ötös számok váltakoznak a hányadosban. Itt megállunk, és a választ periodikus törtként 6, 0 (925) írjuk.

Válasz: 164 , 5: 27 = 6 , 0 (925) .

Az ilyen osztás a fentebb már leírt privát tizedestört és természetes szám keresési folyamatára redukálható. Ehhez meg kell szoroznunk az osztót és az osztót 10-zel, 100-zal stb., hogy az osztó természetes számmá alakuljon. Ezután végrehajtjuk a fenti műveletsort. Ez a megközelítés az osztás és szorzás tulajdonságai miatt lehetséges. Szó szerinti formában így írtuk őket:

a: b = (a 10) : (b 10) , a: b = (a 100) : (b 100) és így tovább.

Fogalmazzuk meg a szabályt:

2. definíció

Egy utolsó tizedes tört egy másikkal való osztásához a következőket kell tennie:

1. Mozgassa a vesszőt az osztóban és az osztóban jobbra annyi karakterrel, amennyi szükséges az osztó természetes számmá alakításához. Ha nincs elég előjel az osztalékban, akkor a jobb oldalon nullákat adunk hozzá.

2. Ezt követően az oszlopos törtet elosztjuk a kapott természetes számmal.

Vessünk egy pillantást egy konkrét problémára.

7. példa

Osszuk el a 7, 287-et 2, 1-gyel.

Megoldás: Ahhoz, hogy az osztó természetes szám legyen, a vesszőt egy karakterrel jobbra kell mozgatnunk. Így folytattuk a 72, 87 tizedes tört elosztását 21-gyel. A kapott számokat írjuk fel egy oszlopba, és számoljunk

Válasz: 7 , 287: 2 , 1 = 3 , 47

8. példa

Számítsd ki a 16 , 3 0 , 021 .

Megoldás

A vesszőt három számjegyre kell mozgatnunk. Ehhez nincs elég számjegy az osztóban, ami azt jelenti, hogy további nullákat kell használni. Szerintünk a végeredmény:

A 4., 19., 1., 10., 16., 13. maradékok periodikus ismétlődését látjuk. A hányados ismétlődik 1 , 9 , 0 , 4 , 7 és 5 . Ekkor eredményünk a periodikus decimális 776 , (190476) .

Válasz: 16 , 3: 0 , 021 = 776 , (190476)

Az általunk leírt módszer ennek ellenkezőjét teszi lehetővé, vagyis egy természetes szám elosztását egy utolsó tizedes törttel. Lássuk, hogyan készült.

9. példa

Számold ki, hány lesz 3 5 , 4 .

Megoldás

Nyilvánvalóan a vesszőt egy karakterrel jobbra kell mozgatnunk. Ezt követően kezdhetjük el osztani 30-at 54-gyel. Írjuk az adatokat egy oszlopba, és számítsuk ki az eredményt:

A maradékot megismételve a 0 , (5) számot kapjuk, amely egy periodikus tizedes.

Válasz: 3: 5 , 4 = 0 , (5) .

Hogyan osszuk el a tizedesjegyeket 1000-zel, 100-zal, 10-zel stb.

A közönséges törtek már tanulmányozott felosztási szabályai szerint a tört tízesre, százasra, ezresre osztása hasonló 1/1000, 1/100, 1/10 stb. szorzásához. Kiderül, hogy az osztás végrehajtásához , ebben az esetben elég csak a vesszőt a kívánt számjegyekre mozgatni. Ha nincs elég érték a számban az átvitelhez, akkor hozzá kell adnia a szükséges számú nullát.

10. példa

Tehát 56, 21: 10 = 5, 621 és 0, 32: 100 000 = 0, 0000032.

Végtelen tizedesjegyek esetén ugyanezt tesszük.

11. példa

Például 3 , (56) : 1000 = 0 , 003 (56) és 593 , 374 ... : 100 = 5 , 93374 ... .

Hogyan osztjuk el a tizedesjegyeket 0,001-el, 0,01-el, 0,1-el stb.

Ugyanezt a szabályt alkalmazva a törteket is oszthatjuk a megadott értékekkel. Ez a művelet hasonló lesz 1000 , 100 , 10 szorzáshoz. Ehhez a vesszőt a probléma körülményeitől függően egy, két vagy három számjegyre mozgatjuk, és ha nincs elég számjegy a számban, nullákat adunk hozzá.

12. példa

Például 5, 739: 0, 1 = 57, 39 és 0, 21: 0, 00001 = 21 000.

Ez a szabály a végtelen tizedesjegyekre is vonatkozik. Csak azt tanácsoljuk, hogy legyen óvatos a válaszban kapott tört periódusával.

Tehát 7 , 5 (716) : 0 , 01 = 757 , (167) , mert miután a 7 , 5716716716 ... két számjeggyel jobbra tizedes jelölésben vesszőt mozgattunk, 757 , 167167 ... .

Ha a példában nem periodikus törtek vannak, akkor minden egyszerűbb: 394 , 38283 ... : 0 , 001 = 394382 , 83 ... .

Vegyes szám vagy közönséges tört elosztása tizedessel és fordítva

Ezt a műveletet a közönséges törtekkel végzett műveletekre is redukáljuk. Ehhez ki kell cserélni decimális számok megfelelő közönséges törteket, és a vegyes számot helytelen törtként írjuk be.

Ha egy nem periódusos törtet elosztunk egy közönséges vagy vegyes számmal, akkor az ellenkezőjét kell tennünk, közönséges tört vagy vegyes szám a hozzájuk tartozó tizedes törttel.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

Keresse meg a hányados első számjegyét (az osztás eredménye). Ehhez az osztalék első számjegyét el kell osztani az osztóval. Az eredményt írd az osztó alá!

Példánkban az osztalék első számjegye 3. Osszuk el 3-at 12-vel. Mivel a 3 kisebb, mint 12, akkor az osztás eredménye 0 lesz. Az osztó alá írjunk 0-t - ez a hányados első számjegye.

Az eredményt szorozzuk meg az osztóval. A szorzás eredményét írd az osztalék első számjegye alá, mivel ez az a szám, amelyet most elosztottál az osztóval.

Példánkban 0 × 12 = 0, ezért írjon 0-t a 3 alá.

Vonjuk ki a szorzás eredményét az osztalék első számjegyéből.Írja a válaszát egy új sorba.

Példánkban: 3 - 0 = 3. Írjon 3-at közvetlenül a 0 alá.

Mozgassa lefelé az osztalék második számjegyét. Ehhez írja fel az osztalék következő számjegyét a kivonás eredménye mellé.

Példánkban az osztalék 30. Az osztalék második számjegye 0. Mozgassa lefelé úgy, hogy 0-t ír a 3 mellé (a kivonás eredménye). A 30-as számot kapod.

Az eredményt osszuk el osztóval. Megtalálja a privát második számjegyét. Ehhez az alsó sorban lévő számot el kell osztani az osztóval.

Példánkban ossza el 30-at 12-vel. 30 ÷ 12 = 2 plusz némi maradék (mivel 12 x 2 = 24). Írjon 2-t 0 után az osztó alá - ez a hányados második számjegye.
Ha nem talál megfelelő számjegyet, ismételje végig a számjegyeket mindaddig, amíg bármely számjegy osztóval való szorzata kisebb lesz, és a legközelebb van az oszlop utolsó számához. Példánkban tekintsük a 3-as számot. Szorozzuk meg az osztóval: 12 x 3 = 36. Mivel a 36 nagyobb, mint 30, a 3-as szám nem megfelelő. Most vegyük a 2-es számot. 12 x 2 = 24. A 24 kisebb, mint 30, tehát a 2-es szám a helyes megoldás.

A következő számjegy megkereséséhez ismételje meg a fenti lépéseket. A leírt algoritmus bármely hosszú osztási feladatban használható.

A második hányadost szorozzuk meg az osztóval: 2 x 12 = 24.
Írja a szorzás eredményét (24) a (30) oszlop utolsó szám alá!
Vonja ki a kisebb számot a nagyobbból. Példánkban: 30 - 24 = 6. Írja az eredményt (6) egy új sorba.

Ha az osztalékban maradtak lefelé mozgatható számjegyek, folytassa a számítási folyamatot. Ellenkező esetben folytassa a következő lépéssel.

Példánkban az osztalék utolsó számjegye (0) lejjebb került. Tehát folytassa a következő lépéssel.

Ha szükséges, használjon tizedesvesszőt az osztalék növeléséhez. Ha az osztó egyenlően osztható az osztóval, akkor az utolsó sorban 0-t kapunk. Ez azt jelenti, hogy a feladat megoldódott, és a választ (egész szám formájában) az osztó alá írjuk. De ha a 0-tól eltérő számjegy van az oszlop legvégén, akkor ki kell bővítenie az osztalékot egy tizedesvesszővel és 0-val. Ne feledje, hogy ez nem változtatja meg az osztalék értékét.

Példánkban az utolsó sorban a 6. Ezért a 30-tól (osztalék) jobbra írjon egy tizedesvesszőt, majd írjon 0-t. A talált hányados számjegyek után tegyünk egy tizedesvesszőt is, amelyet a osztó (e vessző után még ne írj semmit!) .

Ismételje meg a fenti lépéseket a következő számjegy megkereséséhez. A lényeg, hogy ne felejtsünk el tizedesvesszőt tenni mind az osztalék, mind a privát számjegyek után. A folyamat többi része hasonló a fent leírt folyamathoz.

Példánkban mozgassa lefelé a 0-t (amit a tizedesvessző után írt). A 60-as számot kapjuk. Most osszuk el ezt a számot az osztóval: 60 ÷ 12 = 5. Írjunk 5-öt a 2 után (és a tizedesvessző után) az osztó alá. Ez a hányados harmadik számjegye. A végső válasz tehát 2,5 (a 2 előtti nulla figyelmen kívül hagyható).

A tizedes törtek természetes számokkal való osztásának szabálya.

Négy egyforma játék összesen 921 rubel 20 kopejkába került. Mennyibe kerül egy játék (lásd 1. ábra)?

Rizs. 1. A probléma illusztrációja

Megoldás

Egy játék költségének meghatározásához ezt az összeget el kell osztani néggyel. Váltsuk át az összeget kopekkára:

Válasz: egy játék ára 23 030 kopekka, azaz 230 rubel 30 kopecka vagy 230,3 rubel.

Megoldhatja ezt a problémát anélkül, hogy a rubelt kopejkává alakítaná át, vagyis elosztaná a tizedes törtet egy természetes számmal:.

Válasz: 230,3 rubel.

Ha az osztalék kisebb, mint az osztó, akkor a hányados nulláról indul.

Egy tizedes tört 10-zel, 100-zal, 1000-zel stb. való osztásához a törtben lévő vesszőt annyi számjeggyel kell balra mozgatni, ahány az osztóban egy után nulla van.

Ebben a leckében megtanultuk, hogyan kell elosztani egy tizedes törtet természetes számmal. Egy közönséges természetes számmal rendelkező változatot vettünk figyelembe, valamint egy olyan változatot, amelyben bitegységgel való osztás történik (10, 100, 1000 stb.).

Oldja meg az egyenleteket:

Ismeretlen osztó kereséséhez el kell osztani az osztalékot a hányadossal. Azaz .

Írjuk fel a szabályt, és példákkal vegyük figyelembe az alkalmazását.

Ha tizedes törtet osztunk természetes számmal:

1) oszd anélkül, hogy a vesszőre figyelne;

2) amikor az egész rész felosztása véget ér, tegyen vesszőt a privát részbe.

Ha az egész rész kisebb, mint az osztó, akkor a hányados egész része nulla.

Példák a tizedes törtek természetes számokkal való osztására.

Osztunk anélkül, hogy a vesszőre figyelnénk, azaz a 348-at osztjuk 6-tal. A 34-et 6-tal osztva 5-öt veszünk. 5 ∙ 6 \u003d 30, 34-30 \u003d 4, vagyis a maradék 4 .

A tizedes tört természetes számmal való osztása és az egész számok osztása között csak annyi a különbség, hogy amikor az egész rész osztása véget ért, vesszőt teszünk a hányadosba. Vagyis vesszőn áthaladva, mielőtt az egész rész, a 4, a tört részből a 8-as szám osztásának maradékára levennénk, vesszőt írunk a hányadosba.

Lebontás 8. 48:6=8. Privátban 8-at írunk.

Tehát 34,8:6=5,8.

Mivel az 5 nem osztható 12-vel, a hányadosba nullát írunk. Az egész rész felosztása véget ért, a privátban vesszőt teszünk.

Lebontjuk 1. Ha 51-et osztunk 12-vel, 4-et veszünk, a maradék 3.

Bontás 6. 36:12=3.

Így 5,16:12=0,43.

3) 0,646:38=?

Az osztalék egész része nulla. Mivel a nulla nem osztható 38-cal, ezért a hányadosba 0-t teszünk.. Az egész rész osztása véget ért, a hányadosba vesszőt írunk.