Ako sa vypočíta aritmetický priemer? Zábavná matematika

Najdôležitejšou vlastnosťou priemeru je, že odráža to, čo je spoločné pre všetky jednotky skúmanej populácie. Hodnoty charakteristík jednotlivých jednotiek populácie sa menia pod vplyvom mnohých faktorov, medzi ktorými môžu byť základné aj náhodné. Podstata priemeru spočíva v tom, že vzájomne kompenzuje odchýlky hodnôt atribútu, ktoré sú spôsobené pôsobením náhodných faktorov, a kumuluje (zohľadňuje) zmeny spôsobené pôsobením hlavných faktorov. . To umožňuje, aby priemer odrážal typickú úroveň vlastnosti a abstrahoval od individuálnych charakteristík, ktoré sú vlastné jednotlivým jednotkám.

Aby bol priemer skutočne reprezentatívny, musí byť vypočítaný s prihliadnutím na určité zásady.

Základné princípy používania priemerov.

1. Priemer sa musí určiť pre populácie pozostávajúce z kvalitatívne homogénnych jednotiek.

2. Priemer sa musí vypočítať pre populáciu pozostávajúcu z dostatočných veľké číslo Jednotky.

3. Priemer sa musí vypočítať pre populáciu z lôžkových podmienkach(keď sa ovplyvňujúce faktory nemenia alebo výrazne nemenia).

4. Priemer by sa mal vypočítať s prihliadnutím na ekonomický obsah skúmaného ukazovateľa.

Výpočet väčšiny špecifických štatistických ukazovateľov je založený na použití:

· priemerný agregát;

· priemerný výkon (harmonický, geometrický, aritmetický, kvadratický, kubický);

· priemerný chronologický (pozri časť).

Všetky priemery, s výnimkou súhrnného priemeru, je možné vypočítať dvoma spôsobmi – ako vážené alebo nevážené.

Priemerný agregát. Použitý vzorec je:

Kde w i= x i* f i;

x i- i-tá možnosť charakteristika sa spriemeruje;

f i, - hmotnosť i- tá možnosť.

Stredný výkon. IN všeobecný pohľad vzorec na výpočet:

kde je titul k- stredný výkonový typ.

Hodnoty priemerov vypočítané na základe priemerov výkonu pre rovnaké počiatočné údaje nie sú rovnaké. S rastúcim exponentom k sa zvyšuje aj zodpovedajúca priemerná hodnota:

Priemerná chronologická. Pre časový rad s rovnakými intervalmi medzi dátumami sa vypočíta pomocou vzorca:

,

Kde x 1 A Xn hodnotu ukazovateľa k dátumu začiatku a konca.

Vzorce na výpočet priemerov výkonu

Príklad. Podľa tabuľky. 2.1 vyžaduje výpočet priemernej mzdy za tri podniky ako celok.

Tabuľka 2.1

Mzdy podnikov JSC

Spoločnosť	Počet priemyselných výrobypersonál (PPP), os.	Mesačný fond mzdy, trieť.	Priemerná mzda, trieť.
		564840	2092
		332750	2750
		517540	2260
Celkom		1415130

Konkrétny vzorec výpočtu závisí od toho, aké údaje sú v tabuľke. 7 sú pôvodné. V súlade s tým sú možné tieto možnosti: údaje zo stĺpca 1 (počet zamestnancov) a 2 (mesačné mzdy); alebo - 1 (počet PPP) a 3 (priemerný plat); alebo 2 (mesačná mzda) a 3 (priemerná mzda).

Ak sú dostupné iba údaje zo stĺpcov 1 a 2. Výsledky týchto stĺpcov obsahujú potrebné hodnoty na výpočet požadovaného priemeru. Používa sa priemerný agregovaný vzorec:

Ak sú k dispozícii iba údaje v stĺpcoch 1 a 3, potom je známy menovateľ pôvodného pomeru, ale nie je známy jeho čitateľ. Mzdový fond však možno získať vynásobením priemernej mzdy počtom pedagogických zamestnancov. Preto je možné celkový priemer vypočítať pomocou vzorca vážený aritmetický priemer:

Je potrebné vziať do úvahy, že hmotnosť ( f i) V v niektorých prípadoch môže byť súčinom dvoch alebo dokonca troch hodnôt.

Okrem toho sa priemer používa aj v štatistickej praxi. aritmetický nevážený:

kde n je objem populácie.

Tento priemer sa používa, keď váhy ( f i) chýbajú (každý variant charakteristiky sa vyskytuje len raz) alebo sú si navzájom rovné.

Ak existujú iba údaje zo stĺpcov 2 a 3., teda čitateľ pôvodného pomeru je známy, no jeho menovateľ nie je známy. Počet zamestnancov každého podniku možno získať vydelením mzdy priemernou mzdou. Potom sa pomocou vzorca vypočíta priemerná mzda za tri podniky ako celok vážený harmonický priemer:

Ak sú hmotnosti rovnaké ( f i) výpočet priemeru možno vykonať podľa harmonický priemer nevážený:

V našom príklade sme použili rôzne tvary priemer, ale dostal rovnakú odpoveď. Je to spôsobené tým, že pre konkrétne údaje bol vždy implementovaný rovnaký počiatočný pomer priemeru.

Priemerné ukazovatele možno vypočítať pomocou diskrétnych a intervalových variačných sérií. V tomto prípade sa výpočet vykonáva pomocou váženého aritmetického priemeru. Pre diskrétne série Tento vzorec sa používa rovnakým spôsobom ako v príklade vyššie. V intervalových radoch sa na výpočet určujú stredy intervalov.

Príklad. Podľa tabuľky. 2.2 určíme výšku priemerného peňažného príjmu na obyvateľa za mesiac v podmienenom regióne.

Tabuľka 2.2

Počiatočné údaje (séria variácií)

Priemerný peňažný príjem na obyvateľa za mesiac, x, rub.	Obyvateľstvo, % z celkového počtu/
Až 400	30,2
400 — 600	24,4
600 — 800	16,7
800 — 1000	10,5
1000-1200	6,5
1200 — 1600	6,7
1600 — 2000	2,7
2000 a vyššie	2,3
Celkom	100

Najviac v rov. V praxi je potrebné použiť aritmetický priemer, ktorý možno vypočítať ako jednoduchý a vážený aritmetický priemer.

aritmetický priemer (SA)-n Najbežnejší typ priemeru. Používa sa v prípadoch, keď objem premenlivej charakteristiky pre celú populáciu je súčtom hodnôt charakteristík jej jednotlivých jednotiek. Sociálne javy sú charakterizované aditívnosťou (úplnosťou) objemov rôznej charakteristiky, čo určuje rozsah aplikácie SA a vysvetľuje jej prevalenciu ako všeobecný ukazovateľ; napríklad: všeobecný mzdový fond je súčtom miezd všetkých zamestnancov.

Ak chcete vypočítať SA, musíte vydeliť súčet všetkých hodnôt funkcií ich počtom. SA sa používa v 2 formách.

Zoberme si najprv jednoduchý aritmetický priemer.

1-CA jednoduché (počiatočná, definujúca forma) sa rovná jednoduchému súčtu jednotlivých hodnôt spriemerovanej charakteristiky, vydelenému celkovým počtom týchto hodnôt (používa sa, keď existujú nezoskupené hodnoty indexu charakteristiky):

Vykonané výpočty možno zovšeobecniť do nasledujúceho vzorca:

(1)

Kde - priemerná hodnota premennej charakteristiky, t.j. jednoduchý aritmetický priemer;

znamená súhrn, t. j. sčítanie jednotlivých charakteristík;

X- jednotlivé hodnoty rôznej charakteristiky, ktoré sa nazývajú varianty;

n - počet jednotiek obyvateľstva

Príklad 1, je potrebné zistiť priemerný výkon jedného pracovníka (mechanika), ak je známe, koľko dielov vyrobil každý z 15 pracovníkov, t.j. daný rad ind. hodnoty atribútov, ks: 21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.

Jednoduchá SA sa vypočíta podľa vzorca (1), ks:

Príklad2. Vypočítajme SA na základe podmienených údajov pre 20 obchodov zahrnutých v obchodnej spoločnosti (tabuľka 1). stôl 1

Rozdelenie predajní obchodnej spoločnosti "Vesna" podľa predajnej plochy, m2. M

Predajňa č.		Predajňa č.

Na výpočet priemernej predajnej plochy ( ) je potrebné sčítať plochy všetkých predajní a výsledný výsledok vydeliť počtom predajní:

Priemerná predajná plocha pre túto skupinu obchodných podnikov je teda 71 m2.

Preto, aby ste určili jednoduchý SA, musíte vydeliť súčet všetkých hodnôt daného atribútu počtom jednotiek, ktoré majú tento atribút.

2

Kde f 1 , f 2 , … ,f n – hmotnosť (frekvencia opakovania rovnakých znakov);

– súčet súčinov veľkosti znakov a ich frekvencií;

– celkový počet jednotiek obyvateľstva.

- SA vážené - S Stred možností, ktoré sa opakujú niekoľkokrát, alebo, ako sa hovorí, majú rôzne váhy. Váhy sú počty jednotiek v rôznych skupinách obyvateľstva (rovnaké možnosti sú spojené do skupiny). SA vážené – priemer zoskupených hodnôt X 1 , X 2 , .., X n, – vypočítané: (2)

Kde X- možnosti;

f- frekvencia (hmotnosť).

Vážený SA je podiel delenia súčtu súčinov opcií a im zodpovedajúcich frekvencií súčtom všetkých frekvencií. Frekvencie ( f) vyskytujúce sa vo vzorci SA sa zvyčajne nazývajú váhy, v dôsledku čoho sa SA vypočítaná s prihliadnutím na váhy nazýva vážená.

Techniku ​​výpočtu váženého SA znázorníme pomocou príkladu 1 uvedeného vyššie, aby sme to urobili, zoskupíme počiatočné údaje a umiestnime ich do tabuľky.

Priemer zoskupených údajov sa určí nasledovne: najprv sa možnosti vynásobia frekvenciami, potom sa spočítajú produkty a výsledná suma sa vydelí súčtom frekvencií.

Podľa vzorca (2) sa vážená SA rovná, ks:

Rozdelenie pracovníkov na výrobu dielov

P

Dáta prezentované v predchádzajúcom príklade 2 môžu byť spojené do homogénnych skupín, ktoré sú uvedené v tabuľke. Tabuľka

Rozdelenie predajní Vesna podľa predajnej plochy, m2. m

Výsledok bol teda rovnaký. Toto však už bude vážený aritmetický priemer.

V predchádzajúcom príklade sme vypočítali aritmetický priemer za predpokladu, že sú známe absolútne frekvencie (počet obchodov). V mnohých prípadoch však chýbajú absolútne frekvencie, ale sú známe relatívne frekvencie, alebo, ako sa bežne nazývajú, frekvencie, ktoré ukazujú podiel resp podiel frekvencií v celom súbore.

Pri výpočte SA váženého použitia frekvencie umožňuje zjednodušiť výpočty, keď je frekvencia vyjadrená veľkými, viaccifernými číslami. Výpočet sa robí rovnakým spôsobom, ale keďže sa ukáže, že priemerná hodnota sa zvýši 100-krát, výsledok by sa mal vydeliť 100.

Potom bude vzorec pre aritmetický vážený priemer vyzerať takto:

Kde d– frekvencia, t.j. podiel každej frekvencie na celkovom súčte všetkých frekvencií.

(3)

V našom príklade 2 najprv určíme podiel predajní podľa skupiny v celkový počet predajne Vesna. Takže pre prvú skupinu špecifická hmotnosť zodpovedá 10%
. Získame nasledujúce údaje Tabuľka 3

5.1. koncepcia priemerná veľkosť

Priemerná hodnota - Ide o všeobecný ukazovateľ charakterizujúci typickú úroveň javu. Vyjadruje hodnotu charakteristiky na jednotku populácie.

Priemer vždy zovšeobecňuje kvantitatívnu variáciu znaku, t.j. v priemerných hodnotách sa eliminujú jednotlivé rozdiely medzi jednotkami v populácii vplyvom náhodných okolností. Na rozdiel od priemeru absolútna hodnota charakterizujúca úroveň charakteristiky jednotlivej jednotky populácie neumožňuje porovnávať hodnoty charakteristiky medzi jednotkami patriacimi do rôznych populácií. Ak teda potrebujete porovnať úrovne odmeňovania pracovníkov v dvoch podnikoch, nemôžete na tomto základe porovnávať dvoch zamestnancov rôznych podnikov. Odmeňovanie pracovníkov vybraných na porovnanie nemusí byť pre tieto podniky typické. Ak porovnáme veľkosť mzdových prostriedkov v posudzovaných podnikoch, neberie sa do úvahy počet zamestnancov, a preto nie je možné určiť, kde je úroveň miezd vyššia. V konečnom dôsledku sa dajú porovnávať len priemerné ukazovatele, t.j. Koľko v priemere zarobí jeden zamestnanec v každom podniku? Preto je potrebné vypočítať priemernú hodnotu ako zovšeobecňujúcu charakteristiku populácie.

Výpočet priemeru je jednou z bežných techník zovšeobecňovania; priemerný ukazovateľ popiera to, čo je spoločné (typické) pre všetky jednotky skúmanej populácie, pričom zároveň ignoruje rozdiely jednotlivých jednotiek. V každom fenoméne a jeho vývoji je spojenie náhody a nevyhnutnosti. Pri výpočte priemerov na základe zákona veľké čísla náhodnosť sa ruší a je vyvážená, takže je možné abstrahovať od nedôležitých znakov javu, od kvantitatívnych hodnôt charakteristiky v každom konkrétnom prípade. Schopnosť abstrahovať od náhodnosti jednotlivých hodnôt a výkyvov spočíva vo vedeckej hodnote priemerov ako zovšeobecňujúcich charakteristík agregátov.

Aby bol priemer skutočne reprezentatívny, musí byť vypočítaný s prihliadnutím na určité zásady.

Pozrime sa na niektoré všeobecné zásady aplikácie priemerných hodnôt.
1. Priemer sa musí určiť pre populácie pozostávajúce z kvalitatívne homogénnych jednotiek.
2. Priemer sa musí vypočítať pre populáciu pozostávajúcu z dostatočne veľkého počtu jednotiek.
3. Priemer sa musí vypočítať pre populáciu, ktorej jednotky sú v normálnom, prirodzenom stave.
4. Priemer by sa mal vypočítať s prihliadnutím na ekonomický obsah skúmaného ukazovateľa.

5.2. Druhy priemerov a metódy ich výpočtu

Pozrime sa teraz na typy priemerných hodnôt, vlastnosti ich výpočtu a oblasti použitia. Priemerné hodnoty sú rozdelené do dvoch veľkých tried: priemery výkonu, štrukturálne priemery.

TO priemer výkonu Patria sem najznámejšie a najčastejšie používané typy, ako je geometrický priemer, aritmetický priemer a kvadratický priemer.

Ako štrukturálne priemery zohľadňuje sa režim a medián.

Zamerajme sa na priemery výkonu. Výkonové priemery v závislosti od prezentácie zdrojových údajov môžu byť jednoduché alebo vážené. Jednoduchý priemer Vypočítava sa na základe nezoskupených údajov a má nasledujúcu všeobecnú formu:

kde Xi je variant (hodnota) spriemerovanej charakteristiky;

n – možnosť čísla.

Vážený priemer sa vypočítava na základe zoskupených údajov a má všeobecný vzhľad

,

kde X i je variant (hodnota) spriemerovanej charakteristiky alebo stredná hodnota intervalu, v ktorom sa variant meria;
m – index priemerného stupňa;
f i – frekvencia ukazujúca, koľkokrát sa vyskytuje i-e hodnota charakteristika sa spriemeruje.

Uveďme ako príklad výpočet priemerného veku študentov v skupine 20 ľudí:

Priemerný vek vypočítame pomocou jednoduchého priemerného vzorca:

Zoskupme zdrojové údaje. Získame nasledujúce distribučné série:

V dôsledku zoskupovania získame nový ukazovateľ – frekvenciu, označujúci počet žiakov vo veku X rokov. Preto sa priemerný vek študentov v skupine vypočíta pomocou vzorca váženého priemeru:

Všeobecné vzorce na výpočet priemerov výkonu majú exponent (m). V závislosti od hodnoty, ktorú naberá, sa rozlišujú tieto typy priemerov výkonu:
harmonický priemer, ak m = -1;
geometrický priemer, ak m –> 0;
aritmetický priemer, ak m = 1;
stredná hodnota štvorca, ak m = 2;
priemerná kubická, ak m = 3.

Vzorce pre priemery výkonu sú uvedené v tabuľke. 4.4.

Ak vypočítate všetky typy priemerov pre rovnaké počiatočné údaje, ich hodnoty sa ukážu byť odlišné. Platí tu pravidlo väčšiny priemerov: so zvyšujúcim sa exponentom m sa zvyšuje aj zodpovedajúca priemerná hodnota:

V štatistickej praxi sa aritmetické priemery a harmonické vážené priemery používajú častejšie ako iné typy vážených priemerov.

Tabuľka 5.1

Druhy energetických prostriedkov

Druh moci priemer	Index stupeň (m)	Vzorec na výpočet
		Jednoduché	Vážené
Harmonický	-1
Geometrické	0
Aritmetika	1
Kvadratický	2
Kubický	3

Harmonický priemer má viac komplexný dizajn ako aritmetický priemer. Harmonický priemer sa používa na výpočty, keď sa ako váhy nepoužívajú jednotky populácie - nositelia charakteristiky, ale súčin týchto jednotiek hodnotami charakteristiky (t.j. m = Xf). Priemerná harmonická jednoduchá by sa mala uchýliť v prípadoch určovania napríklad priemerných nákladov na prácu, čas, materiály na jednotku výroby, na jednu časť pre dva (tri, štyri atď.) podniky, pracovníkov zaoberajúcich sa výrobou rovnakého typu výrobku, rovnakej časti, výrobku.

Hlavnou požiadavkou na vzorec na výpočet priemernej hodnoty je, aby všetky fázy výpočtu mali skutočné zmysluplné opodstatnenie; výsledný priemer by mal nahradiť individuálnych hodnôt charakteristické pre každý objekt bez narušenia spojenia medzi jednotlivými a súhrnnými ukazovateľmi. Inými slovami, priemerná hodnota sa musí vypočítať tak, že pri nahradení každej jednotlivej hodnoty spriemerovaného ukazovateľa jej priemernou hodnotou zostane nejaký výsledný sumárny ukazovateľ, tak či onak spojený so spriemerovanou hodnotou, nezmenený. Tento súčet je tzv definovanie pretože povaha jeho vzťahu s jednotlivými hodnotami určuje špecifický vzorec na výpočet priemernej hodnoty. Ukážme toto pravidlo na príklade geometrického priemeru.

Vzorec geometrického priemeru

používa sa najčastejšie pri výpočte priemernej hodnoty na základe individuálnej relatívnej dynamiky.

Geometrický priemer sa použije, ak je daná postupnosť reťazovej relatívnej dynamiky, označujúca napríklad nárast produkcie v porovnaní s úrovňou predchádzajúceho roka: i 1, i 2, i 3,..., i n. Je zrejmé, že objem výroby za posledný rok je určený jej počiatočnou úrovňou (q 0) a následným nárastom v priebehu rokov:

q n =q 0 × i 1 × i 2 ×...×i n .

Ak vezmeme q n ako určujúci ukazovateľ a nahradíme jednotlivé hodnoty ukazovateľov dynamiky priemernými, dostaneme sa k vzťahu

Odtiaľ

5.3. Štrukturálne priemery

Na štúdium sa používa špeciálny typ priemerov - štruktúrne priemery vnútorná štruktúra sériu rozdelenia hodnôt atribútov, ako aj na odhad priemernej hodnoty (typ výkonu), ak jej výpočet nemožno vykonať podľa dostupných štatistických údajov (napríklad ak v uvažovanom príklade neexistujú údaje o objeme produkcie a výšky nákladov pre skupiny podnikov).

Ukazovatele sa najčastejšie používajú ako štrukturálne priemery móda - najčastejšie sa opakujúca hodnota atribútu – a mediány – hodnota charakteristiky, ktorá rozdeľuje usporiadanú postupnosť svojich hodnôt na dve rovnaké časti. Výsledkom je, že pre jednu polovicu jednotiek v populácii hodnota atribútu nepresahuje strednú úroveň a pre druhú polovicu nie je nižšia ako ona.

Ak má skúmaná charakteristika diskrétne hodnoty, potom pri výpočte modusu a mediánu nie sú žiadne zvláštne ťažkosti. Ak sú údaje o hodnotách atribútu X prezentované vo forme usporiadaných intervalov jeho zmeny (intervalový rad), výpočet režimu a mediánu sa trochu skomplikuje. Keďže hodnota mediánu rozdeľuje celú populáciu na dve rovnaké časti, končí v jednom z intervalov charakteristiky X. Pomocou interpolácie sa hodnota mediánu nachádza v tomto intervale mediánu:

,

kde X Me je spodná hranica stredného intervalu;
h Ja – jeho hodnota;
(Sum m)/2 – polovica z celkového počtu pozorovaní alebo polovica objemu ukazovateľa, ktorý sa používa ako váha vo vzorcoch na výpočet priemernej hodnoty (v absolútnom alebo relatívnom vyjadrení);
S Me-1 – súčet pozorovaní (alebo objem váhového atribútu) naakumulovaných pred začiatkom intervalu mediánu;
m Me – počet pozorovaní alebo objem vážiacej charakteristiky v strednom intervale (aj v absolútnom alebo relatívnom vyjadrení).

V našom príklade možno získať dokonca tri stredné hodnoty - na základe počtu podnikov, objemu výroby a celkových výrobných nákladov:

V polovici podnikov teda náklady na jednotku výroby presahujú 125,19 tisíc rubľov, polovica celkového objemu výrobkov sa vyrába s nákladmi na výrobok vyššími ako 124,79 tisíc rubľov. a 50% celkových nákladov sa tvorí, keď sú náklady na jeden výrobok vyššie ako 125,07 tisíc rubľov. Všimnite si tiež, že existuje určitá tendencia k zvýšeniu nákladov, pretože Me 2 = 124,79 tisíc rubľov a priemerná úroveň rovná 123,15 tisíc rubľov.

Pri výpočte modálnej hodnoty charakteristiky na základe údajov série intervalov je potrebné venovať pozornosť skutočnosti, že intervaly sú identické, pretože od toho závisí indikátor opakovateľnosti hodnôt charakteristiky X intervalový rad s rovnakými intervalmi, veľkosť módu je určená ako

kde X Mo je nižšia hodnota modálneho intervalu;
m Mo – počet pozorovaní alebo objem váhovej charakteristiky v modálnom intervale (v absolútnom alebo relatívnom vyjadrení);
m Mo -1 – rovnaký pre interval predchádzajúci modálnemu;
m Po+1 – to isté pre interval nasledujúci po modálnom;
h – hodnota intervalu zmeny charakteristiky v skupinách.

Pre náš príklad môžeme vypočítať tri modálne hodnoty na základe charakteristík počtu podnikov, objemu produktov a výšky nákladov. Vo všetkých troch prípadoch je modálny interval rovnaký, pretože pre rovnaký interval je najväčší počet podnikov, objem výroby a celková výška výrobných nákladov:

Najčastejšie teda existujú podniky s úrovňou nákladov 126,75 tisíc rubľov, najčastejšie sa výrobky vyrábajú s úrovňou nákladov 126,69 tisíc rubľov a výrobné náklady sa najčastejšie vysvetľujú úrovňou nákladov 123,73 tisíc rubľov.

5.4. Variačné ukazovatele

Špecifické podmienky, v ktorých sa každý zo skúmaných objektov nachádza, ako aj črty ich vlastného vývoja (sociálneho, ekonomického a pod.) vyjadrujú zodpovedajúce číselné úrovne štatistických ukazovateľov. teda variácia, tie. nesúlad medzi úrovňami toho istého ukazovateľa v rôznych objektoch má objektívny charakter a pomáha pochopiť podstatu skúmaného javu.

Na meranie odchýlky v štatistike sa používa niekoľko metód.

Najjednoduchšie je vypočítať ukazovateľ rozsah variácií H ako rozdiel medzi maximálnymi (X max) a minimálnymi (X min) pozorovanými hodnotami charakteristiky:

H = X max - X min.

Rozsah variácií však ukazuje iba extrémne hodnoty vlastnosti. Opakovateľnosť stredných hodnôt sa tu neberie do úvahy.

Prísnejšie charakteristiky sú indikátormi variability vo vzťahu k priemernej úrovni atribútu. Najjednoduchším ukazovateľom tohto typu je priemerná lineárna odchýlka L ako priemer aritmetická hodnota absolútne odchýlky charakteristiky od jej priemernej úrovne:

Keď sú jednotlivé hodnoty X opakovateľné, použite vzorec váženého aritmetického priemeru:

(Pripomeňme, že algebraický súčet odchýlok od priemernej úrovne je nula.)

Priemerný ukazovateľ lineárna odchýlka nájdené široké uplatnenie na praxi. S jeho pomocou sa analyzuje napríklad zloženie pracovníkov, rytmus výroby, rovnomernosť dodávok materiálov, rozvíjajú sa systémy materiálnych stimulov. Ale, bohužiaľ, tento ukazovateľ komplikuje pravdepodobnostné výpočty a komplikuje použitie metód matematickej štatistiky. V štatistickom vedeckom výskume sa preto na meranie variácie najčastejšie používa ukazovateľ odchýlky.

Rozptyl charakteristiky (s 2) je určený na základe kvadratického mocninného priemeru:

.

Označuje sa indikátor s rovný smerodajná odchýlka.

IN všeobecná teória V štatistike je rozptylový indikátor odhadom rovnomenného indikátora teórie pravdepodobnosti a (ako súčet štvorcových odchýlok) odhadom rozptylu v matematickej štatistike, čo umožňuje využiť ustanovenia týchto teoretických disciplín pre analýza sociálno-ekonomických procesov.

Ak sa variácia odhaduje z malého počtu pozorovaní získaných z neobmedzenej populácie, potom sa priemerná hodnota charakteristiky určí s určitou chybou. Vypočítaná hodnota rozptylu sa ukazuje byť posunutá smerom k poklesu. Ak chcete získať nestranný odhad rozptyl vzorky, získaný z vyššie uvedených vzorcov, sa musí vynásobiť hodnotou n / (n - 1). Výsledkom je, že s malým počtom pozorovaní (< 30) дисперсию признака рекомендуется вычислять по формуле

Zvyčajne už pre n > (15÷20) sa rozdiel medzi skreslenými a nezaujatými odhadmi stáva nevýznamným. Z rovnakého dôvodu sa vo vzorci na sčítanie odchýlok zvyčajne nezohľadňuje odchýlka.

Ak sa odoberie niekoľko vzoriek z bežnej populácie a zakaždým sa určí priemerná hodnota charakteristiky, potom nastáva problém s hodnotením variability priemerov. Odhad rozptylu priemerná hodnota je to možné na základe len jedného pozorovania vzorky pomocou vzorca

,

kde n je veľkosť vzorky; s 2 – rozptyl charakteristiky vypočítanej z údajov vzorky.

Rozsah sa volá priemerná vzorkovacia chyba a je charakteristikou odchýlky vzorovej priemernej hodnoty atribútu X od jeho skutočnej priemernej hodnoty. Indikátor priemernej chyby sa používa na posúdenie spoľahlivosti výsledkov pozorovania vzorky.

Indikátory relatívneho rozptylu. Na charakterizáciu miery variability sledovanej charakteristiky sa ukazovatele variability vypočítajú v relatívnych hodnotách. Umožňujú porovnávať charakter rozptylu v rôznych distribúciách (rôzne jednotky pozorovania tej istej charakteristiky v dvoch populáciách, s rôznymi priemernými hodnotami, pri porovnávaní populácií rôznych mien). Výpočet ukazovateľov miery relatívneho rozptylu sa vykonáva ako pomer absolútneho rozptylového ukazovateľa k aritmetickému priemeru, vynásobený 100 %.

1. Oscilačný koeficient odráža relatívne kolísanie extrémnych hodnôt charakteristiky okolo priemeru

.

2. Relatívne lineárne vypnutie charakterizuje podiel priemernej hodnoty znamienka absolútnych odchýlok od priemernej hodnoty

.

3. Variačný koeficient:

je najbežnejšou mierou variability používanou na posúdenie typickosti priemerných hodnôt.

V štatistike sa populácie s variačným koeficientom vyšším ako 30–35 % považujú za heterogénne.

Tento spôsob hodnotenia variácií má tiež významnú nevýhodu. Nech napríklad pôvodná populácia pracovníkov s priemernou praxou 15 rokov so štandardnou odchýlkou ​​s = 10 rokov „starne“ o ďalších 15 rokov. Teraz = 30 rokov a priemer smerodajná odchýlka stále sa rovná 10. Predtým heterogénna populácia (10/15 × 100 = 66,7 %), čo sa časom ukázalo ako celkom homogénne (10/30 × 100 = 33,3 %).

Boyarsky A.Ya. Teoretické štúdie v štatistike: So. Vedecký Trudov – M.: Štatistika, 1974. s. 19–57.

Predchádzajúce

Ako vypočítať priemer čísel v programe Excel

Nájdite priemer aritmetické čísla v Exceli môžete použiť funkciu.

Syntax AVERAGE

=AVERAGE(číslo1,[číslo2],…) - ruská verzia

Argumenty PRIEMER

• číslo 1– prvé číslo alebo rozsah čísel na výpočet aritmetického priemeru;
• číslo2(Voliteľné) – druhé číslo alebo rozsah čísel na výpočet aritmetického priemeru. Maximálny počet argumentov funkcie je 255.

Ak chcete vypočítať, postupujte takto:

• Vyberte ľubovoľnú bunku;
• Napíšte do nej vzorec =AVERAGE(
• Vyberte rozsah buniek, pre ktoré chcete vykonať výpočet;
• Stlačte kláves „Enter“ na klávesnici

Funkcia vypočíta priemernú hodnotu v určenom rozsahu medzi bunkami, ktoré obsahujú čísla.

Ako nájsť priemerný daný text

Ak sú v rozsahu údajov prázdne riadky alebo text, funkcia ich považuje za „nulu“. Ak medzi údajmi existujú logické výrazy FALSE alebo TRUE, potom funkcia vníma FALSE ako „nulu“ a TRUE ako „1“.

Ako nájsť aritmetický priemer podľa podmienky

Ak chcete vypočítať priemer podľa podmienky alebo kritéria, použite funkciu. Predstavte si napríklad, že máme údaje o predaji produktov:

Našou úlohou je vypočítať priemernú hodnotu predaja pera. Za týmto účelom podnikneme nasledujúce kroky:

• V bunke A13 napíšte názov produktu „Perá“;
• V bunke B13 uveďme vzorec:

=AVERAGEIF(A2:A10;A13;B2:B10)

Rozsah buniek " A2:A10“ označuje zoznam produktov, v ktorých budeme hľadať slovo „Pes“. Argumentovať A13 toto je odkaz na bunku s textom, ktorý budeme hľadať medzi celým zoznamom produktov. Rozsah buniek " B2:B10“ je rozsah s údajmi o predaji produktov, medzi ktorými funkcia nájde „Rukoväte“ a vypočíta priemernú hodnotu.

Na nájdenie priemernej hodnoty v Exceli (bez ohľadu na to, či ide o číselnú, textovú, percentuálnu alebo inú hodnotu) existuje veľa funkcií. A každý z nich má svoje vlastné vlastnosti a výhody. V tejto úlohe môžu byť stanovené určité podmienky.

Napríklad priemerné hodnoty série čísel v Exceli sa vypočítavajú pomocou štatistických funkcií. Môžete tiež ručne zadať svoj vlastný vzorec. Zvážme rôzne možnosti.

Ako nájsť aritmetický priemer čísel?

Ak chcete nájsť aritmetický priemer, musíte sčítať všetky čísla v množine a rozdeliť súčet množstvom. Napríklad známky študenta z informatiky: 3, 4, 3, 5, 5. Čo je zahrnuté v štvrťroku: 4. Aritmetický priemer sme zistili pomocou vzorca: =(3+4+3+5+5) /5.

Ako to rýchlo urobiť pomocou Excel funkcie? Vezmime si napríklad sériu náhodných čísel v reťazci:

Alebo: vytvorte aktívnu bunku a jednoducho zadajte vzorec ručne: =AVERAGE(A1:A8).

Teraz sa pozrime, čo ešte funkcia AVERAGE dokáže.

Nájdite aritmetický priemer prvých dvoch a posledných troch čísel. Vzorec: =AVERAGE(A1:B1,F1:H1). výsledok:



Priemerný stav

Podmienkou na zistenie aritmetického priemeru môže byť číselné kritérium alebo textové kritérium. Použijeme funkciu: =AVERAGEIF().

Nájdite aritmetický priemer čísel, ktoré sú väčšie alebo rovné 10.

Funkcia: =AVERAGEIF(A1:A8,">=10")

Výsledok použitia funkcie AVERAGEIF za podmienky ">=10":

Tretí argument – ​​„Priemerný rozsah“ – je vynechaný. V prvom rade sa to nevyžaduje. Po druhé, rozsah analyzovaný programom obsahuje LEN číselné hodnoty. Bunky zadané v prvom argumente sa budú vyhľadávať podľa podmienky špecifikovanej v druhom argumente.

Pozor! Kritériá vyhľadávania je možné zadať v bunke. A urobte naň odkaz vo vzorci.

Nájdite priemernú hodnotu čísel pomocou textového kritéria. Napríklad priemerný predaj produktu „tabuľky“.

Funkcia bude vyzerať takto: =AVERAGEIF($A$2:$A$12,A7,$B$2:$B$12). Rozsah – stĺpec s názvami produktov. Kritériom vyhľadávania je odkaz na bunku so slovom „tabuľky“ (namiesto odkazu A7 môžete vložiť slovo „tabuľky“). Rozsah priemerovania – bunky, z ktorých sa budú brať údaje na výpočet priemernej hodnoty.

Ako výsledok výpočtu funkcie dostaneme nasledujúcu hodnotu:

Pozor! Pre textové kritérium (podmienku) musí byť špecifikovaný rozsah priemerovania.

Ako vypočítať váženú priemernú cenu v Exceli?

Ako sme zistili váženú priemernú cenu?

Vzorec: =SÚČET (C2:C12,B2:B12)/SÚČET (C2:C12).

Pomocou vzorca SUMPRODUCT zistíme celkovú tržbu po predaji celého množstva tovaru. A funkcia SUM sumarizuje množstvo tovaru. Vydelením celkových príjmov z predaja tovaru celkovým počtom jednotiek tovaru sme zistili váženú priemernú cenu. Tento ukazovateľ zohľadňuje „váhu“ každej ceny. Jeho podiel na celkovej mase hodnôt.

Smerodajná odchýlka: vzorec v Exceli

Existujú štandardné odchýlky pre všeobecnú populáciu a pre vzorku. V prvom prípade ide o koreň všeobecného rozptylu. V druhom z rozptylu vzorky.

Na výpočet tohto štatistického ukazovateľa sa zostaví vzorec rozptylu. Z nej sa extrahuje koreň. Ale v Exceli je pripravená funkcia na nájdenie smerodajnej odchýlky.

Smerodajná odchýlka je viazaná na rozsah zdrojových údajov. Na obrazové znázornenie variácie analyzovaného rozsahu to nestačí. Na získanie relatívnej úrovne rozptylu údajov sa vypočíta variačný koeficient:

smerodajná odchýlka / aritmetický priemer

Vzorec v Exceli vyzerá takto:

STDEV (rozsah hodnôt) / AVERAGE (rozsah hodnôt).

Variačný koeficient sa vypočíta v percentách. Preto v bunke nastavíme percentuálny formát.