Példák algebrai kifejezésekre. Numerikus és algebrai kifejezések

Az algebrai kifejezéseket a 7. osztályban kezdik tanulni. Számos tulajdonságuk van, és problémamegoldásban használatosak. Tanulmányozzuk ezt a témát részletesebben, és tekintsünk egy példát a probléma megoldására.

Fogalom meghatározása

Milyen kifejezéseket nevezünk algebrainak? Ez egy matematikai jelölés, amely számokból, betűkből és aritmetikai műveletek jeleiből áll. A betűk jelenléte a fő különbség a numerikus és algebrai kifejezések között. Példák:

• 4a+5;
• 6b-8;
• 5s:6*(8+5).

Az algebrai kifejezésekben egy betű számot jelöl. Ezért változónak nevezik - az első példában ez a betű, a másodikban - b, a harmadikban - c. Magát az algebrai kifejezést is nevezik változó kifejezés.

Kifejezés értéke

Algebrai kifejezés jelentése az ebben a kifejezésben megadott összes aritmetikai művelet végrehajtása eredményeként kapott szám. De ahhoz, hogy megkapjuk, a betűket számokra kell cserélni. Ezért a példák mindig jelzik, hogy melyik szám felel meg a betűnek. Fontolja meg, hogyan találhatja meg a 8a-14*(5-a) kifejezés értékét, ha a=3.

Helyettesítsük a 3-as számot az a betű helyett A következő bejegyzést kapjuk: 8*3-14*(5-3).

A numerikus kifejezésekhez hasonlóan az algebrai kifejezések megoldása az aritmetikai műveletek végrehajtására vonatkozó szabályok szerint történik. Oldjunk meg mindent sorban.

• 5-3=2.
• 8*3=24.
• 14*2=28.
• 24-28=-4.

Így a 8a-14*(5-a) kifejezés értéke a=3 esetén -4.

Valamely változó értékét akkor nevezzük érvényesnek, ha a kifejezésnek van értelme, vagyis meg lehet találni a megoldását.

Az 5:2a kifejezés érvényes változójára példa az 1. Ha ezt behelyettesítjük a kifejezésbe, 5:2*1=2,5-öt kapunk.

Ennek a kifejezésnek az érvénytelen változója a 0. Ha a kifejezésben nullát cserélünk, 5:2*0, azaz 5:0 értéket kapunk. Nem lehet nullával osztani, így a kifejezésnek nincs értelme.

Identitáskifejezések

Ha két kifejezés megegyezik az alkotóváltozóik bármely értékével, akkor ezeket hívják azonos.
Példa azonos kifejezésekre :
4(a+c) és 4a+4c.
Bármilyen értéket is vegyen fel az a és c betű, a kifejezések mindig egyenlőek lesznek. Bármely kifejezés helyettesíthető egy másik, vele azonos kifejezéssel. Ezt a folyamatot identitástranszformációnak nevezik.

Példa egy azonos átalakításra .
4 * (5a + 14c) - ez a kifejezés helyettesíthető egy azonosra a szorzás matematikai törvényének alkalmazásával. Ha egy számot meg szeretne szorozni két szám összegével, meg kell szoroznia ezt a számot minden egyes taggal, és össze kell adnia az eredményeket.

• 4*5a=20a.
• 4*14s=64mp.
• 20a + 64s.

Így a 4*(5a+14c) kifejezés megegyezik a 20a+64c-vel.

Az algebrai kifejezésben a literális változót megelőző számot együtthatónak nevezzük. Az együttható és a változó szorzók.

Problémamegoldás

Az algebrai kifejezéseket problémák és egyenletek megoldására használják.
Tekintsük a feladatot. Petya kitalált egy számot. Hogy Sasha osztálytársa kitalálja, Petya azt mondta neki: először 7-et adtam a számhoz, majd kivontam belőle 5-öt, és megszoroztam 2-vel. Ennek eredményeként a 28-as számot kaptam. Milyen számra tippeltem?

A probléma megoldásához meg kell jelölnie a rejtett számot a betűvel, majd végre kell hajtania vele az összes jelzett műveletet.

• (a+7)-5.
• ((a+7)-5)*2=28.

Most oldjuk meg a kapott egyenletet.

Petya kitalálta a 12-es számot.

Mit tanultunk?

Az algebrai kifejezés olyan rekord, amely betűkből, számokból és számtani műveletek jeleiből áll. Minden kifejezésnek van egy értéke, amelyet a kifejezésben található összes aritmetika elvégzésével találhatunk meg. Az algebrai kifejezésben szereplő betűt változónak, az előtte lévő számot pedig együtthatónak nevezzük. Az algebrai kifejezéseket a problémák megoldására használják.

A kiadvány bemutatja az algebrai kifejezések közötti különbség logikáját az általános és a középfokú (teljes) tanulók számára. Általános oktatás mint átmeneti szakasz a fizikában használt matematikai kifejezések különbségeinek logikájának kialakításában stb. a jelenségekről, feladatokról, azok osztályozásáról és a megoldási megközelítés módszertanáról alkotott elképzelések jövőbeni kialakításáért.

Letöltés:

Előnézet:

Algebrai kifejezések és jellemzőik

© Skarzhinsky Ya.Kh.

Az algebra, mint tudomány, a halmazokon a betűkkel jelölt cselekvési mintákat vizsgálja.Az algebrai műveletek közé tartozik az összeadás, kivonás, szorzás, osztás, hatványozás és gyökkivonás.Ezen műveletek eredményeként algebrai kifejezések jöttek létre.Algebrai kifejezés - halmazokat jelölő számokból és betűkből álló kifejezés, amellyel algebrai műveleteket hajtanak végre.Ezek a műveletek az aritmetikából mentek át az algebrába. Az algebrában úgy gondoljukaz egyik algebrai kifejezést egy másikkal egyenlővé téve, ami azonos egyenlőségük. Az algebrai kifejezésekre az 1. §-ban talál példákat.Az aritmetikából kölcsönözték az átalakítások és a kifejezések kapcsolatainak módszereit is. Az aritmetikai kifejezéseken végzett műveletek számtani mintáinak ismerete lehetővé teszi, hogy hasonló algebrai kifejezéseken transzformációkat hajtson végre, átalakítsa, egyszerűsítse, összehasonlítsa, elemezze.Az algebra a kifejezések transzformációinak szabályszerűségeinek tudománya, amely betűjelölések formájában bemutatott halmazokból áll, amelyeket különféle cselekvések jelei kapcsolnak össze.Vannak bonyolultabb algebrai kifejezések is, amelyeket magasabban tanulmányoznak oktatási intézmények. Bár típusokra oszthatók, a leggyakrabban használtak az iskolai tanfolyamon.

1 Az algebrai kifejezések típusai

1. tétel Egyszerű kifejezések: 4a. (a+b); (a + b) 3c; ; .

2. tétel Identitásegyenlőség:(a + b)c = ac + bc; ;

3. tétel Egyenlőtlenségek: as ; a + c .

4. oldal Képletek: x=2a+5; y=3b; y \u003d 0,5d 2 +2;

5. oldal Arányok:

Első nehézségi szint

Második nehézségi szint

Harmadik nehézségi fokozata halmazok értékeinek megtalálása szempontjából

a, b, c, m, k, d:

Negyedik nehézségi szintaz a, y halmazok értékeinek keresése szempontjából:

p.6 Egyenletek:

ax + c \u003d -5bx; 4x 2 + 2x = 42;

Stb.

7. tétel Funkcionális függőségek: y=3x; y = ax 2 + 4b; y \u003d 0,5x 2 +2;

Stb.

2 Tekintsünk algebrai kifejezéseket

2.1 Az 1. rész egyszerű algebrai kifejezéseket mutat be. Van kilátás és

nehezebb pl.:

Az ilyen kifejezések általában nem rendelkeznek "=" jellel. Az ilyen kifejezések mérlegelésekor az a feladat, hogy ezeket átalakítsuk és leegyszerűsített formában megkapjuk. Az 1. igénypont szerinti algebrai kifejezés konvertálásakor egy új algebrai kifejezést kapunk, amely jelentésében ekvivalens az előzővel. Az ilyen kifejezéseket azonosnak mondják. Azok. az egyenlőségjeltől balra lévő algebrai kifejezés jelentésében ekvivalens a jobb oldali algebrai kifejezéssel. Ebben az esetben egy újfajta algebrai kifejezést kapunk, amelyet azonos egyenlőségnek nevezünk (lásd a 2. pontot).

2.2 A 2. rész az algebrai azonosságegyenlőségeket mutatja be, amelyeket algebrai transzformációs módszerekkel alakítanak ki, figyelembe veszik az algebrai kifejezéseket, amelyeket leggyakrabban a fizika feladatmegoldásában használnak módszerként. Példák az algebrai transzformációk azonos egyenlőségeire, amelyeket gyakran használnak a matematikában és a fizikában:

Kommutatív összeadás törvénye: a + b = b + a.

Az összeadás asszociatív törvénye:(a + b) + c = a + (b + c).

A szorzás kommutatív törvénye: ab=ba.

A szorzás asszociatív törvénye:(ab)c = a(bc).

A szorzás eloszlási törvénye az összeadásra vonatkozóan:

(a + b)c = ac + bc.

A szorzás eloszlási törvénye a kivonás tekintetében:

(a - b)c \u003d ac - bc.

Identitásegyenlőségtört algebrai kifejezések(feltételezzük, hogy a törtek nevezői nem nullák):

Identitásegyenlőségalgebrai kifejezések hatványokkal:

a) ,

ahol (n-szer, ) - fok egész kitevővel

b) (a + b) 2 =a 2 +2ab+b 2 .

Identitásegyenlőségalgebrai kifejezések gyökökkel n-edik fokozat:

Kifejezés - számtani gyök n fokozat közül Különösen, - számtani négyzet.

Fokszám tört (racionális) kitevővel gyökér:

A fent megadott ekvivalens kifejezések az „=” jelet nem tartalmazó, összetettebb algebrai kifejezések átalakítására szolgálnak.

Tekintsünk egy példát, amelyben egy bonyolultabb algebrai kifejezés transzformációjához az egyszerűbb algebrai kifejezések azonos egyenlőségek formájában történő transzformációi során megszerzett tudást használjuk fel.

2.3 A 3. rész bemutatja az algebrai egyenlőség, amelyeknél a bal oldal algebrai kifejezése nem egyenlő a jobb oldallal, azaz. nem azonosak. Ebben az esetben egyenlőtlenségekről van szó. A fizika egyes problémáinak megoldása során általában az egyenlőtlenségek tulajdonságai fontosak:

1) Ha a , akkor bármely c esetén: a + c .

2) Ha a és c > 0, majd as .

3) Ha a és c , majd ac > bc .

4) Ha a , a és b akkor egy jel 1/a > 1/b .

5) Ha a és c , majd a + с , a - d .

6) Ha a , c , a > 0 , b > 0 , c > 0 , d > 0 , majd ac .

7) Ha a , a > 0 , b > 0 , akkor

8) Ha , akkor

2.4 A 4. rész az algebrai képleteket mutatja beazok. algebrai kifejezések, amelyeknél az egyenlőségjel bal oldalán egy betű van, amely olyan halmazt jelöl, amelynek értéke ismeretlen és meg kell határozni. Az egyenlőségjel jobb oldalán pedig olyan halmazok vannak, amelyek értéke ismert. Ebben az esetben ezt az algebrai kifejezést algebrai képletnek nevezzük.

Az algebrai képlet egy egyenlőségjelet tartalmazó algebrai kifejezés, melynek bal oldalán egy ismeretlen értékű halmaz, a jobb oldalon pedig ismert értékű halmazok találhatók, a feladat feltétele alapján.Az "egyenlő" jeltől balra lévő halmaz ismeretlen értékének meghatározásához az "egyenlő" jel jobb oldalán lévő mennyiségek ismert értékeit behelyettesítjük, és az ebben az algebrai kifejezésben feltüntetett aritmetikai számítási műveleteket. részt hajtanak végre.

1. példa:

Adott: Megoldás:

a=25 Legyen megadva az algebrai kifejezés:

x=? x=2a+5.

Ez az algebrai kifejezés egy algebrai képlet, mivel az egyenlőségjeltől balra az a halmaz, amelynek értékét keresni kell, jobbra pedig az ismert értékű halmazok.

Ezért lehetőség van az "a" halmaz ismert értékének helyettesítésére, az "x" halmaz ismeretlen értékének meghatározására:

x=2 25+5=55. Válasz: x=55.

2. példa:

Adott: Megoldás:

a=25 Algebrai kifejezésegy képlet.

b=4 Ezért lehetséges az ismert helyettesítése

c=8 érték az egyenlőségjeltől jobbra lévő halmazokhoz,

d=3 a "k" halmaz ismeretlen értékének meghatározásához,

m=20 bal oldalon állva:

n=6 Válasz: k=3,2.

KÉRDÉSEK

1 Mi az algebrai kifejezés?

2 Milyen algebrai kifejezéseket ismer?

3 Melyik algebrai kifejezést nevezzük azonos egyenlőségnek?

4 Miért szükséges ismerni az azonos egyenlőségek mintáit?

5 Milyen algebrai kifejezést nevezünk képletnek?

6 Melyik algebrai kifejezést nevezzük egyenletnek?

7 Milyen algebrai kifejezést nevezünk funkcionális függőségnek?

Az iskolai algebra órákon kifejezésekkel találkozunk másfajta. Ahogy új anyagokat tanul, a kifejezések változatosabbá és összetettebbé válnak. Például megismerkedtünk a fokozatokkal - a fokozatok megjelentek a kifejezések összetételében, tanulmányoztuk a törteket - megjelentek a törtkifejezések stb.

Az anyag leírásának megkönnyítése érdekében a hasonló elemekből álló kifejezéseket bizonyos elnevezésekkel láttuk el, hogy megkülönböztessük őket a kifejezések sokféleségétől. Ebben a cikkben megismerkedünk velük, azaz áttekintést adunk az iskolai algebraórákon tanult alapvető kifejezésekről.

Oldalnavigáció.

Monomiálisok és polinomok

Kezdjük az úgynevezett kifejezésekkel monomiumok és polinomok. E cikk írásakor a monomokról és polinomokról szóló beszélgetés a 7. osztály algebraóráin kezdődik. Ott a következő definíciók találhatók.

Meghatározás.

monomiálisokúgynevezett számok, változók, fokszámaik természetes jelzővel, valamint az ezekből álló szorzatok.

Meghatározás.

Polinomok a monomok összege.

Például az 5 szám, az x változó, a z 7 fok, az 5 x és a 7 x 2 7 z 7 szorzatok mind monomiumok. Ha a monomok összegét vesszük, például 5+x vagy z 7 +7+7 x 2 7 z 7 , akkor polinomot kapunk.

A monomokkal és polinomokkal való munka gyakran azt jelenti, hogy dolgokat kell velük csinálni. Tehát a monomiálisok halmazán a monomiálisok szorzása és a monomiális hatványra emelése definiálva van, abban az értelemben, hogy végrehajtásuk eredményeként monomiálist kapunk.

A polinomok halmazán összeadás, kivonás, szorzás, hatványozás van definiálva. Hogyan definiálják ezeket a műveleteket, és milyen szabályok szerint hajtják végre őket, a cikkben a polinomokkal végzett műveletekről beszélünk.

Ha egyetlen változós polinomokról beszélünk, akkor a velük való munka során egy szignifikáns gyakorlati jelentősége van egy polinom egy polinommal osztva, és gyakran az ilyen polinomokat is szorzatként kell ábrázolni, ezt a műveletet polinom faktorizálásának nevezik.

Racionális (algebrai) törtek

A 8. évfolyamon megkezdődik a változós kifejezéssel való osztást tartalmazó kifejezések tanulmányozása. És az első ilyen kifejezések racionális törtek, amelyet egyes szerzők úgy hívnak algebrai törtek.

Meghatározás.

Racionális (algebrai) tört ez egy olyan tört, amelynek számlálója és nevezője polinomok, különösen monomiumok és számok.

Íme néhány példa a racionális törtekre: és . Egyébként minden közönséges tört racionális (algebrai) tört.

A forgatáson algebrai törtekösszeadás, kivonás, szorzás, osztás és hatványozás kerül bemutatásra. Ennek mikéntjét a Műveletek algebrai törtekkel című cikk ismerteti.

Gyakran előfordul, hogy algebrai törtek transzformációit kell végrehajtani, amelyek közül a legáltalánosabb a redukció és az új nevezőre való redukció.

Racionális kifejezések

Meghatározás.

Hatványkifejezések (hatalomkifejezések) fokokat tartalmazó kifejezések a jelölésükben.

Íme néhány példa a hatalommal rendelkező kifejezésekre. Nem tartalmazhatnak változókat, például 2 3 , . Vannak változókat tartalmazó hatványkifejezések is: stb.

Nem árt, ha megismerkedsz a hogyanval kifejezések átalakítása hatványokkal.

Irracionális kifejezések, gyökeres kifejezések

Meghatározás.

A logaritmusokat tartalmazó kifejezéseket nevezzük logaritmikus kifejezések.

Példák logaritmikus kifejezések log 3 9+lne , log 2 (4 a b) , .

Nagyon gyakran a kifejezésekben a fokok és a logaritmusok egyszerre fordulnak elő, ami érthető, hiszen definíció szerint a logaritmus kitevő. Ennek eredményeként az ilyen jellegű kifejezések természetesnek tűnnek: .

Folytatva a témát, hivatkozzon az anyagra logaritmikus kifejezések transzformációja.

Frakciók

Ebben a bekezdésben egy speciális kifejezéseket fogunk figyelembe venni - a törteket.

A tört kiterjeszti a fogalmat. A törteknek van egy számlálója és nevezője is, amelyek a vízszintes törtsáv felett és alatt találhatók (a perjeltől balra és jobbra). Csak ellentétben azzal közönséges törtek, a számláló és a nevező nem csak egész számok, hanem bármilyen más szám, valamint bármilyen kifejezés is.

Tehát definiáljunk egy törtet.

Meghatározás.

Töredék egy olyan kifejezés, amely egy számlálóból és egy nevezőből áll, amelyeket törtvonallal választanak el, és amelyek valamilyen numerikus vagy alfabetikus kifejezést vagy számot jelentenek.

Ez a meghatározás lehetővé teszi, hogy példákat adjunk a törtekre.

Kezdjük példákkal azokra a törtekre, amelyek számlálói és nevezői számok: 1/4, , (−15)/(−2) . A tört számlálója és nevezője numerikus és alfabetikus kifejezéseket egyaránt tartalmazhat. Példák az ilyen törtekre: (a+1)/3 , (a+b+c)/(a 2 +b 2) , .

De a 2/5−3/7 kifejezések nem törtek, bár a rekordjukban törteket tartalmaznak.

Általános kifejezések

Középiskolában, különösen a fokozott nehézségű feladatoknál és a C csoportos feladatoknál a USE matematikában, a kifejezések találkoznak majd. összetett típus, amelyek rekordjukban gyököket és fokokat, logaritmusokat és trigonometrikus függvényeket stb. Például, vagy . Úgy tűnik, hogy megfelelnek a fent felsorolt ​​​​féle kifejezéseknek. De általában nem sorolják be ezek közé. Úgy tartják kifejezéseket Általános nézet , és a leíráskor csak egy kifejezést mondanak, további pontosítások nélkül.

A cikk befejezéseként szeretném elmondani, hogy ha ez a kifejezés nehézkes, és ha nem vagy teljesen biztos benne, hogy melyik fajtához tartozik, akkor jobb, ha csak kifejezésnek nevezzük, mint olyan kifejezésnek, amilyen nem. .

Bibliográfia.

• Matematika: tanulmányok. 5 cellához. Általános oktatás intézmények / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. kiadás, törölve. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 p.: ill. ISBN 5-346-00699-0.
• Matematika. 6. évfolyam: tankönyv. általános műveltségre intézmények / [N. Ya. Vilenkin és mások]. - 22. kiadás, Rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Algebra: tankönyv 7 cellához. Általános oktatás intézmények / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; szerk. S. A. Teljakovszkij. - 17. kiadás - M. : Oktatás, 2008. - 240 p. : ill. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Algebra: tankönyv 8 cellához. Általános oktatás intézmények / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; szerk. S. A. Teljakovszkij. - 16. kiadás - M. : Oktatás, 2008. - 271 p. : ill. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Algebra: 9. évfolyam: tankönyv. általános műveltségre intézmények / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; szerk. S. A. Teljakovszkij. - 16. kiadás - M. : Oktatás, 2009. - 271 p. : ill. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Algebraés az elemzés eleje: Proc. 10-11 sejtre. Általános oktatás intézmények / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn és mások; Szerk. A. N. Kolmogorova.- 14. kiad.- M.: Felvilágosodás, 2004.- 384 p.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (kézikönyv a műszaki iskolákba jelentkezők számára): Proc. pótlék.- M.; Magasabb iskola, 1984.-351 p., ill.

>>Matek: Numerikus és algebrai kifejezések

Numerikus és algebrai kifejezések

Az általános iskolában megtanultad, hogyan kell számolni egész és tört számok egyenleteket megoldani, megismerni geometriai formák, a koordinátasíkkal. Mindez egynek a tartalma volt iskolai tantárgy "matematika". Valójában egy olyan fontos tudományterületre van osztva, mint a matematika hatalmas számönálló tudományágak: algebra, geometria, valószínűségszámítás, matematikai elemzés, matematikai logika, matematikai statisztika, játékelmélet stb. Minden tudományágnak megvannak a maga vizsgálati tárgyai, saját módszerei a valóság megismerésére.

Az algebra, amelyet hamarosan tanulmányozni fogunk, lehetőséget ad az embernek nem csak különféle teljesítményekre számításokat hanem megtanítja a lehető leggyorsabban és racionálisabban csinálni. Az a személy, aki birtokolja algebrai módszerek, előnyben van azokkal szemben, akik nem birtokolják ezeket a módszereket: gyorsabban számol, sikeresebben navigál el az élethelyzetekben, tisztábban hoz döntéseket, jobban gondolkodik. A mi feladatunk, hogy segítsünk az algebrai módszerek elsajátításában, az Ön feladata, hogy ne álljon ellen a tanulásnak, készen álljon a követésre, a nehézségeket leküzdve.

Sőt, az alsó tagozaton már ablakot nyitottak előtted Varázsvilág algebra, mert az algebra elsősorban numerikus és algebrai kifejezéseket tanulmányoz.

Emlékezzünk vissza, hogy a numerikus kifejezés minden olyan rekord, amely számokból és aritmetikai műveletek előjeleiből áll (természetesen jelentéssel: például a 3 + 57 egy numerikus kifejezés, míg a 3 + : nem numerikus kifejezés, hanem értelmetlen karakterkészlet). Valamilyen oknál fogva (a későbbiekben még szó lesz róluk) gyakran használnak betűket meghatározott számok helyett (főleg a latin ábécéből); akkor algebrai kifejezést kapunk. Ezek a kifejezések nagyon nehézkesek lehetnek. Az algebra megtanítja ezeket egyszerűsíteni különböző szabályok, törvények, tulajdonságok, algoritmusok, képletek, tételek segítségével.

1. példa. Egyszerűsítse a numerikus kifejezést:

Megoldás. Most együtt fogunk emlékezni valamire, és látni fogod, hány algebrai tényt tudsz már. Mindenekelőtt tervet kell kidolgoznia a számítások végrehajtására. Ehhez a matematikában elfogadott konvenciókat kell használnia a műveletek sorrendjére vonatkozóan. Eljárás in ezt a példát ilyen lesz:

1) keresse meg a kifejezés A értékét az első zárójelben:
A = 2,73 + 4,81 + 3,27 - 2,81;

2) keresse meg a kifejezés értékét a második zárójelben:

3) elosztjuk A-t B-vel - akkor tudni fogjuk, hogy a számláló milyen C számot tartalmaz (azaz a vízszintes vonal felett);

4) keresse meg a nevező D értékét (azaz a vízszintes sáv alatt található kifejezést):
D = 25-37-0,4;

5) osztjuk C-t D-vel - ez lesz a kívánt eredmény. Tehát van egy számítási terv (és a terv jelenléte fele
sikerrel!), kezdjük el a megvalósítását.

1) Keresse meg: A \u003d 2,73 + 4,81 + 3,27 - 2,81. Természetesen lehet sorban számolni, vagy ahogy mondják „homlokon”: 2,73 + 4,81, majd adjunk hozzá ehhez a számhoz
3,27, majd vonjon ki 2,81-et. De a kultúra embereígy nem lesz kiszámolva. Emlékezni fog az összeadás kommutatív és asszociatív törvényeire (azonban nem kell emlékeznie rájuk, mindig a fejében vannak), és a következőképpen számol:

(2,73 + 3,27) + 4,81 - 2,81) = 6 + 2 = 8.

És most ismét együtt elemezzük, milyen matematikai tényekre kellett emlékeznünk a példa megoldása során (és nem csak emlékeznünk, hanem használni is).

1. Az aritmetikai műveletek sorrendje.

2. Összeadás kommutatív törvénye: a + b = b + a.

A. V. Pogorelov, Geometria 7-11. osztályosoknak, Tankönyv oktatási intézmények számára

Az óra tartalma óra összefoglalója támogatási keret óra bemutató gyorsító módszerek interaktív technológiák Gyakorlat feladatok és gyakorlatok önvizsgáló műhelyek, tréningek, esetek, küldetések házi feladat megbeszélési kérdések szónoki kérdéseket diákoktól Illusztrációk audio, videoklippek és multimédia fényképek, képek grafika, táblázatok, sémák humor, anekdoták, viccek, képregények példázatok, mondások, keresztrejtvények, idézetek Kiegészítők absztraktokat cikkek chipek érdeklődő csaló lapok tankönyvek alapvető és kiegészítő kifejezések szószedete egyéb Tankönyvek és leckék javításaa tankönyv hibáinak javítása egy töredék frissítése a tankönyvben az innováció elemei a leckében az elavult ismeretek újakkal való helyettesítése Csak tanároknak tökéletes leckék naptári tervet az évre iránymutatásokat vitaprogramok Integrált leckék

Bármilyen matematikai kifejezés, amit le tudunk írni különböző utak. Céljainktól függően, hogy van-e elég adatunk stb. Numerikus és algebrai kifejezések abban különböznek, hogy az elsőt csak számtani műveletek (összeadás, kivonás, szorzás, osztás) és zárójelek segítségével kombinált számként írjuk.

Ha számok helyett latin betűket (változókat) ír be a kifejezésbe, az algebrai lesz. Az algebrai kifejezések betűket, számokat, összeadás és kivonás, szorzás és osztás jeleket használnak. És a gyökér, fok, zárójelek is használhatók.

Mindenesetre, akár numerikus, akár algebrai ez a kifejezés, nem lehet csupán karakterek, számok és betűk véletlenszerű halmaza – jelentéssel kell bírnia. Ez azt jelenti, hogy a betűket, számokat, jeleket valamilyen kapcsolattal kell összekötni. Helyes példa: 7x + 2: (y + 1). rossz öltöny): + 7x - * 1.

A „változó” szót fentebb említettük – mit jelent ez? Ez egy latin betű, amely helyett számot is helyettesíthet. És ha már változókról beszélünk, akkor ebben az esetben az algebrai kifejezéseket nevezhetjük algebrai függvénynek.

A változó különböző értékeket vehet fel. És a helyére behelyettesítve néhány számot, megtalálhatjuk az algebrai kifejezés értékét a változó e bizonyos értékére. Ha a változó értéke eltérő, a kifejezés értéke is eltérő lesz.

Hogyan lehet algebrai kifejezéseket megoldani?

Az értékek kiszámításához meg kell tennie algebrai kifejezések transzformációja. És ehhez még mindig figyelembe kell vennie néhány szabályt.

Először is: az algebrai kifejezések definíciós tartománya minden lehetséges értékek változó, amelyre ennek a kifejezésnek értelme lehet. Mit jelent? Például nem helyettesíthet értéket olyan változóval, amelyhez nullával kell osztani. Az 1 / (x - 2) kifejezésben a 2-t ki kell zárni a definíciós tartományból.

Másodszor, emlékezzen a kifejezések egyszerűsítésére: faktorizálás, azonos változók zárójelbe foglalása stb. Például: ha felcseréli a feltételeket, az összeg nem változik (y + x = x + y). Hasonlóképpen, a szorzat nem változik, ha a tényezőket felcserélik (x * y \u003d y * x).

Általában kiválóak az algebrai kifejezések egyszerűsítésére. rövidített szorzóképletek. Azok, akik még nem tanulták meg, feltétlenül tegyék ezt - többször is hasznosak lesznek:

megtaláljuk a változók különbségét négyzetben: x 2 - y 2 \u003d (x - y) (x + y);

megtaláljuk az összeg négyzetét: (x + y) 2 \u003d x 2 + 2xy + y 2;

kiszámítjuk a különbség négyzetét: (x - y) 2 \u003d x 2 - 2xy + y 2;

kockára vágjuk az összeget: (x + y) 3 \u003d x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 vagy (x + y) 3 \u003d x 3 + y 3 + 3xy (x + y);

kocka a különbség: (x - y) 3 \u003d x 3 - 3x 2 y + 3xy 2 - y 3 vagy (x - y) 3 \u003d x 3 - y 3 - 3xy (x - y);

megtaláljuk a kocka változók összegét: x 3 + y 3 \u003d (x + y) (x 2 - xy + y 2);

kiszámítjuk a kocka változók különbségét: x 3 - y 3 \u003d (x - y) (x 2 + xy + y 2);

a gyököket használjuk: xa 2 + ya + z \u003d x (a - a 1) (a - a 2), 1 és a 2 pedig az xa 2 + ya + z kifejezés gyökerei.

Tudnia kell az algebrai kifejezések típusairól is. Ők:

racionális, ezek pedig a következőkre oszlanak:

egész számok (nincs változókra osztásuk, nincs gyökvonás a változókból, és nincs törthatványra emelés): 3a 3 b + 4a 2 b * (a - b). A hatókör az összes lehetséges érték ​a változókból;

tört (kivéve az egyéb matematikai műveleteket, mint az összeadás, kivonás, szorzás, ezekben a kifejezésekben változóval osztanak és hatványra emelnek (természetes kitevővel): (2 / b - 3 / a + c / 4) 2 Definíciós tartomány – minden olyan értékváltozó, amelyre a kifejezés nem egyenlő nullával;

irracionális - ahhoz, hogy egy algebrai kifejezést annak tekintsünk, tartalmaznia kell a változók hatványozását tört kitevőjű hatványra és/vagy a gyökök kivonását a változókból: √a + b 3/4. A definíciós tartomány a változók összes értéke, kivéve azokat, amelyekben a páros fok gyöke alatt vagy a tört fok alatti kifejezés negatív számmá válik.

Algebrai kifejezések identitástranszformációi Az identitás egy olyan kifejezés, amely igaz lesz a definíciós tartományban szereplő bármely változóra, amely be van helyettesítve.

Egy olyan kifejezés, amely bizonyos változóktól függ, azonos lehet egy másik kifejezéssel, ha ugyanazoktól a változóktól függ, és ha mindkét kifejezés értéke egyenlő, függetlenül attól, hogy a változók melyik értékét választjuk. Más szóval, ha egy kifejezést két különböző módon (kifejezéssel) lehet kifejezni, amelyek értéke megegyezik, akkor ezek a kifejezések azonosak. Például: y + y \u003d 2y vagy x 7 \u003d x 4 * x 3, vagy x + y + z \u003d z + x + y.

Az algebrai kifejezésekkel végzett feladatok végrehajtása során az azonos transzformáció azt szolgálja, hogy az egyik kifejezés helyettesíthető legyen egy másik, azzal azonos kifejezéssel. Például cserélje ki az x 9-et az x 5 * x 4 termékre.

Megoldási példák

Hogy érthetőbb legyen, lássunk néhány példát. algebrai kifejezések transzformációi. Az ilyen szintű feladatok az Egységes Államvizsga KIM-eiben találhatók.

1. feladat: Keresse meg a ((12x) 2 - 12x) / (12x 2 -1) kifejezés értékét!

Megoldás: ((12x) 2 - 12x) / (12x 2 - 1) \u003d (12x (12x -1)) / x * (12x - 1) \u003d 12.

2. feladat: Keresse meg a (4x 2 - 9) * (1 / (2x - 3) - 1 / (2x +3) kifejezés értékét!

Megoldás: (4x 2 - 9) * (1 / (2x - 3) - 1 / (2x + 3) \u003d (2x - 3) (2x + 3) (2x + 3 - 2x + 3) / (2x - 3 )(2x + 3) = 6.

Következtetés

Az iskolai tesztekre, a USE és a GIA vizsgákra való felkészülés során ezt az anyagot mindig tippként használhatja. Ne feledje, hogy az algebrai kifejezés számok és változók kombinációja latin betűkkel. És az aritmetikai műveletek jelei (összeadás, kivonás, szorzás, osztás), zárójelek, fokok, gyökök.

Használjon rövid szorzóképleteket és az azonosságegyenletek ismeretét az algebrai kifejezések átalakításához.

Írja meg nekünk megjegyzéseit és kívánságait a megjegyzésekben - fontos számunkra, hogy tudjunk arról, hogy olvas minket.

oldalon, az anyag teljes vagy részleges másolásakor a forrásra mutató hivatkozás szükséges.