2 kockát dobunk. Kocka valószínűsége

Feladatok 1.4 - 1.6

Probléma 1.4 feltétel

Jelölje meg a hibát a probléma „megoldásában”: két dobókockát dobunk; keresse meg annak valószínűségét, hogy a hengerelt pontok összege 3 (A esemény). "Megoldás". A tesztnek két kimenetele lehetséges: a kiesett pontok összege 3, a kiesett pontok összege nem egyenlő 3-mal. Az A eseménynek egy eredmény kedvez, a kimenetelek száma összesen kettő. Ezért a szükséges valószínűség egyenlő P(A) = 1/2.

Az 1.4. feladat megoldása

Ennek a „megoldásnak” az a tévedése, hogy a kérdéses kimenetelek nem egyformán valószínűek. A helyes döntés: az egyformán valószínű kimenetelek száma egyenlő (az egyik kockán dobott pontok száma kombinálható a másik kockán dobott pontok számával). Ezen eredmények közül csak két eredmény kedvez az eseménynek: (1; 2) és (2; 1). Tehát a kívánt valószínűség

Válasz:

Probléma 1.5 feltétel

Két kockát dobnak. Határozza meg a következő események valószínűségét: a) a hengerelt pontok összege hét; b) az elejtett pontok összege nyolc, a különbség négy; c) az elejtett pontok összege nyolc, ha ismert, hogy különbségük négy; d) a kiesett pontok összege öt, a szorzat négy.

Az 1.5. feladat megoldása

a) Hat változat az első kockán, hat a másodikon. Összes opció: (termékszabály szerint). Opciók 7-tel egyenlő összegre: (1.6), (6.1), (2.5), (5.2), (3.4), (4.3) - összesen hat lehetőség. Eszközök,

b) Csak két megfelelő lehetőség: (6.2) és (2.6). Eszközök,

c) Csak két megfelelő lehetőség van: (2.6), (6.2). De csak lehetőségek 4: (2.6), (6.2), (1.5), (5.1). Azt jelenti,.

d) 5-tel egyenlő összeg esetén a következő lehetőségek megfelelőek: (1.4), (4.1), (2.3), (3.2). A termék 4, csak két lehetőség esetén. Akkor

Válasz: a) 1/6; b) 1/18; c) 1/2; d) 1/18

Probléma 1.6 feltétel

Egy kockát, amelynek minden oldala festett, ezer azonos méretű kockára fűrészeljük, amelyeket aztán alaposan összekeverünk. Határozza meg annak valószínűségét, hogy szerencsére a kivett kockának színes lapjai vannak: a) egy; b) kettő; három órakor.

Az 1.6. feladat megoldása

Összesen 1000 kocka alakult ki. Kocka három színes lappal: 8 (ezek sarokkockák). Két festett lappal: 96 (mert 12 kockaél van, mindegyik élen 8 kocka). Festett élű kocka: 384 (mivel 6 lap van, és mindegyik lapon 64 kocka van). Minden talált számot el kell osztani 1000-rel.

Válasz: a) 0,384; b) 0,096 c) 0,008

Minden feladatban B6 be Valószínűségi elmélet, amelyeket bemutatnak Nyitott állásbank számára, meg kell találni valószínűség bármilyen eseményt.

Csak egyet kell tudnia képlet, amelyet a számításhoz használnak valószínűség:

Ebben a képletben p az esemény valószínűsége,

k- nyelven a minket "elégítő" események száma Valószínűségi elméletúgy hívják kedvező eredményeket.

n- az összes lehetséges esemény számát, ill az összes lehetséges eredmény száma.

Nyilvánvaló, hogy az összes lehetséges esemény száma nagyobb, mint a kedvező kimenetelek száma, tehát valószínűség egy érték kisebb vagy egyenlő, mint 1.

Ha egy valószínűség esemény egyenlő 1-gyel, ami azt jelenti, hogy ez az esemény biztosan megtörténik. Az ilyen eseményt ún hiteles. Például az, hogy vasárnap után hétfő lesz, sajnos egy bizonyos esemény, és annak valószínűsége 1.

A legnagyobb nehézségek a feladatok megoldásában éppen a k és n számok megtalálásával adódnak.

Természetesen, mint minden probléma megoldásánál, a problémák megoldásánál is Valószínűségi elmélet gondosan el kell olvasnia a feltételt, hogy helyesen megértse, mit adnak és mit kell megtalálni.

Nézzünk néhány példát a problémák megoldására tól től nyitott bank számára készült megbízások .

Példa1. NÁL NÉL véletlenszerű kísérlet dobj két kockát. Határozza meg annak valószínűségét, hogy összesen 8 pontot kap. Az eredményt kerekítse a legközelebbi századra.

Egy pont essen az első kockára, aztán 6 eshet a másodikra különféle lehetőségeket. Így, mivel az első kocka 6 különböző lappal rendelkezik, a különböző opciók száma összesen 6x6=36.

De nem vagyunk megelégedve mindennel. A feladat feltétele szerint a kiesett pontok összege 8 legyen. Készítsünk egy táblázatot a kedvező kimenetelekről!

Látjuk, hogy a számunkra megfelelő eredmények száma 5.

Így annak a valószínűsége, hogy összesen 8 pont esik ki, 5/36=0,13(8).

Még egyszer elolvassuk a feladat kérdését: az eredményt századokra kell kerekíteni.

Emlékezzünk kerekítési szabály.

Századokra kell kerekíteni. Ha a századok után következő számjegy (azaz az ezrelékes számjegyben) 5-nél nagyobb vagy azzal egyenlő szám, akkor a százados számjegyhez hozzáadunk 1-et, ha ez a szám kisebb, mint 5, akkor a században lévő szám változatlan marad.

Nálunk a 8 az ezredik helyen áll, így a századik helyen álló 3-ast 1-gyel növeljük.

Tehát p=5/36 ≈0,14

Válasz: 0,14

2. példa A tornabajnokságon 20 sportoló vesz részt: 8 Oroszországból, 7 USA-ból, a többiek Kínából. A tornászok teljesítményének sorrendjét sorsolással határozzák meg. Határozza meg annak valószínűségét, hogy az elsőként versenyző sportoló Kínából származik.

Ebben a feladatban a lehetséges kimenetelek száma 20 - ez az összes sportoló száma.

Keresse meg a kedvező eredmények számát. Ez megegyezik a Kínából érkező sportolók számával.

Ily módon

Válasz: 0,25

3. példa: Átlagosan 1000 eladott kerti szivattyúból 5 szivárog. Határozza meg annak valószínűségét, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott szivattyú nem szivárog.

Ebben a feladatban n=1000.

Nem szivárgó szivattyúk érdekelnek minket. Számuk 1000-5=995. Azok.

Feladatok a valószínűség dobókocka nem kevésbé népszerű, mint az érmefeldobási problémák. Egy ilyen probléma feltétele általában így hangzik: egy vagy több kocka (2 vagy 3) dobásakor mekkora a valószínűsége annak, hogy a pontok összege 10 lesz, vagy a pontok száma 4, vagy a pontok száma, vagy 2-vel osztható a pontok számának szorzata stb.

A képlet alkalmazása klasszikus valószínűség az ilyen típusú problémák megoldásának fő módszere.

Egy halál, a valószínűség.

Elég egyszerű kezelni egyet dobókocka. a következő képlet határozza meg: P=m/n, ahol m az esemény kedvező kimeneteleinek száma, n pedig a kocka vagy kocka feldobásával végzett kísérlet összes elemi, egyformán lehetséges kimenetelének száma.

1. feladat. Egy kockát egyszer dobnak. Mennyi a valószínűsége, hogy páros számú pontot kapunk?

Mivel a kocka egy kocka (vagy más néven szabályos kocka, a kocka minden lapjára azonos valószínűséggel esik, mivel kiegyensúlyozott), a kocka 6 lappal rendelkezik (a pontok száma 1-től 6-ig, ami általában pontokkal jelöljük), ami azt jelenti, hogy a feladatban az összes eredmény: n=6. Az eseménynek csak az a végeredmény kedvez, amikor egy páros 2,4 és 6 ponttal rendelkező arc esik ki, ilyen lapok kockájára: m=3. Most meg tudjuk határozni egy kocka kívánt valószínűségét: P=3/6=1/2=0,5.

2. feladat. Egy kockát egyszer dobunk. Mennyi a valószínűsége annak, hogy legalább 5 pontot kap?

Ezt a problémát a fenti példával analóg módon oldjuk meg. Kockadobásnál az egyformán lehetséges kimenetelek száma összesen: n=6, és a feladat feltételét teljesíti (legalább 5 pont esett ki, azaz 5 vagy 6 pont esett ki) csak 2 kimenet, ami m-t jelent. =2. Ezután megtaláljuk a kívánt valószínűséget: P=2/6=1/3=0,333.

Két kocka, valószínűség.

Amikor 2 dobókockával kapcsolatos problémákat old meg, nagyon kényelmes egy speciális pontozótábla használata. Rajta az első kockára eső pontok száma vízszintesen, a második kockára esett pontok száma pedig függőlegesen van ábrázolva. A munkadarab így néz ki:

De felmerül a kérdés, mi lesz a táblázat üres celláiban? Ez a megoldandó feladattól függ. Ha egy feladatban beszélgetünk pontok összegéről, akkor ott az összeget rögzítjük, és ha a különbségről, akkor a különbséget és így tovább.

3. feladat. Egyszerre 2 kockát dobunk. Mennyi a valószínűsége annak, hogy 5 pontnál kisebb összeget kapunk?

Először ki kell találnia, hogy mennyi lesz a kísérlet összes eredménye. Minden nyilvánvaló volt, amikor egy kockát dobott a kocka 6 oldala - a kísérlet 6 eredménye. De ha már két kocka van, akkor a lehetséges kimeneteleket az (x, y) alakú rendezett számpárok formájában ábrázolhatjuk, ahol x azt mutatja, hogy hány pont esett az első kockára (1-től 6-ig), és y - hány pont esett a második kockára (1-től 6-ig). Összesen ilyen számpárok lesznek: n=6*6=36 (az eredménytáblázatban 36 cella felel meg nekik).

Most már kitöltheti a táblázatot, ehhez minden cellába beírják az első és a második kockára esett pontok összegének számát. Az elkészült táblázat így néz ki:

A táblázatnak köszönhetően meghatározzuk azon kimenetelek számát, amelyek kedveznek az eseménynek "összesen 5 pont alá esik". Számoljuk meg a cellák számát, amelyek összege kisebb lesz, mint az 5 (ezek 2, 3 és 4). A kényelem kedvéért az ilyen cellákat átfestjük, m = 6 lesz:

A táblázat adatai alapján kocka valószínűsége egyenlő: P=6/36=1/6.

4. feladat. Két kockát dobtak. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a pontok számának szorzata osztható 3-mal!

A feladat megoldásához táblázatot készítünk az első és a második kockára esett pontok szorzatairól. Ebben azonnal kiválasztjuk azokat a számokat, amelyek 3 többszörösei:

Felírjuk a kísérlet összes kimenetelének számát n=36 (az indoklás ugyanaz, mint az előző feladatnál) és a kedvező kimenetelek számát (a táblázatban árnyékolt cellák száma) m=20. Egy esemény valószínűsége: P=20/36=5/9.

5. feladat. Egy kockát kétszer dobunk. Mekkora a valószínűsége annak, hogy az első és a második dobókocka pontjai között 2 és 5 között lesz a különbség?

Hogy meghatározza kocka valószínűségeÍrjuk fel a pontszámkülönbségek táblázatát, és jelöljük ki benne azokat a cellákat, amelyekben a különbség értéke 2 és 5 között lesz:

A kedvező kimenetelek száma (a táblázatban árnyékolt cellák száma) egyenlő m=10, az ugyanilyen lehetséges elemi kimenetek száma összesen n=36 lesz. Meghatározza egy esemény valószínűségét: P=10/36=5/18.

Egyszerű esemény esetén és 2 dobókocka dobásakor fel kell építeni egy táblázatot, majd ki kell választani benne a szükséges cellákat, és el kell osztani a számukat 36-tal, ez valószínűségnek számít.

Válasz balra Vendég

Egy kockával a helyzet obszcén egyszerű. Hadd emlékeztesselek arra, hogy a valószínűséget a P=m/n képlet határozza meg
P
=
m
n
, ahol n
n
- a kocka vagy kocka feldobásával végzett kísérlet minden egyformán lehetséges elemi kimenetelének száma, és m
m
- az eseménynek kedvezõ kimenetelek száma.

Példa 1. Egy kockát egyszer dobnak. Mennyi a valószínűsége, hogy páros számú pontot kapunk?

Mivel a kocka egy kocka (úgy is mondják, hogy szabályos kocka, vagyis a kocka kiegyensúlyozott, így minden lapra azonos valószínűséggel esik), a kocka lapjai 6 (1-től több ponttal). 6-ig, általában pontokkal jelölve), akkor és a feladat összes kimenetelének száma n=6
n
=
6
. Csak azok a kimenetelek kedveznek az eseménynek, amikor egy 2, 4 vagy 6 pontos (csak páros) arc kiesik, ilyen arcok m = 3
m
=
3
. Ekkor a kívánt valószínűség P=3/6=1/2=0,5
P
=
3
6
=
1
2
=
0.5
.

2. példa: dobunk egy kockát. Határozza meg annak valószínűségét, hogy legalább 5 pontot kap.

Ugyanúgy érvelünk, mint az előző példában. Az egyformán valószínű kimenetelek száma kockadobáskor n=6
n
=
6
, és a "legalább 5 pont kiesett", vagyis "5 vagy 6 pont esett ki" feltétel 2 kimenetel teljesül, m=2
m
=
2
. A szükséges valószínűség: P=2/6=1/3=0,333
P
=
2
6
=
1
3
=
0.333
.

Nem is látom értelmét több példát mondani, térjünk át két kockára, ahol minden érdekesebb és nehezebb.

Két kocka

Ha 2 kocka dobásával kapcsolatos problémákról van szó, nagyon kényelmes a pontozótábla használata. Ábrázoljuk az első kocka pontjainak számát vízszintesen, a második kocka pontjainak számát pedig függőlegesen. Vegyünk egy ilyen üreset (általában Excelben csinálom, az alábbi fájlt tudod letölteni):

pontozótábla 2 dobókocka dobásához
És mi van a táblázat cellákkal, kérdezed? És attól függ, milyen problémát fogunk megoldani. Lesz egy feladat a pontösszegről - oda írjuk az összeget, a különbségről - felírjuk a különbséget stb. Kezdjük?

3. példa: 2 kockát dobunk egyszerre. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a teljes dobás kisebb, mint 5.

Először is foglalkozzunk a kísérlet eredményeinek teljes számával. amikor egy kockával dobtunk, minden nyilvánvaló volt, 6 arc - 6 eredmény. Itt már két csont található, így az eredményeket (x, y) alakú rendezett számpárokként ábrázolhatjuk.
x
,
y
, ahol x
x
- hány pont esett az első kockára (1-ről 6-ra), y
y
- hány pont esett a második kockára (1-ről 6-ra). Nyilvánvalóan n=6⋅6=36 ilyen számpár lesz
n
=
6
⋅
6
=
36
(és csak 36 cellának felelnek meg az eredménytáblázatban).

Itt az ideje a táblázat kitöltésének. Minden cellába beírjuk az első és a második dobókockán elejtett pontok összegét, és a következő képet kapjuk:

pontozótábla 2 dobókocka dobásához
Most ez a táblázat segít megtalálni azoknak a kimeneteknek a számát, amelyek az „összesen kevesebb, mint 5” esemény kimenetelét részesítik előnyben. Ehhez megszámoljuk azon cellák számát, amelyekben az összeg értéke kisebb, mint 5 (azaz 2, 3 vagy 4). Az érthetőség kedvéért ezeket a cellákat átfestjük, m = 6 lesz
m
=
6
:

táblázat az 5-nél kisebb pontösszegekről 2 dobókocka dobásakor
Ekkor a valószínűség: P=6/36=1/6
P
=
6
36
=
1
6
.

4. példa: Két kockát dobunk. Határozzuk meg annak valószínűségét, hogy a pontok számának szorzata osztható 3-mal!

Az első és a második kockára esett pontok szorzatairól táblázatot készítünk. Azonnal válassza ki benne azokat a számokat, amelyek 3 többszörösei:

pontozótábla 2 dobókocka dobásához
Már csak azt kell leírni, hogy az eredmények összessége n=36
n
=
36
(lásd az előző példát, az indoklás ugyanaz), és a kedvező kimenetelek száma (a kitöltött cellák száma a fenti táblázatban) m=20
m
=
20
. Ekkor az esemény valószínűsége P=20/36=5/9 lesz
P
=
20
36
=
5
9
.

Mint látható, az ilyen típusú feladatok megfelelő felkészüléssel (egy-két feladat megoldásához) gyorsan és egyszerűen megoldhatók. A változatosság kedvéért csináljunk még egy feladatot egy másik táblázattal (az oldal alján az összes táblázat letölthető).

5. példa Egy kockát kétszer dobnak. Határozza meg annak valószínűségét, hogy az első és a második dobókocka pontjai közötti különbség 2 és 5 között lesz.

Írjuk fel a pontszámkülönbségek táblázatát, jelöljük ki benne azokat a cellákat, amelyekben a különbség értéke 2 és 5 között lesz:

pontszám különbség táblázat 2 dobókocka
Úgy, hogy az egyformán lehetséges elemi eredmények összessége n=36
n
=
36
, és a kedvező kimenetelek száma (a kitöltött cellák száma a fenti táblázatban) m=10
m
=
10
. Ekkor az esemény valószínűsége P=10/36=5/18 lesz
P
=
10
36
=
5
18
.

Tehát abban az esetben, ha 2 kocka dobásáról és egy egyszerű eseményről van szó, fel kell építenie egy táblázatot, ki kell választania benne a szükséges cellákat, és el kell osztania a számukat 36-tal, ez lesz a valószínűség. A pontok összegére, szorzatára és különbözetére vonatkozó feladatokon kívül a különbözet ​​modulusára, a legkisebb és legnagyobb kiesett pontokra vonatkozó feladatok is vannak (megfelelő táblázatokat az Excel fájlban találhat) .