Folytonos valószínűségi változók numerikus jellemzői. Adjon meg egy X folytonos valószínűségi változót az f(x) eloszlásfüggvény

Eloszlási sűrűség valószínűségek x hívja meg a függvényt f(x) az eloszlásfüggvény első deriváltja F(x):

Valószínűségi változó valószínűségi eloszlási sűrűségének fogalma x számára diszkrét mennyiség nem alkalmazható.

Valószínűségi sűrűség f(x) differenciális eloszlási függvénynek nevezzük:

1. tulajdonság. Az eloszlási sűrűség nem negatív érték:

2. tulajdonság. Az eloszlássűrűség helytelen integrálja a -tól tartományban egyenlő eggyel:

1.25. példa. Dana elosztási függvény folytonos valószínűségi változó X:

f(x).

Megoldás: Az eloszlássűrűség egyenlő az eloszlásfüggvény első deriváltjával:

1. Adott egy folytonos valószínűségi változó eloszlásfüggvénye X:

Keresse meg az eloszlási sűrűséget.

2. Adott egy folytonos valószínűségi változó eloszlásfüggvénye X:

Keresse meg az eloszlási sűrűséget f(x).

1.3. A folytonos véletlen numerikus jellemzői

mennyiségeket

Várható érték folytonos valószínűségi változó x, melynek lehetséges értékei a teljes tengelyhez tartoznak Ó, az egyenlőség határozza meg:

Feltételezzük, hogy az integrál abszolút konvergál.

a,b), akkor:

f(x) a valószínűségi változó eloszlási sűrűsége.

Diszperzió folytonos valószínűségi változó x, melynek lehetséges értékei a teljes tengelyhez tartoznak, az egyenlőség határozza meg:

Különleges eset. Ha a valószínűségi változó értékei a ( a,b), akkor:

Annak a valószínűsége x intervallumhoz tartozó értékeket vesz fel ( a,b), az egyenlőség határozza meg:

.

1.26. példa. Folyamatos valószínűségi változó x

Határozza meg a matematikai elvárást, szórást és annak valószínűségét, hogy eltalál egy valószínűségi változót x intervallumban (0; 0,7).

Megoldás: A valószínűségi változó eloszlik a (0,1) intervallumon. Határozzuk meg egy folytonos valószínűségi változó eloszlási sűrűségét x:

a) Matematikai elvárás :

b) Diszperzió

ban ben)

Feladatok a önálló munkavégzés:

1. Véletlen változó x az eloszlási függvény adja meg:

M(x);

b) diszperzió D(x);

x a (2,3) intervallumba.

2. Véletlenszerű érték x

Keresse meg: a) matematikai elvárást M(x);

b) diszperzió D(x);

c) határozza meg egy valószínűségi változó eltalálásának valószínűségét x intervallumban (1; 1,5).

3. Véletlenszerű érték x az integrál eloszlásfüggvény adja meg:

Keresse meg: a) matematikai elvárást M(x);

b) diszperzió D(x);

c) határozza meg egy valószínűségi változó eltalálásának valószínűségét x az intervallumban.

1.4. Folytonos valószínűségi változó eloszlásának törvényei

1.4.1. Egyenletes eloszlás

Folyamatos valószínűségi változó x egyenletes eloszlású a [ a,b], ha ezen a szegmensen egy valószínűségi változó valószínűségi eloszlásának sűrűsége állandó, kívül pedig nullával egyenlő, azaz:

Rizs. négy.

; ; .

1.27. példa. Valamelyik útvonalon egy busz egyenletesen, 5 perces időközönként közlekedik. Határozza meg annak valószínűségét, hogy egy egyenletes eloszlású valószínűségi változó x– a busz várakozási ideje kevesebb, mint 3 perc.

Megoldás: Véletlenszerű érték x- egyenletesen elosztva az intervallumon belül.

Valószínűségi sűrűség: .

Annak érdekében, hogy a várakozási idő ne haladja meg a 3 percet, az utasnak az előző busz indulását követő 2-5 percen belül meg kell érkeznie a megállóhelyre, azaz. véletlenszerű érték x a (2;5) intervallumon belül kell lennie. Hogy. kívánt valószínűség:

Önálló munkavégzés feladatai:

1. a) határozza meg egy valószínűségi változó matematikai elvárását! x egyenletesen elosztva a (2; 8) intervallumban;

b) keresse meg a szórást és az átlagot szórás valószínűségi változó X, egyenletesen elosztva a (2;8) intervallumban.

2. A villanyóra percmutatója minden perc végén ugrik. Határozza meg annak valószínűségét, hogy egy adott pillanatban az óra azt az időt mutatja, amely legfeljebb 20 másodperccel tér el a valós időtől.

1.4.2. Az exponenciális (exponenciális) eloszlás

Folyamatos valószínűségi változó x exponenciális eloszlású, ha valószínűségi sűrűsége a következő:

ahol az exponenciális eloszlás paramétere.

Ily módon

Rizs. 5.

Numerikus jellemzők:

1.28. példa. Véletlenszerű érték x- az izzó működési ideje - exponenciális eloszlású. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a lámpa élettartama legalább 600 óra, ha a lámpa átlagos élettartama 400 óra.

Megoldás: A feladat feltételének megfelelően egy valószínűségi változó matematikai elvárása x 400 óra, tehát:

;

A kívánt valószínűség , hol

Végül:

Önálló munkavégzés feladatai:

1. Írja fel az exponenciális törvény sűrűség- és eloszlásfüggvényét, ha a paraméter .

2. Véletlenszerű érték x

Keresse meg egy mennyiség matematikai elvárását és szórását! x.

3. Véletlenszerű érték x a valószínűségi eloszlási függvény adja meg:

Határozza meg egy valószínűségi változó matematikai elvárását és szórását!

1.4.3. Normális eloszlás

Normál folytonos valószínűségi változó valószínűségi eloszlásának nevezzük x, amelynek sűrűsége a következő:

ahol a– matematikai elvárás, – szórás x.

Annak a valószínűsége x intervallumhoz tartozó értéket vesz fel:

, ahol

a Laplace függvény.

Egy disztribúció, amely rendelkezik ; , azaz valószínűségi sűrűséggel szabványnak nevezik.

Rizs. 6.

Annak a valószínűsége, hogy az eltérés abszolút értéke kisebb egy pozitív számnál:

.

Főleg mikor a= 0 egyenlőség igaz:

Példa 1.29. Véletlenszerű érték x normálisan elosztva. Szórás . Határozzuk meg annak valószínűségét, hogy egy valószínűségi változó abszolút értékben 0,3-nál kisebb lesz az eltérése a matematikai elvárásától.

Megoldás: .

Önálló munkavégzés feladatai:

1. Írja fel egy valószínűségi változó normális eloszlásának valószínűségi sűrűségét! x, ennek tudatában M(x)= 3, D(x)= 16.

2. Normális eloszlású valószínűségi változó matematikai elvárása és szórása x 20, illetve 5. Határozzuk meg annak valószínűségét, hogy a teszt eredményeként x a (15;20) intervallumban lévő értéket veszi fel.

3. A véletlenszerű mérési hibákra a normál törvény vonatkozik, mm szórással és matematikai elvárással a= 0. Határozza meg annak valószínűségét, hogy 3 független mérés közül legalább az egyik hibája abszolút értékben nem haladja meg a 4 mm-t!

4. Egyes anyagokat szisztematikus hibák nélkül lemérnek. A véletlenszerű mérési hibákra r szórással a normál törvény vonatkozik. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a mérés abszolút értékben legfeljebb 10 g hibával történik.

Véletlen változó olyan változót nevezünk, amely minden teszt eredményeként egy korábban ismeretlen értéket vesz fel, véletlenszerű okoktól függően. A véletlenszerű változókat nagybetűkkel jelöljük latin betűkkel: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Véletlenszerű változók lehetnek diszkrétés folyamatos.

Diszkrét valószínűségi változó- ez egy olyan valószínűségi változó, amelynek értéke legfeljebb megszámlálható, azaz véges vagy megszámlálható. A megszámlálhatóság azt jelenti, hogy egy valószínűségi változó értékei felsorolhatók.

1. példa . Adjunk példákat diszkrét valószínűségi változókra:

a) a célponton elért találatok száma $n$ lövéssel, itt a lehetséges értékek: $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

b) az érme feldobásakor kihullott címerek száma, itt a lehetséges értékek: $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

c) a fedélzetre érkezett hajók száma (megszámlálható értékkészlet).

d) a központba érkező hívások száma (megszámlálható értékkészlet).

1. Egy diszkrét valószínűségi változó valószínűségi eloszlásának törvénye.

Egy diszkrét $X$ valószínűségi változó a $x_1,\dots ,\ x_n$ értékeket veheti fel $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$ valószínűségekkel. Ezen értékek és valószínűségeik közötti megfelelést nevezzük diszkrét valószínűségi változó eloszlási törvénye. Általános szabály, hogy ezt a megfelelést egy táblázat segítségével adjuk meg, amelynek első sorában a $x_1,\dots ,\ x_n$ értékei vannak feltüntetve, a második sorban pedig az ezeknek az értékeknek megfelelő valószínűségek a $ p_1,\pontok ,\ p_n$.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end(tömb)$

2. példa . Legyen a $X$ valószínűségi változó a kockadobáskor dobott pontok száma. Egy ilyen $X$ valószínűségi változó a következő értékeket veheti fel: $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Mindezen értékek valószínűsége 1/6 $. Ezután az $X$ valószínűségi változó valószínűségi eloszlási törvénye:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end(tömb)$

Megjegyzés. Mivel a $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ események egy teljes eseménycsoportot alkotnak a $X$ diszkrét valószínűségi változó eloszlási törvényében, a valószínűségek összegének egyenlőnek kell lennie eggyel, azaz $\sum( p_i)=1$.

2. Diszkrét valószínűségi változó matematikai elvárása.

Egy valószínűségi változó matematikai elvárása megadja a "központi" értékét. Egy diszkrét valószínűségi változó esetén a matematikai elvárást a $x_1,\pontok ,\ x_n$ értékek és az ezeknek az értékeknek megfelelő $p_1,\pontok ,\ p_n$ valószínűségek szorzataként számítjuk ki, azaz: $M\left(X\right)=\sum ^n_(i=1)(p_ix_i)$. Az angol irodalomban egy másik $E\left(X\right)$ jelölést használnak.

Elvárás tulajdonságai$M\bal(X\jobb)$:

1. $M\left(X\right)$ a legkisebb és a között van legmagasabb értékeket valószínűségi változó $X$.
2. Egy konstans matematikai elvárása megegyezik magával az állandóval, azaz. $M\left(C\right)=C$.
3. A konstans tényező kivehető a várakozási előjelből: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. A valószínűségi változók összegének matematikai elvárása megegyezik a matematikai elvárásaik összegével: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. A független valószínűségi változók szorzatának matematikai elvárása megegyezik a matematikai elvárásaik szorzatával: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

3. példa . Keressük meg a $2$ példából a $X$ valószínűségi változó matematikai elvárását.

$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\over (6))+2\cdot ((1)\over (6) )+3\cdot ((1)\(6) felett)+4\cdot ((1)\(6) felett)+5\cdot ((1)\(6) felett)+6\cdot ((1) )\over(6))=3,5.$$

Megfigyelhetjük, hogy a $M\left(X\right)$ a $X$ valószínűségi változó legkisebb ($1$) és legnagyobb ($6$) értéke között van.

4. példa . Ismeretes, hogy az $X$ valószínűségi változó matematikai elvárása: $M\left(X\right)=2$. Határozzuk meg a $3X+5$ valószínűségi változó matematikai elvárását.

A fenti tulajdonságok felhasználásával $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ cdot 2 +5=11$.

5. példa . Ismeretes, hogy az $X$ valószínűségi változó matematikai elvárása: $M\left(X\right)=4$. Határozzuk meg a $2X-9$ valószínűségi változó matematikai elvárását.

A fenti tulajdonságok felhasználásával megkapjuk: $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ cdot 4 -9=-1$.

3. Egy diszkrét valószínűségi változó diszperziója.

Lehetséges értékek az azonos matematikai elvárású valószínűségi változók különböző módon szóródhatnak az átlaguk körül. Például két diákcsoportban a valószínűségszámítás vizsgaátlaga 4 lett, de az egyik csoportban mindenki jó tanulónak bizonyult, a másik csoportban pedig csak a C tanuló és a kitűnő tanuló. Ezért szükség van egy valószínűségi változónak egy olyan numerikus karakterisztikára, amely megmutatja egy valószínűségi változó értékeinek terjedését a matematikai elvárása körül. Ez a jellemző a diszperzió.

Egy diszkrét valószínűségi változó diszperziója$X$ a következő:

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2).\ $$

Az angol szakirodalomban a $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$ jelölést használják. Nagyon gyakran a $D\left(X\right)$ variancia kiszámítása a következő képlettel történik: $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\) balra(X \jobbra)\jobbra))^2$.

Diszperziós tulajdonságok$D\bal(X\jobb)$:

1. A diszperzió mindig nagyobb vagy egyenlő nullával, azaz. $D\left(X\right)\ge 0$.
2. Az állandótól való diszperzió egyenlő nullával, azaz. $D\left(C\right)=0$.
3. Az állandó tényezőt ki lehet venni a diszperziós előjelből, feltéve, hogy négyzetes, pl. $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\right)$.
4. A független valószínűségi változók összegének szórása egyenlő szórásaik összegével, azaz. $D\left(X+Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.
5. A független valószínűségi változók különbségének szórása egyenlő szórásaik összegével, azaz. $D\left(X-Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.

6. példa . Számítsuk ki a $X$ valószínűségi változó varianciáját a $2$ példából.

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2)=((1)\over (6))\cdot (\bal(1-3,5\jobb))^2+((1)\over(6))\cdot (\bal(2-3,5\jobb))^2+ \pontok +((1)\(6) felett)\cdot (\bal(6-3,5\jobb))^2=((35)\(12))\körülbelül 2,92.$$

7. példa . Ismeretes, hogy a $X$ valószínűségi változó varianciája egyenlő: $D\left(X\right)=2$. Határozzuk meg a $4X+1$ valószínűségi változó varianciáját.

A fenti tulajdonságokat használva a következőt kapjuk: $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\bal (X\jobb)=16\cdot 2=32$.

8. példa . Ismeretes, hogy $X$ varianciája egyenlő: $D\left(X\right)=3$. Határozzuk meg a $3-2X$ valószínűségi változó varianciáját.

A fenti tulajdonságokat használva a következőt kapjuk: $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\bal(X\jobb)=4\cdot 3=12$.

4. Egy diszkrét valószínűségi változó eloszlásfüggvénye.

A diszkrét valószínűségi változó eloszlási sorozat formájában történő ábrázolásának módja nem az egyetlen, és ami a legfontosabb, nem univerzális, mivel folytonos valószínűségi változót nem lehet eloszlássorozattal megadni. Van egy másik módja a valószínűségi változó ábrázolásának - az eloszlási függvény.

elosztási függvény Az $X$ valószínűségi változó egy $F\left(x\right)$ függvény, amely meghatározza annak valószínűségét, hogy a $X$ valószínűségi változó kisebb értéket vesz fel, mint valamilyen $x$ rögzített érték, azaz $F\left(x\ jobb)$ )=P\left(X< x\right)$

Az eloszlási függvény tulajdonságai:

1. $0\le F\left(x\right)\le 1$.
2. Annak a valószínűsége, hogy a $X$ valószínűségi változó a $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ intervallumból vesz értékeket, egyenlő az eloszlásfüggvény értékei közötti különbséggel ezen intervallum végén : $P\left(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\left(x\right)$ - nem csökkenő.
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \right)=1\ )$.

9. példa . Keressük meg a $2$ példából a $F\left(x\right)$ eloszlási függvényt a $X$ diszkrét valószínűségi változó eloszlási törvényéhez.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(tömb)$

Ha $x\le 1$, akkor nyilvánvalóan $F\left(x\right)=0$ (beleértve a $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X)< 1\right)=0$).

Ha 1 dollár< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Ha 2 dollár< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Ha 3 dollár< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Ha 4 dollár< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Ha 5 dollár< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Ha $x > 6$, akkor $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right) + P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)+P\left(X=6\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1 /6+1/6=1$.

Tehát $F(x)=\left\(\begin(mátrix)
0,\ at\ x\le 1,\\
1/6, at \ 1< x\le 2,\\
1/3,\ at\ 2< x\le 3,\\
1/2, \ 3< x\le 4,\\
2/3,\ at\ 4< x\le 5,\\
5/6, \ at \ 4< x\le 5,\\
1,\ \ x > 6 esetén.
\end(mátrix)\jobbra.$

Egy folytonos valószínűségi változó valószínűségi eloszlási sűrűsége (differenciáleloszlási függvény) az integráleloszlásfüggvény első deriváltja: f(x)=F'(X). Ebből a definícióból és az eloszlásfüggvény tulajdonságaiból az következik, hogy

Egy folytonos X valószínűségi változó matematikai elvárása a szám

Egy X folytonos valószínűségi változó varianciáját az egyenlőség határozza meg

79. példa. Időeloszlási sűrűség T REA összeszerelés a gyártósoron

Együttható keresése A, a REA összeállítási idő eloszlásfüggvénye és annak valószínűsége, hogy az összeállítási idő a (0,1A) intervallumon belül lesz.

Megoldás. Egy valószínűségi változó eloszlásfüggvényének tulajdonsága alapján

Kétszer alkatrészenként integrálva kapjuk

Az elosztási függvény az

Annak valószínűsége, hogy a REA összeszerelési ideje nem haladja meg a (0; 1/λ) értéket:

80. példa. Az elektronikus berendezés egység kimeneti ellenállása névleges értéktől való eltérésének valószínűségének sűrűsége R 0 a 2δ tűrésmezőn belül a törvény írja le

Határozza meg az ellenállás névleges értéktől való eltérésének matematikai elvárását és szórását!

Megoldás.

Mivel az integrandus páratlan, és az integráció határai szimmetrikusak az origóhoz képest, az integrál egyenlő 0-val.

Következésképpen, M{R} = 0.

Csere elvégzésével r = a bűn x, kapunk

81. példa. Egy folytonos X valószínűségi változó eloszlási sűrűsége adott:

Keresse meg: 1. F(x); 2.M(X); 3. D(X).

Megoldás. 1. F(x) kereséséhez a képletet használjuk

Ha egy
, akkor

a

Ha egy
, akkor

Ha egy
, akkor f(x)=0, és

3.

Kétszer részenként integrálva a következőket kapjuk:

, akkor

82. Keresse meg f(x), M(X), D(X) a 74., 75. feladatban!

83. Adott egy X folytonos valószínűségi változó eloszlási sűrűsége:

Keresse meg az F(x) eloszlásfüggvényt!

84. Egy folytonos X valószínűségi változó eloszlási sűrűségét a teljes Ox tengelyen az egyenlőség adja meg
. Keresse meg a C állandó paramétert.

85. A (-3, 3) intervallumban lévő X valószínűségi változót az eloszlássűrűség adja meg
; ezen az intervallumon kívül

a) Határozza meg X varianciáját;

b) melyik a valószínűbb: a teszt eredménye X lesz<1 или X>1?

86. Határozzuk meg egy X valószínűségi változó eloszlásfüggvény által megadott varianciáját!

87. Valószínűségi változót egy eloszlásfüggvény ad meg

Határozzuk meg X átlagát, szórását és szórását.

§nyolc. Egységes és exponenciális eloszlások

Egy folytonos X valószínűségi változó eloszlását egyenletesnek nevezzük, ha azon (a,b) intervallumon, amelyhez X minden lehetséges értéke tartozik, a sűrűség állandó marad, és ezen az intervallumon kívül egyenlő nullával, azaz.

Az exponenciális (exponenciális) eloszlás egy folytonos X valószínűségi változó valószínűségi eloszlása, amelyet a sűrűség ír le

ahol λ egy állandó pozitív érték. Az exponenciális törvény eloszlásfüggvénye

A matematikai elvárás és a variancia egyenlő

;
;

88. példa. Az ampermérő skála osztásértéke 0,10A. Az ampermérő értékeket a legközelebbi egész osztásra kerekítik. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a leolvasás során 0,02A-t meghaladó hiba történik.

Megoldás. A kerekítési hiba egy X valószínűségi változónak tekinthető, amely egyenletesen oszlik el két egész osztás közötti intervallumban (0; 0,1). Következésképpen,

Akkor
.

89. példa. Az elem üzemidejének időtartama exponenciális eloszlású. Határozzuk meg annak valószínűségét, hogy t=100 óra alatt: a) az elem meghibásodik; b) az elem nem fog meghibásodni.

Megoldás. a) Definíció szerint
, ezért meghatározza egy elem meghibásodásának valószínűségét t időben, ezért

b) Az „elem nem fog meghibásodni” esemény ellentéte a figyelembe vettnek, tehát annak valószínűsége

90. Az elektronikai egység összeszerelése gyártósoron történik, az összeszerelési ciklus 2 perc. A kész blokkot a cikluson belül egy tetszőleges időpontban eltávolítják a szállítószalagról ellenőrzés és beállítás céljából. Határozza meg a kész blokk által a szállítószalagon eltöltött idő matematikai elvárását és szórását! Egy blokk által a szállítószalagon eltöltött idő betartja a valószínűségi változók egyenletes eloszlásának törvényét.

91. A REA bizonyos ideig tartó meghibásodásának valószínűségét a képlet fejezi ki . Határozza meg a REA átlagos működési idejét a meghibásodás előtt.

92. A fejlesztés alatt álló kommunikációs műhold meghibásodása közötti átlagos időtartamnak 5 évnek kell lennie. A meghibásodások közötti valós időt véletlen exponenciális eloszlású értéknek tekintve határozza meg annak valószínűségét

a) a műhold 5 évnél rövidebb ideig fog működni,

b) a műhold legalább 10 évig fog működni,

c) a műhold a 6. éven belül meghibásodik.

93. Egy bérlő vásárolt négy darab, átlagosan 1000 órás élettartamú izzót, amelyek közül az egyiket asztali lámpába szerelte, a többit pedig tartalékban tartotta arra az esetre, ha a lámpa kiégne. Határozza meg:

a) a négy lámpa várható teljes élettartama,

b) annak a valószínűsége, hogy négy lámpa összesen legalább 5000 órát fog kitartani,

c) annak a valószínűsége Általános kifejezés az összes lámpa élettartama nem haladja meg a 2000 órát.

94. A mérőműszer skálájának osztási ára 0,2. A műszer leolvasásait a legközelebbi egész osztásra kerekítjük. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a leolvasás során hiba történik: a) kisebb, mint 0,04; b) nagy 0,05.

95. Egy adott útvonalon az autóbuszok szigorúan menetrend szerint közlekednek. Mozgásintervallum 5 perc. Határozza meg annak valószínűségét, hogy egy megállóba érkező utas kevesebb mint 3 percet vár a következő buszra.

96. Határozza meg a (2, 8) intervallumban egyenletes eloszlású X valószínűségi változó matematikai elvárását!

97. Határozza meg a (2, 8) intervallumban egyenletes eloszlású X valószínűségi változó varianciáját és szórását!

98. Teszteljen két egymástól függetlenül működő elemet. Az első elem üzemidejének időtartama exponenciális eloszlású
, második
. Határozzuk meg annak valószínűségét, hogy t = 6 óra alatt: a) mindkét elem meghibásodik; b) mindkét elem nem fog meghibásodni; c) csak egy elem fog meghibásodni; d) legalább egy elem meghibásodik.

Példák a „Véletlen változók” témával kapcsolatos problémák megoldására.

Egy feladat 1 . A sorsoláson 100 db jegyet bocsátanak ki. Egy 50 USD nyereményt játszottak. és tíz, egyenként 10 dolláros nyeremény. Keresse meg az X érték eloszlási törvényét - a lehetséges nyereség költségét.

Megoldás. X lehetséges értékei: x 1 = 0; x 2 = 10 és x 3 = 50. Mivel 89 „üres” jegy van, akkor p 1 = 0,89, a nyerési valószínűség 10 c.u. (10 jegy) – p 2 = 0,10 és 50 c.u. – o 3 = 0,01. Ilyen módon:

	0,89	0,10	0,01

Könnyen irányítható: .

Egy feladat 2. Annak a valószínűsége, hogy a vásárló előzetesen megismerkedett a termék hirdetésével, 0,6 (p = 0,6). A reklámok szelektív minőség-ellenőrzését úgy végzik el, hogy a vásárlókat még azelőtt megkérdezik, aki először tanulmányozta a hirdetést. Készítsen sorozatot a megkérdezett vásárlók számának megoszlásáról.

Megoldás. A feladat feltétele szerint p = 0,6. Kezdő: q=1 -p = 0,4. Ezeket az értékeket behelyettesítve a következőket kapjuk:és készítsünk egy eloszlási sorozatot:

pi		0,24

Egy feladat 3. A számítógép három egymástól függetlenül működő elemből áll: egy rendszeregységből, egy monitorból és egy billentyűzetből. A feszültség egyszeri éles növekedésével az egyes elemek meghibásodásának valószínűsége 0,1. A Bernoulli-eloszlás alapján készítse el az elosztási törvényt a hálózat túlfeszültség-emelkedése során meghibásodott elemek számára.

Megoldás. Fontolgat Bernoulli eloszlás(vagy binomiális): annak a valószínűsége, hogy be n tesztek esetén az A esemény pontosan megjelenik k egyszer: , vagy:

	q n					p n

NÁL NÉL térjünk vissza a feladathoz.

X lehetséges értékei (a hibák száma):

x 0 =0 - egyik elem sem sikerült;

x 1 =1 - egy elem meghibásodása;

x 2 =2 - két elem meghibásodása;

x 3 =3 - minden elem meghibásodása.

Mivel feltétel szerint p = 0,1, akkor q = 1 – p = 0,9. A Bernoulli-képlet segítségével azt kapjuk

, ,

, .

Vezérlés: .

Ezért a kívánt elosztási törvény:

	0,729	0,243	0,027	0,001

4. feladat. 5000 darabot gyártottak. Annak a valószínűsége, hogy az egyik patron hibás . Mennyi annak a valószínűsége, hogy pontosan 3 hibás patron lesz a teljes tételben?

Megoldás. Alkalmazható Poisson-eloszlás: ez az eloszlás annak a valószínűségének meghatározására szolgál, hogy egy nagyon nagy

kísérletek száma (tömegpróbák), amelyek mindegyikében az A esemény valószínűsége nagyon kicsi, az A esemény k-szer fog bekövetkezni: , ahol .

Itt n \u003d 5000, p \u003d 0,0002, k \u003d 3. Megtaláljuk, majd a kívánt valószínűséget: .

5. feladat. Amikor az első találat előtt lő a p találati valószínűséggel = 0,6 egy lövés esetén, meg kell találnia annak valószínűségét, hogy a találat a harmadik lövésnél bekövetkezik.

Megoldás. Alkalmazzuk a geometriai eloszlást: végezzünk független próbákat, amelyek mindegyikében az A esemény p bekövetkezési valószínűséggel (és q = 1 - p be nem következéssel) rendelkezik. A kísérletek azonnal véget érnek, amint az A esemény bekövetkezik.

Ilyen feltételek mellett annak valószínűségét, hogy az A esemény bekövetkezik a k-adik teszten, a következő képlet határozza meg: . Itt p = 0,6; q \u003d 1 - 0,6 \u003d 0,4; k \u003d 3. Ezért .

6. feladat. Legyen adott egy X valószínűségi változó eloszlásának törvénye:

Keresse meg a matematikai elvárást.

Megoldás. .

Vegyük észre, hogy a matematikai elvárás valószínűségi jelentése egy valószínűségi változó átlagos értéke.

7. feladat. Keresse meg egy X valószínűségi változó varianciáját a következő eloszlási törvény szerint:

Megoldás. Itt .

X négyzetének eloszlási törvénye 2 :

x 2

Kötelező szórás: .

A diszperzió egy valószínűségi változó matematikai elvárásától való eltérésének (szórásának) mértékét jellemzi.

8. feladat. Adjuk meg a valószínűségi változót az eloszlás:

			10 m

Keresse meg a numerikus jellemzőit!

Megoldás: m, m 2 ,

M 2 , m.

Egy X valószínűségi változóról azt is mondhatjuk, hogy matematikai elvárása 6,4 m, szórása 13,04 m 2 , vagy - matematikai elvárása 6,4 m, m eltéréssel A második megfogalmazás nyilvánvalóan világosabb.

Egy feladat 9. Véletlenszerű érték x az eloszlási függvény adja meg:
.

Határozzuk meg annak valószínűségét, hogy a teszt eredményeként az X érték az intervallumban foglalt értéket veszi fel .

Megoldás. Annak a valószínűsége, hogy X értéket vesz fel egy adott intervallumból, egyenlő az integrálfüggvény növekményével ebben az intervallumban, azaz. . A mi esetünkben és ezért

.

Egy feladat 10. Diszkrét valószínűségi változó x az elosztási törvény szerint:

Keresse meg az elosztási függvényt F(x ), és készítse el a grafikonját.

Megoldás. Mivel az elosztási függvény

számára , akkor

nál nél ;

nál nél ;

nál nél ;

nál nél ;

Vonatkozó diagram:

11. feladat. Folyamatos valószínűségi változó x a differenciáleloszlási függvény adja meg: .

Keresse meg az ütés valószínűségét X az intervallumhoz

Megoldás. Vegye figyelembe, hogy ez az exponenciális eloszlás törvényének egy speciális esete.

Használjuk a képletet: .

Egy feladat 12. Határozzuk meg egy diszkrét X valószínűségi változó numerikus jellemzőit, amelyeket az eloszlási törvény adott:

	–5
	X 2: x2 . , ahol a Laplace függvény. Ennek a függvénynek az értékeit táblázat segítségével találja meg. A mi esetünkben: . A táblázat szerint a következőket találjuk: tehát:

A diszkrét valószínűségi változókkal ellentétben a folytonos valószínűségi változók nem adhatók meg eloszlási törvényének táblázata formájában, mivel lehetetlen felsorolni és kiírni az összes értékét egy bizonyos sorrendben. Az egyik lehetséges módjai folytonos valószínűségi változó beállítása az eloszlásfüggvény használata.

MEGHATÁROZÁS. Az eloszlásfüggvény egy olyan függvény, amely meghatározza annak valószínűségét, hogy egy valószínűségi változó olyan értéket vesz fel, amelyet a valós tengelyen az x ponttól balra lévő pont ábrázol, azaz.

Néha az "eloszlási függvény" kifejezés helyett az "integrális függvény" kifejezést használják.

Az elosztási függvény tulajdonságai:

1. Az eloszlásfüggvény értéke a 0F(x)1 szegmenshez tartozik
2. F(x) nem csökkenő függvény, azaz. F(x 2)F(x 1), ha x 2 >x 1

Következmény 1. Annak a valószínűsége, hogy egy valószínűségi változó felvesz egy értéket az (a, b) intervallumban, egyenlő az eloszlásfüggvény növekményével ezen az intervallumon:

P(aX

9. példa Egy X valószínűségi változót egy eloszlásfüggvény ad meg:

Határozza meg annak valószínűségét, hogy a teszt eredményeként X a (0; 2) intervallumhoz tartozó értéket vesz fel: P(0)

Megoldás: Mivel a (0;2) intervallumon feltétel szerint F(x)=x/4+1/4, akkor F(2)-F(0)=(2/4+1/4)-(0 /4+1/4)=1/2. Tehát P(0

Következmény 2. Annak a valószínűsége, hogy egy X folytonos valószínűségi változó egy meghatározott értéket vesz fel, nullával egyenlő.

Következmény 3. Ha egy valószínűségi változó lehetséges értékei az (a;b) intervallumhoz tartoznak, akkor: 1) F(x)=0 xa esetén; 2) F(x)=1 xb esetén.
A következő határviszonyok érvényesek:

Az eloszlásfüggvény grafikonja az y=0, y=1 egyenesek által határolt sávban található (az első tulajdonság). Amint x növekszik az (a;b) intervallumban, amely a valószínűségi változó összes lehetséges értékét tartalmazza, a grafikon "felfelé emelkedik". xa esetén a gráf ordinátái egyenlők nullával; xb-nél a gráf ordinátái egyenlőek eggyel:

1. kép

10. példa Egy X diszkrét valószínűségi változót egy eloszlási táblázat ad meg:

x	1	4	8
P	0.3	0.1	0.6

Keresse meg az eloszlásfüggvényt, és készítse el a grafikonját.
Megoldás: Az eloszlásfüggvény analitikusan a következőképpen írható fel:

2. ábra

DEFINÍCIÓ: Az X folytonos valószínűségi változó valószínűségi eloszlási sűrűsége az f (x) függvény - az F (x) eloszlásfüggvény első deriváltja: f (x) \u003d F "(x)

Ebből a definícióból az következik, hogy az eloszlásfüggvény az eloszlássűrűség antideriváltja.

Tétel. Annak a valószínűsége, hogy egy X folytonos valószínűségi változó az (a; b) intervallumhoz tartozó értéket vesz fel, egyenlő az eloszlássűrűség egy bizonyos integráljával, a-tól b-ig terjedő tartományban:

(8)

A valószínűségi sűrűség tulajdonságai:

1. A valószínűségi sűrűség egy nem negatív függvény: f(x)0.
2. Egy folytonos valószínűségi változó valószínűségi eloszlási sűrűségének -∞-től +∞-ig terjedő határozott integrálja egyenlő 1-gyel: f(x)dx=1.
3. Egy folytonos valószínűségi változó valószínűségi eloszlássűrűségének -∞-től x-ig terjedő határozott integrálja egyenlő ennek a változónak az eloszlásfüggvényével: f(x)dx=F(x)

11. példa Adott egy X valószínűségi változó valószínűségi eloszlási sűrűsége

Határozzuk meg annak valószínűségét, hogy a teszt eredményeként X a (0,5; 1) intervallumhoz tartozó értéket vesz fel!

Megoldás: Kívánt valószínűség:

Terjesszük ki a diszkrét mennyiségek numerikus jellemzőinek meghatározását folytonos mennyiségekre. Adjon meg egy X folytonos valószínűségi változót az f(x) eloszlássűrűség.

MEGHATÁROZÁS. Egy folytonos X valószínűségi változó matematikai elvárását, amelynek lehetséges értékei a szegmenshez tartoznak, határozott integrálnak nevezzük:

M(x)=xf(x)dx (9)

Ha a lehetséges értékek a teljes x-tengelyhez tartoznak, akkor:

M(x)=xf(x)dx (10)

Egy X folytonos valószínűségi változó M 0 (X) módusa a lehetséges értéke, amely megfelel az eloszlási sűrűség lokális maximumának.

Egy X folytonos valószínűségi változó mediánja M e (X) a lehetséges értéke, amelyet a következő egyenlőség határoz meg:

P(Xe(X))=P(X>M e(X))

MEGHATÁROZÁS. Egy folytonos valószínűségi változó szórása az eltérés négyzetének matematikai elvárása. Ha az X lehetséges értékei a szegmenshez tartoznak, akkor:

D(x)=2 f(x)dx (11)
vagy
D(x)=x 2 f(x)dx- 2 (11*)

Ha a lehetséges értékek a teljes x-tengelyhez tartoznak, akkor.