Ako vypočítať priemernú hodnotu množstva. Ako nájsť aritmetický priemer a geometrický priemer čísel

Tento výraz má iné významy, pozri priemerný význam.

Priemerná(v matematike a štatistike) množiny čísel - súčet všetkých čísel delený ich počtom. Je to jedna z najbežnejších mier centrálnej tendencie.

Navrhli ho (spolu s geometrickým priemerom a harmonickým priemerom) pytagorejci.

Špeciálnymi prípadmi aritmetického priemeru sú priemer (všeobecná populácia) a výberový priemer (vzorka).

Úvod

Označme súbor údajov X = (X 1 , X 2 , …, X n), potom sa priemer vzorky zvyčajne označuje vodorovným pruhom nad premennou (x ¯ (\displaystyle (\bar (x))), vyslovuje sa „ X s čiarou“).

Grécke písmeno μ sa používa na označenie aritmetického priemeru celej populácie. Pre náhodná premenná, pre ktorý je určená priemerná hodnota, μ je pravdepodobnostný priemer alebo matematické očakávanie náhodnej premennej. Ak súprava X je súbor náhodných čísel s pravdepodobnostným priemerom μ, potom pre ľubovoľnú vzorku X i z tejto množiny μ = E( X i) je matematické očakávanie tejto vzorky.

V praxi je rozdiel medzi μ a x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) v tom, že μ je typická premenná, pretože môžete vidieť vzorku a nie celú populáciu. Preto, ak je vzorka reprezentovaná náhodne (z hľadiska teórie pravdepodobnosti), potom x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) (ale nie μ) možno považovať za náhodnú premennú s rozdelením pravdepodobnosti na vzorke ( pravdepodobnostné rozdelenie priemeru).

Obe tieto množstvá sa vypočítajú rovnakým spôsobom:

X ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\cdots +x_(n)).)

Ak X je náhodná premenná, potom matematické očakávanie X možno považovať za aritmetický priemer hodnôt pri opakovaných meraniach veličiny X. Toto je prejav zákona veľké čísla. Preto sa na odhad neznámej očakávanej hodnoty používa výberový priemer.

V elementárnej algebre sa dokázalo, že priemer n+ 1 číslo nad priemerom nčísla vtedy a len vtedy, ak je nové číslo väčšie ako starý priemer, menšie vtedy a len vtedy, ak je nové číslo menšie ako priemer, a nemení sa vtedy a len vtedy, ak sa nové číslo rovná priemeru. Viac n, čím menší je rozdiel medzi novým a starým priemerom.

Všimnite si, že je k dispozícii niekoľko ďalších „priemerov“ vrátane mocninového priemeru, Kolmogorovovho priemeru, harmonického priemeru, aritmeticko-geometrického priemeru a rôznych vážených priemerov (napr. vážený aritmetický priemer, vážený geometrický priemer, vážený harmonický priemer).

Príklady

Pre tri čísla ich musíte sčítať a vydeliť 3:

x 1 + x 2 + x 3 3 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3))(3)).)

Pre štyri čísla ich musíte sčítať a vydeliť 4:

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3)+x_(4))(4)).)

Alebo jednoduchšie 5+5=10, 10:2. Pretože sme sčítali 2 čísla, čo znamená, koľko čísel sčítame, vydelíme týmto počtom.

Spojitá náhodná premenná

Pre spojito rozložené množstvo f (x) (\displaystyle f(x)) je aritmetický priemer na intervale [ a ; b ] (\displaystyle ) je určený prostredníctvom určitého integrálu:

F (x) - [a; b ] = 1 b − a ∫ a b f (x) d x (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) f(x)dx)

Niektoré problémy pri používaní priemeru

Nedostatok robustnosti

Hlavný článok: Robustnosť v štatistike

Aj keď sa aritmetické priemery často používajú ako priemery alebo centrálne tendencie, tento koncept nie je robustnou štatistikou, čo znamená, že aritmetický priemer je silne ovplyvnený „veľkými odchýlkami“. Je pozoruhodné, že pre distribúcie s veľkým koeficientom šikmosti nemusí aritmetický priemer zodpovedať pojmu „priemer“ a hodnoty priemeru z robustných štatistík (napríklad medián) môžu lepšie opisovať stredný tendencia.

Klasickým príkladom je výpočet priemerného príjmu. Aritmetický priemer môže byť nesprávne interpretovaný ako medián, čo môže viesť k záveru, že existuje viac ľudí s vyššími príjmami, ako ich v skutočnosti je. „Priemerný“ príjem sa interpretuje tak, že väčšina ľudí má príjmy okolo tohto čísla. Tento „priemerný“ (v zmysle aritmetického priemeru) príjem je vyšší ako príjem väčšiny ľudí, keďže vysoký príjem s veľkou odchýlkou od priemeru spôsobuje, že aritmetický priemer je značne skreslený (naproti tomu priemerný príjem na mediáne „odoláva“ takémuto zošikmeniu). Tento „priemerný“ príjem však nehovorí nič o počte ľudí v blízkosti mediánu príjmu (a nehovorí nič o počte ľudí v blízkosti modálneho príjmu). Ak však pojmy „priemer“ a „väčšina ľudí“ beriete na ľahkú váhu, môžete vyvodiť nesprávny záver, že väčšina ľudí má príjmy vyššie, než v skutočnosti sú. Napríklad správa „priemerného“ čistého príjmu v Medine vo Washingtone, vypočítaného ako aritmetický priemer všetkých ročných čistých príjmov obyvateľov, by priniesla prekvapivo veľké číslo vďaka Billovi Gatesovi. Zvážte vzorku (1, 2, 2, 2, 3, 9). Aritmetický priemer je 3,17, ale päť zo šiestich hodnôt je pod týmto priemerom.

Zložené úročenie

Hlavný článok: Návratnosť investícií

Ak čísla množiť, ale nie zložiť, musíte použiť geometrický priemer, nie aritmetický priemer. Najčastejšie sa tento incident vyskytuje pri výpočte návratnosti investícií do financií.

Ak napríklad akcia klesla o 10 % v prvom roku a vzrástla o 30 % v druhom, potom je nesprávne vypočítať „priemerný“ nárast za tieto dva roky ako aritmetický priemer (-10 % + 30 %) / 2 = 10 %; správny priemer je v tomto prípade daný zloženou ročnou mierou rastu, ktorá dáva ročnú mieru rastu len okolo 8,16653826392 % ≈ 8,2 %.

Dôvodom je, že percentá majú zakaždým nový počiatočný bod: 30 % je 30 % z čísla menšieho ako bola cena na začiatku prvého roka: Ak akcia začínala na 30 USD a klesla o 10 %, má na začiatku druhého roka hodnotu 27 USD. Ak by akcia vzrástla o 30 %, na konci druhého roka by mala hodnotu 35,1 USD. Aritmetický priemer tohto rastu je 10 %, ale keďže akcie vzrástli len o 5,1 USD za 2 roky, priemerný rast 8,2 % dáva konečný výsledok 35,1 USD:

[30 USD (1 - 0,1) (1 + 0,3) = 30 USD (1 + 0,082) (1 + 0,082) = 35,1 USD]. Ak použijeme priemer rovnakým spôsobom aritmetická hodnota 10 %, nezískame skutočnú hodnotu: [30 USD (1 + 0,1) (1 + 0,1) = 36,3 USD].

Zložený úrok na konci 2 rokov: 90 % * 130 % = 117 %, to znamená, že celkový nárast je 17 % a priemerný ročný zložený úrok je 117 % ≈ 108,2 % (\displaystyle (\sqrt (117\% ))\cca 108,2\%), teda priemerný ročný nárast o 8,2%.

Inštrukcie

Hlavný článok: Štatistiky destinácií

Pri výpočte aritmetického priemeru nejakej premennej, ktorá sa cyklicky mení (napríklad fáza alebo uhol), je potrebné venovať osobitnú pozornosť. Napríklad priemer 1° a 359° by bol 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+359^(\circ ))(2))=) 180°. Toto číslo je nesprávne z dvoch dôvodov.

Po prvé, uhlové miery sú definované len pre rozsah od 0° do 360° (alebo od 0 do 2π, keď sa meria v radiánoch). Rovnaký pár čísel teda možno zapísať ako (1° a -1°) alebo ako (1° a 719°). Priemerné hodnoty každého páru sa budú líšiť: 1 ∘ + (− 1 ∘) 2 = 0 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+(-1^(\circ )))(2 ))=0 ^(\circ )) , 1 ∘ + 719 ∘ 2 = 360 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+719^(\circ ))(2))=360^(\ circ)).
Po druhé, v tomto prípade bude hodnota 0° (ekvivalent 360°) geometricky lepšou priemernou hodnotou, pretože čísla sa od 0° líšia menej ako od akejkoľvek inej hodnoty (hodnota 0° má najmenší rozptyl). Porovnaj:
- číslo 1° sa líši od 0° len o 1°;
- číslo 1° sa od vypočítaného priemeru 180° odchyľuje o 179°.

Priemerná hodnota pre cyklickú premennú vypočítaná pomocou vyššie uvedeného vzorca bude umelo posunutá vzhľadom na skutočný priemer smerom k stredu číselného rozsahu. Z tohto dôvodu sa priemer vypočítava iným spôsobom, konkrétne sa ako priemerná hodnota vyberie číslo s najmenším rozptylom (stredný bod). Namiesto odčítania sa tiež používa modulárna vzdialenosť (t. j. obvodová vzdialenosť). Napríklad modulárna vzdialenosť medzi 1° a 359° je 2°, nie 358° (na kruhu medzi 359° a 360°==0° - jeden stupeň, medzi 0° a 1° - tiež 1°, celkovo -2 °).

4.3. Priemerné hodnoty. Podstata a význam priemerných hodnôt

Priemerná veľkosť v štatistike je všeobecným ukazovateľom, ktorý charakterizuje typickú úroveň javu v špecifických podmienkach miesta a času, odrážajúci hodnotu meniacej sa charakteristiky na jednotku kvalitatívne homogénnej populácie. V hospodárskej praxi sa používa široká škála ukazovateľov počítaných ako priemerné hodnoty.

Napríklad všeobecný ukazovateľ príjmu pracovníkov akciová spoločnosť(JSC) slúži ako priemerný príjem jedného pracovníka, určený pomerom fondu mzdy a sociálne odvody za sledované obdobie (rok, štvrťrok, mesiac) k počtu pracovníkov as.

Výpočet priemeru je jednou z bežných techník zovšeobecňovania; priemerný ukazovateľ odráža to, čo je spoločné (typické) pre všetky jednotky skúmanej populácie, pričom zároveň ignoruje rozdiely jednotlivých jednotiek. V každom fenoméne a jeho vývoji existuje kombinácia nehody A nevyhnutné. Pri výpočte priemerov sa vďaka zákonu veľkých čísel náhodnosť ruší a je vyvážená, takže možno abstrahovať od nedôležitých vlastností javu, od kvantitatívnych hodnôt podpísať v každom konkrétnom prípade. Schopnosť abstrahovať od náhodnosti jednotlivých hodnôt, výkyvov spočíva vo vedeckej hodnote priemerov ako zovšeobecňujúci charakteristiky populácií.

V prípade potreby zovšeobecnenia vedie výpočet takýchto charakteristík k nahradeniu mnohých rôznych individuálnych hodnôt atribútu priemer indikátor, ktorý charakterizuje celý súbor javov, ktorý umožňuje identifikovať vzorce vlastné masovým spoločenským javom, ktoré sú v jednotlivých javoch neviditeľné.

Priemer odráža charakteristické, typické, reálna úroveň skúmané javy, charakterizuje tieto úrovne a ich zmeny v čase a priestore.

Priemer je súhrnná charakteristika zákonitostí procesu v podmienkach, v ktorých sa vyskytuje.

4.4. Druhy priemerov a metódy ich výpočtu

Voľba typu priemeru je daná ekonomickým obsahom určitého ukazovateľa a zdrojovými údajmi. V každom konkrétnom prípade sa používa jedna z priemerných hodnôt: aritmetika, garmonické, geometrické, kvadratické, kubické atď. Uvedené priemery patria do triedy upokojiť priemer.

Okrem výkonových priemerov sa v štatistickej praxi používajú štrukturálne priemery, ktoré sa považujú za modus a medián.

Pozrime sa podrobnejšie na priemery výkonu.

Aritmetický priemer

Najbežnejším typom priemeru je priemer aritmetika. Používa sa v prípadoch, keď objem rôznej charakteristiky pre celú populáciu je súčtom hodnôt charakteristík jej jednotlivých jednotiek. Pre spoločenských javov charakteristická je aditívnosť (totalita) objemov premennej charakteristiky, ktorá určuje rozsah použitia aritmetického priemeru a vysvetľuje jeho prevahu ako všeobecný ukazovateľ, napr.: celkový mzdový fond je súčtom miezd všetkých pracovníkov, hrubá úroda je súčet produktov vyrobených z celej osiatej plochy.

Ak chcete vypočítať aritmetický priemer, musíte vydeliť súčet všetkých hodnôt funkcií ich počtom.

Vo formulári sa používa aritmetický priemer jednoduchý priemer a vážený priemer. Počiatočná, definujúca forma je jednoduchý priemer.

Jednoduchý aritmetický priemer rovná sa jednoduchému súčtu jednotlivých hodnôt spriemerovanej charakteristiky, vydelenému celkovým počtom týchto hodnôt (používa sa v prípadoch, keď sú nezoskupené individuálnych hodnôt znamenie):

Kde
- jednotlivé hodnoty premennej (varianty); m - počet jednotiek v populácii.

Okrem toho sa vo vzorcoch neuvádzajú limity súčtu. Napríklad potrebujete zistiť priemerný výkon jedného pracovníka (mechanika), ak viete, koľko dielov vyrobil každý z 15 pracovníkov, t.j. je uvedený počet jednotlivých hodnôt charakteristiky, ks:

21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.

Jednoduchý aritmetický priemer sa vypočíta pomocou vzorca (4.1), 1 ks:

Priemer možností, ktoré sa opakujú rôzne veľakrát, alebo, ako sa hovorí, majú rôznu váhu, sa nazýva vážený. Váhy sú počty jednotiek v rôznych skupinách obyvateľstva (rovnaké možnosti sú spojené do skupiny).

Aritmetický priemer vážený- priemer zoskupených hodnôt, - sa vypočíta podľa vzorca:

, (4.2)

Kde
- hmotnosť (frekvencia opakovania rovnakých znakov);

- súčet súčinov veľkosti znakov a ich frekvencií;

- celkový počet jednotiek obyvateľstva.

Techniku výpočtu váženého aritmetického priemeru ilustrujeme na príklade diskutovanom vyššie. Aby sme to dosiahli, zoskupíme zdrojové údaje a umiestnime ich do tabuľky. 4.1.

Tabuľka 4.1

Rozdelenie pracovníkov na výrobu dielov

Podľa vzorca (4.2) sa vážený aritmetický priemer rovná, ks:

IN v niektorých prípadoch váhy môžu byť prezentované nie ako absolútne hodnoty, ale ako relatívne (v percentách alebo zlomkoch jednotky). Potom bude vzorec pre aritmetický vážený priemer vyzerať takto:

Kde
- osobitosť, t.j. podiel každej frekvencie na celkovom súčte všetkých

Ak sa frekvencie počítajú v zlomkoch (koeficientoch), tak
= 1 a vzorec pre aritmeticky vážený priemer má tvar:

Výpočet váženého aritmetického priemeru zo skupinových priemerov vykonávané podľa vzorca:

Kde f- počet jednotiek v každej skupine.

Výsledky výpočtu aritmetického priemeru zo skupinových priemerov sú uvedené v tabuľke. 4.2.

Tabuľka 4.2

Rozdelenie pracovníkov podľa priemernej dĺžky služby

V tomto príklade nie sú možnosťami jednotlivé údaje o dĺžke služby jednotlivých pracovníkov, ale priemer za každú dielňu. Váhy f sú počty pracovníkov v obchodoch. Priemerná pracovná skúsenosť pracovníkov v celom podniku bude teda roky:

Výpočet aritmetického priemeru v distribučných radoch

Ak sú hodnoty spriemerovanej charakteristiky špecifikované vo forme intervalov („od - do“), t.j. intervalový distribučný rad, potom pri výpočte priemeru aritmetická hodnota Stredy týchto intervalov sa berú ako hodnoty charakteristík v skupinách, výsledkom čoho je diskrétna séria. Uvažujme o nasledujúcom príklade (tabuľka 4.3).

Presuňme sa od intervalového radu k diskrétnemu radu nahradením intervalových hodnôt ich priemernými hodnotami/(jednoduchý priemer

Tabuľka 4.3

Rozdelenie pracovníkov JSC podľa úrovne mesačnej mzdy

Skupiny pracovníkov	Počet pracovníkov	Stred intervalu
mzdy, rub.	ľudia, f	rub., X





900 alebo viac

hodnoty otvorených intervalov (prvý a posledný) sú podmienene rovnaké ako priľahlé intervaly (druhý a predposledný).

Pri tomto výpočte priemeru je povolená určitá nepresnosť, pretože sa predpokladá rovnomerné rozloženie jednotiek charakteristiky v rámci skupiny. Čím je však interval užší a čím viac jednotiek v intervale, tým je chyba menšia.

Po nájdení stredných bodov intervalov sa výpočty vykonajú rovnakým spôsobom ako v diskrétnom rade - možnosti sa vynásobia frekvenciami (váhmi) a súčet súčinov sa vydelí súčtom frekvencií (váh) , tisíc rubľov:

takže, priemerná úroveň odmena pre pracovníkov JSC je 729 rubľov. za mesiac.

Výpočet aritmetického priemeru často vyžaduje veľa času a práce. V mnohých prípadoch však môže byť postup výpočtu priemeru zjednodušený a uľahčený, ak využijete jeho vlastnosti. Uveďme (bez dôkazu) niektoré základné vlastnosti aritmetického priemeru.

Nehnuteľnosť 1. Ak všetky jednotlivé hodnoty charakteristiky (t.j. všetky možnosti) znížiť alebo zvýšiť ikrát, potom priemerná hodnota nová charakteristika sa zodpovedajúcim spôsobom zníži alebo zvýši iraz.

Nehnuteľnosť 2. Ak sa znížia všetky varianty spriemerovanej charakteristikyšiť alebo zvýšiť o číslo A, potom zodpovedá aritmetický priemersa skutočne zníži alebo zvýši o rovnaké číslo A.

Nehnuteľnosť 3. Ak sa znížia váhy všetkých spriemerovaných možností alebo zvýšiť o Komu krát, potom sa aritmetický priemer nezmení.

Ako priemerné váhy môžete namiesto absolútnych ukazovateľov použiť špecifické váhy v celkovom súčte (podiely alebo percentá). To zjednodušuje výpočty priemeru.

Aby sa zjednodušili výpočty priemeru, sledujú cestu znižovania hodnôt možností a frekvencií. Najväčšie zjednodušenie sa dosiahne, keď ako A hodnota jednej z centrálnych možností, ktorá má najvyššiu frekvenciu, sa vyberie ako / - hodnota intervalu (pre série s rovnakými intervalmi). Veličina A sa nazýva referenčný bod, preto sa tento spôsob výpočtu priemeru nazýva „metóda počítania od podmienenej nuly“, resp. "v spôsobe okamihov."

Predpokladajme, že všetky možnosti X najprv sa znížil o rovnaké číslo A a potom sa znížil o i raz. Získame nový variačný rad distribúcie nových možností .

Potom nové možnosti bude vyjadrené:

a ich nový aritmetický priemer , -moment prvej objednávky- vzorec:

Rovná sa priemeru pôvodných možností, najskôr znížených o A, a potom dovnútra i raz.

Na získanie skutočného priemeru je potrebný moment prvého rádu m 1 , vynásobte i a pridať A:

Táto metóda výpočet aritmetického priemeru z radu variácií sa nazýva "v spôsobe okamihov." Táto metóda sa používa v riadkoch v rovnakých intervaloch.

Výpočet aritmetického priemeru pomocou metódy momentov ilustrujú údaje v tabuľke. 4.4.

Tabuľka 4.4

Rozdelenie malých podnikov v regióne podľa nákladov kapitálu výrobné aktíva(OPF) v roku 2000

Skupiny podnikov podľa hodnoty OPF, tisíc rubľov.	Počet podnikov f	Stredy intervalov X
14-16 16-18 18-20 20-22 22-24

Nájdenie momentu prvej objednávky

Potom vezmite A = 19 a viete to i= 2, vypočítajte X, tisíc rubľov.:

Typy priemerných hodnôt a metódy ich výpočtu

V štádiu štatistického spracovania možno nastaviť rôzne výskumné problémy, na riešenie ktorých je potrebné zvoliť vhodný priemer. V tomto prípade je potrebné riadiť sa nasledujúcim pravidlom: veličiny, ktoré predstavujú čitateľa a menovateľa priemeru, musia spolu logicky súvisieť.

výkonové priemery;
štrukturálne priemery.

Predstavme si nasledujúce konvencie:

množstvá, pre ktoré sa vypočítava priemer;

Priemer, kde stĺpec vyššie naznačuje, že dochádza k spriemerovaniu jednotlivých hodnôt;

Frekvencia (opakovateľnosť jednotlivých charakteristických hodnôt).

Rôzne priemery sú odvodené zo všeobecného vzorca priemerného výkonu:

(5.1)

keď k = 1 - aritmetický priemer; k = -1 - harmonický priemer; k = 0 - geometrický priemer; k = -2 - stredná odmocnina.

Priemerné hodnoty môžu byť jednoduché alebo vážené. Vážené priemery Toto sú hodnoty, ktoré berú do úvahy, že niektoré varianty hodnôt atribútov môžu mať rôzne čísla, a preto je potrebné každú možnosť vynásobiť týmto číslom. Inými slovami, „stupnice“ sú počty agregovaných jednotiek v rôznych skupinách, t.j. Každá možnosť je „vážená“ svojou frekvenciou. Frekvencia f sa nazýva štatistická váha alebo Priemerná hmotnosť.

Aritmetický priemer- najbežnejší typ priemeru. Používa sa, keď sa výpočet vykonáva na nezoskupených štatistických údajoch, kde potrebujete získať priemerný termín. Aritmetický priemer je priemerná hodnota charakteristiky, po ktorej získaní zostáva celkový objem charakteristiky v súhrne nezmenený.

Vzorec aritmetického priemeru ( jednoduché) má tvar

kde n je veľkosť populácie.

Napríklad priemerná mzda zamestnancov podniku sa vypočíta ako aritmetický priemer:

Určujúcimi ukazovateľmi sú tu mzda každého zamestnanca a počet zamestnancov podniku. Pri výpočte priemeru zostala celková výška miezd rovnaká, no rovnomerne rozdelená medzi všetkých zamestnancov. Napríklad musíte vypočítať priemernú mzdu pracovníkov v malej spoločnosti, ktorá zamestnáva 8 ľudí:

Pri výpočte priemerných hodnôt sa môžu jednotlivé hodnoty spriemerovanej charakteristiky opakovať, teda výpočet priemerná veľkosť vytvorené pomocou zoskupených údajov. V tomto prípade hovoríme o o používaní vážený aritmetický priemer, ktorý má podobu

(5.3)

Potrebujeme teda vypočítať priemernú cenu akcií akciovej spoločnosti pri obchodovaní na burze. Je známe, že transakcie sa uskutočnili do 5 dní (5 transakcií), počet akcií predaných za predajný kurz bol rozdelený takto:

1 - 800 ak. - 1010 rubľov.

2 - 650 ak. - 990 rubľov.

3 - 700 ak. - 1015 rubľov.

4 - 550 ak. - 900 rubľov.

5 - 850 ak. - 1150 rubľov.

Počiatočný pomer na určenie priemernej ceny akcií je pomer celkového množstva transakcií (TVA) k počtu predaných akcií (KPA).

Priemerná hodnota je všeobecný ukazovateľ charakterizujúci typickú úroveň javu. Vyjadruje hodnotu charakteristiky na jednotku populácie.

Priemerná hodnota je:

1) najtypickejšia hodnota atribútu pre populáciu;

2) objem atribútu populácie, rovnomerne rozdelený medzi jednotky populácie.

Charakteristika, pre ktorú sa vypočítava priemerná hodnota, sa v štatistike nazýva „priemerná“.

Priemer vždy zovšeobecňuje kvantitatívnu variáciu znaku, t.j. v priemerných hodnotách sa eliminujú jednotlivé rozdiely medzi jednotkami v populácii vplyvom náhodných okolností. Na rozdiel od priemeru absolútna hodnota charakterizujúca úroveň charakteristiky jednotlivej jednotky populácie neumožňuje porovnávať hodnoty charakteristiky jednotiek patriacich do rôznych populácií. Ak teda potrebujete porovnať úrovne odmeňovania pracovníkov v dvoch podnikoch, nemôžete na tomto základe porovnávať dvoch zamestnancov rôznych podnikov. Odmeňovanie pracovníkov vybraných na porovnanie nemusí byť pre tieto podniky typické. Ak porovnáme veľkosť mzdových prostriedkov v posudzovaných podnikoch, neberie sa do úvahy počet zamestnancov, a preto nie je možné určiť, kde je úroveň miezd vyššia. V konečnom dôsledku sa dajú porovnávať len priemerné ukazovatele, t.j. Koľko v priemere zarobí jeden zamestnanec v každom podniku? Preto je potrebné vypočítať priemernú hodnotu ako zovšeobecňujúcu charakteristiku populácie.

Je dôležité poznamenať, že počas procesu spriemerovania musí celková hodnota úrovní atribútov alebo ich konečná hodnota (v prípade výpočtu priemerných úrovní v dynamickom rade) zostať nezmenená. Inými slovami, pri výpočte priemernej hodnoty by nemal byť skreslený objem skúmanej charakteristiky a výrazy zostavené pri výpočte priemeru musia nevyhnutne dávať zmysel.

Výpočet priemeru je jednou z bežných techník zovšeobecňovania; priemerný ukazovateľ popiera to, čo je spoločné (typické) pre všetky jednotky skúmanej populácie, pričom zároveň ignoruje rozdiely jednotlivých jednotiek. V každom fenoméne a jeho vývoji je spojenie náhody a nevyhnutnosti. Pri výpočte priemerov sa v dôsledku pôsobenia zákona veľkých čísel náhodnosť ruší a vyrovnáva, takže je možné abstrahovať od nedôležitých vlastností javu, od kvantitatívnych hodnôt charakteristiky v každom konkrétnom prípade. . Schopnosť abstrahovať od náhodnosti jednotlivých hodnôt a výkyvov spočíva vo vedeckej hodnote priemerov ako zovšeobecňujúcich charakteristík agregátov.

Aby bol priemer skutočne reprezentatívny, musí byť vypočítaný s prihliadnutím na určité zásady.

Pozrime sa na niektoré všeobecné zásady aplikácie priemerných hodnôt.

1. Priemer sa musí určiť pre populácie pozostávajúce z kvalitatívne homogénnych jednotiek.

2. Priemer sa musí vypočítať pre populáciu pozostávajúcu z dostatočných veľké číslo Jednotky.

3. Priemer sa musí vypočítať pre populáciu, ktorej jednotky sú v normálnom, prirodzenom stave.

4. Priemer by sa mal vypočítať s prihliadnutím na ekonomický obsah skúmaného ukazovateľa.

5.2. Druhy priemerov a metódy ich výpočtu

Pozrime sa teraz na typy priemerných hodnôt, vlastnosti ich výpočtu a oblasti použitia. Priemerné hodnoty sú rozdelené do dvoch veľkých tried: priemery výkonu, štrukturálne priemery.

Mocninné prostriedky zahŕňajú najznámejšie a často používané typy, ako je geometrický priemer, aritmetický priemer a štvorcový priemer.

Modus a medián sa považujú za štrukturálne priemery.

Zamerajme sa na priemery výkonu. Výkonové priemery v závislosti od prezentácie zdrojových údajov môžu byť jednoduché alebo vážené. Jednoduchý priemer Vypočítava sa na základe nezoskupených údajov a má nasledujúcu všeobecnú formu:

kde Xi je variant (hodnota) spriemerovanej charakteristiky;

n – možnosť čísla.

Vážený priemer sa vypočítava na základe zoskupených údajov a má všeobecný vzhľad

kde X i je variant (hodnota) spriemerovanej charakteristiky alebo stredná hodnota intervalu, v ktorom sa variant meria;

m – index priemerného stupňa;

f i – frekvencia ukazujúca, koľkokrát sa vyskytuje i-e hodnota priemerná charakteristika.

Ak vypočítate všetky typy priemerov pre rovnaké počiatočné údaje, ich hodnoty sa ukážu byť odlišné. Platí tu pravidlo väčšiny priemerov: so zvyšujúcim sa exponentom m sa zvyšuje aj zodpovedajúca priemerná hodnota:

V štatistickej praxi sa aritmetické priemery a harmonické vážené priemery používajú častejšie ako iné typy vážených priemerov.

Druhy energetických prostriedkov

Druh moci priemer	Index stupeň (m)	Vzorec na výpočet
Druh moci priemer	Index stupeň (m)	Jednoduché	Vážené
Harmonický
Geometrické
Aritmetika
Kvadratický
Kubický

Harmonický priemer má viac komplexný dizajn ako aritmetický priemer. Harmonický priemer sa používa na výpočty, keď sa ako váhy nepoužívajú jednotky populácie - nositelia charakteristiky, ale súčin týchto jednotiek hodnotami charakteristiky (t.j. m = Xf). Priemerná harmonická jednoduchá by sa mala uchýliť v prípadoch určovania napríklad priemerných nákladov na prácu, čas, materiály na jednotku výroby, na jednu časť pre dva (tri, štyri atď.) podniky, pracovníkov zaoberajúcich sa výrobou rovnakého typu výrobku, rovnakej časti, výrobku.

Hlavnou požiadavkou na vzorec na výpočet priemernej hodnoty je, aby všetky fázy výpočtu mali skutočné zmysluplné opodstatnenie; výsledná priemerná hodnota by mala nahradiť jednotlivé hodnoty atribútu pre každý objekt bez narušenia spojenia medzi jednotlivými a súhrnnými ukazovateľmi. Inými slovami, priemerná hodnota sa musí vypočítať tak, že pri nahradení každej jednotlivej hodnoty spriemerovaného ukazovateľa jej priemernou hodnotou zostane nejaký výsledný sumárny ukazovateľ, tak či onak spojený so spriemerovaným ukazovateľom, nezmenený. Tento súčet je tzv definovanie pretože povaha jeho vzťahu s jednotlivými hodnotami určuje špecifický vzorec na výpočet priemernej hodnoty. Ukážme toto pravidlo na príklade geometrického priemeru.

Vzorec geometrického priemeru

používa sa najčastejšie pri výpočte priemernej hodnoty na základe individuálnej relatívnej dynamiky.

Geometrický priemer sa používa, ak je daná postupnosť reťazovej relatívnej dynamiky, ktorá indikuje napríklad nárast objemu výroby v porovnaní s úrovňou predchádzajúceho roka: i 1, i 2, i 3,…, i n. Je zrejmé, že objem výroby za posledný rok je určený jej počiatočnou úrovňou (q 0) a následným nárastom v priebehu rokov:

q n = q 0 × i 1 × i 2 ×…×i n .

Ak vezmeme q n ako určujúci ukazovateľ a nahradíme jednotlivé hodnoty ukazovateľov dynamiky priemernými, dostaneme sa k vzťahu

Odtiaľ

Na štúdium sa používa špeciálny typ priemerov - štruktúrne priemery vnútorná štruktúra sériu rozdelenia hodnôt atribútov, ako aj na odhad priemernej hodnoty (typ výkonu), ak jej výpočet nemožno vykonať podľa dostupných štatistických údajov (napríklad ak v uvažovanom príklade neexistujú údaje o objeme produkcie a výšky nákladov pre skupiny podnikov).

Ukazovatele sa najčastejšie používajú ako štrukturálne priemery móda - najčastejšie sa opakujúca hodnota atribútu – a mediány – hodnota charakteristiky, ktorá rozdeľuje usporiadanú postupnosť svojich hodnôt na dve rovnaké časti. Výsledkom je, že pre jednu polovicu jednotiek v populácii hodnota atribútu nepresahuje strednú úroveň a pre druhú polovicu nie je nižšia ako ona.

Ak má sledovaná charakteristika diskrétne hodnoty, potom pri výpočte modu a mediánu nie sú žiadne zvláštne ťažkosti. Ak sú údaje o hodnotách atribútu X prezentované vo forme usporiadaných intervalov jeho zmeny (intervalový rad), výpočet režimu a mediánu sa trochu skomplikuje. Keďže hodnota mediánu rozdeľuje celú populáciu na dve rovnaké časti, končí v jednom z intervalov charakteristiky X. Pomocou interpolácie sa hodnota mediánu nachádza v tomto intervale mediánu:

kde X Me je spodná hranica stredného intervalu;

h Ja – jeho hodnota;

(Sum m)/2 – polovica z celkového počtu pozorovaní alebo polovica objemu ukazovateľa, ktorý sa používa ako váha vo vzorcoch na výpočet priemernej hodnoty (v absolútnom alebo relatívnom vyjadrení);

S Me-1 – súčet pozorovaní (alebo objem váhového atribútu) nahromadených pred začiatkom mediánu intervalu;

m Me – počet pozorovaní alebo objem vážiacej charakteristiky v strednom intervale (aj v absolútnom alebo relatívnom vyjadrení).

Pri výpočte modálnej hodnoty charakteristiky na základe údajov série intervalov je potrebné venovať pozornosť skutočnosti, že intervaly sú identické, pretože od toho závisí indikátor opakovateľnosti hodnôt charakteristiky X intervalový rad s rovnakými intervalmi, veľkosť módu je určená ako

kde X Mo je nižšia hodnota modálneho intervalu;

m Mo – počet pozorovaní alebo objem váhovej charakteristiky v modálnom intervale (v absolútnom alebo relatívnom vyjadrení);

m Mo-1 – to isté pre interval predchádzajúci modálnemu;

m Po+1 – to isté pre interval nasledujúci po modálnom;

h – hodnota intervalu zmeny charakteristiky v skupinách.

ÚLOHA 1

Za skupinu priemyselných podnikov za vykazovaný rok sú k dispozícii nasledujúce údaje

№ podnikov	Objem produktu, milióny rubľov.		Priemerný počet zamestnancov, ľudí.	Zisk, tisíc rubľov
	197,7	10,0		13,5
		22,8	1500	136,2
	465,5	18,4	1412	97,6
	296,2	12,6	1200	44,4
	584,1	22,0	1485	146,0
	480,0	119,0	1420	110,4
	57805	21,6	1390	138,7
	204,7			30,6
	466,8	19,4	1375	111,8
	292,2	113,6	1200	49,6
	423,1	17,6	1365	105,8
	192,6			30,7
	360,5	14,0	1290	64,8
	280,3	10,2		33,3

Je potrebné zoskupiť podniky na výmenu produktov v týchto intervaloch:

až 200 miliónov rubľov.

od 200 do 400 miliónov rubľov.

od 400 do 600 miliónov rubľov.

Pre každú skupinu a pre všetky spolu určite počet podnikov, objem výroby, priemerný počet zamestnancov, priemerný výkon na zamestnanca. Prezentujte výsledky zoskupenia vo forme štatistickej tabuľky. Formulujte záver.

RIEŠENIE

Zoskupíme podniky podľa výmeny produktov, vypočítame počet podnikov, objem výroby a priemerný počet zamestnancov pomocou jednoduchého vzorca priemeru. Výsledky zoskupovania a výpočtov sú zhrnuté v tabuľke.

Skupiny podľa objemu produktu	№ podnikov	Objem produktu, milióny rubľov.	Priemerné ročné náklady na fixné aktíva, milióny rubľov.	Stredný spánok šťavnaté množstvo zamestnancov, ľudí.	Zisk, tisíc rubľov	Priemerný výkon na zamestnanca
1 skupina až 200 miliónov rubľov.	1,8,12	197,7 204,7 192,6	10,0 9,4 8,8	900 817	13,5 30,6 30,7
			28,2	2567	74,8	0,23
Priemerná úroveň		198,3			24,9
2. skupina od 200 do 400 miliónov rubľov.	4,10,13,14	196,2 292,2 360,5 280,3	12,6 113,6 14,0 10,2	1200 1200 1290	44,4 49,6 64,8 33,3
		1129,2	150,4	4590	192,1	0,25
Priemerná úroveň		282,3	37,6	1530	64,0
3 skupina od 400 do 600 miliónov	2,3,5,6,7,9,11	592 465,5 584,1 480,0 578,5 466,8 423,1	22,8 18,4 22,0 119,0 21,6 19,4 17,6	1500 1412 1485 1420 1390 1375 1365	136,2 97,6 146,0 110,4 138,7 111,8 105,8
		3590	240,8	9974	846,5	0,36
Priemerná úroveň		512,9	34,4	1421	120,9
Celkovo v súhrne		5314,2	419,4	17131	1113,4	0,31
V priemere		379,6	59,9	1223,6	79,5

Záver. V uvažovanej populácii teda najväčší počet podnikov z hľadiska objemu výroby patril do tretej skupiny – sedem, resp. polovica podnikov. V tejto skupine sú aj priemerné ročné náklady na fixné aktíva, ako aj vysoký priemerný počet zamestnancov - 9974 osôb sú podniky prvej skupiny najmenej ziskové.

ÚLOHA 2

K dispozícii sú nasledujúce údaje o podnikoch spoločnosti

Číslo podniku zahrnutého v spoločnosti	Ja štvrť	II štvrťrok
	Výstup produktu, tisíc rubľov.	Človeko-dni odpracované robotníkmi	Priemerný výkon na pracovníka za deň, rub.
	59390,13

Keď sa začne hovoriť o priemeroch, ľudia si najčastejšie spomenú, ako skončili školu a nastúpili na vysokú školu. vzdelávacia inštitúcia. Potom sa na základe vysvedčenia vypočítalo priemerné skóre: všetky známky (dobré aj nie veľmi dobré) sa spočítali, výsledná suma sa vydelila ich počtom. Takto sa vypočíta najjednoduchší typ priemeru, ktorý sa nazýva jednoduchý aritmetický priemer. V praxi sa v štatistike používajú rôzne typy priemerov: aritmetické, harmonické, geometrické, kvadratické, štruktúrne priemery. Jeden alebo druhý typ sa používa v závislosti od povahy údajov a účelov štúdie.

priemerná hodnota je najbežnejším štatistickým ukazovateľom, pomocou ktorého je daná všeobecná charakteristika súboru podobných javov podľa jednej z rôznych charakteristík. Ukazuje úroveň charakteristiky na jednotku populácie. Pomocou priemerných hodnôt sa porovnávajú rôzne populácie podľa rôznych charakteristík a študujú sa zákonitosti vývoja javov a procesov spoločenského života.

V štatistike sa používajú dve triedy priemerov: mocenské (analytické) a štrukturálne. Posledné uvedené sa používajú na charakterizáciu štruktúry variačná séria a bude diskutované ďalej v kapitole. 8.

Skupina výkonových priemerov zahŕňa aritmetické, harmonické, geometrické a kvadratické priemery. Jednotlivé vzorce na ich výpočet je možné zredukovať do podoby spoločnej pre všetky výkonové priemery, a to

kde m je exponent mocninového priemeru: s m = 1 dostaneme vzorec na výpočet aritmetického priemeru, kde m = 0 - geometrický priemer, m = -1 - harmonický priemer, s m = 2 - kvadratický priemer ;

x i - možnosti (hodnoty, ktoré atribút nadobúda);

f i - frekvencie.

Hlavnou podmienkou, za ktorej je možné použiť priemery výkonu v štatistickej analýze, je homogenita populácie, ktorá by nemala obsahovať počiatočné údaje, ktoré sa výrazne líšia svojou kvantitatívnou hodnotou (v literatúre sa nazývajú anomálne pozorovania).

Ukážme dôležitosť tejto podmienky na nasledujúcom príklade.

Príklad 6.1. Vypočítajme priemernú mzdu zamestnancov malého podniku.

Tabuľka 6.1. Mzdy zamestnancov

Nie	Plat, rub.	Nie	Plat, rub.
1	5 950	11	7 000
2	6 790	12	5 950
3	6 790	13	6 790
4	5 950	14	5 950
5	7 000	5	6 790
6	6 790	16	7 000
7	5 950	17	6 790
8	7 000	18	7 000
9	6 790	19	7 000
10	6 790	20	5 950

Na výpočet priemernej mzdy je potrebné spočítať mzdy všetkých zamestnancov podniku (t. j. nájsť mzdový fond) a rozdeliť ich počtom zamestnancov:

Teraz k nášmu celkovému počtu pripočítajme iba jednu osobu (riaditeľa tohto podniku), ale s platom 50 000 rubľov. V tomto prípade bude vypočítaný priemer úplne odlišný:

Ako vidíme, presahuje 7 000 rubľov atď. je väčšia ako všetky hodnoty atribútov s výnimkou jedného pozorovania.

Aby sa takéto prípady v praxi nevyskytovali a priemer nestratil význam (v príklade 6.1 už nehrá rolu zovšeobecňujúcej charakteristiky populácie, ktorou by mal byť), pri výpočte priemeru, anomálne, ostro vynikajúce pozorovania by mali byť z analýzy vylúčené a témy robia populáciu homogénnou, alebo rozdeľte populáciu do homogénnych skupín a vypočítajte priemerné hodnoty pre každú skupinu a neanalyzujte celkový priemer, ale priemerné hodnoty skupiny.

6.1. Aritmetický priemer a jeho vlastnosti

Aritmetický priemer sa vypočíta buď ako jednoduchá, alebo ako vážená hodnota.

Pri výpočte priemernej mzdy podľa údajov v tabuľkovom príklade 6.1 sme zrátali všetky hodnoty atribútu a vydelili ich počtom. Priebeh našich výpočtov zapíšeme vo forme jednoduchého vzorca aritmetického priemeru

kde x i - možnosti (jednotlivé hodnoty charakteristiky);

n je počet jednotiek v súhrne.

Príklad 6.2. Teraz zoskupme naše údaje z tabuľky v príklade 6.1 atď. Zostavme si diskrétny variačný rad rozdelenia pracovníkov podľa mzdovej úrovne. Výsledky zoskupenia sú uvedené v tabuľke.

Výraz na výpočet úrovne priemernej mzdy napíšme v kompaktnejšej podobe:

V príklade 6.2 sa použil vzorec váženého aritmetického priemeru

kde f i sú frekvencie ukazujúce, koľkokrát sa hodnota atribútu x i y vyskytuje v jednotkách populácie.

Je vhodné vypočítať aritmetický vážený priemer v tabuľke, ako je uvedené nižšie (tabuľka 6.3):

Tabuľka 6.3. Výpočet aritmetického priemeru v diskrétnom rade

Počiatočné údaje	Odhadovaný ukazovateľ
plat, rub.	počet zamestnancov, ľudí	mzdový fond, rub.
x i	f i	x i f i
5 950	6	35 760
6 790	8	54 320
7 000	6	42 000
Celkom	20	132 080

Treba poznamenať, že jednoduchý aritmetický priemer sa používa v prípadoch, keď údaje nie sú zoskupené alebo zoskupené, ale všetky frekvencie sú rovnaké.

Výsledky pozorovania sú často prezentované vo forme intervalových distribučných radov (pozri tabuľku v príklade 6.4). Potom pri výpočte priemeru sa stredy intervalov berú ako x i. Ak sú prvý a posledný interval otvorené (nemajú jednu z hraníc), potom sú podmienečne „uzavreté“, pričom hodnota susedného intervalu sa považuje za hodnotu tohto intervalu atď. prvý je uzavretý na základe hodnoty druhého a posledný - podľa hodnoty predposledného.

Príklad 6.3. Na základe výsledkov výberového zisťovania jednej zo skupín obyvateľstva vypočítame výšku priemerného peňažného príjmu na obyvateľa.

Vo vyššie uvedenej tabuľke je stred prvého intervalu 500. Hodnota druhého intervalu je skutočne 1000 (2000-1000); potom spodná hranica prvého je 0 (1000-1000) a jeho stred je 500. To isté urobíme s posledným intervalom. Berieme 25 000 ako jeho stred: hodnota predposledného intervalu je 10 000 (20 000 - 10 000), potom je jeho horná hranica 30 000 (20 000 + 10 000) a stred je podľa toho 25 000.

Tabuľka 6.4. Výpočet aritmetického priemeru v intervalovom rade

Priemerný peňažný príjem na obyvateľa, rub. za mesiac	Celkový počet obyvateľov, % f i	Stredy intervalov x i	x i f i
Až 1 000	4,1	500	2 050
1 000-2 000	8,6	1 500	12 900
2 000-4 000	12,9	3 000	38 700
4 000-6 000	13,0	5 000	65 000
6 000-8 000	10,5	7 000	73 500
8 000-10 000	27,8	9 000	250 200
10 000-20 000	12,7	15 000	190 500
20 000 a viac	10,4	25 000	260 000
Celkom	100,0	-	892 850

Potom bude priemerný mesačný príjem na obyvateľa

V štatistike sa používajú rôzne typy priemerov, ktoré sú rozdelené do dvoch veľkých tried:

Mocninné priemery (harmonický priemer, geometrický priemer, aritmetický priemer, kvadratický priemer, kubický priemer);

Štrukturálne prostriedky (modus, medián).

Kalkulovať výkonové priemery je potrebné použiť všetky dostupné charakteristické hodnoty. Móda A medián sú určené len štruktúrou rozdelenia, preto sa nazývajú štrukturálne, polohové priemery. Medián a modus sa často používajú ako priemerná charakteristika v tých populáciách, kde je výpočet stredného výkonu nemožný alebo nepraktický.

Najbežnejším typom priemeru je aritmetický priemer. Pod aritmetický priemer sa chápe ako hodnota charakteristiky, ktorú by mala každá jednotka populácie, ak by celkový súčet všetkých hodnôt charakteristiky bol rozdelený rovnomerne medzi všetky jednotky populácie. Výpočet tejto hodnoty spočíva v súčte všetkých hodnôt meniacej sa charakteristiky a vydelení výsledného množstva celkovým počtom jednotiek v populácii. Napríklad päť pracovníkov splnilo zákazku na výrobu dielov, pričom prvý vyrobil 5 dielov, druhý – 7, tretí – 4, štvrtý – 10, piaty – 12. Keďže v zdrojových údajoch bola hodnota každého možnosť sa vyskytla iba raz, určiť

Na určenie priemerného výkonu jedného pracovníka by sa mal použiť jednoduchý aritmetický priemerný vzorec:

t.j. v našom príklade sa priemerný výkon jedného pracovníka rovná

Spolu s jednoduchým aritmetickým priemerom študujú vážený aritmetický priemer. Vypočítajme si napríklad priemerný vek študentov v skupine 20 ľudí, ktorých vek sa pohybuje od 18 do 22 rokov, kde xi– varianty charakteristiky, ktorá sa spriemeruje, fi– frekvencia, ktorá ukazuje, koľkokrát sa vyskytuje i-tý hodnotu v súhrne (tabuľka 5.1).

Tabuľka 5.1

Priemerný vek študentov

Použitím vzorca váženého aritmetického priemeru dostaneme:

Ak chcete vybrať vážený aritmetický priemer, existuje isté pravidlo: ak existuje séria údajov o dvoch ukazovateľoch, z ktorých pre jeden je potrebné vypočítať

priemerná hodnota a zároveň sú známe číselné hodnoty menovateľa jeho logického vzorca a hodnoty čitateľa sú neznáme, ale možno ich nájsť ako súčin týchto ukazovateľov, potom by mala byť priemerná hodnota sa vypočíta pomocou vzorca aritmetického váženého priemeru.

V niektorých prípadoch je povaha počiatočných štatistických údajov taká, že výpočet aritmetického priemeru stráca zmysel a jediným zovšeobecňujúcim ukazovateľom môže byť iba iný typ priemernej hodnoty - harmonický priemer. V súčasnosti výpočtové vlastnosti aritmetického priemeru stratili svoj význam pri výpočte všeobecných štatistických ukazovateľov v dôsledku rozsiahleho zavádzania elektronickej výpočtovej techniky. Harmonická stredná hodnota, ktorá môže byť aj jednoduchá a vážená, nadobudla veľký praktický význam. Ak sú známe číselné hodnoty čitateľa logického vzorca a hodnoty menovateľa sú neznáme, ale možno ich nájsť ako čiastočné rozdelenie jedného ukazovateľa druhým, potom sa priemerná hodnota vypočíta pomocou harmonickej vzorec váženého priemeru.

Napríklad, nech je známe, že prvých 210 km auto prešlo rýchlosťou 70 km/h a zvyšných 150 km rýchlosťou 75 km/h. Nie je možné určiť priemernú rýchlosť auta počas celej cesty 360 km pomocou vzorca aritmetického priemeru. Keďže možnosti sú rýchlosti v jednotlivých úsekoch xj= 70 km/h a X2= 75 km/h a závažia (fi) sa považujú za zodpovedajúce úseky trasy, potom súčin možností a závaží nebude mať fyzický ani ekonomický význam. V tomto prípade kvocienty nadobúdajú význam rozdelením úsekov cesty na zodpovedajúce rýchlosti (možnosti xi), t. j. čas strávený prejdením jednotlivých úsekov cesty (fi / xi). Ak sú segmenty cesty označené fi, potom bude celá cesta vyjadrená ako?fi a čas strávený na celej ceste bude vyjadrený ako?fi. fi / xi , Potom priemernú rýchlosť možno nájsť ako podiel celej trasy vydelený celkovým časom stráveným:

V našom príklade dostaneme:

Ak sú pri použití harmonického priemeru váhy všetkých možností (f) rovnaké, potom namiesto váženého môžete použiť jednoduchý (nevážený) harmonický priemer:

kde xi sú jednotlivé možnosti; n– počet variantov spriemerovanej charakteristiky. V rýchlostnom príklade by sa mohol použiť jednoduchý harmonický priemer, ak by boli segmenty dráhy prejdené rôznymi rýchlosťami rovnaké.

Akákoľvek priemerná hodnota sa musí vypočítať tak, aby sa pri nahradení každého variantu spriemerovanej charakteristiky nezmenila hodnota nejakého konečného všeobecného ukazovateľa, ktorý je spojený so spriemerovaným ukazovateľom. Pri nahradení skutočných rýchlostí na jednotlivých úsekoch trasy ich priemernou hodnotou (priemernou rýchlosťou) by sa teda celková vzdialenosť meniť nemala.

Forma (vzorec) priemernej hodnoty je určená povahou (mechanizmom) vzťahu tohto výsledného ukazovateľa k spriemerovanému, preto je konečný ukazovateľ, ktorého hodnota by sa pri nahradení opcií ich priemernou hodnotou nemala meniť. volal definujúci ukazovateľ. Ak chcete odvodiť vzorec pre priemer, musíte vytvoriť a vyriešiť rovnicu pomocou vzťahu medzi spriemerovaným ukazovateľom a určujúcim. Táto rovnica je vytvorená nahradením variantov spriemerovanej charakteristiky (ukazovateľa) ich priemernou hodnotou.

Okrem aritmetického a harmonického priemeru sa v štatistike používajú aj iné typy (formy) priemeru. Všetko sú to špeciálne prípady priemer výkonu. Ak vypočítame všetky typy priemerov výkonu pre rovnaké údaje, potom hodnoty

dopadnú rovnako, tu platí pravidlo major-ranty priemer. So zvyšujúcim sa exponentom priemeru sa zvyšuje aj samotná priemerná hodnota. Najčastejšie používané výpočtové vzorce v praktickom výskume rôzne druhy priemerné hodnoty výkonu sú uvedené v tabuľke. 5.2.

Tabuľka 5.2

Druhy energetických prostriedkov

Geometrický priemer sa používa, ak existuje n rastové koeficienty, pričom jednotlivé hodnoty charakteristiky sú spravidla hodnoty relatívnej dynamiky, konštruované vo forme reťazových hodnôt, ako pomer k predchádzajúcej úrovni každej úrovne v rade dynamiky. Priemer teda charakterizuje priemernú mieru rastu. Priemerná geometrická jednoduchá vypočítané podľa vzorca

Vzorec vážený geometrický priemer má nasledujúci tvar:

Vyššie uvedené vzorce sú identické, ale jeden sa používa pre aktuálne koeficienty alebo miery rastu a druhý sa používa pre absolútne hodnoty úrovní série.

Hlavné námestie používa sa pri výpočtoch s hodnotami kvadratických funkcií, používa sa na meranie miery fluktuácie jednotlivých hodnôt charakteristiky okolo aritmetického priemeru v distribučnom rade a vypočíta sa podľa vzorca

Vážený stredný štvorec vypočítané pomocou iného vzorca:

Priemerný kubický používa sa pri výpočte s množstvami kubické funkcie a vypočíta sa podľa vzorca

priemerná kubická váha:

Všetky vyššie uvedené priemerné hodnoty možno prezentovať ako všeobecný vzorec:

kde je priemerná hodnota; – individuálny význam; n– počet skúmaných jednotiek populácie; k– exponent, ktorý určuje typ priemeru.

Pri použití rovnakých zdrojových údajov tým viac k V všeobecný vzorec priemerný výkon, tým väčšia je priemerná hodnota. Z toho vyplýva, že medzi hodnotami priemerov výkonu existuje prirodzený vzťah:

Vyššie popísané priemerné hodnoty poskytujú všeobecnú predstavu o skúmanej populácii a z tohto hľadiska je ich teoretický, aplikačný a vzdelávací význam nesporný. Stáva sa však, že priemerná hodnota sa nezhoduje so žiadnou zo skutočne existujúcich možností, preto je okrem uvažovaných priemerov v štatistickej analýze vhodné použiť aj hodnoty konkrétnych možností, ktoré zaujímajú veľmi špecifickú pozíciu v usporiadaný (zoradený) rad hodnôt atribútov. Z týchto množstiev sa najčastejšie používajú štrukturálne, alebo popisný, priemerný– režim (Mo) a medián (Me).

Móda– hodnota vlastnosti, ktorá sa najčastejšie vyskytuje v danej populácii. Vo vzťahu k variačnému radu je mód najčastejšie sa vyskytujúcou hodnotou zoradeného radu, teda možnosťou s najvyššou frekvenciou. Móda môže byť použitá pri určovaní obchodov, ktoré sú navštevované častejšie, najbežnejšej ceny akéhokoľvek produktu. Ukazuje veľkosť znaku charakteristického pre významnú časť populácie a je určená vzorcom

kde x0 je spodná hranica intervalu; h- veľkosť intervalu; fm– intervalová frekvencia; fm_ 1 – frekvencia predchádzajúceho intervalu; fm+ 1 – frekvencia nasledujúceho intervalu.

Medián volá sa možnosť umiestnená v strede hodnoteného riadku. Medián rozdeľuje sériu na dve rovnaké časti tak, že na oboch jej stranách je rovnaký počet populačných jednotiek. V tomto prípade má jedna polovica jednotiek v populácii hodnotu meniacej sa charakteristiky, ktorá je menšia ako medián, zatiaľ čo druhá polovica má hodnotu väčšiu ako je medián. Medián sa používa pri štúdiu prvku, ktorého hodnota je väčšia alebo rovná, alebo súčasne menšia alebo rovná polovici prvkov distribučného radu. Medián dáva Všeobecná myšlienka o tom, kde sú sústredené hodnoty atribútu, inými slovami, kde sa nachádza ich stred.

Opisná povaha mediánu sa prejavuje v tom, že charakterizuje kvantitatívnu hranicu hodnôt rôznej charakteristiky, ktorú má polovica jednotiek v populácii. Problém nájdenia mediánu pre sériu diskrétnych variácií je ľahko vyriešený. Ak majú všetky jednotky série poradové čísla, potom poradové číslo možnosti medián je určené ako (n + 1) / 2 s nepárnym počtom členov n. Ak je počet členov série párne číslo , potom bude medián priemernou hodnotou dvoch možností, ktoré majú sériové čísla n/ 2 a n/ 2 + 1.

Pri určovaní mediánu v intervalových variačných sériách najskôr určte interval, v ktorom sa nachádza (mediánový interval). Tento interval je charakteristický tým, že jeho akumulovaný súčet frekvencií sa rovná alebo presahuje polovicu súčtu všetkých frekvencií radu. Medián série intervalových variácií sa vypočíta pomocou vzorca

Kde X0– spodná hranica intervalu; h- veľkosť intervalu; fm– intervalová frekvencia; f– počet členov série;

M -1 – súčet akumulovaných členov radu predchádzajúcich danému.

Spolu s mediánom pre viac plné vlastnostištruktúry skúmanej populácie využívajú aj iné hodnoty možností, ktoré zaujímajú veľmi špecifickú pozíciu v hodnotenej sérii. Tie obsahujú kvartily A decilov. Kvartily rozdeľujú sériu podľa súčtu frekvencií na 4 rovnaké časti a decily - na 10 rovnakých častí. Existujú tri kvartily a deväť decilov.

Medián a modus na rozdiel od aritmetického priemeru neodstraňujú individuálne rozdiely v hodnotách premennej charakteristiky, a preto sú doplnkovými a veľmi dôležitými charakteristikami štatistickej populácie. V praxi sa často používajú namiesto priemeru alebo spolu s ním. Zvlášť vhodné je vypočítať medián a modus v prípadoch, keď skúmaná populácia obsahuje určitý počet jednotiek s veľmi veľkou alebo veľmi malou hodnotou premennej charakteristiky. Tieto hodnoty možností, ktoré nie sú príliš charakteristické pre populáciu, pričom ovplyvňujú hodnotu aritmetického priemeru, neovplyvňujú hodnoty mediánu a režimu, čo z nich robí veľmi cenné ukazovatele pre ekonomické a štatistické analýza.

5.1. Koncept priemeru

Priemerná hodnota - Ide o všeobecný ukazovateľ charakterizujúci typickú úroveň javu. Vyjadruje hodnotu charakteristiky na jednotku populácie.

Priemer vždy zovšeobecňuje kvantitatívnu variáciu znaku, t.j. v priemerných hodnotách sa eliminujú jednotlivé rozdiely medzi jednotkami v populácii vplyvom náhodných okolností. Na rozdiel od priemeru absolútna hodnota charakterizujúca úroveň charakteristiky jednotlivej jednotky populácie neumožňuje porovnávať hodnoty charakteristiky medzi jednotkami patriacimi do rôznych populácií. Ak teda potrebujete porovnať úrovne odmeňovania pracovníkov v dvoch podnikoch, nemôžete na tomto základe porovnávať dvoch zamestnancov rôznych podnikov. Odmeňovanie pracovníkov vybraných na porovnanie nemusí byť pre tieto podniky typické. Ak porovnáme veľkosť mzdových prostriedkov v posudzovaných podnikoch, neberie sa do úvahy počet zamestnancov, a preto nie je možné určiť, kde je úroveň miezd vyššia. V konečnom dôsledku sa dajú porovnávať len priemerné ukazovatele, t.j. Koľko v priemere zarobí jeden zamestnanec v každom podniku? Preto je potrebné vypočítať priemernú hodnotu ako zovšeobecňujúcu charakteristiku populácie.

Aby bol priemer skutočne reprezentatívny, musí byť vypočítaný s prihliadnutím na určité zásady.

Zastavme sa pri niektorých všeobecných zásadách používania priemerov.
1. Priemer sa musí určiť pre populácie pozostávajúce z kvalitatívne homogénnych jednotiek.
2. Priemer sa musí vypočítať pre populáciu pozostávajúcu z dostatočne veľkého počtu jednotiek.
3. Priemer sa musí vypočítať pre populáciu, ktorej jednotky sú v normálnom, prirodzenom stave.
4. Priemer by sa mal vypočítať s prihliadnutím na ekonomický obsah skúmaného ukazovateľa.

5.2. Druhy priemerov a metódy ich výpočtu

Pozrime sa teraz na typy priemerných hodnôt, vlastnosti ich výpočtu a oblasti použitia. Priemerné hodnoty sú rozdelené do dvoch veľkých tried: priemery výkonu, štrukturálne priemery.

TO priemer výkonu Patria sem najznámejšie a najčastejšie používané typy, ako je geometrický priemer, aritmetický priemer a kvadratický priemer.

Ako štrukturálne priemery zohľadňuje sa režim a medián.

kde Xi je variant (hodnota) spriemerovanej charakteristiky;

n – možnosť čísla.

Vážený priemer sa vypočítava na základe zoskupených údajov a má všeobecný vzhľad

kde X i je variant (hodnota) spriemerovanej charakteristiky alebo stredná hodnota intervalu, v ktorom sa variant meria;
m – index priemerného stupňa;
f i – frekvencia ukazujúca, koľkokrát sa vyskytuje hodnota i-e spriemerovanej charakteristiky.

Uveďme ako príklad výpočet priemerného veku študentov v skupine 20 ľudí:

Priemerný vek vypočítame pomocou jednoduchého priemerného vzorca:

Zoskupme zdrojové údaje. Získame nasledujúce distribučné série:

V dôsledku zoskupovania získame nový ukazovateľ – frekvenciu, označujúci počet žiakov vo veku X rokov. Preto sa priemerný vek študentov v skupine vypočíta pomocou vzorca váženého priemeru:

Všeobecné vzorce na výpočet priemerov výkonu majú exponent (m). V závislosti od hodnoty, ktorú naberá, sa rozlišujú tieto typy priemerov výkonu:
harmonický priemer, ak m = -1;
geometrický priemer, ak m –> 0;
aritmetický priemer, ak m = 1;
stredná hodnota štvorca, ak m = 2;
priemerná kubická, ak m = 3.

Vzorce pre priemery výkonu sú uvedené v tabuľke. 4.4.

V štatistickej praxi sa aritmetické priemery a harmonické vážené priemery používajú častejšie ako iné typy vážených priemerov.

Tabuľka 5.1

Druhy energetických prostriedkov

Druh moci priemer	Index stupeň (m)	Vzorec na výpočet
Druh moci priemer	Index stupeň (m)	Jednoduché	Vážené
Harmonický	-1
Geometrické	0
Aritmetika	1
Kvadratický	2
Kubický	3

Harmonický priemer má zložitejšiu štruktúru ako aritmetický priemer. Harmonický priemer sa používa na výpočty, keď sa ako váhy nepoužívajú jednotky populácie - nositelia charakteristiky, ale súčin týchto jednotiek hodnotami charakteristiky (t.j. m = Xf). Priemerná harmonická jednoduchá by sa mala uchýliť v prípadoch určovania napríklad priemerných nákladov na prácu, čas, materiály na jednotku výroby, na jednu časť pre dva (tri, štyri atď.) podniky, pracovníkov zaoberajúcich sa výrobou rovnakého typu výrobku, rovnakej časti, výrobku.

Hlavnou požiadavkou na vzorec na výpočet priemernej hodnoty je, aby všetky fázy výpočtu mali skutočné zmysluplné opodstatnenie; výsledná priemerná hodnota by mala nahradiť jednotlivé hodnoty atribútu pre každý objekt bez narušenia spojenia medzi jednotlivými a súhrnnými ukazovateľmi. Inými slovami, priemerná hodnota sa musí vypočítať tak, že pri nahradení každej jednotlivej hodnoty spriemerovaného ukazovateľa jej priemernou hodnotou zostane nejaký výsledný sumárny ukazovateľ, tak či onak spojený so spriemerovanou hodnotou, nezmenený. Tento súčet je tzv definovanie pretože povaha jeho vzťahu s jednotlivými hodnotami určuje špecifický vzorec na výpočet priemernej hodnoty. Ukážme toto pravidlo na príklade geometrického priemeru.

Vzorec geometrického priemeru

používa sa najčastejšie pri výpočte priemernej hodnoty na základe individuálnej relatívnej dynamiky.

Geometrický priemer sa použije, ak je daná postupnosť reťazovej relatívnej dynamiky, označujúca napríklad nárast produkcie v porovnaní s úrovňou predchádzajúceho roka: i 1, i 2, i 3,..., i n. Je zrejmé, že objem výroby za posledný rok je určený jej počiatočnou úrovňou (q 0) a následným nárastom v priebehu rokov:

q n =q 0 × i 1 × i 2 ×...×i n .

Ak vezmeme q n ako určujúci ukazovateľ a nahradíme jednotlivé hodnoty ukazovateľov dynamiky priemernými, dostaneme sa k vzťahu

Odtiaľ

5.3. Štrukturálne priemery

Špeciálny typ priemerných hodnôt - štrukturálne priemery - sa používa na štúdium vnútornej štruktúry distribučných radov hodnôt atribútov, ako aj na odhad priemernej hodnoty (typu výkonu), ak je podľa dostupných štatistických údajov jeho výpočet nie je možné vykonať (napr. ak v uvažovanom príklade neboli k dispozícii údaje o objeme výroby aj o výške nákladov podľa skupín podnikov).

kde X Me je spodná hranica stredného intervalu;
h Ja – jeho hodnota;
(Sum m)/2 – polovica z celkového počtu pozorovaní alebo polovica objemu ukazovateľa, ktorý sa používa ako váha vo vzorcoch na výpočet priemernej hodnoty (v absolútnom alebo relatívnom vyjadrení);
S Me-1 – súčet pozorovaní (alebo objem váhového atribútu) nahromadených pred začiatkom mediánu intervalu;
m Me – počet pozorovaní alebo objem vážiacej charakteristiky v strednom intervale (aj v absolútnom alebo relatívnom vyjadrení).

V našom príklade možno získať dokonca tri stredné hodnoty - na základe počtu podnikov, objemu výroby a celkových výrobných nákladov:

V polovici podnikov teda náklady na jednotku výroby presahujú 125,19 tisíc rubľov, polovica celkového objemu výrobkov sa vyrába s nákladmi na výrobok vyššími ako 124,79 tisíc rubľov. a 50% celkových nákladov sa tvorí, keď sú náklady na jeden výrobok vyššie ako 125,07 tisíc rubľov. Všimnite si tiež, že existuje určitá tendencia k zvýšeniu nákladov, pretože Me 2 = 124,79 tisíc rubľov a priemerná úroveň je 123,15 tisíc rubľov.

kde X Mo je nižšia hodnota modálneho intervalu;
m Mo – počet pozorovaní alebo objem váhovej charakteristiky v modálnom intervale (v absolútnom alebo relatívnom vyjadrení);
m Mo -1 – rovnaký pre interval predchádzajúci modálnemu;
m Po+1 – to isté pre interval nasledujúci po modálnom;
h – hodnota intervalu zmeny charakteristiky v skupinách.

Pre náš príklad môžeme vypočítať tri modálne hodnoty na základe charakteristík počtu podnikov, objemu produktov a výšky nákladov. Vo všetkých troch prípadoch je modálny interval rovnaký, pretože pre rovnaký interval je najväčší počet podnikov, objem výroby a celková výška výrobných nákladov:

Najčastejšie teda existujú podniky s úrovňou nákladov 126,75 tisíc rubľov, najčastejšie sa výrobky vyrábajú s úrovňou nákladov 126,69 tisíc rubľov a výrobné náklady sa najčastejšie vysvetľujú úrovňou nákladov 123,73 tisíc rubľov.

5.4. Variačné ukazovatele

Špecifické podmienky, v ktorých sa každý zo skúmaných objektov nachádza, ako aj črty ich vlastného vývoja (sociálneho, ekonomického a pod.) vyjadrujú zodpovedajúce číselné úrovne štatistických ukazovateľov. teda variácia, tie. nesúlad medzi úrovňami toho istého ukazovateľa v rôznych objektoch má objektívny charakter a pomáha pochopiť podstatu skúmaného javu.

Na meranie odchýlky v štatistike sa používa niekoľko metód.

Najjednoduchšie je vypočítať ukazovateľ rozsah variácií H ako rozdiel medzi maximálnymi (X max) a minimálnymi (X min) pozorovanými hodnotami charakteristiky:

H = X max - X min.

Rozsah variácií však ukazuje iba extrémne hodnoty vlastnosti. Opakovateľnosť stredných hodnôt sa tu neberie do úvahy.

Prísnejšie charakteristiky sú indikátormi variability vo vzťahu k priemernej úrovni atribútu. Najjednoduchším ukazovateľom tohto typu je priemerná lineárna odchýlka L ako aritmetický priemer absolútnych odchýlok charakteristiky od jej priemernej úrovne:

Ak sú jednotlivé hodnoty X opakovateľné, použite vzorec váženého aritmetického priemeru:

(Pripomeňme, že algebraický súčet odchýlok od priemernej úrovne je nula.)

Priemerný ukazovateľ lineárna odchýlka nájdené široké uplatnenie na praxi. S jeho pomocou sa analyzuje napríklad zloženie pracovníkov, rytmus výroby, rovnomernosť dodávok materiálov, rozvíjajú sa systémy materiálnych stimulov. Ale, bohužiaľ, tento ukazovateľ komplikuje pravdepodobnostné výpočty a komplikuje použitie metód matematickej štatistiky. Preto sa v štatistickom vedeckom výskume najčastejšie používa ukazovateľ na meranie variácie odchýlky.

Rozptyl charakteristiky (s 2) je určený na základe kvadratického mocninného priemeru:

Označuje sa indikátor s rovný priemer štvorcová odchýlka.

IN všeobecná teória V štatistike je rozptylový indikátor odhadom rovnomenného indikátora teórie pravdepodobnosti a (ako súčet štvorcových odchýlok) odhadom rozptylu v matematickej štatistike, čo umožňuje využiť ustanovenia týchto teoretických disciplín pre analýza sociálno-ekonomických procesov.

Ak sa variácia odhaduje z malého počtu pozorovaní získaných z neobmedzenej populácie, potom sa priemerná hodnota charakteristiky určí s určitou chybou. Vypočítaná hodnota rozptylu sa ukazuje byť posunutá smerom k poklesu. Ak chcete získať nestranný odhad rozptyl vzorky, získaný z vyššie uvedených vzorcov, sa musí vynásobiť hodnotou n / (n - 1). Výsledkom je, že s malým počtom pozorovaní (< 30) дисперсию признака рекомендуется вычислять по формуле

Zvyčajne už pre n > (15÷20) sa rozdiel medzi skreslenými a nezaujatými odhadmi stáva nevýznamným. Z rovnakého dôvodu sa vo vzorci na sčítanie odchýlok zvyčajne nezohľadňuje odchýlka.

Ak sa odoberie niekoľko vzoriek z bežnej populácie a zakaždým sa určí priemerná hodnota charakteristiky, potom nastáva problém s hodnotením variability priemerov. Odhad rozptylu priemerná hodnota je to možné na základe len jedného pozorovania vzorky pomocou vzorca

kde n je veľkosť vzorky; s 2 – rozptyl charakteristiky vypočítanej z údajov vzorky.

Rozsah sa volá priemerná vzorkovacia chyba a je charakteristikou odchýlky vzorovej priemernej hodnoty atribútu X od jeho skutočnej priemernej hodnoty. Indikátor priemernej chyby sa používa na posúdenie spoľahlivosti výsledkov pozorovania vzorky.

Indikátory relatívneho rozptylu. Na charakterizáciu miery variability sledovanej charakteristiky sa ukazovatele variability vypočítajú v relatívnych hodnotách. Umožňujú porovnávať charakter rozptylu v rôznych distribúciách (rôzne jednotky pozorovania tej istej charakteristiky v dvoch populáciách, s rôznymi priemernými hodnotami, pri porovnávaní populácií rôznych mien). Výpočet ukazovateľov miery relatívneho rozptylu sa vykonáva ako pomer absolútneho rozptylového ukazovateľa k aritmetickému priemeru, vynásobený 100 %.

1. Oscilačný koeficient odráža relatívne kolísanie extrémnych hodnôt charakteristiky okolo priemeru

2. Relatívne lineárne vypnutie charakterizuje podiel priemernej hodnoty znamienka absolútnych odchýlok od priemernej hodnoty

3. Variačný koeficient:

je najbežnejšou mierou variability používanou na posúdenie typickosti priemerných hodnôt.

V štatistike sa populácie s variačným koeficientom vyšším ako 30–35 % považujú za heterogénne.

Tento spôsob hodnotenia variácií má tiež významnú nevýhodu. Nech napríklad pôvodná populácia pracovníkov s priemernou praxou 15 rokov so štandardnou odchýlkou s = 10 rokov „starne“ o ďalších 15 rokov. Teraz = 30 rokov a smerodajná odchýlka je stále 10. Predtým heterogénna populácia (10/15 × 100 = 66,7 %), čo sa časom ukázalo ako celkom homogénne (10/30 × 100 = 33,3 %).

Boyarsky A.Ya. Teoretické štúdie v štatistike: So. Vedecký Trudov – M.: Štatistika, 1974. s. 19–57.

Predchádzajúce