Példa az inverz mátrix megtalálására. Mátrixalgebra - Inverz mátrix

Keresse meg az egyes 2x2 mátrixok definícióját. Bármely mátrix minden eleme, beleértve a transzponált elemet is, hozzá van rendelve egy megfelelő 2x2-es mátrixhoz. Egy adott elemnek megfelelő 2x2-es mátrix megtalálásához húzza ki azt a sort és oszlopot, amelyben ez az elem található, azaz át kell húznia az eredeti 3x3-as mátrix öt elemét. Négy olyan elem, amely a megfelelő 2x2-es mátrix elemei, áthúzatlan marad.

• Például annak az elemnek a 2x2 mátrixának megtalálásához, amely a második sor és az első oszlop metszéspontjában található, húzza ki a második sorban és az első oszlopban lévő öt elemet. A maradék négy elem a megfelelő 2x2-es mátrix elemei.
• Keresse meg az egyes 2x2 mátrixok determinánsát! Ehhez vonjuk le a másodlagos átló elemeinek szorzatát a főátló elemeinek szorzatából (lásd az ábrát).
• A 3x3-as mátrix egyes elemeinek megfelelő 2x2-es mátrixokról részletes információk találhatók az interneten.

Hozzon létre egy kofaktor mátrixot. Rögzítse a korábban kapott eredményeket egy új kofaktormátrix formájában. Ehhez írja fel minden 2x2-es mátrix talált determinánsát, ahol a 3x3-as mátrix megfelelő eleme volt. Például, ha egy 2x2-es mátrixot veszünk figyelembe az (1,1) elemhez, írjuk le a determinánsát az (1,1) pozícióba. Ezután változtassa meg a megfelelő elemek jeleit egy bizonyos minta szerint, amely az ábrán látható.

• Jelváltási séma: az első sor első elemének előjele nem változik; az első sor második elemének előjele megfordul; az első sor harmadik elemének előjele nem változik, és így soronként. Kérjük, vegye figyelembe, hogy a diagramon látható "+" és "-" jelek (lásd az ábrát) nem azt jelzik, hogy a megfelelő elem pozitív vagy negatív lesz. Ebben az esetben a „+” jel azt jelzi, hogy az elem előjele nem változik, a „-” jel pedig azt, hogy az elem előjele megváltozott.
• A kofaktormátrixokról részletes információk találhatók az interneten.
• Így találja meg az eredeti mátrix kapcsolódó mátrixát. Néha összetett konjugált mátrixnak is nevezik. Az ilyen mátrixot adj(M)-ként jelöljük.

Osszuk el az adjunkt mátrix minden elemét a determinánssal. Az M mátrix determinánsát a legelején kiszámítottuk, hogy ellenőrizzük az inverz mátrix létezését. Most osszuk el az adjunkt mátrix minden elemét ezzel a determinánssal. Jegyezze fel minden osztási művelet eredményét, ahol a megfelelő elem található. Tehát megtalálja a mátrixot, az eredeti inverzét.

• Az ábrán látható mátrix determinánsa 1. Így a kapcsolódó mátrix itt az inverz mátrix (mivel bármely szám 1-gyel való osztása nem változtat).
• Egyes forrásokban az osztási műveletet a szorzási művelet váltja fel 1/det(M)-re. Ebben az esetben a végeredmény nem változik.

Írd fel az inverz mátrixot!Írja le a jobb oldalon található elemeket! nagy mátrix, külön mátrixként van megadva, amely inverz mátrix.

Írja be az eredeti mátrixot a számológép memóriájába. Ehhez kattintson a Mátrix gombra, ha elérhető. Egy Texas Instruments számológép esetén előfordulhat, hogy meg kell nyomnia a 2. és a Matrix gombot.

Válassza a Szerkesztés menüt. Ehhez használja a nyílgombokat vagy a megfelelő funkciógombot, amely a számológép billentyűzetének tetején található (a gomb helye a számológép típusától függ).

Adja meg a mátrix megnevezését. A legtöbb grafikus számológép 3-10 mátrixszal tud dolgozni, amelyek jelölhetők A-J betűk. Általános szabály, hogy csak válassza ki az [A]-t az eredeti mátrix jelölésére. Ezután nyomja meg az Enter gombot.

Adja meg a mátrix méretét. Ez a cikk a 3x3-as mátrixokról szól. De a grafikus számológépek működhetnek mátrixokkal nagy méretek. Adja meg a sorok számát, nyomja meg az Enter gombot, majd adja meg az oszlopok számát, és nyomja meg ismét az Enter gombot.

Adja meg a mátrix minden elemét. A számológép képernyőjén egy mátrix jelenik meg. Ha korábban már bevitt egy mátrixot a számológépbe, az megjelenik a képernyőn. A kurzor kiemeli a mátrix első elemét. Írja be az első elem értékét, és nyomja meg az Enter billentyűt. A kurzor automatikusan a mátrix következő elemére lép.

Az A -1 mátrixot inverz mátrixnak nevezzük az A mátrixhoz képest, ha A * A -1 \u003d E, ahol E az n-edik sorrendű azonosságmátrix. Az inverz mátrix csak négyzetmátrixoknál létezhet.

Szolgálati megbízás. A szolgáltatás online használatával algebrai összeadásokat, transzponált A T mátrixot, uniómátrixot és inverz mátrixot találhat. A megoldást közvetlenül a webhelyen (online) hajtják végre, és ingyenes. A számítási eredmények Word és Excel formátumú jelentésben jelennek meg (vagyis lehetőség van a megoldás ellenőrzésére). lásd a tervezési példát.

Utasítás. A megoldáshoz meg kell adni a mátrix méretét. Ezután az új párbeszédablakban töltse ki az A mátrixot.

Lásd még: Inverz mátrix Jordan-Gauss módszerrel

Algoritmus az inverz mátrix megtalálására

1. Az A T transzponált mátrix megkeresése.
2. Algebrai összeadások meghatározása. Cserélje le a mátrix minden elemét az algebrai komplementerével.
3. Inverz mátrix összeállítása algebrai összeadásokból: a kapott mátrix minden elemét elosztjuk az eredeti mátrix determinánsával. A kapott mátrix az eredeti mátrix inverze.

1. Határozza meg, hogy a mátrix négyzet alakú-e. Ha nem, akkor nincs rá inverz mátrix.
2. Az A mátrix determinánsának kiszámítása. Ha nem egyenlő nullával, akkor folytatjuk a megoldást, ellenkező esetben az inverz mátrix nem létezik.
3. Algebrai összeadások meghatározása.
4. A C unió (kölcsönös, adjunkt) mátrix kitöltése.
5. Az inverz mátrix összeállítása algebrai összeadásokból: a C adjunkt mátrix minden elemét elosztjuk az eredeti mátrix determinánsával. A kapott mátrix az eredeti mátrix inverze.
6. Ellenőrizze: szorozza meg az eredetit és a kapott mátrixokat. Az eredmény egy identitásmátrix legyen.

1. példa. A mátrixot a következő formában írjuk fel:

Egy másik algoritmus az inverz mátrix megtalálására

1. Keresse meg az adott A négyzetmátrix determinánsát!
2. Az A mátrix összes eleméhez algebrai összeadásokat találunk.
3. A sorok elemeinek algebrai komplementereit írjuk az oszlopokba (transzpozíció).
4. A kapott mátrix minden elemét elosztjuk az A mátrix determinánsával.

Különleges eset: Az inverz az E identitásmátrix vonatkozásában az E azonosságmátrix.

Tekintsük a mátrixszorzás inverz műveletének meghatározásának problémáját.

Legyen A egy n rendű négyzetmátrix. A^(-1) mátrix kielégítése együtt adott mátrix A egyenlőségek:

A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E,

A definícióból az következik, hogy ha létezik A^(-1) inverz mátrix, akkor az A-val azonos nagyságrendű négyzet. Azonban nem minden négyzetmátrixnak van inverze. Ha az A mátrix determinánsa nulla (\det(A)=0) , akkor nincs inverze. Valójában az E=A^(-1)A azonosságmátrix mátrixok szorzatának determinánsára vonatkozó tételt alkalmazva ellentmondást kapunk

\det(E)=\det(A^(-1)\cdot A)=\det(A^(-1))\det(A)=\det(A^(-1))\cdot0=0

4.1. Tétel az inverz mátrix létezéséről és egyediségéről. négyzetmátrix A=\begin(pmátrix)a_(11)&\cdots&a_(1n)\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_(n1)&\cdots&a_(nn) \end(pmátrix), amelynek determinánsa nem nulla, van egy inverz mátrixa, és ráadásul csak egy:

A^(-1)=\frac(1)(\det(A))\cdot\! \begin(pmatrix)A_(11)&A_(21)&\cdots&A_(1n)\\ A_(12)&A_(22)&\cdots&A_(n2)\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ A_(1n) )&A_(2n)&\cdots&A_(nn) \end(pmatrix)= \frac(1)(\det(A))\cdot A^(+),

ahol A^(+) az A mátrix elemeinek algebrai komplementereiből álló mátrixra transzponált mátrix.

Az A^(+) mátrixot hívjuk csatolt mátrix az A mátrixhoz képest.

Valóban, a mátrix \frac(1)(\det(A))\,A^(+) a \det(A)\ne0 feltétellel létezik. Meg kell mutatnunk, hogy A-val inverz, azaz. két feltételnek eleget tesz:

\begin(aligned)\mathsf(1))&~A\cdot\!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)=E;\\ \mathsf (2))&~ \!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)\!\cdot A=E.\end(igazított)

Bizonyítsuk be az első egyenlőséget. A 2.3. megjegyzés 4. pontja szerint a determináns tulajdonságaiból következik, hogy AA^(+)=\det(A)\cdot E. Ezért

A\cdot\!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)= \frac(1)(\det(A))\cdot AA^(+) = \frac(1)(\det(A))\cdot \det(A)\cdot E=E,

amelyet meg kellett mutatni. A második egyenlőség is hasonlóképpen bizonyított. Ezért a \det(A)\ne0 feltétel mellett az A mátrixnak inverze van

A^(-1)=\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+).

Az inverz mátrix egyediségét ellentmondással bizonyítjuk. Legyen az A^(-1) mátrixon kívül még egy inverz B\,(B\ne A^(-1)) mátrix úgy, hogy AB=E . A bal oldali egyenlőség mindkét oldalát megszorozva az A^(-1) mátrixszal, kapjuk \underbrace(A^(-1)AB)_(E)=A^(-1)E. Ebből következik a B=A^(-1) , ami ellentmond a B\ne A^(-1) feltételezésnek. Ezért az inverz mátrix egyedi.

Megjegyzések 4.1

1. A definícióból következik, hogy az A és A^(-1) mátrixok permutálhatók.

2. A nem degenerált átlóssal inverz mátrix szintén átlós:

\Bigl[\operátornév(diag)(a_(11),a_(22),\ldots,a_(nn))\Bigr]^(-1)= \operátornév(diag)\!\left(\frac(1) )(a_(11)),\,\frac(1)(a_(22)),\,\ldots,\,\frac(1)(a_(nn))\jobbra)\!.

3. A nem degenerált alsó (felső) háromszögmátrixhoz inverz mátrix alsó (felső) háromszög alakú.

4. Az elemi mátrixoknak vannak inverzei, amelyek szintén elemiek (lásd az 1.11. megjegyzés 1. pontját).

Inverz mátrix tulajdonságai

A mátrixinverziós művelet a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

\begin(igazított)\félkövér(1.)&~~ (A^(-1))^(-1)=A\,;\\ \félkövér(2.)&~~ (AB)^(-1 )=B^(-1)A^(-1)\,;\\ \félkövér(3.)&~~ (A^T)^(-1)=(A^(-1))^T\ ,;\\ \bold(4.)&~~ \det(A^(-1))=\frac(1)(\det(A))\,;\\ \bold(5.)&~~ E^(-1)=E\,. \end(igazított)

Bizonyítsuk be a 2. tulajdonságot: ha az azonos rendű nem szinguláris négyzetmátrixok AB szorzatának van inverz mátrixa, akkor (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1).

Valójában az AB mátrixok szorzatának determinánsa nem egyenlő nullával, hiszen

\det(A\cdot B)=\det(A)\cdot\det(B), ahol \det(A)\ne0,~\det(B)\ne0

Ezért létezik és egyedi az inverz mátrix (AB)^(-1). Mutassuk meg definícióval, hogy a B^(-1)A^(-1) mátrix inverz az AB mátrixhoz képest. Igazán.

Továbbra is beszélünk a mátrixokkal végzett cselekvésekről. Az előadás tanulmányozása során ugyanis megtanulod, hogyan találhatod meg az inverz mátrixot. Tanul. Még akkor is, ha szűkös a matek.

Mi az inverz mátrix? Itt analógiát vonhatunk a reciprokokkal: vegyük például az optimista 5-ös számot és annak reciprokát. E számok szorzata eggyel egyenlő: . Ugyanez a helyzet a mátrixokkal! A mátrix és annak inverze szorzata: identitásmátrix, amely a numerikus egység mátrixanalógja. Először azonban egy fontos gyakorlati kérdést fogunk megoldani, nevezetesen megtanuljuk, hogyan találjuk meg ezt a nagyon inverz mátrixot.

Mit kell tudni és meg kell tudni találni az inverz mátrixot? Tudnod kell dönteni meghatározó tényezők. Meg kell értened, mi az mátrixés tudjon velük néhány műveletet végrehajtani.

Két fő módszer létezik az inverz mátrix megtalálására:
használva algebrai összeadásokés elemi transzformációk segítségével.

Ma az első, könnyebb utat fogjuk tanulmányozni.

Kezdjük a legszörnyűbbvel és a legérthetetlenebbel. Fontolgat négyzet mátrix . Az inverz mátrix a következő képlettel kereshető meg:

Ahol a mátrix determinánsa, ott a mátrix megfelelő elemeinek algebrai komplementereinek transzponált mátrixa.

Az inverz mátrix fogalma csak négyzetmátrixokra létezik, mátrixok "kettő-kettő", "három-három" stb.

Jelölés: Mint valószínűleg már észrevette, a mátrix inverzét egy felső index jelöli

Kezdjük a legegyszerűbb esettel - egy két-két mátrixszal. Leggyakrabban természetesen „háromszor három” szükséges, de ennek ellenére erősen javaslom egy egyszerűbb feladat tanulmányozását a tanuláshoz általános elv megoldásokat.

Példa:

Keresse meg a mátrix inverzét

Mi döntünk. A műveletek sorrendje kényelmesen pontokra bontható.

1) Először keressük meg a mátrix determinánsát.

Ha ennek a műveletnek a megértése nem megfelelő, olvassa el az anyagot Hogyan kell kiszámítani a determinánst?

Fontos! Ha a mátrix meghatározója az NULLA– inverz mátrix NEM LÉTEZIK.

A vizsgált példában, mint kiderült, , ami azt jelenti, hogy minden rendben van.

2) Keresse meg a kiskorúak mátrixát!.

Problémánk megoldásához nem szükséges tudni, mi az a kiskorú, de célszerű elolvasni a cikket Hogyan kell kiszámítani a determinánst.

A kiskorúak mátrixának méretei megegyeznek a mátrixéval, vagyis ebben az esetben .
Az eset kicsi, meg kell találni négy számot, és csillagok helyett helyezni őket.

Vissza a mátrixunkhoz
Nézzük először a bal felső elemet:

Hogyan lehet megtalálni kiskorú?
És ez így történik: MENTÁLISAN húzd át azt a sort és oszlopot, amelyben ez az elem található:

A fennmaradó szám az az adott elem minor, amit a kiskorúak mátrixába írunk:

Tekintsük a következő mátrixelemet:

Gondolatban húzza át azt a sort és oszlopot, amelyben ez az elem található:

Marad ennek az elemnek a mollja, amit a mátrixunkba írunk:

Hasonlóképpen figyelembe vesszük a második sor elemeit, és megtaláljuk a kiskorúakat:


Kész.

Ez egyszerű. A kiskorúak mátrixában szüksége van VÁLTOZÁS JELEK két szám esetén:

Ezeket a számokat karikáztam be!

a mátrix megfelelő elemeinek algebrai komplementereinek mátrixa.

És csak valami…

4) Keresse meg az algebrai összeadások transzponált mátrixát!.

a mátrix megfelelő elemeinek algebrai komplementereinek transzponált mátrixa.

5) Válasz.

Emlékezz a képletünkre
Minden megtalálható!

Tehát az inverz mátrix:

A legjobb, ha a választ úgy hagyja, ahogy van. NINCS SZÜKSÉG Osszuk el a mátrix minden elemét 2-vel, mert törtszámokat kapunk. Ezt az árnyalatot részletesebben tárgyaljuk ugyanabban a cikkben. Műveletek mátrixokkal.

Hogyan ellenőrizhető a megoldás?

A mátrixszorzást is el kell végezni

Vizsgálat:

már említettük identitásmátrix egy mátrix egységekkel főátló másutt pedig nullák.

Így az inverz mátrix helyesen található.

Ha végrehajt egy műveletet, akkor az eredmény egy identitásmátrix is ​​lesz. Ez azon kevés esetek egyike, ahol a mátrixszorzás permutálható, bővebb információ a cikkben található Mátrixokon végzett műveletek tulajdonságai. Mátrix kifejezések. Vegye figyelembe azt is, hogy az ellenőrzés során a konstans (tört) előre kerül és a legvégén kerül feldolgozásra - a mátrixszorzás után. Ez egy szabványos felvétel.

Térjünk át egy gyakoribb esetre a gyakorlatban - a háromszor három mátrixra:

Példa:

Keresse meg a mátrix inverzét

Az algoritmus pontosan ugyanaz, mint a kettő-kettő esetnél.

Az inverz mátrixot a következő képlettel találjuk meg: , ahol a mátrix megfelelő elemeinek algebrai komplementereinek transzponált mátrixa.

1) Keresse meg a mátrix determinánsát!.

Itt kiderül a meghatározó az első sorban.

Ne felejtse el ezt sem, ami azt jelenti, hogy minden rendben van - inverz mátrix létezik.

2) Keresse meg a kiskorúak mátrixát!.

A kiskorúak mátrixának mérete "háromszor három" , és kilenc számot kell találnunk.

Megnézek néhány kiskorút részletesen:

Tekintsük a következő mátrixelemet:

MENTÁLISAN húzd át azt a sort és oszlopot, amelyben ez az elem található:

A maradék négy számot a „kettő-kettő” determinánssal írjuk.

Ez a kettő-kettő meghatározó és az adott elem minora. Ki kell számolni:


Minden, a moll megtalálható, beírjuk a kiskorúak mátrixába:

Amint azt sejthette, kilenc, két-két meghatározó tényezőt kell kiszámítani. A folyamat persze sivár, de az eset nem a legnehezebb, lehet rosszabb is.

Nos, hogy konszolidáljunk - újabb kiskorút találva a képeken:

A többi kiskorút próbálja meg kiszámolni maga.

Végeredmény:
a mátrix megfelelő elemeinek minor mátrixa.

Az a tény, hogy az összes kiskorú negatív lett, tiszta véletlen.

3) Keresse meg az algebrai összeadások mátrixát!.

A kiskorúak mátrixában ez szükséges VÁLTOZÁS JELEK szigorúan a következő elemekre:

Ebben az esetben:

A „négyszer négy” mátrix inverz mátrixának megkeresése nem jöhet számításba, mivel ilyen feladatot csak egy szadista tanár adhat (a diáknak egy „négyszer négy” determinánst és 16 „háromszor három” determinánst kell kiszámítani) . A praxisomban egyetlen ilyen eset volt, és a teszt megrendelője elég drágán kifizette a kínomat =).

Számos tankönyvben, kézikönyvben találhatunk némileg eltérő megközelítést az inverz mátrix megtalálásához, de javaslom a fenti megoldási algoritmus használatát. Miért? Mert sokkal kisebb a valószínűsége annak, hogy összezavarodunk a számításokban és az előjelekben.