Területi képletek szabályos alakzatokhoz. Képlet: a helyiség területe és méretei

Az interneten több mint 10 képlet található egy háromszög területének kiszámításához, amelyek közül sokat a háromszög ismert oldalaival és szögeivel kapcsolatos problémák esetén használnak. Van azonban néhány nehéz példák ahol a hozzárendelés feltétele szerint a háromszögnek csak az egyik oldala és szögei, vagy a körülírt vagy beírt kör sugara és még egy jellemző ismeretes. Ilyen esetekben nem lehet egyszerű képletet alkalmazni.

Az alábbi képletek megoldják a problémák 95 százalékát, amelyekben meg kell találni a háromszög területét.
Térjünk át a közös terület képletek figyelembevételére.
Tekintsük az alábbi ábrán látható háromszöget

Az ábrán és a továbbiakban a képletekben minden jellemzőjének klasszikus elnevezése bemutatásra kerül
a,b,c a háromszög oldalai,
R a körülírt kör sugara,
r a beírt kör sugara,
h[b],h[a],h[c] - az a,b,c oldalak szerint rajzolt magasságok.
alfa, béta, hamma - sarkok a csúcsok közelében.

A háromszög területének alapképletei

1. A terület egyenlő a háromszög oldala és az erre az oldalra süllyesztett magasság szorzatának felével. A képlet nyelvében ez a meghatározás így írható fel

Így, ha ismert az oldal és a magasság, akkor minden tanuló megtalálja a területet.
Egyébként ebből a képletből levezethető egy hasznos összefüggés a magasságok között

2. Ha figyelembe vesszük, hogy a háromszög szomszédos oldalának magasságát a függés fejezi ki

Ezután a terület első képletéből kövesse a második azonos típusát

Nézze meg figyelmesen a képleteket – könnyen megjegyezhetőek, mert a műnek két oldala van, és egy szög van közöttük. Ha helyesen jelöljük ki a háromszög oldalait és szögeit (mint a fenti ábrán), akkor kettőt kapunk oldalak a,b a szög pedig a harmadikhoz kapcsolódik C (hamma).

3. A háromszög szögeire az összefüggés

A függőség lehetővé teszi, hogy a számításokban a következő képleteket alkalmazza egy háromszög területére

Példák erre a függőségre rendkívül ritkák, de emlékeznie kell arra, hogy létezik ilyen képlet.

4. Ha ismert az oldal és a két szomszédos szög, akkor a területet a képlet határozza meg

5. Az oldal és a szomszédos szögek kotangense szerinti terület képlete a következő

Az indexek átrendezésével függőséget kaphat a többi oldal számára.

6. Az alábbi területképletet olyan feladatokban használjuk, amikor egy háromszög csúcsai a síkon koordinátákkal vannak megadva. Ebben az esetben a terület egyenlő a modulo determináns felével.

7. Gém-képlet a háromszög ismert oldalaira vonatkozó példákban használatos.
Először keresse meg a háromszög fél kerületét

Ezután határozza meg a területet a képlet alapján

vagy

Gyakran használják a számológép-programok kódjában.

8. Ha a háromszög összes magassága ismert, akkor a területet a képlet határozza meg

Számológéppel nehéz kiszámolni, viszont a MathCad, Mathematica, Maple csomagokban a terület "egy kettő".

9. A következő képletek a beírt és körülírt körök ismert sugarait használják.

Különösen, ha egy háromszög sugara és oldalai, vagy kerülete ismertek, akkor a területet a képlet szerint számítják ki.

10. Azokban a példákban, ahol a körülírt kör oldalai és sugara vagy átmérője adott, a területet a képlet határozza meg

11. A következő képlet egy háromszög területét határozza meg a háromszög oldala és szögei szerint.

És végül - speciális esetek:
Egy derékszögű háromszög területe az a és b lábakkal egyenlő a szorzatuk felével

Egy egyenlő oldalú (szabályos) háromszög területének képlete=

\u003d az oldal négyzete és a három gyöke szorzatának egynegyede.

A geometriai problémák megoldásához ismernie kell a képleteket - például a háromszög területét vagy a paralelogramma területét -, valamint egyszerű trükköket, amelyekről beszélni fogunk.

Először tanuljuk meg az ábrák területeinek képleteit. Külön gyűjtöttük őket egy kényelmes táblázatba. Nyomtass, tanulj és jelentkezz!

Természetesen nem minden geometriai képlet szerepel a táblázatunkban. Például geometriai és sztereometriai feladatok megoldására a második részben profilvizsga a matematikában más képleteket is használnak a háromszög területére. Mindenképpen mesélni fogunk róluk.

De mi van, ha nem egy trapéz vagy háromszög területét kell megkeresnie, hanem valamilyen összetett alak területét? Vannak univerzális módszerek! Megmutatjuk őket a FIPI feladatbankból származó példákon keresztül.

1. Hogyan lehet megtalálni egy nem szabványos figura területét? Például egy tetszőleges négyszög? Egy egyszerű technika – bontsuk fel ezt az ábrát azokra, amelyekről mindannyian ismerünk, és keressük meg a területét – ezen figurák területeinek összegeként.

Osszuk ezt a négyszöget vízszintes vonallal két olyan háromszögre, amelyeknek közös alapja egyenlő. Ezeknek a háromszögeknek a magassága egyenlő és . Ekkor a négyszög területe egyenlő a két háromszög területének összegével: .

Válasz: .

2. Bizonyos esetekben az ábra területe bármely terület különbségeként ábrázolható.

Nem olyan egyszerű kiszámítani, hogy ebben a háromszögben mekkora alap és magasság! De azt mondhatjuk, hogy a területe egyenlő egy oldalú és három négyzet területeinek különbségével derékszögű háromszögek. Látod őket a képen? Kapunk: .

Válasz: .

3. Előfordul, hogy egy feladatban nem az egész ábra területét kell megkeresni, hanem annak egy részét. Általában egy szektor területéről beszélünk - egy kör részéről. Keresse meg egy olyan sugarú kör területét, amelynek ívhossza egyenlő.

Ezen a képen egy kör egy részét látjuk. Az egész kör területe egyenlő , mivel . Továbbra is ki kell deríteni, hogy a kör melyik része van ábrázolva. Mivel a teljes kör hossza (mióta), és ennek a szektornak az ívének hossza egyenlő, ezért az ív hossza többszörösen kisebb, mint a teljes kör hossza. Az a szög, amelyen ez az ív nyugszik, szintén többszörösen kisebb, mint egy teljes kör (azaz fok). Ez azt jelenti, hogy a szektor területe többszörösen kisebb lesz, mint a teljes kör területe.

Négyzet geometriai alakzat - egy geometriai alakzat numerikus jellemzője, amely ennek az alaknak a méretét mutatja (a felület zárt körvonala által határolt része). A terület nagyságát a benne lévő négyzetegységek száma fejezi ki.

Háromszög terület képletek

1. Háromszög terület képlete az oldalra és a magasságra
   Egy háromszög területe egyenlő a háromszög oldalának hosszának és az erre az oldalra húzott magasság hosszának a szorzatával
   
2. A háromszög területének képlete három oldallal és a körülírt kör sugarával
   
3. A képlet egy háromszög területének három oldalával és egy beírt kör sugarával
   Egy háromszög területe egyenlő a háromszög fél kerületének és a beírt kör sugarának szorzatával.
   
ahol S a háromszög területe,
- a háromszög oldalainak hossza,
- a háromszög magassága,
- az oldalak közötti szög és
- a beírt kör sugara,
R - a körülírt kör sugara,

Négyzetterület képletek

1. A négyzet területének képlete egy oldal hosszának függvényében
   négyzet alakú terület egyenlő az oldalhosszának négyzetével.
2. A négyzet területének képlete az átló hosszának függvényében
   négyzet alakú terület egyenlő az átlója hosszának négyzetének felével.
   

   S=	1	2
   	2

ahol S a négyzet területe,
a négyzet oldalának hossza,
a négyzet átlójának hossza.

Téglalap terület képlete

Téglalap terület egyenlő a két szomszédos oldala hosszának szorzatával

ahol S a téglalap területe,
a téglalap oldalainak hossza.

A paralelogramma területének képletei

1. Párhuzamos terület képlete az oldal hosszára és magasságára
   Párhuzamos terület
2. A paralelogramma területének képlete adott két oldal és a köztük lévő szög
   Párhuzamos terület egyenlő az oldalai hosszának a szorzatával a köztük lévő szög szinuszával.
   

   a b sinα

ahol S a paralelogramma területe,
a paralelogramma oldalainak hossza,
a paralelogramma magassága,
a paralelogramma oldalai közötti szög.

A rombusz területének képletei

1. A rombusz terület képlete adott oldalhossz és magasság
   Rombusz terület egyenlő az oldala hosszának és az erre az oldalra süllyesztett magasságának szorzatával.
2. A rombusz területének képlete az oldalhossz és a szög alapján
   Rombusz terület egyenlő az oldala hosszának négyzetének és a rombusz oldalai közötti szög szinuszának szorzatával.
3. A rombusz területének képlete az átlóinak hosszából
   Rombusz terület egyenlő az átlói hosszának a felével.
ahol S a rombusz területe,
- a rombusz oldalának hossza,
- a rombusz magasságának hossza,
- a rombusz oldalai közötti szög,
1, 2 - az átlók hossza.

Trapézfelület képletek

1. Heron képlete a trapézhoz

   ahol S a trapéz területe,
   - a trapéz alapjainak hossza,
   - a trapéz oldalainak hossza,
   

A síkidomok területének összes képlete

Egy egyenlő szárú trapéz területe

1. Egy egyenlő szárú trapéz területének képlete oldalak és szögek szerint

a - alsó alap

b - felső alap

c - egyenlő oldalak

α - szög az alsó alapnál

Az egyenlő szárú trapéz területének képlete az oldalak alapján, (S):

Az egyenlő szárú trapéz területének képlete az oldalak és a szög alapján, (S):

2. Az egyenlő szárú trapéz területének képlete a beírt kör sugara szerint

R- a beírt kör sugara

D- a beírt kör átmérője

O - beírt kör középpontja

H- a trapéz magassága

α, β - trapézszögek

Az egyenlő szárú trapéz területének képlete a beírt kör sugara szerint (S):

FAIR, egyenlő szárú trapézba írt körre:

3. Az egyenlő szárú trapéz területének képlete az átlók és a köztük lévő szög alapján

trapéz d-átlója

α,β- átlók közötti szögek

Az egyenlő szárú trapéz területének képlete az átlók és a köztük lévő szög tekintetében (S):

4. Az egyenlő szárú trapéz területének képlete középső vonal, oldalsó oldal és szög az alapnál

c- oldal

m- a trapéz középvonala

α, β - szögek az alapnál

Az egyenlő szárú trapéz területének képlete a középvonal, az oldalsó oldal és az alapnál mért szög tekintetében,

(S):

5. Az egyenlő szárú trapéz területének képlete az alapok és a magasság tekintetében

a - alsó alap

b - felső alap

h - a trapéz magassága

Az egyenlő szárú trapéz területének képlete alapban és magasságban (S):

Egy háromszög területe adott oldallal és két szöggel, képlet.

a, b, c - a háromszög oldalai

α, β, γ - ellentétes szögek

Egy háromszög oldala és két szöge (S):

A szabályos sokszög területének képlete

a - sokszög oldal

n - oldalak száma

Szabályos sokszög területe (S):

A háromszög területének (Heroni) képlete a fél kerületében (S):

Egy egyenlő oldalú háromszög területe:

Képletek egy egyenlő oldalú háromszög területének kiszámításához.

a háromszög a - oldala

h - magasság

Hogyan lehet kiszámítani egy egyenlő szárú háromszög területét?

b - a háromszög alapja

a - egyenlő oldalak

h - magasság

3. A trapéz területének képlete négy oldalra vonatkoztatva

a - alsó alap

b - felső alap

c, d - oldalak

A trapéz körülírt körének sugara az oldalakon és az átlókon

a - a trapéz oldalai

c - alsó alap

b - felső alap

d - átlós

h - magasság

A trapéz körülírt kör sugarának képlete (R)

keresse meg egy egyenlő szárú háromszög körülírt körének sugarát az oldalak mentén

Egy egyenlő szárú háromszög oldalainak ismeretében a képlet segítségével megkeresheti a háromszög körüli körülírt kör sugarát.

a, b - a háromszög oldalai

Egy egyenlő szárú háromszög körülírt körének sugara (R):

Beírt kör sugara hatszögben

a - hatszög oldala

Egy hatszögbe írt kör sugara (r):

Beírt kör sugara rombuszban

r - a beírt kör sugara

a rombusz a - oldala

D, d - átlók

h - gyémánt magasság

Egyenlőszárú trapézba írt kör sugara

c - alsó alap

b - felső alap

a - oldalak

h - magasság

Beírt kör sugara derékszögű háromszögben

a, b - a háromszög lábai

c - hypotenus

Beírt kör sugara egyenlő szárú háromszögben

a, b - a háromszög oldalai

Bizonyítsuk be, hogy a beírt négyszög területe:

\/(p - a) (p - b) (p - c) (p - d),

ahol p a fél kerülete, a, b, c és d pedig a négyszög oldalai.

Bizonyítsuk be, hogy a körbe írt négyszög területe:

1/2 (ab + cb) sin α, ahol a, b, c és d a négyszög oldalai, α pedig az a és b oldalak közötti szög.

S = √[ a ƀ c d] sin ½ (α + β). - Bővebben az FB.ru oldalon:

Egy tetszőleges négyszög területe (1.13. ábra) kifejezhető a, b, c oldalaival és egy ellentétes szögpár összegével:

ahol p a négyszög fél kerülete.

A körbe írt négyszög területét () (1.14. ábra, a) a Brahmagupta képlet segítségével számítjuk ki

és leírták (1.14. ábra, b) () - a képlet szerint

Ha a négyszöget egyszerre írjuk be és írjuk le (1.14. ábra, c), akkor a képlet meglehetősen egyszerűvé válik:

Peak Formula

A kockás papíron lévő sokszög területének becsléséhez elegendő kiszámítani, hogy ez a sokszög hány cellát fed le (a cella területét egységnek vesszük). Pontosabban, ha S a sokszög területe, akkor azoknak a celláknak a száma, amelyek teljes egészében a poligonon belül helyezkednek el, és azoknak a celláknak a száma, amelyeknek legalább egy közös pontja van a sokszög belsejével.

Az alábbiakban csak olyan sokszögeket fogunk figyelembe venni, amelyek mindegyikének csúcsa a kockás papír csomópontjaiban található - azokban, ahol a rácsvonalak metszik egymást. Kiderült, hogy az ilyen sokszögekhez a következő képletet adhatja meg:

ahol a terület, r azon csomópontok száma, amelyek szigorúan a poligonon belül helyezkednek el.

Ezt a képletet „csúcsképletnek” nevezik az 1899-ben felfedező matematikus után.

Ha saját maga tervezi a javításokat, akkor becslést kell készítenie az építő- és befejező anyagokra. Ehhez ki kell számítania annak a helyiségnek a területét, amelyben javítást tervez. Ebben a fő asszisztens egy speciálisan kialakított formula. A szoba területe, nevezetesen annak kiszámítása lehetővé teszi, hogy sok pénzt takarítson meg építőanyagokés a felszabaduló pénzügyi forrásokat megfelelőbb irányba terelje.

A szoba geometriai formája

A helyiség területének kiszámításának képlete közvetlenül függ a helyiség alakjától. A háztartási építményekre a legjellemzőbbek a téglalap és négyzet alakú helyiségek. Az átépítés során azonban a szabványos forma torzulhat. A szobák a következők:

• Négyszögletes.
• Négyzet.
• Komplex konfiguráció (például kerek).
• Fülkékkel és párkányokkal.

Mindegyiknek megvannak a saját számítási jellemzői, de általában ugyanazt a képletet használják. Bármilyen alakú és méretű helyiség területe, így vagy úgy, kiszámítható.

Négyszögletes vagy négyzet alakú szoba

Egy téglalap vagy négyzet alakú szoba területének kiszámításához ne feledje iskolai órákat geometria. Ezért nem lehet nehéz meghatározni a szoba területét. A számítási képlet így néz ki:

S szoba=A*B, hol

A a szoba hossza.

B a szoba szélessége.

Ezen értékek méréséhez rendszeres mérőszalagra lesz szüksége. A legpontosabb számítások érdekében érdemes a falat mindkét oldalon megmérni. Ha az értékek nem konvergálnak, akkor a kapott adatok átlagát vegyük alapul. De ne feledje, hogy minden számításnak megvannak a maga hibái, ezért az anyagot árréssel kell megvásárolni.

Komplex konfigurációjú szoba

Ha az Ön szobája nem tartozik a "tipikus" definíció alá, pl. kör, háromszög, sokszög alakú, akkor előfordulhat, hogy más képletre lesz szüksége a számításokhoz. Megpróbálhatja feltételesen felosztani az ilyen jellemzőkkel rendelkező szoba területét téglalap alakú elemekre, és számításokat végezhet a szokásos módon. Ha ez nem lehetséges az Ön számára, használja a következő módszereket:

• A képlet a kör területének meghatározásához:

S szoba \u003d π * R 2, ahol

R a szoba sugara.

• A háromszög területének meghatározásának képlete a következő:

S szoba = √ (P (P - A) x (P - B) x (P - C)), ahol

P a háromszög fél kerülete.

A, B, C az oldalainak hossza.

Ezért P \u003d A + B + C / 2

Ha a számítás során nehézségei vannak, akkor jobb, ha nem kínozza magát, és szakemberekhez fordul.

Szobarész párkányokkal és fülkékkel

A falakat gyakran díszítő elemekkel díszítik különféle fülkék vagy párkányok formájában. Jelenlétük annak is köszönhető, hogy el kell rejteni a helyiség néhány esztétikus elemét. A párkányok vagy fülkék jelenléte a falon azt jelenti, hogy a számítást szakaszosan kell elvégezni. Azok. először megkeresik a fal lapos részének területét, majd hozzáadják a fülke vagy párkány területét.

A fal területét a következő képlet határozza meg:

S falak \u003d P x C, ahol

P - kerület

C - magasság

Figyelembe kell vennie az ablakok és ajtók jelenlétét is. Területüket le kell vonni a kapott értékből.

Szoba többszintes mennyezettel

A többszintű mennyezet nem bonyolítja annyira a számításokat, mint első pillantásra tűnik. Ha egyszerű kialakítású, akkor számításokat lehet végezni azon az elven, hogy meg kell találni a falak területét, amelyet a fülkék és a párkányok bonyolítanak.

Ha azonban a mennyezet kialakítása íves és hullámos elemekkel rendelkezik, akkor célszerűbb a területet az alapterület alapján meghatározni. Ehhez szüksége van:

1. Keresse meg a falak összes egyenes szakaszának méreteit.
2. Keresse meg az alapterületet.
3. Szorozzuk meg a függőleges szakaszok hosszát és magasságát.
4. A kapott értéket összegezze az alapterülettel.

Lépésről lépésre a végösszeg meghatározásához

alapterület

1. Szabadítsa meg a szobát a felesleges dolgoktól. A mérés során szabad hozzáférésre lesz szüksége a szobája minden területéhez, ezért meg kell szabadulnia mindentől, ami ezt zavarhatja.
2. Vizuálisan osztja fel a helyiséget szabályos és szabálytalan alakú részekre. Ha szobája szigorúan négyzet vagy téglalap alakú, akkor ez a lépés kihagyható.
3. Készítsen tetszőleges elrendezést a helyiségben. Erre a rajzra azért van szükség, hogy minden adat mindig kéznél legyen. Ezenkívül nem ad lehetőséget arra, hogy számos mérés során összezavarodjon.
4. A méréseket többször kell elvégezni. azt fontos szabály hogy elkerüljük a számítási hibákat. Ha használja, győződjön meg arról, hogy a gerenda simán fekszik a fal felületén.
5. Keresse meg a szoba teljes területét. A helyiség teljes területének képlete az, hogy meg kell találni a helyiség egyes részeinek összes területének összegét. Azok. S összesen = S fal + S padló + S mennyezet