Szóval, beszéljünk egy olyan témáról, ami sok embert érdekel. Ebben a cikkben arra a kérdésre fogok válaszolni, hogy hogyan kell kiszámítani egy esemény valószínűségét. Adok egy képletet egy ilyen számításhoz, és néhány példát, hogy érthetőbb legyen, hogyan történik ez.

Mi a valószínűség

Kezdjük azzal a ténnyel, hogy annak a valószínűsége, hogy ez vagy az az esemény bekövetkezik, bizonyos mértékű bizalom valamely eredmény végső bekövetkeztében. Ehhez a számításhoz egy teljes valószínűségi képletet dolgoztak ki, amely lehetővé teszi annak meghatározását, hogy az Önt érdeklő esemény bekövetkezik-e vagy sem, az úgynevezett feltételes valószínűségek segítségével. Ez a képlet így néz ki: P \u003d n / m, a betűk változhatnak, de ez nem befolyásolja a lényeget.

Valószínűségi példák

A legegyszerűbb példán elemezzük ezt a képletet és alkalmazzuk. Tegyük fel, hogy van valamilyen eseményed (P), legyen az egy kockadobás, azaz egy egyenlő oldalú kocka. És ki kell számolnunk, hogy mekkora a valószínűsége annak, hogy 2 pontot kapunk rá. Ehhez szükséges a pozitív események száma (n), esetünkben - 2 pont elvesztése, az események teljes számához (m). 2 pont vesztesége csak egy esetben lehet, ha 2 pont van a kockán, mert ellenkező esetben nagyobb lesz az összeg, ebből az következik, hogy n = 1. Ezután számítsuk ki a többi, a kockára eső számok számát. kocka, 1 kockánként - ezek 1, 2, 3, 4, 5 és 6, ezért 6 kedvező eset van, azaz m \u003d 6. Most a képlet szerint egyszerű számítást végzünk P \ u003d 1/6, és azt kapjuk, hogy a kockán lévő 2 pont vesztesége 1/6, vagyis egy esemény valószínűsége nagyon kicsi.

Vegyünk egy példát a dobozban lévő színes golyókra is: 50 fehér, 40 fekete és 30 zöld. Meg kell határoznia, hogy mekkora a valószínűsége annak, hogy zöld golyót rajzol. És így, mivel 30 ilyen színű golyó van, azaz csak 30 pozitív esemény lehet (n = 30), az összes esemény száma 120, m = 120 (az összes golyó teljes száma szerint), a képlet alapján kiszámítjuk, hogy a zöld golyó húzásának valószínűsége egyenlő lesz P = 30/120 = 0,25, azaz 25% a 100-ból. Ugyanígy kiszámítható egy más színű golyó (33% fekete lesz, 42% fehér lesz).

Fontos jegyzetek!
1. Ha a képletek helyett abrakadabra látható, törölje a gyorsítótárat. Itt van leírva, hogyan kell ezt böngészőben csinálni:
2. Mielőtt elkezdené olvasni a cikket, figyeljen a navigátorunkra, hogy megtalálja a leghasznosabb forrást

Mi a valószínűség?

Amikor először találkoztam ezzel a kifejezéssel, nem érteném, mi az. Szóval megpróbálom érthetően elmagyarázni.

A valószínűség annak az esélye, hogy a kívánt esemény bekövetkezik.

Például úgy döntött, hogy meglátogatja egy barátját, emlékezzen a bejáratra, sőt a padlóra is, amelyen él. De elfelejtettem a lakás számát és helyét. És most a lépcsőházban állsz, és előtted vannak az ajtók, amelyek közül választhatsz.

Mekkora az esélye (valószínűsége), hogy ha megnyomja az első ajtócsengőt, a barátja kinyitja neked? Egész lakás, és csak az egyik mögött lakik egy barát. Egyenlő eséllyel bármelyik ajtót választhatjuk.

De mi ez az esély?

Ajtók, a jobb oldali ajtó. Az első ajtó becsöngetésével való találgatás valószínűsége: . Vagyis háromból egyszer biztosan kitalálod.

Szeretnénk tudni, ha egyszer telefonálunk, milyen gyakran találjuk ki az ajtót? Nézzük meg az összes lehetőséget:

1. hívtad 1 Ajtó
2. hívtad 2 Ajtó
3. hívtad 3 Ajtó

És most fontolja meg az összes lehetőséget, ahol egy barát lehet:

a. Per 1 ajtó
b. Per 2 ajtó
ban ben. Per 3 ajtó

Hasonlítsuk össze az összes lehetőséget táblázat formájában. A pipa jelzi azokat a lehetőségeket, amikor az Ön választása megegyezik egy barát helyével, kereszt - ha nem egyezik.

Hogyan lát mindent Talán lehetőségek barátja tartózkodási helye és az Ön választása, hogy melyik ajtót csengessen.

DE mindennek kedvező kimenetele . Vagyis az időket abból fogod kitalálni, ha egyszer becsöngeted az ajtót, pl. .

Ez a valószínűség - a kedvező kimenetel aránya (amikor a választása egybeesett egy barát helyével) a lehetséges események számához.

A definíció a képlet. A valószínűséget általában p-vel jelölik, tehát:

Nem túl kényelmes ilyen képletet írni, ezért vegyük - a kedvező kimenetelek számát, és - az összes kimenetel számát.

A valószínűség százalékban is felírható, ehhez meg kell szorozni a kapott eredményt:

Valószínűleg az „eredmények” szó ragadta meg a figyelmét. Mert a matematikusok hívnak különféle tevékenységek(van egy ilyen akciónk - ez egy ajtócsengő) kísérleteket végez, akkor az ilyen kísérletek eredményét általában eredménynek nevezik.

Nos, az eredmények kedvezőek és kedvezőtlenek.

Térjünk vissza példánkhoz. Tegyük fel, hogy csöngettünk az egyik ajtón, de kinyitották nekünk idegen. Nem sejtettük. Mekkora a valószínűsége annak, hogy ha a megmaradt ajtók egyikét becsöngetjük, a barátunk kinyitja nekünk?

Ha így gondoltad, akkor ez tévedés. Találjuk ki.

Két ajtónk maradt. Tehát vannak lehetséges lépéseink:

1) Hívja fel 1 Ajtó
2) Hívjon 2 Ajtó

Egyikük mögött minden bizonnyal egy barát áll (elvégre nem az, akit hívtunk):

a) egy barát 1 ajtó
b) egy barát számára 2 ajtó

Rajzoljuk meg újra a táblázatot:

Mint látható, minden lehetőség van, amelyek közül - kedvező. Vagyis a valószínűség egyenlő.

Miért ne?

Az általunk vizsgált helyzet a következő példa a függő eseményekre. Az első esemény az első csengő, a második esemény a második ajtócsengő.

És függőnek nevezik őket, mert befolyásolják a következő műveleteket. Végül is, ha egy barát az első csengetés után kinyitja az ajtót, mennyi a valószínűsége, hogy a másik kettő egyike mögött van? Helyesen,.

De ha vannak függő események, akkor lennie kell független? Igaz, vannak.

Tankönyvi példa az érme feldobása.

1. Feldobunk egy érmét. Mekkora a valószínűsége annak, hogy feljönnek például a fejek? Így van, mert a lehetőségek mindenre (akár fej, akár farok, elhanyagoljuk az érme szélére kerülésének valószínűségét), de csak nekünk megfelelnek.
2. De a farok kiesett. Oké, csináljuk újra. Mennyi annak a valószínűsége, hogy most feljönnek a fejek? Semmi sem változott, minden a régi. Hány lehetőség? Két. Mennyivel vagyunk elégedettek? Egy.

És hagyja, hogy a farok legalább ezerszer egymás után hulljon ki. A fejek azonnali leesésének valószínűsége azonos lesz. Mindig vannak lehetőségek, de kedvezőek.

A függő események megkülönböztetése a független eseményektől egyszerű:

1. Ha a kísérletet egyszer hajtják végre (egyszer egy érme feldobása, egy csengő stb.), akkor az események mindig függetlenek.
2. Ha a kísérletet többször hajtják végre (egyszer dobnak fel egy érmét, többször megnyomják a csengőt), akkor az első esemény mindig független. És akkor, ha a kedvezőek vagy az összes kimenet száma változik, akkor az események függőek, ha nem, akkor függetlenek.

Gyakoroljunk egy kicsit a valószínűség meghatározásához.

1. példa

Az érmét kétszer dobják fel. Mekkora a valószínűsége annak, hogy egymás után kétszer kapunk fejjel?

Megoldás:

Mindent fontolj meg lehetséges opciók:

1. sas sas
2. farkú sas
3. farkú-sas
4. Farok-farok

Amint látja, minden lehetőség. Ezek közül csak mi elégedettek vagyunk. Ez a valószínűség:

Ha a feltétel egyszerűen a valószínűség meghatározását kéri, akkor a választ az űrlapon kell megadni tizedes tört. Ha azt jeleznénk, hogy a választ százalékban kell megadni, akkor szoroznánk.

Válasz:

2. példa

Egy doboz csokoládéban minden cukorka ugyanabba a csomagolásba van csomagolva. Azonban édességből - dióval, konyakkal, cseresznyével, karamellel és nugáttal.

Mennyi annak a valószínűsége, hogy veszünk egy cukorkát, és kapunk egy édességet dióval? Válaszát százalékban adja meg!

Megoldás:

Hány lehetséges kimenetel van? .

Vagyis ha veszünk egy cukorkát, az egyik lesz a dobozban.

És hány kedvező eredmény?

Mert a doboz csak diós csokit tartalmaz.

Válasz:

3. példa

Golyós dobozban. amelyek közül fehér és fekete.

1. Mennyi a valószínűsége annak, hogy fehér golyót rajzolunk?
2. További fekete golyókat adtunk a dobozhoz. Mennyi a valószínűsége annak, hogy most fehér golyót húzunk?

Megoldás:

a) Csak golyók vannak a dobozban. amelyek közül fehérek.

Ennek a valószínűsége:

b) Most golyók vannak a dobozban. És ugyanannyi fehér maradt.

Válasz:

Teljes valószínűség

Az összes lehetséges esemény valószínűsége ().

Például egy piros és zöld golyókat tartalmazó dobozban. Mennyi a valószínűsége annak, hogy piros golyót húzunk? Zöld labda? Piros vagy zöld labda?

Piros golyó rajzolásának valószínűsége

Zöld golyó:

Piros vagy zöld golyó:

Mint látható, az összes lehetséges esemény összege egyenlő (). Ennek a pontnak a megértése sok probléma megoldásában segít.

4. példa

A dobozban filctoll található: zöld, piros, kék, sárga, fekete.

Mennyi annak a valószínűsége, hogy NEM piros jelölőt rajzol?

Megoldás:

Számoljuk meg a számot kedvező eredményeket.

NEM piros marker, ez zöldet, kéket, sárgát vagy feketét jelent.

Annak a valószínűsége, hogy egy esemény nem következik be, mínusz annak a valószínűsége, hogy az esemény bekövetkezik.

Független események valószínűségének szorzásának szabálya

Ön már tudja, mik a független események.

És ha meg kell találnia annak valószínűségét, hogy két (vagy több) független esemény következik be egymás után?

Tegyük fel, hogy tudni akarjuk, mekkora a valószínűsége annak, hogy ha egyszer feldobunk egy érmét, akkor kétszer meglátunk egy sast?

Már mérlegeltük - .

Mi van, ha feldobunk egy érmét? Mennyi annak a valószínűsége, hogy kétszer egymás után látunk egy sast?

Összes lehetséges opció:

1. Sas-sas-sas
2. Sasfej-farkú
3. Fej-farkú-sas
4. Fej-farok-farok
5. farok-sas-sas
6. Farok-fej-farok
7. Farok-farok-fej
8. Farok-farok-farok

Nem tudom, ti hogy vagytok vele, de egyszer rosszul írtam ezt a listát. Azta! És az egyetlen lehetőség (az első) felel meg nekünk.

5 tekercs esetén saját maga készíthet egy listát a lehetséges kimenetelekről. De a matematikusok nem olyan szorgalmasak, mint te.

Ezért először észrevették, majd bebizonyították, hogy a független események egy bizonyos sorozatának valószínűsége minden alkalommal egy esemény valószínűségével csökken.

Más szavakkal,

Tekintsünk példát ugyanerre a balszerencsés érmére.

Annak a valószínűsége, hogy felbukkan egy tárgyalás? . Most egy érmét dobunk fel.

Mekkora a valószínűsége annak, hogy egymás után kapunk farkat?

Ez a szabály nem csak akkor működik, ha meg kell keresnünk annak valószínűségét, hogy ugyanaz az esemény egymás után többször megtörténik.

Ha meg akarnánk találni a TAILS-EAGLE-TAILS sorozatot egymást követő flipeknél, akkor ugyanezt tennénk.

A farok megszerzésének valószínűsége - , fej - .

A TAILS-EAGLE-TAILS-TAILS sorozat megszerzésének valószínűsége:

Egy táblázat elkészítésével Ön is ellenőrizheti.

Az inkompatibilis események valószínűségének összeadásának szabálya.

Szóval állj meg! Új meghatározás.

Találjuk ki. Vegyük elhasznált érménket, és dobjuk fel egyszer.
Lehetséges opciók:

1. Sas-sas-sas
2. Sasfej-farkú
3. Fej-farkú-sas
4. Fej-farok-farok
5. farok-sas-sas
6. Farok-fej-farok
7. Farok-farok-fej
8. Farok-farok-farok

Tehát itt összeférhetetlen események vannak, ez egy bizonyos, adott eseménysor. összeférhetetlen események.

Ha meg akarjuk határozni, hogy mekkora a valószínűsége két (vagy több) összeférhetetlen eseménynek, akkor összeadjuk ezen események valószínűségét.

Meg kell értenie, hogy a sas vagy a farok elvesztése két független esemény.

Ha meg akarjuk határozni, hogy mekkora a valószínűsége annak, hogy egy sorozat (vagy bármely más) kiesik, akkor a valószínűségek szorzásának szabályát alkalmazzuk.
Mekkora a valószínűsége annak, hogy az első dobásnál fejet kapunk, a másodiknál ​​és a harmadiknál ​​pedig farkat?

De ha tudni akarjuk, hogy mekkora a valószínűsége annak, hogy több sorozat közül egyet kapunk, például amikor a fejek pontosan egyszer jönnek fel, pl. opciókat, majd össze kell adnunk ezeknek a sorozatoknak a valószínűségét.

A teljes opció megfelel nekünk.

Ugyanezt megkaphatjuk, ha összeadjuk az egyes sorozatok előfordulási valószínűségét:

Így valószínűségeket adunk hozzá, ha bizonyos, összeférhetetlen eseménysorozatok valószínűségét akarjuk meghatározni.

Van egy nagyszerű szabály, amely segít abban, hogy ne keveredjen össze, mikor kell szorozni és mikor kell összeadni:

Térjünk vissza ahhoz a példához, amikor többször feldobtunk egy érmét, és szeretnénk tudni, hogy mekkora valószínűséggel látunk fejeket egyszer.
Mi fog történni?

Le kell esni:
(heads AND tails AND tails) VAGY (farok AND heads AND tails) VAGY (farok ÉS farok ÉS fej).
És így kiderül:

Nézzünk néhány példát.

5. példa

A dobozban ceruzák vannak. piros, zöld, narancs és sárga és fekete. Mennyi a valószínűsége annak, hogy piros vagy zöld ceruzát rajzol?

Megoldás:

6. példa

Egy kockával kétszer dobnak, mekkora a valószínűsége annak, hogy összesen 8 jön ki?

Megoldás.

Hogyan szerezhetünk pontokat?

(és) vagy (és) vagy (és) vagy (és) vagy (és).

Az egyik (bármely) arcból kiesés valószínűsége .

Kiszámoljuk a valószínűséget:

Edzés.

Azt hiszem, most már világossá vált számodra, hogy mikor kell számolnod a valószínűségeket, mikor kell összeadnod és mikor szorozni. Nem? Gyakoroljunk egy kicsit.

Feladatok:

Vegyünk egy pakli kártyát, amelyben a lapok ásók, szívek, 13 ütő és 13 tambura. Minden színből ászig.

1. Mekkora a valószínűsége annak, hogy egy sorban ütőket húzunk (az első kihúzott lapot visszatesszük a pakliba és megkeverjük)?
2. Mennyi a valószínűsége annak, hogy fekete kártyát (ásó vagy ütő) húznak?
3. Mennyi a valószínűsége annak, hogy egy képet rajzolunk (bubi, dáma, király vagy ász)?
4. Mennyi a valószínűsége annak, hogy egymás után két képet rajzolunk (az első kihúzott lapot eltávolítjuk a pakliból)?
5. Mekkora a valószínűsége, hogy két kártyát véve összegyűjtünk egy kombinációt - (bubi, dáma vagy király) és ász A kártyák kihúzásának sorrendje nem számít.

Válaszok:

Ha minden problémát meg tudtál oldani, akkor nagyszerű fickó vagy! Most a valószínűségelméletre vonatkozó feladatokat a vizsgán fogod kattintani, mint a diót!

VALÓSZÍNŰSÉGI ELMÉLET. ÁTLAGOS SZINT

Vegyünk egy példát. Tegyük fel, hogy dobunk egy kockát. Milyen csont ez, tudod? Ez egy olyan kocka neve, amelynek lapjain számok vannak. Hány arc, annyi szám: től hányig? Előtt.

Tehát dobunk egy kockával, és azt akarjuk, hogy az orral álljon elő. És kiesünk.

A valószínűségszámításban azt mondják, mi történt kedvező esemény(nem tévesztendő össze a jóval).

Ha kiesne, az esemény is szerencsés lenne. Összességében csak két kedvező esemény fordulhat elő.

Hány rossz? Mivel minden lehetséges esemény, akkor ezek közül a kedvezőtlen az események (ez ha kiesik vagy).

Meghatározás:

A valószínűség a kedvező események számának az összes lehetséges esemény számához viszonyított aránya.. Vagyis a valószínűség azt mutatja meg, hogy az összes lehetséges esemény hány százaléka kedvező.

A valószínűséget latin betűvel jelöljük (úgy tűnik, a angol szó valószínűség – valószínűség).

Szokásos a valószínűséget százalékban mérni (lásd a témát,). Ehhez a valószínűségi értéket meg kell szorozni. A példában -val dobókocka valószínűség.

És százalékban: .

Példák (döntsd el magad):

1. Mekkora a valószínűsége annak, hogy az érme feldobása a fejeken landol? És mennyi a valószínűsége a farok kialakulásának?
2. Mekkora a valószínűsége annak, hogy kockadobáskor páros szám jön ki? És mivel – furcsa?
3. Egy fiókban, sima, kék és piros ceruzával. Véletlenszerűen húzunk egy ceruzát. Mennyi a valószínűsége annak, hogy kihúzunk egy egyszerűt?

Megoldások:

1. Hány lehetőség van? Fej és farok - csak kettő. És közülük hány kedvező? Csak egy a sas. Tehát a valószínűség

   Ugyanez a farokkal: .

2. Összes opció: (hány oldala van egy kockának, annyi különféle lehetőségeket). Kedvezőek: (ezek mind páros számok :).
   Valószínűség. Furcsa mellett persze ugyanaz.
3. Teljes: . Kedvező: . Valószínűség: .

Teljes valószínűség

A fiókban lévő összes ceruza zöld. Mennyi a valószínűsége annak, hogy rajzolunk egy piros ceruzát? Nincs esély: valószínűség (végül is kedvező események -).

Egy ilyen eseményt lehetetlennek neveznek.

Mennyi a valószínűsége, hogy zöld ceruzát rajzolunk? Pontosan annyi kedvező esemény van, ahány teljes esemény (minden esemény kedvező). Tehát a valószínűség vagy.

Az ilyen eseményt bizonyosnak nevezzük.

Ha zöld és piros ceruza van a dobozban, mekkora a valószínűsége annak, hogy zöldet vagy pirosat rajzolunk? Már megint. Jegyezze meg a következőt: a zöld rajzolásának valószínűsége egyenlő, a piros pedig .

Összegezve, ezek a valószínűségek pontosan egyenlőek. vagyis az összes lehetséges esemény valószínűségének összege egyenlő vagy.

Példa:

Egy doboz ceruza van köztük kék, piros, zöld, egyszerű, sárga, a többi narancssárga. Mennyi annak a valószínűsége, hogy nem rajzolunk zöldet?

Megoldás:

Ne feledje, hogy minden valószínűség összeadódik. És a valószínűsége, hogy zöldet rajzol, egyenlő. Ez azt jelenti, hogy annak a valószínűsége, hogy nem rajzolunk zöldet, egyenlő.

Emlékezz erre a trükkre: Annak a valószínűsége, hogy egy esemény nem következik be, mínusz annak a valószínűsége, hogy az esemény bekövetkezik.

Független események és a szorzási szabály

Kétszer feldobsz egy érmét, és azt akarod, hogy mindkét alkalommal felbukkanjon. Mi ennek a valószínűsége?

Nézzük meg az összes lehetséges lehetőséget, és határozzuk meg, hány van:

Eagle-Eagle, Tails-Eagle, Eagle-Tails, Tails-Tails. Mi más?

Az egész változat. Ezek közül csak egy felel meg nekünk: Eagle-Eagle. Tehát a valószínűség egyenlő.

Jó. Most dobjunk fel egy érmét. Számold meg magad. Megtörtént? (válasz).

Talán észrevetted, hogy minden következő dobás hozzáadásával a valószínűség egy faktorral csökken. Általános szabály hívott szorzási szabály:

A független események valószínűsége változik.

Mik azok a független események? Minden logikus: ezek azok, amelyek nem függnek egymástól. Például amikor többször feldobunk egy érmét, minden alkalommal új dobás történik, aminek eredménye nem függ minden korábbi dobástól. Ugyanolyan sikerrel két különböző érmét dobhatunk egyszerre.

További példák:

1. Egy kockát kétszer dobnak. Mennyi annak a valószínűsége, hogy mindkét alkalommal előjön?
2. Egy érmét többször feldobnak. Mennyi annak a valószínűsége, hogy először fejet kapunk, majd kétszer farkat?
3. A játékos két kockával dob. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a rajtuk lévő számok összege egyenlő lesz?

Válaszok:

1. Az események függetlenek, ami azt jelenti, hogy a szorzási szabály működik: .
2. A sas valószínűsége egyenlő. A farok valószínűsége is. Megszorozzuk:
3. 12-t csak akkor kaphatunk, ha két -ki kiesik: .

Inkompatibilis események és az összeadási szabály

Az összeférhetetlen események olyan események, amelyek teljes valószínűséggel kiegészítik egymást. Ahogy a név is sugallja, ezek nem történhetnek egyszerre. Például, ha feldobunk egy érmét, akár fejek, akár farok eshetnek ki.

Példa.

Egy doboz ceruza van köztük kék, piros, zöld, egyszerű, sárga, a többi narancssárga. Mennyi a valószínűsége annak, hogy zöldet vagy pirosat rajzolunk?

Megoldás .

A zöld ceruza rajzolásának valószínűsége egyenlő. Piros -.

Kedvező események: zöld + piros. Tehát a zöld vagy piros rajzolás valószínűsége egyenlő.

Ugyanez a valószínűség a következő formában ábrázolható: .

Ez az összeadás szabálya: az összeférhetetlen események valószínűsége összeadódik.

Vegyes feladatok

Példa.

Az érmét kétszer dobják fel. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a dobások eredménye eltérő lesz?

Megoldás .

Ez azt jelenti, hogy ha a fejek jönnek fel először, a farok legyen a második, és fordítva. Kiderül, hogy itt két független eseménypár van, és ezek a párok nem kompatibilisek egymással. Hogyan ne keveredjen össze azzal kapcsolatban, hogy hol kell szorozni és hol kell hozzáadni.

Van egy egyszerű szabály az ilyen helyzetekre. Próbálja meg leírni, hogy mi történjen, összekapcsolva az eseményeket az „ÉS” vagy „VAGY” szakszervezetekkel. Például ebben az esetben:

Gördülnie kell (fejek és farok) vagy (farok és fejek).

Ahol „és” unió van, ott szorzás történik, ahol pedig „vagy” az összeadás:

Próbáld ki magad:

1. Mekkora a valószínűsége annak, hogy két érmefeldobás mindkét alkalommal ugyanazt az oldalt hozza fel?
2. Egy kockát kétszer dobnak. Mekkora a valószínűsége annak, hogy az összeg pontokat csökken?

Megoldások:

Egy másik példa:

Egyszer feldobunk egy érmét. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a fejek legalább egyszer felbukkannak?

Megoldás:

VALÓSZÍNŰSÉGI ELMÉLET. RÖVIDEN A FŐRŐL

A valószínűség a kedvező események számának az összes lehetséges esemény számához viszonyított aránya.

Független események

Két esemény független, ha az egyik bekövetkezése nem változtatja meg a másik bekövetkezésének valószínűségét.

Teljes valószínűség

Az összes lehetséges esemény valószínűsége ().

Annak a valószínűsége, hogy egy esemény nem következik be, mínusz annak a valószínűsége, hogy az esemény bekövetkezik.

Független események valószínűségének szorzásának szabálya

A független események egy bizonyos sorozatának valószínűsége egyenlő az egyes események valószínűségeinek szorzatával

Összeférhetetlen események

Inkompatibilis események azok az események, amelyek egy kísérlet eredményeként nem következhetnek be egyszerre. Számos összeférhetetlen esemény alkot egy teljes eseménycsoportot.

Az összeférhetetlen események valószínűsége összeadódik.

Miután leírtuk, hogy mi történjen, az „ÉS” vagy „VAGY” unió használatával az „AND” helyett a szorzás jelét, az „OR” helyett pedig az összeadást tesszük.

Nos, a témának vége. Ha ezeket a sorokat olvasod, akkor nagyon menő vagy.

Mert az embereknek mindössze 5%-a képes egyedül elsajátítani valamit. És ha a végéig elolvastad, akkor az 5%-ban vagy!

Most a legfontosabb.

Kitaláltad az elméletet ebben a témában. És ismétlem, ez... egyszerűen szuper! Már így is jobb vagy, mint a társaid túlnyomó többsége.

Az a baj, hogy ez nem elég...

Miért?

A sikerességért a vizsga letétele, az intézetbe való felvételért a költségvetésből és ami a LEGFONTOSABB életre szóló.

Nem foglak meggyőzni semmiről, csak egyet mondok...

Emberek, akik kaptak egy jó oktatás, sokkal többet keresnek, mint azok, akik nem kapták meg. Ez statisztika.

De nem ez a fő.

A lényeg, hogy TÖBBEN BOLDOGAK legyenek (vannak ilyen tanulmányok). Talán azért, mert sokkal több lehetőség nyílik meg előttük, és az élet fényesebbé válik? nem tudom...

De gondold meg magad...

Mi kell ahhoz, hogy biztosan jobb legyen, mint mások a vizsgán, és végül… boldogabb legyél?

TÖLTSE MEG A KEZÉT, MEGOLDÁSA EBBEN A TÉMÁBAN.

A vizsgán nem kérdeznek elméletet.

Szükséged lesz időben megoldja a problémákat.

És ha nem oldotta meg őket (SOK!), akkor valahol biztosan elkövet egy hülye hibát, vagy egyszerűen nem fog időben elkövetni.

Ez olyan, mint a sportban – sokszor meg kell ismételni a biztos győzelemhez.

Keressen gyűjteményt bárhol, ahol csak akar szükségszerűen megoldásokkal, részletes elemzésselés dönts, dönts, dönts!

Feladatainkat használhatja (nem szükséges), és mindenképpen ajánljuk.

Ahhoz, hogy segítséget kaphasson feladataink segítségével, hozzá kell járulnia az éppen olvasott YouClever tankönyv élettartamának meghosszabbításához.

Hogyan? Két lehetőség van:

1. A cikkben található összes rejtett feladathoz való hozzáférés feloldása -
2. Nyissa meg a hozzáférést az összes rejtett feladathoz az oktatóanyag mind a 99 cikkében - Tankönyv vásárlása - 499 rubel

Igen, 99 ilyen cikkünk van a tankönyvben, és azonnal megnyitható az összes feladat és minden rejtett szöveg.

Az összes rejtett feladathoz hozzáférés biztosított a webhely teljes élettartama alatt.

Összefoglalva...

Ha nem tetszenek a feladataink, keress másokat. Csak ne hagyd abba az elméletet.

Az „értettem” és a „tudom, hogyan kell megoldani” teljesen különböző képességek. Mindkettőre szüksége van.

Találd meg a problémákat és oldd meg!

1. szakasz. Véletlenszerű események (50 óra)

A fegyelem tematikus terve részidős hallgatók számára

A fegyelem tematikus terve levelező tagozatos hallgatók számára

2.3. A tudományág szerkezeti-logikai sémája

Matematika 2. rész. Valószínűségszámítás és a matematikai statisztika elemei Elmélet

1. szakasz Véletlenszerű események

3. szakasz A matematikai statisztika elemei

2. szakasz Véletlenszerű változók

2.5. Gyakorló blokk

2.6. Pontozási rendszer

A tudományág információs forrásai

Bibliográfiai lista Fő:

3.2. Referencia absztrakt a „Matematika 2. rész” kurzushoz. Valószínűségszámítás és a matematikai statisztika elemei” bevezetője

1. szakasz Véletlenszerű események

1.1. A véletlenszerű esemény fogalma

1.1.1. Információ a halmazelméletből

1.1.2. Az elemi események tere

1.1.3. Eseménybesorolás

1.1.4. Az események összege és szorzata

1.2. Véletlenszerű események valószínűsége.

1.2.1. Egy esemény relatív gyakorisága, a valószínűségszámítás axiómái. A valószínűség klasszikus meghatározása

1.2.2. A valószínűség geometriai meghatározása

Esemény valószínűségének számítása a kombinatorikus elemzés elemeivel

1.2.4. Eseményvalószínűségek tulajdonságai

1.2.5. Független események

1.2.6. Az eszköz hibamentes működésének valószínűségének kiszámítása

Képletek az események valószínűségének kiszámításához

1.3.1. Független kísérletek sorrendje (Bernoulli-séma)

1.3.2. Egy esemény feltételes valószínűsége

1.3.4. Teljes valószínűségi képlet és Bayes formula

2. szakasz. Véletlen változók

2.1. Valószínűségi változók leírása

2.1.1. Valószínűségi változó definíciója és beállítási módszerei A valószínűségszámítás egyik alapfogalma a valószínűségi változó fogalma. Vegyünk néhány példát a valószínűségi változókra:

Valószínűségi változó megadásához meg kell adni az eloszlási törvényét. A véletlenszerű változókat általában görög , ,  betűkkel, lehetséges értékeiket pedig latin betűkkel jelölik xi, yi, zi indexekkel.

2.1.2. Diszkrét valószínűségi változók

Tekintsük az összes elemi eseményt  tartalmazó Ai eseményeket, amelyek a XI értékhez vezetnek:

Jelölje pi az Ai esemény valószínűségét:

2.1.3. Folyamatos valószínűségi változók

2.1.4. Eloszlási függvény és tulajdonságai

2.1.5. A valószínűségi sűrűség eloszlás és tulajdonságai

2.2. Valószínűségi változók numerikus jellemzői

2.2.1. Egy valószínűségi változó matematikai elvárása

2.2.2. Valószínűségi változó varianciája

2.2.3. Valószínűségi változó normális eloszlása

2.2.4. Binomiális eloszlás

2.2.5. Poisson-eloszlás

3. fejezet A matematikai statisztika elemei

3.1. Alapvető definíciók

oszlopdiagram

3.3. Az eloszlási paraméterek pontbecslései

Alapfogalmak

A matematikai elvárások és variancia pontbecslései

3.4. Intervallumbecslések

Az intervallumbecslés fogalma

Építési intervallum becslések

Statisztikai alapeloszlások

A normál eloszlás várható intervallumbecslései

A normális eloszlás varianciájának intervallumbecslése

Következtetés

Szójegyzék

4. Útmutató a laboratóriumi munkák elvégzéséhez

Bibliográfiai lista

Laboratóriumi munka 1 valószínűségi változók leírása. Numerikus jellemzők

A laboratóriumi munkavégzés menete

Laboratóriumi munka 2 Alapfogalmak. A minta rendszerezése. Az eloszlási paraméterek pontbecslései. Intervallumbecslések.

Az eloszlás típusára vonatkozó statisztikai hipotézis fogalma

A laboratóriumi munkavégzés menete

Cell Value Cell Value

5. Útmutató az ellenőrző munka elvégzéséhez Feladat az ellenőrző munkához

Útmutató az ellenőrző munka elvégzéséhez Események és azok valószínűsége

Véletlen változók

Szórás

A matematikai statisztika elemei

6. A tudományág elsajátításának ellenőrzési blokkja

Kérdések a „Matematika 2. rész” kurzus vizsgájához. Valószínűségszámítás és a matematikai statisztika elemei»

A táblázat folytatása in

A táblázat vége be

Egyenletes eloszlású véletlen számok

Tartalom

1. szakasz. Véletlenszerű események……………………………………………. tizennyolc

2. szakasz. Véletlen változók…………………………………….. 41

3. rész A matematikai statisztika elemei............... . 64

4. Útmutató a laboratórium megvalósításához

5. Útmutató az ellenőrzés végrehajtásához

1. Képletek az események valószínűségének kiszámításához

1.3.1. Független kísérletek sorrendje (Bernoulli-séma)

Tételezzük fel, hogy egy kísérlet ugyanazon körülmények között ismételten elvégezhető. Legyen ez az élmény n alkalommal, azaz sorozata n tesztek.

Meghatározás. Utóbbi n teszteket hívják egymástól független ha egy adott teszthez kapcsolódó bármely esemény független a többi teszthez kapcsolódó eseménytől.

Mondjuk azt az eseményt A valószínűleg megtörténik p egy teszt eredményeként vagy nem valószínű q= 1- p.

Meghatározás . Sorozata n a teszt Bernoulli-sémát alkot, ha a következő feltételek teljesülnek:

utósorozat n a tesztek egymástól függetlenek,

2) egy esemény valószínűsége A nem változik tesztről tesztre, és nem függ más tesztek eredményétől.

Esemény A a teszt „sikerének”, az ellentétes eseményt pedig „kudarcnak” nevezzük. Gondolj egy eseményre

=( be n a tesztek pontosan megtörténtek m"siker").

Ennek az eseménynek a valószínűségének kiszámításához a Bernoulli-képlet érvényes

p() =
, m = 1, 2, …, n , (1.6)

ahol - kombinációinak száma n elemek által m :

=
=
.

1.16. példa. Dobd háromszor a kockát. Megtalálja:

a) annak a valószínűsége, hogy 6 pont kétszer esik ki;

b) annak a valószínűsége, hogy a hatosok száma legfeljebb kétszer jelenik meg.

Megoldás . A teszt „sikerének” egy arc elvesztése számít a kocka 6 pont képével.

a) A tesztek teljes száma - n=3, „sikerek” száma – m = 2. A „siker” valószínűsége - p=, és a "kudarc" valószínűsége - q= 1 - =. Ekkor a Bernoulli-képlet szerint annak a valószínűsége, hogy a hatpontos oldal kétszer esik ki a kocka háromszori dobása következtében, egyenlő lesz

.

b) Jelölje DE olyan esemény, amikor egy 6-os arcot elérő arc legfeljebb kétszer jelenik meg. Ekkor az eseményt mint három összeegyeztethetetlen eseményeket A=
,

ahol NÁL NÉL 3 0 – olyan esemény, amikor az érdeklődési kör soha nem jelenik meg,

NÁL NÉL 3 1 - esemény, amikor az érdeklődési kör egyszer megjelenik,

NÁL NÉL 3 2 - esemény, amikor az érdeklődési kör kétszer jelenik meg.

Az (1.6) Bernoulli-formulával azt találjuk

p(DE) = p(
) = p(
)=
+
+
=

=
.

1.3.2. Egy esemény feltételes valószínűsége

A feltételes valószínűség egy eseménynek a másik valószínűségére gyakorolt ​​hatását tükrözi. A kísérlet lefolytatásának körülményeinek megváltoztatása szintén hatással van

az érdeklődésre számot tartó esemény bekövetkezésének valószínűsége.

Meghatározás. Hadd A és B- néhány esemény és a valószínűség p(B)> 0.

Feltételes valószínűség fejlesztéseket A feltéve, hogy „esemény Bmár megtörtént” ezen események előidézésének valószínűségének aránya egy olyan esemény valószínűségéhez, amely korábban történt, mint az az esemény, amelynek valószínűségét meg kell találni. A feltételes valószínűséget a következővel jelöljük p(A B). Akkor definíció szerint

p (A  B) =
. (1.7)

1.17. példa. Dobj két kockát. Az elemi események tere rendezett számpárokból áll

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6).

Az 1.16. példában azt találtuk, hogy az esemény A=(pontok száma az első kockán > 4) és esemény C=(a pontok összege 8) függőek. Alkossunk kapcsolatot

.

Ez a kapcsolat a következőképpen értelmezhető. Tegyük fel, hogy az első dobás eredménye ismert, hogy az első kocka pontjainak száma > 4. Ebből következik, hogy a második kocka dobása az eseményt alkotó 12 eredmény valamelyikéhez vezethet. A:

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) .

Ugyanakkor az esemény C közülük csak kettő (5.3) (6.2) egyezhet. Ebben az esetben az esemény valószínűsége C egyenlő lesz
. Így információ egy esemény bekövetkezéséről A befolyásolta az esemény valószínűségét C.

Események előidézésének valószínűsége

Szorzási tétel

Események előidézésének valószínűségeA 1 A 2  A n képlet határozza meg

p(A 1 A 2  A n)=p(A 1)p(A 2  A 1)) p(A n  A 1 A 2  A n- 1). (1.8)

Két esemény szorzatából az következik

p(AB)=p(A B) p{B)=p(B A)p{A). (1.9)

1.18. példa. Egy 25 darabos tételben 5 darab hibás. 3 darab véletlenszerűen kerül kiválasztásra. Határozza meg annak valószínűségét, hogy az összes kiválasztott termék hibás.

Megoldás. Jelöljük az eseményeket:

A 1 = (az első termék hibás),

A 2 = (a második termék hibás),

A 3 = (a harmadik termék hibás),

A = (minden termék hibás).

Esemény DE három esemény eredménye A = A 1 A 2 A 3 .

A szorzási tételből (1.6) kapunk

p(A)= p( A 1 A 2 A 3 ) = p(A 1) p(A 2  A 1))p(A 3  A 1 A 2).

A valószínűség klasszikus definíciója lehetővé teszi, hogy megtaláljuk p(A 1) a hibás termékek számának az összes termékhez viszonyított aránya:

p(A 1)= ;

p(A 2) – ez az egy kivonása után fennmaradó hibás termékek számának aránya a fennmaradó termékek teljes számához viszonyítva:

p(A 2  A 1))= ;

p(A 3) van a két hibás termék visszavonása után fennmaradó hibás termékek számának aránya a fennmaradó termékek teljes számához viszonyítva:

p(A 3  A 1 A 2)=.

Aztán az esemény valószínűsége A egyenlő lesz

p(A) ==
.

"A balesetek nem véletlenek"... Úgy hangzik, mintha egy filozófus mondta volna, de valójában a balesetek tanulmányozása a lényeg nagyszerű tudomány matematika. A matematikában a véletlen a valószínűség elmélete. A cikkben bemutatásra kerülnek a feladatok képletei és példái, valamint e tudomány főbb meghatározásai.

Mi az a valószínűségszámítás?

A valószínűségszámítás az egyik olyan matematikai tudományág, amely véletlenszerű eseményeket vizsgál.

Hogy egy kicsit érthetőbb legyen, mondjunk egy kis példát: ha feldob egy érmét, fejét vagy farkát ejtheti. Amíg az érme a levegőben van, mindkét lehetőség lehetséges. Vagyis a valószínűség lehetséges következményei az arány 1:1. Ha egy 36 kártyát tartalmazó pakliból húznak egyet, akkor a valószínűség 1:36 lesz. Úgy tűnik, nincs mit feltárni és megjósolni, különösen matematikai képletek segítségével. Ennek ellenére, ha egy bizonyos műveletet többször megismétel, akkor azonosíthat egy bizonyos mintát, és ennek alapján megjósolhatja az események kimenetelét más körülmények között.

Összefoglalva a fentieket, a klasszikus értelemben vett valószínűségelmélet az egyik lehetséges esemény bekövetkezésének lehetőségét vizsgálja számszerű értelemben.

A történelem lapjairól

A valószínűségelmélet, a képletek és az első feladatok példái a távoli középkorban jelentek meg, amikor először merültek fel kísérletek a kártyajátékok kimenetelének előrejelzésére.

Kezdetben a valószínűségelméletnek semmi köze nem volt a matematikához. Ezt empirikus tények vagy egy esemény gyakorlatban reprodukálható tulajdonságai indokolták. Az első munkák ezen a területen, mint matematikai tudományágon a 17. században jelentek meg. Az alapítók Blaise Pascal és Pierre Fermat voltak. hosszú idő szerencsejátékot tanultak, és bizonyos mintákat láttak, amiről úgy döntöttek, hogy elmondják a nyilvánosságnak.

Ugyanezt a technikát Christian Huygens találta ki, bár nem ismerte Pascal és Fermat kutatásának eredményeit. A tudományág történetében elsőnek számító "valószínűségelmélet" fogalmát, képleteket és példákat ő vezette be.

Nem kis jelentőségűek Jacob Bernoulli munkái, Laplace és Poisson tételei. Inkább matematikai diszciplínává tették a valószínűségszámítást. A valószínűségszámítás, a képletek és az alapvető feladatok példái Kolmogorov axiómáinak köszönhetően kapták mai formáját. Minden változás eredményeként a valószínűségelmélet a matematikai ágak közé került.

A valószínűségszámítás alapfogalmai. Fejlesztések

Ennek a tudományágnak a fő fogalma az „esemény”. Az eseményeknek három típusa van:

• Megbízható. Azok, amelyek úgyis megtörténnek (leesik az érme).
• Lehetetlen. Események, amelyek egyetlen forgatókönyvben sem fognak megtörténni (az érme a levegőben lógni fog).
• Véletlen. Azokat, amelyek megtörténnek vagy nem. Különféle, nagyon nehezen megjósolható tényezők befolyásolhatják őket. Ha érméről beszélünk, akkor véletlenszerű tényezők, amelyek befolyásolhatják az eredményt: az érme fizikai jellemzői, alakja, kezdeti helyzete, dobási erő stb.

A példákban minden esemény nagybetűvel van jelölve. latin betűkkel, kivéve a P-t, amelynek más szerepe van. Például:

• A = "diákok jöttek az előadásra."
• Ā = "a hallgatók nem jöttek el az előadásra".

A gyakorlati feladatokban az eseményeket általában szavakkal rögzítjük.

Az események egyik legfontosabb jellemzője az esélyegyenlőség. Vagyis ha feldob egy érmét, a kezdeti esés minden változata lehetséges, amíg le nem esik. De az események sem egyformán valószínűek. Ez akkor fordul elő, ha valaki szándékosan befolyásolja az eredményt. Például "felcímkézett" kártyázás vagy dobókocka, amelyben a súlypont eltolódik.

Az események is kompatibilisek és inkompatibilisek. A kompatibilis események nem zárják ki egymás előfordulását. Például:

• A = "a hallgató eljött az előadásra."
• B = "a hallgató eljött az előadásra."

Ezek az események függetlenek egymástól, és az egyik megjelenése nem befolyásolja a másik megjelenését. Az összeférhetetlen eseményeket az határozza meg, hogy az egyik bekövetkezése kizárja a másik bekövetkezését. Ha ugyanarról az érméről beszélünk, akkor a "farok" elvesztése lehetetlenné teszi a "fejek" megjelenését ugyanabban a kísérletben.

Az eseményekkel kapcsolatos műveletek

Az események szorozhatók és összeadhatók, a tudományágban bevezetik az "ÉS" és "VAGY" logikai összeköttetéseket.

Az összeget az határozza meg, hogy akár A, akár B esemény, vagy mindkettő előfordulhat egyidejűleg. Abban az esetben, ha nem kompatibilisek, az utolsó lehetőség nem lehetséges, vagy A vagy B kiesik.

Az események sokszorozása abból áll, hogy A és B egyszerre jelenik meg.

Most adhat néhány példát, hogy jobban emlékezzen az alapokra, a valószínűségszámításra és a képletekre. Példák a probléma megoldására alább.

1. Feladat: A cég háromféle munkára pályázik szerződésekre. Lehetséges események, amelyek előfordulhatnak:

• A = "a cég megkapja az első szerződést."
• A 1 = "a cég nem kapja meg az első szerződést."
• B = "a cég kap egy második szerződést."
• B 1 = "a cég nem kap második szerződést"
• C = "a cég kap egy harmadik szerződést."
• C 1 = "a cég nem kap harmadik szerződést."

Próbáljuk meg kifejezni a következő helyzeteket eseményekkel kapcsolatos műveletekkel:

• K = "a cég megkapja az összes szerződést."

NÁL NÉL matematikai forma az egyenlet így fog kinézni: K = ABC.

• M = "a cég egyetlen szerződést sem kap."

M \u003d A 1 B 1 C 1.

Bonyolítjuk a feladatot: H = "a cég egy szerződést kap." Mivel nem ismert, hogy a cég melyik szerződést kapja (az elsőt, a másodikat vagy a harmadikat), a lehetséges események teljes körét rögzíteni kell:

H \u003d A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.

Az 1 BC 1 pedig egy olyan eseménysorozat, ahol a cég nem az első és a harmadik szerződést kapja meg, hanem a másodikat. Az egyéb lehetséges eseményeket is a megfelelő módszerrel rögzítjük. A υ szimbólum a tudományágban egy csomó "VAGY"-ot jelöl. Ha a fenti példát lefordítjuk emberi nyelvre, akkor vagy a harmadik szerződést, vagy a másodikat, vagy az elsőt kapja meg a cég. Hasonlóképpen más feltételeket is írhat a „Valószínűségelmélet” tudományágban. A fent bemutatott képletek és példák a problémamegoldásra segítenek Önnek, hogy ezt saját maga is meg tudja oldani.

Valójában a valószínűség

Talán ebben a matematikai diszciplínában egy esemény valószínűsége az központi fogalom. A valószínűségnek három definíciója van:

• klasszikus;
• statisztikai;
• geometriai.

Mindegyiknek megvan a maga helye a valószínűségek vizsgálatában. A valószínűségszámítás, a képletek és a példák (9. osztály) többnyire a klasszikus definíciót használják, ami így hangzik:

• Az A helyzet valószínűsége megegyezik az előfordulását kedvező kimenetelek számának az összes lehetséges kimenetelhez viszonyított arányával.

A képlet így néz ki: P (A) \u003d m / n.

És tulajdonképpen egy esemény. Ha az A ellentéte fordul elő, akkor Ā vagy A 1 -ként írható fel.

m a lehetséges kedvező esetek száma.

n - minden esemény, ami megtörténhet.

Például A \u003d "húzzon ki egy szív öltöny kártyát". Egy szabványos pakliban 36 kártya van, ebből 9 szív. Ennek megfelelően a probléma megoldásának képlete a következőképpen néz ki:

P(A)=9/36=0,25.

Ennek eredményeként 0,25 lesz annak a valószínűsége, hogy szívhez illő kártyát húznak a pakliból.

a felsőbb matematikához

Ma már egy kicsit ismertté vált, hogy mi a valószínűségelmélet, képletek és példák a problémák megoldására iskolai tananyag. A valószínűségelmélet azonban megtalálható a felsőbb matematikában is, amelyet az egyetemeken tanítanak. Leggyakrabban az elmélet geometriai és statisztikai definícióival és összetett képletekkel operálnak.

A valószínűségelmélet nagyon érdekes. A képleteket és példákat (magasabb matematika) jobb, ha egy kicsiből kezdi a tanulást - a valószínűség statisztikai (vagy gyakorisági) definíciójából.

A statisztikai megközelítés nem mond ellent a klasszikus megközelítésnek, csak kissé kibővíti azt. Ha az első esetben meg kellett határozni, hogy egy esemény milyen valószínűséggel fog bekövetkezni, akkor ennél a módszernél meg kell jelölni, hogy milyen gyakran fog bekövetkezni. Itt bevezetik a „relatív frekvencia” új fogalmát, amelyet W n (A)-val jelölhetünk. A képlet nem különbözik a klasszikustól:

Ha az előrejelzéshez a klasszikus képletet számítjuk, akkor a statisztikai képletet a kísérlet eredményei alapján számítjuk ki. Vegyünk például egy kis feladatot.

A technológiai ellenőrzés osztálya ellenőrzi a termékek minőségét. 100 termék közül 3-at találtak rossz minőségűnek. Hogyan találjuk meg a minőségi termék gyakorisági valószínűségét?

A = "minőségi termék megjelenése".

Wn(A)=97/100=0,97

Így a minőségi termék gyakorisága 0,97. Honnan vetted a 97-et? A 100 ellenőrzött termékből 3 bizonyult rossz minőségűnek. 100-ból kivonunk 3-at, 97-et kapunk, ez a minőségi termék mennyisége.

Egy kicsit a kombinatorikáról

A valószínűségszámítás másik módszere a kombinatorika. Fő elve az, hogy ha egy bizonyos A választás megtehető m különböző utak, és a B választása - n különböző módon, akkor A és B választása szorzással történhet.

Például 5 út van A városból B városba. 4 útvonal van B városból C városba. Hányféleképpen lehet eljutni A városból C városba?

Egyszerű: 5x4 = 20, vagyis húszféle módon lehet eljutni A pontból C pontba.

Nehezítsük meg a feladatot. Hányféleképpen lehet kártyázni pasziánszban? A 36 lapból álló pakliban ez a kiindulópont. A módok számának megtudásához ki kell "vonnia" egy kártyát a kiindulási pontból, és meg kell szoroznia.

Vagyis 36x35x34x33x32…x2x1= az eredmény nem fér el a számológép képernyőjén, így egyszerűen 36-nak jelölhető!. Jelölje meg a "!" a szám mellett azt jelzi, hogy a számok teljes sorozata meg van szorozva egymás között.

A kombinatorikában vannak olyan fogalmak, mint a permutáció, az elhelyezés és a kombináció. Mindegyiknek megvan a maga képlete.

A halmazelemek rendezett halmazát elrendezésnek nevezzük. Az elhelyezések ismétlődőek lehetnek, ami azt jelenti, hogy egy elem többször is használható. És ismétlés nélkül, amikor az elemek nem ismétlődnek. n az összes elem, m az elhelyezésben részt vevő elemek. Az ismétlés nélküli elhelyezés képlete a következőképpen néz ki:

A n m =n!/(n-m)!

n elem olyan kapcsolatait, amelyek csak az elhelyezési sorrendben különböznek egymástól, permutációnak nevezzük. A matematikában ez így néz ki: P n = n!

Az n elem m-es kombinációi olyan vegyületek, amelyekben fontos, hogy mely elemek voltak, és mennyi az összszámuk. A képlet így fog kinézni:

A n m =n!/m!(n-m)!

Bernoulli képlet

A valószínűségelméletben és minden tudományágban is vannak olyan kiemelkedő kutatók munkái, akik szakterületükön új szintre léptek. Az egyik ilyen munka a Bernoulli-képlet, amely lehetővé teszi egy adott esemény független feltételek melletti bekövetkezésének valószínűségének meghatározását. Ez azt sugallja, hogy A megjelenése egy kísérletben nem függ attól, hogy az előző vagy a későbbi tesztekben ugyanaz az esemény megjelenik-e vagy nem fordul elő.

Bernoulli egyenlet:

P n (m) = C n m × p m × q n-m .

Az (A) esemény bekövetkezésének valószínűsége (p) minden próba esetében változatlan. Annak valószínűségét, hogy a helyzet pontosan m-szer fog megtörténni n számú kísérletben, a fent bemutatott képlettel számítjuk ki. Ennek megfelelően felmerül a kérdés, hogyan lehet kideríteni a q számot.

Ha az A esemény p számú alkalommal következik be, ennek megfelelően előfordulhat, hogy nem következik be. Az egység egy szám, amelyet egy tudományágban egy helyzet összes kimenetelének megjelölésére használnak. Ezért q olyan szám, amely azt jelzi, hogy az esemény nem következik be.

Most már ismeri a Bernoulli-képletet (valószínűségelmélet). Az alábbiakban a problémamegoldás (első szint) példáit tekintjük át.

2. feladat: Az üzlet látogatója 0,2-es valószínűséggel vásárol. 6 látogató önállóan lépett be az üzletbe. Mekkora a valószínűsége annak, hogy egy látogató vásárol?

Megoldás: Mivel nem ismert, hogy hány látogatónak kell vásárolnia, egyet vagy mind a hatot, minden lehetséges valószínűséget ki kell számítani a Bernoulli képlet segítségével.

A = "a látogató vásárolni fog."

Ebben az esetben: p = 0,2 (a feladatban jelezve). Ennek megfelelően q=1-0,2=0,8.

n = 6 (mert 6 vásárló van az üzletben). Az m szám 0-ról (egy vásárló sem vásárol) 6-ra változik (minden boltlátogató vásárol valamit). Ennek eredményeként a következő megoldást kapjuk:

P 6 (0) \u003d C 0 6 × p 0 × q 6 \u003d q 6 \u003d (0,8) 6 = 0,2621.

Egyik vásárló sem fog 0,2621-es valószínűséggel vásárolni.

Hogyan másként használják a Bernoulli-képletet (valószínűségelmélet)? Példák problémamegoldásra (második szint) alább.

A fenti példa után kérdések merülnek fel, hogy hova tűnt C és p. A p vonatkozásában a 0 hatványára eső szám egyenlő eggyel. Ami a C-t illeti, ez a következő képlettel kereshető:

C n m = n! /m!(n-m)!

Mivel az első példában m = 0, illetve C=1, ami elvileg nem befolyásolja az eredményt. Az új képlet segítségével próbáljuk meg kideríteni, mekkora a valószínűsége annak, hogy két látogató vásárol árut.

P 6 (2) = C 6 2 × p 2 × q 4 = (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) / ( 2 × 1 × 4 × 3 × 2 × 1) × ( 0,2 ) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

A valószínűségelmélet nem olyan bonyolult. Ennek közvetlen bizonyítéka a Bernoulli-képlet, amelynek példáit fent mutatjuk be.

Poisson képlet

A Poisson-egyenlet a valószínűtlen véletlenszerű helyzetek kiszámítására szolgál.

Alapképlet:

P n (m)=λ m/m! × e (-λ) .

Ebben az esetben λ = n x p. Itt van egy ilyen egyszerű Poisson-képlet (valószínűségelmélet). Az alábbiakban a problémamegoldás példáit tekintjük át.

3. feladat V: A gyár 100 000 alkatrészt gyártott. A hibás alkatrész megjelenése = 0,0001. Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy tételben 5 hibás alkatrész lesz?

Amint látja, a házasság nem valószínű esemény, ezért a Poisson-képletet (valószínűségelmélet) használják a számításokhoz. Az ilyen jellegű problémák megoldásának példái nem különböznek a tudományág egyéb feladataitól, a szükséges adatokat behelyettesítjük a fenti képletbe:

A = "egy véletlenszerűen kiválasztott alkatrész hibás lesz."

p = 0,0001 (a hozzárendelési feltétel szerint).

n = 100000 (alkatrészek száma).

m = 5 (hibás alkatrészek). Behelyettesítjük az adatokat a képletben, és a következőt kapjuk:

100 000 R (5) = 10 5/5! Xe-10 = 0,0375.

Csakúgy, mint a Bernoulli-képlet (valószínűségelmélet), amelyre a megoldások példáit fentebb leírtuk, a Poisson-egyenletnek is van egy ismeretlen e-je. Lényegében a következő képlettel kereshető:

e -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n .

Vannak azonban speciális táblázatok, amelyek szinte az összes e.

De Moivre-Laplace tétel

Ha a Bernoulli-sémában a kísérletek száma kellően nagy, és az A esemény bekövetkezésének valószínűsége minden sémában azonos, akkor az A esemény bizonyos számú előfordulásának valószínűsége egy kísérletsorozatban megadható. a Laplace-képlet alapján:

Рn (m)= 1/√npq x ϕ(X m).

Xm = m-np/√npq.

Hogy jobban emlékezzünk a Laplace-képletre (valószínűség-elmélet), az alábbiakban példák a feladatokra.

Először megkeressük X m -t, behelyettesítjük az adatokat (mind fent van feltüntetve) a képletbe, és 0,025-öt kapunk. Táblázatok segítségével megtaláljuk a ϕ (0,025) számot, melynek értéke 0,3988. Most behelyettesítheti a képlet összes adatát:

P 800 (267) \u003d 1 / √ (800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 \u003d 3/40 x 0,3988 \u003d 0,03.

Tehát annak a valószínűsége, hogy a szórólap pontosan 267-szer fog eltalálni, 0,03.

Bayes képlet

A Bayes-képlet (valószínűségelmélet), melynek segítségével az alábbiakban a feladatok megoldására mutatunk be példákat, egy egyenlet, amely leírja egy esemény valószínűségét, az azzal összefüggésbe hozható körülmények alapján. A fő képlet a következő:

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).

A és B határozott események.

P(A|B) - feltételes valószínűség, azaz A esemény bekövetkezhet, feltéve, hogy B esemény igaz.

Р (В|А) - В esemény feltételes valószínűsége.

Tehát a "Valószínűségelmélet" rövid kurzus utolsó része a Bayes-képlet, amelynek példái a problémák megoldására az alábbiakban találhatók.

5. feladat: Három cég telefonja került a raktárba. Ugyanakkor az első üzemben gyártott telefonok egy része 25%, a másodikban - 60%, a harmadikban - 15%. Az is ismert, hogy az első gyárban a hibás termékek átlagos százaléka 2%, a másodikban 4%, a harmadikban pedig 1%. Meg kell találni annak valószínűségét, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott telefon hibás lesz.

A = "véletlenszerűen vett telefon".

B 1 - az első gyár által gyártott telefon. Ennek megfelelően megjelenik a bevezető B 2 és B 3 (a második és harmadik gyár számára).

Ennek eredményeként a következőket kapjuk:

P (B 1) \u003d 25% / 100% = 0,25; P (B 2) \u003d 0,6; P (B 3) \u003d 0,15 - így megtaláltuk az egyes opciók valószínűségét.

Most meg kell találnia a kívánt esemény feltételes valószínűségét, vagyis a hibás termékek valószínűségét a cégeknél:

P (A / B 1) \u003d 2% / 100% = 0,02;

P (A/B 2) = 0,04;

P (A/B 3) \u003d 0,01.

Most behelyettesítjük az adatokat a Bayes-képletbe, és megkapjuk:

P (A) = 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 \u003d 0,0305.

A cikk bemutatja a valószínűségelméletet, a képleteket és a problémamegoldás példáit, de ez csak a jéghegy csúcsa egy hatalmas tudományágban. És mindazok után, amiket leírtak, logikus lesz feltenni a kérdést, hogy szükség van-e a valószínűségelméletre az életben. Az egyszerű embernek nehéz válaszolni, jobb megkérdezni valakit, aki többször megütötte vele a főnyereményt.

valószínűség egy 0 és 1 közötti szám, amely egy véletlen esemény bekövetkezésének esélyét jelöli, ahol 0 a teljes hiánya az esemény bekövetkezésének valószínűsége, az 1 pedig azt jelenti, hogy a kérdéses esemény biztosan bekövetkezik.

Az E esemény valószínűsége egy és 1 közötti szám.
Az egymást kizáró események valószínűségeinek összege 1.

empirikus valószínűség- valószínűség, amely a múltbeli esemény relatív gyakoriságaként kerül kiszámításra, a történeti adatok elemzéséből kivonva.

A nagyon ritka események valószínűsége nem számítható empirikusan.

szubjektív valószínűség- az esemény személyes szubjektív értékelésén alapuló valószínűsége, függetlenül a történelmi adatoktól. A részvények vételére és eladására vonatkozó döntéseket hozó befektetők gyakran szubjektív valószínűség alapján cselekszenek.

előzetes valószínűség -

Esélye 1 /… (esély), hogy egy esemény bekövetkezik a valószínűség fogalmán keresztül. Egy esemény bekövetkezésének esélyét a valószínűséggel a következőképpen fejezzük ki: P/(1-P).

Például, ha egy esemény valószínűsége 0,5, akkor egy esemény valószínűsége 1 a 2-ből, mivel 0,5/(1-0,5).

Annak esélyét, hogy az esemény nem következik be, az (1-P)/P képlet számítja ki

Inkonzisztens valószínűség- például az A cég részvényeinek árában az esetleges E esemény 85%-a, a B cég részvényeinek árfolyamában pedig csak 50%-a. Ezt nevezik nem megfelelő valószínűségnek. A holland fogadási tétel szerint az össze nem illő valószínűség lehetőséget teremt a profitra.

Feltétel nélküli valószínűség a válasz a "Mekkora a valószínűsége annak, hogy az esemény bekövetkezik?"

Feltételes valószínűség a válasz a következő kérdésre: "Mekkora az A esemény valószínűsége, ha B esemény megtörténik." A feltételes valószínűséget P(A|B) jelöljük.

Együttes valószínűség annak a valószínűsége, hogy A és B események egy időben történnek. Jelölve P(AB).

P(A|B) = P(AB)/P(B) (1)

P(AB) = P(A|B)*P(B)

Valószínűség összegzési szabály:

Annak a valószínűsége, hogy az A vagy a B esemény bekövetkezik:

P(A vagy B) = P(A) + P(B) - P(AB) (2)

Ha A és B események kölcsönösen kizárják egymást, akkor

P(A vagy B) = P(A) + P(B)

Független események- A és B események függetlenek, ha

P(A|B) = P(A), P(B|A) = P(B)

Azaz olyan kimenetelek sorozata, ahol a valószínűségi érték egyik eseményről a másikra állandó.
Az érmefeldobás egy példa egy ilyen eseményre - minden következő feldobás eredménye nem függ az előző eredményétől.

Függő események Ezek olyan események, amelyekben az egyik bekövetkezésének valószínűsége a másik bekövetkezésének valószínűségétől függ.

Független események valószínűségének szorzásának szabálya:
Ha A és B események függetlenek, akkor

P(AB) = P(A) * P(B) (3)

Teljes valószínűségi szabály:

P(A) = P(AS) + P(AS") = P(A|S")P(S) + P(A|S")P(S") (4)

S és S" egymást kizáró események

várható érték a valószínűségi változó a lehetséges kimenetelek átlaga valószínűségi változó. Az X eseménynél a várakozást E(X)-ként jelöljük.

Tegyük fel, hogy van 5 értéke bizonyos valószínűséggel egymást kizáró eseményeknek (például a cég bevétele ekkora valószínűséggel ekkora és ekkora összeget tett ki). A várakozás az összes eredmény összege szorozva a valószínűséggel:

Egy valószínűségi változó varianciája a valószínűségi változó várható értékétől való négyzetes eltérésének várható értéke:

s 2 = E( 2 ) (6)

Feltételes várható érték - egy X valószínűségi változó elvárása, feltéve, hogy az S esemény már megtörtént.