Stanovenie priemerných hodnôt. Vzorec priemernej hodnoty

Aby ste v Exceli našli priemernú hodnotu (či už číselnú, textovú, percentuálnu alebo inú), existuje veľa funkcií. A každý z nich má svoje vlastné vlastnosti a výhody. Koniec koncov, v tejto úlohe sa dajú nastaviť určité podmienky.

Napríklad priemerné hodnoty série čísel v Exceli sa vypočítavajú pomocou štatistických funkcií. Môžete tiež ručne zadať svoj vlastný vzorec. Zvážme rôzne možnosti.

Ako nájsť aritmetický priemer čísel?

Ak chcete nájsť aritmetický priemer, sčítate všetky čísla v množine a vydelíte súčet číslom. Napríklad známky študenta z informatiky: 3, 4, 3, 5, 5. Čo platí za štvrťrok: 4. Aritmetický priemer sme našli pomocou vzorca: \u003d (3 + 4 + 3 + 5 + 5) / 5.

Ako to urobiť rýchlo s Excel funkcie? Zoberme si napríklad sériu náhodných čísel v reťazci:

Alebo: aktivujte bunku a jednoducho ručne zadajte vzorec: =AVERAGE(A1:A8).

Teraz sa pozrime, čo ešte funkcia AVERAGE dokáže.

Nájdite aritmetický priemer prvých dvoch a posledných troch čísel. Vzorec: = PRIEMER (A1:B1;F1:H1). výsledok:



Priemer podľa stavu

Podmienkou na zistenie aritmetického priemeru môže byť číselné kritérium alebo textové kritérium. Použijeme funkciu: =AVERAGEIF().

Nájdite priemer aritmetické čísla ktoré sú väčšie alebo rovné 10.

Funkcia: =AVERAGEIF(A1:A8,">=10")

Výsledok použitia funkcie AVERAGEIF pod podmienkou ">=10":

Tretí argument - "Priemerný rozsah" - je vynechaný. Po prvé, nevyžaduje sa. Po druhé, rozsah analyzovaný programom obsahuje LEN číselné hodnoty. V bunkách zadaných v prvom argumente sa vyhľadávanie vykoná podľa podmienky uvedenej v druhom argumente.

Pozor! Kritériá vyhľadávania je možné zadať v bunke. A vo vzorci na to urobiť odkaz.

Nájdite priemernú hodnotu čísel podľa textového kritéria. Napríklad priemerný predaj produktu „tabuľky“.

Funkcia bude vyzerať takto: =AVERAGEIF($A$2:$A$12;A7;$B$2:$B$12). Rozsah - stĺpec s názvami produktov. Kritériom vyhľadávania je odkaz na bunku so slovom „tabuľky“ (namiesto odkazu A7 môžete vložiť slovo „tabuľky“). Rozsah priemerovania - bunky, z ktorých sa budú brať údaje na výpočet priemernej hodnoty.

Ako výsledok výpočtu funkcie dostaneme nasledujúcu hodnotu:

Pozor! Pre textové kritérium (podmienku) musí byť špecifikovaný rozsah priemerovania.

Ako vypočítať váženú priemernú cenu v Exceli?

Ako poznáme váženú priemernú cenu?

Vzorec: =SUMPRODUCT(C2:C12,B2:B12)/SUM(C2:C12).

Pomocou vzorca SUMPRODUCT zistíme celkovú tržbu po predaji celého množstva tovaru. A funkcia SUM - sumarizuje množstvo tovaru. Vydelením celkových príjmov z predaja tovaru celkovým počtom jednotiek tovaru sme zistili váženú priemernú cenu. Tento ukazovateľ zohľadňuje „váhu“ každej ceny. Jeho podiel na celkovej mase hodnôt.

Smerodajná odchýlka: vzorec v Exceli

Rozlišujte médium smerodajná odchýlka pre všeobecnú populáciu a pre vzorku. V prvom prípade ide o koreň všeobecný rozptyl. V druhom z rozptylu vzorky.

Na výpočet tohto štatistického ukazovateľa sa zostaví vzorec rozptylu. Z nej sa odoberá koreň. Ale v Exceli je pripravená funkcia na nájdenie smerodajnej odchýlky.

Smerodajná odchýlka je spojená so škálou zdrojových údajov. Na obrazové znázornenie variácie analyzovaného rozsahu to nestačí. Na získanie relatívnej úrovne rozptylu v údajoch sa vypočíta variačný koeficient:

smerodajná odchýlka / aritmetický priemer

Vzorec v Exceli vyzerá takto:

STDEV (rozsah hodnôt) / AVERAGE (rozsah hodnôt).

Variačný koeficient sa vypočíta v percentách. Preto v bunke nastavíme percentuálny formát.

Znaky jednotiek štatistických agregátov sú rôzne vo svojom význame, napríklad mzdy pracovníkov jednej profesie podniku nie sú rovnaké za rovnaké časové obdobie, trhové ceny za rovnaké produkty sú rôzne, výnosy plodín na farmách regiónu atď. Preto, aby sa určila hodnota vlastnosti charakteristickej pre celú populáciu skúmaných jednotiek, vypočítajú sa priemerné hodnoty.
priemerná hodnota – je to zovšeobecňujúca charakteristika súboru individuálnych hodnôt nejakého kvantitatívneho znaku.

Populácia skúmaná kvantitatívnym atribútom pozostáva z individuálnych hodnôt; sú ovplyvnené ako bežné príčiny a individuálnych podmienkach. V priemernej hodnote sa rušia odchýlky charakteristické pre jednotlivé hodnoty. Priemer, ktorý je funkciou súboru jednotlivých hodnôt, predstavuje celý súbor s jednou hodnotou a odráža spoločnú vec, ktorá je vlastná všetkým jeho jednotkám.

Priemer vypočítaný pre populácie pozostávajúce z kvalitatívne homogénnych jednotiek sa nazýva tzv typický priemer. Môžete napríklad vypočítať priemernú mesačnú mzdu zamestnanca jednej alebo druhej profesijnej skupiny (baník, lekár, knihovník). Samozrejme, výška mesačných miezd baníkov sa v dôsledku rozdielu v ich kvalifikácii, odpracovanej dobe, odpracovaných hodinách za mesiac a mnohých ďalších faktoroch líši od seba a od úrovne priemernej mzdy. Priemerná úroveň však odráža hlavné faktory, ktoré ovplyvňujú výšku miezd, a vzájomne kompenzujú rozdiely, ktoré vznikajú v dôsledku individuálnych charakteristík zamestnanca. Priemerná mzda odráža typickú úroveň miezd pre tento typ pracovníkov. Získaniu typického priemeru by mala predchádzať analýza toho, ako je táto populácia kvalitatívne homogénna. Ak súprava pozostáva z oddelené časti, treba to rozdeliť do typických skupín (priemerná teplota v nemocnici).

Priemerné hodnoty používané ako charakteristiky pre heterogénne populácie sa nazývajú systémové priemery. Napríklad priemerný hrubý domáci produkt (HDP) na obyvateľa, priemernú spotrebu rôzne skupiny tovarov na osobu a iné podobné množstvá predstavujúce zovšeobecňujúce charakteristiky štátu ako jednotného ekonomického systému.

Priemer by sa mal vypočítať pre populácie pozostávajúce z dostatočného počtu Vysoké číslo Jednotky. Splnenie tejto podmienky je nevyhnutné na to, aby zákon nadobudol účinnosť. veľké čísla, v dôsledku čoho sa náhodné odchýlky jednotlivých hodnôt od všeobecného trendu navzájom rušia.

Druhy priemerov a metódy ich výpočtu

Výber typu priemeru je určený ekonomickým obsahom určitého ukazovateľa a východiskovými údajmi. Akákoľvek priemerná hodnota by sa však mala vypočítať tak, že keď nahradí každý variant spriemerovaného prvku, konečná, zovšeobecňujúca alebo, ako sa to bežne nazýva, definujúci ukazovateľ, čo súvisí s priemerom. Napríklad pri výmene skutočných rýchlostí na jednotlivých úsekoch cesty by ich priemerná rýchlosť nemala zmeniť celkovú prejdenú vzdialenosť vozidlo zároveň; pri nahradení skutočných miezd jednotlivých zamestnancov podniku priemernou mzdou by sa mzdový fond nemal meniť. Následne v každom konkrétnom prípade, v závislosti od charakteru dostupných údajov, existuje len jedna skutočná priemerná hodnota ukazovateľa, ktorá je adekvátna vlastnostiam a podstate skúmaného sociálno-ekonomického javu.
Najbežnejšie používané sú aritmetický priemer, harmonický priemer, geometrický priemer, stredný štvorec a stred kubický.
Uvedené priemery patria do triedy moc stredné a kombinované všeobecný vzorec:
,
kde je priemerná hodnota študovaného znaku;
m je exponent priemeru;
– aktuálna hodnota (variant) spriemerovaného znaku;
n je počet funkcií.
V závislosti od hodnoty exponentu m sa rozlišujú tieto typy priemerov výkonu:
pri m = -1 – stredná harmonická ;
pri m = 0 – geometrický priemer ;
pri m = 1 – aritmetický priemer;
pri m = 2 – odmocnina ;
pri m = 3 - priemerný kubický.
Pri použití rovnakých počiatočných údajov platí, že čím väčší je exponent m vo vyššie uvedenom vzorci, tým väčšia je hodnota priemernej hodnoty:
.
Táto vlastnosť mocnina znamená zvyšovať s nárastom exponentu definujúcej funkcie sa nazýva pravidlo majority prostriedkov.
Každý z označených priemerov môže mať dve formy: jednoduché a vážený.
Jednoduchá forma stredu platí, keď sa priemer počíta na primárnych (nezoskupených) údajoch. vážená forma– pri výpočte priemeru pre sekundárne (zoskupené) údaje.

Aritmetický priemer

Aritmetický priemer sa používa, keď je objem populácie súčtom všetkých jednotlivých hodnôt premenlivého atribútu. Treba poznamenať, že ak nie je uvedený typ priemeru, predpokladá sa aritmetický priemer. Jeho logický vzorec je:

jednoduchý aritmetický priemer vypočítané podľa nezoskupených údajov podľa vzorca:
alebo ,
kde sú jednotlivé hodnoty atribútu;
j je poradové číslo jednotky pozorovania, ktoré je charakterizované hodnotou ;
N je počet pozorovacích jednotiek (veľkosť súboru).
Príklad. V prednáške „Súhrn a zoskupovanie štatistických údajov“ sa posudzovali výsledky pozorovania pracovných skúseností tímu 10 ľudí. Vypočítajte priemerné pracovné skúsenosti pracovníkov brigády. 5, 3, 5, 4, 3, 4, 5, 4, 2, 4.

Podľa vzorca aritmetický priemer jednoduchý výpočet tiež chronologické priemery, ak sú časové intervaly, pre ktoré sú prezentované charakteristické hodnoty, rovnaké.
Príklad. Objem predaných produktov za prvý štvrťrok predstavoval 47 denov. jednotiek, za druhý 54, za tretí 65 a za štvrtý 58 den. Jednotky Priemerný štvrťročný obrat je (47+54+65+58)/4 = 56 den. Jednotky
Ak sú v chronologickom rade uvedené okamžité ukazovatele, potom sa pri výpočte priemeru nahradia polovičnými súčtami hodnôt na začiatku a na konci obdobia.
Ak existuje viac ako dva momenty a intervaly medzi nimi sú rovnaké, potom sa priemer vypočíta pomocou vzorca pre priemerný chronologický

,
kde n je počet časových bodov
Keď sú údaje zoskupené podľa hodnôt atribútov (t.j. diskrétne variačná séria distribúcia) s vážený aritmetický priemer sa vypočíta buď pomocou frekvencií alebo frekvencií pozorovaní špecifických hodnôt prvku, ktorých počet (k) je výrazne menší ako počet pozorovaní (N).
,
,
kde k je počet skupín variačného radu,
i je číslo skupiny variačného radu.
Od , a , získame vzorce používané na praktické výpočty:
a
Príklad. Vypočítajme priemernú dĺžku služby pracovných tímov pre zoskupené série.
a) pomocou frekvencií:

b) pomocou frekvencií:

Keď sú údaje zoskupené podľa intervalov , t.j. sú prezentované vo forme intervalových distribučných radov, pri výpočte aritmetického priemeru sa ako hodnota znaku berie stred intervalu, vychádzajúc z predpokladu rovnomerného rozloženia populačných jednotiek v tomto intervale. Výpočet sa vykonáva podľa vzorcov:
a
kde je stred intervalu: ,
kde a sú spodné a horné hranice intervalov (za predpokladu, že horná hranica tohto intervalu sa zhoduje so spodnou hranicou nasledujúceho intervalu).

Príklad. Vypočítajme aritmetický priemer intervalového variačného radu zostaveného z výsledkov štúdie ročných miezd 30 pracovníkov (pozri prednášku „Súhrn a zoskupovanie štatistických údajov“).
Tabuľka 1 - Intervalové variačné série distribúcie.

Intervaly, UAH	Frekvencia, os.	frekvencia,	Stred intervalu
600-700 700-800 800-900 900-1000 1000-1100 1100-1200	3 6 8 9 3 1	0,10 0,20 0,267 0,30 0,10 0,033	(600+700):2=650 (700+800):2=750 850 950 1050 1150	1950 4500 6800 8550 3150 1150	65 150 226,95 285 105 37,95

UAH alebo UAH
Aritmetické priemery vypočítané na základe počiatočných údajov a radov variácií intervalov sa nemusia zhodovať v dôsledku nerovnomerného rozloženia hodnôt atribútov v rámci intervalov. V tomto prípade by sa pre presnejší výpočet aritmetického váženého priemeru nemal používať stred intervalov, ale aritmetické jednoduché priemery vypočítané pre každú skupinu ( skupinové priemery). Priemer vypočítaný zo skupinových priemerov pomocou váženého kalkulačného vzorca sa nazýva všeobecný priemer.
Aritmetický priemer má množstvo vlastností.
1. Súčet odchýlok variantu od priemeru je nula:
.
2. Ak sa všetky hodnoty možnosti zvýšia alebo znížia o hodnotu A, potom sa priemerná hodnota zvýši alebo zníži o rovnakú hodnotu A:

3. Ak sa každá možnosť zvýši alebo zníži B-krát, priemerná hodnota sa tiež zvýši alebo zníži o rovnaký početkrát:
alebo
4. Súčet súčinov variantu podľa frekvencií sa rovná súčinu priemernej hodnoty súčtom frekvencií:

5. Ak sa všetky frekvencie vydelia alebo vynásobia ľubovoľným číslom, aritmetický priemer sa nezmení:

6) ak sú vo všetkých intervaloch frekvencie rovnaké, potom sa aritmetický vážený priemer rovná jednoduchému aritmetickému priemeru:
,
kde k je počet skupín vo variačnom rade.

Použitie vlastností priemeru umožňuje zjednodušiť jeho výpočet.
Predpokladajme, že všetky možnosti (x) sa najprv znížia o rovnaké číslo A a potom sa znížia o faktor B. Najväčšie zjednodušenie sa dosiahne, keď sa hodnota stredu intervalu s najvyššou frekvenciou zvolí ako A a hodnota intervalu ako B (pre riadky s rovnakými intervalmi). Veličina A sa nazýva pôvod, preto sa tento spôsob výpočtu priemeru nazýva spôsobom b ohmová referencia od podmienenej nuly alebo spôsob okamihov.
Po takejto transformácii získame nový variačný distribučný rad, ktorého varianty sa rovnajú . Ich aritmetický priemer, tzv moment prvej objednávky, je vyjadrená vzorcom a podľa druhej a tretej vlastnosti sa aritmetický priemer rovná priemeru pôvodnej verzie, zníženej najskôr o A a potom o B-krát, t.j.
Na získanie skutočný priemer(v strede pôvodného riadku) je potrebné vynásobiť moment prvej objednávky číslom B a pridať A:

Výpočet aritmetického priemeru metódou momentov ilustrujú údaje v tabuľke. 2.
Tabuľka 2 - Rozdelenie zamestnancov podnikovej predajne podľa dĺžky služby

Pracovné skúsenosti, roky	Počet pracovníkov	Stred intervalu
0 – 5 5 – 10 10 – 15 15 – 20 20 – 25 25 – 30	12 16 23 28 17 14	2,5 7,5 12,7 17,5 22,5 27,5	15 -10 -5 0 5 10	3 -2 -1 0 1 2	36 -32 -23 0 17 28

Nájdenie momentu prvej objednávky . Potom, keď vieme, že A = 17,5 a B = 5, vypočítame priemernú pracovnú skúsenosť pracovníkov obchodu:
rokov

Priemerná harmonická
Ako je uvedené vyššie, aritmetický priemer sa používa na výpočet priemernej hodnoty prvku v prípadoch, keď sú známe jeho varianty x a ich frekvencie f.
Ak štatistické informácie neobsahujú frekvencie f pre jednotlivé možnosti x populácie, ale sú prezentované ako ich súčin , použije sa vzorec priemerná harmonická vážená. Ak chcete vypočítať priemer, označte , odkiaľ . Nahradením týchto výrazov do vzorca váženého aritmetického priemeru dostaneme vzorec váženého harmonického priemeru:
,
kde je objem (váha) hodnôt atribútu indikátora v intervale s číslom i (i=1,2, …, k).

Harmonický priemer sa teda používa v prípadoch, keď nie sú sčítavané samotné možnosti, ale ich recipročné hodnoty: .
V prípadoch, keď sa váha každej opcie rovná jednej, t.j. individuálnych hodnôt opačného znamienka nastať raz, aplikuje sa jednoduchý harmonický priemer:
,
kde sú jednotlivé varianty inverzného znaku, ktoré sa vyskytujú raz;
N je počet možností.
Ak existujú harmonické priemery pre dve časti populácie s počtom a, potom sa celkový priemer pre celú populáciu vypočíta podľa vzorca:

a volal vážený harmonický priemer priemeru skupiny.

Príklad. Počas prvej hodiny obchodovania na burze sa uskutočnili tri obchody. Údaje o výške predaja hrivny a kurze hrivny voči americkému doláru sú uvedené v tabuľke. 3 (stĺpce 2 a 3). Určte priemerný kurz hrivny voči americkému doláru za prvú hodinu obchodovania.
Tabuľka 3 - Údaje o priebehu obchodovania na burze

Priemerný výmenný kurz dolára je určený pomerom množstva predaných hrivien v rámci všetkých transakcií k množstvu dolárov získaných v dôsledku rovnakých transakcií. Celková suma predaja hrivny je známa zo stĺpca 2 tabuľky a množstvo dolárov zakúpených v každej transakcii sa určí vydelením sumy predaja hrivny jej výmenným kurzom (stĺpec 4). Počas troch transakcií sa nakúpilo celkovo 22 miliónov dolárov. To znamená, že priemerný kurz hrivny za jeden dolár bol
.
Výsledná hodnota je reálna, pretože jeho nahradenie skutočných kurzov hrivny v transakciách nezmení celkový objem predaja hrivny, ktorý pôsobí ako definujúci ukazovateľ: miliónov UAH
Ak sa na výpočet použil aritmetický priemer, t.j. hrivny, potom v kurze na nákup 22 miliónov dolárov. Muselo by sa minúť 110,66 milióna UAH, čo nie je pravda.

Geometrický priemer
Geometrický priemer sa používa na analýzu dynamiky javov a umožňuje vám určiť priemernú rýchlosť rastu. Pri výpočte geometrického priemeru sú jednotlivé hodnoty vlastnosti relatívnymi ukazovateľmi dynamiky, zostavenými vo forme reťazových hodnôt, ako pomer každej úrovne k predchádzajúcej.
Jednoduchý geometrický priemer sa vypočíta podľa vzorca:
,
kde je znak produktu,
N je počet spriemerovaných hodnôt.
Príklad. Počet evidovaných trestných činov nad 4 roky vzrástol 1,57-krát, z toho za 1. - 1,08-krát, za 2. - 1,1-krát, za 3. - o 1,18-krát a za 4. - 1,12-krát. Potom je priemerná ročná miera rastu počtu trestných činov: , t.j. Počet evidovaných trestných činov rástol v priemere o 12 % ročne.

1,8
-0,8
0,2
1,0
1,4

1
3
4
1
1

3,24
0,64
0,04
1
1,96

3,24
1,92
0,16
1
1,96

Na výpočet strednej váženej štvorce určíme a zapíšeme do tabuľky a. Potom sa priemerná hodnota odchýlok dĺžky výrobkov od danej normy rovná:

Aritmetický priemer by v tomto prípade bol nevhodný, pretože v dôsledku toho by sme dostali nulovú odchýlku.
Použitie strednej odmocniny bude diskutované neskôr v exponentoch variácie.

Aritmetický priemer – štatistický ukazovateľ, ktorý zobrazuje priemernú hodnotu daného dátového poľa. Takýto ukazovateľ sa vypočíta ako zlomok, ktorého čitateľ je súčtom všetkých hodnôt poľa a menovateľom je ich počet. Aritmetický priemer je dôležitý koeficient, ktorý sa používa pri výpočtoch domácností.

Význam koeficientu

Aritmetický priemer je základným ukazovateľom na porovnanie údajov a výpočet prijateľnej hodnoty. Napríklad plechovka piva od konkrétneho výrobcu sa predáva v rôznych obchodoch. Ale v jednom obchode to stojí 67 rubľov, v inom - 70 rubľov, v treťom - 65 rubľov a v poslednom - 62 rubľov. Pomerne veľký rozsah cien, takže kupujúci bude mať záujem priemerná cena banky, aby si pri kúpe produktu mohol porovnať svoje náklady. V priemere má plechovka piva v meste cenu:

Priemerná cena = (67 + 70 + 65 + 62) / 4 = 66 rubľov.

Keď poznáte priemernú cenu, je ľahké určiť, kde je výhodné nakupovať tovar a kde budete musieť preplatiť.

Aritmetický priemer sa neustále používa v štatistických výpočtoch v prípadoch, keď sa analyzuje homogénny súbor údajov. Vo vyššie uvedenom príklade ide o cenu plechovky piva rovnakej značky. Nemôžeme však porovnávať cenu piva od rôznych výrobcov ani ceny piva a limonády, keďže v tomto prípade bude rozptyl hodnôt väčší, priemerná cena budú rozmazané a nespoľahlivé a samotný zmysel výpočtov bude skreslený na karikatúru „priemerná teplota v nemocnici“. Na výpočet heterogénnych dátových polí sa používa aritmetický vážený priemer, keď každá hodnota dostane svoj vlastný váhový faktor.

Výpočet aritmetického priemeru

Vzorec na výpočty je veľmi jednoduchý:

P = (a1 + a2 + … an) / n,

kde a je hodnota veličiny, n je celkový počet hodnôt.

Na čo sa dá tento ukazovateľ použiť? Prvé a zrejmé využitie je v štatistike. Takmer každá štatistická štúdia používa aritmetický priemer. Môže to byť priemerný vek sobáša v Rusku, priemerná známka študenta z predmetu alebo priemerné výdavky na nákup potravín za deň. Ako je uvedené vyššie, bez zohľadnenia váh môže výpočet priemerov poskytnúť zvláštne alebo absurdné hodnoty.

Napríklad prezident Ruská federácia urobil vyhlásenie, že podľa štatistík je priemerný plat Rusa 27 000 rubľov. Pre väčšinu ľudí v Rusku sa táto výška platu zdala absurdná. Nie je prekvapujúce, ak výpočet zohľadňuje príjmy oligarchov, šéfov priemyselných podnikov, veľkých bankárov na jednej strane a platy učiteľov, upratovačiek a predavačov na strane druhej. Dokonca aj priemerné platy v jednej špecializácii, napríklad účtovník, budú mať vážne rozdiely v Moskve, Kostrome a Jekaterinburgu.

Ako vypočítať priemery pre heterogénne údaje

V mzdových situáciách je dôležité zvážiť váhu každej hodnoty. To znamená, že platom oligarchov a bankárov by bola prisúdená váha napríklad 0,00001 a platom predajcov 0,12. Sú to čísla zo stropu, ale zhruba ilustrujú prevahu oligarchov a predajcov v ruskej spoločnosti.

Preto na výpočet priemeru priemerov alebo priemernej hodnoty v heterogénnom dátovom poli je potrebné použiť aritmetický vážený priemer. V opačnom prípade dostanete priemerný plat v Rusku na úrovni 27 000 rubľov. Ak chcete vedieť svoje priemerná známka v matematike alebo priemerný počet strelených gólov vybraného hokejistu, potom vám bude vyhovovať kalkulačka aritmetického priemeru.

Náš program je jednoduchá a pohodlná kalkulačka na výpočet aritmetického priemeru. Na vykonanie výpočtov stačí zadať hodnoty parametrov.

Pozrime sa na pár príkladov

Výpočet priemernej známky

Mnoho učiteľov používa metódu aritmetického priemeru na určenie ročnej známky z predmetu. Predstavme si, že dieťa dostane z matematiky tieto štvrťročné známky: 3, 3, 5, 4. Akú ročnú známku mu dá učiteľ? Použime kalkulačku a vypočítajme aritmetický priemer. Najprv vyberte príslušný počet polí a zadajte hodnoty známok do buniek, ktoré sa objavia:

(3 + 3 + 5 + 4) / 4 = 3,75

Učiteľ zaokrúhli hodnotu v prospech žiaka a žiak dostane solídnu štvorku za ročník.

Výpočet zjedených sladkostí

Ilustrujme si nejakú absurdnosť aritmetického priemeru. Predstavte si, že Masha a Vova mali 10 sladkostí. Máša zjedla 8 cukríkov a Vova len 2. Koľko cukríkov priemerne zjedlo každé dieťa? Pomocou kalkulačky sa dá ľahko vypočítať, že deti v priemere zjedli po 5 sladkostí, čo je úplne nepravdivé a zdravé. Tento príklad ukazuje, že aritmetický priemer je dôležitý pre zmysluplné súbory údajov.

Záver

Výpočet aritmetického priemeru je široko používaný v mnohých vedeckých oblastiach. Tento ukazovateľ je obľúbený nielen v štatistických výpočtoch, ale aj vo fyzike, mechanike, ekonómii, medicíne alebo financiách. Použite naše kalkulačky ako pomocníka pri riešení problémov s aritmetickým priemerom.

Téma aritmetický a geometrický priemer je zaradená do matematického programu pre 6. – 7. ročník. Keďže odsek je celkom ľahko pochopiteľný, rýchlo prechádza a záver je taký školský rokštudenti na to zabúdajú. Na to sú však potrebné znalosti základných štatistík absolvovanie skúšky, ako aj na medzinárodné skúšky SAT. Áno a pre Každodenný život rozvinuté analytické myslenie nikdy neuškodí.

Ako vypočítať aritmetický a geometrický priemer čísel

Predpokladajme, že existuje séria čísel: 11, 4 a 3. Aritmetický priemer je súčet všetkých čísel vydelený počtom daných čísel. To znamená, že v prípade čísel 11, 4, 3 bude odpoveď 6. Ako sa získa 6?

Riešenie: (11 + 4 + 3) / 3 = 6

Menovateľ musí obsahovať číslo, ktoré sa rovná počtu čísel, ktorých priemer sa má nájsť. Súčet je deliteľný 3, keďže existujú tri členy.

Teraz sa musíme zaoberať geometrickým priemerom. Povedzme, že existuje séria čísel: 4, 2 a 8.

Geometrický priemer je súčinom všetkých daných čísel, ktorý je pod odmocninou so stupňom, rovná sa číslu To znamená, že v prípade čísel 4, 2 a 8 je odpoveď 4. Stalo sa to takto:

Riešenie: ∛(4 × 2 × 8) = 4

V oboch možnostiach boli získané celé odpovede, pretože ako príklad boli brané špeciálne čísla. Nie vždy je to tak. Vo väčšine prípadov musí byť odpoveď zaokrúhlená alebo ponechaná pri koreni. Napríklad pre čísla 11, 7 a 20 je aritmetický priemer ≈ 12,67 a geometrický priemer je ∛1540. A pre čísla 6 a 5 budú odpovede 5,5 a √30.

Môže sa stať, že sa aritmetický priemer rovná geometrickému priemeru?

Samozrejme, že môže. Ale len v dvoch prípadoch. Ak existuje séria čísel pozostávajúca iba z jednotiek alebo núl. Je tiež pozoruhodné, že odpoveď nezávisí od ich počtu.

Dôkaz s jednotkami: (1 + 1 + 1) / 3 = 3 / 3 = 1 (aritmetický priemer).

∛(1 × 1 × 1) = ∛1 = 1 (geometrický priemer).

Dôkaz s nulami: (0 + 0) / 2 = 0 (aritmetický priemer).

√(0 × 0) = 0 (geometrický priemer).

Iná možnosť nie je a ani nemôže byť.

Jednoduchý aritmetický priemer je priemerný člen, ktorý určuje, v ktorom je celkový objem daného atribútu agregátyúdaje sú rovnomerne rozdelené medzi všetky jednotky zahrnuté v tomto súbore. Priemerná ročná produkcia na pracovníka je teda množstvo výstupu, ktoré by pripadlo na každého zamestnanca, ak by bol celý objem produkcie rovnomerne rozdelený medzi všetkých zamestnancov organizácie. Jednoduchá aritmetická stredná hodnota sa vypočíta podľa vzorca:

jednoduchý aritmetický priemer- Rovná sa pomeru súčtu jednotlivých hodnôt atribútu k počtu atribútov v súhrne

Príklad 1. Tím 6 pracovníkov dostáva 3 3,2 3,3 3,5 3,8 3,1 tisíc rubľov mesačne.

Nájdite priemernú mzdu Riešenie: (3 + 3,2 + 3,3 +3,5 + 3,8 + 3,1) / 6 = 3,32 tisíc rubľov.

Aritmetický vážený priemer

Ak je objem súboru údajov veľký a predstavuje distribučný rad, vypočíta sa vážený aritmetický priemer. Takto sa určí vážená priemerná cena za jednotku produkcie: celkové výrobné náklady (súčet produktov jej množstva a ceny jednotky produkcie) sa vydelia celkovým množstvom produkcie.

Predstavujeme to vo forme nasledujúceho vzorca:

Vážený aritmetický priemer- sa rovná pomeru (súčet súčinov hodnoty atribútu k frekvencii opakovania tohto atribútu) k (súčet frekvencií všetkých atribútov) Používa sa vtedy, keď sa varianty skúmanej populácie vyskytujú nerovnako. koľkokrát.

Príklad 2. Zistite priemernú mzdu pracovníkov obchodu za mesiac

Plat jedného pracovníka tisíc rubľov; X	Počet pracovníkov F

Priemernú mzdu možno získať vydelením celkovej mzdy celkovým počtom pracovníkov:

Odpoveď: 3,35 tisíc rubľov.

Aritmetický priemer pre intervalový rad

Pri výpočte aritmetického priemeru pre sériu variácií intervalov najprv určte priemer pre každý interval ako polovičný súčet hornej a dolnej hranice a potom priemer celého radu. V prípade otvorených intervalov je hodnota dolného alebo horného intervalu určená hodnotou intervalov susediacich s nimi.

Priemery vypočítané z intervalových radov sú približné.

Príklad 3. Určte priemerný vek žiakov večerného oddelenia.

Vek v rokoch!!x??	Počet študentov	Priemer intervalu	Súčin stredu intervalu (vek) a počtu žiakov
		(18 + 20) / 2 =19 18 v tomto prípade hranica dolného intervalu. Vypočítané ako 20 - (22-20)
		(20 + 22) / 2 = 21
		(22 + 26) / 2 = 24
		(26 + 30) / 2 = 28
30 alebo viac		(30 + 34) / 2 = 32

Priemery vypočítané z intervalových radov sú približné. Miera ich priblíženia závisí od toho, do akej miery sa skutočné rozloženie jednotiek populácie v rámci intervalu približuje rovnomernej.

Pri výpočte priemerov možno ako váhy použiť nielen absolútne, ale aj relatívne hodnoty (frekvenciu).